高等数学期末复习试卷
高数期末考试题及答案
高数期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=\( e^x - x^2 \)在点x=0处的导数为：A. 1B. -1C. 0D. 22. 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则下列说法正确的是：A. f(x)在[a,b]上单调递增B. f(x)在[a,b]上存在极值点C. f(x)在[a,b]上一定有最大值和最小值D. f(x)在[a,b]上无界3. 曲线y=\( x^3 + 2x^2 - 5x + 7 \)在点(1, 9)处的切线斜率为：A. 12B. 10C. 8D. 64. 定积分∫[0,1] x^2 dx的值为：A. 1/3B. 1/4C. 1/2D. 15. 若f(x)=\( \ln(x) \)，则f'(1)的值为：A. 0B. 1C. -1D. 26. 微分方程dy/dx + 2y = 4x的通解为：A. y = 2x^2 + CB. y = x^2 + CC. y = 2x - CD. y = x + C7. 级数∑[1,∞] \( (1/n^2) \)是：A. 收敛B. 发散C. 条件收敛D. 绝对收敛8. 若函数f(x)在点x=a处可导，则f(x)在该点处的泰勒展开式至少包含：A. 常数项B. 一次项C. 二次项D. 高次项9. 函数f(x)=\( x^2 \sin(1/x) \)在x=0处的极限为：A. 0B. 1C. ∞D. 不存在10. 函数f(x)=\( x^3 - 3x^2 + 2 \)的拐点为：A. x=1B. x=2C. x=0D. x=3二、填空题（每题2分，共10分）11. 若f(x)=\( x^3 \)，则f''(1)=________。
12. 函数f(x)=\( \sin(x) \)的原函数为________。
13. 定积分∫[1,e] \( e^x \)dx的值为________。
14. 微分方程\( y'' - 4y' + 4y = 0 \)的特征方程为________。
期末高数试题及答案
期末高数试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. $f(x) = x^2$B. $f(x) = x^3$C. $f(x) = \sin(x)$D. $f(x) = \cos(x)$答案：B2. 计算不定积分 $\int x^2 dx$ 的结果是：A. $\frac{x^3}{3}$B. $\frac{x^3}{3} + C$C. $\frac{x^3}{3} + x + C$D. $x^3 + C$答案：B3. 极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}$ 的值是：A. 0B. 1C. 2D. 不存在答案：B4. 以下哪个选项是洛必达法则的应用？A. 计算 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}$B. 计算 $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x}$C. 计算 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$D. 计算 $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}$答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果函数 $f(x) = 2x + 3$ 的反函数是 $f^{-1}(x)$，那么$f^{-1}(5)$ 的值是 _______。
答案：12. 函数 $f(x) = \ln(x)$ 的导数 $f'(x)$ 是 _______。
答案：$\frac{1}{x}$3. 如果 $\int_{0}^{1} x dx = \frac{1}{2}$，那么 $\int_{0}^{2} x dx$ 的值是 _______。
答案：24. 函数 $f(x) = e^x$ 的不定积分是 _______。
答案：$e^x + C$三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数 $f(x) = x^2 - 4x + 4$ 的极值点。
答案：函数 $f(x) = x^2 - 4x + 4$ 的导数为 $f'(x) = 2x - 4$。
高数期末考试题及答案解析
高数期末考试题及答案解析一、选择题（每题2分，共10分）1. 函数 \( f(x) = \sin x + 2x^2 \) 在区间 \( [0,\frac{\pi}{2}] \) 上是：A. 单调递增B. 单调递减C. 先递增后递减D. 先递减后递增答案解析：首先求导数 \( f'(x) = \cos x + 4x \)。
在区间\( [0, \frac{\pi}{2}] \) 上，\( \cos x \) 始终大于等于0，而\( 4x \) 也是非负的，因此 \( f'(x) \geq 0 \)，说明函数 \( f(x) \) 在该区间上单调递增。
所以答案是 A。
2. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0 \)，则下列哪个选项是正确的？A. \( \lim_{x \to 0} f(x) = 0 \)B. \( \lim_{x \to 0} g(x) = 0 \)C. \( \lim_{x \to 0} f(x) = 1 \)D. \( \lim_{x \to 0} g(x) = 1 \)答案解析：根据极限的性质，如果 \( \lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{g(x)} = 0 \)，则 \( g(x) \) 不能趋向于0，否则分母为0，极限不存在。
同时，\( f(x) \) 趋向于0。
因此，选项 A 是正确的。
3. 曲线 \( y = x^3 - 3x \) 在点 \( (1, -2) \) 处的切线斜率是：A. 0B. 2C. -2D. 4答案解析：求导数 \( y' = 3x^2 - 3 \)，将 \( x = 1 \) 代入得到 \( y' = 0 \)。
因此，曲线在点 \( (1, -2) \) 处的切线斜率为 0，答案是 A。
4. 若 \( \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3} \)，则\( \int_{0}^{1} x^3 dx \) 的值是：A. \( \frac{1}{4} \)B. \( \frac{1}{3} \)C. \( \frac{1}{2} \)D. \( \frac{2}{3} \)答案解析：根据积分的基本公式，\( \int x^n dx =\frac{x^{n+1}}{n+1} + C \)，所以 \( \int_{0}^{1} x^3 dx =\left[\frac{x^4}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4} \)。
数学高数期末试题及答案
数学高数期末试题及答案第一部分：选择题1. 设函数 $f(x) = e^x + \ln x$，则 $f'(1) =$ ( )A. $e$B. $e+1$C. $1$D. $0$2. 设二元函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(1,2)$ 处可微，则 $\frac{\partialz}{\partial x}$ 在该点的值为 ( )A. $f_x(1,2)$B. $f_y(1,2)$C. $0$D. $f(1,2)$3. 设平面$2x+y+z=2$，直线$L$ 过点$(1,1,1)$，且与该平面平行，则直线 $L$ 的方程为 ( )A. $x=y=z$B. $2x+y+z=4$C. $x=y=z=1$D. $x+y+z=3$第二部分: 简答题1. 解释什么是极限？极限是一个函数在某一点或者无穷远处的值或趋近于的值。
对于一个给定的函数，当自变量趋近某一特定值时，函数的值也会趋近于某个特定的值。
2. 什么是导数？导数是函数在某一点的切线斜率。
在数学中，导数表示函数在给定点的变化率。
第三部分: 解答题1. 计算函数 $f(x) = \sin(x) - \cos(x)$ 在区间 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 上的最大值和最小值。
首先，我们求解导数 $f'(x)$，然后令其等于零，解得$x=\frac{\pi}{4}$。
此时，我们可以计算得到 $f(\frac{\pi}{4}) =\sqrt{2}-1$。
另外，我们可以计算 $f(0) = 1$ 和 $f(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}-1$。
所以，函数 $f(x)$ 在区间 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 上的最大值为 $1$，最小值为 $\sqrt{2}-1$。
2. 计算二重积分 $\iint_D x^2 y \,dA$，其中 $D$ 是由直线 $x=0$，$y=0$ 和 $x+y=1$ 所围成的区域。
高等数学期末试卷及答案
一、填空题1. 曲线2,y ax z x=⎧⎨=⎩在点(1,,1)a 处的切线和直线x y z ==−垂直，则a = ．2. 已知22,,z u v u x y v x y ==+=−，且在xOy 面上有点0(10)P ,和向量{34}l =，，则方向导数P zl∂=∂ ．3. 设L 为212y x =上介于1(1,)2−和1(1,)2的一段曲线，则(Lx ds +=⎰．4. 设∑为球面2221x y z ++=，则23x dS ∑=⎰⎰ ．5. 设01()(cos sin )2n n n a s x a nx b nx ∞==++∑为函数()1,(,)f x x x ππ=+∈−的傅里叶级数，则(3)s −= ．二、选择题1. 已知(0,0)0f =，且00x y →→=，则(,)f x y 在点(0,0)处（ ）． （A ）连续，但偏导数不存在 （B ）不连续，但偏导数存在（C ）连续，偏导数存在，但是不可微 （D ）连续、偏导数存在，且可微2． 设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数，且(,)0y x y ϕ'≠．