高考数学平面向量及其应用专题复习(专题训练)doc
一、多选题
1.正方形ABCD 的边长为1,记AB a =,BC b =,AC c =,则下列结论正确的是
( )
A .()
0a b c -?= B .()
0a b c a +-?= C .()0a c b a --?=
D .2a b c ++=
2.已知在平面直角坐标系中,点()10,1P ,()24,4P .当P 是线段12PP 的一个三等分点
时,点P 的坐标为( ) A .4,23??
???
B .4,33??
???
C .()2,3
D .8,33?? ???
3.已知向量a =(2,1),b =(1,﹣1),c =(m ﹣2,﹣n ),其中m ,n 均为正数,且(a b -)∥c ,下列说法正确的是( ) A .a 与b 的夹角为钝角 B .向量a 在b 方向上的投影为5 C .2m +n =4 D .mn 的最大值为2
4.已知ABC ?是边长为2的等边三角形,D ,E 分别是AC 、AB 上的两点,且
AE EB =,2AD DC =,BD 与CE 交于点O ,则下列说法正确的是( )
A .1A
B CE ?=- B .0OE O
C +=
C .3OA OB OC ++=
D .ED 在BC 方向上的投影为
76
5.如图,在平行四边形ABCD 中,,E F 分别为线段,AD CD 的中点,AF CE G =,
则( )
A .12AF AD A
B =+
B .1
()2
EF AD AB =
+ C .21
33
AG AD AB =-
D .3BG GD =
6.在下列结论中,正确的有( )
A .若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合
B .平行向量又称为共线向量
C .两个相等向量的模相等
D .两个相反向量的模相等
7.设a 、b 、c 是任意的非零向量,则下列结论不正确的是( ) A .00a ?= B .()
()
a b c a b c ??=?? C .0a b a b ?=?⊥
D .(
)(
)
22
b b a b a a +-=?-
8.已知正三角形ABC 的边长为2,设2AB a =,BC b =,则下列结论正确的是( ) A .1a b +=
B .a b ⊥
C .()
4a b b +⊥
D .1a b ?=-
9.(多选)若1e ,2e 是平面α内两个不共线的向量,则下列说法不正确的是( ) A .()12,e e λμλμ+∈R 可以表示平面α内的所有向量
B .对于平面α中的任一向量a ,使12a e e λμ=+的实数λ,μ有无数多对
C .1λ,1μ,2λ,2μ均为实数,且向量1112e e λμ+与2212e e λμ+共线,则有且只有一个实数λ,使()
11122122e e e e λμλλμ+=+
D .若存在实数λ,μ,使120e e λμ+=,则0λμ== 10.已知实数m ,n 和向量a ,b ,下列说法中正确的是( ) A .()
m a b ma mb -=- B .()m n a ma na -=-
C .若ma mb =,则a b =
D .若()0ma na a =≠,则m n =
11.对于ABC ?,有如下判断,其中正确的判断是( ) A .若sin 2sin 2A B =,则ABC ?为等腰三角形 B .若A B >,则sin sin A B >
C .若8a =,10c =,60B ?=,则符合条件的ABC ?有两个
D .若222sin sin sin A B C +<,则ABC ?是钝角三角形
12.如图,46?的方格纸(小正方形的边长为1)中有一个向量OA (以图中的格点O 为起点,格点A 为终点),则( )
A .分别以图中的格点为起点和终点的向量中,与OA 是相反向量的共有11个
B .满足10OA OB -=B 共有3个
C .存在格点B ,C ,使得OA OB OC =+
D .满足1OA OB ?=的格点B 共有4个
13.已知ABC ?中,角A,B,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足,33
B a c b π
=+=,则
a
c
=( ) A .2
B .3
C .
12 D .
13
14.下列命题中正确的是( ) A .单位向量的模都相等
B .长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
C .若a 与b 满足a b >,且a 与b 同向,则a b >
D .两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同 15.下列说法中错误的是( )
A .向量A
B 与CD 是共线向量,则A ,B ,
C ,
D 四点必在一条直线上 B .零向量与零向量共线 C .若,a b b c ==,则a c =
D .温度含零上温度和零下温度,所以温度是向量
二、平面向量及其应用选择题
16.如图,四边形ABCD 是平行四边形,E 是BC 的中点,点F 在线段CD 上,且
2CF DF =,AE 与BF 交于点P ,若AP AE λ=,则λ=( )
A .
