正项级数收敛性判别法的比较及其应用论文
级数收敛的判别法与应用
级数收敛的判别法与应用级数是数学中重要的概念之一，它由一系列的项组成，可以用来描述许多实际问题。
在求解级数时，我们需要判断级数的收敛性，即确定级数的和是否有限。
为了判断级数的收敛性，我们可以应用一些判别法。
本文将介绍几种常见的级数收敛的判别法，并讨论它们在实际问题中的应用。
一、正项级数的收敛性判别法对于一个级数，如果它的每一项都是非负数，并且随着项数的增加递减或保持不变，那么该级数称为正项级数。
对于正项级数，我们可以利用以下几种方法来判断其收敛性：1.比较判别法比较判别法是判定正项级数收敛性的常用方法之一。
其基本思想是将待判级数与已知级数进行比较。
如果待判级数的每一项都小于等于已知级数的对应项，并且已知级数收敛，则待判级数也收敛。
如果待判级数的每一项都大于等于已知级数的对应项，并且已知级数发散，则待判级数也发散。
2.比值判别法比值判别法是另一种常用的判别法。
对于正项级数，我们可以计算相邻两项的比值，并观察其极限值。
如果极限值小于1，则级数收敛；如果极限值大于1，则级数发散；如果极限值等于1，则该方法无法判断。
3.根值判别法根值判别法也是一种常见的方法。
对于正项级数，我们可以计算相邻两项的根号值，并观察其极限值。
如果极限值小于1，则级数收敛；如果极限值大于1，则级数发散；如果极限值等于1，则该方法无法判断。
二、交错级数的收敛性判别法交错级数是由一系列交替正负的项组成的级数，可以表示为S=a1-a2+a3-a4+...。
判断交错级数收敛性时，可以应用以下方法：1.莱布尼茨判别法莱布尼茨判别法是判定交错级数收敛性的常用方法。
对于交错级数S=a1-a2+a3-a4+...，如果交错级数的绝对值序列|an|严格递减趋于零，并且该序列的极限为零，那么交错级数收敛。
三、应用案例级数收敛的判别法在物理、工程、经济学等领域中具有广泛的应用。
以下是一些相关应用案例的简要介绍：1.经济学中的应用在经济学中，级数的收敛性判别法可以用来分析经济指标的变化趋势。
陈雨涵《正项级数敛散性判别法的比较及其应用》(毕业论文)
《正项级数判别法的知道及其应用》毕业论文目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)引言 (1)1正项级数相关概念 (2)1.1正项级数的定义 (2)1.2正项级数敛散性判别的充要条件 (2)2正项级数敛散性判别法 (2)2.1判别级数发散的简单方法 (2)2.2比较判别法 (3)2.2.1定理及其极限形式 (3)2.2.2活用比较判别法 (3)2.3柯西判别法 (4)2.3.1定理及其极限形式 (4)2.3.2活用柯西判别法 (5)2.4达朗贝尔判别法 (5)2.4.1定理及其极限形式 (5)2.4.2活用达朗贝尔判别法 (6)2.5积分判别法 (6)2.5.1定理 (6)2．5.2活用积分判别法 (6)2.6拉贝判别法 (6)2.6.1定理及其极限形式 (7)2.6.2活用拉贝判别法 (7)2.7其他判别法 (8)3判别方法的比较 (9)3.1不同方法的比较及应用 (10)3.2判别正项级数敛散性方法的总结 (11)致谢 (12)参考文献 (12)正项级数敛散性判别法的比较及其应用数学与应用数学 xx 指导教师 xx摘要：正项级数是级数内容中的一种重要级数,它的敛散性是其基本性质.正项级数敛散性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，归纳总结正项级数收敛性判断的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型的正项级数，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，才能事半功倍. 关键词：正项级数；收敛；方法；比较；应用Positive Series Convergence Criterion of Comparison and ItsApplicationMathematics and Applied Mathematics LiQinglinTutor LiPingrunAbstract ：Positive series is a series of important theoretical component and its convergence is the core issue of series theory .Although positive series convergence judgment methods more ,there still have to use the skills, summarized convergence of positive series to determine some of the typical method to compare the different characteristics of these methods, summed up the typical positive series, according to the characteristics of different subject analysis to determine to choose suitable methods to judge, to maximize savings in time and increase efficiency. Key words: positive series ; convergence; methods; compar e ；application引言 我们在书上已经学了很多种正项级数敛散性的判定定理,但书上往往只是对定理本身做一个证明，然后举几个简单应用的例子就好了，没有做过多的分析.但是,我们在实际做题目时，常会有这些感觉：有时不知该选用哪种方法比较好；有时用这种或那种方法时，根本做不出来，也就是说，定理它本身存在着一些局限性.因此，我们便会去想，我们常用的这些定理到底有哪些局限呢，定理与定理之间会有些什么联系和区别呢，做题目时如何才能更好得去运用这些定理呢? 这就是本文所要讨论的.1 正项级数相关概念1.1正项级数的定义如果级数1nn x ∞=∑的各项都是非负实数，即0,1,2,,nx n ≥= 则称此级数为正项级数1.2正项级数敛散性判别的充要条件正项级数的每一项都为正的基本特点导致正项级数部分和数列单调增加,从而有正项级数敛散性的基本判别定理:定理1 正项级数∑∞=1n nu 收敛⇔它的部分和数列{}n s 有上界.证明 由于),2,1(0 =>i u i,所以{}n s 是递增数列.而单调数列收敛的充要条件是该数列有界(单调有界定理),从而本定理得证.例 级数221ln (1)(1)n n nn n n∞=⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦∑是正项级数。
正项级数的收敛性问题研究
正项级数的收敛性问题研究
正项级数的收敛性问题是数学分析中一个基本而重要的课题。
一个正项级数是指其各
项都为非负的实数或复数，按照特定顺序相加而得到的无穷级数。
正项级数的收敛性研究
探讨了如何判断一个正项级数是否会收敛，即它的和是否有一个有限的值。
在正项级数的收敛性问题中，常见的研究方法是比较判别法、比值判别法、根值判别
法等。
比较判别法是通过与已知的收敛或发散级数进行比较，来判断一个正项级数的收敛性。
当正项级数的各项都小于或大于某个已知的收敛级数时，可以得到它的收敛性。
比较判别
法的关键是找到适当的比较级数，以确定级数的收敛或发散。
比值判别法是通过计算级数的相邻项之比的极限值来判断级数的收敛性。
如果极限值
小于1，则级数收敛；如果极限值大于1，则级数发散；如果极限值等于1，则无法确定级数的收敛性，需要使用其他方法进一步研究。
正项级数的收敛性还有一些其他的判别方法，如积分判别法、魏尔斯特拉斯判别法等。
这些方法在不同情况下适用，并且需根据具体问题来选择合适的判别法进行研究。
正项级数的收敛性问题在数学分析中有广泛的应用。
它可以用来研究函数的连续性、
可积性等性质；在物理学中，可以用来研究连续介质的性质等。
正项级数的收敛性问题的
研究具有重要的理论和应用价值。
正项级数的收敛性问题是数学分析中一个基本而重要的课题，涉及到多种判别方法的
