厦门大学06高数期中考试试卷
高等数学期中A考卷及答案海大
专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 微分学的中心概念是（）A. 极限B. 导数C. 微分D. 积分2. 函数f(x)在x=a处可导，那么f'(a)等于（）A. f(a)的值B. f(x)在x=a处的斜率C. f(a)的极限D. f(a)的平均变化率3.下列函数中，奇函数是（）A. f(x) = x²B. f(x) = x³C. f(x) = cos(x)D. f(x) = e^x4. 不定积分∫(1/x)dx的结果是（）A. ln|x| + CB. x + CC. 1/x + CD. e^x + C5. 多元函数f(x, y)的偏导数f_x表示（）A. 仅对x求导B. 对x和y同时求导C. x和y的乘积求导D. f对x的积分二、判断题（每题1分，共5分）1. 极限存在的充分必要条件是左极限和右极限相等。
（）2. 一切初等函数在其定义域内都可导。
（）3. 若函数f(x)在区间[a, b]上单调增加，则f'(x)≥0。
（）4. 二重积分可以转化为累次积分。
（）5. 泰勒公式是麦克劳林公式的推广。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 函数f(x)在点x=a处的极限为______，记作______。
2. 若f(x) = 3x² 5x + 2，则f'(x) =______。
3. 不定积分∫sin(x)dx的结果是______。
4. 二重积分∬D dA表示______的面积。
5. 泰勒公式中，f(n)(a)表示______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述导数的定义。
2. 解释什么是函数的极值。
3. 简述定积分的基本思想。
4. 举例说明如何应用微分方程解决实际问题。
5. 简述多元函数求导的基本法则。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 求函数f(x) = x²e^x的导数。
2. 计算定积分∫(从0到π) sin(x)dx。
厦门大学09-10学年第一学期《高等代数》半期考试卷
3) 记 e1, e2 , e3 为 3 维列向量，则与 3 阶行列式 e1,e 2 , e3 等值的行列式是____. D
A) e1, 2e1 + e 2 , e1 + 3e 2 - e3 ；
B) e 3,e 2 ,e1 ；
C) e1 + e 2 ,e 2 + e3, e3 + e1 ；
D) e 3 - e 2 ,e1 - e3, e3 .
4
参考答案——0910 学年第一学期厦门大学《高等代数》期中试卷
同理由 B¢B = I ，知| B |= ±1。又因为| A |= - | B | ，所以| A || B |= -1 。而
| A + B |=| A + AA¢B |=| A || I + A¢B |=| A || B¢B + A¢B |=| A || B¢ + A¢ || B |= - | B¢ + A¢ |= - | A + B |
A
=
n( n -1)
( -1) 2
æçè1 -
n i=2
1ö i ÷ø
n!。
常见错误： (1) 漏掉符号或者弄错符号。 (2) 用归纳法时，递推式错误。注：此题用归纳较为复杂。
四、 (15 分) 设 A = I - xx ¢ ，其中x 为 n 维非零列向量，x ¢ 是x 的转置，证明：
1） A2 = A 的充要条件是x ¢x = 1 ； 2） 当x ¢x = 1 时， A 是奇异的，即 A 是不可逆的。 证明：1） A2 = (I -xx ¢)(I - xx ¢) = I - 2xx ¢ + x (x ¢x )x ¢ ，记x ¢x = a ，则 A2 = I - (2 - a)xx ¢ 。 充分性：若x ¢x = 1 ，即 a = 1 ，则 A2 = I - xx ¢ = A 。 必要性：若 A2 = A ，则 (2 - a)xx ¢ = xx ¢ 。又x 为 n 维非零列向量，于是xx ¢ ¹ 0 ，因此 2 - a = 1，即 a = xx ¢ = 1。 2)（方法一）（09 级 马晴 等）由 1）知，当x ¢x = 1 时 A2 = A 。若 A 可逆，则 A = I ，从而xx ¢ = 0 ， 与x 为 n 维非零列向量矛盾。因此 A 是奇异的。 （方法二）（08 级转专业 郑光辉）当x ¢x = 1 时，Ax = (I - xx ¢)x = x - x (x ¢x ) = x - x = 0 ，由于x 为 n 维非零列向量，因此| A |= 0 ，即 A 是奇异的. （方法三）（09 级 尹浩宇 等）由于| A |=| I - xx ¢ |=|1- x ¢x |= 0 ，因此 A 是奇异的。 常见错误：对长方阵x 求行列式或逆等。
(整理)厦门大学年下学期高等数学期中考试卷及答案
-------------1. (10分) 求抛物线2=2y x与其上一点1(,1)2A 处的法线围成的平面图形的面积. 解：先求出抛物线2=2y x 在点1(,1)2A 处的法线方程.2=1=11()=12y y dx d y dydy =， ---------2分 所求的法线方程为11=(1)()2y x ---，即3=2y x -. ---------3分则法线与抛物线的两个交点分别为19(,1)(3)22-，， ---------2分于是所围平面图形的面积为112233-33131116[()]d =()=222263S y y y y y y -=----⎰. ---------3分 2. (10分) 半径为R (单位为：米)的半球形水池充满了水(单位为：吨)，要把池内的水全部吸尽，需作多少功？解：取坐标系如图，考察区间[,+d ]x x x 所对应的 小薄层，此薄层水重为22()d R x x π-(吨)，将此层 水提高到水池外面的距离是x ，因此所作的微功为22d ()d W R x x x π=-， ---------6要将水池内的水全部吸尽，所作的总功为22401()d 4R W R x x x R ππ=-=⎰(吨.米) ---------4分 3. (10分) 某战斗机型在机场降落时，为了缩短滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开降落伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下。
现有一质量为9000kg(公斤)的飞机，着陆时的水平速度为700km/h （千米/时）.假设减速伞厦门大学《高等数学》课程 期中试卷答案 (2011.4.16)主考教师：理工类教学组 试卷类型：（A 卷）打开后飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k=6.0⨯106 kg/h).问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？解：由题设知 m=9000 kg ，着陆时的水平速度0=700v km/h ，从飞机接触跑道开始计时，设t 时刻飞机滑行的距离为x(t )，速度为v(t )。
(完整版)高等数学(A)06-07下期中试卷参考答案及评分标准
高等数学(A) 06-07-3期中试卷参考答案及评分标准•填空题(本题共5小题，每小题4分，满分20分)1 .曲线xyz 1在点(1,1,1)处的切线方程为y 1 M ;x y 2 32.方程xyz x2y2、2所确定的函数z z(x, y)在点(1,0, 1)处的全微分为dz dx 2dy ；交换二次积分的积分次序0i d y21 yf (x, y)dx2 01 dx 1 x f(X,y)dy ;4. 设曲线C : x cost, y sin t, z 、3,0 t ，则c '■■■ x2 y2 z2ds5. 设曲面：x1，则b(x y)ds 加.二.单项选择题(本题共4小题，每小题4分，满分16分)6•设f(z) 2xy i x2那么D] (A) f (z)在原点解析(B)f(Z)在复平面上处处不可导(C) f (z)仅在原点可导(D) f (z)仅在实轴上可导cos7.二次积分df( cos ,sin )d可以写成1 (A) o dy1 (C) °dxy y21f(x, y)dyf(x, y)dx1 / y2(B) 0dy 0 f(x, y)dx1 4 X X2(D)0dx 0 f(x, y)dy&设由3x2y2乙z 1 x2所围成,f(x,y,z)dv C]1 (A) 4 2dx0 』1 4x2 1 x2dy3x2 y2f (x, y,z)dz (B)12 "dxi! 4x2R dy1 x23x2 y2f (x, y,z)dz1 (C) 21 dx2 -h4x2 1 x21 4x2 dy 3x2 y2 f (x, y, z)dz (D) 1 4x2—3x21 x2y2f(x, y, z)dz2x y9.函数f (x,y) x4 y2x2 x2(A )连续且偏导数存在y2y2在(0, 0)点处(B)连续但偏导数不存在24(C )不连续但偏导数存在 (D )不连续且偏导数不存在三.计算下列各题(本题共5小题，每小题8分，满分40分)10.设 f (x,y),g(x,y)有连续的二阶偏导数，令(x) f(x,g(x,x 2))，求dx11.求函数u z 2、. x 2 2y 2在点M 0 1,1,1处沿曲面2方向上的方向导数•.6 ,6 - 1 2 26 3 33 3 3f (i).解dx 1f2 © 2xg 2)(3 分)d 2 dx 21122f 12 (g 1 2xg 2) f 22 © 2xg 2) f 2 (g1124xg 12 4x g 22 2g ?) (5 分)u(M 。