34
B .
58
C .38
D .
23
17.已知ABC 所在平面内的一点P 满足20PA PB PC ++=,则
::PAB PAC PBC S S S =△△△( )
A .1∶2∶3
B .1∶2∶1
C .2∶1∶1
D .1∶1∶2
18.已知向量OA 与OB 的夹角为θ,2OA =,1OB =,=OP tOA ,
()1OQ t OB =-,PQ 在t t =0时取得最小值,则当01
05
t <<
时,夹角θ的取值范围为( ) A .0,3π?? ???
B .,32ππ?? ???
C .2,23ππ??
??
?
D .20,
3π?? ???
19.设θ为两个非零向量,a b →→
的夹角,已知对任意实数t ,||b t a →
→
-的最小值为1,则( )
A .若θ确定,则||a →
唯一确定 B .若θ确定,则||b →
唯一确定 C .若||a →
确定,则θ唯一确定
D .若||b →
确定,则θ唯一确定
20.在ABC ?中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,若
sin cos sin a b c
A B B
===ABC ?的面积为( )
A .2
B .4
C
D .21.在ABC 中,A ∠,B ,C ∠所对的边分别为a ,b ,c ,过C 作直线CD 与边
AB 相交于点D ,90C ∠=?,1CD =.当直线CD AB ⊥时,+a b 值为M ;当D 为边AB 的中点时,+a b 值为N .当a ,b 变化时,记{}max ,m M N =(即M 、N 中较大
的数),则m 的最小值为( )
A .M
B .N
C .
D .1
22.在ABC ?中,D 为BC 中点,且1
2
AE ED =,若BE AB AC λμ=+,则λμ+=( ) A .1
B .23
-
C .13
-
D .34
-
23.在ABC ?中,设2
2
2AC AB AM BC -=?,则动点M 的轨迹必通过ABC ?的( ) A .垂心
B .内心
C .重心
D . 外心
24.若向量123,,OP OP OP ,满足条件1230
OP OP OP ++=,1231OP OP OP ===,则123PP P ?的形状是( )
A .等腰三角形
B .直角三角形
C .等边三角形
D .不能确定
25.在ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ,若1c =,45B =?,
3
cos 5
A =
,则b 等于( )
A .
35 B .
107
C .
57
D 26.题目文件丢失!
27.已知圆C 的方程为2
2
(1)(1)2x y -+-=,点P 在直线3y x
上,线段AB 为圆C
的直径,则PA PB ?的最小值为() A .2
B .
52
C .3
D .
72
28.在ABC 中,若 cos a b C =,则ABC 的形状是( ) A .直角三角形
B .等腰三角形
C .等腰直角三角形
D .等腰或直角三角形
29.设(),1A a ,()2,1B -,()4,5C 为坐标平面上三点,O 为坐标原点,若OA 与OB 在
OC 方向上的投影相同,则a =( )
A .12
-
B .
12
C .-2
D .2
30.在矩形ABCD 中,3,3,2AB BC BE EC ===,点F 在边CD 上,若
AB AF 3→→=,则AE BF
→→的值为( ) A .0
B .
83
C .-4
D .4
31.三角形ABC 的三边分别是,,a b c ,若4c =,3
C π
∠=
,且
sin sin()2sin 2C B A A +-=,则有如下四个结论:
①2a b = ②ABC ?的面积为
83
3
③ABC ?的周长为443+ ④ABC ?外接圆半径43
3
R =
这四个结论中一定成立的个数是( ) A .1个
B .2个
C .3个
D .4个
32.奔驰定理:已知O 是ABC ?内的一点,BOC ?,AOC ?,AOB ?的面积分别为A S ,
B S ,
C S ,则0A B C S OA S OB S OC ?+?+?=.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的
结论,因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedes benz )的logo 很相似,故形象地称其为“奔驰定理”若O 是锐角ABC ?内的一点,A ,B ,C 是ABC ?的三个内角,且点
O 满足OA OB OB OC OC OA ?=?=?,则必有( )
A .sin sin sin 0A OA
B OB
C OC ?+?+?= B .cos cos cos 0A OA B OB C OC ?+?+?= C .tan tan tan 0A OA B OB C OC ?+?+?=
D .sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ?+?+?=
33.已知1a b ==,1
2
a b ?=
,(),1c m m =-,(),1d n n =-(m ,n R ∈).存在a ,b ,对于任意实数m ,n ,不等式a c b d T -+-≥恒成立,则实数T 的取值范围为
( ) A .(
,32?-∞+?
