分形造型简介
分形工艺torrent说明书
分形工艺torrent说明书分形工艺是一种应用于艺术和设计领域的创作方法，它利用数学中的分形原理来构建复杂而美丽的图案和结构。
本文将为大家介绍分形工艺的基本原理、应用领域以及实践方法。
一、分形工艺的基本原理分形是一种自相似的几何形状，即整体的形状与局部的形状相似。
分形工艺利用这种自相似性，通过不断重复和缩放的过程，构建出越来越复杂的图案。
这种方法可以产生出独特的、具有艺术美感的作品。
二、分形工艺的应用领域1. 艺术创作：分形工艺可以被用于绘画、雕塑、摄影等艺术创作领域。
艺术家可以利用分形原理构建出独特而华丽的图案，使作品更具视觉冲击力和艺术感染力。
2. 设计领域：分形工艺可以应用于建筑、室内设计、服装设计等领域。
设计师可以利用分形原理来创造出独特的、富有创意的设计元素，使作品更加美观和有吸引力。
3. 数字媒体：分形工艺可以被应用于电影、动画、游戏等数字媒体领域。
通过分形算法，可以生成逼真而细致的自然景物、人物形象等，提升数字媒体作品的真实感和艺术质量。
三、分形工艺的实践方法1. 分形生成软件：目前市面上有许多专门用于生成分形图形的软件，如Apophysis、Mandelbulb 3D等。
使用这些软件，可以通过调节参数和变换函数来创造出不同形态和风格的分形图案。
2. 手工绘制：除了利用软件生成分形图案外，艺术家也可以选择手工绘制的方式进行分形工艺创作。
他们可以使用画笔、颜料、纸张等传统材料，通过反复的图案重复和变形，逐渐构建出复杂而美丽的分形作品。
3. 物理模型：有些艺术家和设计师还尝试利用物理材料来实现分形工艺。
他们可以使用各种材料，如金属、塑料、木材等，通过切割、拼接、堆叠等方式，构建出具有分形特征的物理模型。
四、分形工艺的发展前景随着科学技术的不断发展，分形工艺在艺术和设计领域的应用前景十分广阔。
它不仅可以为艺术家和设计师提供无限的创作灵感，还可以为人们带来更多美的享受和艺术体验。
总结起来，分形工艺是一种利用分形原理构建复杂而美丽图案的创作方法。
《分形几何简介》课件
分形的类型
自相似分形
自相似分形是指在不同尺度下具有相似结构的 图形，如科赫曲线和谢尔宾斯基三角形。
原子分形
原子分形是由单一基本元素重复形成的图案， 类似于雪花和花纹图案。
组分形
组分形是由多个不同形状的图形组合而成，例 如分形树和分形花朵。
拓扑分形
拓扑分形通过改变图形的拓扑结构，如将平面 断开或折叠，创建具有分形性质的图像。
分形的应用
分形图像的生成
分形几何的特性使其成为生成艺 术和图像的强大工具。许多美丽 的分形艺术作品都是通过数学算 法生成的。
分形在自然界中的应用
分形在工程领杂结构和形态，如树叶的纹理、 山脉的形状和云朵的分布。
分形几何的优势在于能够设计更 高效的结构和表面，如天线、电 路板和隔音材料的优化设计。
分形几何的未来
• 分形几何将继续发展，为我们提供对自然界和复杂系统的更深入理解和建模能力。 • 在科学和工程领域，分形几何将继续发挥重要作用，帮助解决复杂问题。 • 分形几何的应用将在未来社会的许多领域中持续拓展，包括建筑设计、艺术创作和生物医学等。
结束语
分形几何的意义远超出了几何学的范畴，它让我们对世界的复杂性有了更深入的认识，启发着我们的思维和创 造力。未来，分形几何将为科学、艺术和工程等领域带来更多的突破和创新。
《分形几何简介》
通过探索分形几何的奇妙世界，我们将带您踏上一段迥异于传统几何学的旅 程。了解分形几何的基本概念和其在科学和工程等领域的应用。
什么是分形几何
分形几何是一门研究非整数维度空间中的几何形状和模式的学科。不同于传 统几何学，分形几何更加接近自然界中的复杂结构和形态。
几何图形与分形
传统的几何图形基于欧氏几何学，具有整数维度，并且具有平滑的结构。分形的定义则更加灵活和重复，能够 描述自相似和具有复杂结构的图形。
分形图形与分形的产生
分形图形分形理论是非线性科学的主要分支之一，它在计算机科学、化学、生物学、天文学、地理学等众多自然科学和经济学等社会科学中都有广泛的应用。
分形的基本特征是具有标度不变性。
其研究的图形是非常不规则和不光滑的已失去了通常的几何对称性；但是，在不同的尺度下进行观测时，分形几何学却具有尺度上的对称性，或称标度不变性。
研究图形在标度变换群作用下不变性质和不变量对计算机图形技术的发展有重大的意义。
说到分形（fractal），先来看看分形的定义。
分形这个词最早是分形的创始人曼德尔布诺特提来的，他给分形下的定义就是：一个集合形状，可以细分为若干部分，而每一部分都是整体的精确或不精确的相似形。
