概率论例题与详解
概率论复习题及答案解析
概率论复习题及答案解析1. 什么是概率论中的随机事件？解析：随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。
它具有不确定性，但可以通过概率来描述其发生的可能性大小。
2. 如何计算两个独立事件同时发生的概率？解析：如果事件A和事件B是独立的，那么它们同时发生的概率等于各自发生概率的乘积，即P(A∩B) = P(A) × P(B)。
3. 什么是条件概率？解析：条件概率是指在某个事件B发生的条件下，另一个事件A发生的概率，记作P(A|B)。
它表示为P(A∩B) / P(B)，前提是P(B) ≠ 0。
4. 什么是贝叶斯定理？解析：贝叶斯定理是一种用于根据条件概率和先验概率来计算后验概率的方法。
公式为P(A|B) = P(B|A) × P(A) / P(B)。
5. 什么是大数定律？解析：大数定律表明，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋近于其概率。
即在大量重复试验中，一个随机事件的相对频率会稳定在其概率附近。
6. 什么是中心极限定理？解析：中心极限定理指出，大量相互独立且同分布的随机变量之和，其分布趋近于正态分布，无论这些变量本身是否服从正态分布。
7. 如何计算二项分布的概率？解析：二项分布的概率可以通过公式P(X=k) = C(n, k) × p^k ×(1-p)^(n-k)计算，其中n是试验次数，k是成功次数，p是单次试验成功的概率，C(n, k)是组合数，表示从n个不同元素中取k个元素的组合方式数。
8. 什么是泊松分布？解析：泊松分布是一种描述在固定时间或空间内，某事件发生次数的概率分布。
其概率质量函数为P(X=k) = (λ^k × e^(-λ)) / k!，其中λ是单位时间或空间内事件发生的平均次数，k是事件发生的次数。
9. 什么是正态分布？解析：正态分布是一种连续概率分布，其概率密度函数为f(x) = (1 / (σ√(2π))) × e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))，其中μ是分布的均值，σ是标准差。
概率论考试题及答案
概率论考试题及答案导言：概率论是数学中的一门基础学科，主要研究随机现象的规律性和不确定性。
它广泛应用于统计学、金融、工程学、计算机科学等领域。
本文将给出一些概率论考试题及答案，旨在帮助读者加深对概率论知识的理解和掌握。
题目一：计算概率已知一副扑克牌，共有52张牌，其中13张为红心。
从中任意抽取5张牌，求至少一张红心的概率。
解答：首先计算没有红心的情况，即全是黑桃、方片和梅花的概率。
抽取第一张牌时，没有红心的概率为39/52；抽取第二张牌时，没有红心的概率为38/51；以此类推，抽取第五张牌时，没有红心的概率为35/48。
将每次抽取没有红心的概率相乘，即可得到全是非红心牌的概率为(39/52) * (38/51) * (37/50) * (36/49) * (35/48) ≈ 0.359。
因此，至少一张红心的概率为1 - 0.359 ≈ 0.641。
题目二：条件概率在一批产品中，有30%的次品。
已知次品中的20%是由机器A生产的，而合格品中的15%是由机器A生产的。
现从这批产品中随机选取一件，发现该件品质合格。
求此件产品是由机器A生产的概率。
解答：设事件B表示所选产品是由机器A生产的，事件A表示所选产品是合格品。
根据题意，已知P(B) = 0.3，P(A|B) = 0.15，需要求的是P(B|A)。
根据条件概率的定义，我们有P(B|A) = P(A∩B) / P(A)。
首先计算P(A∩B)，即既是合格品又是由机器A生产的概率，即P(A∩B) = P(B) * P(A|B) = 0.3 * 0.15 = 0.045。
其次，计算P(A)，即产品为合格品的概率。
合格品中由机器A生产的概率为0.15，由机器B生产的概率为1 - 0.15 = 0.85。
所以，P(A) = P(A∩B) + P(A∩B') = 0.045 + 0.85 * (1 - 0.2) ≈ 0.881。
最后，根据条件概率的公式，可得P(B|A) = P(A∩B) / P(A) = 0.045 / 0.881 ≈ 0.051。
概率论试题(含解析)
---------------------一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）。
1、事件A B 、独立，且()0.8,()0.4P A B P A ⋃==，则__(|)P B A 等于 （A ）0； （B ）1/3； （C ）2/3； （D ）2/5.答：（ B ）2、设()f x 是连续型随机变量X 的概率密度函数,则下列选项正确的是 （A ）()f x 连续； （B ）()(),P X a f a a R ==∀∈； （C ）()f x 的值域为[0,1]； （D ）()f x 非负。