B .)
32,?++∞?
C .(
,32?-∞-?
D .)
32,?-+∞?
34.如图,在直角梯形ABCD 中,22AB AD DC ==,E 为BC 边上一点,
BC 3EC =,F 为AE 的中点,则BF =( )
A .21
33AB AD - B .
12
33AB AD - C .21
33
AB AD -+ D .12
33
AB AD -
+ 35.已知ABC 的面积为30,且12
cos 13
A =,则A
B A
C ?等于( ) A .72
B .144
C .150
D .300
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一、多选题 1.ABC 【分析】
作出图形,利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A 、B 选项的正误;利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C 选项的正误;利用平面向量的加法法则可判断D 选项的正误. 【详解 解析:ABC 【分析】
作出图形,利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A 、B 选项的正误;利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C 选项的正误;利用平面向量的加法法则可判断D 选项的正误. 【详解】 如下图所示:
对于A 选项,四边形ABCD 为正方形,则BD AC ⊥,
a b AB BC AB AD DB -=-=-=,()
0a b c DB AC ∴-?=?=,A 选项正确;
对于B 选项,0a b c AB BC AC AC AC +-=+-=-=,则()
00a b c a a +-?=?=,B 选项正确;
对于C 选项,a c AB AC CB -=-=,则0a c b CB BC --=-=,则
()0a c b a --?=,C 选项正确;
对于D 选项,2a b c c ++=,222a b c c ∴++==,D 选项错误. 故选:ABC. 【点睛】
本题考查平面向量相关命题正误的判断,同时也考查了平面向量加、减法法则以及平面向量数量积的应用,考查计算能力,属于中等题.
2.AD 【分析】
设,则,然后分点P 靠近点,靠近点两种情况,利用平面向量的线性运算求解. 【详解】 设,则,
当点P 靠近点时,, 则, 解得, 所以,
当点P 靠近点时,, 则, 解得, 所以, 故选:
解析:AD 【分析】
设(),P x y ,则()()1
2,1,4,4=-=--PP x y PP x y ,然后分点P 靠近点1P ,靠近点2P 两
种情况,利用平面向量的线性运算求解. 【详解】
设(),P x y ,则()()1
2,1,4,4=-=--PP x y PP x y , 当点P 靠近点1P 时,121
2
PP
PP =, 则()()1421142x x y y ?=-????-=-??
,
解得432
x y ?=???=?,
所以4,23P ??
???
, 当点P 靠近点2P 时,12
2PP PP =, 则()()24124x x y y ?=-??-=-??
, 解得833x y ?=???=?,
所以8,33P ?? ???
, 故选:AD 【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算,还考查了运算求解的能力,属于基础题.
3.CD 【分析】
对于A ,利用平面向量的数量积运算判断;
对于B ,利用平面向量的投影定义判断;对于C ,利用()∥判断;对于D ,利用C 的结论,2m+n=4,结合基本不等式判断. 【详解】 对于A ,向量(
解析:CD 【分析】
对于A ,利用平面向量的数量积运算判断; 对于B ,利用平面向量的投影定义判断;对于C ,利用(a b -)∥c 判断;对于D ,利用C 的结论,2m +n =4,结合基本不等式判断. 【详解】
对于A,向量a=(2,1),b=(1,﹣1),则2110
a b?=-=>,则,a b的夹角为锐角,错误;
对于B,向量a=(2,1),b=(1,﹣1),则向量a在b方向上的投影为
2
2
a b
b
?
=,错
误;
对于C,向量a=(2,1),b=(1,﹣1),则a b
-=(1,2),若(a b
-)∥c,则(﹣n)=2(m ﹣2),变形可得2m+n=4,正确;
对于D,由C的结论,2m+n=4,而m,n均为正数,则有mn
1
2
= (2m?n)
1
2
≤
(2
2
m n
+
)2=2,即mn的最大值为2,正确;
故选:CD.
