线性代数课件--ch-1-3 拉普拉斯定理 行列式的乘法公式
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§8拉普拉斯(Laplace)定理·行列式的乘法规则
这里 cij = ai 1b1 j + ai 2b2 j + L + ainbnj , i , j = 1,2,L , n.
∴ D = ( −1)
1+ 2+L+ n+ ( n+1)+L+ 2 n
cij ( −1) = cij
n
从而
aij bij = cij ,
cij = ai 1b1 j + ai 2b2 j + L + ainbnj , i , j = 1,2,L , n.
按照原来次序组成一个 k 级行列式 M，称为行列 按照原来次序组成一个 ，称为行列 级子式； 式 D 的一个 k 级子式；在 D 中划去这 k 行 k 列后 余下的元素按照原来的次序组成的 n − k 级 行列 余子式； 式 M ′ ，称为 k 级子式 M 的余子式；
中所在的行、 若 k 级子式 M 在 D 中所在的行、列指标分别是
−1 2 = 5 A = ( −1)1+ 3+1+ 2 0 1 = 0 , 4 , 1 3 0 1 0 2 = 0 , A = ( −1)1+ 3+1+ 2 0 −1 = 0 . 6 0 3 0 1
4+1+1+ 3
∴ D = (−2) 1 + 0 (−2) + (−1) 5 + 2 0 + 6 0 + (−1) 0 = −7
又对D作初等行变换： 又对 作初等行变换： 作初等行变换
ri = ai 1rn+1 + ai 2 rn+ 2 + L + ain r2 n , i = 1,2,L , n.
线性代数课件--ch-1-3 拉普拉斯定理 行列式的乘法公式
第三节
定义 1
拉普拉斯定理
行列式的乘法公式
在 n 阶 行 列 式 D 中 任 取 k 行 ( 第 i1 , i2 , , ik
1 k n .位于这些行和列的 行) k 列(第 j1 , j2 , , jk 列)，
交叉点上的元素按原来 相应的位置组成一个 k 阶行列式
N ，称为行列式 D 的一个 k 阶子式．
0 0 0 0
0 0 a 11 a 1n b 11 b 1m
b 1m an1 ann bm1 bmm bmm
a11 a1n b11 b1m (1)mn an1 ann bm1 bmm
a11 a1n an1 ann c11 c1m
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定理 1（拉普拉斯定理） 设在行列式
D 中任意取定 D．
D 按某
k (1 k n 1) 行．由这 k 行元素所组成的一切 k 阶子
式与它们相应代数余子式的乘积之和等于行列式
称对行列式 D 应用拉普拉斯定理为将行列式
k 个行展开．
假如把行换成列，则称将行列式
D 按某 k
证明
North University of China
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例 4 试计算下列行列式的平方，从而求出 D ．
a D b c d
b a d c
c d a b
d c b a
.
T 解 首先，根据行列式的性质，D D ， 其次，
a D DD
2 T
b a d c
N1
5 6 1 5
19 ， N 2
5 0 1 6
30 ， N 3
定义 1
拉普拉斯定理
行列式的乘法公式
在 n 阶 行 列 式 D 中 任 取 k 行 ( 第 i1 , i2 , , ik
1 k n .位于这些行和列的 行) k 列(第 j1 , j2 , , jk 列)，
交叉点上的元素按原来 相应的位置组成一个 k 阶行列式
N ，称为行列式 D 的一个 k 阶子式．
0 0 0 0
0 0 a 11 a 1n b 11 b 1m
b 1m an1 ann bm1 bmm bmm
a11 a1n b11 b1m (1)mn an1 ann bm1 bmm
a11 a1n an1 ann c11 c1m
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定理 1（拉普拉斯定理） 设在行列式
D 中任意取定 D．
D 按某
k (1 k n 1) 行．由这 k 行元素所组成的一切 k 阶子
式与它们相应代数余子式的乘积之和等于行列式
称对行列式 D 应用拉普拉斯定理为将行列式
k 个行展开．
假如把行换成列，则称将行列式
D 按某 k
证明
North University of China
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例 4 试计算下列行列式的平方，从而求出 D ．
a D b c d
b a d c
c d a b
d c b a
.