高等数学期中A考卷及答案海大
专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 微分学的中心概念是（）。
A. 极限B. 导数C. 微分D. 积分A. f(x) = |x|B. f(x) = x^2 + 1C. f(x) = 1/xD. f(x) =√x3. 不定积分∫(1/x)dx的结果是（）。
A. ln|x| + CB. x + CC. x^2/2 + CD. e^x + C4. 多元函数f(x, y) = x^2 + y^2在点(1, 1)处的偏导数f_x'是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 35. 线性方程组Ax=b有唯一解的条件是（）。
A. A为满秩矩阵B. A为方阵C. A为可逆矩阵D. A为零矩阵二、判断题（每题1分，共5分）1. 极限存在的充分必要条件是左极限等于右极限。
（）2. 任何连续函数都一定可导。
（）3. 二重积分可以转换为累次积分。
（）4. 拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广。
（）5. 两个矩阵的乘积一定是方阵。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 函数f(x) = e^x在x=0处的导数f'(0)等于______。
2. 若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则该函数在该区间上______。
3. 微分方程y'' y = 0的通解是______。
4. 矩阵A的行列式记作______。
5. 向量组线性相关的充分必要条件是______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 请简要说明罗尔定理的内容。
2. 什么是函数的极值？如何求函数的极值？3. 简述泰勒公式的意义。
4. 什么是特征值和特征向量？5. 简述空间解析几何中直线的方程。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 计算极限lim(x→0) (sin x)/x。
2. 求函数f(x) = x^3 3x的导数。
3. 计算不定积分∫(cos x)dx。
4. 求解微分方程y' = 2x。
5. 计算二重积分∬D (x^2 + y^2) dxdy，其中D是由x轴，y轴和直线x+y=1围成的区域。
06-07(2)高数期中试卷
厦门大学《高等数学 A 》课程试卷________ 学院 _______ 系 ________ 年级 _______ 专业 主考教师：高数A 组 试卷类型：（A 卷）2007.04.21、选择题（每小题4分，共16 分） 1 .点M 1,1,1关于平面:x y z 1的对称点是1 1 1 11 1 C )3, 3,3 ； ( )_3, _3,「32 .函数u In x 2 y 2 Z 2 在点 M 1,2, 处的方向导数的最大值是（A ） 2；3 .设f x 为连续函数,(B ) 23；t t 1dy y fx dx ，(A) 2f 2 ; (B ) f(C )(D ) 0。
4.设平面闭区域D2x, y x2a ,x y,D ix, yy 2 a 2,0 y x ,则xy D sin xcosy dxdy(C ) 4 xy sin xcosy dxdy ;(B ) D 12 xydxdy ；D 12 sin xcosydxdy ;D 1(D)二、填空题（每小题 4分，共16分） 1 .设 a b c 0, a2 , c 3，贝S a b+b c+c a=2 .由曲线In x In y 1所围成的平面图形的面积为3 .设 f x, y, zxcosy ycosz zcosx贝廿jf1 cosx cos y cosz '0,0,04 .设 D x,y2 2max x , y0 x 1,0 y 1，贝y I e dxdy(A ) 1,3,1三、计算题（第1题一一第5题每题8分，第6题10分）1 .求直线L:- - y三」在平面:x y 2z 1 0上的投影直线L o的方程，并求1 1 1L o绕y轴旋转一周所成的曲面方程。
2 .设z f xy,x g y，其中f u,v具有二阶连续偏导数，g w具有二阶连续y x2 导数，求—, z。
x x y3 .设z xf x y和F x,y,z 0确定y y x , z z x ,其中f具有一阶连续导数，F有一阶连续偏导数，求字。
厦门大学10-11学年第二学期《高等代数》半期考试卷参考答案
a ¹ 0 。必
2
1011 学年第二学期厦门大学《高等代数》期中试卷参考答案
3) 设 f ( x ) = x + 4 x + 5 x + 3 ， 则____是以 f ( x ) 的根的倒数为根的四次多项式。 3 x + 5 x + 4 x + 1 （不唯一，可相差非零常数倍）
且 p( x) | f ( x ) g ( x ) ，证明： p( x) | f ( x ) 且 p( x) | g ( x ) 。 证明：因 p( x ) 是数域 K 上的不可约多项式且 p( x) | f ( x ) g ( x ) ，所以 p( x) | f ( x ) 或者 p( x) | g ( x ) 。若
① x 2 + p （其中 p 是素数） ； A) 3，1； C) 2，1； 3)
设 f ( x ) 是数域 K 上的非零多项式， p( x ) 是 K 上不可约多项式。如果存在复数 c ，使得
f (c ) = p (c) = 0 ，则____。B
A) f ( x) | p ( x ) ； C) f ( x) = p( x) ； 4) B) p( x) | f ( x ) ； D) f ( x) = ap( x )( a ¹ 0) 。
厦门大学《高等代数》课程试卷
数学科学学院 各 系 2010 年级 各 专业
1011 学年第二学期厦门大学《高等代数》期中试卷参考答案
主考教师：杜妮、林鹭 试卷类型： （A 卷）
2011.3.31
一、 单选题（32 分. 共 8 题, 每题 4 分）
1) 设 ( f ( x ), g ( x )) = 1 ， ( f ( x ), h( x )) = 1 ，则____未必互素。D B) f ( x ) 与 f ( x ) + g 2 ( x ) ； D) f ( x ) 与 g ( x ) + h( x) 。
福建省厦门六中2016届高三上学期期中数学试卷(理科)Word版含解析
2015-2016学年福建省厦门六中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分）1．复数（i是虚数单位）的模等于( )A． B．10 C．D．52．设全集U是实数集R，M={x|x＜﹣2或x＞2}，N={x|x2﹣4x+3＜0}，则图中阴影部分所表示的集合是( )A．{x|﹣2≤x＜1} B．{x|﹣2≤x≤2} C．{x|1＜x≤2} D．{x|x＜2}3．sin2•cos3•tan4的值是( )A．正数 B．负数 C．零D．无法确定4．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的x值是( )A．3 B．4 C．6 D．85．设a=cos2°﹣sin2°，b=，c=，则有( )A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b6．数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+1•a n=nλ（λ为常数，n∈N*），则a4等于( )A．1 B．2 C．3 D．47．已知，则A⊂B的充要条件是( )A．（，+∞）B．0＜a＜C．0＜a≤1 D．a＞l8．已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3•a9=2a52，a2=1，则a1=( ) A．B．C．D．29．若两个非零向量满足|+|+|﹣|=2||，则向量与的夹角为( ) A．B．C．D．10．已知数列{a n}满足a2=102，a n+1﹣a n=4n，（n∈N*），则数列的最小值是( ) A．25 B．26 C．27 D．2811．将函数y=f（x）的图象先向左平移个单位，然后向上平移1个单位，得到函数y=2cos2x的图象，则f（x﹣）是( )A．