【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用,属于基础题.
4.BCD
【分析】
以E为原点建立平面直角坐标系,写出所有点的坐标求解即可.
【详解】
由题E为AB中点,则,
以E为原点,EA,EC分别为x轴,y轴正方向建立平面直角坐标系,如图所示:
所以,,
解析:BCD
【分析】
以E为原点建立平面直角坐标系,写出所有点的坐标求解即可.
【详解】
由题E为AB中点,则CE AB
⊥,
以E为原点,EA,EC分别为x轴,y轴正方向建立平面直角坐标系,如图所示:
所以,1(0,0),(1,0),(1,0),(,
)33
E A B C D -,
设1(0,),(1,),(,3O y y BO y DO y ∈==-,BO ∥DO ,
所以133y y -
=-,解得:2
y =
, 即O 是CE 中点,0OE OC +=,所以选项B 正确;
3
2OA OB OC OE OC OE ++=+==
,所以选项C 正确; 因为CE AB ⊥,0AB CE ?=,所以选项A 错误;
1
(,33
ED =,(1,BC =,
ED 在BC 方向上的投影为12
7326BC BC
ED +?==,所以选项D 正确.
故选:BCD 【点睛】
此题考查平面向量基本运算,可以选取一组基底表示出所求向量的关系,对于特殊图形可以考虑在适当位置建立直角坐标系,利于计算.
5.AB 【分析】
由向量的线性运算,结合其几何应用求得、、、,即可判断选项的正误 【详解】 ,即A 正确 ,即B 正确
连接AC ,知G 是△ADC 的中线交点, 如下图示
由其性质有 ∴,即C 错误 同理 ,
解析:AB 【分析】
由向量的线性运算,结合其几何应用求得12AF AD AB =+
、1
()2
EF AD AB =+、21
33
AG AD AB =
+、2BG GD =,即可判断选项的正误
【详解】
11
22
AF AD DF AD DC AD AB =+=+
=+,即A 正确 11
()()22
EF ED DF AD DC AD AB =+=+=+,即B 正确
连接AC ,知G 是△ADC 的中线交点, 如下图示
由其性质有||||1
||||2
GF GE AG CG == ∴211121
()333333
AG AE AC AD AB BC AD AB =
+=++=+,即C 错误 同理21212
()()33333BG BF BA BC CF BA AD AB =
+=++=- 211()333DG DF DA AB DA =+=+,即1
()3
GD AD AB =-
∴2BG GD =,即D 错误 故选:AB 【点睛】
本题考查了向量线性运算及其几何应用,其中结合了中线的性质:三角形中线的交点分中线为1:2,以及利用三点共线时,线外一点与三点的连线所得向量的线性关系
6.BCD 【分析】
根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案. 【详解】
A. 若两个向量相等,它们的起点和终点不一定不重合,故错误;
B. 平行向量又称为共线向量,根据平行向量定义知正确
解析:BCD 【分析】
根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案. 【详解】
A. 若两个向量相等,它们的起点和终点不一定不重合,故错误;
B. 平行向量又称为共线向量,根据平行向量定义知正确;
C. 相等向量方向相同,模相等,正确;
D. 相反向量方向相反,模相等,故正确;
故选:BCD 【点睛】
本题考查了向量的定义和性质,属于简单题.
7.AB 【分析】
利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误. 【详解】
对于A 选项,,A 选项错误;
对于B 选项,表示与共线的向量,表示与共线的向量,但与不一定共线,B 选项错误; 对于C 选项,
解析:AB 【分析】
利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误. 【详解】
对于A 选项,00a ?=,A 选项错误;
对于B 选项,()
a b c ??表示与c 共线的向量,()
a b c ??表示与a 共线的向量,但a 与c 不一定共线,B 选项错误;
对于C 选项,0a b a b ?=?⊥,C 选项正确;
对于D 选项,(
)()
2
2
22a b a b a b a b +?-=-=-,D 选项正确. 故选:AB. 【点睛】
本题考查平面向量数量积的应用,考查平面向量数量积的定义与运算律,考查计算能力与推理能力,属于基础题.
