勾股定理与网格问题.doc
勾股定理典型题总结(较难)
勾股定理一．勾股定理证明与拓展 模型一. 图中三个正方形面积关系思考：如下图，以直角三角形a 、b 、c 为边，向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积有和关系？例1、有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上上生出两个小正方形（如图1），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图2），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”；在“生长”了2017次后形成的图形中所有正方形的面积和是 .变式1：在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图1所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，1. 21，1. 44，正放置的四个正方形的面积依次是1234S S S S ，，，，则41S S =______.变式2：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD，以AB、BC、DC为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，若S1=3，S3=9，求S2.（变式2）（变式3）变式3：如图，Rt△ABC 的面积为10cm2，在AB 的同侧，分别以AB，BC，AC 为直径作三个半圆，则阴影部分的面积为．（难题）如图，是小明为学校举办的数学文化节设计的标志，在△ABC 中，∠ACB＝ 90°，以△ABC 的各边为边作三个正方形，点G 落在HI 上，若AC＋BC＝6，空白部分面积为10.5，则阴影部分面积模型二外弦图DCBA内弦图GFEH例题2.四年一度的国际数学大会于2002年8月20日在北京召开，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5。
求中间小正方形的面积为__________;变式1：如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方图案，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用x 、y 表示直角三角形的两直角边（x y >），下列四个说法：①2225x y +=，②2x y -=，③2125xy +=，④9x y +=．其中说法正确的有___________（填序号）.(变式1) (变式2)变式2：如图,正方形ABCD 的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH ，则线段GH 的长 为变式3：我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称为“赵爽弦图”（如图5），图6是由弦图变化得到的，他是由八个全等的直角三角形拼接而成。
人教数学八年级下册《勾股定理》典型例题分析.docx
初中数学试卷桑水出品《勾股定理》典型例题分析一、知识要点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么 a2 + b2= c2。
公式的变形：a2 = c2- b2， b2= c2-a2 。
2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2 + b2= c2，那么三角形ABC 是直角三角形。
这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：①已知的条件：某三角形的三条边的长度.②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。
3、勾股数满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。
注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。
②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。
常见勾股数有：（3，4，5）(5，12，13) (6，8，10)(7，24，25)(8，15，17)(9，12，15)4、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。
二、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．2. 如图，以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S 1、S 2、S 3，则它们之间的关系是（ ）A. S 1- S 2= S 3B. S 1+ S 2= S 3C. S 2+S 3< S 1D. S 2- S 3=S 14、四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积。
5、在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。
网格中的三角函数
1网格中的锐角三角函数网格是同学们从小就熟悉的图形，在网格中隐含的条件有：1.直角；2.单位长度。
所以在网格中可以求一个锐角的三角函数，是近几年中考的热点，下面举例说明。
一、在网格中与勾股定理现结合求一个锐角的三角函数。
【例1】 三角形在正方形网格纸中的位如图1，则sin α的值是( ).[解析] 本题在网格中考查锐角的正弦的意义，首先要用勾股定理计算直角三角形斜边的长．一般情况下，为了减小计算量，把小正方形的边长设为1．选C ．练习1（广州市2014）如图2，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，则（ ）．（A ） （B ） （C ） （D ）练习2 （2014年福州）如图3，在边长为1个单位长度的小正方形所组成的网格中，△ABC 的顶点均在格点上，344543B .； C .35；D .A. 35图3图22sinB 的值是 .3.（2011四川）如图4，在4×4的正方形网格中， tanα= .A ．1B ．2C ．12D4.（2011甘肃兰州）如图5，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC’B’，则tanB’的值为 .A ．12B ．13C ．14 D3. （2011江苏连云港）如图6，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.在网格中求一个锐角的三角函数时，根据图中角的位置。
充分利用网格中的直角和边，然后根据勾股定理求出相应的边长，最后利用三角函数公式进行计算，达到解决问题的目的。
二、在网格中与辅助线相结合求一个锐角的三角函数。
【例2】 （2014•贺州）如图7-1网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC 每个顶点都在网格的交点处，则sinA= ．[解析] 虽然网格中隐含直角，但是∠A 是△ABC中图7-1图7-2图4图6图5的一个锐角，而△ABC不是直角三角形，不能直接运用三角函数公式进行计算，必须先做辅助线构造直角三角形，使∠A在一个直角三角形中，然后求出所对应的斜边和对边，而后解决问题。
勾股定理经典题型（后附答案）
勾股定理经典题型（后附答案）第 1 页共 5 页勾股定理经典题型(后附答案)⼀、经典例题精讲题型⼀：直接考查勾股定理例１.在ABC ?中，90C ∠=?．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长. ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长. 题型⼆：利⽤勾股定理测量长度例题1 如果梯⼦的底端离建筑物9⽶，那么15⽶长的梯⼦可以到达建筑物的⾼度是多少⽶？例题2 如图（8），⽔池中离岸边D 点1.5⽶的C 处，直⽴长着⼀根芦苇，出⽔部分BC 的长是0.5⽶，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点，并求⽔池的深度AC.题型三：勾股定理和逆定理并⽤——例题3 如图3，正⽅形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上⼀点，且AB FB 41=那么△DEF 是直⾓三⾓形吗？为什么？题型四：利⽤勾股定理求线段长度——例题4 如图4，已知长⽅形ABCD 中AB=8cm,BC=10cm,在边CD 上取⼀点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长.题型五：利⽤勾股定理逆定理判断垂直——例题5 如图5，王师傅想要检测桌⼦的表⾯AD 边是否垂直与AB 边和CD 边，他测得AD=80cm ，AB=60cm ，BD=100c m，AD 边与AB 边垂直吗？怎样去验证AD 边与CD 边是否垂直？例题6 有⼀个传感器控制的灯，安装在门上⽅，离地⾼4.5⽶的墙上，任何东西只要移⾄5⽶以内，灯就⾃动打开，⼀个⾝⾼1.5⽶的学⽣，要⾛到离门多远的地⽅灯刚好打开？第 2 页共 5 页题型六：旋转问题：例题7 如图，△ABC 是直⾓三⾓形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与△ACP ′重合，若AP=3，求PP ′的长。