T 解 首先，根据行列式的性质，D D ， 其次，
a D DD
2 T
b a d c
N1
5 6 1 5
19 ， N 2
5 0 1 6
30 ， N 3
行列式乘法法则
基础步骤
首先验证$n=1$时，行列式乘法法则是否成立。
归纳假设
假设当$n=k$时，行列式乘法法则成立。
归纳步骤
证明当$n=k+1$时，行列式乘法法则也成立。
证明方法二：反证法
由于存在矛盾，所以行列式乘法 法则成立。
根据行列式的性质和假设条件， 推导出矛盾。
假设行列式乘法法则不成立。
反证假设
导出矛盾
行列式乘法法则
contents
目录
• 行列式乘法法则的概述 • 行列式乘法法则的证明 • 行列式乘法法则的实例 • 行列式乘法法则的扩展 • 行列式乘法法则的注意事项
01 行列式乘法法则的概述
定义与性质
定义
行列式乘法法则是线性代数中一个重 要的法则，用于计算两个矩阵的乘积 的行列式值。
性质
行列式乘法法则是可交换的，即 A×B=B×A，同时满足结合律，即 (A×B)×C=A×(B×C)。
04
```
三个三阶行列式的乘法
三个三阶行列式的乘法
| a11 a12 a13 |
```
例如
01
03 02
三个三阶行列式的乘法
| a21 a22 a23 |
| a31 a32 a33 |
| b11 b12 b13 ||
| b31 b32 b33 |
行列式乘法与线性变换的运算
线性变换的运算可以通过行列式乘法来实现，例如，一个矩阵乘以 一个行列式可以表示一个线性变换作用于一个向量。
行列式乘法的几何意义
行列式乘法的结果可以表示一个线性变换后的新向量相对于原向量 的方向和大小的变化。
行列式乘法与向量的关系
向量可以看作是行列式的特例
一个向量可以看作是一个1x1的行列式，因此，行列式乘法也可以应用于向量的运算。
首先验证$n=1$时，行列式乘法法则是否成立。
归纳假设
假设当$n=k$时，行列式乘法法则成立。
归纳步骤
证明当$n=k+1$时，行列式乘法法则也成立。
证明方法二：反证法
由于存在矛盾，所以行列式乘法 法则成立。
根据行列式的性质和假设条件， 推导出矛盾。
假设行列式乘法法则不成立。
反证假设
导出矛盾
行列式乘法法则
contents
目录
• 行列式乘法法则的概述 • 行列式乘法法则的证明 • 行列式乘法法则的实例 • 行列式乘法法则的扩展 • 行列式乘法法则的注意事项
01 行列式乘法法则的概述
定义与性质
定义
行列式乘法法则是线性代数中一个重 要的法则，用于计算两个矩阵的乘积 的行列式值。
性质
行列式乘法法则是可交换的，即 A×B=B×A，同时满足结合律，即 (A×B)×C=A×(B×C)。
04
```
三个三阶行列式的乘法
三个三阶行列式的乘法
| a11 a12 a13 |
```
例如
01
03 02
三个三阶行列式的乘法
| a21 a22 a23 |
| a31 a32 a33 |
| b11 b12 b13 ||
| b31 b32 b33 |
行列式乘法与线性变换的运算
线性变换的运算可以通过行列式乘法来实现，例如，一个矩阵乘以 一个行列式可以表示一个线性变换作用于一个向量。
行列式乘法的几何意义
行列式乘法的结果可以表示一个线性变换后的新向量相对于原向量 的方向和大小的变化。
行列式乘法与向量的关系
向量可以看作是行列式的特例
一个向量可以看作是一个1x1的行列式，因此，行列式乘法也可以应用于向量的运算。
拉普拉斯定理
例1 计算5阶行列式
1 2 0 0 1 0 1 2 3 0 D 1 3 0 0 0 0 2 2 1 0 0 3 4 1 3
解: 对D的第1,3 行用Laplace定理,在第1,3 行 中不为零的二阶子式分别是
1 1 1 1 2 1 N1 1, N2 1, N3 3 2 3 1 0 3 0
它们各自对应的代数余子式是
2 3 0
1 2 3
A1 2 1 0 12, A2 2 2 1 6, A3 0 4 1 3 3 4 1
所以 D=12－6=6.
