河北工业大学高等数学练习册答案
高等数学教材题目及答案
高等数学教材题目及答案一、导数与微分1. 求函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1在x = 2处的导数。
答案：f'(2) = 12 - 4 = 8。
2. 求函数f(x) = ln(x^2 + 1)的导数。
答案：f'(x) = 2x / (x^2 + 1)。
3. 已知函数f(x) = e^x，求其微分。
答案：df = f'(x)dx = e^xdx。
二、积分与不定积分1. 求函数f(x) = 2x的不定积分。
答案：∫f(x)dx = ∫2xdx = x^2 + C （C为常数）。
2. 求函数f(x) = sin(x)的不定积分。
答案：∫f(x)dx = -cos(x) + C （C为常数）。
3. 计算定积分∫[0, 2π] sin(x)dx的值。
答案：∫[0, 2π] sin(x)dx = -cos(x)∣[0, 2π] = -cos(2π) - (-cos(0)) = -1 - (-1) = 0。
三、级数与收敛性1. 判断级数∑(n=1, ∞) (1/n)的收敛性。
答案：根据调和级数的性质，该级数发散。
2. 判断级数∑(n=1, ∞) (1/2^n)的收敛性。
答案：根据等比级数的性质，该级数收敛于1。
3. 判断级数∑(n=1, ∞) (1/n^2)的收敛性。
答案：根据比较判别法，与p级数（p>1）收敛性相同，因此该级数收敛。
四、多元函数与偏导数1. 求函数f(x, y) = x^2 + y^2的偏导数∂f/∂x。
答案：∂f/∂x = 2x。
2. 求函数f(x, y) = x^3y^2的偏导数∂f/∂y。
答案：∂f/∂y = 2x^3y。
3. 已知函数f(x, y) = x^2y，求其全微分df。
答案：df = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy = 2xydx + x^2dy。
五、重积分1. 计算二重积分∬D (x^2 + y^2) dxdy，其中D为单位圆盘。
河北工业大学高等数学教材
河北工业大学高等数学教材高等数学是大学数学中的一门重要课程，它为学生提供了深入了解和掌握数学领域的基本概念、定理和方法的机会。
作为河北工业大学的课程之一，河北工业大学高等数学教材在培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力方面发挥着重要的作用。
本文将就河北工业大学高等数学教材的特点、教学模式以及教材的应用价值等方面进行探讨。
一、教材特点河北工业大学高等数学教材具有以下几个特点。
1.内容全面：高等数学是一门非常综合的数学学科，它涵盖了微积分、数列、级数、多元函数等多个领域。
河北工业大学高等数学教材的编写者们从内容的选取上力求全面，希望通过教材的编写，让学生能够掌握高等数学的核心知识和方法。
2.重实用性：高等数学的学习不仅仅是为了获得知识，更是为了应用到实际问题中去解决实际问题。
河北工业大学高等数学教材注重培养学生的实际运用能力，通过大量例题和习题的设计，引导学生将所学的数学知识应用于实际问题中，并通过实际案例的分析，加深学生对数学概念和方法的理解。
3.注重交互性：河北工业大学高等数学教材采用了一种交互式的教学模式。
教材中穿插了许多思考题和讨论题，要求学生积极参与到课堂讨论中，增强学生对数学问题的分析和解决能力。
同时，教材中还配有相应的电子学习资源，学生可以通过电子教材进行自主学习和互动学习。
二、教学模式河北工业大学高等数学教材在教学模式上采用了一种灵活多样的授课方式。
1.理论讲解：教师通过授课的方式，对高等数学的理论知识进行全面讲解。
在理论讲解中，教师注重举例说明，帮助学生建立深刻的概念和理论体系。
2.案例分析：在教学过程中，教师会选择一些经典案例进行分析和讲解，通过实际案例的分析，让学生更好地理解和应用高等数学的知识和方法。
3.实践操作：在教学过程中，教师会引导学生进行实践操作，例如利用计算机软件进行数据处理和分析，培养学生的实际运用能力。
4.课堂讨论：教师会引导学生进行课堂讨论，让学生更好地理解高等数学中的难点和疑惑，提升学生的思维能力和解决问题的能力。
练习册(答案)-高数II下(12-13-2)-(9)
高等数学II 练习题________学院_______专业 班级 姓名______ ____学号_______定积分计算1、由定积分的几何意义求 0⎰的值。
2、已知221,||2()1,24x x f x x x +≤⎧=⎨+<≤⎩，且340()3k f x dx =⎰，求k 的值。
3、226cos udu ππ⎰4、0π⎰5、1⎰6、0ax ⎰7、21ln x xdx ⎰8、32(21)cos x x xdx ππ-++⎰高等数学II 练习题________学院_______专业 班级 姓名______ ____学号_______反常积分、定积分应用（一）1、求无穷限积分0ax e dx +∞-⎰（0>a ）。
2、求瑕积分21⎰。
3、求由曲线22y x =与4x y +=所围成图形的面积。
4、求由曲线1=xy 和直线x y =，2=x 所围成的平面图形的面积。
22232244282244(4)d (4)18226x x y x y y x y y y y S y y y --==⎧=⎧⎧⇒⎨⎨⎨==-+=⎩⎩⎩∴=--=--=⎰解：或是两交点0111d(-)ax axe ax e a aa+∞--+∞=-=-=⎰22112310001,d 2d 1021(1)182d 2(1)d 2()33t x t x t t x t x t t t t t t t t t ==+=→→==+=⋅=+=+=⎰⎰解：令当时，，当时，原式5、抛物线342-+-=x x y 与其在点)3,0(-和)0,3(处的切线所围成的图形的面积。
6、设椭圆的参数方程为2cos ,x t y t ==，求椭圆的面积。
7、在]1,0[上给定函数2x y =，问t 取何值时，右图中曲边三角形OACO 与ADBA 的面积之和最小？何时最大？2223312200322(22()(1(3341331()42,()0,021[0,]()021[,1]()021112(0),(),(1)32431t tt OACO ADBA A t A t y y y y y t t A t t t A t t t t A t t A t A A A t ∴=+=+-=-+''∴=-=∴=='∈<'∈>====⎰⎰解：设曲边三角形和的面积之和为令或当时，，函数单调减少当时，，函数单调增加所以当时，12t =面积之和最大，当时，面积之和最小。
高等数学课后习题及参考答案(第十章)
高等数学课后习题及参考答案（第十章）习题 10-11. 设在xOy 面内有一分布着质量的曲线弧L , 在点(x , y )处它的线密度为μ(x , y ), 用对弧长的曲线积分分别表达:(1)这曲线弧对x 轴、对y 轴的转动惯量I x , I y ; (2)这曲线弧的重心坐标x , y .解 在曲线弧L 上任取一长度很短的小弧段ds (它的长度也记做ds ), 设(x , y )为小弧段ds 上任一点.曲线L 对于x 轴和y 轴的转动惯量元素分别为 dI x =y 2μ(x , y )ds , dI y =x 2μ(x , y )ds . 曲线L 对于x 轴和y 轴的转动惯量分别为 ⎰=Lx ds y x y I ),(2μ, ⎰=Ly ds y x x I ),(2μ.曲线L 对于x 轴和y 轴的静矩元素分别为 dM x =y μ(x , y )ds , dM y =x μ(x , y )ds . 曲线L 的重心坐标为⎰⎰==L L y dsy x ds y x x M M x ),(),(μμ, ⎰⎰==LL x ds y x dsy x y M M y ),(),(μμ. 2. 利用对弧长的曲线积分的定义证明: 如果曲线弧L 分为两段光滑曲线L 1和L 2, 则⎰⎰⎰+=12),(),(),(LL L ds y x f ds y x f ds y x f .证明 划分L , 使得L 1和L 2的连接点永远作为一个分点, 则∑∑∑+===∆+∆=∆111111),(),(),(n n i i i i ni n i i i i i i i s f s f s f ηξηξηξ.令λ=max{∆s i }→0, 上式两边同时取极限∑∑∑+=→=→=→∆+∆=∆nn i i i i n i i i i ni i i i s f s f s f 111011),(lim),(lim ),(lim ηξηξηξλλλ,即得⎰⎰⎰+=12),(),(),(LL L ds y x f ds y x f ds y x f .3. 计算下列对弧长的曲线积分:(1)⎰+Ln ds y x )(22, 其中L 为圆周x =a cos t , y =a sin t (0≤t ≤2π);解⎰+L nds y x)(22⎰+-+=π20222222)cos ()sin ()sin cos (dt t a t a t a t a n=⎰+-+π20222222)cos ()sin ()sin cos (dt t a t a t a t a n ⎰++==ππ2012122n n a dt a .(2)⎰+Lds y x )(, 其中L 为连接(1, 0)及(0, 1)两点的直线段;解 L 的方程为y =1-x (0≤x ≤1);⎰⎰'-+-+=+102])1[(1)1()(dx x x x ds y x L22)1(1=-+=⎰dx x x .(3)xdx L⎰, 其中L 为由直线y =x 及抛物线y =x 2所围成的区域的整个边界; 解 L 1: y =x 2(0≤x ≤1), L 2: y =x (0≤x ≤1) .xdx L ⎰xdx xdx LL ⎰⎰+=21⎰⎰'++'+=102122)(1])[(1dx x x dx x x⎰⎰++=10102241xdx dx x x )12655(121-+=.(4)ds ey x L22+⎰, 其中L 为圆周x 2+y 2=a 2, 直线y =x 及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界; 解 L =L 1+L 2+L 3, 其中 L 1: x =x , y =0(0≤x ≤a ),L 2: x =a cos t , y =a sin t )40(π≤≤t ,L 3: x =x , y =x )220(a x ≤≤,因而ds eds eds eds ey x L y x L y x L y x L22322222122++++⎰⎰⎰⎰++=,⎰⎰⎰+++-++=axa ax dx e dt t a t a e dx e 220222402202211)cos ()sin (01π2)42(-+=a e a π.(5)⎰Γ++ds z y x 2221, 其中Γ为曲线x =e t cos t , y =e t sin t , z =e t 上相应于t 从0变到2的这段弧;解 dt dtdz dt dydt dx ds 222)()()(++=dt e t e t e t e t e t t t t t 222)cos sin ()sin cos (+++-=dt e t 3=,⎰⎰++=++Γ20222222223sin cos 11dt e et e t e ds z y x t t t t ⎰----=-==2220)1(23]23[23e e dt e t t .(6)⎰Γyzds x 2, 其中Γ为折线ABCD , 这里A 、B 、C 、D 依次为点(0, 0, 0)、 (0, 0, 2)、(1, 0, 2)、(1, 3, 2); 解 Γ=AB +BC +CD , 其中 AB : x =0, y =0, z =t (0≤t ≤1), BC : x =t , y =0, z =2(0≤t ≤3), CD : x =1, y =t , z =2(0≤t ≤3), 故yzds x yzds x yzds x yzds x CD BC AB 2222⎰⎰⎰⎰++=Γ9010200322231=++++=⎰⎰⎰dt t dt dt .(7)⎰Lds y 2, 其中L 为摆线的一拱x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )(0≤t ≤2π);解⎰⎰'+'--=L dt t a t t a t a ds y π2022222])(cos [])sin ([)cos 1(⎰--=π2023cos 1)cos 1(2dt t t a 315256a =.(8)⎰+Lds y x )(22, 其中L 为曲线x =a (cos t +t sin t ), y =a (sin t -t cos t )(0≤t ≤2π).解 dt dtdydt dx ds 22)()(+=atdt dt t at t at =+=22)sin ()cos (atdt t t t a t t t a ds y x L ])cos (sin )sin (cos [)(22202222-++=+⎰⎰π⎰+=+=πππ2023223)21(2)1(a tdt t a .4. 求半径为a , 中心角为2ϕ的均匀圆弧(线密度μ=1)的重心. 解 建立坐标系如图10-4所示, 由对称性可知0=y , 又 ⎰==L x xds a M M x ϕ21⎰-⋅=ϕϕθθϕad a a cos 21ϕϕsin a =, 所以圆弧的重心为)0 ,sin (ϕϕa5. 设螺旋形弹簧一圈的方程为x =a cos t , y =a sin t , z =kt , 其中0≤1≤2π, 它的线密度ρ(x , y , z )=x 2+y 2+z 2, 求:(1)它关于z 轴的转动惯量I z ; (2)它的重心. 解 dt t z t y t x ds )()()(222'+'+'=dt k a 22+=. (1)⎰+=Lz ds z y x y x I ),,()(22ρds z y x y x L))((22222+++=⎰dt k a t k a a ⎰++=π20222222)()43(32222222k a k a a ππ++=. (2)⎰⎰++==LLds z y x ds z y x M )(),,(222ρ⎰++=π2022222)(dt k a t k a)43(3222222k a k a ππ++=, ds z y x x M x L)(1222⎰++=⎰++=π2022222)(cos 1dt k a t k a t a M2222436k a ak ππ+=, ds z y x y M y L)(1222⎰++=⎰++=π2022222)(sin 1dt k a t k a t a M2222436k a ak ππ+-=, ds z y x z M z L)(1222⎰++=⎰++=π2022222)(1dt k a t k a kt M22222243)2(3k a k a k πππ++=,故重心坐标为)43)2(3 ,436 ,436(22222222222222k a k a k k a ak k a ak πππππππ+++-+.习题 10-21. 设L 为xOy 面内直线x =a 上的一段, 证明:⎰=L dx y x P 0),(.证明 设L 是直线x =a 上由(a , b 1)到(a , b 2)的一段, 则L : x =a , y =t , t 从b 1变到b 2. 于是00) ,())( ,(),(2121⎰⎰⎰=⋅==b b b b L dt t a P dt dtda t a P dx y x P . 2. 设L 为xOy 面内x 轴上从点(a , 0)到(b , 0)的一段直线, 证明⎰⎰=Lbadx x P dx y x P )0 ,(),(.证明L : x =x , y =0, t 从a 变到b , 所以⎰⎰⎰='=baL b adx x P dx x x P dx y x P )0 ,())(0 ,(),(.3. 计算下列对坐标的曲线积分:(1)⎰-Ldx y x )(22, 其中L 是抛物线y =x 2上从点(0, 0)到点(2, 4)的一段弧;解 L : y =x 2, x 从0变到2, 所以⎰⎰-=-=-L dx x x dx y x2042221556)()(.(2)⎰Lxydx , 其中L 为圆周(x -a )2+y 2=a 2(a >0)及x 轴所围成的在第 一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行); 解 L =L 1+L 2, 其中L 1: x =a +a cos t , y =a sin t , t 从0变到π, L 2: x =x , y =0, x 从0变到2a , 因此⎰⎰⎰+=21L L L xydx xydx xydx⎰⎰+'++=adx dt t a a t a t a 200)cos (sin )cos 1(π3020232)sin sin sin (a t td tdt a πππ-=+-=⎰⎰.(3)⎰+Lxdy ydx , 其中L 为圆周x =R cos t , y =R sin t 上对应t 从0到2π的一段弧;解 ⎰⎰+-=+L dt t tR R t R t R xdy ydx ]cos cos )sin (sin [20π⎰==20202cos πtdt R .