已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，如果00(,)0y f x y '=，则必有（ ）．（A ）00(,)0xx y ϕ'= （B ）00(,)0xx y ϕ'≠ （C ）00(,)0x f x y '=（D ）00(,)0x f x y '≠3. 设22{(,)|1}D x y x y =+≤，1D I x y dxdy =⎰⎰，2D I xy dxdy =⎰⎰，3ln(1)D I xy dxdy =−⎰⎰，则12,I I 和3I 满足（ ）．（A ）231I I I << （B ）312I I I << （C ）321I I I <<（D ）321I I I <<4. 设{(,,)01,01,02}x y z x y z Ω=≤≤≤≤≤≤，则三重积分xydv Ω=⎰⎰⎰（ ）．（A ）12（B ）13（C ）14（D ）165. 已知,1,2,n n a b n ≤=，且1n n b ∞=∑收敛，则1n n a ∞=∑（ ）．(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 敛散性不定三、设(,)z z x y =是由方程z x y z e +−=所确定隐函数，求(,)zx y ∂∂∂210．四、求函数32(,)6125f x y y x x y =−+++的极值．五、设函数()2,12,0,,0,x y x y x f x y ⎧≤≤≤≤=⎨⎩其他.计算二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰，其中22{(,)2}D x y x y x =+≥．六、求曲面积分24d d 2d d (1)d d I zx y z z z x z x y ∑=−+−⎰⎰，其中∑为圆抛物面222x y z +=（02z ≤≤），取下侧．七、求幂级数0(31)n n n x ∞=+∑的收敛域及和函数()s x ．八、(1)在全平面上，证明曲线积分22x x Ly e dx ye dy +⎰与路径无关，并求22x x y e dx ye dy +的一个原函数(,)u x y ；(2)计算2()(21)x xL I y e y dx ye dy =−+−⎰，其中L 为222(0)x y x y +=≥上从(2,0)到(1,1)的一段曲弧．答案一、填空题1. 12.1953. 84. 4π5. 2二、选择题1.D ． 2．C ． 3.B ． 4.A ． 5.A ．三、解：在方程两边关于x 求偏导数得1zz ze x x∂∂−=∂∂， 当(,)(1,0)x y =时，0z =，代入上式，得(1,0)12z x ∂=∂．类似可得(1,0)12z y ∂=∂． 在(1)式两边关于y 求偏导数得22z z z z z z e e x y x y x y ∂∂∂∂−=⋅+∂∂∂∂∂∂，代入1,0,0x y z ===，(1,0)12z x ∂=∂及(1,0)12z y ∂=∂，解得(1,02)18z x y ∂=−∂∂． 或者：计算得11z z z x y e ∂∂==∂∂+，23(1)z z z e x y e ∂−=∂∂+，同理可得(1,02)18z x y ∂=−∂∂．四、解：令2(,)260,(,)3120,x yf x y x f x y y '=−+=⎧⎪⎨'=−=⎪⎩得驻点(3,2),(3,2)−．又 (,)2,(,)0,(,)6xxxyyyf x y f x y f x y y ''''''=−==．在驻点(3,2)处，(3,2)2,(3,2)0,(3,2)12xxxy yy A f B f C f ''''''==−====， 2240AC B −=−<，故(3,2)不是极值点；在驻点(3,2)−处，(3,2)2,(3,2)0,(3,2)12xxxy yy A f B f C f ''''''=−=−=−==−=−， 2240AC B −=>，且0A <，故(3,2)−是极大值点，且极大值为(3,2)18.f −=−五、解：记1{(,)1}D x y x y x =≤≤≤≤，则12221(,)x DD f x y dxdy x ydxdy dx ydy ==⎰⎰⎰⎰⎰ 243149()20x x dx =−=⎰．六、解：补充曲面1∑：222(4)z x y =+≤，取上侧．设Ω为1∑+∑所围成的立体区域，则22,02,022r z r θπΩ≤≤≤≤≤≤：，由Gauss 公式可得212222024d d 2d d (1)d d (42)2r zx y z z z x z x y z z dv d rdr zdzπθ∑+∑Ω−+−=−=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰42322(4)43r r dr ππ=−=⎰; 221244d d 2d d (1)d d (3)12x y zx y z z z x z x y dxdy π∑+≤−+−=−=−⎰⎰⎰⎰,所以11224d d 2d d (1)d d 4d d 2d d (1)d d I zx y z z z x z x y zx y z z z x z x y ∑+∑∑=−+−−−+−⎰⎰⎰3268(12)33πππ=−−=．