运用。
通过研究正项级数的收敛性，可以推动数学分析理论的发展，并在实际应用中发挥
重要作用。
关于正项级数敛散性判定方法的总结比较
关于正项级数敛散性判定方法的总结比较1. 引言1.1 介绍正项级数是数学中一个非常重要的概念，它在数学分析、实变函数论等领域都有着广泛的应用。
正项级数的收敛性质对于理解数学问题、解决实际问题都有着重要的意义。
在研究正项级数的收敛散性判定方法时，我们可以利用一些常用的方法来对其进行分析和求解。
在数学中，我们经常会遇到各种各样的级数，如调和级数、几何级数等。
这些级数的收敛性质可能相差甚远，有些级数可能收敛，而有些级数可能发散。
我们需要通过一些方法来判断一个级数是否收敛。
对于正项级数而言，有一些常用的判定方法，如比较判别法、根值判别法、积分判别法、对数判别法等。
本文将重点介绍正项级数的收敛散性判定方法，通过比较这些方法的特点和适用范围，帮助读者更好地理解正项级数的收敛性质。
希望本文能够为相关领域的研究者提供一些帮助，并为未来的研究工作提供一定的参考。
1.2 研究意义正项级数是数学中重要的研究对象，对其收敛和发散性进行判定具有重要的理论和实际意义。
正项级数的收敛性判定可以帮助我们了解无穷级数的性质，进一步推导出一些重要的数学定理和结论。
正项级数在实际问题中的应用十分广泛，比如在概率论、统计学、物理学等领域都有着重要的应用价值。
通过对正项级数的收敛性进行准确判断，可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。
研究正项级数的收敛性判定方法，可以拓展数学领域中的知识体系，丰富数学理论的内涵，推动数学学科的发展。
深入研究正项级数的收敛性判定方法具有重要的研究意义和实际应用价值。
1.3 研究现状正项级数是数学中重要的概念，其收敛性对于分析问题的解决具有重要的意义。
关于正项级数的收敛性判定方法，已经有许多经典的理论成果，这些方法在实际问题的解决中发挥着重要作用。
在研究现状方面，正项级数的收敛性已经得到了深入的研究和总结。
目前常用的级数收敛判定方法有比较判别法、根值判别法、积分判别法和对数判别法。
这些方法各有特点，能够适用于不同类型的正项级数，为研究者提供了多种选择。
关于正项级数敛散性判定方法的总结比较
关于正项级数敛散性判定方法的总结比较正项级数是指级数中所有的项均为非负数的级数，即对于级数\sum_{n=1}^{\infty}a_n，其中a_n\geq0。
正项级数的收敛性和发散性对于数学分析和实际问题都具有重要意义，在实际应用中，我们经常需要对正项级数的收敛性进行判定。
针对正项级数的收敛性和发散性，数学中有多种方法来进行判定，本文将对这些方法进行总结比较。
一、比较判别法比较判别法是判定正项级数收敛性和发散性的常用方法之一。
该方法的基本思想是通过比较给定级数与一个已知级数的大小关系来判定。
比较判别法分为两种情况，分别是比较判别法和极限比较判别法。
比较判别法是指对于给定级数\sum_{n=1}^{\infty}a_n和另一个级数\sum_{n=1}^{\infty}b_n，如果对于任意n均有a_n\leq b_n，且级数\sum_{n=1}^{\infty}b_n收敛，则级数\sum_{n=1}^{\infty}a_n也收敛；如果级数\sum_{n=1}^{\infty}b_n发散，则级数\sum_{n=1}^{\infty}a_n也发散。
比较判别法的优点是简单易用，只需找到一个已知级数与待判定级数的大小关系即可进行判定；缺点是对于不同的级数，需要选择合适的已知级数进行比较，因此并不是所有情况都适用。
2. 极限比较判别法极限比较判别法的优点是适用范围广，可以处理更多的情况，但缺点是需要计算极限值，有时可能较为复杂。
二、积分判别法积分判别法是判定正项级数收敛性和发散性的另一种重要方法。
对于给定正项级数\sum_{n=1}^{\infty}a_n，如果a_n是连续函数f(x)在[1,+\infty)上的值，且f(x)在[1,+\infty)上单调递减，则级数\sum_{n=1}^{\infty}a_n与函数的积分\int_{1}^{\infty}f(x)dx的收敛性是一致的。
积分判别法的优点是利用了函数积分的性质，简化了级数的判定过程；但缺点是需要对函数进行积分运算，有时可能不太容易求得积分结果。
正项级数收敛性判别法的比较及其应用[1]论文
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闽江学院本科毕业论文题目正项级数收敛性判别法的比较及其应用学生姓名__宋婕学号120050901008系别数学系年级2005 级专业数学与应用数学指导教师_ _赵利彬职称教授完成日期2009年2月15日正项级数收敛性判别法的比较及其应用宋婕摘要：级数理论是数学分析的重要组成部分，而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断.正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，归纳总结正项级数收敛性判断的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型的正项级数，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍.关键词：正项级数；收敛；典型；方法；比较Positive series convergence criterion of comparison and itsapplicationSong JieAbstract:Series of mathematical analysis theory is an important part of the positive series is a series of important theoretical component of the progression of convergence is the core issue of series theory, in order to resolve the positive series Summation of the problem must be resolved positive series convergence judge. Positive series convergence solution may be judged more, but still have to use the skills, summarized convergence of positive series to determine some of the typical method to compare the different characteristics of these methods, summed up the typical positive series, according to the characteristics of different subject analysis to determine to choose suitable methods to judge, to maximize savings in time and increase efficiency, especially some typical problems, using the typical method to a multiplier.Key words: positive series ; convergence; typical ; methods; compare一、引言数学分析作为数学系的重要专业基础课程，对学习好其他科目具有重要作用。
正项级数收敛性判别法的推广本科毕业论文