(4)⎰+--+L y x dy y x dx y x 22)()(, 其中L 为圆周x 2+y 2=a 2(按逆时针方向绕行);解 圆周的参数方程为: x =a cos t , y =a sin t , t 从0变到2π, 所以⎰+--+L yx dyy x dx y x 22)()( ⎰---+=π202)]cos )(sin cos ()sin )(sin cos [(1dt t a t a t a t a t a t a a ⎰-=-=ππ202221dt a a .(5)ydz zdy dx x -+⎰Γ2, 其中Γ为曲线x =k θ, y =a cos θ, z =a sin θ上对应θ从0到π的一段弧; 解⎰⎰--+=-+Γπθθθθθθ022]cos cos )sin (sin )[(d a a a a k k ydz zdy dx x233220331)(a k d a k ππθθπ-=-=⎰.(6)dz y x ydy xdx )1(-+++⎰Γ, 其中Γ是从点(1, 1, 1)到点(2, 3, 4)的一段直线;解 Γ的参数方程为x =1+t , y =1+2t , z =1+3t , t 从0变到1.⎰Γ-+++dz y x ydy xdx )1(⎰-+++++++=1)]1211(3)21(2)1[(dt t t t t⎰=+=1013)146(dt t .(7)⎰Γ+-ydz dy dx , 其中Γ为有向闭折线ABCA , 这里的A , B , C依次为点(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1); 解 Γ=AB +BC +CA , 其中AB : x =x , y =1-x , z =0, x 从1变到0, BC : x =0, y =1-z , z =z , z 从0变到1, CA : x =x , y =0, z =1-x , x 从0变到1, 故ydz dy dx ydz dy dx ydz dy dx ydz dy dx CA BC AB +-++-++-=+-⎰⎰⎰⎰Γ⎰⎰⎰+-+'--+'--=101010)]1()1([])1(1[dx dt z z dx x 21=.(8)dy xy y dx xy x L)2()2(22-+-⎰, 其中L 是抛物线y =x 2上从(-1, 1)到(1, 1)的一段弧.解 L : x =x , y =x 2, x 从-1变到1, 故⎰-+-L dy xy y dx xy x )2()2(22⎰--+-=113432]2)2()2[(dx x x x x x 1514)4(21042-=-=⎰dx x x 4. 计算⎰-++Ldy x y dx y x )()(, 其中L 是:(1)抛物线y =x 2上从点(1, 1)到点(4, 2)的一段弧; 解 L : x =y 2, y =y , y 从1变到2, 故⎰-++L dy x y dx y x )()(⎰=⋅-+⋅+=2122334]1)(2)[(dy y y y y y . (2)从点(1, 1)到点(4, 2)的直线段; 解 L : x =3y -2, y =y , y 从1变到2, 故⎰-++L dy x y dx y x )()(11]1)23()23[(21=⋅+-+⋅+-=⎰dy y y y y y(3)先沿直线从点(1, 1)到(1, 2), 然后再沿直线到点(4, 2)的折线; 解 L =L 1+L 2, 其中L 1: x =1, y =y , y 从1变到2, L 2: x =x , y =2, x 从1变到4, 故⎰-++L dy x y dx y x )()(dy x y dx y x dy x y dx y x L L )()()()(21-+++-++=⎰⎰14)2()1(4121=++-=⎰⎰dx x dy y .(4)沿曲线x =2t 2+t +1, y =t 2+1上从点(1, 1)到(4, 2)的一段弧. 解 L : x =2t 2+t +1, y =t 2+1, t 从0变到1, 故⎰-++L dy x y dx y x )()(332]2)()14)(23[(1022=⋅--++++=⎰dt t t t t t t .5. 一力场由沿横轴正方向的常力F 所构成, 试求当一质量为m 的质点沿圆周x 2+y 2=R 2按逆时针方向移过位于第一象限的那一段时 场力所作的功.解 已知场力为F =(|F |, 0), 曲线L 的参数方程为 x =R cos θ, y =R sin θ,θ从0变到2π, 于是场力所作的功为R F d R F dx F d W LL||)sin (||||20-=-⋅==⋅=⎰⎰⎰πθθr F .6. 设z 轴与力方向一致, 求质量为m 的质点从位置(x 1, y 1, z 1) 沿直线移到(x 2, y 2, z 2)时重力作的功.解 已知F =(0, 0, mg ). 设Γ为从(x 1, y 1, z 1)到(x 2, y 2, z 2)的直线, 则重力所作的功为⎰⎰⎰ΓΓ-==++=⋅=21)(0012z z z z mg dz mg mgdz dy dx d W r F .7. 把对坐标的曲线积分⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(化成对弧长的曲线积分, 其中L 为:(1)在xOy 面内沿直线从点(0, 0)到(1, 1); 解 L 的方向余弦214cos cos cos ===πβα,故⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(ds y x Q y x P L]cos ),(cos ),([βα+=⎰⎰+=L ds y x Q y x P 2),(),(.(2)沿抛物线y =x 2从点(0, 0)到(1, 1);解 曲线L 上点(x , y )处的切向量为τ=(1, 2x ), 单位切向量为 )412,411()cos ,(cos 22x x x ++==τβαe ,故⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(ds y x Q y x P L ]cos ),(cos ),([βα+=⎰⎰++=L ds xy x xQ y x P 241),(2),(. (3)沿上半圆周x 2+y 2=2x 从点(0, 0)到(1, 1). 解 L 的方程为22x x y -=, 其上任一点的切向量为 )21 ,1(2x x x --=τ, 单位切向量为)1 ,2()cos ,(cos 2x x x --==τβαe ,故⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(ds y x Q y x P L ]cos ),(cos ),([βα+=⎰⎰-+-=Lds y x Q x y x P x x )],()1(),(2[2.8. 设Γ为曲线x =t , y =t 2, z =t 3上相应于t 从0变到1的曲线弧,把对坐标的曲线积分⎰Γ++Rdz Qdy Pdx 化成对弧长的曲线积分.解 曲线Γ上任一点的切向量为 τ=(1, 2t , 3t 2)=(1, 2x , 3y ), 单位切向量为)3 ,2 ,1(9211)cos ,cos ,(cos 22y x yx ++==τγβαe ,ds R Q P Rdz Qdy Pdx L ]cos cos cos [γβα++=++⎰⎰Γ⎰++++=L ds y x yRxQ P 2294132.习题 10-31. 计算下列曲线积分, 并验证格林公式的正确性:(1)⎰++-ldy y x dx x xy )()2(22, 其中L 是由抛物线y =x 2及y 2=x 所围成的区域的正向边界曲线; 解 L =L 1+L 2, 故⎰++-L dy y x dx x xy )()2(22⎰⎰++-+++-=21)()2()()2(2222L L dy y x dx x xy dy y x dx x xy⎰⎰++-+++-=112243423)](2)2[(]2)()2[(dy y y y y y dx x x x x x301)242()22(1010245235=++--++=⎰⎰dy y y y dx x x x ,而dxdy x dxdy yPx Q DD)21()(-=∂∂-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=102)21(y y dx x dy301)(42121=+--=⎰dy y y y y , 所以⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂l DQdy Pdx dxdy yPx Q )(.(2)⎰-+-ldy xy y dx xy x )2()(232, 其中L 是四个顶点分别为(0, 0)、 (2, 0)、(2, 2)、和(0, 2)的正方形区域的正向边界.解 L =L 1+L 2+L 3+L 4, 故⎰-+-L dy xy y dx xy x )2()(232dy xy y dx xy x L L L L )2())((2324321-+-+++=⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰⎰+-+-+=202002022222)8()4(dy y dx x x dy y y dx x 8482020=-+=⎰⎰ydy xdx , 而 dxdy xy y dxdy y P x Q DD )32()(2+-=∂∂-∂∂⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰+-=20220)32(dy xy y dx 8)48(20=-=⎰dx x , 所以 ⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂l D Qdy Pdx dxdy yP x Q )(. 2. 利用曲线积分, 求下列曲线所围成的图形的面积:(1)星形线x =a cos 3t , y =a sin 3t ;解 ⎰⎰-⋅⋅-=-=L dt t t a t a ydx A π2023)sin (cos 3sin ⎰==ππ20224283cos sin 3a tdt t a . (2)椭圆9x 2+16y 2=144;解 椭圆9x 2+16y 2 =144的参数方程为x =4cos θ, y =3sin θ, 0≤θ≤2π, 故⎰-=Lydx xdy A 21 ⎰-⋅-⋅=πθθθθθ20)]sin 4(sin 3cos 3cos 4[21d ⎰==ππθ20126d . (3)圆x 2+y 2=2ax .解 圆x 2+y 2=2ax 的参数方程为x =a +a cos θ, y =a sin θ, 0≤θ≤2π,故 ⎰-=Lydx xdy A 21 ⎰-⋅-⋅+=πθθθθθ20)]sin (sin cos )cos 1([21d a a a a 2202)cos 1(2a d a ⎰=+=ππθθ.3. 计算曲线积分⎰+-L y x xdy ydx )(222, 其中L 为圆周(x -1)2+y 2=2, L 的方 向为逆时针方向.解 )(222y x y P +=, )(222y x x Q +-=. 当x 2+y 2≠0时 y P x Q ∂∂=∂∂0)(2)(22222222222=+--+-=y x y x y x y x . 在L 内作逆时针方向的ε小圆周l : x =εcos θ, y =εsin θ(0≤θ≤2π),在以L 和l 为边界的闭区域D ε上利用格林公式得0)(=∂∂-∂∂=+⎰⎰⎰-+dxdy y P x Q Qdy Pdx D l L ε, 即 ⎰⎰⎰+=+-=+-lL l dy Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx . 因此 ⎰⎰+-=+-l L y x xdy ydx y x xdy ydx )(2)(22222⎰--=πθεθεθε20222222cos sin d ⎰-=-=ππθ2021d .4. 证明下列曲线积分在整个xOy 面内与路径无关, 并计算积分值:(1)⎰-++)3 ,2()1 ,1()()(dy y x dx y x ;解 P =x +y , Q =x -y , 显然P 、Q 在整个xOy 面内具有一阶连续偏 导数, 而且1=∂∂=∂∂xQ y P , 故在整个xOy 面内, 积分与路径无关.取L 为点(1, 1)到(2, 3)的直线y =2x -1, x 从1变到2, 则⎰⎰-+-=-++)3 ,2()1 ,1(21)]1(2)13[()()(dx x x dy y x dx y x ⎰=+=2125)1(dx x . (2)⎰-+-)4 ,3()2 ,1(2232)36()6(dy xy y x dx y xy ;解 P =6xy 2-y 3, Q =6x 2y -3xy 2, 显然P 、Q 在整个xOy 面内具有一阶连续偏导数, 并且2312y xy xQ y P -=∂∂=∂∂, 故积分与路径无关, 取路径 (1, 2)→(1, 4)→(3, 4)的折线, 则⎰-+-)4 ,3()2 ,1(2232)36()6(dy xy y x dx y xy236)6496()3642312=-+-=⎰⎰dx x dy y y .(3)⎰-++-)1 ,2()0 ,1(324)4()32(dy xy x dx y xy .解 P =2xy -y 4+3, Q =x 2-4xy 3, 显然P 、Q 在整个xOy 面内具有一阶连续偏导数, 并且342y x xQ y P -=∂∂=∂∂, 所以在整个xOy 面内积分与 路径无关, 选取路径为从(1, 0)→(1, 2)→(2, 1)的折线, 则⎰-++-)1 ,2()0 ,1(324)4()32(dy xy x dx y xy⎰⎰=++-=102135)1(2)41(dx x dy y .5. 利用格林公式, 计算下列曲线积分:(1)⎰-+++-Ldy x y dx y x )635()42(, 其中L 为三顶点分别为(0, 0)、 (3, 0)和(3, 2)的三角形正向边界;解 L 所围区域D 如图所示, P =2x -y +4, Q =5y +3x -6,4)1(3=--=∂∂-∂∂yP x Q , 故由格林公式,得⎰-+++-L dy x y dx y x )6315()42(dxdy y P x Q D)(∂∂-∂∂=⎰⎰ 124==⎰⎰dxdy D.(2)⎰-+-+Lx x dy ye x x dx e y x xy x y x )2sin ()sin 2cos (222, 其中L 为正 向星形线323232a y x =+(a >0);解 x e y x xy x y x P 22sin 2cos -+=, x ye x x Q 2sin 2-=,0)2cos sin 2()2cos sin 2(22=-+--+=∂∂-∂∂x x ye x x x x ye x x x x yP x Q , 由格林公式⎰-+-+L x x dy ye x x dx e y x xy x y x )2sin ()sin 2cos (2220)(=∂∂-∂∂=⎰⎰dxdy yP x Q D . (3)⎰+-+-Ldy y x x y dx x y xy )3sin 21()cos 2(2223, 其中L 为在抛物线 2x =πy 2上由点(0, 0)到)1 ,2(π的一段弧; 解 x y xy P cos 223-=, 223sin 21y x x y Q +-=,0)cos 26()6cos 2(22=--+-=∂∂-∂∂x y xy xy x y yP x Q , 所以由格林公式0)(=∂∂-∂∂=+⎰⎰⎰++-dxdy yP x Q Qdy Pdx D OB OA L , 其中L 、OA 、OB 、及D 如图所示.故 ⎰⎰++=+AB OA L Qdy Pdx Qdy Pdx4)4321(02201022πππ=+-+=⎰⎰dy y y dx . (4)⎰+--L dy y x dx y x )sin ()(22, 其中L 是在圆周22x x y -=上由点(0, 0)到点(1, 1)的一段弧.解 P =x 2-y , Q =-x -sin 2y ,0)1(1=---=∂∂-∂∂y P x Q , 由格林公式有0)(=∂∂-∂∂-=+⎰⎰⎰++dxdy y P x Q Qdy Pdx DBO AB L , 其中L 、AB 、BO 及D 如图所示.故 ⎰⎰++--=+--L OB BA dy y x dx y x dy y x dx y x )sin ()()sin ()(22222sin 4167)sin 1(102102+-=++-=⎰⎰dx x dy y .6. 验证下列P (x , y )dx +Q (x , y )dy 在整个xOy 平面内是某一函数u (x , y )的全微分, 并求这样的一个u (x , y ):(1)(x +2y )dx +(2x +y )dy ;证明 因为yP x Q ∂∂==∂∂2, 所以P (x , y )dx +Q (x , y )dy 是某个定义在整 个xOy 面内的函数u (x , y )的全微分.⎰++++=),()0,0()2()2(),(y x C dy y x dx y x y x u C y xy x +++=22222. (2)2xydx +x 2dy ;解 因为y P x x Q ∂∂==∂∂2, 所以P (x , y )dx +Q (x , y )dy 是某个定义在整个 xOy 面内的函数u (x , y )的全微分.