答：（ D ）3、随机变量),(~2σμN X ，则概率{1}P X μ≤+随着σ的变大而（A ）变小； （B ）变大； （C ）不变； （D ）无法确定其变化趋势。
答：（ A ）4、已知连续型随机变量X Y 、相互独立,且具有相同的概率密度函数()f x ，设随机变量mi n{,}Z X Y =，则Z 的概率密度函数为 （A ）2)]([z f ； （B ）2()()z f u du f z -∞⎰； （C ）2)](1[1z f --； （D ）2(1())()zf u du f z -∞-⎰.答:（ D ）5、设12+1,,,,,,m m n X X X X X 是来自正态总体(0,1)N 的容量为n 的简单样本，则统计量2121()mi i nii m n m X m X==+-∑∑服从的分布是（A ）(,)F n m m - （B ）(1,1)F n m m --- （C ）(,)F m n m - （D ）(1,1)F m n m ---答:（ C ）二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）。
6、某人投篮，每次命中的概率为23，现独立投篮3次，则至少命中1次的概率为2627.7、已知连续型随机变量X 的概率密度函数为(1)2,1()0,x Ae x f x --⎧⎪≥=⎨⎪⎩其它，则常数A =12. 8、二维随机变量(,)X Y 的分布函数为(12)(13),0,0(,)0,x y x y F x y --⎧-->>=⎨⎩其它，则概率(1)P Y ≤=2.9、已知随机变量X Y 、的方差分别为2,1DX DY ==，且协方差(,)0.6Cov X Y =，则)(Y X D -=1.8. 10、某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径X （单位：cm ）服从正态分布2(,0.3)N μ，从某天生产的产品中随机抽取9个产品，测其直径，得样本均值_x ＝1.12，则μ的置信度为0.95的置信区间为(0.924,1.316).（已知0.025 1.96z =，0.05 1.65z =，0.025(8) 2.3060t =，0.05(8) 1.8595t =）三、解答题（本大题共6小题，每小题10分，共60分）。
概率论习题及答案
概率论习题及答案概率论习题及答案概率论是数学中的一个重要分支，研究随机事件发生的规律。
在日常生活和各个领域中，我们经常需要运用概率论的知识来解决问题。
下面我将给大家分享几个概率论习题及其解答，希望能帮助大家更好地理解和应用概率论。
习题一：抛硬币问题假设有一枚均匀的硬币，抛掷10次，求出现正面次数为5的概率。
解答：首先，我们需要知道抛硬币的结果只有两种可能，正面和反面，且每次抛掷都是独立的。
所以，抛硬币的结果可以看作是一个伯努利试验。
根据概率论的知识，我们可以使用二项分布来计算这个问题。
设X为出现正面的次数，根据二项分布的公式，可以得到：P(X=k) = C(10,k) * (1/2)^k * (1/2)^(10-k)，其中C(10,k)表示从10次抛硬币中选出k次正面的组合数。
所以，出现正面次数为5的概率为：P(X=5) = C(10,5) * (1/2)^5 * (1/2)^(10-5) = 252 * (1/2)^10 ≈ 0.246。
习题二：扑克牌问题一副标准扑克牌中，红桃牌有13张，黑桃牌有13张，梅花牌有13张，方块牌有13张。
从中随机抽取5张牌，求其中至少有一张红桃牌的概率。
解答：首先，我们需要知道一副标准扑克牌共有52张牌。
根据概率论的知识，我们可以使用组合数来计算这个问题。
设A为至少有一张红桃牌的事件，设B为从52张牌中抽取5张牌的事件。
根据概率的加法定理，我们可以得到：P(A) = 1 - P(A')，其中A'为没有红桃牌的事件。
根据概率的乘法定理，我们可以得到：P(A') = C(39,5) / C(52,5)，其中C(n,m)表示从n个元素中选出m个元素的组合数。
所以，至少有一张红桃牌的概率为：P(A) = 1 - P(A') = 1 - C(39,5) / C(52,5) ≈ 0.651。
习题三：生日问题在一个房间里，有n个人，假设他们的生日是均匀分布的，即每一天出生的概率相等。
概率论练习题与解析
概率论练习题与解析十、概率论与数理统计一、填空题1、设在一次试验中，事件A 发生的概率为p 。