(此文档为word格式，下载后您可任意编辑修改！)正项级数收敛性判别法的推广摘要：正项级数收敛的判别法在级数的收敛法中占有极其重要的地位．常见的判别法有比较判别法，达朗贝尔比值判别法，柯西判别法，高斯判别法,柯西积分判别法等．对于上述判别法，它们都有一定的条件限制，为了找到更简单，适用条件更广的判别法，国内外学者或者在一般判别法的基础上做了推广或者提出了一些新的判别法．近几年，关于正项级数收敛性判别法又有了一些新的研究，主要是针对一些新判别法的适用条件进行了讨论．本文主要分两部分对正项级数的判别法进行了推广，第一部分对比值判别法进行了推广，给出了比值判别法在失效情况下的判别方法，这也是本文的主要部分，第二部分对比较判别法进行了推广．这些推广的新的判别法解决了原判别法的条件限制，使其更具一般性，适用性更广．关键词：正项级数；收敛性；发散性；判别法A Generalization of Convergence Criterion for PositiveProgressionsYang Rui(0301 Mathematics and Applied Mathematics School of Science )The instructor: Song Wen-qingAbstract: Convergence Criterion for Positive Progressions the progression．The common criterions include the comparison distinction law, reaches the bright Bell ratio distinction law, west the tan oak distinguishes the law, Gauss distinguishes the law, west the tan oak the integral distinction law and so on, but these distinction laws all condition limit．In order to find out more simply and more widely-used distinction laws, domestic and foreign scholars or worked out some new distinction laws．In recent years, there are several new researches about positive progressions astringency distinguished the law mainly aiming at discussing applicable requirements of new distinction law．This article was mainly divided in 2 parts to carry on the promotion of the series of positive progressions distinction law．The first part promotes specific value distinction law as well as shows distinguishable methods when it doesn’t work．It is also the main part of this work．The second part carries on the promotion of the comparison distinction law and it uses the corresponding distinction law to judge the series of positive progressions astringency．These new distinction laws laws making them more general,making their serviceability broader ．Keywords : positive progression series; convergence; divergence; criterion1 引言正项级数收敛的判别法在级数的收敛法中占有极其重要的地位．常见的判别法有比较判别法，达朗贝尔比值判别法，柯西判别法，高斯判别法，柯西积分判别法等．由于条件的限制，在判断某些类型的题目时会失效，所以必须要寻找一些新的判别法来解决这些题本文主要对比较判别法、达朗贝尔判别法进行了推广．下面先介绍比较判别法、达朗贝尔判别法以及正项级数收敛性的相关定理．定理正项级数收敛的充要条件是：部分和数列有界，即存在某正数M ，对一切正整数n 有<M ．定理（比较原则）设和是两个正项级数，如果存在某正数N ，对一切n>N 都有，(i)若级数收敛，则级数也收敛； (ii)若级数发散，则级数也发散．定理设为正项级数，且存在某正整数及常数q （0<q<1）(i)若对一切n>,成立不等式 则级数收敛．(ii)若对一切n>,成立不等式 则级数发散．定理若为正项级数，且，则(i)当q<1 时，级数收敛；(ii)当q>1或q=时，级数发散．2达朗贝尔判别法的推广与应用2．1达朗贝尔判别法的一类推广与应用由达朗贝尔判别法判别法极限形式知，当时，正项级数可能收敛也可能发散，我们无法直接用达朗贝尔判别法判别法判断其敛散性，此时这种判别法失效，为了解决这一问题，给出新的判别法．新的判别法适用条件更广，运算更简洁． 2．1．1达朗贝尔判别法判别法的第一种推广 引理正项级数若，且则(i) 当p<时，则级数收敛 (ii) 当p>时，则级数发散定理1 若，则级数收敛当且仅当收敛（其中m 是大于1的正整数） 证明：（1）设则<()+()+()++()<++=()()11n nm m m a ma m a -+++所以若级数收敛，级数也收敛；（2）=()()21211()()n nm m m m m a a a a a a a +-+++++++++>()()2211n n mm m m a mam a m a m-++++ =()()2211n n mm m m a mam a m a m-++++所以若级数发散，级数也发散． 由（1）（2）得，级数收敛当且仅当收敛． 对于一般项收敛较慢的级数，定理1给出了一个判别法，观其条件还可以进行推广，得到更一般的形式，用定理的形式叙述如下： 定理2：正项级数，若，存在，使得，则（1）当p<时，则级数收敛 （2）当p>时，则级数发散 证明：令，，由定理知与同收敛，与同收敛，所以与同收敛111111m m mm m k k m m mk k u k u v u k k u k v ++++==⋅=⋅ 所以 111l i m l i m kk n m n k n ma v n p a k v -+→∞→∞=⋅= 即 =当 ()1lim 1,2,,Kkn i i in i nap i K pp a +→∞====∑当 时，,故级数收敛，从而收敛; 当 时，，故级数发散，从而发散． 证明完毕．2．1．2应用举例例1：考察级数是否收敛． 解: 由定理，取，()()233ln ln 1lim lim 3ln 3ln m m m m m n n n n n n p n n n →∞→∞⋅=== 当时，，级数收敛; 当时，，级数发散． 例2：考察级数是否收敛． 解：()22111212122lim lim limnn n n n n nnn a nn p n n a n n++→∞→∞→∞++=⋅=⋅=又因为 211121222limlimlim nn nnn n n nnn nn nn -+→∞→∞→∞+⎛⎫== ⎪⎝⎭=1而 即所以级数发散．例3：讨论级数的敛散性．解：本题利用达朗贝尔判别法无法判断，并且不容易积分，所以利用积分判别法也不能解决，由定理，取，则()()323331ln 1ln lim 1ln ln 1n n n n p n n →∞⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+⎪⎝⎭所以，该级数收敛．2．2达朗贝尔判别法的第二种推广与应用2．2．1达朗贝尔判别法的第二种推广定理两个正项级数和，如果从某项起下列不等式成立：（1）则级数收敛那么级数一定收敛，级数发散那么级数一定发散．证明： 任取一自然数，使得p=>,设引理中的不等式（1）对于任意的恒成立，可以把引理中的不等式（1）变形为：, , 即（i=0, 1，2，）令 ，则 (1) 当时，成立(2) 当时，可将n 写成，则 其中一定有． 若时，则成立．若时，则可将写成，其中，使得，若，不成立，则要继续进行下去，经过有限次总能得到．