﹣sin2x B．﹣2cosx C．2sinx D．2cosx12．已知定义在R上的函数f（x）满足①f（x）+f（2﹣x）=0，②f（x）﹣f（﹣2﹣x）=0，③在[﹣1，1]上表达式为，f（x）=则函数f（x）与函数g（x）=的图象在区间[﹣3，3]上的交点个数为( )A．5 B．6 C．7 D．8二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若（2x+）dx=3+ln2（a＞1），则a的值是__________．14．若，则cos2θ=__________．15．数列{a n}的通项公式，其前n项和，则n=__________．16．给出下列五个命题：①函数f（x）=lnx﹣2+x在区间（1，e）上存在零点；②若f′（x0）=0，则函数y=f（x）在x=x0处取得极值；③“a=1”是“函数在定义域上是奇函数”的充分不必要条件．④函数y=f（1+x）的图象与函数y=f（1﹣x）的图象关于y轴对称；⑤满足条件AC=，AB=1的三角形△ABC有两个．其中正确命题的是__________．三．解答题（本大题有6小题，共70分；解答应写出文字说明与演算步骤）17．已知{a n}为等差数列，且满足a1+a3=8，a2+a4=12．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记{a n}的前n项和为S n，若a3，a k+1，S k成等比数列，求正整数k的值．18．已知函数，．（1）若，求函数f（x）的值；（2）求函数f（x）的值域．19．已知海岛B在海岛A的北偏东45°方向上，A、B相距10海里，小船甲从海岛B以2海里/小时的速度沿直线向海岛A移动，同时小船乙从海岛A出发沿北偏15°方向也以2海里/小时的速度移动（Ⅰ）经过1小时后，甲、乙两小船相距多少海里？（Ⅱ）在航行过程中，小船甲是否可能处于小船乙的正东方向？若可能，请求出所需时间，若不可能，请说明理由．20．已知等差数列{a n}满足：a n+1＞a n（n∈N*），a1=1，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列{b n}的前三项．（Ⅰ）分别求数列{a n}，{b n}的通项公式a n，b n；（Ⅱ）设，若恒成立，求c 的最小值．21．设函数y=f（x）在（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在（a，b）上的导函数为f″（x），若在（a，b）上，f″（x）＜0恒成立，则称函数f（x）在（a，b）上为“凸函数”．已知．（Ⅰ）若f（x）为区间（﹣1，3）上的“凸函数”，试确定实数m的值；（Ⅱ）若当实数m满足|m|≤2时，函数f（x）在（a，b）上总为“凸函数”，求b﹣a的最大值．【选修4-4：坐标系与参数方程】22．在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（t为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系下，圆C2的方程为ρ=﹣2cosθ+2sinθ．（Ⅰ）求直线C1的普通方程和圆C2的圆心的极坐标；（Ⅱ）设直线C1和圆C2的交点为A，B，求弦AB的长．【选修4-5：不等式选讲】23．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．2015-2016学年福建省厦门六中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分）1．复数（i是虚数单位）的模等于( )A． B．10 C．D．5【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】首先将复数化简为a+bi的形式，然后求模．【解答】解：=1+=3+i，故模为；故选：A．【点评】本题考查了复数的混合运算以及复数模的求法；属于基础题．2．设全集U是实数集R，M={x|x＜﹣2或x＞2}，N={x|x2﹣4x+3＜0}，则图中阴影部分所表示的集合是( )A．{x|﹣2≤x＜1} B．{x|﹣2≤x≤2} C．{x|1＜x≤2} D．{x|x＜2}【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【专题】计算题．【分析】由韦恩图表示集合的方法，分析图形中表示的阴影部分表示的几何意义，我们不难分析出阴影部分表示集合（C U M）∩N，然后结合M={x|x＜﹣2或x＞2}，N={x|x2﹣4x+3＜0}，我们不难求出阴影部分所表示的集合．【解答】解：由图知，阴影部分表示集合（C U M）∩N，由于M={x|x＜﹣2或x＞2}，∴C U M={x|﹣2≤x≤2}，N={x|1＜x＜3}，所以（C U M）∩N={x|1＜x≤2}．故选C【点评】韦恩图是分析集合关系时，最常借助的工具，其特点是直观，要分析韦恩图分析阴影部分表示的集合，要先分析阴影部分的性质，先用自然语言将其描述出来，再根据集合运算的定义，将共转化为集合语言，再去利用集合运算的方法，对其进行变形和化简．3．sin2•cos3•tan4的值是( )A．正数 B．负数 C．零D．无法确定【考点】三角函数值的符号．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】判断出角2、3、4的范围，然后由三角函数的象限符号得答案．【解答】解：∵，∴sin2＞0，cos3＜0，∵π＜4＜，∴tan4＞0．∴sin2•cos3•tan4＜0．故选：B．【点评】本题考查了三角函数值的符号，关键是判断出角的范围，是基础题．4．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的x值是( )A．3 B．4 C．6 D．8【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，k的值，当s=103时，不满足条件s ＜100，退出循环，x=8，输出x的值为8．【解答】解：执行程序框图，可得k=1，s=1满足条件s＜100，s=4，k=2；满足条件s＜100，s=22，k=3；满足条件s＜100，s=103，k=4；不满足条件s＜100，退出循环，x=8，输出x的值为8．故选：D．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，准确判断退出循环时k的值是解题的关键，属于基础题．5．设a=cos2°﹣sin2°，b=，c=，则有( )A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【考点】二倍角的正切．【专题】三角函数的求值．【分析】由两角差的正弦公式求a，由二倍角的正切公式求b，由二倍角的正弦公式求c，即可根据正弦函数的单调性和三角函数线的知识比较大小．【解答】解：∵a=cos2°﹣sin2°=sin（30°﹣2°）=sin28°，b==tan（14°+14°）=tan28°，c===sin25°，∵正弦函数在（0°，90°）是单调递增的，∴c＜a．又∵在（0°，90°）内，正切线大于正弦线，∴a＜b．故选：D．【点评】本题主要考查了两角差的正弦公式，二倍角的正切公式，二倍角的正弦公式，正弦函数的单调性和三角函数线的知识应用，属于基础题．6．数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+1•a n=nλ（λ为常数，n∈N*），则a4等于( )A．1 B．2 C．3 D．4【考点】数列递推式．【专题】计算题．【分析】根据题中已知条件先求出λ的值，然后根据a n+1•a n=2n求出a3的值，即可求得a4的值．【解答】解：由题意可知；a1=1，a2=2，a n+1•a n=nλ，则：a2•a1=2×1=λ，∴a n+1•a n=2n，故a3•a2=2×2=4，解得a3=2，a4•a3=2×3=6，解得a4=3，故选C．【点评】本题主要考查了由递推公式推导数列的通项公式，是高考的热点，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，属于基础题．7．已知，则A⊂B的充要条件是( )A．（，+∞）B．0＜a＜C．0＜a≤1 D．a＞l【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；集合．【分析】化简集合A，B，利用A⊂B，即可得出结论．【解答】解：由题意，2x﹣1≥0，∴x≥0；x2+lga≥lga，A⊂B时，lga≤0，∴0＜a≤1．故选：C．【点评】本题考查集合的包含关系，考查学生的计算能力，比较基础．8．已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3•a9=2a52，a2=1，则a1=( )A．B．C．D．