七、解：34lim131n n n ρ→∞+==+，所以收敛半径为1R =，收敛区间为(1,1)−． 当1x =±时，lim(31)0n n n x →∞+≠，所以原级数均发散，故收敛域为(1,1)−．()(31)3(1)2nnn n n n s x n x n x x ∞∞∞====+=+−∑∑∑1221232123()23()111(1)1(1)n n x xx x x x x x x ∞+=+''=−=−=−=−−−−−−∑，(1,1)x ∈−．八、解：⑴ 令2,2x x P y e Q ye ==，则2x P Q ye y x∂∂==∂∂，所以积分22x x L y e dx ye dy +⎰与路径无关．下面求(,)u x y ．由题意知2(,)2x x du x y y e dx ye dy =+．解法一：取00(,)(0,0)x y =，则200(,)02xyxx x u x y e dx ye dy y e =⋅+=⎰⎰；解法二：2222(,)2()()()x x x x x du x y y e dx ye dy y d e e d y d y e =+=+=，取2(,)x u x y y e =， 解法三：由2x uy e x ∂=∂得22()x x u y e dx y e c y ==+⎰，从而2()2x x u ye c y Q ye y∂'=+==∂，即()0c y '=，取()0c y =，则2(,)x u x y y e =．⑵ 解法一：22()(21)2x x x x LLLI y e y dx ye dy y e dx ye dy ydx dy =−+−=+−+⎰⎰⎰(1,1)22,0)1(x Ly eydx dy e I =−+=−⎰．L 的参数方程为1cos ,:sin x t L y t =+⎧⎨=⎩，:02t π→．则2210(sin cos )14L I ydx dy t t dt ππ=+=−+=−+⎰⎰．故(1,1)(2,0)214x L I y e ydx dy e π=−+=+−⎰．解法二：补充曲线1:2L y x =−+，:12x →，L 与1L 所围平面区域记为1122()(21)()(21)xxxxL L L I y e y dx ye dy y e y dx ye dy +=−+−−−+−⎰⎰．121()(21)(221)142x x x x L L DDy e y dx ye dy ye ye dxdy dxdy π+−+−=−+==−⎰⎰⎰⎰⎰， 12221()(21){(2)2[2(2)1](1)}x x x x L y e y dx ye dy x e x x e dx −+−=−++−+−+−−⎰⎰2211(21)2x x x e xe x dx e =−+−=−+⎰， x所以 11()()14224I e e ππ=−−−+=+−．。
高等数学上期末考试试题及参考答案
高等数学上期末考试试题及参考答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 函数 \( f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \) 的反函数\( f^{-1}(x) \) 的定义域为（）A. \( (-\infty, 1) \cup (1, +\infty) \)B. \( [0, +\infty) \)C. \( (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) \)D. \( (-1, 1) \)答案：C2. 设函数 \( f(x) = \ln(2x - 1) \)，则 \( f'(x) \) 的值为（）A. \( \frac{2}{2x - 1} \)B. \( \frac{1}{2x - 1} \)C. \( \frac{2}{x - \frac{1}{2}} \)D. \( \frac{1}{x - \frac{1}{2}} \)答案：A3. 设 \( f(x) = e^x + e^{-x} \)，则 \( f''(x) \) 的值为（）A. \( e^x - e^{-x} \)B. \( e^x + e^{-x} \)C. \( 2e^x + 2e^{-x} \)D. \( 2e^x - 2e^{-x} \)答案：D4. 下列函数中，哪一个函数在 \( x = 0 \) 处可导但不可微？（）A. \( f(x) = |x| \)B. \( f(x) = \sqrt{x} \)C. \( f(x) = \sin x \)D. \( f(x) = \cos x \)答案：A5. 设 \( \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} = 2 \)，则 \( f'(0) \) 的值为（）A. 1B. 2C. 0D. 无法确定答案：B二、填空题（每题5分，共25分）6. 函数 \( f(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) \) 的导数 \( f'(x) \) 为_________。
高数期末考试题及答案大全
高数期末考试题及答案大全试题一：极限的概念与计算问题：计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
