平面向量及其应用试题及答案doc

一、多选题1．题目文件丢失！

2．下列说法中错误的为（ ）

A ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是

5,3??-+∞ ???

B ．向量1(2,3)e =-，213,24e ??

=-

???

不能作为平面内所有向量的一组基底 C ．若//a b ，则a 在b 方向上的投影为||a

D ．非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60°

3．在ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 2sin c A =，且

02

C <<

π

，4b =，则以下说法正确的是（ ）

A ．3

C π

=

B ．若72

c =

，则1cos 7B =

C ．若sin 2cos sin A B C =，则ABC 是等边三角形

D ．若ABC 的面积是4

4．在ABC 中，AB =1AC =，6

B π

=，则角A 的可能取值为（ ）

A ．

6

π B ．

3

π C ．

23

π D ．

2

π 5．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）

A ．10,45,70b A C ==?=?

B ．45,48,60b c B ===?

C ．14,16,45a b A ===?

D ．7,5,80a b A ===?

6．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，不解三角形，确定下列判断错

误的是（ ）

A ．

B ＝60°，c ＝4，b ＝5，有两解 B ．B ＝60°，c ＝4，b ＝3.9，有一解

C ．B ＝60°，c ＝4，b ＝3，有一解

D ．B ＝60°，c ＝4，b ＝2，无解 7．在下列结论中，正确的有（ ）

A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合

B ．平行向量又称为共线向量

C ．两个相等向量的模相等

D ．两个相反向量的模相等

8．设a 、b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A ．若a b a b +=-，则存在实数λ使得λa b

B ．若a b ⊥，则a b a b +=-

C ．若a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影向量为a

D ．若存在实数λ使得λa

b ，则a b a b +=-

9．对于菱形ABCD ，给出下列各式，其中结论正确的为（ ） A ．AB BC =

B ．AB B

C =

C ．AB C

D AD BC -=+

D ．AD CD CD CB +=-

10．给出下面四个命题，其中是真命题的是（ ） A ．0AB

BA B ．AB BC AC C ．AB AC BC += D ．00AB +=

11．（多选）若1e ，2e 是平面α内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是（ ） A ．()12,e e λμλμ+∈R 可以表示平面α内的所有向量

B ．对于平面α中的任一向量a ，使12a e e λμ=+的实数λ，μ有无数多对

C ．1λ，1μ，2λ，2μ均为实数，且向量1112e e λμ+与2212e e λμ+共线，则有且只有一个实数λ，使()

11122122e e e e λμλλμ+=+

D ．若存在实数λ，μ，使120e e λμ+=，则0λμ== 12．下列命题中，正确的有（ ）

A ．向量A

B 与CD 是共线向量，则点A 、B 、

C 、

D 必在同一条直线上 B ．若sin tan 0αα?>且cos tan 0αα?<，则角2

α

为第二或第四象限角 C ．函数1

cos 2

y x =+

是周期函数，最小正周期是2π D ．ABC ?中，若tan tan 1A B ?<，则ABC ?为钝角三角形 13．设,a b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A ．若||||||a b a b +=-，则存在实数λ使得a b λ= B ．若a b ⊥，则||||a b a b +=-

C ．若||||||a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影为||b

D ．若存在实数λ使得a b λ=，则||||||a b a b +=-

14．点P 是ABC ?所在平面内一点,满足20PB PC PB PC PA --+-=,则ABC ?的形状不可能是( )

A ．钝角三角形

B ．直角三角形

C ．等腰三角形

D ．等边三角形

15．题目文件丢失！

二、平面向量及其应用选择题

16．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15?的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60?和30，第一排和最后一排的距离为102米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）

A ．

33

23

B ．

53

23

C ．

3

23

D ．

83

23

17．已知向量OA 与OB 的夹角为θ，2OA =，1OB =，=OP tOA ，

()1OQ t OB =-，PQ 在t t =0时取得最小值，则当01

05

t <<

时，夹角θ的取值范围为（ ） A ．0,3π?? ???

