傅里叶变换的性质
第三章傅里叶变换的性质.ppt
0
f (t)奇函数：X ()
f (t)sin tdt 2
f (t)sin tdt
0
X () 0
R() 0
可见，R()=R(- )为偶函数； X()= -X(- )为奇函数； 若 f (t)是实偶函数，F(j )=R() 必为实偶函数。 若 f (t)是实奇函数，F(j )=jX() 必为虚奇函数。
1 T
(t
T
)
F( j)
T
根据时域微分特性：
( j)2 F ( j) 1 e jT 2 1 e jT ,
0 2
T
TT
T
F(
j )
2
2T
(1
cosT )
4
2T
sin
2 (T
2
)
TSa2 (T
2
)
第三章第1讲
12
频域微分和积分特性
公式：
( jt)n f (t) F (n) ( j) f (0) (t) 1 f (t) F (1) ( j)
表明信号过延程时都了是t0在秒频并谱不搬会移改的变基其础频上谱完的成幅的度。，但是 使其相位变化了 - t0
频移特性： f (t)e j0 t F[ j( 0 )]
表明信号 f (t)乘以 e j0 t，等效于其频谱 F(j)沿频率右移 0
因为： cos 0 t
1 2
(e
j0 t
e
j0 t
)
sin
0t
1 2j
(e
j0 t
傅里叶变换及其应用
傅里叶变换及其应用傅里叶变换（Fourier Transform）是一种重要的数学工具和数学分析方法，广泛应用于信号处理、图像处理、通信系统、量子力学等领域。
通过将一个函数表示成一组正弦和余弦函数的叠加，傅里叶变换能够将时域中的信号转化为频域中的信号，从而使得复杂的信号处理问题变得更加简单。
本文将介绍傅里叶变换的原理、性质以及其在实际应用中的几个重要方面。
一、傅里叶变换的原理和基本定义傅里叶变换是将一个函数f(x)表示成指数函数的叠加的过程。
设f(x)在时域上是以周期T为基本周期的连续函数，那么其傅里叶变换F(k)在频域上将成为以1/T为基本周期的连续函数。
傅里叶变换的基本定义如下：F(k) = ∫[f(x) * e^(-i2πkx/T)]dx其中，i是虚数单位，k是频率变量。
通过这样的变换，我们可以将时域上的函数转换为频域上的函数，从而可以更加清晰地分析信号的频谱特征。
二、傅里叶变换的性质傅里叶变换具有一些重要的性质，这些性质使得傅里叶变换成为一种强大的工具。
1. 线性性质：傅里叶变换具有线性性质，即若f(x)和g(x)的傅里叶变换分别为F(k)和G(k)，则对应线性组合的傅里叶变换为aF(k) +bG(k)，其中a和b为常数。
2. 时移性质：若f(x)的傅里叶变换为F(k)，则f(x - a)的傅里叶变换为e^(-i2πak/T)F(k)，即时域上的平移将对频域上的函数进行相位调制。
3. 频移性质：若f(x)的傅里叶变换为F(k)，则e^(i2πax/T)f(x)的傅里叶变换为F(k - a)，即频域上的平移将对时域上的函数进行相位调制。
4. 尺度变换性质：若f(x)的傅里叶变换为F(k)，则f(ax)的傅里叶变换为1/|a|F(k/a)，即函数在时域上的尺度变换会对频域上的函数进行缩放。
5. 卷积定理：若f(x)和g(x)的傅里叶变换分别为F(k)和G(k)，则f(x) * g(x)的傅里叶变换为F(k)G(k)，即在频域上的乘积等于时域上的卷积。
傅里叶变换的性质
由于 满足绝对可积条件，其傅里叶变换不含冲激函数，故
10） 频谱如图 5.4-8(d)所示。
（5.4-
(a)
(b)
(c) 图 5.4-8 三角脉冲信号及其频谱 若傅里叶变换式对 求导，可得频域微分性质：
(d) （5.4-11）
例 5.4-6 利用频域微分性质求斜变函数 解
的傅里叶变换。
根据频域微分性质，有
4 傅里叶变换的性质
傅里叶变换建立了信号的时域与频域间的一般关系。实际上， 通过数学运算求解一个信号的傅里叶变换不是最终的目的，重要的是在信号分 析的理论研究与实际设计中能够了解当信号在时域进行某种运算后在频域将 发生何种变化，或反过来从频域的运算推测时域信号的变动。如果采用傅里叶 变换的基本性质求解复杂信号变换，不仅计算过程简单，而且物理概念清楚。
一、线性 傅里叶变换的线性性质包含齐次性与可加性，若
，
则
（5.4-1）
式中 、 为任意常数。
上面的结论可以容易地由傅里叶变换的定义式证明。即傅里 叶变换是一种线性运算，相加信号的频谱等于各个信号的频谱之和。
二、对偶性 若
则
如图 5.4-1 所示，其中
，
。
图 5.4-1 对偶性说明 证明 由逆傅里叶变换公式
（5.4-8）
图 5.4-7 符号函数及其频谱 利用常数 1 和符号函数的傅里叶变换，可求得阶跃函数的变换。由于