答案：根据洛必达法则，当分子分母同时趋向于0时，可以对分子分母同时求导，得到：\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cosx}{1} = \cos(0) = 1.\]试题二：导数的应用问题：设函数 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\)，求其在 \(x=1\) 处的切线方程。
答案：首先求导数 \(f'(x) = 3x^2 - 6x + 2\)。
在 \(x=1\) 处，导数值为 \(f'(1) = -1\)，函数值为 \(f(1) = 0\)。
切线方程为 \(y - 0 = -1(x - 1)\)，即 \(y = -x + 1\)。
试题三：不定积分的计算问题：计算不定积分 \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx\)。
答案：这是一个基本的三角换元积分问题，令 \(x = \tan(\theta)\)，\(dx = \sec^2(\theta) d\theta\)。
则 \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx = \int \frac{1}{\tan^2(\theta) + 1} \sec^2(\theta) d\theta = \int \cos^2(\theta) d\theta\)。
利用二倍角公式，\(\cos^2(\theta) = \frac{1 +\cos(2\theta)}{2}\)。
积分变为 \(\int \frac{1}{2} d\theta + \frac{1}{2} \int\cos(2\theta) d\theta = \frac{\theta}{2} +\frac{\sin(2\theta)}{4} + C\)。
《高等数学》期末复习题
期末题型：10个单选（每题3分），7个大题（每题10分）一、单项选择题1. 下列各式中不是常微分方程的为 C . A. y y x '+= B.2y y y '''+= C.20ax bx c ++= D.d d 0x y y x +=2. 微分方程 y ′′−2y ′−3y =0 的通解为 A .A. y =C 1e 3x +C 2e −xB.y =C 1e −3x +C 2e −xC.y =C 1e 3x +C 2e xD.y =C 1e −3x +C 2e x3. 微分方程 y ′′−2y ′+y =0 的通解为 C .A. y =C 1e x +C 2e xB.y =Ce xC.y =(C 1+C 2x)e xD.y =(C 1+C 2x)e −x4. 微分方程 y ′′−2y ′+5y =0 的通解为 B .A. y =e 2x (C 1cos x +C 2sin x)B.y =e x (C 1cos 2x +C 2sin 2x)C. y =C 1cos x +C 2sin 2xD. y =C 1cos 2x +C 2sin x5．已知 a ⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0), b ⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−2)，则 a ⃗⃗⃗⃗ ∙ b ⃗⃗⃗⃗ = C . A ．0 B. −1 C. 1 D. 26．已知 a ⃗⃗⃗⃗ =(0,3,4), b ⃗⃗⃗⃗ =(2,1,−2)，则 Prj a ⃗⃗⃗⃗ b ⃗⃗⃗⃗ = C . A ．3 B. −53 C. −1 D. 17.已知a b ，两向量夹角为π4，且(2,1,2)b =−，则Pr a j b = C ．A ．32 Ｂ．13− Ｃ．2Ｄ．18．方程 z =√x 2+y 2 表示三维空间中的 B . .A ．球面B ．圆锥面C ．圆柱面D ．旋转抛物面 9．直线x−22=y+21=z−4−3=0 与平面 x +y +z =4 的关系是 A .A ．直线在平面上B ．平行C ．垂直D ．三者都不是10．函数(,)f x y 在点00(,)x y 偏导数存在是(,)f x y 在该点连续的 D . A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分也非必要条件11．若在点00(,)x y 处0f x ∂=∂，0fy∂=∂，则(,)f x y 在点00(,)x y 是 D . A ．连续且可微 B ．连续但不一定可微 C ．可微但不一定连续 D ．不一定可微也不一定连续12．考虑二元函数的下面4条性质：①(,)f x y 在点00(,)x y 处连续； ②(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数连续； ③(,)f x y 在点00(,)x y 处可微； ④(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数存在. 若用“P Q ⇒”表示可由性质P 推出性质Q ，则有 A . A ．②⇒③⇒① B ．③⇒②⇒① C ．③⇒④⇒① D ．③⇒①⇒④13．lim n→∞u n =0 是级数1nn u∞=∑收敛的 B .A. 