⎰++=),()0,0(22),(y x C dy x xydx y x u ⎰⎰+=++=y yC y x C xydx dy 00220. (3)4sin x sin3y cos xdx –3cos3y cos2xdy解 因为yP x y x Q ∂∂==∂∂2sin 3cos 6, 所以P (x , y )dx +Q (x , y )dy 是某个 定义在整个xOy 平面内的函数u (x , y )的全微分.⎰+-=),()0,0(2cos 3cos 3cos 3sin sin 4),(y x C xdy y xdx y x y x u C y x C xdy y dx xy +-=+-+=⎰⎰3sin 2cos 2cos 3cos 3000. (4)dy ye y x x dx xy y x y )128()83(2322++++解 因为yP xy x x Q ∂∂=+=∂∂1632, 所以P (x , y )dx +Q (x , y )dy 是某个定 义在整个xOy 平面内的函数u (x , y )的全微分. ⎰+++++=),()0,0(232)128()823(),(y x y C dy ye y x x dx xy iy xh y x u C dx xy y x dy ye yx y +++=⎰⎰0022)83(12C e ye y x y x y y +-++=)(124223.(5)dy y x x y dx x y y x )sin sin 2()cos cos 2(22-++解 因为yP y x x y x Q ∂∂=-=∂∂sin 2cos 2, 所以P (x , y )dx +Q (x , y )dy 是 某个函数u (x , y )的全微分 ⎰⎰+-+=x y C dy y x x y xdx y x u 002)sin sin 2(2),( C y x x y ++=cos sin 22.7. 设有一变力在坐标轴上的投影为X =x +y 2, Y =2xy -8, 这变力确 定了一个力场, 证明质点在此场内移动时, 场力所做的功与路径无关. 解 场力所作的功为⎰Γ-++=dy xy dx y x W )82()(2. 由于yX y x Y ∂∂==∂∂2, 故以上曲线积分与路径无关, 即场力所作的功 与路径无关.习题10-41. 设有一分布着质量的曲面∑, 在点(x , y , z )处它的面密度为μ(x , y , z ), 用对面积的曲面积分表达这曲面对于x 轴的转动惯量.解. 假设μ(x , y , z )在曲面∑上连续, 应用元素法, 在曲面∑上任意一点(x , y , z )处取包含该点的一直径很小的曲面块dS (它的面积也记做dS ), 则对于x 轴的转动惯量元素为dI x =(y 2+z 2)μ(x , y , z )dS ,对于x 轴的转动惯量为dS z y x z y I x ),,()(22μ+=∑⎰⎰.2. 按对面积的曲面积分的定义证明公式dS z y x f dS z y x f dS z y x f ),,(),,(),,(21∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=,其中∑是由∑1和∑2组成的.证明 划分∑1为m 部分, ∆S 1, ∆S 2, ⋅⋅⋅, ∆S m ;划分∑2为n 部分, ∆S m +1, ∆S m +2, ⋅⋅⋅, ∆S m +n ,则∆S 1, ⋅⋅⋅, ∆S m , ∆S m +1, ⋅⋅⋅, ∆S m +n 为∑的一个划分, 并且i i i i nm m i i i i i m i i i i i n m i S f S f S f ∆∑+∆∑=∆∑++==+=),,(),,(),,(111ζηξζηξζηξ. 令}{max 11i mi S ∆=≤≤λ, }{max 12i n m i m S ∆=+≤≤+λ, } ,max{21λλλ=, 则当 λ→0时, 有dS z y x f dS z y x f dS z y x f ),,(),,(),,(21∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=.3. 当∑是xOy 面内的一个闭区域时, 曲面积分dSz y x f ),,(∑⎰⎰与二重积分有什么关系？解 ∑的方程为z =0, (x , y )∈D ,dxdy dxdy z z dS y x=++=221, 故 dxdy z y x f dS z y x f D),,(),,(⎰⎰⎰⎰=∑.4. 计算曲面积分dS z y x f ),,(∑⎰⎰, 其中∑为抛物面z =2-(x 2+y 2)在xOy 面上方的部分, f (x , y , z )分别如下:(1) f (x , y , z )=1;解 ∑: z =2-(x 2+y 2), D xy : x 2+y 2≤2,dxdy y x dxdy z z dS y x22224411++=++=. 因此 dxdy y x dS z y x f xyD 22441),,(++=⎰⎰⎰⎰∑ ⎰⎰+=πθ2020241rdr r d ππ313])41(121[2202/32=+=r . (2) f (x , y , z )=x 2+y 2;解 ∑: z =2-(x 2+y 2), D xy : x 2+y 2≤2, dxdy y x dxdy z z dS y x22224411++=++=. 因此 dxdy y x y x dS z y x f xyD 2222441)(),,(+++=⎰⎰⎰⎰∑ ⎰⎰+=πθ2020241rdr r d ππ301494122022=+=⎰rdr r r . (3) f (x , y , z )=3z .解 ∑: z =2-(x 2+y 2), D xy : x 2+y 2≤2,dxdy y x dxdy z z dS y x22224411++=++=. 因此 dS z y x f ),,(∑⎰⎰dxdy y x y x xyD 2222441)](2[3+++-=⎰⎰⎰⎰+-=πθ20202241)2(3rdr r r d ππ1011141)2(62022=+-=⎰rdr r r . 5. 计算dS y x )(22+∑⎰⎰, 其中∑是: (1)锥面22y x z +=及平面z =1所围成的区域的整个边界曲面;解 将∑分解为∑=∑1+∑2, 其中∑1: z =1 , D 1: x 2+y 2≤1, dS =dxdy ;∑1:22y x z +=, D 2: x 2+y 2≤1, dxdy dxdy z z dS y x2122=++=. dS y x dS y x dS y x )()()(22222221+++=+∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰ dxdy y x dxdy y x D D )()(222221+++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰=πθ20103dr r d +⎰⎰πθ201032dr r d πππ221222+=+=. 提示: dxdy dxdy yx y y x x dS 21222222=++++=.(2)锥面z 2=3(x 2+y 2)被平面z =0及z =3所截得的部分. 解 ∑:223y x z +=, D xy : x 2+y 2≤3,dxdy dxdy z z dS y x2122=++=, 因而 πθπ922)()(302202222==+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑rdr r d dxdy y x dS y x xy D . 提示: dxdy dxdy y x y y x x dS 2])(326[])(326[1222222=++++=.6. 计算下面对面积的曲面积分:(1)dS y x z )342(++∑⎰⎰, 其中∑为平面1432=++z y x 在第一象限中的部分;解 y x z 3424:--=∑, x y x D xy 2310 ,20 :-≤≤≤≤, dxdy z z dS y x 221++=dxdy 361=, 61436143614)342(==⋅=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑dxdy dxdy dS y x z xy xyD D . (2)dS z x x xy )22(2+--∑⎰⎰, 其中∑为平面2x +2y +z =6在第一象限中的部分;解 ∑: z =6-2x -2y , D xy : 0≤y ≤3-x , 0≤x ≤3,dxdy dxdy z z dS y x3122=++=, dS z x x xy )22(2+--∑⎰⎰ dxdy y x x x xy xyD 3)22622(2--+--=⎰⎰⎰⎰--+--=x dy y xy x x dx 30230)22236(3 427)9103(33023-=+-=⎰dx x x . (3)dS z y x )(++∑⎰⎰, 其中∑为球面x 2+y 2+z 2=a 2上z ≥h (0<h <a )的部分;解 ∑:222y x a z --=, D xy : x 2+y 2≤a 2-h 2,dxdy z z dS y x 221++=dxdy y x a a 222--=,dxdy yx a a y x a y x dS z y x xy D 222222)()(----++=++⎰⎰⎰⎰∑ )(||22h a a D a adxdy xy D xy-===⎰⎰π(根据区域的对称性及函数的奇偶性).提示: dxdy yx a y y x a x dS 22222222)()(1+--++--+=dxdy y x a a 222--=, (4)dS zx yz xy )(++∑⎰⎰, 其中∑为锥面22y x z +=被x 2+y 2=2ax所截得的有限部分.解 ∑: 22y x z +=, D xy : x 2+y 2≤2ax ,dxdy dxdy z z dS y x2122=++=, dxdy y x y x xy dS zx yz xy xyD ])([2)(22+++=++⎰⎰⎰⎰∑ ⎰⎰++=-θππθθθθcos 202222)]sin (cos cos sin [2a rdr q r r dθθθθθθππd a )cos sin cos cos (sin 24422554⎰-++= 421564a =. 提示: dxdy yx y y x x dS 2222221++++=. 7. 求抛物面壳)10)((2122≤≤+=z y x z 的质量, 此壳的面密度为μ=z .解 ∑: )(2122y x z +=, D xy : x 2+y 2≤2, dxdy y x dxdy z z dS y x222211++=++=.故 dxdy y x y x zdS M xyD 22221)(21+++==⎰⎰⎰⎰∑ ⎰⎰+=πθ202022121rdr r r d )136(152+=π. 8. 求面密度为μ0的均匀半球壳x 2+y 2+z 2=a 2(z ≥0)对于z 轴的转动惯量. 解 ∑: 222y x a z --=, D xy : x 2+y 2≤a 2,dxdy z z dS y x 221++=dxdy yx a a 222--=, dxdy y x a a y x dS y x I z 222022022)()(--+=+=∑∑⎰⎰⎰⎰μμ ⎰⎰-=a dr ya r d a 0223200πθμ 4034a πμ=.提示:dxdy yx a y y x a x dS 22222222)()(1---+---+=dxdy y x a a 222--=.习题10-51. 按对坐标的曲面积分的定义证明公式:dydz z y x P z y x P )],,(),,([21±∑⎰⎰dydz z y x P dydz z y x P )],,(),,(21∑∑⎰⎰⎰⎰±=.解 证明把∑分成n 块小曲面∆S i (∆S i 同时又表示第i 块小曲面的面 积), ∆S i 在yOz 面上的投影为(∆S i )yz , (ξi , ηi ,ζi )是∆S i 上任意取定的一点, λ是各小块曲面的直径的最大值, 则dydzz y x P z y x P )],,(),,([21±∑⎰⎰ yz i i i i i i i n i S P P ))](,(),([lim ,2,110∆±==→∑ζηξζηξλyz i i i i ni yz i i i i n i S P S P ))(,(lim ))(,(lim ,210,110∆±∆==→=→∑∑ζηξζηξλλ dydz z y x P dydz z y x P )],,(),,(21∑∑⎰⎰⎰⎰±=.2. 当∑为xOy 面内的一个闭区域时, 曲面积分dxdy z y x R ),,(∑⎰⎰与二重积分有什么关系？解 因为∑: z =0, (x , y )∈D xy , 故dxdy z y x R dxdy z y x R xyD ),,(),,(⎰⎰⎰⎰±=∑,当∑取的是上侧时为正号, ∑取的是下侧时为负号.3. 计算下列对坐标的曲面积分:(1)zdxdy y x 22∑⎰⎰其中∑是球面x 2+y 2+z 2=R 2的下半部分的下侧;解 ∑的方程为222y x R z ---=, D xy : x 2+y 2≤R , 于是zdxdy y x 22∑⎰⎰dxdy y x R y x xyD )(22222----=⎰⎰ ⎰⎰⋅-⋅⋅=πθθθ20222202sin cos rdr r R r r d R⎰⎰-=πθθ20052222sin 41R dr r r R d 71052R π=. (2)ydzdx xdydz zdxdy ++∑⎰⎰, 其中z 是柱面x 2+y 2=1被平面z =0及z =3所截得的第一卦限内的部分的前侧;解 ∑在xOy 面的投影为零, 故0=∑⎰⎰zdxdy .∑可表示为21y x -=, (y , z )∈D yz ={(y , z )|0≤y ≤1, 0≤z ≤3}, 故 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=-=-=∑3010102221311dy y dy y dz dydz y xdyz yz D ∑可表示为21x y -=, (z , x )∈D zx ={(z , x )|0≤z ≤3, 0≤x ≤1}, 故dzdx x ydzdx zx D 21-=⎰⎰⎰⎰∑⎰⎰⎰-=-=30101022131dx x dx x dz . 因此 ydzdx xdydz zdxdy ++∑⎰⎰)13(2102dx x ⎰-=ππ2346=⨯=. 解法二 ∑前侧的法向量为n =(2x , 2y , 0), 单位法向量为)0 , ,(1)cos ,cos ,(cos 22y x y x +=γβα, 由两种曲面积分之间的关系,dS z y x ydzdx xdydz zdxdy )cos cos cos (γβα++=++∑∑⎰⎰⎰⎰π23)(222222==+=+⋅++⋅=∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰dS dS y x dS y x y y y x x x . 提示: dS ∑⎰⎰表示曲面的面积.(3)dxdy z z y x f dzdx y z y x f dydz x z y x f ]),,([]),,(2[]),,([+++++∑⎰⎰, 其中f (x , y , z )为连续函数, ∑是平面x -y +z =1在第四卦限部分的上侧; 解 曲面∑可表示为z =1-x +y , (x , y )∈D xy ={(x , y )|0≤x ≤1, 0≤y ≤x -1}, ∑上侧的法向量为n =(1, -1, 1), 单位法向量为)31 ,31 ,31()cos ,cos ,(cos -=γβα, 由两类曲面积分之间的联系可得dxdy z z y x f dzdx y z y x f dydz x z y x f ]),,([]),,(2[]),,([+++++∑⎰⎰dS z f y f x f ]cos )(cos )2(cos )[(γβα+++++=∑⎰⎰dS z f y f x f ]31)()31()2(31)(⋅++-⋅++⋅+=∑⎰⎰ 2131)(31===+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑dxdy dS dS z y x xyD .(4)⎰⎰∑++yzdzdx xydydz xzdxdy , 其中∑是平面x =0, y =0, z =0, x +y +z =1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.解 ∑=∑1+∑2+∑3+∑4, 其中∑1: x =0, D yz : 0≤y ≤1, 0≤z ≤1-y ,∑2: y =0, D zx : 0≤z 1, 0≤x ≤1-z ,∑3: z =0, D xy : 0≤x ≤1, 0≤y ≤1-x ,∑4: z =1-x -y , D xy : 0≤x ≤1, 0≤y ≤1-x ,于是 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑∑∑+++=4321xzdxdy xzdxdy 4000∑⎰⎰+++= dxdy y x x xy D )1(--=⎰⎰⎰⎰-=--=1010241)1(x dy y x xdx . 