自变量和函数
初中函数概念大全
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1. 函数的定义：函数是一种映射，它将一个集合的元素（称为自变量）映射成为另一个集合的元素（称为因变量）。
2. 定义域：函数中自变量可能取值的集合。
3. 值域：函数中因变量可能取值的集合。
4. 图像：函数中所有自变量对应的因变量的集合。
5. 函数表达式：将自变量代入函数后，得到的因变量表达式。
6. 常函数：函数的值在整个定义域上都相同的函数，通常表示为f(x)=c。
7. 奇偶性：若f(x)=f(-x)，则函数是偶函数；若f(x)=-f(-x)，则函数是奇函数。
8. 反函数：若将原函数的自变量和因变量互换，得到的新函数即为反函数。
9. 复合函数：将一个函数的结果作为另一个函数的自变量，形成的新函数。
10. 函数的极限：当自变量接近某一值时，函数的因变量的极限值。
11. 导数：函数在某一点处的变化率。
12. 函数的单调性：函数在定义域上单调递增或单调递减的性质。
13. 函数的最值：函数在定义域上最大值或最小值。
14. 函数的零点：函数在定义域上对应因变量为0的自变量值。
15. 拐点：函数曲线上由凹变凸或由凸变凹的点。
16. 对称中心：函数曲线上关于某一轴对称的点。
17. 渐近线：函数曲线趋近于某一直线时的直线。
18. 极值点：函数在极值处的自变量和因变量的值。
19. 相关函数：自变量之间存在一定关系的函数。
20. 函数的描述性统计量：用于描述一组数据分布特征的统计量，如平均值、中位数、众数、标准差等。
变量与函数-完整版课件
问题2：在上面的4个问题中，是哪一个量随哪一个量的变化而 变化？当一个变量取定一个值时，另一个变量的值是唯一确定 的吗？
问题3：在上面的4个问题中，两个变量之间的对应关系有什么 共同特征？请你再举出一些对应关系具有这种共同特征的例子.
以上四个变化过程中，两个变量之间的对应关系都满足： 对于一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的 值与其对应.
活动六：升华概念
问 我市白天乘坐出租车收费标准如下：乘坐里程不超
题 过3公里，一律收费8元；超过3公里时，超过3公里
探
的部分，每公里加收1.8元；设乘坐出租车的里程为x （公里）（x为整数），相对应的收费为y（元）.
究
（1）请分别写出当0＜x≤3和x＞3时，表示y与x
的关系式，并直接写出当x=2和x=6时对应的y值；
活动四：辨析概念
问
题 问题4：下列曲线中，表示y不是x的函数是（ ）， 探 怎样改动这条曲线，才能使y是x的函数？
究
y
y
y
O
x
O
x
O
x
O
x
A
B
C
D
选B. 将第一象限或第三象限的曲线去掉等，只要满足“对 于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应”，都 能使y是x的函数.
活动五：运用概念
问
问题4：如何确定函数值？
作业布置
1.完成教材第75页练习第2题，习题19.1第1~5题及第10、11题.
2. 下列图形中的曲线不表示y是x的函数的是（ ）
y
y
y
y
O
x
O
x
O
x
O
x
A
B
函数值及自变量的取值范围
y
x 等腰三角形两底角相等。
（ 3 ） 如 图 ， 等 腰 直 角 △ ABC 的 直 角 边 长 与 正 方 形 MNPQ的边长均为10 cm，AC与MN在同一直线上， 开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A 点与N点重合．试写出重叠部分面积ycm2与MA长度x cm之间的函数关系式．
我们可以由自变量结合函数本身求出因变量，此时这个因变量的值称为该自变量
函数值 对应的
；同时，我们也可以由因变量结合函数本身求出自变量的值！
例1 求下列函数中自变量x的取值范围：
（1） y＝3x－1； （2） y＝2x2＋7；
（3）
y=
x
1
2
；
（4） y＝ x 2 ．
解：（1）中x取任意实数，3x－1都有意义 .
(2)中x 取任意实数， 2x2＋7都有意义 .