充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D. 既非充分也非必要条件14．下列级数条件收敛的是 C .A. 1(1)1nn n n ∞=−+∑B.1(1)n ∞=−∑C.1(1)n n ∞=−∑D. 211(1)n n n ∞=−∑15．设幂级数nn n a x∞=∑在2x =处收敛，则该级数在1x =−处必定 C .A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.敛散性不能确定二、计算题1.求微分方程d 0xy x y =满足初始条件1e x y ==的特解.解：方程变形为d xy x y =1d x y y=，两端积分得211d 2y y =⎰1ln ln y C =+，由此得11)y C C C C =±==±记，满足初始条件1e x y ==，代入得e C =，所以特解为1y =.2．求过点 (2,1,0) 且与平面 2x 3y −5z −5= 0 平行的平面方程.解：设所求平面方程为2350x y z D +−+=，将点(2,1,0)代入平面方程得，7D =− 从而平面方程为23570x y z +−−=.3．求过点(3,2,5)−且与两平面430x z −−=和2510x y z −−−=平行的直线方程解：所求直线的方向向量可取10443215i j ks i j k =−=−−−−−，即(4,3,1)s =−−−(4,3,1)，故直线方程为325431x y z +−−==．4．求过两点()1,1,1M −−和()2,2,4N 且与平面:0x y z ∏+−=垂直的平面方程． 解： ()11,3,5,(1,1,1)MN n ==− 平面的法向量为：1(4,3,1)n MN n =⨯=− 所求平面方程为：4(1)3(1)(1)0x y z −−+++= 即4360x y z −+−=L5. 计算极限 02tan()limx y xy x→→. 解：000222tan()tan()tan()limlim lim lim 12 2.x x xy y y y xy xy xy y y x xy xy →→→→→→=⋅=⋅=⋅=6. 计算极限00x y →→.解：000001.4x x x y y y →→→→→→−===7．设(32,42)z f x y x y =+−，其中(,)f u v 可微，求,,d z zz x y∂∂∂∂. 解：121234,22z zf f f f x y∂∂''''=+=−∂∂，()()1212d d d 34d 22d z z z x y f f x f f y x y ∂∂''''=+=++−∂∂.8．设333z xyz a −=，求,z zx y∂∂∂∂. 解：令33(,,)3F x y z z xyz a =−−，则3x F yz =−，3y F xz =−，233z F z xy =−；2x z F z yz x F z xy ∂∴=−=∂−，2y z F z xz yF z xy ∂=−=∂−.9．用二重积分的几何意义计算下列二重积分： （1）∬√4−x 2−y 2 dσD ，（22:4,0)D x y y +≤≥）； （2）∬√x 2+y 2 dσD ，（22:1D x y +≤）.提示：224,0x y y +≤≥⎰⎰σ表示半径为2的1/4球体的体积；221x y +≤⎰⎰σ表示半径和高都为1的圆柱体与圆锥体的体积之差.10．计算22d d Dx x y y⎰⎰，其中D 是由直线2,x y x ==与曲线1xy =所围成的闭区域. 解：如图9-4所示，区域1:12,D x y x x≤≤≤≤，则 原式22121d d xxx x y y =⎰⎰22111d xx x x y ⎡⎤=−⎢⎥⎣⎦⎰22423119()d .244x x x x x ⎡⎤=−+=−+=⎢⎥⎣⎦⎰11．计算22d Dx y σ+⎰⎰，其中D 是圆环形闭区域{}22(,)14x y x y +≤≤．解：22π22223011114πd d d d d 2π33DDx y σρρρθθρρρ⎡⎤+=⋅==⋅=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰.12．判断级数12!nn n n n ∞=∑的敛散性.解：因为11(1)11e 2(1)!lim lim 11222!n nn n n n n n n n n n ++→∞→∞++⎛⎫=+=> ⎪⎝⎭.由比值审敛法可知12!n n n n n ∞=∑发散.13．判断级数11πtan2n n n ∞+=∑的敛散性. 解：因为11ππtan()22~n n n n n ++→∞，即11πtan2lim1π2n n n n n +→∞+=. 又211π1112limlim 122π2n n n n n n n n ρ+→∞→∞+++===<，由比值审敛法可知11π2n n n ∞+=∑收敛， 再由比较审敛法的极限形式可知11πtan2n n n ∞+=∑收敛. 图 9-4。
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高等数学期末复习（专科）试卷一
一、填空
1、已知1ln )(21-+=⎰x x dt t f x
，则=)(x f ___________.