B ．,32ππ?? ???

C ．2,23ππ??

??

?

D ．20,

3π?? ???

18．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若

2a =，ABC 的面积为3(21)，则b c +=（ ）

A ．5

B ．2

C ．4

D ．16

19．在ABC 中，A ∠，B ，C ∠所对的边分别为a ，b ，c ，过C 作直线CD 与边

AB 相交于点D ，90C ∠=?，1CD =.当直线CD AB ⊥时，+a b 值为M ；当D 为边AB 的中点时，+a b 值为N .当a ，b 变化时，记{}max ,m M N =（即M 、N 中较大

的数），则m 的最小值为（ ） A ．M

B ．N

C ．22

D ．1

20．如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .现测得15BCD ∠=?，45BDC ∠=?，302CD m =，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30，则塔高AB 为( )

A ．302m B

．203m

C ．60m

D ．20m

21．已知点O 是ABC 内部一点，并且满足2350OA OB OC ++=，OAC 的面积为

1S ，ABC 的面积为2S ，则

1

2

S S = A ．310 B ．38

C ．

25

D ．

421 22．ABC ?内有一点O ，满足3450OA OB OC ++=，则OBC ?与ABC ?的面积之比为（ ） A ．1:4

B ．4:5

C ．2:3

D ．3:5

23．如图，在ABC 中，60,23,3C BC AC ?===

，点D 在边BC 上，且

27

sin 7

BAD ∠=

，则CD 等于（ ）

A 23

B 3

C 33

D 43

24．在ABC ?中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，P 为EF 上的任一点，实数x ，y 满足0PA xPB yPC ++=，设ABC ?、PBC ?、PCA ?、PAB ?的面积分别为S 、1S 、2S 、3S ，记

i

i S S

λ=（1,2,3i =），则23λλ?取到最大值时，2x y +的值为（ ） A ．－1

B ．1

C ．32

-

D ．

32

25．如图所示，在山底A 处测得山顶B 的仰角为45?，沿倾斜角为30的山坡向山顶走

1000米到达S 点，又测得山顶的仰角为75?，则山高BC =（ ）

A ．500米

B ．1500米

C ．1200米

D ．1000米

26．设ABC ?中BC 边上的中线为AD ，点O 满足2AO OD =，则OC =（ ）

A ．1233A

B A

C -

+ B ．

21

33AB AC - C ．1233

AB AC -

D ．21

33

AB AC -

+ 27．如图，四边形ABCD 是平行四边形，E 是BC 的中点，点F 在线段CD 上，且

2CF DF =，AE 与BF 交于点P ，若AP AE λ=，则λ=（ ）

A ．

3

4

B ．

58

C ．38

D ．

23

28．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若

()()(23)a b c a c b ac +++-=+，则cos sin A C +的取值范围为

A ．33)2

B ．3

(

3) C ．3(3]2

D ．3

(3)2

29．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =2c =，2

cos 3

A =

，则b= A 2B 3

C ．2

D ．3

30．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若

(),DE AB AD R λμλμ=+∈，则λμ?等于（ ）

A ．316

- B ．

316 C ．

12

D ．12

-

31．在ABC ?中，8AB =，6AC =，60A ∠=，M 为ABC ?的外心，若

AM AB AC λμ=+，λ、R μ∈，则43λμ+=（ ）

A ．

34

B ．

53

C ．

73

D ．

83

32．如图，在ABC 中，14AD AB →

→=，12

AE AC →→

=，BE 和CD 相交于点F ，则向量

AF →

等于（ ）

A ．1277A

B A

C →→

+

B ．1377AB A

C →→

+

C ．121414

AB AC →→

+ D ．131414

AB AC →→

+ 33．ABC 中，a ，b ，c 分别为A ∠，B ，C ∠的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，