由积分变元的轮换对称性可知241⎰⎰⎰⎰∑∑==yzdzdx xydydz . 因此⎰⎰∑=⨯=++812413yzdzdx xydydz xzdxdy .解 ∑=∑1+∑2+∑3+∑4, 其中∑1、∑2、∑3是位于坐标面上的三块; ∑4: z =1-x -y , D xy : 0≤x ≤1, 0≤y ≤1-x .显然在∑1、∑2、∑3上的曲面积分均为零, 于是⎰⎰∑++yzdzdx xydydz xzdxdyyzdzdx xydydz xzdxdy ++=∑⎰⎰4dS xz yz xy )cos cos cos (4γβα++=∑⎰⎰dS xz yz xy )(34++=∑⎰⎰81)]1)(([3=--++=⎰⎰dxdy y x y x xy xyD . 4. 把对坐标的曲面积分dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(++∑⎰⎰化成对面积的曲面积分:(1)∑为平面63223=++z y x 在第一卦限的部分的上侧;解 令63223),,(-++=z y x z y x F , ∑上侧的法向量为:)32 ,2 ,3(),,(==z y x F F F n ,单位法向量为)32 ,2 ,3(51)cos ,cos ,(cos =γβα, 于是 Rdxdy Qdzdx Pdydz ++∑⎰⎰dS R Q P )cos cos cos (γβα++=∑⎰⎰dS R Q P )3223(51++=∑⎰⎰. (2)∑是抛物面z =8-(x 2+y 2)在xOy 面上方的部分的上侧.解 令F (x , y , z )=z +x 2+y 2-8, ∑上侧的法向量n =(F x , F y , F z )=(2x , 2y , 1),单位法向量为)1 ,2 ,2(4411)cos ,cos ,(cos 22y x y x ++=γβα, 于是 Rdxdy Qdzdx Pdydz ++∑⎰⎰dS R Q P )cos cos cos (γβα++=∑⎰⎰dS R yQ xP yx )22(441122++++=∑⎰⎰.10-61. 利用高斯公式计算曲面积分:(1)⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 222, 其中∑为平面x =0, y =0, z =0, x =a ,y =a , z =a 所围成的立体的表面的外侧;解 由高斯公式原式dv z y x dv z R y Q x P )(2)(++=∂∂+∂∂+∂∂=ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰⎰⎰⎰===Ωaa a a dz dy xdx xdv 0400366(这里用了对称性).(2)⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 333, 其中∑为球面x 2+y 2+z 2=a 2的外侧;解 由高斯公式原式dv z y x dv z R y Q x P )(3)(222++=∂∂+∂∂+∂∂=ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰=ππϕϕθ20004sin 3a dr r d d 5512a π=. (3)⎰⎰∑++-+dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz )2()(2322, 其中∑为上半球体 x 2+y 2≤a 2, 2220y x a z --≤≤的表面外侧;解 由高斯公式原式dv y x z d z R y Q x P )()(222++=∂∂+∂∂+∂∂=ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰=ππϕϕθ2020022sin a dr r r d d 552a π=. (4)⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz 其中∑界于z =0和z =3之间的圆柱体x 2+y 2≤9的整个表面的外侧;解 由高斯公式原式π813)(==∂∂+∂∂+∂∂=ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰dv dv z R y Q x P . (5)⎰⎰∑+-yzdxdy dzdx y xzdydz 24,其中∑为平面x =0, y =0, z =0, x =1,y =1, z =1所围成的立体的全表面的外侧.解 由高斯公式原式dv y y z dv z R y Q x P )24()(+-=∂∂+∂∂+∂∂=ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰=-=10101023)4(dz y z dy dx . 2. 求下列向量A 穿过曲面∑流向指定侧的通量: (1)A =yz i +xz j +xy k , ∑为圆柱x +y 2≤a 2(0≤z ≤h )的全表面, 流向外侧; 解 P =yz , Q =xz , R =xy ,⎰⎰∑++=Φxydxdy xzdzdx yzdydzdv z xy y xz x yz ))()()((∂∂+∂∂+∂∂=Ω⎰⎰⎰00==Ω⎰⎰⎰dv . (2)A =(2x -z )i +x 2y j - xz 2k , ∑为立方体0≤x ≤a , 0≤y ≤a , 0≤z ≤a ,的全表面, 流向外侧;解 P =2x -z , Q =x 2y , R =-xz 2,⎰⎰∑++=ΦRdxdy Qdzdx Pdydzdv xz x dv z r y Q x P )22()(2-+=∂∂+∂∂+∂∂=ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰-=-+=a a a a a dz xz x dy dx 023200)62()22(. (3)A =(2x +3z )i -(xz +y )j +(y 2+2z )k , ∑是以点(3, -1, 2)为球心, 半径R =3的球面, 流向外侧.解 P =2x +3z , Q =-(xz +y ), R =y 2+2z ,⎰⎰∑++=ΦRdxdy Qdzdx Pdydzdv dv z R y Q x P )212()(+-=∂∂+∂∂+∂∂=ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰π1083==Ω⎰⎰⎰dv . 3. 求下列向量A 的散度:(1)A =(x 2+yz )i +(y 2+xz )j +(z 2+xy )k ;解 P =x 2+yz , Q =y 2+xz , R =-z 2+xy ,)(2222div z y x z y x zR y Q x P ++=++=∂∂+∂∂+∂∂=A . (2)A =e xy i +cos(xy )j +cos(xz 2)k ;解 P =e xy , Q =cos(xy ), R =cos(xz 2),)sin(2sin div 2xz xz xy x ye zR y Q x P xy --=∂∂+∂∂+∂∂=A . (3)A =y 2z i +xy j +xz k ;解 P =y 2, Q =xy , R =xz ,x x x zR y Q x P 20div =++=∂∂+∂∂+∂∂=A . 4. 设u (x , y , z )、v (x , y , z )是两个定义在闭区域Ω上的具有二阶连续 偏导数的函数, n u ∂∂, nv ∂∂依次表示u (x , y , z )、v (x , y , z )沿∑的外法线方向 的方向导数. 证明dS n u v n v u dxdydz u v v u )()∂∂-∂∂=∆-∆⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω, 其中∑是空间闭区间Ω的整个边界曲面, 这个公式叫作林第二公式. 证明 由第一格林公式(见书中例3)知dxdydz z v y v x v u )(222222∂∂+∂∂+∂∂Ω⎰⎰⎰ dxdydz z v z u y v y u x v x u dS n v u )(∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂-∂∂=⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω, dxdydz z u y u x u v )(222222∂∂+∂∂+∂∂Ω⎰⎰⎰dxdydz z v z u y v y u x v x u dS n u v )(∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂-∂∂=⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω. 将上面两个式子相减, 即得dxdyd z u y u x u v z v y v x v u )]()([222222222222∂∂+∂∂+∂∂-∂∂+∂∂+∂∂Ω⎰⎰⎰ ⎰⎰∑∂∂-∂∂=dS n u v n v u )(. 5. 利用高斯公式推证阿基米德原理: 浸没在液体中所受液体的压力 的合力(即浮力)的方向铅直向上, 大小等于这物体所排开的液体的重力. 证明 取液面为xOy 面, z 轴沿铅直向下, 设液体的密度为ρ, 在物 体表面∑上取元素dS 上一点, 并设∑在点(x , y , z )处的外法线的方向余 弦为cos α, cos β, cos γ, 则dS 所受液体的压力在坐标轴x , y , z 上的分量 分别为-ρz cos αdS , -ρz cos β dS , -ρz cos γ dS ,∑所受的压力利用高斯公式进行计算得00cos ==-=Ω∑⎰⎰⎰⎰⎰dv dS z F x αρ,00cos ==-=Ω∑⎰⎰⎰⎰⎰dv dS z F y βρ,||cos Ω-=-=-=-=ΩΩ∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ρρργρdv dv dS z F z ,其中|Ω|为物体的体积. 因此在液体中的物体所受液体的压力的合力, 其方向铅直向上, 大小等于这物体所排开的液体所受的重力, 即阿基 米德原理得证.习题10-71. 利用斯托克斯公式, 计算下列曲线积分:(1)⎰Γ++xdz zdy ydx , 其中Γ为圆周x 2+y 2+z 2=a 2, , 若从z 轴 的正向看去, 这圆周取逆时针方向;解 设∑为平面x +y +z =0上Γ所围成的部分, 则∑上侧的单位法向量为)31,31,31()cos ,cos ,(cos ==γβαn .于是 ⎰Γ++xdz zdy ydx dS x z y zy x ∂∂∂∂∂∂=∑⎰⎰γβαcos cos cos 2333)cos cos cos (a dS dS πγβα-=-=---=∑∑⎰⎰⎰⎰.提示:dS ∑⎰⎰表示∑的面积, ∑是半径为a 的圆.(2)⎰Γ-+-+-dz y x dy x z dz z y )()()(, 其中Γ为椭圆x 2+y 2=a 2, 1=+b z a x(a >0, b >0), 若从x 轴正向看去, 这椭圆取逆时针方向;解 设∑为平面1=+b z a x 上Γ所围成的部分, 则∑上侧的单位法向量为) ,0 ,()cos ,cos ,(cos 2222b a b b a b ++==γβαn . 于是 ⎰Γ-+-+-dz y x dy x z dx z y )()()(dS y x x z z y zy x ---∂∂∂∂∂∂=∑⎰⎰γβαcos cos cos dS b a b a dS ∑∑⎰⎰⎰⎰++-=---=22)(2)cos 2cos 2cos 2(γβα)(2)(2)(22222b a a dxdy a b a dxdy a b a b a b a xyxyD D +-=+-=+++-=⎰⎰⎰⎰π.提示: ∑(即x ab b z -=)的面积元素为dxdy a b a dxdy a b dS 222)(1+=+=.(3)⎰Γ+-dz yz xzdy ydx 23, 其中Γ为圆周x 2+y 2=2z , z =2, 若从z 轴的正向看去, 这圆周是取逆时针方向;解 设∑为平面z =2上Γ所围成的部分的上侧, 则⎰Γ+-dz yz xzdy ydx 2323yz xz y zy x dxdydzdx dydz -∂∂∂∂∂∂=∑⎰⎰ ππ2025)3()(22-=⨯-=+-+=∑⎰⎰dxdy z dydz x z .(4)⎰Γ-+dz z xdy ydx 232, 其中Γ为圆周x 2+y 2+z 2=9, z =0, 若从z 轴的正向看去, 这圆周是取逆时针方向.解 设∑为xOy 面上的圆x 2+y 2≤9的上侧, 则⎰Γ-+dz z xdy ydx 232232z x y zy x dxdydzdx dydz -∂∂∂∂∂∂=∑⎰⎰ π9===⎰⎰⎰⎰∑dxdy dxdy xyD .2. 求下列向量场A 的旋度: (1)A =(2z -3y )i +(3x -z )j +(-2x )k ;解 k j i kj i A 6422332++=---∂∂∂∂∂∂=x y z x y z z y x rot . (2)A =(sin y )i -(z -x cos y )k ;解 j i kji A +=--+∂∂∂∂∂∂=0)cos (sin y x z y z z yx rot . (3)A =x 2sin y i +y 2sin(xz )j +xy sin(cos z )k .解 )sin(cos )sin(sin 22z xy xz y y x z y x ∂∂∂∂∂∂=kj i A rot=[x sin(cos z )-xy 2cos(xz )]i -y sin(cos z )j +[y 2z cos(xz )-x 2cos y ]k . 3. 利用斯托克斯公式把曲面积分dS n A ⋅∑⎰⎰rot 化为曲线积分, 并计算积分值,其中A 、∑及n 分别如下:(1)A =y 2i +xy j +xz k , ∑为上半球面221y x z --=, 的上侧, n 是∑的 单位法向量;解 设∑的边界Γ : x 2+y 2=1, z =0, 取逆时针方向, 其参数方程为 x =cos θ, y =sin θ, z =0(0≤θ≤2π, 由托斯公式dS n A ⋅∑⎰⎰rot ⎰Γ++=Rdz Qdy Pdx ⎰Γ++=xzdz xydy dx y 2⎰=+-=πθθθθθ20220]sin cos )sin ([sin d .(2)A =(y -z )i +yz j -xz k , ∑为立方体0≤x ≤2, 0≤y ≤2, 0≤z ≤2的表面外侧 去掉xOy 面上的那个底面, n 是∑的单位法向量. 解dS n A ⋅∑⎰⎰rot ⎰Γ++=Rdz Qdy Pdx⎰Γ-++-=dz xz yzdy dx x y )()(⎰⎰Γ-===0242dx ydx .4. 求下列向量场A 沿闭曲线Γ(从z 轴正向看依逆时针方向)的环流量: (1)A =-y i +x j +c k (c 为常量), Γ为圆周x 2+y 2=1, z =0; 解θθθθθπd cdz xdy ydx L ]cos cos )sin ()(sin [(20+--=++-⎰⎰⎰==ππθ202d .(2)A =(x -z )i +(x 3+yz )j -3xy 2k , 其中Γ为圆周222y x z +-=, z =0. 解 有向闭曲线Γ的参数方程为x =2cos θ, y =2sin θ, z =0(0≤π≤2π). 向量场A 沿闭曲线Γ的环流量为⎰⎰-++-=++LL dz xy dy yz x dx z x Rdz Qdy Pdx 223)()(。
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高等数学（上） 第一章 函数与极限1. 设 ⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3||,03|||,sin |)(ππϕx x x x , 求).2(446ϕπϕπϕπϕ、、、⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛6sin )6(ππϕ=21= 224sin )4(==ππϕ()0222)4sin()4(==-=-ϕππϕ2. 设()x f 的定义域为[]1,0，问：⑴()2x f ； ⑵()x f sin ； ⑶()()0>+a a x f ； ⑷()()a x f a x f -++ ()0>a 的定义域是什么？（1）][；，－的定义域为所以知－11)(,111022x f x x ≤≤≤≤ []ππππ)12(,2)(sin ),()12(21sin 0)2(+∈+≤≤≤≤k k x f Z k k x k x 的定义域为所以知由][a a a x f a x a a x -+-≤≤≤+≤1,)(110)3(－的定义域为所以知－由][φ时，定义域为当时，定义域为当从而得－知由211,210111010)4(>-≤<⎩⎨⎧+≤≤-≤≤⎩⎨⎧≤-≤≤+≤a a a a a x a a x a a x a x3. 设()⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=111011x x x x f ，()x e x g =，求()[]x g f 和()[]x f g ，并做出这两个函数的图形。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<==⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=-1,1,11,)]([.)20,10,00,1)]([1)(,11)(,01)(,1)]([.)11)(x e x x e e x f g x x x x g f x g x g x g x g f x f 从而得4. 设数列{}n x 有界, 又,0lim =∞→n n y 证明: .0lim =∞→n n n y x{}结论成立。
