「精品」中考数学考点总动员系列专题38与圆有关的概念含解析

考点三十八：与圆有关的概念聚焦考点☆温习理解1、圆的定义在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

2、弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。

（如图中的AB）3.直径经过圆心的弦叫做直径。

（如图中的CD）直径等于半径的2倍。

4.半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

5.弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。

大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）5、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

6、圆的对称性1、圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

2、圆的中心对称性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

3、弦心距从圆心到弦的距离叫做弦心距。

名师点睛☆典例分类考点典例一、垂径定理【解析】．考点：1.垂径定理；2.勾股定理．【点睛】根据“两条辅助线（半径和边心距），一个直角三角形，两个定理（垂径定理、勾股定理）”解决即可，做法可总结为：作垂直，连半径，用勾股。

【举一反三】（2017内蒙古呼和浩特第7题）如图，CD 是O 的直径，弦AB CD ⊥，垂足为M ，若12AB =，:5:8OM MD =，则O 的周长为（ ）A ．26πB ．13πC ．965πD ．5【答案】B考点：垂径定理． 考点典例二、求边心距【例2】（2016贵州贵阳第8题）小颖同学在手工制作中，把一个边长为12cm 的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（ ）A ．B ．C ．cmD ． 【答案】B ．考点：三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质．【点睛】作出几何图形，再由外接圆半径、边心距和边长的一半组成的三角形中，已知外接圆半径和特殊角，可求得边心距．考查了等边三角形的性质．注意：等边三角形的外接圆和内切圆是同心圆，圆心到顶点的距离等于外接圆半径，边心距等于内切圆半径． 【举一反三】如图，半径为5的⊙A 中，弦B C ，ED 所对的圆心角分别是∠BAC ，∠EAD. 已知DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则弦BC 的弦心距等于( )A.241 B. 234 C. 4 D. 3 【答案】D ．考点：1.圆周角定理；2.全等三角形的判定和性质；3.垂径定理；4.三角形中位线定理. 【分析】如答图，过点A 作AH ⊥BC 于H ，作直径CF ，连接BF ，∵∠BAC+∠EAD=180°，∠BAC+∠BAF=180°，∴∠DAE=∠BAF.在△ADE和△ABF中，∵AD ABDAE BAF AE AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE≌△ABF（SAS）.∴DE=BF=6. ∵AH⊥BC，∴CH=BH.又∵CA=AF，∴AH为△CBF的中位线. ∴AH=12BF=3．故选D．考点典例三、最短路线问题【例3】如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．点P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（）A． B．1 C． 2 D． 2【答案】A.【解析】作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，则AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，PA+PB的最小值=AB′，∵∠AMN=30°，∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°，∵点B为劣弧AN的中点，∴∠BON=12∠AON=12×60°=30°， 由对称性，∠B′ON=∠BON=30°，∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=60°+30°=90°， ∴△AOB′是等腰直角三角形，，即PA+PB 的最小值． 故选A ．【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍的性质，作辅助线并得到△AOB ′是等腰直角三角形是解题的关键． 【举一反三】（2016浙江台州第10题）如图，在△ABC 中，AB =10，AC =8，BC =6，以边AB 的中点O 为圆心，作半圆与AC 相切，点P ，Q 分别是边BC 和半圆上的动点，连接PQ ，则PQ 长的最大值与最小值的和是（ ）A ． 6B ． 1132C ． 9D ． 332【答案】C ． 【解析】试题分析：如图，设⊙O 与AC 相切于点E ，连接OE ，作OP 1⊥BC 垂足为P 1交⊙O 于Q 1，此时垂线段OP 1最短，P 1Q 1最小值为OP 1﹣OQ 1，∵AB =10，AC =8，BC =6，∴AB 2=AC 2+BC 2，∴∠C =90°，∵∠OP 1B =90°，∴OP 1∥AC∵AO=OB，∴P1C=P1B，∴OP1=12AC=4，∴P1Q1最小值为OP1﹣OQ1=1，如图，当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2最大值=5+3=8，∴PQ长的最大值与最小值的和是9．故选C．考点：切线的性质；最值问题．课时作业☆能力提升一．选择题1．（2017新疆建设兵团第9题）如图，⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，CE．若AB=8，CD=2，则△BCE的面积为（）A．12 B．15 C．16 D．18【答案】A.【解析】试题解析：∵⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，AB=8，∴AC=BC=12AB=4．