2【考点】等比数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】设等比数列的公比为q，根据等比数列的通项公式把a3•a9=2a25化简得到关于q的方程，由此数列的公比为正数求出q的值，然后根据等比数列的性质，由等比q的值和a2=1即可求出a1的值．【解答】解：设公比为q，由已知得a1q2•a1q8=2（a1q4）2，即q2=2，又因为等比数列{a n}的公比为正数，所以q=，故a1=．故选B．【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的性质及等比数列的通项公式化简求值，是一道中档题．9．若两个非零向量满足|+|+|﹣|=2||，则向量与的夹角为( )A．B．C．D．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】平面向量及应用．【分析】将满足|+|+|﹣|=2||，将各项平方转化，能得=0，=3，利用夹角余弦公式计算，注意等量代换．【解答】解：由已知得由①得出=0，将②展开并代入整理得：=3，∴（）•（）==2，cosθ===所求夹角是，故选B【点评】本题考查向量的数量积、模、夹角的运算，本题的关键是将已知转化，得出的两条关系，在解题过程中进行等量代换．属于中档题．10．已知数列{a n}满足a2=102，a n+1﹣a n=4n，（n∈N*），则数列的最小值是( )A．25 B．26 C．27 D．28【考点】数列递推式；数列的函数特性．【专题】综合题；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】利用累加法可求得a n，表示出后利用基本不等式可求得其最小值，注意求通项时验证n=1的情形．【解答】解：由a n+1﹣a n=4n得，a3﹣a2=8，a4﹣a3=12，a5﹣a4=16，…，a n﹣a n﹣1=4（n﹣1），以上各式相加得，a n﹣a2=，所以a n=102+（n﹣2）（2n+2）（n≥2），而a2﹣a1=4，所以a1=a2﹣4=98，适合上式，故a n=102+（n﹣2）（2n+2）（n∈N*），=﹣2=26，当且仅当即n=7时取等号，所以数列的最小值是26，故选B．【点评】本题考查由数列递推式求数列通项、基本不等式求最值，考查学生综合运用知识解决问题的能力．11．将函数y=f（x）的图象先向左平移个单位，然后向上平移1个单位，得到函数y=2cos2x的图象，则f（x﹣）是( )A．﹣sin2x B．﹣2cosx C．2sinx D．2cosx【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；导数的运算．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；三角函数的图像与性质．【分析】由函数图象平移结合倍角公式可得f（x+）=cos2x，利用换元法求出f（x），则f（x﹣）可求．【解答】解：由题意可得，f（x+）+1=2cos2x，∴f（x+）=2cos2x﹣1=cos2x，令x+=t，则x=t﹣，∴f（t）=cos（2t﹣）=sin2t，即f（x）=sin2x，∴f（x﹣）=sin（2x﹣7π）=﹣sin2x．故选：A．【点评】本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象变换，训练了函数解析式的求法，是基础题．12．已知定义在R上的函数f（x）满足①f（x）+f（2﹣x）=0，②f（x）﹣f（﹣2﹣x）=0，③在[﹣1，1]上表达式为，f（x）=则函数f（x）与函数g（x）=的图象在区间[﹣3，3]上的交点个数为( )A．5 B．6 C．7 D．8【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】先根据①②知函数的对称中心和对称轴，再分别画出f（x）和g（x）的部分图象，由图象观察交点的个数．【解答】解：∵①f（x）+f（2﹣x）=0，②f（x）﹣f（﹣2﹣x）=0，∴f（x）图象的对称中心为（1，0），f（x）图象的对称轴为x=﹣1，结合③画出f（x）和g（x）的部分图象，如图所示，据此可知f（x）与g（x）的图象在[﹣3，3]上有6个交点．故选B．【点评】本题借助分段函数考查函数的周期性、对称性以及函数图象交点个数等问题，属于中档题．二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若（2x+）dx=3+ln2（a＞1），则a的值是2．【考点】微积分基本定理．【专题】计算题．【分析】根据题意找出2x+的原函数，然后根据积分运算法则，两边进行计算，求出a值；【解答】解：=（x2+lnx）=a2+lna﹣（1+ln1）=3+ln2，a＞1，∴a2+lna=4+ln2=22+ln2，解得a=2，故答案为：2；【点评】此题主要考查定积分的计算，解题的关键是找到被积函数的原函数，此题是一道基础题．14．若，则cos2θ=．【考点】诱导公式的作用；二倍角的余弦．【分析】由sin（α+）=cosα及cos2α=2cos2α﹣1解之即可．【解答】解：由可知，，而．故答案为：﹣．【点评】本题考查诱导公式及二倍角公式的应用．15．数列{a n}的通项公式，其前n项和，则n=30．【考点】数列的求和．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】将通项化简，再利用叠加法，即可求得结论．【解答】解：∵，∴∴S n=a1+a2+…+a n=++…+=∵，∴∴n=30故答案为：30【点评】本题考查数列的求和，考查叠加法的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．16．给出下列五个命题：①函数f（x）=lnx﹣2+x在区间（1，e）上存在零点；②若f′（x0）=0，则函数y=f（x）在x=x0处取得极值；③“a=1”是“函数在定义域上是奇函数”的充分不必要条件．④函数y=f（1+x）的图象与函数y=f（1﹣x）的图象关于y轴对称；⑤满足条件AC=，AB=1的三角形△ABC有两个．其中正确命题的是①③④．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】探究型．【分析】①利用根的存在性定理进行判断．②利用函数极值和导数之间的关系进行判断．③利用函数的奇偶性性的定义和充分条件和必要条件进行判断．④利用函数的对称性进行判断．④利用正弦定理或余弦定理进行判断．【解答】解：①f（x）=lnx﹣2+x在区间[1，e]上单调递增，且f（1）=1﹣2=﹣1＜0．f（e）=lne﹣2+e=e﹣2+1=e﹣1＞0，所以根据根的存在性定理可知在（1，e）上函数存在零点，所以①正确．②函数f（x）=x3的导数为f'（x）=3x2，因为f'（0）=0，但函数f（x）=x3单调递增，没有极值，所以②错误．③若函数在定义域上是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），即，整理得，即a2e2x﹣1=e2x﹣a2，所以a2=1，解得a=1或a=﹣1，所以③“a=1”是“函数在定义域上是奇函数”的充分不必要条件．所以③正确．④设A（a，b）是y=f（1+x）上的任意一点，则满足b=f（1+a），则点A（a，b）关于y轴对称的点的坐标为（﹣a，b），在函数y=f（1﹣x）上，当x=﹣a时，y=f[1﹣（﹣a）]=f（1+a）=b，即（﹣a，b）在函数y=f（1﹣x）上，所以函数y=f（1+x）的图象与函数y=f（1﹣x）的图象关于y轴对称，所以④正确．⑤由正弦定理得，即，解得sinC=，因为AC＞AB，所以B＞C，即C＜600，所以满足条件的三角形只有一个，所以⑤错误．故正确的命题是①③④．故答案为：①③④．【点评】本题主要考查各种命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，难度较多．三．解答题（本大题有6小题，共70分；解答应写出文字说明与演算步骤）17．已知{a n}为等差数列，且满足a1+a3=8，a2+a4=12．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记{a n}的前n项和为S n，若a3，a k+1，S k成等比数列，求正整数k的值．【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）由题意可得首项和公差的方程组，解方程组可得通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得S n，进而可得a3，a k+1，S k，由等比数列可得k的方程，解方程即可．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，由题意可得，解方程组可得a1=2，d=2，∴a n=2+2（n﹣1）=2n；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，∴a3=2×3=6，a k+1=2（k+1），，∵a3，a k+1，S k成等比数列，∴，∴（2k+2）2=6（k2+k），化简可得k2﹣k﹣2=0，解得k=2或k=﹣1，∵k∈N*，∴k=2【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，涉及等比数列的通项公式，属中档题．