例2 计算2n阶行列式
a1 a2 an 1 D2 n bn 1 b2 b1 an bn bn an an 1 a2 a1 bn 1 b2 b1
解 对的第n,n+1行应用Laplace定理（按第n, n+1 行展开）得
a1 a2 D2 n an bn bn an b2 b1
2 2 (an bn ) D2 n 2
b1 b2 an 1 bn 1 bn 1 an 1 a2 a1
利用这个递推关系式有定理拉普拉斯拉普拉斯定律拉普拉斯变换拉普拉斯定理行列式拉普拉斯展开定理拉普拉斯方程拉普拉斯算子陶哲轩拉普拉斯分布
*
拉普拉斯定理
定义1
在 n 阶行列式中，任取r 行 r 列
2
（ 1 k n}, 位于这些行列交叉处的r 个元 素按原来的次序所构成 的r阶行列式，称 为行列式 的 一个r 阶子式.在 n 阶行列式中， 划去某个r 阶子式M所在的行与列后 ,剩下的 n r 行 n r 列上的元也构成一个 n r阶子 式N。我们称这一对子式 M与N互为余子式。
设r 阶子式M是由行列式中第 i1 , i2 ,, ir 行和 第j1 , j2 ,, jr 列相交处的元也构成的 ，而且 N是M的余子式。则称带有正 或负号
拉普拉斯（Laplace）定理行列式的乘法规则
§8 拉普拉斯(Laplace)定理 行列式的乘法规则一、拉普拉斯定理定义9 在一个n 级行列式D 中任意选定k 行k 列(n k ≤)，位于这些行和列的交点上的2k 个元素按照原来的次序组成一个k 级行列式M ，称为行列式D 的一个k 级子式.在D 中划去这k 行k 列后余下的元素按照原来的次序组成的k n -级行列式M '称为k 级子式M 的余子式.从定义立刻看出，M 也是M '的余子式.所以M 和M '可以称为D 的一对互余的子式.例1 在四级行列式3100120012104121-=D 中选定第一、三行，第二、四列得到一个二级子式M ：1042=M , M 的余子式为1020='M . 例2 在五级行列式555453525125242322211514131211a a a a a a a a a a a a a a a D =中454342252322151312a a a a a a a a a M = 和54513431a a a a M ='是一对互余的子式.定义10 设D 的k 级子式M 在D 中所在的行、列指标分别是k k j j j i i i ,,,;,,,2121 ，则M 的余子式M '前面加上符号)()(2121)1(k k j j j i i i +++++++- 后称做M 的代数余子式.因为M 与M '位于行列式D 中不同的行和不同的列，所以有下述引理 行列式D 的任一个子式M 与它的代数余子式A 的乘积中的每一项都是行列式D 的展开式中的一项，而且符号也一致.定理6(拉普拉斯定理) 设在行列式D 中任意取定了k (11-≤≤n k )个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D .例3 利用拉普拉斯定理计算行列式1310310112104121-=D 从这个例子来看，利用拉普拉斯定理来计算行列式一般是不方便的.这个定理主要是理论方面的应用.二、行列式的乘积法则 定理7 两个n 级行列式nnn n n n a a a a a a a a a D2122221112111=和nnn n nn b b b b b b b b b D 2122221112112=的乘积等于一个n 级行列式nnn n nn c c c c c c c c c C 212222111211=,其中ij c 是1D 的第i 行元素分别与2D 的第j 列的对应元素乘积之和：∑==+++=nk kj ik nj in j i j i ij b a b a b a b a c 12211 .这个定理也称为行列式的乘法定理.它的意义到第四章§3中就完全清楚了.。
线性代数行列式课件
行列式与空间向量的关系
总结词
行列式可以用来表示空间向量的方向和大小。
详细描述
在三维空间中，行列式可以用来表示向量的 方向和大小。通过行列式，我们可以计算出 向量的模长以及向量的方向余弦值，从而确 定向量的方向和大小。此外，行列式还可以 用来表示向量的外积和混合积，进一步揭示 了行列式与空间向量的关系。
END
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PART 05
行列式的应用实例
在线性方程组中的应用
总结词
行列式在解决线性方程组问题中起到关键作 用，通过克拉默法则，我们可以利用行列式 值来求解线性方程组的解。
详细描述
在解决线性方程组问题时，克拉默法则是一 个重要的工具。该法则指出，如果一个线性 方程组中的系数行列式不为零，则该方程组 有唯一解。通过计算系数行列式和将系数行 列式设置为零，我们可以找到使方程组无解
ONE
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线性代数行列式课件
目 录
• 行列式的定义与性质 • 行列式的展开定理 • 行列式的计算技巧 • 行列式在几何中的应用 • 行列式的应用实例
PART 01
行列式的定义与性质
行列式的定 义
总结词
行列式是n阶方阵所有可能的二阶子 方阵的行列式之积。
详细描述
行列式是由n阶方阵的元素构成的，按 照一定的排列顺序形成的n阶方阵，其 值是一个标量，表示n阶方阵的线性变 换对单位体积的改变量。
行列式的性 质
总结词
行列式的性质包括转置、交换、代数余子式等。
详细描述
行列式的一个重要的性质是转置，即把行列式的行变为列，得到的新的行列式的值与原行列式的值互为转置。交 换行列式的两行，行列式的值变号。代数余子式是去掉一个子行列式后剩下的元素构成的行列式，其值等于原行 列式值的负一倍。
拉普拉斯(Laplace)定理
行运用Laplace 定理结果． 定理结果． 为行列式 D 取定前 k 行运用
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
1 0 例1：计算行列式 D = 1 ： 0
M 1 = 1 2 = −2, 解： 1 0
2 1 4 −1 2 1 0 1 3 1 3 1 M 2 = 1 1 = 0, 1 1
从而
aij bij = cij ,
cij = ai 1b1 j + ai 2b2 j + ⋯ + ainbnj , i , j = 1,2,⋯ , n.