使得 从而得到：成立 因此，恒有成立由比较判别法知：若级数收敛，那么级数一定收敛， 若级数发散，那么级数一定发散 证明完毕下面根据定理1，推广出一个关于正项级数收敛的判别法，以定理的形式叙述如下： 定理2 对于正项级数，若，则(1) 当p<时，级数收敛 (2) 当p>时，级数发散 证明：（1）当p<时，，当时，有 和又因为，所以可令，使令，那么（因为s>1）级数收敛，且21111lim lim 212sn s n n n M n M n +→∞→∞++⎛⎫== ⎪+⎝⎭ 当n 充分大时有 成立 又因为，显然 对n 充分大时有和那么根据引理2，级数收敛 （2）当p>时，对于正整数使，，当时，有和令， 则，而， 故 和成立又是发散的，由定理1得发散将定理2推广到一般的形式，叙述如下：定理3 关于正项级数与，若存在自然数N ，当n>N 时，不等式11111111,,,(2,)kn kn kn kn kn k kn k n n n n n k n k a b a b a b k k N a b a b a b +++-+-+++-+-≤≤≤≥∈ 成立，则 (1) 若级数收敛，则级数收敛；(2) 若级数发散，则级数发散证明：由条件知，若存在自然数N ，当时，不等式成立，不妨取自然数，并令M=，当时，；当时，则唯一存在一个自然数,使111(0,1,,1)n kn i p kN i k =+≥==- ，故 若<p ，则；若>p,则唯一存在一个自然数，使1222(0,1,,1)n kn i i k =+=- ，其中，于是且 由于，经过有限步，假设第s 步,必有，于是所以当级数收敛，则级数收敛；当级数发散，则级数发散 证明完毕定理3的推论：推论1 给定正项级数，若1111limlim lim kn kn kn k n n n n n n k a a ap a a a ++-→∞→∞→∞++-==== ，则 （1）时，收敛； （2）时，发散证明：（1）当时，令，则存在实数r>1，使得，令 ，11lim lim lim 1rkn kn r n n n n n a b kn p s a k b n →∞→∞→∞⎛⎫⎪=<<== ⎪ ⎪⎝⎭，1111111limlim lim 11rkn kn r n n n n n a b kn p s a k b n ++→∞→∞→∞++⎛⎫⎪+=<<== ⎪ ⎪+⎝⎭，1111111limlim lim 11rkn k kn k r n n n n k n k a b kn k p s a k b n k +-+-→∞→∞→∞+-+-⎛⎫⎪+-=<<== ⎪ ⎪+-⎝⎭于是，当时，有11111111,,,kn kn kn kn kn k kn k n n n n n k n k a b a b a b a b a b a b +++-+-+++-+-≤≤≤ 因为级数收敛，由定理知，级数收敛（2）当时，令，11lim lim lim 1kn kn n n n nn a b kn p a k b n →∞→∞→∞=>==， 11111lim lim lim 1kn kn n n n n na b kn p a k b n +→∞→∞→∞++=>==+， ……………．11111lim lim lim 1kn k kn n n n n k na b kn k p a k b n k +-→∞→∞→∞+-+-=>==+- 于是，当时，有11111111,,,kn kn kn kn kn k kn k n n n n n k n k a b a b a b a b a b a b +++-+-+++-+-≥≥≥ 又因为级数发散，定理知级数发散2．2．2应用举例例1论是否收敛解：()111!1lim lim !n n n n n nx n a x n a e x n n ++→∞→∞⎛⎫⋅+ ⎪+⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭当x=e 时，用达朗贝尔判别法不能断定级数的敛散性利用()12!01nnn n e e θθ⎫=<<⎪⎭此时 ()2222421222!22!nnnn nn nn n n n x n x n e a x n e n a e x n x n e n e n θθ⎛⎫⎫⎛⎫⋅ ⎪⎪ ⎪⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭==≈⎪⎭⎛⎫⎫⎛⎫⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎭⎝⎭当x=e 时，，由定理2得，级数发散 例2：讨论是否收敛 解 令， 则()()222222221ln 12ln 2ln 1ln 22ln 22ln n n n n n a n n n n a n n n n n---===--- ()()()()()()()()()()()()2222122122ln 11121ln 211ln 11121ln 2112ln 211ln 1111n n n n n n n n a a n n n n n n n n +++-+-++-++===+-+⎛⎫+ ⎪++-+- ⎪+ ⎪+⎝⎭ ()()()()()()()()()()()()222222222ln 21122ln 222ln 22122ln 2222ln 222ln 2221n n n n n n n n a a n n n n n n n n +++-+-++-++===+-+⎛⎫+ ⎪++-+- ⎪+ ⎪+⎝⎭ 22122212111limlim lim 242n n n n n n n n n a a a a a a ++→∞→∞→∞++====<根据定理2得到，收敛 例3 证明级数收敛 证明：令因为，所以不能用达朗贝尔判别法来证明是否收敛，， 2212261211limlim lim 22n n n n n n n n n a a a a a a ++→∞→∞→∞++===<所以级数收敛 例4 证明级数收敛证明： 因为2l 210l n l n n a n a n n ==⋅→()()()211ln21ln2110()ln1ln1nnn nanna n n++++==⋅→→∞++所以级数收敛2．3达朗贝尔判别法的第3种推广与应用2．3．1达朗贝尔判别法的第三种推广引理给定两个正项级数（A）和（B），若从某项起（如n>N时），不等式1111,,,kn kn kn kn kn k kn kn n n n n na b a b a ba b a b a b+++-+-≤≤≤成立，则级数（B）收敛蕴含级数（A）收敛；级数（A）发散蕴含级数（B）发散引理给定正项级数，若，则（1）当p<时，则级数收敛（2）当p>时，则级数发散下面将引理2推广到如下形式定理：给定正项级数，若对一固定自然数，有，则（1）时，收敛；（2）时，发散证明：当时，对充分大的，存在，使即故对任意的自然数，有将上式再关于求和，得0011k N k Nkn i i ni n n i n na p akε+====⎛⎫<+⎪⎝⎭∑∑∑∑即()000(1)112k N N Nn n nn kn n n n npa p a aε+=+==+<+=∑∑∑令，则上式可以变成：()()000(1)1(1)1122k N kn N n k N np pT T T T T T+++++-<-<-移项整理得：00(1)(1)11122k N k N kn np pT T T T+++++-<-即00(1)12112k N kn npT T Tp+++⎛⎫<-⎪-⎝⎭=M由于的部分和有界，所以级数收敛当时，对充分大的，存在，使即同上，先对n从到N求和，再对i从1到k求和，则有()()001112kn N n k N pT T T T +++->- 若收敛，上式中令，则有00111122n n n kn n n p a a T T ∞∞+==+⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭∑∑ 即 001112n n n n n n p a T a T ∞∞==+⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭∑∑ 又 则有即 与矛盾，故级数发散2．3．2应用举例例1 正项级数中，，，试讨论正项级数敛散性 解：利用定理，取k=2，，则故级数收敛3比较判别法的推广与应用3．