变式1: 如图，P 是等边三⾓形ABC 内⼀点，PA=2,PB=23,PC=4,求△ABC 的边长.变式2: 如图，△ABC 为等腰直⾓三⾓形，∠BAC=90°，E 、F 是BC 上的点，且∠EAF=45°，试探究222BE CF EF 、、间的关系，并说明理由.题型七：关于翻折问题例题8 如图，矩形纸⽚ABCD 的边AB=10cm ，BC=6cm ，E 为BC 上⼀点，将矩形纸⽚沿AE 折叠，点B 恰好落在CD 边上的点G 处，求BE 的长.变式：如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC=45°，把△ADC 沿直线AD 翻折，点C 落在点C ’的位置，BC=4,求BC ’的长.题型⼋：关于勾股定理在实际中的应⽤：例题9 如图，公路MN 和公路PQ 在P点处交汇，点A处有⼀所中学，AP=160⽶，点A 到公路MN 的距离为80⽶，假使拖拉机⾏驶时，周围100⽶以内会受到噪⾳影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN ⽅向⾏驶时，学校是否会受到影响，第 3 页共5页请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千⽶/⼩时，那么学校受到影响的时间为多少？题型九：关于最短性问题例题10 如右图1－19，壁虎在⼀座底⾯半径为2⽶，⾼为4⽶的油罐的下底边沿A 处，它发现在⾃⼰的正上⽅油罐上边缘的B 处有⼀只害⾍，便决定捕捉这只害⾍，为了不引起害⾍的注意，它故意不⾛直线，⽽是绕着油罐，沿⼀条螺旋路线，从背后对害⾍进⾏突然袭击．结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了⼀顿美餐．请问壁虎⾄少要爬⾏多少路程才能捕到害⾍?（π取3.14，结果保留1位⼩数，可以⽤计算器计算）变式：如图为⼀棱长为3cm 的正⽅体，把所有⾯都分为9个⼩正⽅形，其边长都是1cm ，假设⼀只蚂蚁每秒爬⾏2cm ，则它从下地⾯A 点沿表⾯爬⾏⾄右侧⾯的B 点，最少要花⼏秒钟？三、课后训练：⼀、填空题1．如图(1)，在⾼2⽶，坡⾓为30°的楼梯表⾯铺地毯，地毯的长⾄少需________⽶． 2．种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底⾯半径为2.5㎝，⾼为12㎝，吸管放进杯⾥，杯⼝外⾯⾄少要露出 4.6㎝，问吸管要做㎝。
习题word版：第十七章 勾股定理
第十七章 勾股定理17．1 勾股定理 第1课时 勾股定理01 基础题知识点1 勾股定理的证明1．利用图1或图2两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为勾股定理，该定理结论的数学表达式是a 2＋b 2＝c 2．2．在一张纸上画两个全等的直角三角形，并把它们拼成如图形状，请用两种方法表示这个梯形的面积．利用你的表示方法，能得到勾股定理吗？解：∵梯形的面积为12(a ＋b)(a ＋b)＝12ab ＋12ab ＋12c 2，∴a 2＋2ab ＋b 2＝ab ＋ab ＋c 2. ∴a 2＋b 2＝c 2.知识点2 利用勾股定理进行计算3．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对应边分别是a ，b ，c ，若∠B ＝90°，则下列等式中成立的是(C ) A ．a 2＋b 2＝c 2 B ．b 2＋c 2＝a 2 C ．a 2＋c 2＝b 2 D ．c 2－a 2＝b 2 4．(2019·平顶山期末)在△ABC 中，∠B ＝90°.若BC ＝3，AC ＝5，则AB 等于(C ) A ．2 B ．3 C ．4 D .34 5．已知直角三角形中30°角所对的直角边的长是2 3 cm ，则另一条直角边的长是(C ) A ．4 cm B ．4 3 cm C ．6 cm D ．6 3 cm 6．(2019·毕节)如图，点E 在正方形ABCD 的边AB 上．若EB ＝1，EC ＝2，则正方形ABCD 的面积为(B ) A .3 B ．3 C . 5 D ．57．(2019·洛阳期中)如图，在△ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝5 cm ，BC ＝13 cm ，BD 是AC 边上的中线，则△BCD 的面积是15__cm 2．8．(2019·郑州高新区期末)如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A 所代表的正方形的面积为64．【变式】 如图，以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆S 1，S 2，S 3.若S 2＝32π，S 3＝18π，则斜边上半圆的面积S 1＝50π．知识点3赵爽弦图9．【关注数学文化】(2019·咸宁)勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是(B),A) ,B) ,C) ,D)10．(2019·大庆)我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a，b，那么(a－b)2的值是1．易错点直角边不确定时漏解11．(2019·洛阳期中)已知Rt△ABC的三边长为a，4，5，则a的值是(C)A．3 B.41C．3或41 D．9或4102中档题12．(本课时T8变式)如图，分别以Rt△ABC的三边为边长向外作等边三角形．若AB＝4，则三个等边三角形的面积之和是(A)A．8 3 B．6 3C．18 D．1213．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB 上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为(A)A．3 3 B．6C．3 2 D.2114．(2019·河南)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3.分别以点A，C为圆心，大于12AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O.若点O是AC的中点，则CD的长为(A)A．2 2 B．4C．3 D.1015．(2018·荆州)为了比较5＋1与10的大小，可以构造如图所示的图进行推算，其中∠C ＝90°，BC ＝3，D 在BC 上且BD ＝AC ＝1.通过计算可得5＋1>10.(填“>”“<”或“＝”)16．在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为32或42． 17．如图，在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13，求△ABC 的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．解：在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13， 设BD ＝x ，则CD ＝14－x.由勾股定理，得AD 2＝AB 2－BD 2＝152－x 2，AD 2＝AC 2－CD 2＝132－(14－x)2. ∴152－x 2＝132－(14－x)2.解得x ＝9. ∴AD ＝12.∴S △ABC ＝12BC·AD ＝12×14×12＝84., 03 综合题) 18．(2019·毕节改编)三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，点B 在ED 上，AB ∥CF ，∠F ＝∠ACB ＝90°，∠E ＝45°，∠A ＝60°，AC ＝10，求CD 的长度．解：过点B 作BM ⊥FD 于点M ，在△ACB 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝10， ∴∠ABC ＝30°.∴AB ＝2AC ＝20，BC ＝AB 2－AC 2＝10 3. ∵AB ∥CF ，∴∠BCM ＝∠ABC ＝30°.∴BM ＝12BC ＝12×103＝5 3.∴CM ＝BC 2－BM 2＝15. 在△EFD 中，∠F ＝90°，∠E ＝45°， ∴∠EDF ＝45°. ∴MD ＝BM ＝5 3.∴CD ＝CM －MD ＝15－5 3.第2课时勾股定理的应用01基础题知识点1勾股定理在平面图形中的应用1．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行10米．2．八(2)班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图风筝的高度CE，他们进行了如下操作：①测得BD的长度为15米；(注：BD⊥CE)②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明身高为1.6米．求风筝的高度CE.解：在Rt△CDB中，由勾股定理，得CD＝CB2－BD2＝252－152＝20(米)．∴CE＝CD＋DE＝20＋1.6＝21.6(米)．答：风筝的高度CE为21.6米．3．