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
例2：证明齐次性方程组 ：
ax1 + bx2 + cx3 + dx4 bx1 − ax2 + dx3 − cx4 cx − dx − ax + bx dx1 + cx2 − bx3 − ax4 2 3 4 1
c d −a −b b −a d −c
d −c b −a c −d −a b d c −b −a
a2 +b2 +c2 +d2 0 0 0 0 0 0 a2 +b2 +c2 +d2 = 0 0 a2 +b2 +c2 +d2 a2 +b2 +c2 +d2 0 0 0
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
级子式与余子式、 一、k 级子式与余子式、代数余子式
定义 在一个 n 级行列式 D 中任意选定 k 行 k 列
k 2个元素 ( k ≤ n)，位于这些行和列的交叉点上的 位于这些行和列的交叉点上的
按照原来次序组成一个 k 级行列式 M，称为行列 按照原来次序组成一个 ，称为行列 级子式； 式 D 的一个 k 级子式；在 D 中划去这 k 行 k 列后 余下的元素按照原来的次序组成的 n − k 级 行列 余子式； 式 M ′ ，称为 k 级子式 M 的余子式；
线性代数课件--ch-1-3 拉普拉斯定理 行列式的乘法公式
称对行列式 D 应用拉普拉斯定理为将行列式 D 按某
k 个行展开．
假如把行换成列，则称将行列式 D 按某 k 个列展开．
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例 2 计算五阶行列式
56000 15600 D 0 1 5 6 0. 00156 00015 解 在 D 的前二行中，所有二阶子式共有 10 个，但其中只有
a b cd
b a d c
D
.
c d a b
d c b a
解 首先，根据行列式的性质，DT D ， 其次，
a b c d a b c d D2 DDT b a d c b a d c
c d a b c d a b d c b a d c b a
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在 D 中划去这 k 行 k 列后余下的元素按原来相应位置 组成的n k 阶行列式 M ，称为子式 N 的余子式．
称(1)(i1i2 ik )( j1 j2 jk ) M 为 N 的代数余子式．
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例 1 在四阶行列式
解 先按第 n ，n 1行展开，得
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a
b
ab D ba
b
ab ba
n 1行 n 1行 a
再将上式右边的2n 2阶行列式，按第n 1 ，n 行展开，得
a
b
n 2 行
a ba b
ab
D
b ab a
ba
Байду номын сангаас
k 个行展开．
假如把行换成列，则称将行列式 D 按某 k 个列展开．
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例 2 计算五阶行列式
56000 15600 D 0 1 5 6 0. 00156 00015 解 在 D 的前二行中，所有二阶子式共有 10 个，但其中只有
a b cd
b a d c
D
.