1比较判别法的推广定理（比较原则的推论）设 ++…++… ++…++…是两个正项级数，若则 (i)当0<<时，级数、同时收敛或同时发散；(ii)当=0且级数收敛时，级数也收敛； (iii)当=且级数发散时，级数也发散在上面的定理中我们令=，则定理1，就演变成了如下：定理 对于正项级数，若或，那么级数发散；如果有k>1使得存在，则级数收敛 下面对定理2进行推广，以定理的形式叙述如下： 定理3 设为正项级数，令，，为当x=n 时由某一函数所确定的值，连且续有直到m 阶的有限导数：()()()()()1lim lim lim lim 0m x x x x f x f x f x f x -→∞→∞→∞→∞'''===== 如果对的m 阶导数存在一幂函数，使得， ，那么当时，级数收敛，当时，级数发散 证明：运用罗必塔法则m 次可得， ()()()()()l i m111m mx k mf x p p p m x →∞+=-++-()()()()()lim111m k m m x x f x p p p m +→∞=-++- ()()()111m sp p p m =-++- 由于当时收敛，当发散， 则由定理1，和级数同收敛，所以当时，级数收敛，当时，级数发散 证明完毕3．2应用举例例1 讨论级数是否收敛解： 令，则，存在，使得()()()21lim lim mk m x x x f x x f x ++→∞→∞'=2322sinlim sin lim x x x x xx xββββββ→∞→∞-⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭由于这里，所以级数收敛 例2 判断级数是否收敛 解： 令 则 ()()2111a f x a x x x a x⎛⎫'=-=- ⎪+⎝⎭+，存在，使得 ()()()11lim lim mk m x x x f x x f x ++→∞→∞'= 因为，所以级数发散4 结束语文中列举的几种推广的正项级数收敛判别法，解决了某些题目用达朗贝尔判别法失效的问题，同时也简化了一些题目的求解步骤，这是有利的方面；但是在判断条件是否适合利用这些推广的时候，会带来一些烦琐的计算和证明所以在判别正项级数收敛时,要认真分析题目，找出最简洁的判别方法致谢感谢我的导师宋文青副教授宋老师成为我的毕业论文的导师那天起，她就告诉我如何搜集材料；告诉我如何快捷地找到相关论文；告诉我学校的哪个网站有本专业硕士、博士论文；还定期的和我联系论文的进度情况和定期指导我的论文怎么写才好本论文的完成，离不开她的悉心知道和孜孜不倦地教诲感谢我的班主任张颖老师，在大学四年中给予我无微不至的照顾帮助使我在大学四年中不段的成长在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文顺利完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我最诚挚的谢意！参考文献[1]华东师范大学数学系．数学分析(下) (第三版) [M]．北京:高等教育出版社,2001[2]徐春．正项级数敛散性的一种判别法[J]．四川轻化工学院学报,2006．6[3]吴慧伶．正项级数收敛性判别的一个推广[J]．丽水学院学报,2006．10[4]杨钟玄．正项级数收敛性的又一新判别法[J]．贵州师范大学学报,2005．11[5]唐仁献．正项级数敛散性判别法新探[J]．零陵学院学报,2003．9[6]马尔迈．关于正项级数比值判别法的一个推广[J]．浙江海洋学院学报2003．12[7]张莉．关于正项级数收敛性判别的一个推广[J]．华中师范大学学报,2002．12[8]陈杰．正项级数的一个新的判敛法[J]．宁波职业技术学院学报,2005．4[9]李密．正项级数的一个新的判敛法[J]．金华职业技术学院学报,2005．3[10]孙勇．正项级数判别敛散新法探索[J]．开封大学学报,2001．12[11]James W．Daniel;ummation of Series of Positive Terms by Condensation Transformations[J]; Mathematics of Computation; Vol．23, No．105 (Jan．, 1969), pp．91-96 [12]Jack P．Tull, David Rearick; A Convergence Criterion for Positive Series[J]; The American [13]Markus Müllera,∗, Dierk Schleicher,∗How to add anon-integer number of terms, and *, Bruce D．Burns *，Streak biases in decision making: data and a memory model Action editor: Christian Schunn[J]，Department of Psychology, Michigan State University, East Lansing, MI 48824, USA；2004．12．611。
正项级数敛散性判别法的讨论论文
正项级数收敛收敛判别法摘 要：级数是高等数学教学中的一个重要内容，而正项级数又是级数的重要组成部分，判别正项级数敛散性的方法很多，判别正项级数敛散性的方法很多，本文主要讨论了正项级数的判别本文主要讨论了正项级数的判别法一些特性，及判别正项级数敛散性的一般步骤并阐述一些正项级数判别的新方法. 关键词：正项级数、收敛、判别法Abstract : Higher Mathematics series i s is is an an an important part of important part of t eaching, teaching, teaching, The series of The series of positive terms is an important series Part, Positive identification of Convergence and Divergence of many ways, This paper discusses the positive series of distinguishing a number number of of of sub-features, sub-features, sub-features, and and and determine determine determine the the the positive positive positive series series series for for for convergence convergence convergence of of of the the general steps. and presents a number of positive series of new methods of identification.Key words : Positive series; Convergence; Discriminance;引言数项级数是数的加法从有限到无限的自然推广数项级数是数的加法从有限到无限的自然推广..但在作加法运算时，许多有限次加法的性质在计算无限次加法时发生了改变限次加法的性质在计算无限次加法时发生了改变..首先，有限次相加的结果总是客观存在的，而无限次相加则可能不存在有意义的结果客观存在的，而无限次相加则可能不存在有意义的结果..也就是说，一个级数可能是收敛或发散的能是收敛或发散的..因而，判别级数敛散性的问题往往被看作级数的首要问题因而，判别级数敛散性的问题往往被看作级数的首要问题. .教材和很多文献已经给出了关于级数敛散性的判别方法，但实际应用中往往会遇到这样的问题：对于一个给定级数，应采用哪种判别法才能快速而又简洁的判定它的敛散性呢？即应按怎样的步骤去思考，在短时间内很难把握判定它的敛散性呢？即应按怎样的步骤去思考，在短时间内很难把握..本文就这一问题做了一些总结和讨论一问题做了一些总结和讨论..1 正项级数的定义和收敛的充要条件1.1正项级数的定义如果级数1n n u ¥=å中各项均有0n u ³,这种级数称为正项级数这种级数称为正项级数..1.2 正项级数收敛的充要条件如果级数1n n u ¥=å中，部分和数列{}n S 有界，即存在某正数M ，对0,n ">有{}n S M<. 