(2019·郑州管城区月考)如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，它们同时出发，一个半小时后，甲、乙两渔船相距多少海里？解：由题意，得BO＝1.5×6＝9(海里)，AO＝1.5×8＝12(海里)，∠1＝∠2＝45°，故∠AOB＝90°，AB＝BO2＋AO2＝15(海里)．答：甲、乙两渔船相距15海里．知识点2两次勾股定理的应用4．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为(C) A．0.7米B．1.5米C．2.2米D．2.4米5．(教材P25例2变式)如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A在AC 上滑动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，滑竿顶端A下滑0.5米．知识点3利用勾股定理求两点间的距离6．(2019·常州)平面直角坐标系中，点P(－3，4)到原点的距离是5．7．(教材P26练习T2变式)如图，在平面直角坐标系中，A(4，4)，B(1，0)，C(0，1)，则B，C两点间的距离是2；A，C两点间的距离是5；A，B两点间的距离是5．8．(2019·大庆)如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10 km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10 km 至C港．(1)求A，C两港之间的距离(结果保留到0.1 km，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)；(2)确定C港在A港的什么方向．解：(1)由题意，得∠PBC＝30°，∠MAB＝60°.∴∠CBQ＝60°，∠BAN＝30°.∴∠ABQ＝30°.∴∠ABC＝∠ABQ＋∠CBQ＝90°.∵AB＝BC＝10，∴在Rt△ABC中，AC＝AB2＋BC2＝102≈14.1.答：A，C两港之间的距离约为14.1 km.(2)由(1)知，△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°.∴∠CAM＝60°－45°＝15°.∴C港在A港北偏东15°的方向上．02中档题9．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为(D)A．4米B．8米C．9米D．7米10．(2019·南京)无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20 cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有5cm.11．【方程思想】如图是一副秋千架，左图是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5 m(踏板厚度忽略不计)，右图是从侧面看，当秋千踏板荡起至点B位置时，点B离地面垂直高度BC为1 m，离秋千支柱AD的水平距离BE为1.5 m(不考虑支柱的直径)．求秋千支柱AD的高．解：设AD＝x m，则由题意可得AB＝(x－0.5)m，AE＝(x－1)m.在Rt△ABE中，AE2＋BE2＝AB2，即(x－1)2＋1.52＝(x－0.5)2.解得x＝3.答：秋千支柱AD的高为3 m.12．超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100 m的P处．这时，一辆轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A 处行驶到B处所用的时间为3 s，并测得∠APO＝60°，∠BPO＝45°，试判断此车是否超过了80 km/h的限制速度？解：在Rt△APO中，∠APO＝60°，则∠P AO＝30°.∴AP＝2OP＝200 m，AO＝AP2－OP2＝2002－1002＝1003(m)．在Rt△BOP中，∠BPO＝45°，则BO＝OP＝100 m.∴AB＝AO－BO＝(1003－100)m.∴从A到B小车行驶的速度为(1003－100)÷3≈24.4(m/s)＝87.84 km/h>80 km/h.∴此车超过80 km/h的限制速度．03综合题13．【分类讨论思想】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5 cm，AC＝3 cm，动点P从点B出发沿射线BC 以1 cm/s的速度移动，设运动的时间为t s.(1)求BC边的长；(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值．解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC2＝AB2－AC2＝52－32＝16.∴BC＝4 cm.(2)由题意，知BP＝t cm，①当∠APB为直角时，如图1，点P与点C重合，BP＝BC＝4 cm，∴t＝4；②当∠BAP为直角时，如图2，BP＝t cm，CP＝(t－4)cm，AC＝3 cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2＋CP2＝32＋(t－4)2.在Rt△BAP中，AB2＋AP2＝BP2，即52＋[32＋(t－4)2]＝t2.解得t ＝254.∴当△ABP 为直角三角形时，t ＝4或254.第3课时 利用勾股定理作图01 基础题知识点1 在数轴上表示无理数 1．(教材P 27练习T 1变式)(2019·河南期末)如图，数轴上点A 对应的数是0，点B 对应的数是1，BC ⊥AB ，垂足为B ，且BC ＝2，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交数轴于点D ，则点D 表示的数为(D )A ．2.2B . 2C . 3D . 52．在数轴上作出表示10的点(保留作图痕迹，不写作法)． 解：略．知识点2 网格中的无理数3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，1)，点B(3，－1)，则线段AB 的长度为(C ) A . 2 B . 3 C . 5 D ．34．如图，△ABC 的顶点A ，B ，C 在边长为1的正方形网格的格点上，BD ⊥AC 于点D ，则CD 的长为(A ) A .255 B .355 C .455 D .455．利用如图4×4的方格，作出面积为8平方单位的正方形，然后在数轴上表示实数8和－8.解：如图所示．知识点3 等腰三角形中的勾股定理6．将一副三角尺按如图所示叠放在一起，若AB ＝12 cm ，则AF ＝62cm .7．(2019·天水)如图，等边△OAB 的边长为2，则点B 的坐标为(B ) A ．(1，1) B ．(1，3) C ．(3，1) D ．(3，3)8．(教材P27练习T2变式)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝13 cm ，BC ＝10 cm ，求等腰三角形的底边上的高与面积．解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ， ∵AB ＝AC ＝13 cm ，∴BD ＝CD ＝12BC ＝12×10＝5(cm)．∴AD ＝AB 2－BD 2＝132－52 ＝12(cm)，即等腰三角形底边上的高为12 cm.∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×10×12＝60(cm 2)．02 中档题 9．(2019·驻马店汝南县期末)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以点A 为圆心，AC 长为半径作圆弧交边AB 于点D.若 AC ＝3，BC ＝4，则BD 的长是(A )A ．2B ．3C ．4D ．510．如图，图中小正方形的边长为1，△ABC 的周长为(B )A ．16B ．12＋4 2C ．7＋7 2D ．5＋11 211．(教材P 27练习T 1变式)如图，数轴上点A 所表示的实数是5－1．12．点A ，B ，C 在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C 到线段AB 所在直线的距离为355．13．如图，△ABC 和△DCE 都是边长为4的等边三角形，点B ，C ，E 在同一条直线上，连接BD ，求BD 的长．解：∵△ABC 和△DCE 都是边长为4的等边三角形， ∴CB ＝CD ，∠CDE ＝∠DCE ＝60°.∴∠BDC ＝∠DBC ＝12∠DCE ＝30°.∴∠BDE ＝90°.在Rt △BDE 中，DE ＝4，BE ＝8， ∴BD ＝BE 2－DE 2＝82－42＝4 3.14．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点． (1)在图1中，以格点为端点，画线段MN ＝13；(2)在图2中，以格点为顶点，画正方形ABCD ，使它的面积为10.解：(1)如图． (2)如图．03 综合题15．仔细观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题．OA 22＝(1)2＋1＝2，S 1＝12； OA 23＝(2)2＋1＝3，S 2＝22； OA 24＝(3)2＋1＝4，S 3＝32； …(1)请用含有n(n 是正整数)的等式表示上述变化规律； (2)推算出OA 10的长；(3)求出S 21＋S 22＋S 23＋…＋S 210的值．