故有
（5.4-9）
阶跃函数的傅里叶变换在 处为
，在 处为
。
例 5.4-5 利用时域微分性质求图 5.4-8(a)所示三角脉冲 信号的傅里叶变换。
解 三角脉冲信号可表示为
对 求两次导数，波形如图 5.4-8(b)和(c)所示。根据微分性质得
傅里叶变换及其性质
αt
1
单边指数函数e-αt; (b) e-αt
的幅度谱
o
(b)
F(j) f(t)ejtdt etejtdt
01 02 e(j)t (j)
01j
1
ja rcta n
ea
a22
其振幅频谱及相位频谱分
解
别为
F ( ) 1
2 2
( ) arctan
例 2.4-3 求图 2.43(a)所示 双边指数 函数的频 谱函数。
02 或
2
B
2(rad/s)
1
Bf
(Hz)
周期信号的能量是无限的，而其平均功率是有界的， 因而周期信号是功率信号。为了方便，往往将周期信 号在1Ω电阻上消耗的平均功率定义为周期信号的功率。 显然，对于周期信号f(t)， 无论它是电压信号还是电
流信号，其平均功率均为 T
12 2
P f (t)dt 2.3.3 周期信号的功率T T2
( )
02
－
4
－
2
o
门函数； (b) 门函数的频谱；－ 4(c)－幅2 度谱； (d) 相位谱
o 2 4
2 4
－
(c)
(d )
f
(t)
e at
0
f (t)
例 2.4-2 求指数函数f(t)
的1频 谱 函 数 。 e－t (＞0)
o
t
(a)
t 0 ( 0)
t 0
图 2.4-2 单边指F(数)函数e-
性。
2.2 周期信号的连续时间傅里叶级数
f (t) Fnejnt
2.2.1 指数形式的傅里叶级数 n
满足Dirichlet条件的周期函数可以展成复指数形式的傅里叶级数:
信号分析与处理——傅里叶变换性质
信号分析与处理——傅里叶变换性质傅里叶变换是信号处理中常用的分析方法，通过将信号在频域上进行分解，可以获得信号的频谱信息，并对信号进行频谱分析，从而实现对信号的处理与改变。
傅里叶变换具有以下几个重要的性质，这些性质对于信号处理的理解和实际应用至关重要。
1.线性性质：傅里叶变换具有线性性质，即对于任意两个信号x(t)和y(t)，以及对应的傅里叶变换X(f)和Y(f)，有以下关系：a) 线性叠加：傅里叶变换对于信号的叠加是可线性的，即如果有h(t) = cx(t) + dy(t)，则H(f) = cX(f) + dY(f)。
b) 变换的线性组合：如果有z(t) = ax(t) + by(t)，则Z(f) =aX(f) + bY(f)。
这种线性性质为信号的分析和处理提供了很大的方便，可以通过分别对不同组成部分进行变换，再进行线性组合，得到最终的处理结果。
2. 平移性质：傅里叶变换具有平移性质，即如果一个信号x(t)的傅里叶变换为X(f)，则x(t - t0)的傅里叶变换为e^(-j2πft0)X(f)，其中t0为平移的时间。
这意味着信号在时域上的平移将对应于频域上的相位变化，而频域上的平移则对应于时域上的相位变化。
4.卷积定理：傅里叶变换还具有卷积定理，即信号的卷积在频域上等于信号的傅里叶变换之积。
具体来说，如果两个信号x(t)和h(t)的傅里叶变换分别为X(f)和H(f)，则它们的卷积y(t)=x(t)*h(t)的傅里叶变换为Y(f)=X(f)×H(f)。
这个性质在实际的信号处理中有着重要的应用。
通过将两个信号在时域上的卷积转化为频域上的乘法操作，可以方便地进行信号处理的设计和实现。
5. Parseval定理：傅里叶变换还具有Parseval定理，即信号的能量在时域和频域上是相等的。
具体来说，如果信号x(t)的傅里叶变换为X(f)，则有∫，x(t)，^2dt = ∫，X(f)，^2df。
这个性质意味着通过傅里叶变换可以实现信号的能量分析和功率谱估计，从而对信号的能量进行定量的测量。
傅里叶变换性质及常见函数傅里叶变换总结,表格打印版
（为虚、奇函数）
7
奇偶性
（为实、偶函数）
（为实、偶函数）
（为实、奇函数）
（为虚、奇函数）
8
尺度展缩
，
9
时域延迟
，
10
频移
▲初值：
（条件:）
（条件:）
（条件： ）
11
时域微分
▲ 函数的性质
·
·
＊
＊
·
·
＊ ；
＊
·
·
＊
＊
·
12
时域积分
பைடு நூலகம்13
频域微分
14
频域积分
15
时域卷积
16
频域卷积
17
时域抽烟
序号
性质名称
▲信号功率:
（直流分量+各次谐波分量）
▲能量信号:
1.一个信号只能是功率信号或
能量信号二者之一,但也可
以两者都不是。
2.直流信号与周期信号为功率
信号；收敛和有界的非周期
信号为能量信号。
3.功率信号能量为∞,能量信
号功率为0.