30B ∠=?，ABC 的面积为3

2

，那么b 等于（ ）

A ．

13

2

B ．13

C ．

22

3

+ D ．23

34．在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别是,.a b c ，若cos 2a

B c

=，则ABC ?一定是（ ） A ．等腰三角形

B ．等边三角形

C ．直角三角形

D ．等腰直角三角形

35．在ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，它们交于点G ，则下列各等式中不正确．．．的是（ ） A ．2

3

BG BE =

B ．2CG GF =

C ．1

2

DG AG =

D ．0GA GB GC ++=

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、多选题 1．无 2．ACD 【分析】

由向量的数量积?向量的投影?基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解. 【详解】

对于A ，∵，，与的夹角为锐角， ∴ ，

且(时与的夹角为0)， 所以且，故A 错误； 对于B 解析：ACD 【分析】

由向量的数量积?向量的投影?基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解. 【详解】

对于A ，∵(1,2)a =，(1,1)b =，a 与a b λ+的夹角为锐角， ∴()(1,2)(1,2)a a b λλλ?+=?++

142350λλλ=+++=+>，

且0λ≠(0λ=时a 与a b λ+的夹角为0)， 所以5

3

λ>-

且0λ≠，故A 错误； 对于B ，向量12(2,3)4e e =-=，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B 正确；

对于C ，若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为||a ±，故C 错误； 对于D ，因为|||a a b =-∣，两边平方得||2b a b =?， 则2

2

3()||||2

a a

b a a b a ?+=+?=

， 222||()||2||3||a b a b a a b b a +=+=+?+=，

故2

3||()32cos ,||||3||a a a b a a b a a b a a ?+<+>===

+?∣， 而向量的夹角范围为[]0,180??， 得a 与a b

λ+的夹角为30°，故D 项错误. 故错误的选项为ACD 故选：ACD 【点睛】

本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及准确度要求比较高，中档题.

3．AC 【分析】

对于，利用正弦定理可将条件转化得到，即可求出； 对于，利用正弦定理可求得，进而可得；

对于，利用正弦定理条件可转化为，结合原题干条件可得，进而求得； 对于，根据三角形面积公式求得，利

解析：AC 【分析】

对于A 2sin sin A C A =，即可求出C

； 对于B ，利用正弦定理可求得sin B ，进而可得cos B ；

对于C

，利用正弦定理条件可转化为2cos a c B =，结合原题干条件可得B ，进而求得

A B C ==；

对于D ，根据三角形面积公式求得a

，利用余弦定理求得c ，进而由正弦定理求得R ． 【详解】

2sin c A =2sin sin A C A =， 因为sin 0A ≠，故sin

C =， 因为

(0,

)2

C π

∈，则3

C π

=

，故A 正确；

若72

c =，则由正弦定理可知sin sin c b C B =

，则4sin sin 72

b B C

c == 因为(0,)B π∈

，则1

cos 7

B =

±，故B 错误； 若sin 2cos sin

A B C =，根据正弦定理可得2cos a c B =，

2sin c A =，即sin a A =sin 2cos A c B =，所以sin A B =，

因为23A B C ππ+=-=，则23

A B π=

-

，故2sin()3B B π

-=，

1

sin 2B B B +=

，即1sin 2B B =，

解得tan B =3

B π

=，则3

A π

=

，

即3

A B C π

===

，所以ABC 是等边三角形，故C 正确； 若ABC

的面积是

1

sin 2

ab C =2a =， 由余弦定理可得2

2

2

1

2cos 416224122

c a b ab C =+-=+-???=

，即c = 设三角形的外接圆半径是R ，

由正弦定理可得24

sin c R C =

==，则该三角形外接圆半径为2，故D 错误， 故选：AC ． 【点睛】

本题考查正余弦定理的应用及同角三角函数的基本关系和两角和与差的三角公式，转化思想，计算能力，属于中档题．

4．AD 【分析】

由余弦定理得，解得或，分别讨论即可. 【详解】 由余弦定理，得， 即，解得或.