18．已知函数，．（1）若，求函数f（x）的值；（2）求函数f（x）的值域．【考点】三角函数的化简求值；正弦函数的定义域和值域．【专题】计算题．【分析】（1）先利用同角三角函数的基本关系求得cosx的值，代入到函数解析式，利用两角和公式展开后求得答案．（2）利用两角和公式对函数解析式化简整理，然后利用x的范围和正弦函数的单调性求得函数的值域．【解答】解：（1）∵，∴cosx=﹣=﹣∴=sinx+cosx﹣2cosx=sinx﹣cosx=×+=（2）=sinx+cosx﹣2cosx=sinx﹣cosx=2sin（x﹣）∵∴≤x﹣≤∴≤sin（x﹣）≤1∴f（x）的最大值为2，最小值为1，值域为[1，2]【点评】本题主要考查了三角函数化简求值，两角和公式的化简，同角三角函数的基本关系的应用．解题时注意角的范围，判断三角函数的正负．19．已知海岛B在海岛A的北偏东45°方向上，A、B相距10海里，小船甲从海岛B以2海里/小时的速度沿直线向海岛A移动，同时小船乙从海岛A出发沿北偏15°方向也以2海里/小时的速度移动（Ⅰ）经过1小时后，甲、乙两小船相距多少海里？（Ⅱ）在航行过程中，小船甲是否可能处于小船乙的正东方向？若可能，请求出所需时间，若不可能，请说明理由．【考点】解三角形的实际应用．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）利用余弦定理求|MN|的长度即可．（Ⅱ）设经过t（0＜t＜5）小时小船甲处于小船乙的正东方向．利用正弦定理建立条件关系进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）经过1小时后，甲船到达M点，乙船到达N点，|AM|=10﹣2=8，|AN|=2，∠MAN=60°，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分A岛B岛北EF∴|MN|2=|AM|2+|AN|2﹣2|AM||AN|cos60°=64+4﹣2×=52，∴|MN|=2．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅5分（Ⅱ）设经过t（0＜t＜5）小时小船甲处于小船乙的正东方向．则甲船与A距离为|AE|=10﹣2t海里，乙船与A距离为|AF|=2t海里，∠EAF=60°，∠EFA=45°，┅┅┅6分则由正弦定理得=，即，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅9分则t==＜5．┅┅┅┅┅┅┅┅11分答：经过小时小船甲处于小船乙的正东方向．┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分．【点评】本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理建立方程关系是解决本题的关键．20．已知等差数列{a n}满足：a n+1＞a n（n∈N*），a1=1，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列{b n}的前三项．（Ⅰ）分别求数列{a n}，{b n}的通项公式a n，b n；（Ⅱ）设，若恒成立，求c 的最小值．【考点】数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）设d、q分别为数列{a n}、数列{b n}的公差与公比，a1=1．由题可知，a1=1，a2=1+d，a3=1+2d，分别加上1，1，3后得2，2，+d，4+2d是等比数列{b n}的前三项，从而可得（2+d）2=2（4+2d），根据a n+1＞a n，可确定公差的值，从而可求数列{a n}的通项，进而可得公比q，故可求{b n}的通项公式（Ⅱ）表示出，利用错位相减法求和，即可求得c的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设d、q分别为数列{a n}、数列{b n}的公差与公比，a1=1．由题可知，a1=1，a2=1+d，a3=1+2d，分别加上1，1，3后得2，2，+d，4+2d是等比数列{b n}的前三项，∴（2+d）2=2（4+2d）⇒d=±2．∵a n+1＞a n，∴d＞0．∴d=2，∴a n=2n﹣1（n∈N*）．由此可得b1=2，b2=4，q=2，∴b n=2n（n∈N*）．（Ⅱ），①∴．②①﹣②，得=+2（++…+）﹣，∴T n=3﹣．∴T n+﹣=3﹣≤2，∴满足条件恒成立的最小整数值为c=2．【点评】本题以等差数列与等比数列为载体，考查数列通项公式的求解，考查数列与不等式的综合，考查错位相减法求数列的和，综合性强21．设函数y=f（x）在（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在（a，b）上的导函数为f″（x），若在（a，b）上，f″（x）＜0恒成立，则称函数f（x）在（a，b）上为“凸函数”．已知．（Ⅰ）若f（x）为区间（﹣1，3）上的“凸函数”，试确定实数m的值；（Ⅱ）若当实数m满足|m|≤2时，函数f（x）在（a，b）上总为“凸函数”，求b﹣a的最大值．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】综合题；新定义．【分析】（Ⅰ）函数在区间（﹣1，3）上为“凸函数”，所以f″（x）＜0，即对函数y=f（x）二次求导，转化为不等式问题解决即可；（Ⅱ）利用函数总为“凸函数”，即f″（x）＜0恒成立，转化为不等式恒成立问题，讨论解不等式即可．【解答】解：由函数得，f″（x）=x2﹣mx﹣3（Ⅰ）若f（x）为区间（﹣1，3）上的“凸函数”，则有f″（x）=x2﹣mx﹣3＜0在区间（﹣1，3）上恒成立，由二次函数的图象，当且仅当，即⇔m=2．（Ⅱ）当|m|≤2时，f″（x）=x2﹣mx﹣3＜0恒成立⇔当|m|≤2时，mx＞x2﹣3恒成立．当x=0时，f″（x）=﹣3＜0显然成立．当x＞0，∵m的最小值是﹣2．∴．从而解得0＜x＜1当x＜0，∵m的最大值是2，∴，从而解得﹣1＜x＜0．（13分）综上可得﹣1＜x＜1，从而（b﹣a）max=1﹣（﹣1）=2（14分）【点评】本题考查函数的导数与不等式恒成立问题的解法，关键是要理解题目所给信息（新定义），考查知识迁移与转化能力，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】22．在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（t为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系下，圆C2的方程为ρ=﹣2cosθ+2sinθ．（Ⅰ）求直线C1的普通方程和圆C2的圆心的极坐标；（Ⅱ）设直线C1和圆C2的交点为A，B，求弦AB的长．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）把参数方程化为直角坐标方程，求出圆心的直角坐标，再把它化为极坐标．（Ⅱ）由（Ⅰ）求得（﹣1，）到直线x﹣y+1=0 的距离d，再利用弦长公式求得弦长．【解答】解：（Ⅰ）由C1的参数方程消去参数t得普通方程为x﹣y+1=0，圆C2的直角坐标方程（x+1）2+=4，所以圆心的直角坐标为（﹣1，），所以圆心的一个极坐标为（2，）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知（﹣1，）到直线x﹣y+1=0 的距离d==，所以AB=2=．【点评】本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于基础题．【选修4-5：不等式选讲】23．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；带绝对值的函数．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即①，或②，或③．解①可得x≤1，解②可得x∈∅，解③可得x≥4．把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。
厦门大学06-07第二学期高数期中试卷
一、选择题（每小题4分，共16分）1．点()1,1,1M 关于平面:1x y z ∏++=的对称点是 。
（A ）111,,333⎛⎫⎪⎝⎭； （B ）111,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭； （C ）111,,333⎛⎫--- ⎪⎝⎭； （D ）111,,333⎛⎫--- ⎪⎝⎭。