2 正项级数判别法2.1 比较判别法【【 1 1】】设n u å和n v å是两个正项级数，如果存在某个正数N ，对一切n>N 都有n u n v £，那么，那么(1) 若级数n v å收敛，则级数n u å也收敛；也收敛； (2) 若级数n u å发散，则级数n v å也发散. 比较判别法的极限形式：比较判别法的极限形式： 设n u å和nvå是两个正项级数.若lim n nnu l v ®¥=，则，则（1）当0l <<+¥时，n u å和n v å同时收敛或同时发散；同时收敛或同时发散； （2）当0l =时，若级数nvå收敛，则级数nuå也收敛；也收敛；（3）当l =+¥，若级数n v å发散，则级数n u å也发散. 2.2 比式判别法【２】设为n u å正项级数，且存在某正整数0N 及常数(01)q q << （1） 若对一切0n N >，成立不等式1n nu q u +£，则级数nu å收敛；收敛；（2）若对一切0n N >，成立不等式11n nu u +³，则级数nu å发散. 比式判别法的极限形式比式判别法的极限形式 若为n u å正项级数，则正项级数，则 （1）当1lim1n n n u u +®¥<时，级数nu å收敛；收敛；（2）当1lim1n n nu u +®¥³时，级数nu å发散. 2.3 根式判别法【【22】】设为n u å正项级数，且存在某正整数0N 及常数l（1） 若对一切0n N >，成立不等式1nn u l £<，则级数n u å收敛；收敛；（2） 若对一切0n N >，成立不等式1nn u ³，则级数n u å发散；发散；根式判别法的极限形式根式判别法的极限形式: :设n u å是正项级数，且lim n n nu l ®¥=，则，则 （1） 当1l <时，则级数n u å收敛；收敛； （2） 当1l >时，则级数n u å发散. 2.4 积分判别法设()f x 为[1,)+¥上非负递减函数，那么正项级数()f n å与反常积分1()f x dx +¥ò同时收敛或同时发散.2.5 Raabe 判别法【 1】设naå为正项级数(0)na >，且则111(),()n n a lo N a n n+=++®¥ （1）当1l >时，级数n a å收敛；（收敛；（22）当1l <时，级数n a å发散. 1) 11++对数第二判别法的证明对数第二判别法的证明(1)当1l >时，则存在1p >，使1l p >>，由1lim lnn nn a n la ®¥+=知，对0l p e =->存在正整数N ，使得当n N >时，有时，有1()n n a l l p p a +>--=，即ln1p n n a ea +>. 由数列1(1)n n ìü+íýîþ单调递减且趋于e 知对一切正整数n有1(1)ne n +<于是当n N >时有时有11111(1)(1)(1)pn n p pnn n n a a an n a n ++éù>+=+Û<+êúëû而无穷级数11p n n¥=å，当时1p >收敛，故由引理3知当1l >时，级数n a å收敛收敛. . (2)当1l <时,存在正数1,2p p ，使1l p q <<<，由1l i m l nn n n a n la ®¥+=知，对0l p e =->存在正整数1N ，使得当1n N >时，时， 有1n n a a +< ()l p l p +-=，即ln ln 1p p n n q q nnn n a e ea +<< 根据qe e <且1lim (1)nne n®¥+=知，存在正整数2N ，得当2n N >时有时有 1(1)n qen+>. 取{}12max ,N N N =，则当n N >时有ln ln 1p p n n q q nnn n a e ea +<<11111(1)(1)n n n n a n n a n +éù<+=+Û>êúëû而调和级数1nå是发散的，故由引理3知当1l <时，级数n a å发散. 2.5.3 第二对数判别法和Raabe 判别法的等价性既然第二对数判别法和既然第二对数判别法和Raabe Raabe Raabe判别法都是以判别法都是以判别法都是以p p 一级数作为比较标准得出的，那么它们之间有什么内在的必然的联系呢那么它们之间有什么内在的必然的联系呢??下面我们将证明第二对数判别法和Raabe Raabe判别法是等价的．我们有：判别法是等价的．我们有：判别法是等价的．我们有：定理定理 数列数列n a 是正数列，则1lim lnn n n a n l a ®¥+=充要条件是111(),()n n a lo n an n +=++®¥. 证明证明 （充分性）若111(),()nn a lo n an n +=++®¥.由引理1有11()11ln ln 1()(),()11()n n lo a l l n n o o n l a n n n no n n ++éù<=++<+®¥êúëû++ 111()ln (),()11()n nn n l no a a n n n l no n l a ao n n+++Þ<<+®¥++ 对上式取极限，可得1lim lnn n n a n l a ®¥+=. （必要性）若1lim lnn n n a n l a ®¥+=，有,1ln(0,)n n n n a n l n a e e +=+®®¥，于是有，于是有,11ln (0,),exp()n n n n n n n a a l l n a n n a n ne e e ++=+®®¥Þ=+，(0,)n n e ®®¥ 1lim exp()1lim (1)n n nn n l an n n l a ne ®¥®¥+éù+-êúëûÞ-==1111(1),(0,),11(),()nn n nn n n n n a a a l l n l n o n a a a n n n ne e e+++Þ-=+®®¥Þ==++=++®¥由定理可知，第二对数判别法是由定理可知，第二对数判别法是Raabe Raabe Raabe判别法的等价变形，因而将第二对数判别法的等价变形，因而将第二对数判别法称为判别法称为Raabe Raabe Raabe对数判别法更合理一些．对数判别法更合理一些．对于有的正项级数有对于有的正项级数有Raabe Raabe Raabe对数判别法对数判别法是很方便的是很方便的. .应用举例应用举例 例1 1!2!!2!n n u n ++=分析：本题无法使用根式判别法与比式判别法，本题无法使用根式判别法与比式判别法，因此选择比较判别法进行判因此选择比较判别法进行判断.!10,()!(1)(2)(1)(2)(21)(2)n n n n u n n n n n n n n <£=<®¥++-且级数11(21)(2)n n n ¥=-å收敛收敛所以级数收敛所以级数收敛. . 例2112(1)(1)(1)nn n a a a a ¥=+++å分析：分析：本题无法使用根式判别法、本题无法使用根式判别法、本题无法使用根式判别法、比式判别法，比式判别法，比式判别法，或比较判别法以及其他的判或比较判别法以及其他的判别法进行判断，因此选用充要条件进行判断别法进行判断，因此选用充要条件进行判断11211211(1)(1)(1)(1)(1)(1)n n n n u a a a a a a ¥=-=-++++++å111212111(1)(1)(1)(1)(1)(1)nn n n n n a S a aa a a a ¥¥====-<++++++åån S 单调递增且有界单调递增且有界所以级数收敛所以级数收敛. . 例3 1ln n p u n n=分析：本题分母含有ln n 的表达式，优先选择积分判别法的表达式，优先选择积分判别法2(1)nnnn u +-T所以1n n u ¥=å收敛时，212nn n u ¥=å也收敛也收敛. .命题1（隔项比值法）设正数列{}n u 单调递减，且单调递减，且2limn n nu u r®¥=.若12r <，则级数1n n u ¥=å收敛收敛.. 证明证明 当当21lim2n n nu u r ®¥=<时，有22lim21nn nuu r ®¥=<.现取现取2,kn k N=Î，就有，就有112.222222lim21lim212kk kkk kn n u u u u r r ++®¥®¥=<Þ=<上式正是正项级数上式正是正项级数12220222kkk k k u u u k u k ¥==++++å第k+1项与第k 项之比的极限，由比式判别法的极限形式可知212nn n u ¥=å收敛，收敛，再由引理可知1n n u ¥=å收敛收敛. .