1
唯一性
2
齐次性
3
叠加性
4
线性
5
折叠性
6
对称性
（一般函数）
（为实、偶函数）
18
频域抽样
常用时间信号傅里叶变换
常用非周期信号的傅里叶变换
周期信号的傅里叶变换
序号
↔
1
1
↔
2
↔
3
单位直流信号1
↔
4
5
6
一般周期信号
↔
其中
或,
或 ，
常用的傅里叶变换
常用的傅里叶变换1. 引言傅里叶变换是一种重要的数学工具，用于将一个函数或信号从时域转换到频域。
它在信号处理、图像处理、通信等领域广泛应用。
本文将介绍傅里叶变换的基本概念、性质和常见应用。
2. 傅里叶级数傅里叶级数是傅里叶变换的基础，它将周期函数表示为一系列正弦和余弦函数的和。
对于周期为T 的函数f(t)，其傅里叶级数表示为：f (t )=a 0+∑(a n cos (2πnt T )+b n sin (2πnt T ))∞n=1 其中，a 0、a n 和b n 是系数，可以通过函数f(t)在一个周期内的积分得到。
傅里叶级数展开了周期函数在频域上的频谱分布。
3. 傅里叶变换傅里叶变换是将非周期函数表示为连续频谱的一种方法。
对于函数f(t)，其傅里叶变换表示为：F (ω)=∫f ∞−∞(t )e −jωt dt其中，F (ω)是函数f(t)的频谱，ω是频率。
傅里叶变换的逆变换为：f (t )=12π∫F ∞−∞(ω)e jωt dω 傅里叶变换将函数从时域转换到频域，可以将信号分解为不同频率的成分，从而方便分析和处理。
4. 傅里叶变换的性质傅里叶变换具有许多重要的性质，其中一些常用的性质包括：•线性性质：傅里叶变换是线性的，即对于常数a 和b ，有F(af (t )+bf (t ))=aF(f (t ))+bF(g (t ))。
• 平移性质：如果f (t )的傅里叶变换为F (ω)，那么f (t −t 0)的傅里叶变换为e −jωt 0F (ω)。
•尺度性质：如果f(t)的傅里叶变换为F(ω)，那么f(at)的傅里叶变换为1 |a|F(ωa)。
•对称性质：如果f(t)是实函数，并且其傅里叶变换为F(ω)，那么F(−ω)为F(ω)的共轭。
这些性质使得傅里叶变换更加灵活和方便，在实际应用中能够简化计算和分析过程。
5. 傅里叶变换的应用傅里叶变换在信号处理、图像处理、通信等领域有广泛的应用。
以下是一些常见的应用：•频谱分析：傅里叶变换可以将信号从时域转换到频域，可以分析信号的频谱分布，帮助理解信号的频率成分和特征。
傅里叶变换的性质课件
c n
1 T0
T0
2 T0
2
f ( t ) e j d0 t t d
c n
1 2
f ( t ) e j td td
F ( ) f ( t ) e j t d t
cn
1 2
F ( )d
(4―22) (4―23) (4―24) (4―25)
现将信号f(t)的傅里叶级数展开式重写如下
1sin2ft]
n
n1,3,5,
4.2 信号的频谱
4.2.1 信号频谱 上一节我们指出,信号可分解为傅里叶级数,即信号
可由系列复数指数函数加权之和构成。一般我们称这 里的复数指数函数ejnΩt为n次谐波,在该函数上所加的权 为谐波的振幅,nΩ为谐波的角频率,可以说所有的信号均 是由系列角频率不同的谐波叠加而成的(角频率可简称 为频率）。
0
t
(a)
F()
2
1
－ 0
(b)
图4.8 双边指数信号及其频谱
例4―6 求单位直流信号的频谱。
解 幅度为1的单位直流信号可表示为
f(t)=1,-∞<t<∞
(4―44)
它可以看作是双边指数信号在α取极限趋近0时的 一个特例,即
1limetu(t), 0 0
[1]
[limet 0
u(t)]
lim[et
4.2.4 常见信号的频谱分析举例 例4―2求冲激信号δ(t)的频谱。 解 由频谱函数的定义式（4―28）有
F() (t)ejtdt 1
(t) 1
(4―34) (4―35)
(t)
(1)
0 (a)
F()