c d a b
d c b a
解 首先，根据行列式的性质，DT D ， 其次，
a b c d a b c d D2 DDT b a d c b a d c
c d a b c d a b d c b a d c b a
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在 D 中划去这 k 行 k 列后余下的元素按原来相应位置 组成的n k 阶行列式 M ，称为子式 N 的余子式．
称(1)(i1i2 ik )( j1 j2 jk ) M 为 N 的代数余子式．
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例 1 在四阶行列式
解 先按第 n ，n 1行展开，得
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a
b
ab D ba
b
ab ba
n 1行 n 1行 a
再将上式右边的2n 2阶行列式，按第n 1 ，n 行展开，得
a
b
n 2 行
a ba b
ab
D
b ab a
ba
Байду номын сангаас
拉普拉斯定理行列式乘法课件
结构
课件将按照知识点介绍、例题解析、练习与测试的顺序展开，确保内容的连贯 性和完整性。
02
拉普拉斯定理详解
拉普拉斯定理定义
定义
拉普拉斯定理是一种关于行列式的展开定理，它建立了n阶行 列式与其子行列式之间的关系。
定理表述
在一个n阶行列式中，任取k行、k列（k≤n），则由这k行、k 列元素所构成的一切k阶子式与其代数余子式的乘积之和等于 行列式的值。
04
拉普拉斯定理在行 列式乘法中应用
利用拉普拉斯定理简化计算过程
定理内容
拉普拉斯定理是行列式展开定理 的推广，可用于简化行列式的计
算过程。
展开方式
通过选取适当的行或列进行展开， 将复杂行列式化为简单行列式的和 ，降低计算难度。
应用实例
通过具体实例展示如何利用拉普拉 斯定理简化行列式的计算过程，包 括数值型行列式、字母型行列式等 。
应用实例
通过具体实例展示克拉默法则在解决实际问 题中的应用，如工程问题、经济问题等。同 时，强调克拉默法则与拉普拉斯定理之间的 联系与区别。
05
总结与回顾
关键知识点总结
拉普拉斯定理
01
描述了如何从一个大行列式中根据所选的行和列挑选出一些小
行列式，并将它们组合在一起得到原行列式的展开式。
行列式乘法的性质
行列式乘法简介
行列式乘法原则
行列式乘法遵循一定的原则，包括行 列式相乘、对应元素相乘等，用于求 解两个行列式的乘积。
注意事项
行列式乘法需要注意符号的确定、元 素的对应关系以及计算过程中的化简 等。
课件目的与结构
目的
本课件旨在帮助学生理解和掌握拉普拉斯定理及行列式乘法的原理和应用，提 高解题能力。
课件将按照知识点介绍、例题解析、练习与测试的顺序展开，确保内容的连贯 性和完整性。
02
拉普拉斯定理详解
拉普拉斯定理定义
定义
拉普拉斯定理是一种关于行列式的展开定理，它建立了n阶行 列式与其子行列式之间的关系。
定理表述
在一个n阶行列式中，任取k行、k列（k≤n），则由这k行、k 列元素所构成的一切k阶子式与其代数余子式的乘积之和等于 行列式的值。
04
拉普拉斯定理在行 列式乘法中应用
利用拉普拉斯定理简化计算过程
定理内容
拉普拉斯定理是行列式展开定理 的推广，可用于简化行列式的计
算过程。
展开方式
通过选取适当的行或列进行展开， 将复杂行列式化为简单行列式的和 ，降低计算难度。
应用实例
通过具体实例展示如何利用拉普拉 斯定理简化行列式的计算过程，包 括数值型行列式、字母型行列式等 。
应用实例
通过具体实例展示克拉默法则在解决实际问 题中的应用，如工程问题、经济问题等。同 时，强调克拉默法则与拉普拉斯定理之间的 联系与区别。
05
总结与回顾
关键知识点总结
拉普拉斯定理
01
描述了如何从一个大行列式中根据所选的行和列挑选出一些小
行列式，并将它们组合在一起得到原行列式的展开式。
行列式乘法的性质
行列式乘法简介
行列式乘法原则
行列式乘法遵循一定的原则，包括行 列式相乘、对应元素相乘等，用于求 解两个行列式的乘积。
注意事项
行列式乘法需要注意符号的确定、元 素的对应关系以及计算过程中的化简 等。
课件目的与结构
目的
本课件旨在帮助学生理解和掌握拉普拉斯定理及行列式乘法的原理和应用，提 高解题能力。
拉普拉斯定理与行列式的乘法
c12 c22 ... b12 b22 ...
... c1n ... c2 n ... ...
cn 2 ... cnn ... b1n ... b2 n ... ...
− 1 0 ... 0 − 1 ... ... 0 ... 0 ...
... − 1 bn1 bn 2 ... bnn
其中 cij = ai1b1 j + ai 2b2 j + ... + ainbnj (i, j = 1,2,..., n).把上 面的行列式按前n行展开 由拉普拉斯定理,得 面的行列式按前 行展开,由拉普拉斯定理 得 行展开 由拉普拉斯定理
按第1,2两行展开.