8.CD 【分析】
分析知,,与的夹角是,进而对四个选项逐个分析,可选出答案. 【详解】
分析知,,与的夹角是. 由,故B 错误,D 正确; 由,所以,故A 错误; 由,所以,故C 正确. 故选:CD 【点睛】
解析:CD 【分析】
分析知1a =,2=b ,a 与b 的夹角是120?,进而对四个选项逐个分析,可选出答案. 【详解】
分析知1a =,2=b ,a 与b 的夹角是120?.
由12cos12010a b ??=??=-≠,故B 错误,D 正确;
由()2
2
221243a b
a a
b b +=+?+=-+=,所以3a b +=,故A 错误; 由()()2
144440a b b a b b +?=?+=?-+=,所以()4a b b +⊥,故C 正确.
故选:CD 【点睛】
本题考查正三角形的性质,考查平面向量的数量积公式的应用,考查学生的计算求解能力,属于中档题.
9.BC 【分析】
由平面向量基本定理可判断出A 、B 、D 正确与否,由向量共线定理可判断出C 正确与否. 【详解】
由平面向量基本定理,可知A ,D 说法正确,B 说法不正确, 对于C ,当时,这样的有无数个,故C
解析:BC 【分析】
由平面向量基本定理可判断出A 、B 、D 正确与否,由向量共线定理可判断出C 正确与否. 【详解】
由平面向量基本定理,可知A ,D 说法正确,B 说法不正确,
对于C ,当12120λλμμ====时,这样的λ有无数个,故C 说法不正确. 故选:BC 【点睛】
若1e ,2e 是平面α内两个不共线的向量,则对于平面α中的任一向量a ,使
12a e e λμ=+的实数λ,μ存在且唯一. 10.ABD 【分析】
根据向量数乘运算判断AB 选项的正确性,通过的特殊情况判断C 选项的正确性,根据向量运算判断D 选项的正确性. 【详解】
根据向量数乘的运算可知A 和B 正确;C 中,当时,,但与不一定相等,
解析:ABD
【分析】
根据向量数乘运算判断AB 选项的正确性,通过m 的特殊情况判断C 选项的正确性,根据向量运算判断D 选项的正确性. 【详解】
根据向量数乘的运算可知A 和B 正确;C 中,当0m =时,0ma mb ==,但a 与b 不一定相等,故C 不正确;D 中,由ma na =,得()0m n a -=,因为0a ≠,所以m n =,故D 正确. 故选:ABD 【点睛】
本小题主要考查向量数乘运算,属于基础题.
11.BD 【分析】
对于A ,根据三角函数的倍角公式进行判断;对于B ,根据正弦定理即可判断证明;对于C ,利用余弦定理即可得解;对于D ,根据正弦定理去判断即可. 【详解】 在中,
对于A ,若,则或, 当A =
解析:BD 【分析】
对于A ,根据三角函数的倍角公式进行判断;对于B ,根据正弦定理即可判断证明;对于C ,利用余弦定理即可得解;对于D ,根据正弦定理去判断即可. 【详解】 在ABC ?中,
对于A ,若sin 2sin 2A B =,则22A B =或22A B π+=, 当A =B 时,△ABC 为等腰三角形; 当2
A B π
+=
时,△ABC 为直角三角形,故A 不正确,
对于B ,若A B >,则a b >,由正弦定理得sin sin a b A B
=,即sin sin A B >成立.故B 正确;
对于C ,由余弦定理可得:b C 错误; 对于D ,若222sin sin sin A B C +<,由正弦定理得222a b c +<,
∴222
cos 02a b c C ab
+-=<,∴C 为钝角,∴ABC ?是钝角三角形,故D 正确;
综上,正确的判断为选项B 和D .
故选:BD . 【点睛】
本题只有考查了正弦定理,余弦定理,三角函数的二倍角公式在解三角形中的综合应用,考查了转化思想,属于中档题.
12.BCD 【分析】
根据向量的定义及运算逐个分析选项,确定结果. 【详解】
解:分别以图中的格点为起点和终点的向量中,与是相反向量的共有 18个,故错,
以为原点建立平面直角坐标系,, 设,若, 所以
解析:BCD 【分析】
根据向量的定义及运算逐个分析选项,确定结果. 【详解】
解:分别以图中的格点为起点和终点的向量中,与OA 是相反向量的共有 18个,故A 错, 以O 为原点建立平面直角坐标系,()1,2A , 设(,)B m n ,若10OA OB -=,
所以22(1)(2)10m n -+-=,(33m -,22n -,且m Z ∈,)n Z ∈, 得(0,1)B -,(2,1)-,(2,1)-共三个,故B 正确. 当(1,0)B ,(0,2)C 时,使得OA OB OC =+,故C 正确.