（3）中，x≠－2时，函数有意义．
（4）中x≥2时，函数有意义．
试一试: 求下列函数自变量的取值范围
⑴ y= x2 x 1 ⑵ y= 3 x
⑶ y= 1
⑷ y= x 2
x2
x ⑸ y=(x1)0 ⑹ y=
说明:四种基本类型的函数自变量取值范围
x 1 29
1 整式-----一切实数
2 分式-----分母不为零
偶次根式 (被开方数≥0) 3 根式-----
奇次根式 (被开方数为一切实数 ) 4 零指数-----底数≠0
练习：一
P33习题中第4题 P31练习第3题
练习二：P32第2题
2.分别写出下列各问题中的函数关系式及自变 量的取值范围：
函数值及自变量的取值范围
1、理解函数值的概念，并会求 某个自变量所对应的函数值；
概率密度函数和累积分布函数
03
累积分布函数
累积分布函数
一、定义 又叫分布函数，是概率密度函数的积分，能完整描述一个实随机变量X的概率分布。其表达式为：
a
b S=a ×b
累积分布函数
二、累积分布函数图形
累积分布函数
三、累积分布函数的特点 1.有界性
2.单调性 如果x1＜x2，则Fx(x1)＜ Fx(x2) 3.右连续性
概率密度函数
四、解读概率密度函数
当取值数量无限增大时，直方图外形无线趋近于概率分布图， 直方图和概率分布图相同点：1.外形相似；2.x轴为随机变量取值范围；3.研究自变量对应的应变量无意义。 直方图和概率密度函数不同点： 1.直方图x轴上数据数值可以不全覆盖；2.概率分布图x轴上数据为连续性数据，需全覆盖； 3.直方图图纵坐标为频数，当取值数量增大或分组组距越小时，纵轴覆盖数据范围越大； 4.概率分布图纵坐标分布图为密度，一般最大值不超过1。
概率密度函数
概率密度函数
概率只能小于等于1，而概率密度可以大于1，连续性随机变量在某点的概率为零，概率密度≠概率。 单纯的讲概率密度没有实际的意义，它能反映数据分布的一种趋势，必须有确定的有界区间为前提。可以把概 率密度看成是纵坐标，区间看成是横坐标，概率密度对区间的积分就是面积，而这个面积就是事件在这个区间发生 的概率，所有面积的和为1。 所以单独分析一个点的概率密度是没有任何意义的，它必须要有区间作为参考和对比。 区间[a，b]上的概率可由概率密度函数在该区间上求积分得到。
概率密度函数和累积分布函数
CONTENTS
目 录
1 函数相关概念 2 概率密度函数
3 累积分布函数
01
函数相关概念
函数相关概念
一、函数三要素 1.自变量（函数）：一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。 2.因变量（函数）：随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相 对应。 3.函数值：在y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，当x取a时，y就随之确定为b，b就叫做a的 函数值。
自变量函数
自变量函数自变量函数是数学中的重要概念之一，它在很多领域都有着广泛的应用。
在本文中，我们将详细介绍自变量函数的概念、特性及其在数学中的应用。
一、自变量函数的概念自变量函数是指函数中的自变量值可以任意取值的一类函数，一般形式为 f(x)，其中 x 为自变量，f(x)表示对应的函数值。
其基本特点是在一定域中，自变量值的变化会引起函数值的变化，因此自变量函数在解决实际问题时有着非常重要的作用。
二、自变量函数的特性1. 自变量函数的定义域：自变量函数的定义域由所有可能的自变量值组成，即函数能够接收的输入值的集合。
2. 自变量函数的值域：自变量函数的值域由所有可能的函数值组成，即函数能够输出的所有结果的集合。
3. 自变量函数的图像：自变量函数的图像为平面直角坐标系中，所有自变量和对应的函数值所组成的点的集合。
4. 自变量函数的奇偶性：如果自变量函数满足 f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数；如果自变量函数满足 f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。
5. 自变量函数的单调性：自变量函数的单调性描述函数在定义域上是否非递减或非递增。
如果函数在定义域上单调不降，则称该函数为非递减函数；如果函数在定义域上单调不增，则称该函数为非递增函数。
三、自变量函数在数学中的应用1. 自变量函数可以用于数学模型的建立和求解，比如物理学中的牛顿运动定律、化学反应动力学方程等等。
2. 在微积分中，自变量函数也是一个非常重要的概念。
微积分中常常需要对自变量函数进行求导、积分等操作，以便进一步研究函数特性和应用。
3. 自变量函数还可以用于优化问题的建模和解决，比如工业管理中的生产优化、市场营销中的推广优化等等。
综上所述，自变量函数是数学中重要的概念之一，具有广泛的应用价值。
掌握了自变量函数的概念、特性和应用，不仅可以提高数学素养，还能为解决实际问题提供重要的数学工具。
函数的意义
知识小结
2.辨别是否是函数的关键： (1)是否存在着两个变量. (2)是否符合唯一对应性 . 3. 求自变量的取值范围，不仅要 考虑数学式子是否有意义，还 要注意使实际问题有意义.