1 D = 0 0
2 c 4 =6个2阶子式: 解: 由第1,2两行可以得到
2 1 2 0 2 0 s1 = = 3, s2 = = 2, s3 = = 0, 1 2 1 1 1 0 s4 = 1 0 2 1 = 1, s5 = 1 0 2 0 = 0, s6 = 0 0 1 0 = 0.
证明:
作2n阶行列式
a11 a21 ...
a12 a22 ...
... a1n ... a2 n ... ... 0 0 ...
0 0 ... 0 b11 b21 ...
0 0 ... 0 b12 b22 ...
... ... ... ...
0 0 ... 0
D=
an1 −1 0 ... 0
an 2 ... ann 0 ... − 1 ... ... 0 ... ...
定理2
的乘积等于一个n阶行列式
c11
c21 c22 ... c2 n D1 = , ... ... ... ... cn1 cn 2 ... cnn
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，
n行
解
先 按 第 n ， n 1行 展 开 ， 得
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结束
a D a b b a b a b b a
b n 1 行 n 1 行 a
再 将 上 式 右 边 的 2 n 2 阶 行 列 式 ， 按 第 n 1 ，n 行 展 开 ， 得
0 0 0 b12 b 22
0 0
a nn 0 0 1
0 b1 n b2 n b nn
bn1 bn 2 一 方 面 ， 由 拉 普 拉 斯 定 理 ， D D1 D 2 ．
另 一 方 面 ， 将 第 n 1 行 的 a 11 倍 ， 第 n 2 行 的 a 12 倍 ，
a D a b b a a b b a b
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b a b b a a
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n 2 行 n 2 行
继续这样进行，最后可得
a D b a b b a
b n行 n行 a
c1 n c2n c nn
，
b12 b 22 bn 2
b1 n b2 n
c11
a nn
c12 c 22 cn 2
b nn
则
D1 D 2 C
c 21 c n1
其中
c ij a i 1 b1 j a i 2 b 2 j a in b nj ， i , j 1, 2 , , n ．
c12 c 22 cn 2 b12 b 22 bn 2
c1 n c2 n
0 0 0 1
c nn b1 n b2 n
用拉普拉斯 定理
c1 n c2 n
b nn
1 0 1 0 0 0 1
结束
( 1)
(1 2 n ) ( n 1 n 2 n n )
证明
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例 4 试计算下列行列式的平方，从而求出 D ．
a D b c d
b a d c
T
c d a b
d c
.
b a
解 首先，根据行列式的性质，D
D ， 其次，
d a b a d c c d a b d c b a
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结束
例 1 在四阶行列式
1 D 0 0 0
2 1 0 0
1 2 2 1
4 1 1 3
2 0 4 1 2．
选定第一、三行，第二、四列得出一个二阶子式 N
N 的余子式为 M
0 0
2 1
0．
N 的 代 数 余 子 式 为 ( 1)
( 1 3 ) ( 2 4 )
0 0 6 5 1
0 0 0. 6 5
D 的 前 二 行 中 ， 所 有 二 阶 子 式 共 有 10 个 ， 但 其 中 只 有
N1
5 1
6 5
19 ， N 2
5 1
0 6
30 ， N 3
6 5
0 6
36 ．
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a1n b11
b1m
a n1
a nn bm1
bmm
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定 理 2(行 列 式 乘 法 公 式 )
设
a 11 D1 a 21 a n1
a 12 a 22 an2
a1n a2n
，
b11 D2 b 21 bn1
第三节
定 义 1 在
拉普拉斯定理
n 阶行列式
行列式的乘法公式
i1 , i 2 , , i k
D 中 任 取 k 行 (第
行 ) k 列 (第
j1 , j 2 , , j k 列 ) ， 1 k n . 位 于 这 些 行 和 列 的
交叉点上的元素按原来相应的位置组成一个 k 阶行列式
0 0 0 a b c d
2
2 2
a
2
b
2
c
2
d
2 4
， 所以
D a
b c d
2
2
2 2
．
由于 知，
4
D 中主对角线上的元素都是 a ，按行列式的定义
d
a 这 项 前 面 的 符 号 为 正 ， 因 此c a b
b 2 a 2 d 2 c2 D a b c d D c d a b d
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0 0 D 0 1 0 0
c11 c 21 c n1 c12 c 22 cn 2
0 0 0 0 1 0
0 0
c11 c 21 c n1 b11 b 21 bn1
c 12 0 0 b12 b 22 bn2
c1n 0
a nn 0 0 1
0 b1 n b2n
b nn