河北工程大学《高数》习题册答案(全)
河北工程大学<高等数学>练习题(上册)参考答案第一章测试题一．选择题1．D 2.C 3.C 4.A 5.B 二.填空题1. 22. 23.[]2,04.222+-x x 5. 2三.计算题 1. 原式()6193sin lim222=-+=→x x x x 2.原式11lim ==∞→nnn 3.原式()211cos 1cos 1021cos 1lim ---→=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+=e x x x x x4.原式3313231132lim 1=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛=+∞→n n n 5.原式33131sinlim2=+=+∞→xx x x6.原式211sin 1sin tan sin tan sin 10sin 1sin tan 1lim e x x x x x x x x x x x =⎪⎭⎫⎝⎛+-+=⋅+-⋅-+→四(),2lim 23=-∞→xx x p x ()b ax x x x p +++=∴232(),12lim lim200=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=→→x b a x x x x p x x ⎩⎨⎧==∴01b a ()x x x x p ++=∴232五.1,2cos 2lim 1-=∴=--→x xx π 处连续,c o s 2lim 21∞=-→x x π 21=∴x 为无穷间断点()101,2c o s 2lim 11lim 11=∴==-=---+→→x f xx x x x π 为可去间断点2,1211lim2=∴+=--→x x x x 处连续六.设存在一点[]b a x ,∈,使()0>x f()()()b a x f b a ,,,0,∈'∴<∈ξξξξ之间至少存在一点，在由零点定理时，使()0='ξf又()[]b a x f ,在 无零点, ∴矛盾 ()[]上恒为负在b a x f ,∴ 七.设()()()a x f x f x +-=ϕ 则()()()()()()a f a f a a f f 2,00-=-=ϕϕ()()a f f 20= ()()00<∴a ϕϕ 由零点定理∴至少存在一点[]a ,0∈ξ, 使得()()()0=+-=a f f ξξξϕ, 即()()a f f +=ξξ高等数学习题解答第一章（7-11） 第极限存在准则 两个重要极限1.0；1；1；0；2；2/32. 1-e ;1432;0;;;--ee e e3. 证明：{n x }显然单调递增，1x 3≤，若31≤-n x ，则n x ≤33+≤3∴ {n x }单调有界，∴{n x }收敛，不妨设∞→n lim nx =a , 则有 a =3+a ,解得，a =(1+13)/2, 2)131(-=a∴2)131(lim +=∞→n n x4. 解：1)12111(22222+≤++++++≤+n n nn n n nn n11limlim22=+=+∞→∞→n n nn n n n∴1)12111(lim 222=++++++∞→nn n n n第七节 无穷小的比较1.（B ）2. （A ）3. 证明： 令t x sin = ， 1sin lim arcsin lim00==→→t txx t x∴当0→x 时，x x ~arcsin 。
河北工业大学线性代数作业答案
线性代数作业提示与答案作业（1）一．k x x k x k x -====4321,0,, 二．⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==--=++=2413212211,757975,767171k x k x k k x k k x三．1．阶梯形（不唯一）：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---14010612007121002301，简化阶梯形⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-100000211000001002701 秩为4；2．简化阶梯形为单位矩阵.四．1．其系数矩阵的行列式值为 2)1)(2(-+λλ（该方程组的系数矩阵为方阵，故可以借助于行列式来判定）当12≠-≠λλ,时，方程组只有零解，当2-=λ时，通解为=x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111k ；当1=λ时，通解为=x T T k k ]1,0,1[]0,1,1[21-+-；2．⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-++----2200123230121211~2λλλλA ， 当2-≠λ时，方程组有唯一解；当2-=λ时，方程组有无穷解，通解为=x TT k ],,[],,[022111+.作业(2)一．1． =x 1，2，3； 2. !)(n n 11-- 3.-1204. ()()!)1(221n n n --- 5. 41322314a a a a 6. 2,0=x 7.abc 3- 8.12二．1．1； 2.以第二列、第三列分别减去第一列，再把第二列、第三列分别加到第一列上，得到333333222222111111b a a c c b b a a c c b b a a c c b +++++++++=2323322111c b a c b a c b a 3． 0；（注：行列式计算中注意行列式的表示方法不要和矩阵表示方法混淆，而且计算过程中用的是等号） 4．1222+++γβα作业(3)一．1．c; 2. d ; 3.a二．1.将第n ,,, 32列都加到第一列上，提出公因子∑=+ni iax 1，得到(∑=+ni i a x 1)1-n x.2.由第二列起，各列均减第一列，按第二行展开，得)!(22--n ．3．由第1-n 行至第一行，相继将前一行元素乘以1-后加到后一行上，得到.)1(01000010111112212)1(n nn n n n --=--4．按第一列展开，得到行列式的值为.)(n n n y x 11+-+三．3)(=A R （注：用矩阵的行初等变换化为梯矩阵，数非零行即可.注意矩阵的表示方法和变换过程中用到的是等价符号）作业(4)一. 1.()B A +32; 2. 24. 3. 232221x x x ++ ， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡232313322212312121x x x x x x x x x x x x x x x ， 4. BA AB = 二. 1. a 2. a三. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---10832082四. 1.⎥⎦⎤⎢⎣⎡---21426711. 2. 不能相乘. . 3.323223313113212112233322222111)()()(x x a a x x a a x x a a x a x a x a ++++++++作业(5)一.1.1-n a ； 2．0； 3．=A -1⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--3405700021； 4. I ; 5．121-A二. 1. c; 2 .b; 3.b; 4. c; 5.d四. 1 五. n215-作业(6)一． 1.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001010,-1, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001010； 2. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2100010001,2,200010001 3. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-004010001,1.104010001 4. ()331-R =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-1000103015. 列，[]3231,,3a a a a - 6. 相等二. 1．b ；2．c;三. 1．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-17162132130121A ； 2．⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-111110011100011000011A四. 1. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==-4141B A X ， 2. ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----==-212942521B A X 作业(7)一. 1. b a 23=；2. 1221b a b a =；3．R )(A 2≤；4．0≠lm ； 二.1．a ; 2. b; 3.d;三 1a 能由23,a a 唯一地线性表示，4a 不能由123,,a a a 线性表示四．123123212,,[,,]123124B b b b a a a AD ⎡⎤⎢⎥⎡⎤===⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，因,5det =D ，故)()(B R A R =，从而321,,b b b 线性无关.作业(8)一．1．r ；2．相 3． 1，通解为=x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-++⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--100101010011121 n k k k二.1．d; 2．d ； 三.（1）412323aa a a =++，（2）又123,,a a a 线性无关，故123,,a a a 是向量组123,,a a a ,4a 的一个最大线性无关向量组.（3）123,,a a a ,4a 的秩和矩阵A =[123,,a a a ,4a ]的秩都为3.四．12341121014129321315101[,,,]~9315410003670000a a a a ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦,12,a a 是向量组的一个最大线性无关组.且31241211521,9933a a a a a a =-+=+.作业(9)一 1．T ],,[558 2．r ；12,,,ra a a L ； 3．n-r 二. 1.b; 2. b; 3. a ； 4. d ； 5.c ； 6.d 三. 证明123,,aa a ,4a 线性无关，向量[]1,2,7,4b T=在这组基下的坐标为4351--,,,.四． ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--00007510072021~A ,基础解系为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=175072001221ξξ,,通解为=x 2211ξξk k + （注：先求出分量形式的通解，转化为向量形式的通解，容易得到基础解系。
大一高数练习册参考答案
lim
x2
（x 2)( x 1）
lim x2
xa2 x1
4a 2 3
a 2, b 8
另法：由已知，可设x：2 ax b ( x 2)( x c) 代入极限，求得c
9.计算极限:
esin x e x A. lim
x0 sin x x e x (esin x x 1)
lim x0 sin x x
n n(n 1)
ln x
第二章
习题解答参考
1.在下列情况下，f '( x0 )是否存在？
A. lim f ( x0 x) f ( x0 ) a
x0
x
a lim f ( x0 x) f ( x0 ) lim f ( x0 x) f ( x0 )（ 1）
x0
x
x0
x
f '( x0 )
1，| x | 1
0,|
x
|
1
1,| x | 1
x，| x | 1
f (x)
0,|
x | 1
x,| x | 1
lim f ( x) 1
x1
lim f ( x) 1
x1
lim f ( x) 1
x1
lim f ( x) 1
x1
x 1, x 1 是第一类的跳跃间断点。
f ( x)在(,1) (1,1) (1,)内连续
x 1
f ( x) f (1) x1
x2 1
lim
2
x1 x 1
f
'
(1)
lim
x 1
f ( x) f (1) x1
ax b 1 lim
x1 x 1
ax b 1
河北工程大学《高数》习题集答案(全套)
2、证明： （1）设 f ( x ) 是奇函数，且 f ( x ) 可导
f ( x) lim
f ( x x ) f ( x ) f [( x x )] f ( x ) lim x 0 x 0 x x f ( x x) f ( x) f ( x x ) f ( x ) lim lim f ( x) x 0 x 0 x x
2. 证 明 ： 令
F ( x ) x 2 sin x 3
在
0,
联
系
，
且
F (0) 3 0, F ( ) ( 3) 0 ，由连续函数的零点定理可知，至少存在一
(0, ) ，使 F ( ) 0 ，即方程 x 2 sin x 3 0 至少有一个界于 0 与 2
a f a f 2a
由零点定理
f 0 f 2a
0 a 0
至少存在一点 0, a , 使得 f f a 0 , 即 f f a
高等数学习题解答第一章（7-11） 第六节 极限存在准则
f ( x ) 在 x=0 处间断。
x 1
lim f ( x) lim (2 x ) lim f ( x) f (1)
x 1 x 1
f ( x ) 在 x 1 处连续
总上可得 f ( x ) 的连续区间为（ ,0), (0,) 。
第十节 闭区间上连续函数的性质
1. 证 明 ： 令
F ( x ) x ln x 1 ， 则 F ( x) 在
1,2
连 续 ， 且
F (1) 1, F (2) (2 ln 2 1) 0 ， 由 连 续 函 数 的 零 点 定 理 可 知 ， 至 少 存 在 一
高数下课本详解答案(合工大版)