解：(1)OA 2n＝(n －1)2＋1＝n ，S n ＝n2(n 为正整数)． (2)OA 210＝(9)2＋1＝10， ∴OA 10＝10.(3)S 21＋S 22＋S 23＋…＋S 210 ＝(12)2＋(22)2＋(32)2＋…＋(92)2＋(102)2 ＝14＋24＋34＋…＋94＋104 ＝1＋2＋3＋…＋9＋104＝1＋102×104＝554.小专题(二) 利用勾股定理解决最短路径问题 ——教材P39复习题T12的变式与应用【例】 如图，有一个圆柱，它的高等于12 cm ，底面半径等于3 cm ，在圆柱的底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点的食物，需要爬行的最短路程是多少？(π取3)【思路点拨】 要求蚂蚁爬行的最短路程，需将空间图形转化为平面图形(即立体图形的平面展开图)，把圆柱沿着过A 点的直线AA ′剪开，因为“两点之间，线段最短”，所以蚂蚁应沿着平面展开图中线段AB 这条路线走．解：如图，由题意可得：AA ′＝12，A ′B ＝12×2π×3＝9.在Rt △AA ′B 中，根据勾股定理，得 AB 2＝A ′A 2＋A ′B 2＝122＋92＝225. ∴AB ＝15.∴需要爬行的最短路程是15 cm.图例圆柱――→展开长方 体阶梯 问题基本 思路将立体图形展开成平面图形→利用“两点之间，线段最短”确定最短路线→构造直角三角形→利用勾股定理求解.1．(2018·禹州期中)如图，圆柱形玻璃杯高为14 cm，底面周长为32 cm，在杯内壁离杯底5 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20cm.(杯壁厚度不计)2．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为24 dm，3 dm，3 dm，点A和点B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程是30__dm．3．如图，长方体的高为5 cm，底面长为4 cm，宽为1 cm.(1)点A1到点C2之间的距离是多少？(2)若一只蚂蚁从点A2爬到C1，则爬行的最短路程是多少？解：(1)∵长方体的高为5 cm，底面长为4 cm，宽为1 cm，∴A2C2＝42＋12＝17(cm)．∴A1C2＝52＋（17）2＝42(cm)．(2)如图1所示，A2C1＝52＋52＝52(cm)．如图2所示，A2C1＝92＋12＝82(cm)．如图3所示，A2C1＝62＋42＝213(cm)．∵52＜213＜82，∴一只蚂蚁从点A2爬到C1，爬行的最短路程是5 2 cm.小专题(三)方程思想在勾股定理中的应用——教材P39复习题T10的解法剖析及变式应用【教材母题】一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处．折断处离地面的高度是多少？(这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题．其中的丈、尺是长度单位，1丈＝10尺．)解：设AB＝x尺，根据题意，得∠BAC＝90°，AB＋BC＝10尺，∴BC ＝(10－x )尺． ∵AC 2＋AB 2＝BC 2， ∴32＋x 2＝(10－x )2，解得x ＝41120.答：折断处离地面41120尺．在一个直角三角形中，若已知两边长，可直接运用勾股定理求第三边长，若已知一边长，且知另两边具有一定的数量关系，可利用方程思想，设出一边长，利用数量关系表示另一边长，借助勾股定理这一等量关系列出方程解决问题，其中两边的数量关系主要有两种呈现形式：一是直角三角形中有特殊角，二是出现图形的折叠．类型1 利用直角三角形中的特殊角揭示两边的数 量关系1．求下列直角三角形中未知的边长．解：如图1，设AC ＝x ，∵∠ACB ＝90°，∠B ＝30°， ∴AB ＝2x.∵AB 2＝AC 2＋BC 2，∴(2x)2＝x 2＋32.∴x ＝3或－3(负值舍去)． ∴AC ＝3，AB ＝2 3.如图2，设AC ＝x ，∵∠ACB ＝90°，∠A ＝45°，∴BC ＝AC ＝x.∵AB 2＝AC 2＋BC 2，∴x 2＋x 2＝(32)2.∴x ＝3或－3(负值舍去)． ∴AC ＝BC ＝3.类型2 利用图形的折叠找两边的数量关系2．如图，在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝4，∠B ＝90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为(C )A .53B .52C .83D ．53．如图，在长方形纸片ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF ＝3，则AB ＝6．4．如图，把长方形纸片ABCD 折叠，使其对角顶点A 与C 重合．若长方形的长BC 为8，宽AB 为4，则折痕EF 的长度为25．类型3 利用勾股定理和方程思想求点的坐标5．如图，在平面直角坐标系中，A(1，3)，试在x 轴上找一点P ，使△OAP 为等腰三角形，求出P 点的坐标．解：过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为B. ∵A(1，3)，∴OB ＝1，AB ＝3. ∴OA ＝12＋32＝10.当AO ＝AP 时，以A 为圆心，AO 长为半径画弧与x 轴交于点O 与点P 1， ∵AB ⊥x 轴，∴BP 1＝BO ＝1，即P 1(2，0)；当OA ＝OP 时，以O 为圆心，OA 长为半径画弧与x 轴交于点P 2，P 3， ∵OA ＝10，∴P 2(10，0)，P 3(－10，0)；当PA ＝PO 时，作OA 的垂直平分线交x 轴于点P 4. 设OP 4＝x ，则BP 4＝x －1，AP 4＝OP 4＝x.在Rt △ABP 4中，AP 24＝AB 2＋BP 24， ∴x 2＝32＋(x －1)2.解得x ＝5，即P 4(5，0)．综上所述，使△OAP 为等腰三角形的点P 有：P 1(2，0)，P 2(10，0)，P 3(－10，0)，P 4(5，0)．17.2 勾股定理的逆定理01 基础题 知识点1 互逆命题1．下列各命题的逆命题不成立的是(C ) A ．两直线平行，同旁内角互补B ．若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等C ．对顶角相等D ．如果a 2＝b 2，那么a ＝b 2．(2019·安徽)命题“如果a ＋b ＝0，那么a ，b 互为相反数”的逆命题为如果a ，b 互为相反数，那么a ＋b ＝0．逆命题是真命题．(填“真命题”或“假命题”)知识点2 勾股定理的逆定理 3．(2019·郑州期末)下面四组数，其中是勾股数组的是(A ) A ．3，4，5 B ．0.3，0.4，0.5 C ．32，42，52 D ．6，7，8 4．(2019·洛阳洛龙区期中)由线段a ，b ，c 组成的三角形不是直角三角形的是(D ) A ．a 2－b 2＝c 2B ．a ＝54，b ＝1，c ＝34C ．a ＝2，b ＝3，c ＝7D ．∠A ∶∠B ∶∠C ＝3∶4∶5 5．(2019·益阳)已知M ，N 是线段AB 上的两点，AM ＝MN ＝2，NB ＝1，以点A 为圆心，AN 长为半径画弧；再以点B 为圆心，BM 长为半径画弧，两弧交于点C ，连接AC ，BC ，则△ABC 一定是(B )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形6．将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你写出两组不同于以上所给出的基本勾股数：答案不唯一，如：5，12，13；7，24，25．7．已知：在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，三边分别为下列长度，判断该三角形是不是直角三角形，并指出哪一个角是直角．(1)a＝3，b＝22，c＝5；(2)a＝5，b＝7，c＝9；(3)a＝5，b＝26，c＝1.解：(1)是，∠B是直角．(2)不是．(3)是，∠A是直角．8．如图是一个零件的示意图，测量AB＝4 cm，BC＝3 cm，CD＝12 cm，AD＝13 cm，∠ABC＝90°，根据这些条件，你能求出∠ACD的度数吗？试说明理由．解：在△ABC中，∵AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，∴根据勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝42＋32＝52.∴AC＝5.∵AC2＋CD2＝52＋122＝25＋144＝169，AD2＝132＝169，∴AC2＋CD2＝AD2.∴△ACD是直角三角形，且AD为斜边，即∠ACD＝90°.02中档题9．如图，AD为△ABC的中线，且AB＝13，BC＝10，AD＝12，则AC等于(D)A．10 B．11 C．12 D．1310．下列定理中，没有逆定理的是(B)A．等腰三角形的两个底角相等B．对顶角相等C．三边对应相等的两个三角形全等D．直角三角形两个锐角的和等于90°11．【关注数学文化】(2018·长沙)我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里＝500米，则该沙田的面积为(A)A．