现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为np )1(1--；而事件A 至多发生一次的概率为1)1()1(--+-n n p np p 。
2、 三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子有3个黑球5个白球。
现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出1个球，这个球为白球的概率等于 。
已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为 。
解：用iA 代表“取第i 只箱子”，i =1，2，3，用B 代表“取出的球是白球”。
由全概率公式⋅=⋅+⋅+⋅=++=12053853*********)|()()|()()|()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P B P由贝叶斯公式⋅=⋅==5320120536331)()|()()|(222B P A B P A P B A P3、 设三次独立试验中，事件A 出现的概率相等。
若已知A 至少出现一次的概率等于19/27，则事件A 在一次试验中出现的概率为 。
解：设事件A 在一次试验中出现的概率为)10(<<p p ，则有2719)1(13=--p ，从而解得31=p4、已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ，随机事件B 的概率6.0)(=B P 及条件概率8.0)|(=A B P ，则和事件B A Y 的概率)(B A P Y = 。
7.08.05.06.05.0)|()()()()()()()(=⨯-+=-+=-+=A B P A P B P A P AB P B P A P B A P Y 5、 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5。
现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 。
用A 代表事件“甲命中目标”，B 代表事件“乙命中目标”，则B A Y 代表事件“目标被命中”，且8.06.05.06.05.0)()()()()()()()(=⨯-+=-+=-+=B P A P B P A P AB P B P A P B A P Y所求概率为75.08.06.0)()()|(===B A P A P B A A P Y Y6、 设随机事件A ，B 及其和事件B A Y 的概率分别是0.4，0.3和0.6。
概率论例题解析
P ( B | A)
P ( AB ) P ( B ) m 1 P ( A) P ( A) 2M m 1
(2)设C表示“所取产品中至少有一件合格品”， D表示“所取产品中有一件合格品，一件不合格 品”。则
m M m M m 1 1 2 P (C ) M 2
例12 有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽 车、飞机来的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4。 如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概 率分别是1/4、1/3、1/12，而乘飞机不会迟到。 结果他迟到了，试问他是乘火车来的概率是多 少？ 解: 用A1表示“朋友乘火车来”，A2表示“朋友 乘轮船来”，A3表示“朋友乘汽车来”，A4表示 “朋友乘飞机来”，B表示“朋友迟到了”。 由贝叶斯公式，
(1) P ( Ak | A1 Ak 1 ) 1 1 n (k 1) n k 1
n1 n 2 1 1 n n1 n k 1 n
(2) P( Ak ) P( A1 Ak 1 Ak )
例10 某厂调进号码为1的箱子10个，号码为2 的箱子20个，其中号码为1的每个箱子有A等 品10件，B等品5件；号码为2的每个箱子有A 等品10件，B等品20件，现任取1个箱子并从 中任取1件物品，问取到A等品和B等品的概率 分别是多少？
例题解析
例1 写出下列实验的样本空间
（1）生产产品直到得到10件正品，记录生产产 品的总件数。
（2）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上 正品，不合格的盖上次品，如连续查出两个次品 就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检 查的结果。
答案：(1) {10,11,12,} (2) {00,100,0100 ,0101 ,0111 ,0110 ,1010 ,1011 ,1100 ,1101 ,1110 ,1111 }