习题8-11.自点(),,P a b c 分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标.解在,,xoy yoz zox 坐标面上的垂足坐标分别为(),,0a b 、()0,,b c 、(),0,a c ，在x 轴、y 轴、z 轴上垂足的坐标分别为(),0,0a 、()0,,0b 、()0,0,c .2.已知三角形个的三个顶点的坐标分别为()4,1,9A 、()10,1,6B -、()2,4,3C ，求该三角形的三边长度，此三角形由何特点？解7AB ==，7AC ==，BC =由于AB AC =，且222AB ACBC +=，故此三角形为等腰直角三角形.3.在z 轴上求与点()4,1,7P -和点()3,5,2Q -等距离的点的坐标.解设z 轴上的点为()0,0,M z，则MP MQ=即=，解得149z =，故点为140,0,9M ⎛⎫ ⎪⎝⎭.4.求到两定点()1,2,1A -和()2,1,2B -等距离的点(),,M x y z 的轨迹.解由于MA MB =，从而有=解得26630x y z +--=.5.设平行四边形的两条对角线向量为a 和b，求其四条边向量.解如意8-1所示，由向量加减法的平行四边形法则有,,c d a c d b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ 故2a b c += ，2a b d -=，即平行四边形的四条边向量为2a b + 、2a b + 、2a b - 、2a b- .(图8-1)(图8-2)6.设A 、B 、C 、D 是一个四面体的顶点，M 、N 分别是边AB 、CD 的中点，证明：()12MN AD BC =+.证如图8-2所示，AD DN AN +=，BC CN BN += ，AN AM MN -= ，BN BM MN -= ，又DN CN =- ，AM BM =- ，于是22AN BN AD BC MN ++==.7.已知两点()A 和()3,0,2B ，计算向量AB 的模、方向余弦、方向角及与AB平行的单位向量.解由于{}1,AB =-，则有2AB = ，1cos 2α=-，cos 2β-，1cos 2γ=-，方向角为23πα=，34πβ=，3πγ=，与AB 平行的单位向量为121,,222⎧⎫⎪⎪±--⎨⎬⎪⎪⎩⎭.8.设358a i j k =++，27b i j k =--，求向量23c a b =+在x 轴上的投影及在z 轴上的分向量.解23945c a b i j k =+=+-，故c 在x 轴上的投影为9，在z 轴上的分向量为5k - .9.一向量的终点在点()2,1,7B -，它在x 轴、y 轴及z 轴上的投影依次为4,4-和7，求这向量的起点A 的坐标.解设起点(),,A x y z ，由{}{}2,1,74,4,7AB x y z =----=-解得()2,3,0A -.10.设{}3,5,1a =- ，{}2,2,3b = ，{}4,1,3c =-- ，求与a b c +-平行的单位向量.解{}1,8,5a b c +-=，故与a b c +-平行的单位向量为±.11.设5AB a b =+ ，618BC a b =-+ ，()8CD a b =-，试证A 、B 、D 三点共线.证因为()()6188210BD BC CD a b a b a b=+=-++-=+()252a b AB=+=所以AB平行BD ，即A 、B 、D 三点共线.12.已知向量AB 的模为10，与x 轴正向夹角为4π，与y 轴正向夹角为3π，求向量AB .解设向量AB的方向余弦为cos α、cos β、cos γ，由于4πα=，3πβ=，222cos cos cos 1αβγ++=，得1cos 2γ=±于是向量{}211cos ,cos ,cos 10,,222AB AB αβγ⎫⎪==±⎨⎬⎪⎪⎩⎭.习题8-21.设4a i j k =+-，22b i j k =-+ ，求（1）()()22a b a b +⋅-；（2）()()22a b a b +⨯- ；（3）a 与b 夹角.解（1）a =，3b =，4a b ⋅=-()()222223230a b a b a a b b +⋅-=-⋅-=；（2）114794221i j k a b i j k⨯=-=----()()225354520a b a b a b i j k +⨯-=-⨯=++；（3）设a 与b夹角为θ，则cos9a ba bθ⋅===-arccos9θ⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭.2.已知向量a 和b相互垂直，且1a=，b=，求（1）()()a b a b+⋅-；（2）()()a b a b+⨯-；（3）()a b+与()a b-夹角.解（1）()()22222a b a b a b a a b b a b+⋅-=+⋅-⋅-=-=-；（2）()()2a b a b a a b a a b b b a b+⨯-=⨯+⨯-⨯+⨯=-⨯=（3）()a b+与()a b-夹角为θ，则()()()()21cos42a b a ba b a bθ+⋅--===-+-，故23πθ=.3.已知13a=，19b=，24a b+=，求a b-.解()()2222a b a b a b a a b b+=+⋅+=+⋅+()()2222a b a b a b a a b b-=-⋅-=-⋅+两式相加，得()22222a b a b a b-=+-+()2222131924484=+-=，22a b-=.4.已知()1,1,2A-、()5,6,2B-、()1,3,1C-，求：（1）同时与AB及AC垂直的单位向量；（2）三角形ABC的面积ABCS∆；（3）B点到边AC的距离d.解（1）{}4,5,0AB=-，{}0,4,3AC=-，450151216043i j kAB AC i j k⨯=-=++-故同时与AB 及AC 垂直的单位向量为{}115,12,1625AB AC AB AC⨯±=±⨯；（2）12522ABC S AB AC ∆=⨯=；（3）由于1122ABC S AB AC AC d ∆=⨯=⋅，且5AC = ，则5d =.5.设平行四边形的对角线2c a b =+ ，34d a b =- ，其中1a =，2b = ，且a b ⊥ ，求平行四边形的面积.解设平行四边形的两邻边分别为m 、n，则c m n =+ ，d m n =-,从而()()1142222m c d a b a b =+=-=-,()()1126322n c d a b a b =-=-+=-+ ,55sin 102S m n a b a b π=⨯=⨯== .6.已知向量a 、b 、c两两垂直，且1a = ，2b = ，3c = ，求向量s a b c =++ 的长度，以及s 分别与a 、b 、c的夹角.解()()222214s a b c a b c a b c =++⋅++=++=，于是s =cos ,s a s a s a⎛⎫⋅===⎪⎝⎭cos ,s b s b s b ⎛⎫⋅== ⎪ ⎪⎝⎭cos ,s c s c s c ⎛⎫⋅== ⎪⎝⎭所以,s a arc ⎛⎫= ⎪⎝⎭,s b arc ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，,s c arc ⎛⎫= ⎪⎝⎭7.试用向量证明直径上的圆周角是直角.证取圆心为原点建立坐标系如图8-3所示，则圆周方程为222x y R +=，在圆周上任取一点(),A x y ，直径BC ，(),0B R -，(),0C R ，().AB R x y =--- ，().AC R x y =--则()()22220AB AC R x R x y R x y ⋅=---+=-++=故AB AC ⊥，即直径BC 所对应的圆周角为直角，由圆周关于任意一条直径都对称的性质知，直径所对应的圆周角是直角.(图8-3)8.判断下列两组向量a 、b 、c是否共面：（1）{}2,1,3a =- ，{}1,0,5b =- ，{}1,1,4c =-；（2）{}4,2,1a =- ，{}2,6,3b =- ，{}1,4,1c =-.解（1）21310540114abc -⎡⎤=-=≠⎣⎦- ，故a 、b 、c 不共面；（2）4212630141abc -⎡⎤=-=⎣⎦-，故a 、b 、c共面.9.计算顶点()2,1,1A -、()5,5,4B 、()3,2,1C -、()4,1,3D 的四面体的体积.解{}3,6,3AB = ，{}1,3,1AC =- ，{}2,2,2AD =，则四面体的体积为36311132366222V ABAC AD ⎡⎤==-=⎣⎦ .10.如果存在向量c同时满足11a c b ⨯= ，22a c b ⨯= ，证明：12210a b a b ⋅+⋅= .证由于()()12211221a b a b a a c a a c ⋅+⋅=⋅⨯+⋅⨯ ()()2112a c a a c a =⨯⋅+⨯⋅ [][]2112a ca a ca =+ [][]21210a ca a ca =-=习题8-3.1.求出满足下列条件的各平面方程：（1）过点()2,1,1-且与平面32120x y z -+-=平行；（2）过三点()1,1,1-、()2,2,2--、()1,1,2-；（3）过点()2,1,2，且分别垂直于平面32x y z ++=和平面3241x y z +-=；（4）平行x 轴且过两点()1,0,1和()1,1,0；（5）通过z 轴和点()3,1,2-.解（1）设所求平面的法向量n ，可取平面的法向量为{}3,2,1n =-故过点()2,1,1-平面方程为()()()322110x y z ---++=，即3230x y z -+-=；（2）由三点式平面方程知，所求平面方程为1113330023x y z --+--=-即320x y z --=；（3）设所求平面的法向量n ，{}11,3,1n = ，{}23,2,4n =-{}1213114,7,7324i j kn n n =⨯==---，则所求平面方程为()()()14271720x y z --+---=，即250x y z -+-=；（4）设平面的一般式方程为0Ax By Cz D +++=，由于平面平行x 轴，且点()1,0,1、()1,1,0在平面上，从而有000A A C D A B D =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得0A =，B D =-，C D =-，且0D ≠，故平面方程为10y z +-=；（5）设过z 轴的平面为0Ax By +=，且点()3,1,2-在平面上，则由30A B -=，得3B A =，且0A ≠所以平面方程为30x y +=.2.求平面2260x y z -++=与各坐标面的夹角的余弦.解平面的法向量{}2,2,1n =- ，取xoy 坐标面的法向量{}10,0,1n =，yoz 坐标面的法向量{}21,0,0n = ，zox 坐标面的法向量{}30,1,0n =，则平面与xoy 、yoz 、zox 各坐标面的夹角余弦分别为1cos 3α=，2cos 3β=，22cos 33γ-==.3.求过点()0,1,0-和()0,0,1，且与xoy 坐标面成3π角的平面.解设平面的一般式方程为0Ax By Cz D +++=，从而有0,0,cos ,3B D C D π⎧⎪-+=⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩得,A B D C D ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩于是，所求平面方程为10y z +-+=.4.在z 轴上求一点P ，使它到点()1,2,0M -与到平面:32690x y z π-+-=有相等的距离.解设z 轴上点()0,0,P z，则PM =又()1,2,0M -到:3269x y z π-+-=的距离为697z d -=则有697z -=，即2131081640z z ++=，解得2z =-或8213z =-，故所求点为()0,0,2-或820,0,13⎛⎫-⎪⎝⎭.5.试求平面270x y z -+-=与平面2110x y z ++-=的夹角平分面的方程.解设(),,M x y z 为该平面上任取的一点，那么M到两平面的距离相等，即有于是有()27211x y z x y z -+-=±++-故所求平面方程为240x y z --+=或60x z +-=.6.设从原点到平面1x y za b c++=的距离为ρ，试证明：22221111a b c ρ++=，并由此求点(),,a b c 到该平面的距离.证由点到平面的距离公式知ρ=1ρ=，即22221111a b c ρ++=.点(),,a b c到平面的距离2d ρ=.7.判别平面:3210x y z π+-+=与下列各平面之间的位置关系：（1）1:3210x y z π+--=；（2）2:520x y z π-++=；（3）3:2310x y z π-+-=.解（1）取平面π法向量{}1,3,2n =- ，1π法向量{}11,3,2n =-，由于n与1n 的坐标成比例，故n 与1n平行，且d ==；（2）取平面2π法向量{}25,1,1n =-，由于20n n ⋅= ，故2n n ⊥，即两平面相互垂直；（3）取平面3π法向量{}32,3,1n =-，两平面夹角余弦339cos 14n n n n θ⋅==所以两平面斜交，夹角9arccos14θ=.习题8-4.1.求满足下列条件的各直线方程：（1）过两点()13,2,1M -和()21,0,2M -；（2）过点()4,2,1-且平行于直线230,510,x y y z --=⎧⎨--=⎩平行；（3）过点()1,2,2-且垂直于平面3210x y z +-+=.解（1）直线的方向向量可取{}124,2,1s M M ==-于是直线方程为321421x y z -+-==-，（2）直线的方向向量可取{}1202,1,5051i j k s =-=-则直线方程为421215x y z -+-==；（3）平面法向量{}3,2,1n =- ，直线的方向向量可取{}3,2,1sn ==-于是直线方程为122321x y z -+-==-.2.用对称式方程和参数方程表示下列直线10,2340.x y z x y z +++=⎧⎨-++=⎩解直线的方向向量{}1114,1,3213ij k s ==---，可在直线上取一点()1,0,2A -，则直线的对称式方程和参数方程分别为12413x y z -+==--，14,4,2 3.x t y z t =+⎧⎪=-⎨⎪=--⎩3.求过点()0,1,2M 且与直线11112x y z --==-垂直相交的直线方程.解过点()0,1,2M 且垂直直线L 的平面方程为()()()01220x y z ---+-=即230x y z -+-=解方程组230,11,112x y z x y z -+-=⎧⎪⎨--==⎪⎩-，得直线与平面的交点为131,,122M ⎛⎫⎪⎝⎭由此可得121,,122s MM ⎧⎫==--⎨⎬⎩⎭，故所求直线方程为12312x y z --==--.4.求直线240,3290.x y z x y z -+=⎧⎨---=⎩在平面41x y z -+=上的投影直线的方程.解设过直线240,3290.x y z x y z -+=⎧⎨---=⎩的平面束方程为()()243290x y z x y z λ-++---=，(λ为非零常数)即()()()2341290x y z λλλλ+-++--=，上述平面法向量为{}23,4,12n λλλ=+--- ，已知平面法向量为{}14,1,1n =-选择λ使1n n ⊥，即()()()()234411210λλλ+⋅-+⋅-+-⋅=，解得1311λ=-故得与已知平面垂直的平面为1731371170x y z +--=则所求投影直线为1731371170,4 1.x y z x y z +--=⎧⎨-+=⎩5.求过点()3,1,2M -且通过直线43521x y z-+==的平面方程.解()4,3,0P -为直线上的一点，直线的方向向量为{}5,2,1s =，则平面的法向量{}1428,9,22521i j kn MP s =⨯=-=- 故所求平面方程为()()()83912220x y z --+-++=即8922590x y z ---=.6.已知平面220x y z +--=及平面外一点()2,1,4M -，求点M 关于已知平面的对称点N .解过点()2,1,4M -且垂直于平面220x y z +--=的直线方程为214121x y z +--==-设M 关于已知平面的对称点(),,N x y z ，则有214,121x y z +--⎧==⎪-⎪=解得0,5,2,x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩即对称点()0,5,2N .7.设0M 是直线L 外一点，M 是直线L 上任意一点，且直线的方向向量为s ，试证：点0M 到直线L 的距离为0d ⨯=MM s s.证设向量0MM 与直线L 的方向向量s 的夹角为θ，则00000sin MM s MM s MM MM MM ssd θ⨯⨯==⋅=.8.求点()03,1,2M -到直线10,240,x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩的距离.解直线的方向向量{}1110,3,3211=-=---ij ks ，在直线上取一点()1,2,0M -，则{}02,1,2=---MM ，{}02123,6,6033⨯=---=----i j kMM s 所以0322d ⨯===MM s s.习题8-51.指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形：（1）1x y +=;（2）22y x =；（3）222x y R +=；（4）22149x y -=.解（1）在平面解析几何表示直线，空间解析几何中表示平面；（2）在平面解析几何表示抛物线，空间解析几何中表示抛物柱面；（3）在平面解析几何表示圆，空间解析几何中表示圆柱面；（4）在平面解析几何表示双曲线，空间解析几何中表示双曲柱面.2.说明下列旋转曲面是怎样形成的：（1）2221x y z --=；（2）()222z a x y -=+.解（1）将xoy 平面上双曲线221x y -=绕x 轴旋转一周；（2）将yoz 平面上直线z y a =+绕z 轴旋转一周.3．根据常数k 的不同取值，分别讨论下列方程所表示的曲面是什么曲面.（1）22x ky z +=；（2）222x y z k +-=.解（1）当0k >时，为椭圆抛物面，特别地当1k =时为旋转抛物面,当0k =时，为抛物柱面，当0k <时，为双曲面；（2）当0k >时，为旋转单叶双曲面，当0k =时，为圆锥面，当0k <时，为旋转双叶双曲面.4.作出下列曲面所围成的图形：（1）22,1z x y z =+=；（2）z =，z ；（3）0x =，0y =，0z =，1x y +=，226x y z +=-；（4）2y x =，1x y z ++=，0z =.