7.5平方千米B．15平方千米C．75平方千米D．750平方千米12．如图，方格中的点A，B称为格点(横线的交点)，以AB为一边画△ABC，其中是直角三角形的格点C的个数为(B)A．3 B．4 C．5 D．613．把一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，则这个三角形是直角三角形．14．(教材P34习题T6变式)如图，在正方形ABCD中，E，F分别BC，CD边上的一点，且BE＝2EC，FC＝2 9DC，连接AE，AF，EF，求证：△AEF是直角三角形．证明：设FC ＝2a ，则DC ＝9a ，DF ＝7a. ∴AB ＝BC ＝AD ＝CD ＝9a. ∵BE ＝2CE ，∴BE ＝6a ，EC ＝3a.在Rt △ECF 中，EF 2＝EC 2＋FC 2＝(3a)2＋(2a)2＝13a 2. 在Rt △ADF 中，AF 2＝AD 2＋DF 2＝(9a)2＋(7a)2＝130a 2. 在Rt △ABE 中，AE 2＝AB 2＋BE 2＝(9a)2＋(6a)2＝117a 2. ∵13a 2＋117a 2＝130a 2， ∴EF 2＋AE 2＝AF 2.∴△AEF 是以∠AEF 为直角的直角三角形．15．(教材P 34习题T 5变式)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝1，CD ＝3，DA ＝1，且∠B ＝90°.求： (1)∠BAD 的度数；(2)四边形ABCD 的面积(结果保留根号)；(3)将△ABC 沿AC 翻折至△AB′C ，如图所示，连接B′D ，求四边形ACB′D 的面积．解：(1)∵AB ＝BC ＝1，∠B ＝90°， ∴∠BAC ＝∠ACB ＝45°，AC ＝AB 2＋BC 2＝ 2. 又∵CD ＝3，DA ＝1， ∴AC 2＋DA 2＝CD 2.∴△ADC 为直角三角形，∠DAC ＝90°. ∴∠BAD ＝∠BAC ＋∠DAC ＝135°.(2)∵S △ABC ＝12AB·BC ＝12，S △ADC ＝12AD·AC ＝22，∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ADC ＝1＋22.(3)过点D 作DE ⊥AB′，垂足为E ， 由(1)知∠DAC ＝90°.根据折叠可知∠B′AC ＝∠BAC ＝45°，AB ＝AB′＝1，S △AB′C ＝S △ABC ＝12.∴∠DAE ＝∠DAC －∠B′AC ＝45°. ∴AE ＝DE.设DE ＝AE ＝x ，在Rt △ADE 中，AE 2＋DE 2＝AD 2. ∴x 2＋x 2＝1.∴x ＝22.∴S △ADB′＝12×1×22＝24.∴S 四边形ACB′D ＝S △AB′C ＋S △ADB′＝12＋24＝2＋24.03 综合题16．(2019·呼和浩特改编)如图，在△ABC 中，内角∠A ，∠B ，∠C 所对应的边分别为a ，b ，c.(1)若a ，b ，c 满足aa －b ＋c＝12（a ＋b ＋c ）c ，求证：△ABC 是直角三角形；(2)若a ＝m －n ，b ＝2mn ，c ＝m ＋n ，(其中m ，n 都是正整数，且m>n)，求证：△ABC 是直角三角形．证明：(1)原式可变形为aa ＋c －b＝a ＋b ＋c 2c ，∴(a ＋c)2－b 2＝2ac ，即a 2＋2ac ＋c 2－b 2＝2ac. ∴a 2＋c 2＝b 2.∴△ABC 是以∠B 为直角的直角三角形．(2)∵a 2＝(m －n)2，b 2＝(2mn)2＝4mn ，c 2＝(m ＋n)2， ∴(m －n)2＋4mn ＝(m ＋n)2，即a 2＋b 2＝c 2. ∴△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形．章末复习(二)勾股定理01分点突破知识点1勾股定理(河南中招2019T9选，2018T9选，2017T18(2)解，2016T6选，2015T7选，2014T7选) 1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，则AC＝(C)A．6 B．6 2C．6 3 D．122．如图，阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为64cm2.3．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2.求证：AB＝BC.证明：连接AC.∵在△ABC中，∠B＝90°，∴AB2＋BC2＝AC2.∵CD⊥AD，∴∠ADC＝90°.∴在△ACD中，AD2＋CD2＝AC2.∵AD2＋CD2＝2AB2，∴AB2＋BC2＝2AB2.∴BC2＝AB2.∵AB＞0，BC＞0，∴AB＝BC.知识点2勾股定理的应用4．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度为(滑轮上方的部分忽略不计)(D)A．12 mB．13 mC．16 mD．17 m5．你听说过亡羊补牢的故事吧．为了防止羊的再次丢失，牧羊人要在宽0.9 m，长1.2 m的长方形栅栏门的相对角顶点间加固一条木板，则这条木板至少需1.5__m长．6．如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO 长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为7．知识点3逆命题及逆定理7．“同旁内角互补”的逆命题是互补的两个角是同旁内角，它是假命题．知识点4勾股定理的逆定理及其应用8．在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，则该三角形为(B)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形9．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c且a2－b2＝c2，则下列说法正确的是(C)A．∠C是直角B．∠B是直角C．∠A是直角D．∠A是锐角02易错题集训10．已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边长的平方是100或28．11．(2018·襄阳)已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝3，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为23或27．03河南常考题型演练12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD＝5，则BC的长为(D)A.3－1B.3＋1C.5－1D.5＋113．如果将长为6 cm，宽为5 cm的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是(A)A．8 cm B．6 cmC．5.5 cm D．1 cm14．如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB，CD，EF，GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是(B)A．CD，EF，GH B．AB，EF，GHC．AB，CD，EF D．GH，AB，CD15．(2019·信阳罗山县模拟)如图，在△ABC中，点M是AC边上一个动点．若AB＝AC＝10，BC＝12，则BM的最小值为(B)A．8 B．9.6 C．10 D．4 516．若一个三角形的周长为12 3 cm，一边长为3 3 cm，其他两边之差为 3 cm，则这个三角形是直角三角形．17．(2019·枣庄)把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝2，则CD＝6－2．18．(2019·河北)勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图(单位：km)．笔直铁路经过A，B两地．(1)A，B间的距离为20km；(2)计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D 间的距离为13km.19．如图，有一块空白地，∠ADC＝90°，CD＝6 m，AD＝8 m，AB＝26 m，BC＝24 m．试求这块空白地的面积．解：连接AC.∵∠ADC＝90°，∴△ADC是直角三角形．∴AD2＋CD2＝AC2，即82＋62＝AC2.解得AC＝10.又∵AC2＋CB2＝102＋242＝262＝AB2，∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°.∴S四边形ABCD＝S Rt△ACB－S Rt△ACD＝12×10×24－12×6×8＝96(m2)．故这块空白地的面积为96 m2.04核心素养专练20．(2019·邵阳)公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾a ＝6，弦c＝10，则小正方形ABCD的面积是4．周测(第十七章)(时间：40分钟满分：100分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是(C)A．8，15，17 B.2，3， 5C.3，2， 5 D．1，2， 52．