概率论解题示例详解
概率论解题示例详解概率论是数学中的一个重要分支，它研究的是不确定事件的规律性。
通过概率的计算和推理，我们可以预测和评估各种事件发生的可能性。
概率论在实际生活中有着广泛的应用，比如在金融、统计、工程等领域中都能看到它的身影。
本文将通过详解一些概率论解题示例，来帮助读者更好地理解和掌握概率论的基本概念和解题方法。
示例一：抛硬币问题抛硬币是常见的概率论例题。
假设有一枚公平的硬币，正反两面出现的机会均等。
现在我们抛掷这枚硬币三次，问以下几种情况的概率是多少：1. 出现三次正面的概率2. 出现两次反面的概率3. 至少出现一次正面的概率解答：1. 出现三次正面的概率：假设硬币抛掷的结果为独立事件，每次抛掷都有两种可能的结果，即正面和反面。
因此，出现三次正面的概率可以表示为：1/2 * 1/2 * 1/2 = 1/8。
2. 出现两次反面的概率：同样地，假设硬币抛掷的结果为独立事件，每次抛掷都有两种可能的结果。
根据排列组合的原理，两次反面和一次正面可以有三种不同的组合，即反反正、反正反、正反反。
因此，出现两次反面的概率可以表示为：3 * (1/2 * 1/2 * 1/2) = 3/8。
3. 至少出现一次正面的概率：可以通过计算出至少出现一次反面的概率，然后用1减去该概率即可。
出现一次反面的概率可以表示为：(1/2 * 1/2 * 1/2) = 1/8。
因此，至少出现一次正面的概率为1 - 1/8 = 7/8。
示例二：生日悖论生日悖论是概率论中一个有趣且常见的问题。
假设有一个房间里有n个人，问至少有两个人生日相同的概率是多少？解答：假设每个人的生日是均匀分布的，即每一天出生的概率相等。
我们可以通过计算每个人生日不相同的概率，然后用1减去该概率得到至少有两个人生日相同的概率。
第一个人的生日可以是任意一天，概率为1。
第二个人的生日不能与第一个人相同，即概率为364/365。
第三个人的生日不能与前两个人相同，即概率为363/365。
高等数学(概率论)习题及解答
高等数学(概率论)习题及解答高等数学（概率论）题及解答
1. 题一
1.1. 题目
已知事件A和B的概率分别为P(A) = 0.2，P(B) = 0.3，且P(A∪B) = 0.4，求P(A∩B)。
1.2. 解答
根据概率的加法定理，有：
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
代入已知数据得：
0.4 = 0.2 + 0.3 - P(A∩B)
P(A∩B) = 0.1
所以，P(A∩B)的概率为0.1。
2. 题二
2.1. 题目
已知某城市一天中的天气分为晴天、阴天和雨天三种情况，其中晴天的概率为0.4，阴天的概率为0.3。
现已知，当下为晴天时，随后一天也是晴天的概率为0.7；当下为阴天时，随后一天为晴天的概率为0.5。
求当下为晴天时，随后一天为阴天的概率。
2.2. 解答
设事件A为当下为晴天，事件B为随后一天为阴天。
根据条件概率的定义，有：
P(B|A) = P(A∩B) / P(A)
已知 P(A) = 0.4，P(B|A) = 0.5，代入并整理得：
0.5 = P(A∩B) / 0.4
P(A∩B) = 0.5 * 0.4
P(A∩B) = 0.2
所以，当下为晴天时，随后一天为阴天的概率为0.2。
以上是高等数学（概率论）习题及解答的部分内容，如有更多问题或需要补充，请随时告知。
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例题
1.玻璃杯成箱出售，每箱20只，各箱次品数为0,1,2只的概率分别为0.8,0.1,0.1,一顾客欲买下一箱玻璃杯售货员随机取出一箱，顾客开箱后随机取4只进行检查，若无次品，则购买，否则退回，求
（1）顾客买下该箱玻璃杯的概率？
（2）在顾客买下的一箱中，确实没有次品的概率？
解 设),2,1,0(=i A i 表示箱中有i 件次品，B 表示顾客买下该箱玻璃杯
（1）由全概率公式
()()()94.01.01.018.04204184204192
0≈⨯+⨯+⨯=∑==C C C C A p A B P B P i i i （2）由贝叶斯公式
85.0)()
()()(000≈=B P A P A B P B A P
2.设有两箱同类零件，第一箱内装有50件，其中10件是一等品；第二箱内装有30件，其中18件是一等品，现从两箱中任意挑出一箱，然后从该箱中依次随机地取出两个零件（取出的零件不放回），试求
（1）第一次取出的零件是一等品的概率；
（2）在第一次取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍是一等品的概率.