1
t
0
(b)
傅里叶变换性质
四．尺度变换性质
第 9
页
若f
(t)
F (),则f
at
1 a
F a
, a为非零实常数
意义
(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。 (2) a>1 时域压缩，频域扩展a倍。
(3) a 1 f t f t, F F 。
X
第
(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。
10
页
f t
F
E
E
o t
2
0
F
0
通信中调制与解调，频分复用。
X
七．微分性质
第 16
页
时域微分性质
f (t) F()，则f (t) jF()
频域微分性质
若f (t) F( ), 则tf (t) jd F d
d F
jtf (t)
d
jt n
f
(t)
dn F
d n
或
t n f (t) jn F n
X
1．时域微分
1、f(t)是实函数
实函数傅里叶变换的幅度谱和相位谱分别为偶、 奇函数
若f(t)是实偶函数，F(ω)必为ω的实偶函数
F f ( t )e j t d t
20 f ( t )cost d t
若f(t)是实奇函数，F(ω)必为ω的虚奇函数
F
f
(
t
)e
j
t
d
t
2 j f ( t )sint d t
0
X
第
2、 f(t)是虚函数
7 页
令 f t jgt
F jgt e jt dt
jgt cos( t )dt gt sin( t )dt
傅里叶变换的性质与应用
傅里叶变换的性质与应用傅里叶变换（Fourier Transform）是一种在信号和图像处理领域中广泛应用的数学工具。
它通过将一个函数表示为一系列正弦和余弦函数的线性组合来描述时域和频域之间的关系。
在本文中，我们将探讨傅里叶变换的性质以及其在各个领域中的应用。
一、傅里叶变换的性质1. 线性性质傅里叶变换具有线性性质，即对于任意常数a和b以及函数f（t）和g（t），有以下等式成立：F（af（t） + bg（t））= aF（f（t））+ bF（g（t））其中F（f（t））表示对函数f（t）进行傅里叶变换后得到的频域函数。
2. 对称性质傅里叶变换具有一系列对称性质。
其中最为重要的对称性质为奇偶对称性。
当函数f（t）为实函数并满足奇偶对称时，其傅里叶变换具有如下关系：F（-t）= F（t）（偶对称函数）F（-t）= -F（t）（奇对称函数）3. 尺度变换性质傅里叶变换可以对函数的尺度进行变换。
对于函数f（a * t）的傅里叶变换后得到的频域函数为F（w / a），其中a为正数。
二、傅里叶变换的应用1. 信号处理傅里叶变换在信号处理中被广泛应用。
它可以将时域信号转换为频域信号，使得信号的频率成分更加明确。
通过傅里叶变换，我们可以分析和处理各种信号，例如音频信号、图像信号和视频信号等。
在音频领域中，傅里叶变换可以用于音乐频谱分析、滤波器设计和音频压缩等方面。
在图像处理领域中，傅里叶变换可以用于图像增强、图像去噪和图像压缩等方面。
2. 通信系统傅里叶变换在通信系统中具有重要的应用。
通过傅里叶变换，我们可以将信号转换为频域信号，并根据频域特性进行信号调制和解调。
傅里叶变换可以用于调制解调器的设计、信道估计和信号的频谱分析等方面。
在无线通信系统中，傅里叶变换也广泛应用于OFDM（正交频分复用）技术，以提高信号传输效率和抗干扰性能。
3. 图像处理傅里叶变换在图像处理中有广泛的应用。
通过将图像转换到频域，我们可以对图像进行滤波、增强和去噪等操作。
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所以
df (t ) ↔ jΩF (Ω ) dt
同理，可推广到高阶导数的傅里叶变换 df n (t ) ( )n ( )
dt
n
↔ jΩ F Ω