x全体实数 ___________
1 x2
x≠2 _________
————— x≥－ 1 且x≠0 2 _______________
（3） y= 2 x
（4） y=
x≤2
2 x1 x
【规律总结】
求函数中自变量的取值范围时，主要看等式 右边的代数式：
如果等式右边
1. 是整式，自变量取值范围为： 全体实数 2 是分式，自变量取为： 分母不为0的所有实数 3. 含有二次根式，自变 量取值范围为： 被开方数大于等于0的所有实数
4. 既含有分式又含有二次根式，自变量取为： 分母不为0且被开方数大于等于0的所有实数
一辆汽车的油箱中现有汽油 50L，如果不再加 油，那么油箱中的余油量y（单 位：L） 随行驶 路程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量 为0.1L/km. （1）写出y与x的函数关系式. 解：函数关系式为: y = 50－0.1x （2）指出自变量取值范围. x≥0 自变量x的取值范围是： ｛y = 50－0.1x ≥0 0 ≤ x ≤ 500 （3）汽车行驶200千米时，油箱中还有多少汽油？ 当x=200时，y=50－0.1×200=30.
情景引入
一辆汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行 S=60t 驶的路程s与行驶的时间t的关系式为：
60
120
180
240
300
在上述路程与时间的变化过程中，有两个
变量：时间t与路程s，并且对于时间t的每一
个值，路程s都有唯一确定的值与其对应.
函数2
7
如何书写呢？
函数的关系式是等式.
那么函数解析式的书写有没有要求呢？
通常等式的右边是含有自变量的代数 式,左边的一个字母表示函数.
根据所给的条件,写出y与x的函数关系式：
矩形的周长是18cm,它的长是y cm,宽是x cm.
8
1.下列各式中，ｘ是自变量，请判断ｙ是不是ｘ的
函数？若是，求出自变量的取值范围。
（1）y=2x+4 1 y （ 3） x 2
（2）y=－2x2
（ 4） y
x 3
如果当x=a时， y=b，那么b叫做 当自变量的值为a 时的函数值
解：（1）当x=3时，y=2x+4=2×3+4=10 （2）当x=3时，y=－2x2=－2×32=－18 （3）当x=3时， y
1 1 1 x 2 32
小露牛角
• 完成P26，练习1
当堂检测
1、 求下列函数中自变量x的取值范围 (1)y= (2)
(3)y =-
1、（凉山·中考）函数 是（ ）
的自变量x的取值范围
A.x≥﹣2且x≠2
C.x≠±2
B.x＞﹣2且x≠2
D.全体实数
x 2 0 【解析】 选B.由题意知， 2 解得 x 4 0
由于池中共有300 m3每时排25 m3全部排完 只需300÷25=12（h），故自变量T的取值范 围是0≤t≤12
（3）开始排水后的第5h末，游泳池中还有多 少水？ 当t=5，代入上式得Q=-5×25+300=175（m3）， 即第5h末池中还有水175 m3
（4）当游泳池中还剩150 m3已经排水多少时？ 当Q=150时，由150=-25 t +300，得t =6， 即第6 h末池中有水150m3
八年级数学下册第二十章函数20、2函数20、2、2自变量的取值范围授课新版冀教版
D．y＝60－0.12x，0≤x≤500
感悟新知
知2－练
4. 等腰三角形的周长是40 cm，底边长y(cm)是腰长 x(cm)的函数，此函数表达式和自变量取值范围正确 的是( C ) A．y＝－2x＋40(0＜x＜20) B．y＝－0.5x＋20(10＜x＜20) C．y＝－2x＋40(10＜x＜20) D．y＝－0.5x＋20(0＜x＜20)
x－2 0， 解：要使函数关系式有意义，需满足 x＋3 0.