n 1 行 的 a k 1 ( k 2 ,3 , , n ) 倍 ， 第 n 2 行 的 a k 2 2 n 行 的 a kn 倍 加 到 第 k 行 ， 就 得
a D
2
b a d c
c d a b
DD
T
b c d
c b b c
a d
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结束
a b c d 0 0 0
2
2
2
2 2 2
0 a b c d 0 0
2 2 2 2
0 0 a b c d 0
2 2 2 2
D
．
称对行列式 D 应用拉普拉斯定理为将行列式
D
按某
k 个行展开．
假如把行换成列，则称将行列式
D
按某
k
个列展开．
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结束
例 2 计算五阶行列式
5 1 D 0 0 0
解 在 三个不为零，它们是：
6 5 1 0 0
0 6 5 1 0
结束
它们的代数余子式分别是：
5 A1 ( 1 )
(1 2 ) (1 2 )
6 5 1
6 5 1
0 6 65 ， 5
0 6 19 ， 5
1 0
1
A 2 ( 1)
(1 2 ) (1 3 )
0 0
0 A 3 ( 1)
(1 2 ) ( 2 3 )
0 0
C
c nn
证毕．
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b11 b1m
cm1 cmn bm1 bmm
0 0 b11 bm1 0 0 b1m bmm a11 a n1 c11 cm1 a1n a nn c1m c mn
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a11 ( 1)
mn
n
a b
b a
(a b ) ．
2 2 n
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结束
两个特例情形：
a11 a1n an1 ann c11 c1n 0 0 0 0 a11 a1n b11 b1m an1 ann bm1 bmm
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．
2
c
b
a
本节完．
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定理 2 证明
作 一 个2n 阶 行 列 式
a11 a 21 D a n1 1 0 0
a12 a 22 an2 0 1 0
a1 n a2n
0 0 0 b11 b 21
6 5 1
0 6 0． 5
0 0
根据拉普拉斯定理，得
D N 1 A1 N 2 A 2 N 3 A 3 665 ．
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例 3 计算
2n 阶 行 列 式
a D b
其中行列式中空白处元素均为零．
b a b b a a n行
，第 2 n 行 的 a 1 n 倍 都 加 到 第 一 行 ， 得
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0 a 21 D a n1 1 0 0
再依次将第 倍 ， ，第
0 a 22 an2 0 1 0
0 a 2n
c 11 0 0 b11 b 21 b n1
M M 0．
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结束
定 理 1（ 拉 普 拉 斯 定 理 ） 设 在 行 列 式
n行
解
先 按 第 n ， n 1行 展 开 ， 得
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结束
a D a b b a b a b b a
b n 1 行 n 1 行 a
再 将 上 式 右 边 的 2 n 2 阶 行 列 式 ， 按 第 n 1 ，n 行 展 开 ， 得
0 0 0 b12 b 22
0 0
a nn 0 0 1
0 b1 n b2 n b nn
bn1 bn 2 一 方 面 ， 由 拉 普 拉 斯 定 理 ， D D1 D 2 ．
另 一 方 面 ， 将 第 n 1 行 的 a 11 倍 ， 第 n 2 行 的 a 12 倍 ，
a D a b b a a b b a b
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b a b b a a
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n 2 行 n 2 行
继续这样进行，最后可得
a D b a b b a
b n行 n行 a
c1 n c2n c nn
，
b12 b 22 bn 2
b1 n b2 n
c11
a nn
c12 c 22 cn 2
b nn
则
D1 D 2 C
c 21 c n1
其中
c ij a i 1 b1 j a i 2 b 2 j a in b nj ， i , j 1, 2 , , n ．
c12 c 22 cn 2 b12 b 22 bn 2
c1 n c2 n
0 0 0 1
c nn b1 n b2 n
用拉普拉斯 定理
c1 n c2 n
b nn
1 0 1 0 0 0 1
结束
( 1)
(1 2 n ) ( n 1 n 2 n n )
证明
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例 4 试计算下列行列式的平方，从而求出 D ．
a D b c d
b a d c
T
c d a b
d c
.