例1 1 判断正项级数判断正项级数21ln n n n¥=å的收敛性的收敛性. .证明证明 因为221ln(1)limlim1ln (1)n n n nu n n u nn +®¥®¥+==+可见比式判别法失效，现2ln n n ìüíýîþ单调递减，改用隔项比值法求解单调递减，改用隔项比值法求解. .222ln(2)11limlimln 42(2)n n n nu n n u nn ®¥®¥==<由此可知级数21ln n n n¥=å收敛收敛. .命题2 设正数列{}n a 单调递减，且2lim n n na na r ®¥=，若12r <，则正项级数1n n a ¥=å收敛收敛证明证明 记222,2,kkk k k k u a v u k N ==Î，由引理可知n a å与k u å同时收敛同时收敛ku å与kv å同时收敛，故na å与kv å同时收敛，在2l i m n n na na r®¥=中令22kn =k N Î，就有，就有1122221222(2)2222222222k kk kk kkkkn naaa u naaua+++===11122211..222k k k k k ku vu v +++==再令n ®¥即得证. 例2 证明级数的221ln n n n¥=å收敛性收敛性证明证明 设21ln n u n n=，因为正数列{}n u 单调递减，且有单调递减，且有222222ln 11lim limln 42n n n nu n n nu n nr ®¥®¥===<由命题2知221ln n n n¥=å收敛收敛. . 4 总结与展望数学分析作为数学系的重要专业基础课程，对学习好其他科目具有重要作用.级数理论是数学分析的重要组成部分，级数理论是数学分析的重要组成部分，在实际生活中的运用也较为广泛，在实际生活中的运用也较为广泛，在实际生活中的运用也较为广泛，如经济如经济问题等.而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断. 判断正项级数的一般顺序是先检验通项的极限是否为0，若为0则发散，若不为0则判断级数的部分和是否有界，有界则收敛，否则发散.若级数的一般项可以进行适当的放缩则使用比较判别法，或可以找到其等价式用等价判别法.当通项具有一定的特点时，通项具有一定的特点时，则根据其特点选择适用的方法，则根据其特点选择适用的方法，则根据其特点选择适用的方法，如比值判别法、如比值判别法、如比值判别法、根式判根式判别法.当上述方法都无法使用时，根据条件选择积分判别法、柯西判别法判别法.当无法使用根式判别法时，当无法使用根式判别法时，通常可以选用比式判别法，通常可以选用比式判别法，通常可以选用比式判别法，当比式判别法也无法使用当比式判别法也无法使用时，使用比较判别法，若比较判别法还是无法判别时再使用充要条件进行断.由此，我们可以得到正项级数的判别法是层层递进使用的，我们可以得到正项级数的判别法是层层递进使用的，每当一种判别法无法判每当一种判别法无法判断时，就出现一种新的判别法来进行判断，因此正项级数的判别法有无穷多种正项级数收敛性判断的方法虽然较多，正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，但使用起来仍有一定的技巧，但使用起来仍有一定的技巧，根据不根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍.本文归纳总结正项级数收敛性判断的一些典型方法，正项级数收敛性判断的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，比较这些方法的不同特点，比较这些方法的不同特点，总结出一些典总结出一些典型的正项级数，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断正项级数收敛判别法也可用于判定负项级数及变号级数的绝对收敛性，也可以推广到傅立叶级数的敛散性判别，在复变函数中也可以用于判定级数在复平面上的敛散性和收敛半径. 由于时间仓促，由于时间仓促，本文尚有许多不足之处，本文尚有许多不足之处，本文尚有许多不足之处，欢迎大家提出意见和建议，欢迎大家提出意见和建议，欢迎大家提出意见和建议，同时希同时希望通过本文能加深学习者对正项级数的了解. 参考文献[1] 陈欣 关于数项级数求和的几种特殊方法关于数项级数求和的几种特殊方法 .[J] . .[J] . .[J] . 武汉工业学院学报，武汉工业学院学报，2002，4. [2] 胡适耕，张显文编著. 数学分析原理与方法数学分析原理与方法 [M] [M].北京：科学出版社，2008，5 [3] 吴良森等编著. 数学分析习题精解数学分析习题精解 [M] . 北京：科学出版社，2002，2. [4] 胡洪萍胡洪萍 数列与级数敛散性判别定理[J] 西安联合大学学报，西安联合大学学报，200420042004，，2[5] B.A 卓里奇编著，蒋锋等译. 数学分析数学分析 [M].北京高等教育出版社，2006，12 [6] 夏学启. 贝努利数的简明表达法贝努利数的简明表达法 [J] . [J] . 芜湖职业技术学院学报，芜湖职业技术学院学报，2006，2 [7] 周应编著. 数学分析习题及解答数学分析习题及解答 [M] . [M] . 武汉：武汉大学出版社，武汉：武汉大学出版社，2001，8 [8] 陈纪修，于崇华，金路编著. 数学分析下册数学分析下册 [M][M] . 北京：高等教育出版社，2000，4 。
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正项级数收敛性判别法的比较及其应用张广良（200706030109）摘要：级数理论是数学分析的重要组成部分，而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断.正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，归纳总结正项级数收敛性判断的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型的正项级数，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍.关键词：正项级数；收敛；典型；方法；比较Positive series convergence criterion of comparison and itsapplicationZhang guangliangAbstract:Series of mathematical analysis theory is an important part of the positive series is a series of important theoretical component of the progression of convergence is the core issue of series theory, in order to resolve the positive series Summation of the problem must be resolved positive series convergence judge. Positive series convergence solution may be judged more, but still have to use the skills, summarized convergence of positive series to determine some of the typical method to compare the different characteristics of these methods, summed up the typical positive series, according to the characteristics of different subject analysis to determine to choose suitable methods to judge, to maximize savings in time and increase efficiency, especially some typical problems, using the typical method to a multiplier.Key words: positive series ; convergence; typical ; methods; compare一、引言数学分析作为数学系的重要专业基础课程，对学习好其他科目具有重要作用。