解（1）见图8-4；（2）见图8-5（图8-4）（图8-5）（3）见图8-6；（4）见图8-7（图8-6）（图8-7）习题8-61.将空间曲线222,:1,z x y x z ⎧=+Γ⎨+=⎩转换成母线平行于坐标轴的柱面的交线方程.解曲线Γ等价于212,1,y x x z ⎧=-⎨+=⎩，表示母线平行于z 轴的柱面212y x =-与母线平行于y 轴的柱面1x z +=的交线，或等价于221,1,y z x z ⎧=-⎨+=⎩，表示母线平行于x 轴的柱面221y z =-与母线平行于y 轴的柱面1x z +=的交线.2.将下列曲线的一般方程转化为参数式方程：（1）()22221,11,z x y x y ⎧=--⎪⎨-+=⎪⎩（2）2229,,x y z y x ⎧++=⎨=⎩.解（1）曲线的参数方程为1cos ,sin ,2sin ,2x t y t t z ⎧⎪=+⎪=⎨⎪⎪=⎩（02t π≤≤）;（2）曲线的参数方程为,,3sin ,2x t y t t z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩（02t π≤≤）.3.试分别确定常数,,B C D 的各组值，使得平面0By Cz D ++=与圆锥面222z x y =+的截痕为：（1）一点；（2）一条直线；（3）两条相交直线（4）圆；（5）双曲线.解（1）取0B D ==，1C =，则平面0z =与圆锥面的截痕为一点()0,0,0；（2）取1B C ==，0D =，则平面0y z +=与圆锥面的截痕为一条直线0,0;y z x +=⎧⎨=⎩（3）取1B =，0C D ==，则平面0y =与圆锥面的截痕为为两条直线0,,y z x =⎧⎨=⎩和0,;y z x =⎧⎨=-⎩（4）取0B =，1C =，1D =-，则平面1z =与圆锥面的截痕为圆221,1;x y z ⎧+=⎨=⎩（5）取1B =，0C =，1D =-，则平面1y =与圆锥面的截痕为为双曲线221,1;z x y ⎧-=⎨=⎩4.求下列曲线在三个坐标面上的投影曲线方程：（1）22,1;z x y z x ⎧=+⎨=+⎩（2）cos ,sin ,2.x y z θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩解（1）消去z 得曲线在xoy 面投影曲线方程：2210,0;y y x z ⎧+--=⎨=⎩消去x 得曲线在yoz 面投影曲线方程：22310,0;y z z x ⎧+-+=⎨=⎩消去y 得曲线在zox 面投影曲线方程：1,0;x z y +=⎧⎨=⎩（2）消去z 得曲线在xoy 面投影曲线方程：221,0;x y z ⎧+=⎨=⎩消去x 得曲线在yoz 面投影曲线方程：sin20;z y x ⎧=⎪⎨⎪=⎩消去y 得曲线在zox 面投影曲线方程：cos ,20.z x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩5.求由旋转抛物面22z x y =+与222z x y =--围成的立体在三个坐标面上的投影区域.解立体在xoy 面投影区域(){}22,1xy D x y xy =+≤，立体在yoz 面投影区域(){}22,2,11yz D y z yz y y =≤≤--≤≤，立体在zox 面投影区域(){}22,2,11zx D x z xz x x =≤≤--≤≤总复习题八1.填空题（1）设()2a b c ⨯⋅= ，则()()()a b b c c a ⎡⎤+⨯+⋅+=⎣⎦；（2）设{}2,1,2a = ，{}4,1,10b =- ，c b a λ=- ，且a c ⊥，则λ=；（3）yoz 平面的圆()222,0,y b z a x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩（0b a >>）绕z 轴旋转一周所得环面的方程为；（4）点()2,1,0M 到平面3450x y z ++=的距离d=；（5）设有直线1158:121x y z L --+==-与26,:23,x y L y z -=⎧⎨+=⎩则1L 与2L 的夹角为.（1）答案“4”.解()()()()24a b b c c a a b c ⎡⎤+⨯+⋅+=⨯⋅=⎣⎦；（2）答案“3”.解{}42,1,102c b a λλλλ=-=---- ，由a c ⊥ ，()()()2421121020λλλ⋅-+⋅--+⋅-=，解得3λ=；（3）答案“()()2222222224x y z b a b x y +++-=+”.解绕z轴旋转环面的方程为()222b z a -+=，即222222x y b z a +±++=所以()()2222222224x y z b a b x y +++-=+（4）答案解d ；（5）答案“3π”.解1L 和2L 的方向向量分别为{}11,2,1s =-和{}21,1,2s =-- 则12121cos 2s s s s θ⋅== ，3πθ=.2.选择题（1）直线11:213x y z L +-==-与平面:1x y z π--=的关系为（）；（A ）L 在π上（B ）L 平行π但L 不在π上（C ）L π⊥（D ）一般斜交（2）两条直线111:201x y z L --==-与22:112x y z L +==的关系为（）；（A ）平行（B ）相交但不垂直（C ）垂直相交（D ）异面直线（3）直线方程23,1,x y z x y z --=⎧⎨+-=⎩可化为（）；（A ）21213x y z -+==-（B ）114213x y z +++==-（C ）12213x y z ++==（D ）122213x y z -+-==-（4）旋转曲面22z x y =+不是由平面曲线()旋转而成的.（A ）2,0,z y x ⎧=⎨=⎩绕z 轴（B ）2,0,z x y ⎧=⎨=⎩绕z 轴（C ）2,,z xy x y =⎧⎨=⎩绕z 轴（D ）,,z xy x y =⎧⎨=⎩绕z 轴.（1）答案选（B ）.解直线L 的方向向量{}2,1,3s =-，()1,0,1M -为直线L 上一点，平面π的法向量为{}1,1,1n =--，显然0s n ⋅=，且点()1,0,1M -不在平面π上，故L 平行π但L 不在π上；（2）答案“C ”.解1L 、2L 的方向向量分别为{}12,0,1s =- 、{}21,1,2s = ，则120s s ⋅=，直线1L 与2L 垂直，又()11,1,0M 、()20,0,2M -分别为1L 、2L 上的点，且12122011120112s s M M -⎡⎤==⎣⎦---，即1L 、2L 在同一平面上；（3）答案选（C ）.解直线的方向向量{}2112,1,3111i j k s =--=-，()0,1,2--为直线上一点，故选（C ）；（4）答案选（D ）.解在曲线,:,z xy L x y =⎧⎨=⎩上任取一点()0000,,M x y z ，设(),,M x y z 是0M 绕z 轴旋转轨迹上任一点，则有20000,z z x y x ⎧===⎪==故得旋转曲面方程为()2212z x y =+.3.已知2c a b =+ ，d a b λ=+ ，2a = ，1b = ，且a b ⊥，求：（1）λ为何值时，c d ⊥；（2）λ为何值时，以,c d为邻边所围成的平行四边形的面积为6.解（1）由于c d ⊥ ，则0c d ⋅=，即()()22220a b a b a b λλ+⋅+=+= 解得2λ=-；（2）由题设条件知6c d ⨯=而()()()22c d a b a b a bλλ⨯=+⨯+=-⨯则有()22sin 222c d a b a b πλλλ⨯=-⨯=-=- 所以226λ-=，5λ=或1λ=-.4.设一平面通过从点()1,1,1-到直线10,0,y z x -+=⎧⎨=⎩的垂线，且与平面0z =垂直，求此平面方程.解过点()1,1,1M -且与直线10,:0,y z L x -+=⎧⎨=⎩垂直的平面1π的方程为()()()0111110x y z ⋅-+⋅++⋅-=，即y z +=解方程组10,0,0,y z x y z -+=⎧⎪=⎨⎪+=⎩得直线L 与平面1π的交点1110,,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭,平面0z =的法向量{}10,0,1n = ，则所求平面的法向量可取为111001,1,0211122ij kn n M M ⎧⎫=⨯==⎨⎬⎩⎭-所以所求平面方程为()()11102x y -++=，即210x y ++=.5.求通过直线3220,260,x y x y z -+=⎧⎨--+=⎩且与点()1,2,1的距离为1的平面方程.解设过直线3220,260,x y x y z -+=⎧⎨--+=⎩的平面束方程为()()322260x y x y z λ-++--+=（λ为非零常数）即()()321260x y z λλλλ+-+-++=，由点()1,2,1到平面的距离为1，即1d =解得2λ=-或3λ=-，所以所求平面方程为22100x y z ++-=或43160y z +-=.6.在xoy 面上求过原点，且与直线x y z ==的夹角为3π的直线方程.解设所求直线L 方程为,0,y Ax z =⎧⎨=⎩即10x y zA ==，直线L 的方向向量{}1,,0s A= 由题意知1cos32π==，得4A =-于是，所求直线方程为(40,0,xy z ⎧+=⎪⎨=⎪⎩或(40,0.x y z ⎧+=⎪⎨=⎪⎩7.求通过点()1,2,3--，平行于平面62350x y z --+=，且又与直线13x -=1325y z +-=-相交的直线方程.解过点()1,2,3M--作已知平面的平行平面，此平面方程为()()()6122330x y z +---+=即62310x y z --+=求此平面与已知直线的交点，由62310,113,325x y z x y z t --+=⎧⎪-+-⎨===⎪-⎩解得0t =，交点为()01,1,3M -，故所求直线的法向量为{}02,3,6s MM ==-所求直线方程为123236x y z +-+==-.8.确定常数k 的值，使得平面y kz =与椭球面222241xy z ++=的交线为圆.解平面与椭球面的交线222241,:,x y z y kz ⎧++=Γ⎨=⎩等价于方程组()22222241,:,x y k z y kz ⎧++-=⎪Γ⎨=⎪⎩要使交线为圆，只须242k-=，即k =，交线为2221,2.x y z y ⎧++=⎪⎨⎪=⎩9.求曲面2221x y z ++=和()()222111x y z -+-+=的交线在yoz 平面上的投影曲线方程.解由题设两曲面的方程消去x ，得交线在yoz 平面上的投影柱面方程22220y y z -+=所求投影曲线方程为22220,0.y y z x ⎧-+=⎨=⎩10.求两曲面22z x =与z =所围立体在三个坐标面上的投影区域.解两曲面的交线在xoy 面上的投影柱面为()2211x y -+=，则投影区域为()(){}22,11xy D x y x y =-+≤，两曲面的交线在yoz 面上的投影柱面为222112z y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭，则投影区域为()222,112yz z D y z y ⎧⎫⎛⎫⎪⎪=-+≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，两曲面的交线在zox 面上的投影柱面为z 和z x =，则投影区域为(){,zx D x z x z =≤≤.11.画出下列曲面所围立体的图形：（1）22z xy =+，1x =，1y =，0z =；（2）z xy =，0z =，1x y +=；（3）22z xy =+，2y x =，1y =，0z =；（4）2y x =，212y x =，1x z +=，0z =.解（1）见图8-8；（2）见图8-9；(图8-8)(图8-9)（3）见图8-10；（4）见图8-11.(图8-10)(图8-11)习题9－11指出下列平面点集中，那些是开集、闭集、有界集、连通集、开区域以及闭区域？并分别求其聚点和边界点：（1）22{(,)|0<1}x y x +y <；（2）{(,)|}x y y x >；（3）{(,)|2,2,2}x y x y x y ≤≤+≥；（4）2222{(,)|1}{(,)|(1)1}x y x y x y x y +>⋂+-≤．解（1）为有界开区域；聚点为集合22{(,)|1}x y x +y ≤，边界点为集合22{(,)|=1}{(0,0)}x y x +y ⋃；（2）为无界的开区域；聚点为集合{(,)|}x y y x ≥，边界点为集合{(,)|,}x y y x x =-∞<<+∞；（3）为有界闭区域；聚点集合为该区域上所有点，边界点集合为三个直线段{(,)|2,02}x y x y =≤≤与{(,)|2,02}x y y x =≤≤及{(,)|2,02}x y x y x +=≤≤的并集；（4）为有界连通集合；聚点为2222{(,)|1}{(,)|(1)1}x y x y x y x y +≥⋂+-≤，边界点为圆弧221{(,)|1,2x y x y y +=≥及圆弧221{(,)|(1)1,}2x y x y y +-=≥的并集．2．证明：点0P 为点集E 的聚点的充分必要条件是点0P 的任意邻域内都至少含有一个点集E 中异于0P 的点．证明：“⇒”由聚点的定义即可得；“⇐”取101(,){|01}U P P P P δδ=<<=（其中0P P 表示点0P 与点P 的距离），则111(,)P U P E δ∃∈⋂，记20112P P δ=，则202(,)P U P E δ∃∈⋂ ，依此类推，由数学归纳法可知对于每个正整数n ，均可取到点01101111(,),22n n n n n P U P E P P δδ----∈⋂=≤ ，由此可得一个两两均不相同的点列{}n P ，若0δ>，因lim 0n n δ→∞=，则k δ∃使得k δδ<，那么当n k ≥时必有0(,)n P U P δ∈，即在0(,)U P δ中比含有集合E 的无穷多个点，因此点0P 为点集E 的聚点．3．求下列各函数值：（1）设22(,)2x y f x y xy-=，求(,1)x f y ；（2）设22(,)y xf x y x y xye =+-，求(,)f tx ty ；（3）设(,)3f x y x y =+，求(,(,))f x f x y ；（4）设(,,)v u v f u v w u w +=+，求(,,)f x y x y xy +-；（5）设22(,)y f x y x y x+=-，求(,)f x y ．解（1）2221(,1)(,)22x y x x y f f x y x y xy y⎛⎫- ⎪-⎝⎭===；（2）222222(,)(,)yxf tx ty t x t y t xye t f x y =+-=；（3）(,(,))3(3)49f x f x y x x y x y =++=+；（4）2(,,)()()x y x f x y x y xy x y xy -+-=++；（5）设,,,11y u uv u x y v x y x v v =+===++，222(1)(,)111u uv u v f u v v v v -⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，2(1)(,)1x y f x y y-=+．4．设1)z f =+-，若当1y =时，z x =，求函数()f u 及(,)z z x y =的表达式．解由题设有11),1)1x f f x =+=-，令1u =，则2(1)x u =+，所以有2()2f u u u =+，相应的有(,)1z z x y x ==-．5．求下列函数的定义域：（1）(,)f x y =；（2）(,)ln()f x y y x =-+；（3）22221(,)arcsin 4x y f x y x y+=+-；（4）(,,)f x y z =解（1）{(,)|}D x y y x y =-<<；（2）22{(,)|0,,1}D x y x y x x y =≥>+<；（3）22{(,)|4,}D x y x y y x =+≤≠；（4）222{(,,)|1,D x y z x y z z =++<>．习题9－21．证明：2222001lim()sin0x y x y x y →→+=+．证明0ε∀>，因为2222221()sinx y x y x y+≤++，取δ=当0δ<<时，则有2222221()sin 0x y x y x y ε+-≤+<+，因此有2222001lim()sin 0x y x y x y →→+=+．2．求下列极限：（1）201ln()lim 2x x y e y x y →→++；（2）220x y →→（3）100lim(1sin )xyx y xy →→-；（4）22()lim ()x y x y x y e-+→+∞→+∞+解（1）原式0ln(1)ln 21e +==；（2）原式220220lim 21()2x y x y x y →→+==--+；（3）原式sin 11sin 00lim (1sin )xyxyxyx y xy e ---→→⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（4）原式222()()lim (2),lim lim 0,lim lim 0u x y x y x y x y u x y x x x x y y y x y x y x y u x ye e e e e e e =+++→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞++=-⋅======，原式0=．