已知命题：等边三角形是等腰三角形，则下列说法正确的是(B)A．该命题为假命题B．该命题为真命题C．该命题的逆命题为真命题D．该命题没有逆命题3．点A(－3，－4)到原点的距离为(C)A．3 B．4 C．5 D．74．如图，数轴上点A表示的数是0，点B表示的数是1，BC⊥AB，垂足为B，且BC＝1，以A为圆心，AC 的长为半径画弧，与数轴交于点D，则点D表示的数为(B)A ．1.4 B. 2 C. 3 D ．25．将直角三角形的三条边长同时扩大一倍，得到的三角形是(C ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形6．在△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3.若AC ＝4，则AB 的长为(D ) A ．8 B ．6 C .433 D .8337．下面各三角形中，面积为无理数的是(C )8．如图，将边长为12的正方形ABCD 折叠，使得点A 落在CD 边上的点E 处，折痕为MN.若CE 的长为7，则MN 的长为(B )A ．10B ．13C ．15D ．无法求出9．已知直角三角形两条直角边的长之和为6，斜边长为2，则这个三角形的面积是(B ) A ．0.25 B ．0.5 C ．1 D ．2 310．已知一个直角三角形的斜边长为3，若以三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，则所作的三个等腰直角三角形的面积和为(A )A .92B .94C ．3D ．9 二、填空题(每小题4分，共20分)11．直角三角形斜边长是6，一直角边的长是5，则此直角三角形的另一直角边长为11．12．如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(0，3)，以点A 为圆心，AB x 轴的负半轴于点C ，则点C 的坐标为(－1，0)．13．如图，每个小正方形的边长均为1，则△ABC 边AC 上的高BD 的长为85．14．如图，在△ABC 中，AB ∶BC ∶CA ＝3∶4∶5，且周长为36 cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以每秒1 cm 的速度移动；点Q 从点B 沿BC 边向点C 以每秒2 cm 的速度移动．若同时出发，则过3秒时，△BPQ 的面积为18cm 2.15．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4.分别以AB ，AC ，BC 为边在AB 的同侧作正方形ABEF ，ACPQ ，BCMN ，四块阴影部分的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4等于18．三、解答题(共50分)16．(8分)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上．(1)求△ABC 的面积；(2)求AB ，AC 的长． 解：(1)S △ABC ＝12×7×5 ＝17.5.(2)由勾股定理，得AB ＝32＋52＝34，AC ＝42＋52＝41.17．(10分)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，BC ＝6，AC ＝8，求AB 与CD 的长．解：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝6，AC ＝8，由勾股定理，得AB ＝BC 2＋AC 2＝10，∵S △ABC ＝12AB·CD ＝12AC·BC ， ∴CD ＝AC·BC AB ＝8×610＝4.8.18．(10分)如图，∠AOB ＝90°，OA ＝45 cm ，OB ＝15 cm ，一机器人在点B 处看见一个小球从点A 出发沿着AO 方向匀速滚向点O ，机器人立即从点B 出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C 处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC 是多少？解：因为小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，所以BC ＝CA.设AC ＝BC ＝x ，则OC ＝45－x ，由勾股定理可知OB 2＋OC 2＝BC 2.又因为OB ＝15，所以152＋(45－x)2＝x 2.解得x ＝25.答：如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC 是25 cm .19．(10分)清朝的康熙皇帝对勾股定理也很有研究，他著有《积求勾股法》：用现代的数学语言描述就是：若直角三角形的三边长分别为3，4，5的整数倍，设其面积为S ，则求其边长的方法为：第一步：S 6＝n ；第二步：n ＝k ；第三步：分别用3，4，5乘k ，得三边长．当面积S 等于150时，请用“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长．解：当S ＝150时，k ＝n ＝S 6＝1506＝25＝5， ∴三边长分别为3×5＝15，4×5＝20，5×5＝25.∴这个直角三角形的三边长为15，20，25.20．(12分)在正方形ABCD 中，过点A 引射线AH ，交边CD 于点H(点H 与点D 不重合)，通过翻折，使点B 落在射线AH 上的点G 处，折痕AE 交BC 于点E ，延长EG 交CD 于点F.如图1，当点H 与点C 重合时，易证得FG ＝FD(不要求证明)；如图2，当点H 为边CD 上任意一点时，求证：FG ＝FD.【应用】 在图2中，已知AB ＝5，BE ＝3，则FD ＝54，△EFC 的面积为154．(直接写结果)证明：连接AF ，由折叠的性质可得，AB ＝AG ＝AD.在Rt △AGF 和Rt △ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AG ＝AD ，AF ＝AF ， ∴Rt △AGF ≌Rt △ADF(HL )．∴FG ＝FD.。
10 专题 勾股定理(逆定理)与网格画图
专题 勾股定理（逆定理）与网格画图
【方法归纳】通过网格运用勾股定理及其逆定理来研究三角形或四边形的形状．
1．如图，每个小正方形的边长为1，A ，B ，C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为 ．
2．如图，每个小正方形的边长都是1，在图中画一个三角形，使它的三边长分别是3，22，5，且三角形的三个顶点都在格点上．
3．如图，每个小正方形的边长都是1，在图中画一个边长为5的正方形，且正方形的四个顶点在格点上．
4．在图中以格点为顶点画一个等腰三角形，使其内部已标注的格点只有3个．
5．如图，在4个均由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这4个三角形中，与众不同的是 中的三角形，图4中最长边上的高为 ． A
C
B
第2
题图第3题图
第4
题图
6．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画图：
7．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB 的端点在格点上．
（1）图1中，以AB 为腰的等腰三角形有 个，画出其中的一个，并直接写出其
边长．
（2）图2中，以AB 为底边的等腰三角形有 个，画出其中一个，并直接写出其底边上的高．
图4图3图2图
1图2
图1图2图1
A
B A B。
第1章勾股定理(已整理)
第一章勾股定理1探索勾股定理练习题1.直角三角形ABC的两直角边BC=12,AC=16,则ΔABC的斜边AB的长是()A.20B.10C.9.6D.82.直角三角形两直角边长分别是6和8,则周长与最短边长的比是()A.7∶1B.4∶1C.25∶7D.31∶73.如图所示,在ΔABC中,AB=AC,AD是ΔABC的角平分线,若BC=10,AD=12,则AC=.3题图 4题图 5题图4.如图所示,在RtΔABC中,∠ACB=90°,AB=10,分别以AC,BC为直径作半圆,面积分别记为S1,S2,则S1+S2的值等于.【基础巩固】1.在RtΔABC中,AB=6,BC=10,∠A=90°,则AC=.2.若三角形是直角三角形,且两条直角边长分别为5,12,则此三角形的周长为,面积为.3.已知直角三角形的两边长分别是3和4,则第三边长为.4.如果梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是.【能力提升】5.如图所示,在正方形网格中,ΔABC的三边长a,b,c的大小关系是()A.a<b<cB.c<a<bC.c<b<aD.b<a<c6.如图所示,在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中,以EF为边的小正方形与正方形ABCD的面积比是.7.如图所示,阴影部分是一个正方形,它的面积为.8.如图所示,三个正方形的面积中,字母A所在的正方形的面积是.9.飞机在空中水平飞行,某一时刻飞机刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处,过20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,飞机每小时飞行多少千米?10.