若1OA OB ?=,则21m n +=,(33m -,22n -,且m Z ∈,)n Z ∈, 得(1,0)B ,(3,1)-,(1,1)-,(3,2)-共4个,故D 正确. 故选:BCD .
【点睛】
本题考查向量的定义,坐标运算,属于中档题.
13.AC 【分析】
将两边同时平方,可得一个关系式,再结合余弦定理可得结果. 【详解】 ∵, ∴①,
由余弦定理可得,②, 联立①②,可得, 即, 解得或. 故选:AC. 【点睛】
本题考查余弦定理的应
解析:AC 【分析】
将a c +=两边同时平方,可得一个关系式,再结合余弦定理可得结果. 【详解】
∵,3
B a c π
=
+=,
∴2
2
2
2
()23a c a c ac b +=++=①, 由余弦定理可得,2
2
22cos
3
a c ac
b π
+-=②,
联立①②,可得222520a ac c -+=,
即2
2520a a c c ????-+= ? ?????
, 解得
2a
c =或12a c =. 故选:AC. 【点睛】
本题考查余弦定理的应用,考查计算能力,是基础题.
14.AD 【分析】
利用向量的基本概念,判断各个选项是否正确,从而得出结论. 【详解】
单位向量的模均为1,故A 正确; 向量共线包括同向和反向,故B 不正确; 向量是矢量,不能比较大小,故C 不正确; 根据
解析:AD 【分析】
利用向量的基本概念,判断各个选项是否正确,从而得出结论. 【详解】
单位向量的模均为1,故A 正确; 向量共线包括同向和反向,故B 不正确; 向量是矢量,不能比较大小,故C 不正确; 根据相等向量的概念知,D 正确. 故选:AD 【点睛】
本题考查单位向量的定义、考查共线向量的定义、向量是矢量不能比较大小,属于基础题.
15.AD 【分析】
利用零向量,平行向量和共线向量的定义,判断各个选项是否正确,从而得出结论. 【详解】
向量与是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点不一定在一条直线上,故A 错误; 零向量与任一向量共线,故B
解析:AD 【分析】
利用零向量,平行向量和共线向量的定义,判断各个选项是否正确,从而得出结论. 【详解】
向量AB 与CD 是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点不一定在一条直线上,故A 错误; 零向量与任一向量共线,故B 正确; 若,a b b c ==,则a c =,故C 正确; 温度是数量,只有正负,没有方向,故D 错误. 故选:AD 【点睛】
本题考查零向量、单位向量的定义,平行向量和共线向量的定义,属于基础题.
二、平面向量及其应用选择题
16.A
【分析】
设出()()()
11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+,求得
()21
13
m AP AB m AD +=
+-,再利用向量相等求解即可. 【详解】 连接AF ,因为B ,P ,F 三点共线,
所以()()()
11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+, 因为2CF DF =,所以11
33
DF DC AB ==, 所以()21
13
m AP AB m AD +=
+-. 因为E 是BC 的中点, 所以11
22
AE AB BC AB AD =+
=+. 因为AP AE λ=, 所以
()211132m AB m AD AB AD λ+??+-=+ ???
, 则213
112m m λλ
+?=????-=??
,
解得3
4
λ=. 故选:A 【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算,考查了平面向量基本定理的应用,属于基础题. 17.B 【分析】
延长PB 至D ,可得出点P 是ADC 的重心,再根据重心的性质可得出结论。 【详解】
延长PB 至D ,使得2PD PB =,于是有0PA PD PC ++=,即点P 是ADC 的重心,依据重心的性质,有PAD PAC PDC S S S ==△△△.由B 是PD 的中点,得
::1:2:1PAB PAC PBC S S S =△△△.
故选:B 【点睛】
本题考查了三角形重心和向量的关系,主要是用向量表达重心的数量关系。另外本题是奔驰定理直接推导得出。
18.C 【解析】 【分析】
根据向量的数量积运算和向量的线性表示可得,
()()2
2
254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++,根据二次函数的最值可得出
012cos 54cos t θθ
+=
+,再由01
05t <<,可求得夹角θ的取值范围.