2．函数()222ln u x y z =++在点()1,2,2M -处的方向导数的最大值是 。
（A ）29； （B ）23； （C ）19； （D ）13。
3．设()f x 为连续函数，()()1d d t ty F t y f x x =⎰⎰，则()2F '= 。
（A ）()22f ； （B ）()2f ； （C ）()2f -； （D ）0。
4．设平面闭区域(){}222,,0D x y x y a x y =+≤+≥，(){}2221,,0D x y x y a y x =+≤≤≤，则()s i n c o s d d Dx y x y xy +=⎰⎰ 。
（A ）()14sin cos d d D xy x y x y +⎰⎰； （B ）12d d D xy x y ⎰⎰；（C ）12sin cos d d D x y x y ⎰⎰； （D ）0。
二、填空题（每小题4分，共16分）1．设++=a b c 0，5=a ，2=b ，3=c ，则++=⋅⋅⋅a b b c c a 。
2．由曲线ln ln 1x y +=所围成的平面图形的面积为 。
3．设()cos cos cos ,,1cos cos cos x y y z z xf x y z x y z++=+++，则()0,0,0d f= 。
4．设(){},01,01D x y x y =≤≤≤≤，则{}22max ,e d d x y DI x y ==⎰⎰ 。
厦门大学《高等数学A 》课程试卷＿＿＿＿学院＿＿＿＿系＿＿＿＿年级＿＿＿＿专业主考教师：高数A 组 试卷类型：（A 卷） 2007.04.21三、计算题（第1题——第5题每题8分，第6题10分） 1．求直线11:111x y z L --==-在平面:210x y z ∏-+-=上的投影直线0L 的方程，并求0L 绕y 轴旋转一周所成的曲面方程。
福建省厦门六中2016-2017学年高一下学期期中数学试卷Word版含解析
2016-2017学年福建省厦门六中高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若角520°的始边为x轴非负半轴，则它的终边落在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是平面四边形，这个几何体不可能是（）A．三棱锥B．棱柱 C．四棱台D．球3．下列说法中正确的是（）A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B．模相等的两个平行向量是相等向量C．若和都是单位向量，则=D．零向量与其它向量都共线4．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A．6πB．7πC．8πD．12π5．已知角α终边上一点P（﹣3，4），则sin α+tan α的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．6．已知α，β为平面，a，b，c为直线，下列命题正确的是（）A．若a⊆α，b∥a，则b∥αB．若α⊥β，α∩β=c，b⊥c，则b⊥βC．若a⊥b，b⊥c，则a∥cD．若a∩b=A，a⊆α，b⊆α，a∥β，b∥β，则α∥β7．已知△ABC的边BC上有一点D满足=3，则可表示为（）A． =﹣2+3B． =+C． =+D． =+8．如图，△O'A'B'是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的周长为（）A．B．3C．D．129．平面α∥平面β，直线 a⊆α，下列四个说法中，正确的个数是①a与β内的所有直线平行；②a与β内的无数条直线平行；③a与β内的任何一条直线都不垂直；④a与β无公共点．（）A．1 B．2 C．3 D．410．将函数的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后关于直线x=对称，则φ的最小值为（）A．B． C．D．11．已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1， =+，且||=||，则在方向上的投影为（）A．B．﹣C．﹣D．12．在菱形ABCD中，A=60°，AB=2，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，若二面角P ﹣BD﹣C的大小为120°，三棱锥P﹣BCD的外接球球心为O，BD的中点为E，则OE=（）A．1 B．2 C．D．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知圆锥的高为4，体积为4π，则底面半径r= ．14．已知一个扇形的周长为6cm，面积为2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是．15．如图所示，过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作条．16．已知△ABC中，AC=6，AB=3，若G为△ABC的重心，则•= ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（Ⅰ）化简•sin（α﹣π）•cos（2π﹣α）；（Ⅱ）已知sin θ=，θ为锐角，求cos（﹣θ）．18．如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；（Ⅱ）求几何体D﹣ABC的体积．19．已知向量=（1，2），=（x，1）．（Ⅰ）当（+）⊥（﹣）时，求x的值；（Ⅱ）若＜，＞为锐角，求x的取值范围．20．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH．（Ⅰ）求证：AP∥平面BDM；（Ⅱ）若G为DM中点，求证： =．21．已知函数y=sin x的图象经过以下变换后得到y=f（x）的图象：先向右平移；然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍；最后横坐标不变，纵坐标伸长为原来的3倍；（Ⅰ）写出函数y=f（x）的解析式，并求其单调增区间；（Ⅱ）用“五点法”在给定的坐标系中作出函数的一个周期的图象．22．长方体截去一个三棱锥后的直观图和部分三视图如图所示．（1）画出这个几何体的俯视图，并求截面AEF的面积；（2）若M为EF的中点，求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．2016-2017学年福建省厦门六中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若角520°的始边为x轴非负半轴，则它的终边落在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】G2：终边相同的角．【分析】利用终边相同的角的公式化520°，即可得出结论．【解答】解：520°=360°+160°，且90°＜160°＜180°，∴角520°的终边在第二象限．故选：B．2．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是平面四边形，这个几何体不可能是（）A．三棱锥B．棱柱 C．四棱台D．球【考点】LJ：平面的基本性质及推论．【分析】用一个平面去截一个球，得到的截面圆．【解答】解：用一个平面去截一个几何体，得到的截面是平面四边形，在三棱锥、棱柱、四棱台、球四个选中，知：这个几何体不可能是球．故选：D．3．下列说法中正确的是（）A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B．模相等的两个平行向量是相等向量C．若和都是单位向量，则=D．零向量与其它向量都共线【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．【解答】解：对于A，因为向量是可以移动的，两个向量相等时，它们的起点和终点不一定完全相同，∴A错误；对于B，模相等的两个平行向量，可能是相等向量，也可能是相反向量，∴B错误；对于C，和都是单位向量，则||=||，但、不一定相等，∴C错误；对于D，零向量的方向是任意的，零向量与其他向量都共线，D正确．故选：D．4．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A．6πB．7πC．8πD．12π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该几何体上半部分为半球，下面是一个圆柱，根据所给数据，即可求出表面积．【解答】解：由三视图可知该几何体上半部分为半球，下面是一个圆柱，所以其表面积为．故选B．5．已知角α终边上一点P（﹣3，4），则sin α+tan α的值为（）A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【分析】利用任意角的三角函数的定义，求得sin α和tan α的值，可得sin α+tan α的值．