01 专题一：勾股定理(逆定理)与网格图

【引例1】
1、如图，每个小正方形的边长为1，在图中画3条线段长度分别为 √5 ，√10，√13
2、如图，每个小正方形的边长为1，则完成下列问题：
(1) BC= √17 ； (2)求点A 到BC 边的距离h= 3
2√10.
【引例2】如图，每个小正方形的边长为1，在图中画一个边长为√5 的正方形，且正方形
的四个顶点在格点上
若几何图形的顶点在格点上，则利用勾股定理可求得其边长，进而求其周长.
网格中，求顶点在格点上的四边形或五边形等几何图形的面积，可利用外部补法，转化成用长方形（或正方形）的面积减去直角三角形面积.
【例1】如图，点A ，B 都在格点上，要求格点上再找一点C ，使得△ABC 为直角三角形（画
出所有符合要求的C 点）.
典例精讲
方法点睛
专题导入
勾股定理（逆定理）与网格图
A C
B
举一反三：
1．在△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC=2，找点D,使得点D，点B位于AC的异侧，且△ACD为等腰直角三角形，并求出线段BD的长.
2．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．（1）在图1中以格点为顶点画一个面积为5的等腰直角三角形；
（2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，√5，√13；
（3）如图3，点A，B，C是格点，直接写出∠ABC的度数；
（4）在图4中画出△ABC（点C是格点），使△ABC为等腰三角形（画一个）．
【解答】解：（1）√12+32＝√10，1
×√10×√10＝5，如图1所示；
2
（2）√12+22＝√5，√22+32＝√13，三角形如图2所示；
（3）如图3，连接AC．∵AC＝BC＝√10，AB＝2√5，
∴AC2+BC2＝AB2．∴∠ACB＝90°．
∵AC＝BC，∴∠ABC＝45°．
（4）以AB为腰，如图4所示：
【例2】（1）在△ABC 中，AB ，BC ，AC 三边的长分别为√5，√17，√10，求这个三角形的面积．
如图1，某同学在解答这道题时，先建立一个每个小正方形的边长都是1的网格，再在网格中画出边长符合要求的格点三角形ABC （即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），这样不需要求△ABC 的高，而借用网格就能就算出它的面积． 请你将△ABC 的面积直接填写在横线上 ． 思维拓展：
（2）已知△ABC 三边的长分别为√13a ，2√2a ，√17a （a ＞0），求这个三角形的面积． 我们把上述求△ABC 面积的方法叫做构图法．如图2，网格中每个小正方形的边长都是a ，请在网格中画出相应的△ABC ，并求出它的面积． 类比创新：
（3）若△ABC 三边的长分别为√m 2+16n 2，√16m 2+9n 2，√9m 2+n 2（m ＞0，n ＞0，且m ≠n ），求出这个三角形的面积．
如图3，网格中每个小长方形长、宽都是m ，n ，请在网格中画出相应的△ABC ，用网格计算这个三角形的面积．
解：（1）△ABC 的面积＝2×4﹣1
2
×1×2﹣1
2
×1×4﹣1
2
×1×3＝3.5，
故答案为：3.5；
（2）如图2，△ABC 的面积＝3a ×4a ﹣1
2
×3a ×2a ﹣1
2
×a ×4a ﹣1
2
×2a ×2a ＝5a 2；
（3）如图3，△ABC 的面积＝4m ×4n ﹣12
×m ×4n ﹣12
×3m ×n ﹣1
2
×4m ×3n ＝6.5mn ．
举一反三：
3.如图，点A是5×5网格图形中的一个格点，图中每个小正方形的边长为1，请在网格中
按下列要求操作：
（1）以点A为其中的一个顶点，在图（1）中画一个面积等于3的格点直角三角形；
的格点等腰直角三角形．（2）以点A为其中的一个顶点，在图（2）中画一个面积等于5
2
（3）以点A为其中的一个顶点，在图（3）中画一个三边比为1：√2：√5，且最长边为5的格点三角形．
【分析】（1）画一个两直角边长为2和3的直角三角形即可；
（2）画一个两直角边长为√5的直角三角形即可；
（3）三边比为1：√2：√5，且最长边为5，另两边为√5和√10．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）如图所示：
（3）如图所示：
1．如图，在55⨯的网格中，每个格点小正方形的边长为1，ABC ∆的三个顶点A 、B 、C 都在网格格点的位置上．
（1）请直接写出AB 、BC 、AC 的长度； （2）求ABC ∆的面积； （3）求边AB 上的高．
2．在下面的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，正方形的顶点称为格点，请在图中
专题过关