【详解】 因为2cos OA OB θ?=,()1PQ OQ OP t OB tOA =-=--,
()()22
254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++,
∵PQ 在t t =0时取得最小值,所以012cos 54cos t θθ
+=
+,又01
05t <<,则
12cos 1054cos 5
θθ+<
<+,得1
cos 02θ-<<,∵0θπ≤≤,
所以223ππθ<<,
故选:C. 【点睛】 本题考查向量的数量积运算和向量的线性表示,以及二次函数的最值和分式不等式的求解,关键在于由向量的模的平方等于向量的平方,得到关于角度的三角函数的不等式,属于中档题. 19.B 【分析】
2
2
22
||2b ta b a bt a t -=-?+,令2
22
()2f t b a bt a t =-?+,易得2cos b a b t a a
θ
?==
时,222min 2
44()()14a b a b f t a
-?==,即222
||cos 1b b θ-=,结合选项即可得到答案. 【详解】
2222||2b ta b a bt a t -=-?+,令222()2f t b a bt a t =-?+,因为t R ∈,
所以当2cos b a b t a a
θ
?==时,222min 2
44()()4a b a b f t a -?=,又||b t a →→-的最小值为1, 所以2
||b ta -的最小值也为1,即222
min
2
44()()14a b a b f t a
-?==,222||cos 1b b θ-=,
所以22
||sin 1(0)b b θ=≠,所以1sin b θ
=,故若θ确定,则||b →
唯一确定. 故选:B 【点睛】
本题考查向量的数量积、向量的模的计算,涉及到二次函数的最值,考查学生的数学运算求解能力,是一道容易题. 20.A 【分析】
首先由条件和正弦定理判断ABC 是等腰直角三角形,由三角形的性质可知直角三角形的外接圆的圆心在斜边的中点,所以由ABC 外接圆的半径可求得三角形的边长,再求面积. 【详解】 由正弦定理可知2sin sin sin a b c
r A B C
===
已知
sin cos sin a b c
A B B
===sin cos B B =和sin sin C B =, 所以45B =,45C =,所以ABC 是等腰直角三角形,
由条件可知ABC ,即等腰直角三角形的斜边长为
所以1
22
ABC
S
=?=. 故选:A 【点睛】
本题考查正弦定理判断三角形形状,重点考查直角三角形和外接圆的性质,属于基础题型. 21.C 【分析】
当直线CD AB ⊥时,由直角三角形的勾股定理和等面积法,可得出222+=a b c ,
1ab c =?,再由基本不等式可得出2c ≥,从而得出M 的范围.当D 为边AB 的中点时,
由直角三角形的斜边上的中线为斜边的一半和勾股定理可得2c =,2224a b c +==,由基本不等式可得出2ab ≤,从而得出N 的范围,可得选项. 【详解】
当直线CD AB ⊥时,因为90C ∠=?,1CD =,所以222+=a b c ,由等面积法得
1ab c =?,
因为有222a b ab +≥(当且仅当a b =时,取等号),即()2
2>0c c c ≥,所以2c ≥,
所以+M a b ==
=≥(当且仅当a b =时,取等号),
当D 为边AB 的中点时,因为90C ∠=?,1CD =,所以2c =,2224a b c +==, 因为有222a b ab +≥(当且仅当a b =时,取等号),即42ab ≥,所以2ab ≤,
高考数学平面向量专题卷(附答案)
高考数学平面向量专题卷(附答案) 一、单选题(共10题;共20分) 1.已知向量,则=() A. B. C. 4 D. 5 2.若向量,,若,则 A. B. 12 C. D. 3 3.已知平面向量,,且,则=() A. B. C. D. 4.已知平面向量、,满足,若,则向量、的夹角为() A. B. C. D. 5.在中,的中点为,的中点为,则() A. B. C. D. 6.已知平面向量不共线,且,,记与的夹角是,则最大时, () A. B. C. D. 7.在中,,AD是BC边上的高,则等于() A. 0 B. C. 2 D. 1 8.已知,则的取值范围是() A. [0,1] B. C. [1,2] D. [0,2] 9.已知向量,的夹角为,且,则的最小值为() A. B. C. 5 D. 10.已知椭圆:上的三点,,,斜率为负数的直线与轴交于,若原点是的重心,且与的面积之比为,则直线的斜率为()