【解答】解：∵角α终边上一点P（﹣3，4），∴x=﹣3，y=4，r=|OP|=5，∴sin α==，∴tan α==﹣，∴sin α+tan α=+（﹣）=﹣，故选：A ．6．已知α，β为平面，a ，b ，c 为直线，下列命题正确的是（ ） A ．若a ⊆α，b ∥a ，则b ∥αB ．若α⊥β，α∩β=c ，b ⊥c ，则b ⊥βC ．若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥cD ．若a ∩b=A ，a ⊆α，b ⊆α，a ∥β，b ∥β，则α∥β【考点】LP ：空间中直线与平面之间的位置关系；LO ：空间中直线与直线之间的位置关系． 【分析】在A 中，b ∥α或b ⊂α；在B 中，b 与β相交、相行或b ⊂β；在C 中，a 与c 相交、平行或异面；在D 中，由面面平行的判定定理得α∥β． 【解答】解：由α，β为平面，a ，b ，c 为直线，得： 在A 中，若a ⊆α，b ∥a ，则b ∥α或b ⊂α，故A 错误；在B 中，若α⊥β，α∩β=c ，b ⊥c ，则b 与β相交、相行或b ⊂β，故B 错误； 在C 中，若a ⊥b ，b ⊥c ，则a 与c 相交、平行或异面，故C 错误；在D 中，若a ∩b=A ，a ⊆α，b ⊆α，a ∥β，b ∥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故D 正确． 故选：D ．7．已知△ABC 的边BC 上有一点D 满足=3，则可表示为（ ）A ． =﹣2+3B ． =+C．=+D ．=+【考点】9F ：向量的线性运算性质及几何意义．【分析】根据向量的三角形法则和向量的几何意义即可求出．【解答】解：由=3，则=+=+=+（﹣）=+，故选：B8．如图，△O'A'B'是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的周长为（）A．B．3C．D．12【考点】LB：平面图形的直观图．【分析】根据斜二侧画法得到三角形OAB的底面边长0B=4，高OA=2O'A'=6，然后求三角形的周长即可．【解答】解：根据斜二侧画法得到三角形OAB为直角三角形，底面边长0B=4，高OA=2O'A'=6，AB=2，∴直角三角形OAB的周长为10+2．故选：A．9．平面α∥平面β，直线 a⊆α，下列四个说法中，正确的个数是①a与β内的所有直线平行；②a与β内的无数条直线平行；③a与β内的任何一条直线都不垂直；④a与β无公共点．（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．【分析】直接利用直线与平面的位置关系以及直线与直线的位置关系判断即可．【解答】解：平面α∥平面β，直线 a⊆α，①a与β内的所有直线平行；显然不正确，还有异面直线．②a与β内的无数条直线平行；正确；③a与β内的任何一条直线都不垂直；错误，有异面垂直的直线．④a与β无公共点．正确；故选：B．10．将函数的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后关于直线x=对称，则φ的最小值为（）A．B． C．D．【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，可得，k∈Z，由此求得φ的最小值．【解答】解：把函数的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后，可得y=sin=sin（4x+4φ+）的图象，由于所得图象关于直线对称，∴，∴，∵φ＞0，∴，故选：B．11．已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1， =+，且||=||，则在方向上的投影为（）A．B．﹣C．﹣D．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得BC为圆O的直径，画出图形，求出AC长度及与的夹角，代入投影公式求解．【解答】解：∵ =+，∴，得，则BC为圆O的直径，如图：∵||=||，∴△OAB的等边三角形，则OA=OB=AB=1，AC=，BC=2，∴与夹角是30°，∴向量在方向上的投影是||cos30°=×=．故选：D．12．在菱形ABCD中，A=60°，AB=2，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，若二面角P ﹣BD﹣C的大小为120°，三棱锥P﹣BCD的外接球球心为O，BD的中点为E，则OE=（）A．1 B．2 C．D．2【考点】LR：球内接多面体．【分析】利用球的对称性可知∠OEC=60°，利用等边三角形的性质，即可求出OE．【解答】解：过球心O作OO′⊥平面BCD，则O′为等边三角形BCD的中心，∵四边形ABCD是菱形，A=60°，∴△BCD是等边三角形，∵∠PEC=120°，∴∠OEC=60°；∵AB=2，∴CE=3，∴EO′=1，CO′=2，∴OE=2，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知圆锥的高为4，体积为4π，则底面半径r= ．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据体积公式列方程解出．【解答】解：由题意得：•4=4π，解得r=．故答案为：．14．已知一个扇形的周长为6cm，面积为2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是4或者1 ．【考点】G8：扇形面积公式．【分析】根据题意设出扇形的弧长与半径，通过扇形的周长与面积，即可求出扇形的弧长与半径，进而根据公式求出扇形圆心角的弧度数．【解答】解：设扇形的弧长为：l，半径为r，所以2r+l=6，因为S扇形=，所以解得：r=1，l=4或者r=2，l=2所以扇形的圆心角的弧度数是：；故答案为：4或者1．15．如图所示，过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作 4 条．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】第一条：AC1是满足条件的直线；第二条：延长C1D1到D1，且D1D1=1，AD1是满足条件的直线；第三条：延长C1B1到B2且B1B2=1，AB2是满足条件的直线；第四条：延长C1C到C2，且C1C2=1，AC2是满足条件的直线．【解答】解：ABCD﹣A1B1C1D1，边长为1．第一条：AC1是满足条件的直线；第二条：延长C1D1到D1，且D1D1=1，AD1是满足条件的直线；第三条：延长C1B1到B2且B1B2=1，AB2是满足条件的直线；第四条：延长C1C到C2，且C1C2=1，AC2是满足条件的直线．故答案为：4．16．已知△ABC中，AC=6，AB=3，若G为△ABC的重心，则•= 9 ．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由题意画出图形，利用向量的加法与减法法则把用基向量表示，展开得答案．【解答】解：如图，∵AC=6，AB=3，若G为△ABC的重心，∴•===．故答案为：9．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（Ⅰ）化简•sin（α﹣π）•cos（2π﹣α）；（Ⅱ）已知sin θ=，θ为锐角，求cos（﹣θ）．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】（Ⅰ）利用诱导公式化简即可；（Ⅱ）根据平方公式求出cosθ的值，再利用两角差的余弦公式求值即可．【解答】解：（Ⅰ）•sin（α﹣π）•cos（2π﹣α）=•（﹣sinα）•cosα=sin2α；（Ⅱ）sin θ=，θ为锐角，∴cosθ==∴cos（﹣θ）=cos cosθ+sin sinθ=×+×=．18．如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；（Ⅱ）求几何体D﹣ABC的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）解法一：由题中数量关系和勾股定理，得出AC⊥BC，再证BC垂直与平面ACD 中的一条直线即可，△ADC是等腰Rt△，底边上的中线OD垂直底边，由面面垂直的性质得OD⊥平面ABC，所以OD⊥BC，从而证得BC⊥平面ACD；解法二：证得AC⊥BC后，由面面垂直，得线面垂直，即证．（Ⅱ），由高和底面积，求得三棱锥B﹣ACD的体积即是几何体D﹣ABC的体积．