当时，此时为等腰三角形，，所以； 当时，，此时为直角三角形，所以. 故选：AD 【点睛】 本题考查余弦

解析：AD 【分析】

由余弦定理得2222cos AC BC BA BC BA B =+-??，解得1BC =或2BC =，分别讨论即可. 【详解】

由余弦定理，得2222cos AC BC BA BC BA B =+-??，

即21322

BC BC =+-，解得1BC =或2BC =. 当1BC =时，此时ABC 为等腰三角形，BC AC =，所以6

A B π

==

；

当2BC =时，222AB AC BC +=，此时ABC 为直角三角形，所以A =2

π. 故选：AD 【点睛】

本题考查余弦定理解三角形，考查学生分类讨论思想，数学运算能力，是一道容易题.

5．BC 【分析】

根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】

对于选项A 中：由，所以，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解； 对于选项B 中：因为，且，所以角有两

解析：BC 【分析】

根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】

对于选项A 中：由45,70A C =?=?，所以18065B A C =--=?，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解；

对于选项B 中：因为csin sin 115B C b =

=<，且c b >，所以角C 有两解；

对于选项C 中：因为sin sin 17

b A B a ==<，且b a >，所以角B 有两解； 对于选项D 中：因为sin sin 1b A

B a

=<，且b a <，所以角B 仅有一解. 故选：BC . 【点睛】

本题主要考查了三角形解得个数的判定，其中解答中熟记三角形解得个数的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

6．ABC

【分析】

根据判断三角形解的个数的结论：若为锐角，当时，三角形有唯一解；当时，三角形有两解；当时，三角形无解：当时，三角形有唯一解.逐个判断即可得解. 【详解】

对于，因为为锐角且，所以三角

解析：ABC

【分析】

根据判断三角形解的个数的结论：若B 为锐角，当c b <时，三角形有唯一解；当

sin c B b c <<时，三角形有两解；当sin c B b >时，三角形无解：当sin c B b =时，三角形有唯一解.逐个判断即可得解. 【详解】

对于A ，因为B 为锐角且45c b =<=，所以三角形ABC 有唯一解，故A 错误；

对于B ，因为B 为锐角且sin 4 3.92

c B b c =?==<，所以三角形ABC 有两解，故B 错误；

对于C ，因为B 为锐角且 sin 43c B b ==>=，所以三角形ABC 无解，故C 错误；

对于D ，因为B 为锐角且sin 42c B b ==>=，所以三角形ABC 无解，故D 正确. 故选：ABC. 【点睛】

本题考查了判断三角形解的个数的方法，属于基础题.

7．BCD 【分析】

根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案. 【详解】

A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；

B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确

解析：BCD 【分析】

根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案. 【详解】

A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；

B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确；

C. 相等向量方向相同，模相等，正确；

D. 相反向量方向相反，模相等，故正确； 故选：BCD 【点睛】

本题考查了向量的定义和性质，属于简单题.

8．AB 【分析】

根据向量模的三角不等式找出和的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利

用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】

当时，则、方向相反且，则存在负实数

解析：AB 【分析】

根据向量模的三角不等式找出a b a b +=-和a b a b +=+的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】

当a b a b +=-时，则a 、b 方向相反且a b ≥，则存在负实数λ，使得λa b ，A

选项正确，D 选项错误；

若a b a b +=+，则a 、b 方向相同，a 在b 方向上的投影向量为a ，C 选项错误； 若a b ⊥，则以a 、b 为邻边的平行四边形为矩形，且a b +和a b -是这个矩形的两条对角线长，则a b a b +=-，B 选项正确. 故选：AB. 【点睛】

本题考查平面向量线性运算相关的命题的判断，涉及平面向量模的三角不等式的应用，考查推理能力，属于中等题.