式中 jΩ 是微分因子。 6、时域积分特性 、 傅里叶变换的时域积分特性表示为 若 f (t ) ↔ F (Ω ) 则 y (t ) = ∫−∞
t
1 f (τ )dτ ↔ Y (Ω ) = πF (0)δ (Ω ) + F (Ω ) jΩ
f 1 (t ) 的振幅、相位频谱函数、如图2-16所示。
F (Ω)
τ
Ω
−
4π
τ
−
2π
0
2π
τ
τ
2π
4π
τ
4π
…
− 4π
τ τ
− 2π
τ
τ
0
Ω
…
3、频移性 、 傅里叶变换的频移(调制)特性表示为 若 f (t ) ↔ F (Ω )
f (t )e jΩ0t ↔ F (Ω − Ω 0 ) 则
证：
∫
∞
−∞
∞
利用积分特性可以简化由折线组成的信号频谱的求解。
例2-6 求如图2-21(a)所示 f (t ) 的频谱函数 F (Ω )。
f (t )
E
−τ / 2
0
τ /2
t
（a）
解：
2 E 1 − t = τ f (t) 0
t < t >
τ τ
2 2
2E / τ f1 (t ) = f ′(t ) = − 2 E / τ
a > 0 令 at = x ， 则 dt = (1 / a )dx ， t = x / a 代入上式
Ω
F [ f (at )]
−j x 1 ∞ = ∫ f ( x )e a dx a −∞
1 Ω = F a a
a < 0 令 at = x ， 则 dt = (1 / a )dx ， t = x / a 代入上式
特别地，当 F (0) = 0 时
y (t ) = ∫
t −∞
1 f (τ )dτ ↔ Y (Ω ) = F (Ω ) jΩ
∞
证： F
[ y (t )] = ∫−∞
=∫
=∫
=∫
∞
t f (τ )dτ e − jΩt dt ∫−∞
∞
−∞
∞ f (τ )u (t − τ )dτ e − jΩt dt ∫−∞
dt
df (t ) ↔ jΩF (Ω ) dt
证： df (t ) =
1 = 2π
∞
∞ 1 d jΩt ∫ F (Ω )e dΩ 2π dt −∞
d F (Ω ) e jΩt dΩ dt
交换微、积分运算次序
−∞
∫
1 = 2π
−∞
∫
∞
jΩF (Ω )e jΩt dΩ
时延（移位）性说明波形在时间轴上时延，不改变信号 振幅频谱，仅使信号增加一 − Ωt0 线性相位。
例2.3-1 求如图2-15所示信号 f 1 (t ) 的频谱函数 F1 (Ω )， 并作频谱图。 解
f 1 (t ) 与门函数的关系为
f1 (t ) = Ef t − τ
f 1 (t )
(
) 2
E
由上节门函数的变换
因为 F1 (0 ) = F2 (0 ) = 0 1 F2 (Ω ) 最后 F (Ω ) = 2 ( jΩ)
1 8E 2 Ωτ Eτ 2 Ωτ = 2⋅ sin = Sa Ω τ 4 2 4
7、频域微分特性 、 傅里叶变换的频域微分特性表示为 若
f (t ) ↔ F (Ω )
− 4π
2π
2π
τ
τ
0
τ
4π
τ
Ω
Ω0 >> 2π /τ
F (Ω)
Aτ / 2
− Ω0
0
Ω0
Ω
4、尺度变换 、 傅里叶变换的尺度变换特性表示为 若 则
f (t ) ↔ F (Ω )
1 Ω f (at ) ↔ F a a
−∞
a≠0
证： F [ f (at )] = ∞ f (at )e − jΩt dt ∫
f (t ) ↔ F (Ω ) = τSa Ωτ
0
τ
t
(
) 2
−j Ωτ 2
再由线性与时移性，得到
F1 (Ω ) = EF (Ω )e − jΩt0 = EτSa (Ωτ 2 )e
F1 (Ω ) = E F (Ω ) = Eτ Sa Ωτ
(
) 2
ϕ 1 (Ω ) = ϕ (Ω ) − Ωτ / 2
2π
−τ / 2 0 τ / 2 f (t / 2 )
t
τ
τ
0
τ
4π
Ω
A
2 Aτ
−
2F (2Ω)
π τ
τ
π τ
−τ
0
τ