解 设),2,1,0(=i A i 表示从第i 箱中取得的是一等品（取出的零件不放回），B 表示从第一箱中取零件，B 表示从第二箱中取零件
（1）由全概率公式
4.02
130********)()()()()(111=⨯+⨯=
+=B P B A P B P B A P A P （2）由全概率公式 2129173018214995010)()()()()(212121⨯⨯+⨯⨯=
+=B P B A A P B P B A A P A A P 因此有
)
()()(12112A P A A P A A P =4856.0)2129173018214995010(25=⨯⨯+⨯⨯= 3.某电子元件在每一次试验中发生故障的概率为0.3，当故障发生不少于3次时，指示灯发出信号
（1）进行了5次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率；
（2）进行了7次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率.
解（1）进行了5次重复独立试验，指示灯发出信号的概率为
163.03.07.03.07.03.054452335≈+⋅+⋅C C
（2）进行了7次重复独立试验，指示灯发出信号的概率为
353.07.03.07.03.07.0152276177≈⋅+⋅--C C
4.甲、乙、丙3人同向一飞机射击，设击中飞机的概率分别为0.4,0.5,0.7，如果只有1人击中飞机，则飞机被击落的概率是0.2；如果有2人击中飞机，则飞机被击落的概率是0.6；如果3人都击中飞机，则飞机一定被击落，求飞机被击浇的概率.
解：设321,,A A A 分别表示甲、乙、丙击中飞机，i B 表示有)3,2,1(=i i 个人击中飞机
=)(1B P )()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++
)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=
36.07.05.06.03.05.06.03.05.04.0=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=
=)(2B P )()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++
)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=
41.07.05.04.03.05.06.03.05.04.0=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=
=)(3B P )(321A A A P
)()()(321A P A P A P =
14.07.05.04.0=⨯⨯=
由全概率公式
)()()(11B B P B P B P =)()(22B B P B P +)()(33B B P B P +
458.0114.06.041.02.036.0=⨯+⨯+⨯=
5.随机地向半圆220x ax y -<<（a 为正常数）内扔一个点，点落在半圆内任何区域内的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与x 轴的夹角小于4
π的概率. 解：以D 表示半圆220x ax y -<<，由题设，点),y x （应该落在如图的阴影部分G ，G 的面积为（在极坐标系中计算）
θθπθθπ
d r rdr d G S a a ⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛==40cos 202cos 204
02
1)( θθπd a ⎰=4
022cos 22402214)2cos 1(a d a ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=+=⎰πθθπ
（或G 的面积等于一个等腰直角三角形的面积加上
4
1个圆的面积） 故πππ1212
1214)()()(22+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==a a D S G S A P 6.设1)(0<<A P ，1)(0<<B P ，证明：B A 、独立⇔1)|()|(=+B A P B A P .
证明：1)|()|(=+B A P B A P ⇔)()|(1)|(B A P B A P B A P =-= ⇔)
(1)()()(B P B A P B P AB P -=⇔)()()()()(B A P B P AB P B P AB P =- ⇔)()()]()()[()(A P B P B A P AB P B P AB P =+=⇔B A 、独立
7. 要验收一批100件的乐器,验收方案如下:自该批乐器中随机地取3件测试（设3件乐器的测试是相互独立的），如果3件中至少有一件被认为音色不纯，则这批乐器就被拒绝接收，设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为0.95，而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为0.01，如果已知这100件乐器中恰好有4件是音色不纯的，试问这批乐器被接收的概率是多少？
解：设i B ={随机地取3件乐器，其中有i 件是音色不纯的}（3,2,1,0=i ）
A={这批乐器被接收}
30)99.0()(=B A P ，05.0)99.0()(21⋅=B A P ，22)05.0(99.0)(⋅=B A P
33)05.0()(=B A P
31003960)(C C B P =，3100142961)(C C C B P =，3100241962)(C C C B P =，3100
343)(C C B P = 故由全概率公式有
8629.0)()()(3
0==∑=i i i B P B A P A P
8.一 猎人用猎枪射击野兔，第一枪距离200米，如果未击中就追到150米处第二次射击，如果仍未击中，再追到100米处第三次射击，此时击中的概率为0.5，如果猎人的命中率始终与距离的平方成反比，求猎人击中野兔的概率。
解：设}{,3,2,1}{击中野兔，次射击击中第===B i i A i
22.0150
)(,125.0200)(1005.01005.0222122
====⨯=∴=k A P k A P k k 66
.05.078.0875.022.0875.0125.0)
()()()()()()(321211≈⨯⨯+⨯+=++=A P A P A P A P A P A P B P
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