2、
=-⎰
dx x x )cos 5sin 2(20
π
_________ .
3、设b a
,为非零向量，若0=⋅b a ，则必有____________ .
4、函数)4arcsin(22-+=y x z 的定义域是___________.
5、微分方程02=-x dx
dy
的通解为____ . 6、2
2
1)ln(lim y
x e x y y x ++→→_________.
二、单项选择
1、下列方程中为一阶线性方程的是( ).
A 、x e xy y =+'2
B 、
02=+'-''y y x y x C 、y
x y +='1
D 、0365)4(=-''+y y y 2、下列积分中，值为零的是( ).
A 、dx x ⎰-1
12
B ．dx x ⎰-2
13
C ．⎰-11dx
D ．xdx x sin 1
1
2⎰-
3、若()⎰=+1
2dx k x ，则k=( ).
A 、0
B 、1
C 、1-
D 、
2
3 4、空间直角坐标系中，点)3,2,1(-在第( )卦限
A 、Ⅳ
B 、Ⅱ
C 、Ⅷ
D 、 Ⅲ
5、设平面方程为0=++D Cz Bx ，且0,,≠D C B ， 则平面( ). A.平行于x 轴 B.轴平行于y C.经过y 轴 D. 垂直于y 轴
6、已知二元函数)sin(xy z =,则二阶偏导数=xx Z ( ).
A ．)sin(2xy x -
B ．)sin(2xy x
C ．)sin(2xy y -
D ．)sin(2xy y
三、计算下列各题 1、若)ln(22y x z +=,求du
2、求过点M )1,2,1(且垂直于两平面0=+y x 和05=+z y 的平面方程.
3、已知)3,0,1(=, )3,1,0(=,求OAB ∆的面积.
4、求微分方程0)sin (=+-xdy dx x x y 满足初始条件10
==x y 的特解.
5、求⎰+-+π
πdx x x e x )sin (2cos
6、求dx e x ⎰1
.
四、试解下列各题 1.
求3
20
tan lim
x
dt t x
x ⎰→
2、设4=a
，6=b ，12-=⋅→→b a ，求b a ⨯.
3、设xy e z =,求x z ∂∂,y
z ∂∂ 五、计算
由曲线3x y =，直线0,2==y x 所围成的图形,求： ①所围图形的面积;
②绕x 轴旋转所得旋转体的体积.
高等数学期末复习（专科）试卷二
一、填空
1、若=+=⎰)(,2sin )(x f c x dx x f 则____ .
2、根据定积分的几何意义,
⎰
=-3
29x ____ .
3、已知两点1M )2,1,0(和2M )0,1,1(-,则=-212M M ____ .
4、二元函数)
ln(1
y x z +=
的定义域为____ .
5、微分方程04='-'+''y y y x y xy 的阶数为____ .
6、若定积分)0(1122
>=+⎰a dx x x
a
，则常数=a ____ .
二、单项选择
1、下列微分方程中( )即是一阶可分离变量微分方程，又是一阶非齐次线性微分方程 A 、x y
y +=
'1
B 、2y y ='
C 、x y y =+'
D 、x xy y =+'2 2、设⎰=1
1,dx e I x ⎰=1
1,2
dx e I x ，则( ).