t
f (2t )
−
2π
τ
0
2π
Ω
τ
(1/ 2)F (Ω / 2)
−τ / 4 0 τ / 4
t
−
4π
Aτ / 2
0
4π
τ
τ
Ω
5、时域微分特性 、 傅里叶变换的时域微分特性表示为 若 f (t ) ↔ F (Ω ) 则
∞
−∞
∞ u (t − τ )e − jΩt dt dτ f (τ ) ∫ −∞
−∞
1 − jΩτ f (τ )πδ (Ω ) + dτ e jΩ
=∫
∞
−∞
f (τ )πδ (Ω )e
− jΩτ
dτ + ∫−∞
∞
1 − jΩτ f (τ ) e dτ jΩ
则
Aτ = 2 其中 Ω0 >> 2π /τ
1 F (Ω ) = [F1 (Ω − Ω 0 ) + F1 (Ω + Ω 0 )] 2
(Ω + Ω 0 )τ (Ω − Ω 0 )τ + Sa Sa 2 2
F1 (Ω ) 以及 F (Ω ) 如图2-19所示。
F1 (Ω)
Aτ
−
−π / 2
Ω0
Ω
例2-5 求如图2.-18所示 f ( t ) 的 F (Ω ) 并作图。
A
f (t )
−
τ
2
τ
-A
2
t
解
图2.3-4
令 f1 (t ) = Agτ (t ) ， f (t ) = f1 (t ) cosΩ0t
Ω0 >> 2π /τ
F1 (Ω ) = AτSa (Ωτ / 2 )
这正是调制解调过程中频谱搬移情况，所以这一性质 也称调制特性。
例2-4 求 f (t ) = cos Ω 0 t ⋅ u (t ) 的频谱函数，并画出频谱 图。
1 ，利用频移性 解： 已知 u (t ) ↔ πδ (Ω ) + jΩ cos Ω 0tu(t ) ↔
π
1 1 [δ (Ω + Ω0 ) + δ (Ω − Ω 0 )] + + 2 2 j (Ω + Ω 0 ) 2 j (Ω − Ω 0 )
a 可以理解为信号波形压缩（扩展） 倍，信号随时间
变化加快（慢）a 倍，所以信号所包含的频率分量增加 （减少）a 倍，频谱展宽（压缩） a 倍。又因能量守 恒原理，各频率分量分量的大小减小（增加）a 倍。 图2-20表示了矩形脉冲及频谱的展缩情况。
A
f (t )
Aτ
− − 4π 2π
Ωτ F (Ω) = AτSa 2
jΩ = [δ (Ω + Ω 0 ) + δ (Ω − Ω 0 )] + 2 2 Ω0 − Ω2
π
f (t ) 的波形以及频谱如图2-17所示。
图2-17 例2-4的波形及振幅、相位频谱 f (t ) F (Ω) 1
0 -1
t
(π / 2)
− Ω0
(π / 2)
0
Ω0
Ω
ϕ (Ω)
π /2
− Ω0
0
§2.3傅里叶变换性质及定理 傅里叶变换性质及定理 傅氏变换揭示了信号时间特性与频率特性之间的联系。 信号可以在时域中用时间函数 f ( t ) 表示，亦可以在频域 中用频谱密度函数 F (Ω ) 表示；只要其中一个确定，另一 个随之确定，两者是一一对应的。在实际的信号分析 中，往往还需要对信号的时、频特性之间的对应关系、 变换规律有更深入、具体的了解。例如我们希望清楚， 当一个信号在时域中发生了某些变化，会引起频域中 的什么样变化？反之亦然。除了明白信号时频之间的 内在联系，我们也希望能简化变换的运算，为此对傅 氏变换基本性质及定理进行讨论就非常重要。
= a∫
∞ −∞
f1 (t )e
− jΩt
dt + b ∫
∞
−∞
f 2 (t )e − jΩt dt = aF1 (Ω ) + bF2 (Ω )
利用傅氏变换的线性特性，可以将待求信号分解为若干 基本信号之和。
2. 时延（时移、移位）性 时延（时移、移位） 傅里叶变换的时延（移位）特性表示为 若 则 证：
f (t ) ↔ F (Ω )
f1 (t ) = f (t − t0 ) ↔ F1 (Ω ) = F (Ω )e − jΩt0
∫
∞
−∞
f (t − t0 )e − jΩt dt = ∫