9．BCD 【分析】

由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解. 【详解】

菱形中向量与的方向是不同的，但它们的模是相等的， 所以B 结论正确，A 结论错误； 因为，，且， 所以，即C 结论正确； 因为，

解析：BCD 【分析】

由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解. 【详解】

菱形中向量AB 与BC 的方向是不同的，但它们的模是相等的， 所以B 结论正确，A 结论错误；

因为2AB CD AB DC AB -=+=，2AD BC BC +=，且AB BC =， 所以AB CD AD BC -=+，即C 结论正确；

+=+=，

因为AD CD BC CD BD

CD CB CD BC BD

-=+=，所以D结论正确.

||||

故选：BCD

【点睛】

本题主要考查了向量加法、减法的运算，菱形的性质，属于中档题.

10．AB

【解析】

【分析】

根据向量加法化简即可判断真假.

【详解】

因为，正确；

，由向量加法知正确；

，不满足加法运算法则，错误；

，所以错误.

故选：A B.

【点睛】

本题主要考查了向量加法的

解析：AB

【解析】

【分析】

根据向量加法化简即可判断真假.

【详解】

因为0

AB BA AB AB，正确；

AB BC AC，由向量加法知正确；

+=，不满足加法运算法则，错误；

AB AC BC

AB AB

+=，所以00

0,

+=错误.

AB

故选：A B.

【点睛】

本题主要考查了向量加法的运算，属于容易题.

11．BC

【分析】

由平面向量基本定理可判断出A、B、D正确与否，由向量共线定理可判断出C 正确与否.

【详解】

由平面向量基本定理，可知A，D说法正确，B说法不正确，

对于C ，当时，这样的有无数个，故C

解析：BC 【分析】

由平面向量基本定理可判断出A 、B 、D 正确与否，由向量共线定理可判断出C 正确与否. 【详解】

由平面向量基本定理，可知A ，D 说法正确，B 说法不正确，

对于C ，当12120λλμμ====时，这样的λ有无数个，故C 说法不正确. 故选：BC 【点睛】

若1e ，2e 是平面α内两个不共线的向量，则对于平面α中的任一向量a ，使

12a e e λμ=+的实数λ，μ存在且唯一. 12．BCD 【分析】

根据共线向量的定义判断A 选项的正误；根据题意判断出角的终边的位置，然后利用等分象限法可判断出角的终边的位置，进而判断B 选项的正误；利用图象法求出函数的最小正周期，可判断C 选项的正误

解析：BCD 【分析】

根据共线向量的定义判断A 选项的正误；根据题意判断出角α的终边的位置，然后利用等分象限法可判断出角

2

α

的终边的位置，进而判断B 选项的正误；利用图象法求出函数1

cos 2

y x =+

的最小正周期，可判断C 选项的正误；利用切化弦思想化简不等式tan tan 1A B ?<得出cos cos cos 0A B C <，进而可判断出选项D 的正误.综合可得出结论. 【详解】

对于A 选项，向量AB 与CD 共线，则//AB CD 或点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，A 选项错误；

对于B 选项，2sin sin tan 0cos α

ααα?=>，cos tan sin 0ααα?=<，所以sin 0cos 0αα

>?

， 则角α为第四象限角，如下图所示：

则

2

α

为第二或第四象限角，B 选项正确； 对于C 选项，作出函数1

cos 2

y x =+

的图象如下图所示：

由图象可知，函数1

cos 2

y x =+是周期函数，且最小正周期为2π，C 选项正确； 对于D 选项，

tan tan 1A B <，

()()cos cos sin sin cos cos sin sin 1tan tan 1cos cos cos cos cos cos cos cos A B C A B A B A B A B A B A B A B A B

π+--∴-=-===cos 0cos cos C

A B

=-

>，cos cos cos 0A B C ∴<，

对于任意三角形，必有两个角为锐角，则ABC ?的三个内角余弦值必有一个为负数， 则ABC ?为钝角三角形，D 选项正确. 故选：BCD. 【点睛】

本题考查三角函数、三角恒等变换与向量相关命题真假的判断，考查共线向量的定义、角的终边位置、三角函数的周期以及三角形形状的判断，考查推理能力，属于中等题.