A. B. C. D. 二、填空题(共8题;共8分) 11.在平面直角坐标系xOy中,已知A(0,﹣1),B(﹣3,﹣4)两点,若点C在∠AOB的平分线上,且 ,则点C的坐标是________. 12.已知单位圆上两点满足,点是单位圆上的动点,且,则 的取值范围为________. 13.已知正方形的边长为1,,,,则________. 14.在平面直角坐标系中,设是函数()的图象上任意一点,过点向直线 和轴作垂线,垂足分别是,,则________. 15.已知为锐角三角形,满足,外接圆的圆心为,半径为1,则的取值范围是________. 16.设是边长为的正六边形的边上的任意一点,长度为的线段是该正六边形外接圆的一条动弦,则的取值范围为________. 17.设的外接圆的圆心为,半径为2,且满足,则 的最小值为________. 18.如图,在中,,点,分别为的中点,若,,则 ________. 三、解答题(共6题;共60分) 19.的内角,,所对的边分别为,,.向量与平行.(Ⅰ)求; (Ⅱ)若,求的面积. 20.在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),已知点,点是曲线上任意一点,点为的中点,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.
高考数学平面向量试题汇编
高考数学平面向量试题汇编 已知O 是ABC △所在平面内一点,D 为BC 边中点,且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ,那么 ( A ) A.AO OD =u u u r u u u r B.2AO OD =u u u r u u u r C.3AO OD =u u u r u u u r D.2AO OD =u u u r u u u r (辽宁3) 若向量a 与b 不共线,0≠g a b ,且?? ??? g g a a c =a -b a b ,则向量a 与c 的夹角为( D ) A .0 B . π6 C . π3 D . π2 (辽宁6) 若函数()y f x =的图象按向量a 平移后,得到函数(1)2y f x =+-的图象,则向量a =( A ) A .(12)--, B .(12)-, C .(12)-, D .(12), (宁夏,海南4) 已知平面向量(11) (11)==-,,,a b ,则向量13 22 -=a b ( D ) A.(21)--, B.(21)-, C.(10)-, D.(12), (福建4) 对于向量,,a b c 和实数λ,下列命题中真命题是( B ) A .若=0g a b ,则0a =或0b = B .若λ0a =,则0λ=或=0a C .若2 2 =a b ,则=a b 或-a =b D .若g g a b =a c ,则b =c (湖北2)
将π2cos 36x y ??=+ ???的图象按向量π24?? =-- ??? ,a 平移,则平移后所得图象的解析式为 ( A ) A.π2cos 234x y ?? =+- ??? B.π2cos 234x y ?? =-+ ??? C.π2cos 2312x y ?? =-- ??? D.π2cos 2312x y ?? =++ ??? (湖北文9) 设(43)=,a , a 在 b 上的投影为2 ,b 在x 轴上的投影为2,且||14≤b ,则b 为( B ) A .(214), B .227? ?- ???, C .227??- ??? , D .(28), (湖南4) 设,a b 是非零向量,若函数()()()f x x x =+-g a b a b 的图象是一条直线,则必有( A ) A .⊥a b B .∥a b C .||||=a b D .||||≠a b (湖南文2) 若O E F ,,是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( B ) A .EF OF OE =+u u u r u u u r u u u r B .EF OF OE =-u u u r u u u r u u u r C .EF OF OE =-+u u u r u u u r u u u r D .EF OF O E =--u u u r u u u r u u u r (四川7) 设A {a ,1},B {2,b },C {4,5},为坐标平面上三点,O 为坐标原点,若方向 在与→ →→OC OB OA 上的投影相同,则a 与b 满足的关系式为 ( A ) (A)354=-b a (B)345=-b a (C)1454=+b a (D)1445=+b a (天津10) 设两个向量22 (2cos )λλα=+-,a 和sin 2 m m α? ?=+ ?? ? ,b ,其中m λα,,为实数.若2=a b ,则 m λ 的取值范围是( A ) A.[-6,1] B.[48], C.(-6,1] D.[-1,6] (浙江7)