一个门框的尺寸如图所示,一块长3 m,宽2.2 m的薄木板能否从门框内通过?为什么?11.在ΔABC中,AB=25,AC=30,BC边上的高AD=24,求BC的长.【拓展探究】12.如图所示,在RtΔABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,以点A为圆心,AC长为半径画弧,交AB于点D,则BD=.13.如图所示,一个机器人从O点出发,向正东方向走3米到A1点,再向正北方向走6米到达A2点,再向正西方向走9米到达A3点,…,按此规律走下去,当机器人走到A6点时,离O点的距离是.如左下图所示,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点A,B都是格点,则线段AB的长度为()A.5B.6C.7D.25例1 例题2如图所示,直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为3和4,则b的面积为.我方侦察员小王在距离东西向公路400 m处侦察,发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪,测得汽车与他相距400 m,10 s后,汽车与他相距500 m,你能帮小王计算敌方汽车的速度吗? 〔解析〕根据题意,可以画出右图,其中点A表示小王所在位置,点C,点B表示两个时刻敌方汽车的位置.由于小王距离公路400 m,因此∠C是直角,这样就可以由勾股定理来解决这个问题了.解:由勾股定理,可以得到AB2=BC2+AC2,也就是5002=BC2+4002,所以BC=300.敌方汽车10 s行驶了300 m,那么它1 h行驶的距离为300×6×60=108000(m),即它行驶的速度为108 km/h.检测反馈1.下列选项中,不能用来证明勾股定理的是()2.用四个边长均为a,b,c的直角三角板,拼成如图所示的图形,则下列结论中正确的是()2题图 3题图A.c2=a2+b2B.c2=a2+2ab+b2C.c2=a2-2ab+b2D.c2=(a+b)23.如图所示,大正方形的面积是,另一种方法计算大正方形的面积是,两种结果相等,推得勾股定理是.4.操作:剪若干个大小形状完全相同的直角三角形,三边长分别记为a,b,c(如图(1)所示),分别用4张这样的直角三角形纸片拼成如图(2)(3)所示的形状,图(2)中的两个小正方形的面积S2,S3与图(3)中小正方形的面积S1有什么关系?你能得到a,b,c之间有什么关系?【基础巩固】1.我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边长分别为a,b,那么(a-b)2的值是()A.1B.2C.12D.131题图 3题图3.北京召开的第24届国际数学家大会会标的图案如图所示.(1)它可以看做是由四个边长分别为a,b,c的直角三角形拼成的,请从面积关系出发,写出一个关于a,b,c 的等式.(要有过程)(2)请用四个这样的直角三角形再拼出另一个几何图形,也能验证(1)中所写的等式.(不用写出验证过程)(3)如果a2+b2=100,a+b=14,求此直角三角形的面积.【能力提升】4.勾股定理是几何中的一个重要定理.在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三,股四,则弦五”的记载.如图(1)所示的是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的,可以用其面积关系验证勾股定理.图(2)是由图(1)放入矩形内得到的,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,点D,E,F,G,H,I都在矩形KLMJ的边上,则矩形KLMJ的面积为.5.在北京召开的国际数学家大会的会标如图所示,它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的较长直角边为a,较短直角边为b,则a4+b4的值为 ()A.35B.43C.89D.976.据传当年毕达哥拉斯借助如图所示的两个图验证了勾股定理,你能说说其中的道理吗?7.如图所示,在平面内,把矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转90°得到矩形A'BC'D'.设AB=a,BC=b,BD=c.请利用该图验证勾股定理.【拓展探究】8.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”(如图(1)所示).图(2)是由弦图变化得到的,它是用八个全等的直角三角形拼接而成的.记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3.若S1+S2+S3=16,则S2的值是.9.勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪以灵感,他惊喜地发现,当两个全等的直角三角形如图(1)或图(2)摆放时,都可以用“面积法”来证明,下面是小聪利用图(1)证明勾股定理的过程.将两个全等的直角三角形按图(1)所示摆放,连接DC,其中∠DAB=90°,求证a2+b2=c2.证明:连接DB,过点D作BC边上的高DF,则DF=EC=b-a.∵b2+ab,又∵c2+a(b-a),∴b2+ab=c2+a(b-a),∴a2+b2=c2.请参照上述证法,利用图(2)完成下面的验证过程.将两个全等的直角三角形按图(2)所示摆放,其中∠DAB=90°,连接BE.验证a2+b2=c2.证明:连接,∵=,又∵=,∴,∴a2+b2=c2.2一定是直角三角形吗？1.以以下各组数为三边长的三角形中,能组成直角三角形的是()A.3,4,6B.9,12,15C.5,12,14D.10,16,252.ΔABC的三边长分别为a,b,c,在下列条件下,不能判定ΔABC是直角三角形的是()A.a2=b2-c2B.a2∶b2∶c2=1∶2∶3C.∠A=∠B-∠CD.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶53.如图所示,四边形ABCD中,AB=3,BC=4,AC=5,CD=12,AD=13,则四边形ABCD的面积为()A.72B.36C.66D.424.如图所示,在ΔABC中,AB=26,BC=20,边BC上的中线AD=24.求AC.【基础巩固】1.下列几组数中,是勾股数的是 ()A.5,6,7B.3,4,9C.5,3,6D.10,24,262.有五根木棒,它们的长度分别为2 cm,6 cm,8 cm,10 cm,12 cm,从中取出三根首尾顺次连接搭成一个直角三角形,则这三根木棒的长度分别为 ()A.2 cm,6 cm,8 cmB.6 cm,8 cm,10 cmC.6 cm,8 cm,12 cmD.2 cm,8 cm,10 cm3.如图所示,有一块地,已知AD=4 m,CD=3 m,∠ADC=90°,AB=13 m,BC=12 m,则这块地的面积为()A.24 m2B.26 m2C.28 m2D.30 m24.若ΔABC的三边长a,b,c满足|a-5|+(b-12)2+(c-13)2=0,则ΔABC的面积为.【能力提升】5.观察下列几组勾股数:①3,4,5;②5,12,13;③7,24,25;④9,40,41;⑤15,m,n.根据你发现的规律可得m+n=.6.如图所示,∠C=90°,AC=12,BC=9,AD=8,BD=17,求ΔABD的面积.7.已知a,b,c为ΔABC的三边长,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断ΔABC的形状.解:∵a2c2-b2c2=a4-b4,①∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2).②∴c2=a2+b2.③∴ΔABC是直角三角形.(1)在上述解题过程中,从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号:;(2)错误的原因为;(3)写出本题正确的解题过程.8.求证若勾股数组中,弦与股的差为1.证明这样的勾股数组可表示为如下形式:2a+1,2a2+2a,2a2+2a+1,其中a为正整数.9.国道通过A,B两村庄,而C村庄离国道较远,为了响应政府“村村通公路”的号召,C村决定采用自己筹集一部分,政府补贴一部分的方法修建一条水泥路直通国道.已知C村到A,B两村的距离分别为6 km,8 km,A,B两村距离为10 km,那么这条水泥路的最短距离为多少?3勾股定理的应用课后练习题1.如图所示,有两棵树,一棵高10 m,另一棵高4 m,两树相距8 m.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则小鸟至少飞行()A.8 mB.10 mC.12 mD.14 m2.如图所示,将一根长24 cm的筷子放入底面直径为5 cm,高为12 cm的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的长度为h cm,则h的最小值是()A.12 cmB.13 cmC.11 cmD.9 cm3.某楼梯的侧面视图如图所示,其中AB=6.5米,BC=2.5米,∠C=90°,楼梯的宽度为6米,因某种活动要求铺设红色地毯,则在AB段楼梯所铺地毯的面积应为.4.如图所示,铁路AB的一边有C,D两村庄,DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,已知AB=25 km,DA=15 km,CB=10 km,现要在铁路上建一个农产品收购站E,并使DE=CE,则农产品收购站E应建在距点A多少千米处?