13．AB 【分析】

若，则反向，从而； 若，则，从而可得；

若，则同向，在方向上的投影为

若存在实数使得，则共线，但是不一定成立. 【详解】

对于选项A ，若，则反向，由共线定理可得存在实数使得； 对于选

解析：AB 【分析】

若||||||a b a b +=-，则,a b 反向，从而a b λ=； 若a b ⊥，则0a b ?=，从而可得||||a b a b +=-；

若||||||a b a b +=+，则,a b 同向，a 在b 方向上的投影为||a

若存在实数λ使得a b λ=，则,a b 共线，但是||||||a b a b +=-不一定成立. 【详解】

对于选项A ，若||||||a b a b +=-，则,a b 反向，由共线定理可得存在实数λ使得

a b λ=；

对于选项B ，若a b ⊥，则0a b ?=，

222222||2,||2a b a a b b a b a a b b +=+?+-=-?+,可得||||a b a b +=-；

对于选项C ，若||||||a b a b +=+，则,a b 同向，a 在b 方向上的投影为||a ;

对于选项D ，若存在实数λ使得a b λ=，则,a b 共线，但是||||||a b a b +=-不一定成立. 故选：AB. 【点睛】

本题主要考查平面向量的性质及运算，明确向量的性质及运算规则是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.

14．AD 【解析】 【分析】

由条件可得，再两边平方即可得答案. 【详解】

∵P 是所在平面内一点，且， ∴， 即， ∴，

两边平方并化简得， ∴，

∴，则一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形， 故

解析：AD 【解析】 【分析】

由条件可得||||AB AC AC AB -=+，再两边平方即可得答案. 【详解】

∵P 是ABC ?所在平面内一点，且|||2|0PB PC PB PC PA --+-=， ∴|||()()|0CB PB PA PC PA --+-=， 即||||CB AC AB =+， ∴||||AB AC AC AB -=+， 两边平方并化简得0AC AB ?=， ∴AC AB ⊥，

∴90A ?∠=，则ABC ?一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形， 故不可能是钝角三角形，等边三角形， 故选：AD. 【点睛】

本题考查向量在几何中的应用，考查计算能力，是基础题.

15．无

二、平面向量及其应用选择题

16．B 【分析】

如解析中图形，可在HAB ?中，利用正弦定理求出HB ，然后在Rt HBO ?中求出直角边

HO 即旗杆的高度，最后可得速度． 【详解】

如图，由题意45,105HAB HBA ∠=?∠=?，∴30AHB ∠=?， 在HAB ?中，

sin sin HB AB HAB AHB =∠∠，即102

sin 45sin 30HB =

??

，20HB =． ∴sin 20sin 60103OH HB HBO =∠=?=，

10353

4623

v =

=

/秒）． 故选B ． 【点睛】

本题考查解三角形的应用，解题关键是掌握正弦定理和余弦定理，解题时要根据条件选用恰当的公式，适当注意各个公式适合的条件．

17．C 【解析】 【分析】

根据向量的数量积运算和向量的线性表示可得，

()()2

2

254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++，根据二次函数的最值可得出

012cos 54cos t θθ

+=

+，再由01

05t <<，可求得夹角θ的取值范围.