b a
解 首先，根据行列式的性质，D
D ， 其次，
d a b a d c c d a b d c b a
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结束
例 1 在四阶行列式
1 D 0 0 0
2 1 0 0
1 2 2 1
4 1 1 3
2 0 4 1 2．
选定第一、三行，第二、四列得出一个二阶子式 N
N 的余子式为 M
0 0
2 1
0．
N 的 代 数 余 子 式 为 ( 1)
( 1 3 ) ( 2 4 )
0 0 6 5 1
0 0 0. 6 5
D 的 前 二 行 中 ， 所 有 二 阶 子 式 共 有 10 个 ， 但 其 中 只 有
N1
5 1
6 5
19 ， N 2
5 1
0 6
30 ， N 3
6 5
0 6
36 ．
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a1n b11
b1m
a n1
a nn bm1
bmm
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定 理 2(行 列 式 乘 法 公 式 )
设
a 11 D1 a 21 a n1
a 12 a 22 an2
a1n a2n
，
b11 D2 b 21 bn1
第三节
定 义 1 在
拉普拉斯定理
n 阶行列式
行列式的乘法公式
i1 , i 2 , , i k
D 中 任 取 k 行 (第
行 ) k 列 (第
j1 , j 2 , , j k 列 ) ， 1 k n . 位 于 这 些 行 和 列 的
交叉点上的元素按原来相应的位置组成一个 k 阶行列式
0 0 0 a b c d
2
2 2
a
2
b
2
c
2
d
2 4
， 所以
D a
b c d
2
2
2 2
．
由于 知，
4
D 中主对角线上的元素都是 a ，按行列式的定义
d
a 这 项 前 面 的 符 号 为 正 ， 因 此c a b
b 2 a 2 d 2 c2 D a b c d D c d a b d
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0 0 D 0 1 0 0
c11 c 21 c n1 c12 c 22 cn 2
0 0 0 0 1 0
0 0
c11 c 21 c n1 b11 b 21 bn1
c 12 0 0 b12 b 22 bn2
c1n 0
a nn 0 0 1
0 b1 n b2n
b nn
n 1 行 的 a k 1 ( k 2 ,3 , , n ) 倍 ， 第 n 2 行 的 a k 2 2 n 行 的 a kn 倍 加 到 第 k 行 ， 就 得
a D
2
b a d c
c d a b
DD
T
b c d
c b b c
a d
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a b c d 0 0 0
2
2
2
2 2 2
0 a b c d 0 0
2 2 2 2
0 0 a b c d 0
2 2 2 2
D
．
称对行列式 D 应用拉普拉斯定理为将行列式
D
按某
k 个行展开．
假如把行换成列，则称将行列式
D
按某
k
个列展开．
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例 2 计算五阶行列式
5 1 D 0 0 0
解 在 三个不为零，它们是：
6 5 1 0 0
0 6 5 1 0
结束
它们的代数余子式分别是：
5 A1 ( 1 )
(1 2 ) (1 2 )
6 5 1
6 5 1
0 6 65 ， 5
0 6 19 ， 5
1 0
1
A 2 ( 1)
(1 2 ) (1 3 )
0 0
0 A 3 ( 1)
(1 2 ) ( 2 3 )
0 0
C
c nn
证毕．
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b11 b1m
cm1 cmn bm1 bmm
0 0 b11 bm1 0 0 b1m bmm a11 a n1 c11 cm1 a1n a nn c1m c mn
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a11 ( 1)
mn
n
a b
b a
(a b ) ．
2 2 n
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两个特例情形：
a11 a1n an1 ann c11 c1n 0 0 0 0 a11 a1n b11 b1m an1 ann bm1 bmm
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．
2
c
b
a
本节完．
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定理 2 证明
作 一 个2n 阶 行 列 式
a11 a 21 D a n1 1 0 0
a12 a 22 an2 0 1 0
a1 n a2n
0 0 0 b11 b 21
6 5 1
0 6 0． 5
0 0
根据拉普拉斯定理，得
D N 1 A1 N 2 A 2 N 3 A 3 665 ．
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例 3 计算
2n 阶 行 列 式
a D b
其中行列式中空白处元素均为零．
b a b b a a n行
，第 2 n 行 的 a 1 n 倍 都 加 到 第 一 行 ， 得
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0 a 21 D a n1 1 0 0
再依次将第 倍 ， ，第
0 a 22 an2 0 1 0
0 a 2n
c 11 0 0 b11 b 21 b n1
M M 0．
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定 理 1（ 拉 普 拉 斯 定 理 ） 设 在 行 列 式