解得x≥2. 故自变量的取值范围是x≥2.
感悟新知
4. 【中考·赤峰】能使式子 2 x x 1 成立的
x的取值范围是( C )
A．x≥1
B．x≥2
C．1≤x≤2
D．x≤2
知1－练
感悟新知
5. 【中考·娄底】在函数y＝ x 中，自变量x的取 知1－练 x2
课时导入
探究新知 你坐过摩天轮吗?想一想，如果你坐在摩天轮上，
随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的?
感悟新知
知1－讲
知识点 1 函数表达式的自变量的取值范围
1. 前面讲到的“欣欣报亭1月〜6月的每月纯收入S(元) 是月份T的函数”.其中自变量T可取哪些值？当T=1.5 或T=7时，原问题有意义吗？
为0； (3)当关系式是二次根式时，其自变量的取值范围须
使被开方数为非负实数；
知1－讲
感悟新知
归纳
知1－讲
(4)当关系式有零指数幂(或负整数指数幂)时，其自 变量应使相应的底数不为0；
(5)当关系式是实际问题的关系式时，其自变量必须 有实际意义；
(6)当关系式是复合形式时，则需列不等式组，使所 有式子同时有意义．
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自变量和函数
1. 什么是自变量和函数
1.1 自变量的定义
自变量是指在数学和统计学中，独立变量或输入变量，是一个可以自由取值而不受其他变量影响的变量。
自变量的取值不依赖于其他变量的变化。
1.2 函数的定义
函数是指将一个集合的元素与另一个集合的元素建立对应关系的规则。
函数可以看作是自变量到函数值的变换规则，它接受自变量作为输入，并返回与之对应的函数值。
2. 自变量和函数的关系
2.1 自变量作为函数的输入
在函数中，自变量被视为输入，它决定了函数的行为和输出。
自变量的取值范围和取值方式对函数的结果具有重要影响。
2.2 自变量的取值范围和函数的定义域
函数的定义域取决于自变量的取值范围。
自变量通常有一个特定的取值范围，也可以是整个实数集合。
函数的定义域是使得函数有定义的所有自变量的取值。
2.3 自变量对函数的影响
自变量的变化会对函数的输出产生影响。
不同的自变量取值可能导致不同的函数值，这反映了函数的多样性和灵活性。
3. 自变量的分类
3.1 离散自变量
离散自变量是指取值有限或无限但可数的自变量。
这种自变量通常以整数或某些特定元素为取值。
3.2 连续自变量
连续自变量是指取值可以是任意实数的自变量。
这种自变量可以取无限个取值，并且取值之间可以是连续的。
4. 函数的分类
4.1 线性函数
线性函数是指自变量的一次函数。
线性函数的特点是函数图像是一条直线。
4.2 幂函数
幂函数是指自变量的幂次方函数。
幂函数的特点是自变量和函数值之间的关系是乘方关系。
4.3 指数函数
指数函数是指以自然对数为基底的幂次函数。
指数函数的特点是函数图像呈现指数增长或指数衰减的形态。
4.4 对数函数
对数函数是指以某个正实数为底的指数函数的反函数。
对数函数的特点是函数图像呈现对数增长或对数衰减的形态。
5. 自变量和函数在实际问题中的应用
5.1 函数模型
自变量和函数在实际问题中常常用于建立数学模型。
通过将实际问题抽象为自变量和函数的关系，可以用数学方法分析问题并解决问题。
5.2 数据处理
自变量和函数在数据处理中起到重要作用。
可以根据数据的自变量和函数的关系，进行数据分析、数据挖掘以及模式识别等任务。
5.3 最优化问题
自变量和函数在最优化问题中起到关键作用。
通过对函数进行优化，可以找到自变量的最优取值，从而获得最优解。
6. 结论
自变量和函数是数学和统计学中重要的概念。
自变量作为函数的输入，决定了函数的行为和输出。
自变量的取值范围和取值方式对函数的结果具有重要影响。
自变量和函数在实际问题中有广泛的应用，可以用于建立函数模型、数据处理和最优化问题等任务。
了解自变量和函数的概念和关系，对于深入理解数学和应用数学有着重要的意义。