级数理论是数学分析的重要组成部分，在实际生活中的运用也较为广泛，如经济问题等。
而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断。
正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍。
二、预备知识（一）正项级数收敛的充要条件部分和数列有界，即存在某正数M，对，有<M。
（二）几种不同的判别法1.比较判别法设和是两个正项级数，如果存在某正数N，对一切n>N都有，那么（1）若级数n ∑收敛，则级数n 也收敛； （2）若级数n 发散，则级数n 也发散；即n 和同时收敛或同时发散；。
比较判别法的极限形式 ： 设和n 是两个正项级数。
若li u ，则（1）当0<时，n 与n 同时收敛或同时发散； （2）当l =且级数n 收敛时，n 也收敛；（3）当且n发散时，n也发散。
2. 比式判别法比式判别法的极限形式： 若n 为正项级数，则3. 根式判别法根式判别法的极限形式： 设是正项级数，且，则（1）当时，级数收敛；（2）当l >时，级数n 发散。
4. 积分判别法设()f x 为[1,上非负递减函数，那么正项级数∑与反常积分⎰同时收敛或同时发散。
5. 拉贝判别法设n是正项级数，且存在自然数N 及常数r ，拉贝判别法的极限形式：（1）当r >时，级数n 收敛；（2）当时，级数发散。
（3）当时，拉贝判别法无法判断 6. 阿贝尔判别法 若数列，，且为单调有界数列，级数收敛，则级数收敛。
7. 狄利克雷判别法若数列，，且数列单调递减，，又级数的部分和数列有界，则级数收敛。
8. 伯尔特昂（Bertrand ）判别法设n是正项级数，且，若，则（1）当B>1时，级数n 收敛； （2）当B<1时，级数发散。
9. 对数判别法10. 等价判别法三、判别方法的比较（一）当级数可化为含参数的一般式、通项为等差或等比式或通项为含二项以上根式的四则运算且通项极限无法求出时，可以选用正项级数的充要条件进行判断。
如：P级数只能用正项级数的充要条件进行判断最为简便。
（二）当级数表达式型如，为任意函数、级数一般项如含有等比较判别法使用的范围比较广泛，适用于大部分无法通过其它途径判别其敛散性的正项级数。
（三）当级数含有阶层、n次幂，型如a或或分子、分母含多个因子连乘除时，选用比式判别法。
当通项含（-与u的函数可以选用比式判别法的极限形式进行判断，例：x级数收敛一般来说，当选用根式判别法无法判断时，我们也可以选用比式判别法来判断，但有时候我们用根式判别法而不使用比式判别法，因为根式判别法得到的收敛条件比比式判别法更优。
例如：(0)b c<<比由例题可知，两种判别法都可以用来判断上题，但根式判别法与比式判别法相比得出的收敛范围更小，约束条件更为详细。
因此，上题选用根式判别法比比式判别法更好。
在使用判别法时，我们可以选用根式判别法找到最佳收敛条件。
同时也存在只能使用根式判别法，使用比式判别法无法判断的情况。
例如：因此，当我们观察级数的一般项的极限趋近于0时，我们可以选用比式判别法或根式判别法。
（五）当级数表达式型如1，为含有的表达式或可以找到原函数，或级数为上非负单调递减函数，含有等三角函数的因子可以找到原函数，可以选用积分判别法。
例：（六）当级数同时含有阶层与n 次幂，型如!a 与na 时，或使用比式、根式判别法时极限等于1或无穷无法判断其敛散性的时候，选用拉贝判别法。
例：不能用比式判别法不能用根式判别法因此，当根式判别法与比式判别法无法判断敛散性时，我们可以选用拉贝判别法。
（七）当通项是由两个部分乘积而成，其中一部分为单调递减且极限趋于0的数列，另一部分为部分和有界的数列，如含有θs i n 或等三角θcos 函数、()n1-等；或可化为()n1-，如()()211--n n =()n 1-；也可以型如()∑n u sin ，n u 为任意函数，则可以选用狄利克雷判别法。
阿贝尔判别法也可以看成是狄利克雷判别法的特殊形式。
例：（八）当通项可通过泰勒展开式等方法找到其等价式，则可以通过判断其等价式的敛散性来判断原正项级数的敛散性，这需要对泰勒展开式能够较为熟练的使用，以及对各种等价式能够熟练的运用。
例：2.（十一）当通项型如()n u ln，其中n u为含n log的函数，可以选择伯尔特昂判别法。
如：5.应用举例例1()!2!!2!1n n u n+++= 分析：本题无法使用根式判别法与比式判别法，因此选择比较判别法进行判断所以级数收敛例2∞∑分析：本题无法使用根式判别法、比式判别法，或比较判别法以及其他的判别法进行判断，因此选用充要条件进行判断。
u所以级数收敛例3 n n u p n ln1=分析：本题分母含有ln n的表达式，优先选择积分判别法例4∑+)1sin(2nπ分析：本题型如()∑n u sin,n u为任意函数，则可以选用狄利克雷判别法。
因此，级数收敛例5 +⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛**+⎪⎭⎫ ⎝⎛p p p5*4*25*3*14231215. 总结：数学分析作为数学系的重要专业基础课程，对学习好其他科目具有重要作用。
级数理论是数学分析的重要组成部分，在实际生活中的运用也较为广泛，如经济问题等。
而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断。
判断正项级数的一般顺序是先检验通项的极限是否为0，若为0则发散，若不为0则判断级数的部分和是否有界，有界则收敛，否则发散。
若级数的一般项可以进行适当的放缩则使用比较判别法，或可以找到其等价式用等价判别法。
当通项具有一定的特点时，则根据其特点选择适用的方法，如比值判别法、根式判别法或拉贝判别法。
当上述方法都无法使用时，根据条件选择积分判别法、柯西判别法、库默判别法或高斯判别法。
库默尔判别法可以推出比式判别法、拉贝尔判别法与伯尔特昂判别法。
当无法使用根式判别法时，通常可以选用比式判别法，当比式判别法也无法使用时，使用比较判别法，若比较判别法还是无法判别时再使用充要条件进行断。
由此，我们可以得到正项级数的判别法是层层递进使用的，每当一种判别法无法判断时，就出现一种新的判别法来进行判断，因此正项级数的判别法有无穷多种。
正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍。
本文归纳总结正项级数收敛性判断的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型的正项级数，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断。
正项级数收敛判别法也可用于判定负项级数及变号级数的绝对收敛性，也可以推广到傅立叶级数的敛散性判别。
参考文献:[1]陈欣.关于数项级数求和的几种特殊方法 [J] .武汉工业学院学报，2002，4.[2]陈金梅.幂级数求和法例谈[J] .石家庄职业技术学院报，2005，9.[3]夏学启. 贝努利数的简明表达法[J] .芜湖职业技术学院学报，2006，2.[4]吴良森等编著.数学分析习题精解[M] .北京：科学出版社，2002，2.[5]费定晖，周学圣编著.吉米多维奇数学分析习题集题解[M] .济南.山东科学技术出版社,2005，1.[6]周应编著.数学分析习题及解答[M] . 武汉：武汉大学出版社，2001，8.[7]王晓敏，李晓奇编著.数学分析学习方法与解题指导[M] . 长春：东北大学出版社，2005，12.[8]B.A卓里奇编著，蒋锋等译. 数学分析[M] .北京：高等教育出版社，2006，12.[9]胡适耕，张显文编著.数学分析原理与方法 [M] .北京：科学出版社，2008，5.[10]陈纪修，于崇华，金路编著. 数学分析下册[M].北京：高等教育出版社，2000，4.10。