A 、 21I I >
B 、 21I I <
C 、 21I I =
D 、 22
1I I = 3、下列解中为某二阶微分方程的通解的是( ). A 、x C y sin = B 、x C x C y cos sin 21+= C 、x x y cos sin += D 、x C C y cos )(21+=
4、下列二元函数中( )的一阶偏导数满足y x z z '='
A 、 y x z =
B 、y x e e z =
C 、y x z ln ln =
D 、y x z sin sin =
5、已知向量{}
的坐标为），则起点，（的终点为P ,712Q 7,4,4--=→
PQ ( ). A 、)0,3,2(- B 、)0,3,2(- C 、)14,5,4(- D 、)14,5,4(-
6、=++⎰dt t t dx d x
33
2)42(( ).
A 、423++x x
B 、)42(3++-x x
C 、4226++x x
D 、)42(26++-x x 三、计算下列各题 1、计算⎰
++dx x 3
11.
2、设b a b a -=+,)8,5,3(-=a
,),1,1(z b -= ,求z
3、已知)1,2,2(=a
,)3,5,4(=b ,求a b ⨯.
4、求过点)2,1,1(-且与平面02=-+z y x 平行的平面方程
5、求函数22y x z +=的全微分
6、求微分方程232++=+'x x y y x 的通解
四、试解下列各题
1、求微分方程02=-'+''x y y x 的通解.
2、求以)1,3,1(-=a
和)3,1,2(-=b 为邻边的平行四边形的面积.
3、计算dx x ⎰-2
1.
五、计算
求抛物线2x y =与直线2+=x y 所围成的图形的面积.
高等数学期末复习（专科）试卷三
一、填空
1、2cos )(x x x f +=的一个原函数为____ .
2、dx x x x
x ⎰-++1
1
2
61
cos = ____ . 3、函数22xy y x z +=的全微分是____ . 4、dt te x F x t ⎰=2
1)(,则)1('F =____ .
5、过点)1,0,3(-且与平面012573=-+-z y x 平行的平面方程是____ .
二、单项选择
1、若)(x F ,)(x G 都是)(x f 的原函数,则必有( ).
A 、)()(x G x F =
B 、)()(x CG x F =
C 、C x G x F +=)()(
D 、)(1
)(x G C
x F = 2、下列积分中，积分值为零的是( ).
A 、dx x ⎰-21
B 、xdx x 211
sin ⎰- C 、xdx x sin 11
⎰- D 、xdx x 21
1
2sin ⎰-
3
4=
, 5=,a 与的夹角为3
π
,则=⋅→→b a ( ).
A 、8
B 、10
C 、 4
D 、 12
4、设(,)z f x y =在点00(,)x y 处关于y 的偏导数存在，则0,0()
x y z
y ∂∂＝( ).
A 、00000
(,)(,)lim
x f x x y y f x y x ∆→+∆+∆-∆ B 、00000(,)(,)
lim x f x x y f x y x ∆→+∆-∆
C 、00000
(,)(,)
lim
y f x y y f x y y
∆→+∆-∆ D 、0000(,)(,)lim x x f x y f x y x x →--
5、极限=+-→xy
xy y x 4
2lim
)
0,0(),(( ).
A 、 4
1
-
B 、 41
C 、4
D 、4-
三、计算下列各题. 1、求不定积分 （1）dx x x ⎰
+)1(1 （2）dx x
⎰+211
（3）dx e x x ⎰2 2、求下列定积分
（1）xdx x cos sin 20
3
⎰π
（2）⎰e
xdx x 1
ln
（3）⎰⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=202
)(1
,2,
1,1)(dx x f x x x x x f 求 （4）dx x x ⎰-511 3、求由曲线x y =与2x y =围成的图形的面积.
4、（1）求微分方程032'=-y x y 满足初始条件20==x y 的特解； （2）已知x x y sin "+=，求微分方程的特解.
5、已知平面曲线上任意点),(y x M 处切线斜率为12'+=x y ,且平面曲线经过点
)7,2(,求此平面曲线.
四、证明题.
已知)1,0(,≠>=x x x z y ,求证z y
z
x x z y x 2ln 1=∂∂+∂∂.。