【基础巩固】1.如图所示,一根竹子高9尺,折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处,折断处离地面高度是 ()A.3尺B.4尺C.5尺D.6尺2.如图所示,一只蚂蚁从正方体的底面A点处沿着表面爬行到正方体上底面的B点处,它爬行的最短路线是()A.A⇒P⇒BB.A⇒Q⇒BC.A⇒R⇒BD.A⇒S⇒B3.如图所示,一个圆柱的底面半径为8 cm,高为15πcm,一只蚂蚁从A点爬到B点的最短路程是cm.4.有一块边长为24米的正方形绿地ABCD(如图所示),在绿地的BC边上距B点7米的点E处有一健身器,居住在A处的居民经常践踏绿地,沿直线AE直达E处健身,小明同学想在A处立一块标牌“少走■米,踏之何忍?”,则标牌上的“■”处的数字是.5.如图所示,要从电线杆离地面12米处向地面拉一条长为13米的钢缆,求地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离.【能力提升】6.两艘轮船从同一港口同时出发,甲船时速40海里,乙船时速30海里,两小时后,两船相距100海里,已知甲船的航向为北偏东46°,则乙船的航向为()A.东偏南46°B.北偏西46°C.东偏南46°或西偏北46°D.无法确定7.如图所示,已知长方体的三条棱AB,BC,BD的长分别为4,5,2,蚂蚁从A点出发沿长方体的表面爬行到M的最短路程的平方是.7题图 9题图 10题图8.一艘轮船以24海里/时的速度离开港口向东南方向航行,另一艘轮船同时以10海里/时的速度离开港口向西南方向航行,经过1小时,这两艘轮船相距多远?9.如图所示,在长15米,宽8米的长方形ABCD花园内修一条长13米的笔直小路EF,小路出口一端E选在AD边上距D点3米处,另一端出口F应选在AB边上距B点几米处?10.如图所示,有一圆柱形油罐,要从A点环绕油罐搭梯子,正好到A点的正上方B点.梯子最短需要多少米?(已知油罐底面的周长是12 m,高AB是5 m)【拓展探究】11.如图所示,三条公路的交叉地带是一个三角形,经测量这个三角形的三条边长分别是AB=130米,BC=140米,AC=150米.市政府准备将其作为绿化用地,请你求出绿化用地的面积.如图所示,圆柱形玻璃杯,高为12 cm,底面周长为18 cm,在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm.第一章勾股定理专题复习专题一勾股定理及其逆定理的基本用法【专题分析】勾股定理是初中阶段应该掌握的一个重要定理,运用勾股定理的过程中蕴含着方程、几何、不等式等多种解决问题的方法.用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形应注意:(1)首先确定最大边,不妨设最大边长为c;(2)验证c2与a2+b2是否具有相等关系,若c2=a2+b2,则ΔABC是以∠C为直角的直角三角形.(若c2>a2+b2,则ΔABC是以∠C为钝角的钝角三角形;若c2<a2+b2,则ΔABC为锐角三角形)若直角三角形两直角边长的比是3∶4,斜边长是20,求此直角三角形的面积.【针对训练1】等腰三角形的底边长为6,腰长为5,求ΔABC的面积.如图所示,ΔABC中,已知AB=AC,D是AC上的一点,CD=9,BC=15,BD=12.(1)求证ΔBCD是直角三角形;(2)求ΔABC的面积.【针对训练2】如图所示,在四边形ABDC中,∠A=90°,AB=9,AC=12,BD=8,CD=17.(1)求BC的长;(2)求四边形ABDC的面积.专题二勾股定理的应用【专题分析】在实际生活中,勾股定理有着广泛的应用.在运用的过程中,要注意是运用勾股定理还是运用勾股定理的逆定理.在解决问题的过程中,寻找和构造垂直关系就成为解题的关键所在.(莱芜中考)如图所示,在ΔABC中,AB=AC=5,BC=6.若点P在边AC上移动,求BP的最小值.【针对训练3】如图所示,直线MN表示一条铁路,A,B是两个城市,它们到铁路的垂直距离分别为AA1=20 km,BB1=40 km,已知A1B1=80 km,现要在A1,B1之间设一个中转站P,使两个城市到中转站的距离之和最短,请你设计一种方案确定P点的位置,并求这个最短距离.专题三数学思想方法(一)转化的思想方法【专题分析】我们在求三角形的边或角,或进行推理论证时,常常作垂线,构造直角三角形,将问题转化为直角三角形问题来解决.如图(1)所示,ΔABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E,F分别是AB,AC边上的点,且DE⊥DF,若BE=12,CF=5.求线段EF的长.【针对训练4】在甲村至乙村的公路有一块山地正在开发,现有一C处需要爆破,已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米,与公路上的另一停靠站B的距离为400米,且CA⊥CB,如图(1)所示.为了安全起见,爆破点C周围半径250米范围内(包括250米)不得进入,则在进行爆破时,公路AB段是否有危险?是否需要暂时封锁?(二)方程的思想方法【专题分析】方程是通过等量关系解决问题的重要手段,在解决几何计算、代数求值、求解函数解析式等都渗透着方程思想,在中考中方程思想占有重要的地位,渗透在各种大小问题之中.如图所示,折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知AB=8 cm,BC=10 cm,求EF的长.【针对训练5】如图所示,四边形ABCD是长方形,把ΔACD沿AC折叠得到ΔACD',AD'与BC交于点E,若AD=4,DC=3,求BE的长.。
勾股定理的应用(六)在网格图形中的应用
祖π数学
新人教 八年级下册
之高分速成 1
【题型6】网格中的勾股定理
1.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理数的边数是（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3
2.如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是（ ）
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.以上答案都不对
3.如图，小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD 的面积是 ( )
A.25
B.12.5
C.9
D.8.5
（第1题） （第2题） （第3题）
4.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：
①使三角形的三边长分别为3；
②使三角形为钝角三角形且面积为4（在图乙中画一个即可）．
甲
乙
B C
A B C。
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勾股定理与网格问题
1、在边长为 1 的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则△ABC 中 BC 边上的高为
2、如图，在4×4 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ ABC 三个顶点分别在正方形网格的格
点上，试判断△ABC 是否是直角三角形．
3、如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ ABC 的三个顶点均在格点上，则△ABC 的周
长是
4、如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ ABC 的三个顶点均在格点上，则BC 边上的高为．
5、如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
（1 ）用签字笔画AD ∥BC （ D 为格点），连接
CD ；
（2）通过计算说明三角形 ABC 是直角三角形；
（3）线段 CD 的长为
（4）四边形 ABCD 的面积是
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6、如图，在由边长为 1 的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上， E 为 BC 中点，请按要求完成下列各题：
（1 ）画 AD ∥BC （D 为格点），连接CD；
（2 ）通过计算说明△ABC 是直角三角形；
7、如图，在由边长为 1 的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上．
请按要求完成下列各题：
（1 ）画 AD ∥BC （D 为格点），连接CD；
（2）试判断△ ABC 的形状？请说明理由；
（3）若 E 为 BC 中点， F 为 AD 中点．四边形 AECF 是什么特殊的四边
形？请说明理由．
7、如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格
点上，请按要求完成下列各题：
（1）画线段 AD ∥BC 且使 AD=BC ，连接 CD ；
（2 ）线段 AC 的长为；
（3 ）△ ACD 的形状为；
（4 ）若 E 为 BC 的中点，则AE 的长为．。