3．证明下列极限不存在：（1）22400lim x y xy x y →→+；（2）2222200lim ()x y x y x y x y →→+-．解（1）当取点(,)P x y 沿曲线2:C y kx =趋于点(0,0)O 时则有222422000lim lim 1x x y xy kx k x y x kx k →→→==+++，k 取值不同，则该极限值不同，因此该极限不存在；（2）当取点(,)P x y 沿直线y x =趋于点(0,0)O 时则有2222200lim 1()x y x y x y x y →→=+-，而当取点(,)P x y 沿直线0y =趋于点(0,0)O 时则有2222200lim 0()x y x y x y x y →→=+-，因沿不同方向取极限，则该极限值不同，故该极限不存在．4．讨论下列函数的连续性：（1）22(,)y xf x y y x+=-；（2）22,(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0);xyx y x yf x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪≠⎩（3）,)(0,0),(,)0,(,)(0,0);x y f x y x y ≠=≠⎩（4）(,,)f x y z =．解（1）函数的定义域为2{(,)|}D x y y x =≠，它在D 内处处连续，抛物线2:C y x =上的点均为它的间断点；（2）函数在全平面内处处有定义，它在区域{(,)|(,)(0,0)}D x y x y =≠内处处连续，由于00lim (,)x y f x y →→不存在，故(0,0)O 是它的间断点；（3）当(,)(0,0)x y ≠时，函数显然是连续的，又00lim0(0,0)x y f →→==，所以它在(0,0)O 处也连续，因此该函数在全平面内处处连续；（4）函数(,,)f x y z 的定义域为222{(,,)|14}x y z x y z Ω=<++<，在定义域内(,,)f x y z处处连续，在球面2221x y z ++=及2224x y z ++=上函数间断．5．设二元函数(,)f x y 在有界闭区域E 上连续，点(,),1,2,,i i x y E i n ∈=⋅⋅⋅，证明至少存在一点(,)E ξη∈，使得1122(,)(,)(,)(,)n n f x y f x y f x y f nξη++⋅⋅⋅+=．证明令112211(,)min{(,)},(,)max{(,)}i i i i i i i i i ni nm f x y f x y M f x y f x y ≤≤≤≤====，则有(,),1,2,,i i m f x y M i n≤≤=⋅⋅⋅，由此可得1(,)ni i i mn f x y Mn=≤≤∑，即1(,)niii f x y m M n=≤≤∑．（1）若m M =，则1122(,)(,)(,)n n f x y f x y f x y ==⋅⋅⋅=，取11(,)(,)x y ξη=即可；（2）若m M <，则有1(,)niii f x y m M n=<<∑，由连续函数介值定理知至少存在一点(,)E ξη∈，使得1122(,)(,)(,)(,)n n f x y f x y f x y f nξη++⋅⋅⋅+=．习题9－31．求下列函数的一阶偏导数：（1）2tan()cos ()z x y xy =++；（2）arctanx yz x y+=-；（3）ln(z x =+；（4）(1)yz xy =+．解（1）22sec ()2cos()sin()sec ()sin(2)zx y y xy xy x y y xy x∂=+-=+-∂,由对称性可知2sec ()sin(2)zx y x xy y ∂=+-∂；（2）22222212,()1zy y z xxx y x y y x yx y x y ∂--∂=⋅==∂-+∂+⎛⎫++ ⎪-⎝⎭；（3）z z xy ∂∂==∂∂；（4）21(1),(1)[ln(1)]1y y z z xyy xy xy xy x y xy-∂∂=+=+++∂∂+．2．求下列函数在指定点的偏导数：（1）(,)sin(2)xf x y ex y -=+，求(0,)4x f π'及(0,)4y f π'；（2）22(,)(2)arccos f x y x y x =++-，求(2,)y f y '．解（1）(0,)4(0,)[(cos(2)sin(2)]1,(0,)044x x y f e x y x y f πππ-''=+-+=-=；（2）()2(2,)42y f y yy ''=+=．3．求下列函数的二阶偏导数：（1）2cos ()z ax by =+；（2）z =；（3）arctan 1x yz xy+=-；（4）z yu x =，求2ux z ∂∂∂及22u y ∂∂．解（1）2cos()sin()sin 2(),sin 2()z za ax by ax by a ax byb ax by x y∂∂=-++=-+=-+∂∂，22222222cos 2(),2cos(),2cos 2()z z z a ax by ab ax by b ax by x x y y ∂∂∂=-+=-+=-+∂∂∂∂．（2）2222222222222222,,,()()z x z y z y x z xy x x y x x y x x y x y x y ∂∂∂-∂-====∂+∂+∂+∂∂+，2222222()z x y y x y ∂-=∂+；（3）22211()1(1)111z xy y x y xxy x x y xy ∂-++=⋅=∂-+⎛⎫++ ⎪-⎝⎭，由对称性可知211z y y ∂=∂+，22222222222,0,(1)(1)z x z z yx x x y y y ∂-∂∂-===∂+∂∂∂+；（4）2222112224ln ln 2ln ln ,,,zzzzy y y yu z u y z x u z x u yz x z x x x x x x y x z y y y y y --∂∂+∂∂+===-=∂∂∂∂∂．4．求下列函数的指定高阶偏导数：（1）ln()z x xy =，求32z x y ∂∂∂及32z x y ∂∂∂；（2）u x y z αβγ=，求3ux y z∂∂∂∂．解（1）23232222111ln()1,,0,,z z z z z xy x x x x y x y y x y y∂∂∂∂∂=+====-∂∂∂∂∂∂∂∂；（2）23111111,,u u u x y z x y z x y z x x y x y zαβγαβγαβγααβαβγ------∂∂∂===∂∂∂∂∂∂．5．设322,(,)(0,0),(,)20,(,)(0,0),xy x y f x y x y x y ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩求(0,0)xyf ''及(0,0)yx f ''．解(,0)(0,0)(0,0)lim0,0x x f x f f y x →-'==≠时，0(,)(0,)1(0,)lim 2x x f x y f y f y y x →-'==，(0,)(0,0)1(0,0)lim 2x x xyy f y f f y →''-''==，0(0,)(0,0)(0,0)lim 0,0y x f y f f x y→-'==≠时，0(,)(,0)(,0)lim 0y y f x y f x f x y →-'==，0(,0)(0,0)(0,0)lim 0y y yx x f x f f x→''-''==．6．已知二元函数(,)z z x y =在区域{(,)|0}D x y x =>内有定义，且满足3,(1,)cos z x y z y y x x∂+==∂，试求(,)z x y ．解由3z x yx x∂+=∂可得31(,)ln ()3z x y x y x C y =++，由(1,)cos z y y =可得1()cos 3C y y =-，因而31(,)(1)ln cos 3z x y x y x y =-++．7．分别讨论下列函数在点的连续性和可偏导性：（1）222,(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0);xy x y f x y x y x y ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩（2）(,)f x y =（3）2222,(,)(0,0),(,)1,(,)(0,0).x y x y f x y x yx y ⎧-≠⎪=+⎨⎪=⎩解（1）因为22212xy y x y ≤+，所以22200lim 0x y xy x y →→=+，因此该函数在点(0,0)处连续，又[][]0(0,0)(,0)0,(0,0)(0,)0x y x x f f x f f y ==''''====，因而该函数在(0,0)处存在偏导数；（2）因00(0,0)x y f →→==，因而该函数在点(0,0)处连续，而0(0,0)limx x x f x→'=不存在，同理(0,0)y f '也不存在，因而该函数在(0,0)处不存在偏导数；（3）当取点(,)P x y 沿直线y kx =趋于点(0,0)O 时，则有222222001lim 1x y x y k x y k →→--=++，由于k 取不同值时，上述极限不一样，故222200lim x y x y x y →→-+不存在，因而该函数点(0,0)处不连续，(,0)(0,0)(0,)(0,0)(0,0)lim0,(0,0)limx y x y f x f f y f f f xy→→--''===∞，故在点(0,0)处偏导数(0,0)x f '存在，而偏导数(0,0)y f '不存在．8．考察函数2244,(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0),x y x y f x y x y x y ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩并回答下列问题：（1）(,)f x y 在点(0,0)处是否有二阶偏导数；（2）(,)x f x y '与(,)y f x y '在点(0,0)处是否连续．解（1）2444422(3),(,)(0,0),(,)()0,(,)(0,0),x xy x y x y f x y x y x y ⎧-≠⎪'=+⎨⎪≠⎩2444422(3),(,)(0,0),(,)()0,(,)(0,0),y x y y x x y f x y x y x y ⎧-≠⎪'=+⎨⎪≠⎩0(,0)(0,0)(0,0)lim 0x x xx y f x f f x →''-''==0(0,)(0,0)(0,0)lim 0y yyy f y f f y→''-''==，0(0,)(0,0)(0,0)lim 0x x xyy f y f f y→''-''==．（2）当取点(,)P x y沿直线(y kx k =≠趋于点(0,0)O 时则有2442444242000002(3)2(13)lim (,)lim lim ()(1)x x x x y y xy x y k k f x y x y x k →→→→→--'===∞++，故(,)x f x y '在点(0,0)处不连续，同理可证(,)y f x y '点(0,0)处也不连续．9．设arctan y u z x =，证明2222220u u ux y z∂∂∂++=∂∂∂．证明222221,1uy yz z y xx x y x∂--=⋅⋅=∂++222222()u xyz x x y ∂=∂+，同理有222222()u xyzy x y ∂-=∂+，22arctan ,0u y uz x z∂∂==∂∂，所以有2222222222222200()()u u u xyz xyz x y z x y x y ∂∂∂++=-+=∂∂∂++．10．证明：如果(,)f x y 在区域D 内偏导数(,)x f x y '与(,)y f x y '有界，则函数(,)f x y 在区域D 内连续．证明因为(,)x f x y '与(,)y f x y '在D 内有界，所以0M ∃>，对(,)x y D ∀∈均有(,),(,)x y f x y M f x y M ''≤≤，设000(,)P x y D ∈，则0δ∃>，当ρδ=<时有00(,)x x y y D +∆+∆∈，记100200(,),(,)P x x y P x x y y +∆+∆+∆，则线段01P P 与12PP 必完全属于D 内，由Lagrange 中值定理知0000(,)(,)f x x y y f x y +∆+∆-00000000[(,)(,)][(,)(,)]f x x y y f x x y f x x y f x y =+∆+∆-+∆++∆-001020(,)(,)y x f x x y y y f x x y x θθ''=+∆+∆∆++∆∆，0000(,)(,)()f x x y y f x y M x y +∆+∆-≤∆+∆，由夹逼准则可知00000lim[(,)(,)]0x y f x x y y f x y ∆→∆→+∆+∆-=，即函数(,)f x y 在点000(,)P x y 处连续，由点000(,)P x y 的任意性可知，函数(,)f x y 在区域D 内处处连续．习题9－41．求函数22z x xy y =+-在点000(,)P x y 处当自变量,x y 分别取得增量,x y ∆∆时相应的全增量及全微分．解222200000000()()()()()z x x x x y y y y x x y y ∆=+∆++∆+∆-+∆--+2200000000(2)(2),d (2)(2)x y x x y y x x y y y x y x x y y =+∆+-∆+∆+∆∆-∆=+∆+-∆．2．求下列函数的全微分：（1）yz yx =；（2）arctan y z x=；（3）2222x y z x y-=+；（4）u =．解（1）21d d (1ln )d y y z y x x x x y -=++；（2）22d d d y x x yz x y -+=+；（3）2224(d d )d ()xy y x x y z x y -=+；（4）d u =3．试证：(,)f x y =在点(0,0)处连续，偏导数存在，但不可微．证明000(0,0)x y f →→==，因而函数(,)f x y 在点(0,0)处连续，00(,0)(0,0)(0,)(0,0)(0,0)lim0,(0,0)lim 0x y x y f x f f y f f f x y→→--''====，因而函数(,)f x y 在点(0,0)处偏导数存在，又00limx x y y →→→→''---=不存在，故该函数在点(0,0)处不可微．4．设221sin ,(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0).xy x y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩证明：（1）(0,0),(0,0)x y f f ''存在；（2）(,),(,)x y f x y f x y ''在点(0,0)处不连续；（3）(,)f x y 在点(0,0)处可微．解（1）00(,0)(0,0)(0,)(0,0)lim0,(0,0)lim 0y x y f x f f y f f x y→→--'====，因此(0,0)x f '，(0,0)y f '存在；（2）222222220000121lim (,)lim[sin cos ]()x x x y y x y f x y y x y x y x y →→→→'=-+++不存在，因而(,)x f x y '在(0,0)处不连续，又222222220000121lim (,)lim[sin cos ]()y x x y y xy f x y x x y x y x y →→→→'=-+++不存在，因此(,)x f x y '在(0,0)处也不连续；（3）22001sin lim0x x y y xy x y →→→→''---==，因而函数(,)f x y 在点(0,0)处可微．5的近似值．解令22(,)(,)(,)x y f x y f x y f x y ''===，则有(1.02,1.97)(1,2)(1,2)0.02(1,2)(0.03)x y f f f f ''=≈+⨯+⨯-130.022(0.03) 2.952=+⨯+⨯-=．6．设有一无盖的圆柱形容器，容器的壁与底厚均为0.1cm ，内高为20cm ，内半径为4cm ，求容器外壳体积的近似值．解若圆柱体的底半径为r ，高为h ，则体积为2V hr π=，223d 22 3.144200.1 3.1440.155.3cm V V rh r r h ππ∆≈=∆+∆=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=．。