【解答】解：（Ⅰ）【解法一】：在图1中，由题意知，，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC取AC中点O，连接DO，则DO⊥AC，又平面ADC⊥平面ABC，且平面ADC∩平面ABC=AC，DO⊂平面ACD，从而OD⊥平面ABC，∴OD⊥BC又AC⊥BC，AC∩OD=O，∴BC⊥平面ACD【解法二】：在图1中，由题意，得，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC∵平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC=AC，BC⊂面ABC，∴BC⊥平面ACD（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC为三棱锥B﹣ACD的高，且，S△ACD=×2×2=2，所以三棱锥B﹣ACD的体积为：，由等积性知几何体D﹣ABC的体积为：．19．已知向量=（1，2），=（x，1）．（Ⅰ）当（+）⊥（﹣）时，求x的值；（Ⅱ）若＜，＞为锐角，求x的取值范围．【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系；9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】（I）+=（1+2x，4），﹣=（2﹣x，3），由（+）⊥（﹣），可得（+）•（﹣）=0，解出即可得出．（II）＜，＞为锐角，则cos＜，＞=＞0，且不能为同方向共线．【解答】解：（I）+=（1+2x，4），﹣=（2﹣x，3），∵（+）⊥（﹣），∴（1+2x）（2﹣x）+12=0，解得x=﹣2或．（II）＜，＞为锐角，则cos＜，＞=＞0，且不能为同方向共线．∴x+2＞0，解得x＞﹣2．由2x﹣1=0，解得x=，舍去．∴x的取值范围是∪．20．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH．（Ⅰ）求证：AP∥平面BDM；（Ⅱ）若G为DM中点，求证： =．【考点】LS：直线与平面平行的判定；MK：点、线、面间的距离计算．【分析】（I）连结AC交BD于O，连结OM，由中位线定理可得PA∥OM，故AP∥平面BDM；（II）利用线面平行的性质可得GH∥PA，根据中位线定理即可得出结论．【解答】证明：（I）连结AC交BD于O，连结OM，∵四边形ABCD是平行四边形，∵O是AC的中点，又M是PC的中点，∴OM∥PA，又OM⊂平面BDM，PA⊄平面BDM，∴PA∥平面PBD，（II）∵PA∥平面BDM，PA⊂平面PAHG，平面PAHG∩平面BDM=HG，∴PA∥HG，又PA∥OM，∴HG∥OM，∵G是DM的中点，∴HG=OM，又OM=PA，∴HG=PA，即．21．已知函数y=sin x的图象经过以下变换后得到y=f（x）的图象：先向右平移；然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍；最后横坐标不变，纵坐标伸长为原来的3倍；（Ⅰ）写出函数y=f（x）的解析式，并求其单调增区间；（Ⅱ）用“五点法”在给定的坐标系中作出函数的一个周期的图象．【考点】HI：五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象．【分析】（Ⅰ）根据三角函数图象平移法则，得出函数y=f（x）的解析式，利用正弦函数的图象与性质求出f（x）的单调增区间；（Ⅱ）利用列表、描点、连线的方法得出函数在一个周期的图象．【解答】解：（Ⅰ）函数y=sin x的图象向右平移，得到y=sin（x﹣）的图象；纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到y=sin（x﹣）的图象；横坐标不变，纵坐标伸长为原来的3倍，得到y=3sin（x﹣）的图象；∴函数y=f（x）=3sin（x﹣）；令﹣+2kπ≤x﹣≤+2kπ，k∈Z，解得﹣+4kπ≤x≤+4kπ，k∈Z，∴f（x）的单调增区间为，k∈Z；（Ⅱ）列表如下；x﹣用“五点法”在给定的坐标系中作出函数的一个周期的图象如图所示；22．长方体截去一个三棱锥后的直观图和部分三视图如图所示．（1）画出这个几何体的俯视图，并求截面AEF的面积；（2）若M为EF的中点，求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．【考点】MI：直线与平面所成的角；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）根据直观图，可得俯视图，根据三角形的三条边，即可求截面AEF的面积；（2）将几何体补充为长方体，则∠AMG为直线AM与平面ABCD所成角，即可求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．【解答】解：（1）俯视图如图所示，截面AEF中AF=EF=2，AE=2，面积为=6；（2）将几何体补充为长方体，则∠AMG为直线AM与平面ABCD所成角．∵GM=，GA=2，∴tan∠AMG=．2017年6月27日。
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2006级高数（A ）一上半期试卷
一、单项选择题：（每小题4分，共24分）
1．设()1,10,1x f x x ⎧≤⎪
=⎨>⎪⎩，则()()()
f f f x = 。
（A ）0； （B ）1； （C ）1,
10,1x x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩； （D ）0,
11,1
x x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩。
2．设()sin f x x x =
（A ）在(,)-∞+∞内有界；
（B ）当x →+∞时为无穷大； （C ）在(,)-∞+∞内无界；
（D ）当x →+∞时有极限。
3．设0x →时，tan sin e
e x x -与n x 是同阶无穷小，则n 为 。
（A ）1； （B ）2；
（C ）3； （4）4。
4．在(),-∞+∞内方程11
42cos 0x x x +-= 。
（A ）无实根；
（B ）有且仅有一个实根； （C ）有且仅有两个实根； （D ）有无穷多个实根。
5．设()f x 对任意x 均满足()()1f x af x +=，且()0f b '=，其中a b ≠为非0非1的常数，则 。
（A ）()f x 在1x =处不可导；
（B ）()f x 在1x =处可导，且()1f a '=；
（C ）()f x 在1x =处可导，且()1f b '=；
（D ）()f x 在1x =处可导，且()1f ab '=。
6．设()()f x f x =--，(),x ∈-∞+∞，
且在()0,+∞内()()0,0f x f x '''><，则在(),0-∞内 。
（A ）()()0,0f x f x '''>>；
（B ）()()0,0f x f x '''><； （C ）()()0,0f x f x '''<>； （D ）()()0,0f x f x '''<<。
二、填空题：（每小题4分共24分）
7．设函数()f x 可表示成()()()f x F x G x =+，其中()F x 为偶函数，()G x 为奇函数，则()F x = ；()G x = 。
8．01lim ln x x a x a
→-= 。
9．设(
)0,0x f x a bx x <=⎪+≥⎩
，则当a = ，b = 时，()f x 处处可导。
10．设()y f x =由方程2e cos e 1x y xy +-=-所确定，则曲线()y f x =在()0,1处的法线方程为 。
11．设()f u 可导，函数()y y x =由()
22y x x y f x y +=+所确定，则d y = 。
12．设()f x 有任意阶导数且()2()f x f x '=，则()()n f
x = 。
（n>2） 三、解答题：（每小题9分，共27分）
13．求极限sin sin sin lim sin x t x t x t x -→⎛⎫ ⎪⎝⎭，记此极限为()f x ，求()f x 的间断点，并指出其类型。
14．设4211x y f x ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭
，(
)f x '=d d y x 。
15．已知()23e x
f x x =+在1x =处()16e f '=+，()f x 有反函数()x ϕ，求()3e ϕ'+。
四、证明题：（每小题9分，共18分）
16．设()010,1sin 1n n x x x -==+-，1,2,n = ，证明数列{}n x 收敛，并求lim n n x →∞。
17．设()f x 在[]0,1上二次可微，且()()010f f ==，证明：存在()0,1ξ∈，使
()()20f f ξξξ'''+=。
五、应用题（本题7分）
18．溶液自深18cm 顶直径12cm 的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm 的圆柱形筒中，开始时漏斗中盛满了溶液。
已知当溶液在漏斗中深为12cm 时，其表面下降的速度为1cm/s ，问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速度为多少？。