3.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为
顶点的三角形称为格点三角形：
（1）如图①，已知格点△ABC，分别求三边的长，并判断这个三角形是否直角三角形；
（2）画格点△DEF，使其为钝角三角形，且面积为4（在图②中画一个即可）．
4.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．
（1）在图①中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、√5、√13；
（2）在图②中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；
（3）观察图③中带阴影的图形，请你将它适当剪开，重新拼成一个正方形（要求：在图
③中用虚线作出，并用文字说明剪拼方法）．图③说明：
5．问题：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为√2，√13，√17求这个三角形的面积．
（1）请你将△ABC 的面积直接填写在横线上 ．
（2）我们把上述求△ABC 面积的方法叫做构图法．若△ABC 三边的长分别为√2a ，2√5a ，√26a （a ＞0）
，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）画出相应的△ABC ，并求出它的面积是： ．
（3）若△ABC 三边的长分别为√4m 2+n 2，√16m 2+n 2，2√m 2+n 2（m ＞0，n ＞0，m ≠n ），并求出△ABC 的面积为： ．
6．如图，每个小正方形的边长都为1． （1）求四边形ABCD 的周长． （2）求点A 到BC 的距离．
7．嘉嘉参加机器人设计活动，需操控机器人在55⨯的方格棋盘上从A 点行走至B 点，且每个小方格皆为正方形，主办单位规定了三条行走路径1R ，2R ，3R ，其行经位置如图与表所示：
已知A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 七点皆落在格线的交点上，且两点之间的路径皆为直线，在无法使用任何工具测量的条件下，请判断1R 、2R 、3R 这三条路径中，最长与最短的路径分别为何？请写出你的答案，并完整说明理由．
答案：
（2）ABC ∆的面积2222=⨯÷=；
3、【分析】（1）先根据勾股定理求出AB、BC及AC的长，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可；
（2）根据题意画出钝角三角形，使三角形的面积为4即可．
【解答】解：（1）∵AB＝√10，BC＝√5，AC＝√13，
∵AB2+BC2≠AC2，
∴这个三角形不是直角三角形；
（2）如图所示．
4．【分析】（1）根据1×2的对角线为√5，3×2的对角线为√13，可作出边长为2，√5，√13的三角形．
（2）由正方形的面积为10，可知：正方形的边长为√10，1×3的长方形方格的对角线长是√10，从而作出面积为10的正方形；
（3）阴影部分共有5个小正方形，面积为5，所以作出的正方形的边长为√5，然后沿相邻2个正方形的对角线剪开即可，再进行拼接即可．
【解答】解：（1）如图所示，△ABC即为所求作的三角形；
（2）如图所示，正方形ABCD的面积为10；
（3）如图所示，沿虚线剪开，然后①、②、③分别对应拼接即可得解．
5．【分析】（1）利用恰好能覆盖△ABC 的长为4，宽为2的小矩形的面积减去三个小直角三角形的面积即可解答；
（2）√2a 是直角边为a 的等腰直角三角形的斜边，2√5a 是直角边长为4a ，2a 的直角三角形的斜边；√26a 是直角边长为5a ，a 的直角三角形的斜边；，把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积；
（3）结合（1），（2）易得此三角形的三边分别是直角边长为2m ，n 的直角三角形的斜边；直角边长为4m ，n 的直角三角形的斜边；直角边长为2m ，2n 的直角三角形的斜边．同样把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积．
【解答】解：（1）如图1，S △ABC ＝2×4﹣1
2×1×1﹣1
2×1×4﹣1
2×2×3＝5
2；故填：5
2； （2）如图2，S △ABC ＝2a ×5a ﹣1
2
×a ×a ﹣1
2
×2a ×4a ﹣1
2
×5a ×a ＝3a 2；故填：3a 2；
（3）如图3，S △ABC ＝2n ×4m ﹣12
×2m ×n ﹣12
×4m ×n ﹣1
2
×2m ×2n ＝3mn ；故填：3mn ．
（2）设点A 到BC 的距离为h ，
2510+
∴最长路径为A E D F B →→→→；最短路径为A G B →→．。