设OA=r，则OC=r﹣2，在Rt△AOC中，∵AC2+OC2=OA2，即42+（r﹣2）2=r2，解得r=5，∴AE=10，∴=，∴△BCE 的面积=12BC•BE=12×4×6=12． 故选A ．考点：圆周角定理；垂径定理． 2. （2017青海西宁第8题）如图，AB 是O 的直径，弦CD 交AB 于点P ，2,6AP BP ==，030APC ∠=.则CD 的长为 （ ）A ．．8 【答案】C3.已知⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，且AB=8cm ，则AC 的长为（ ）A. B. C. 或 D.5 或【答案】C ． 【解析】试题分析：根据题意画出图形，由于点C 的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论 连接AC ，AO ，∵⊙O 的直径CD=10cm ，AB ⊥CD ，AB=8cm ，∴AM=12AB=12×8=4cm，OD=OC=5cm. 当C 点位置如答图1所示时，∵OA=5cm ，AM=4cm ，CD ⊥AB ，∴OM 3==cm.∴CM=OC+OM=5+3=8cm. ∴在Rt △AMC 中，AC ===当C 点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm ， ∵OC=5cm ，∴MC=5﹣3=2cm.∴在Rt △AMC 中，AC =cm ．综上所述，AC 的长为或. 故选C ．考点：1.垂径定理；2.勾股定理；3.分类思想的应用．4. （2017河池第8题）如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦36,=∠CAB CD ，则BCD ∠的大小是（）A ．18 B ．36 C.54 D ．72【答案】B.【解析】试题分析：根据垂径定理推出BC BD=，推出∠CAB=∠BAD=36°，再由∠BCD=∠BAD即可解决问题．∵AB是直径，AB⊥CD，∴BC BD=，∴∠CAB=∠BAD=36°，∵∠BCD=∠BAD，∴∠BCD=36°，故选B．考点：圆周角定理；垂径定理.5. 如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧AN的中点，点P是直径MN上一动点．若，则PA+PB的最小值是（）A． B C．1 D．2【答案】D.6. （2017贵州黔东南州第5题）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为（）A．2 B．﹣1 C D．4【答案】A．【解析】试题解析：∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE=DE，∠CEO=90°，∵∠A=15°，∴∠COE=30°，∵OC=2，∴CE=12OC=1，∴CD=2OE=2，故选A．考点：圆周角定理；勾股定理；垂径定理．二．填空题7.（2017贵州遵义第17题）如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C，D两点．若∠CMA=45°，则弦CD的长为．【解析】试题分析：连接OD，作OE⊥CD于E，如图所示：则CE=DE ，∵AB 是⊙O 的直径，AB=4，点M 是OA 的中点，∴OD=OA=2，OM=1，∵∠OME=∠CMA=45°，∴△OEM 是等腰直角三角形，，在Rt△ODE 中，由勾股定理得：=．考点：垂径定理；勾股定理；等腰直角三角形．8. （2017湖北孝感第15题）已知半径为2的O 中，弦2AC =，弦AD =则COD∠的度数为 ．【答案】150°或30°【解析】试题分析：连接OC ，过点O 作OE ⊥AD 于点E ，如图所示．∵OA=OC=AC ，∴∠OAC=60°．∵，OE ⊥AD ，∴，， ∴∠OAD=45°，∴∠CAD=∠OAC+∠OAD=105°或∠CAD=∠OAC ﹣∠OAD=15°，∴∠COD=360°﹣2×105°=150°或∠COD=2×15°=30°．故答案为：150°或30°．考点：1.垂径定理；2.解直角三角形；3.等边三角形的判定与性质；4.圆周角定理.9. （2017辽宁大连第12题）如图，在⊙O 中，弦cm AB 8=，AB OC ⊥，垂足为C ，cm OC 3=，则⊙O 的半径为 cm ．【答案】5.考点：垂径定理；勾股定理.10. （2017浙江嘉兴第13题）如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为8cm 的O ，90ABm =︒，弓形ACB （阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为 ．【答案】（32+48π）cm2【解析】试题解析：连接OA、OB，∵AB=90°，∴∠AOB=90°，∴S△AOB=12×8×8=32，扇形ACB（阴影部分）=22036078π⨯⨯=48π，则弓形ACB胶皮面积为（32+48π）cm2考点：1.垂径定理的应用；2.扇形面积的计算．11.⊙O的半径为2，弦BC=2，点A是⊙O上一点，且AB=AC，直线AO与BC交于点D，则AD的长为．【答案】1或3【解析】试题分析：如图所示：∵⊙O 的半径为2，弦BC=23，点A 是⊙O 上一点，且AB=AC ，∴AD ⊥BC ，∴BD=BC=3，在Rt △OBD 中，∵BD 2+OD 2=OB 2，即（3）2+OD 2=22，解得OD=1，∴当如图1所示时，AD=OA ﹣OD=2﹣1=1；当如图2所示时，AD=OA+OD=2+1=3．故答案为：1或3．考点：1、垂径定理；2、勾股定理．12. （2017贵州六盘水第25题）如图，MN 是O ⊙的直径，4MN =，点A 在O ⊙上，30AMN =∠°，B 为AN 的中点，P 是直径MN 上一动点.(1)利用尺规作图，确定当PA PB +最小时P 点的位置(不写作法，但要保留作图痕迹).(2)求PA PB +的最小值.【答案】（1）详见解析；.试题分析：(1)画出A 点关于MN 的称点A ',连接A 'B,就可以得到P 点; (2)利用30AMN =∠°得∠AON=∠ON A '=60°，又B 为弧AN 的中点,∴∠BON=30°，所以∠A 'ON=90°，再求最小值22．试题解析：(1)如图，点P 即为所求作的点.(2)由（1）可知，PA PB +的最小值为'A B 的长， 连接'OA ,OB 、OA∵A 点关于MN 的称点A '，∠AMN=30°，∴00'223060AON A ON AMN ∠=∠=∠=⨯=在Rt △'A OB 中，'A B ==即PA PB +的最小值为.考点：圆，最短路线问题．。