【详解】 因为2cos OA OB θ?=，()1PQ OQ OP t OB tOA =-=--，

()()22

254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++，

∵PQ 在t t =0时取得最小值，所以012cos 54cos t θθ

+=

+，又01

05t <<，则

12cos 1054cos 5

θθ+<

<+，得1

cos 02θ-<<，∵0θπ≤≤，

所以223ππθ<<，

故选：C. 【点睛】 本题考查向量的数量积运算和向量的线性表示，以及二次函数的最值和分式不等式的求解，关键在于由向量的模的平方等于向量的平方，得到关于角度的三角函数的不等式，属于中档题. 18．C 【分析】

根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得4

A π

=,再根据面积公式可求得6(2bc =,

再代入余弦定理求解即可. 【详解】

ABC 中,cos sin a B b A c +=,由正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=,

又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+,

∴sin sin cos sin B A A B =,又sin 0B ≠,∴sin A cos A =,∴tan 1A =,又(0,)A π∈,

∴4

A π

=

.∵1sin 1)24

ABC

S

bc A ===-,

∴bc =6(2,∵2a =,∴由余弦定理可得2

2

()22cos a b c bc bc A =+--,

∴2()4(2b c bc +=++4(26(216=++?-=,可得4b c +=.

故选：C 【点睛】

本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题. 19．C 【分析】

当直线CD AB ⊥时，由直角三角形的勾股定理和等面积法，可得出222+=a b c ，

1ab c =?，再由基本不等式可得出2c ≥，从而得出M 的范围.当D 为边AB 的中点时，

由直角三角形的斜边上的中线为斜边的一半和勾股定理可得2c =，2224a b c +==，由基本不等式可得出2ab ≤，从而得出N 的范围，可得选项. 【详解】

当直线CD AB ⊥时，因为90C ∠=?，1CD =，所以222+=a b c ，由等面积法得

1ab c =?，

因为有222a b ab +≥（当且仅当a b =时，取等号），即()2

2>0c c c ≥，所以2c ≥，

所以+M a b ==

=≥（当且仅当a b =时，取等号），

当D 为边AB 的中点时，因为90C ∠=?，1CD =，所以2c =，2224a b c +==， 因为有222a b ab +≥（当且仅当a b =时，取等号），即42ab ≥，所以2ab ≤，

所以+N a b ==

=≤（当且仅当a b =时，取等号），

当a ，b 变化时，记{}max ,m M N =（即M 、N 中较大的数），则m 的最小值为（此时，a b =）； 故选：C. 【点睛】

本题考查解直角三角形中的边的关系和基本不等式的应用，以及考查对新定义的理解，属于中档题. 20．D 【分析】

由正弦定理确定BC 的长，再tan30AB BC 求出AB ．

【详解】

15BCD ∠=?，45BDC ∠=?

120CBD

由正弦定理得：

sin120sin 45

BC

302sin 45203sin120

BC

3tan 30203

203

AB

BC

故选D

【点睛】

本题是正弦定理的实际应用，关键是利用正弦定理求出BC ，属于基础题． 21．A 【解析】

∵2350OA OB OC ++=，∴()()

23OA OC OB OC +=-+． 设AC 中点为M ，BC 中点为N ，则23OM ON =-, ∵MN 为ABC 的中位线，且

32

OM ON

=

， ∴3

613

225

54

10OAC

OMC

CMN

ABC ABC S

S

S

S S ??==?=?= ???

，即

12310

S S =．选A ． 22．A 【解析】

分析：由题意，在ABC ?内有一点O ，满足3450++=OA OB OC ，利用三角形的奔驰定理，即可求解结论．

详解：由题意，在ABC ?内有一点O ，满足3450++=OA OB OC ，

由奔驰定理可得::3:4:5BOC AOC BOA S S S ???=，所以:3:121:4BOC ABC S S ??==， 故选A ．

点睛：本题考查了向量的应用，对于向量的应用问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决． 23．A 【分析】

首先根据余弦定理求AB ，再判断ABC 的内角，并在ABD △和ADC 中，分别用正弦定理表示AD ，建立方程求DC 的值. 【详解】

222cos AB AC BC AC BC C =+-??

1

312232332

=+-??

=， 2223

cos 22323

AB BC AC B AB BC +-∴===

??? 又因为角B 是三角形的内角，所以6

B π

=

，

90BAC ∴∠=，

27sin BAD ∠=

，221

cos 1sin 7

BAD BAD ∴∠=-∠=，