分形这个词也是他创造的，含有“不规则”和“支离破碎”的意思。
分形的概念出现很早，从十九世纪末维尔斯特拉斯构造的处处连续但处处不可微的函数，到上个世纪初的康托三分集，科赫曲线和谢尔宾斯基海绵。
但是分形作为一个独立的学科被人开始研究，是一直到七十年代曼德尔布诺特提出分形的概念开始。
而一直到八十年代，对于分形的研究才真正被大家所关注。
分形通常跟分数维，自相似，自组织，非线性系统，混沌等联系起来出现。
它是数学的一个分支。
我之前说过很多次，数学就是美。
而分形的美，更能够被大众所接受，因为它可以通过图形化的方式表达出来。
而更由于它美的直观性，被很多艺术家索青睐。
分形在自然界里面也经常可以看到，最多被举出来当作分形的例子，就是海岸线，源自于曼德尔布诺特的著名论文《英国的海岸线有多长》。
而在生物界，分形的例子也比比皆是。
近20年来，分形的研究受到非常广泛的重视，其原因在于分形既有深刻的理论意义，又有巨大的实用价值。
分形向人们展示了一类具有标度不变对称性的新世界，吸引着人们寻求其中可能存在着的新规律和新特征；分形提供了描述自然形态的几何学方法，使得在计算机上可以从少量数据出发，对复杂的自然景物进行逼真的模拟，并启发人们利用分形技术对信息作大幅度的数据压缩。
分形在建筑造型设计中的应用探讨
分形在建筑造型设计中的应用探讨
分形是一种几何形态，具有自相似性的特点，常被用于建筑造型设计中。
它可以将简
单的几何形状无限重复，并生成复杂而美丽的建筑形态。
本文将探讨分形在建筑造型设计
中的应用。
分形可以用于建筑的外观设计。
通过将分形几何形状应用于建筑表面，可以创造出独
特的外观效果。
这种设计可以使建筑在视觉上更加丰富，吸引人们的目光。
将分形形状应
用于建筑外墙的装饰，可以产生出错综复杂的几何图案，给人以立体感和动态感。
分形还可以用于建筑的结构设计。
通过将分形几何形状应用于建筑结构中，可以提供
更好的结构稳定性和抗风性能。
分形结构的特点是具有多层次的组织结构和多尺度的形态，可以将力学负荷分散到各个部分，提高了结构的稳定性。
分形结构还可以减少建筑的材料
使用量，降低施工成本。
分形可以用于建筑的空间布局设计。
通过将分形几何形状应用于建筑内部的空间布局，可以创造出多样化的空间体验。
通过分形形状的重复和变形，可以创造出错落有致的楼梯
空间，使人们在行走的过程中感受到不同的空间层次和节奏感。
分形在建筑造型设计中的应用非常广泛。
它可以用于建筑的外观设计、结构设计、空
间布局设计和环境设计等方面。
分形的特点是可以将简单的几何形状无限重复，并生成复
杂而美丽的建筑形态。
通过应用分形，可以使建筑更加个性化、稳定、美观，并提供丰富
多样的空间体验。
相信随着科学技术的进步，分形在建筑设计中的应用会越来越广泛。
分形的特点及构造方法
分形的特点及构造方法分形是数学中的一个重要概念，它具有独特的特点和构造方法。
作为一位初中数学特级教师，我将在本文中向大家介绍分形的特点以及构造方法，希望能够帮助中学生及其父母更好地理解和应用分形。
一、分形的特点分形最显著的特点就是自相似性。
自相似性是指一个物体的各个部分都与整体具有相似的形状或结构。
换句话说，无论是放大还是缩小，这个物体的形状都会重复出现。
例如，我们可以观察一片树叶，发现树叶的小分支和整个树叶的形状非常相似，这就是分形的自相似性。
另一个特点是分形的复杂性。
分形形状通常是非常复杂的，往往无法用简单的几何图形来描述。
例如，分形图形中的曲线可以不连续，具有很多细节和尖锐的边缘。
这种复杂性使得分形在自然界和科学研究中具有广泛的应用价值。
二、分形的构造方法1. 基于迭代的构造方法迭代是分形构造的基本方法之一。
通过不断重复相同的操作，可以构造出具有自相似性的分形图形。
例如，康托尔集合就是通过迭代的方式构造出来的。
首先，将一条线段分成三等分，然后去掉中间那一段，再对剩下的两段线段进行相同的操作。
重复这个过程无限次，最后得到的就是康托尔集合，它具有自相似性和复杂的形状。
2. 基于分形几何的构造方法分形几何是研究分形的数学工具，通过一些几何变换和规则，可以构造出各种各样的分形图形。
例如，科赫曲线就是通过分形几何构造出来的。
首先，将一条线段分成三等分，然后将中间那一段替换为一个等边三角形的两条边，再对剩下的两段线段进行相同的操作。
重复这个过程无限次，最后得到的就是科赫曲线，它具有分形的特点。
三、分形的应用分形不仅仅是数学中的一个概念，它还具有广泛的应用价值。
在自然界中，很多自然现象都具有分形的特点，例如云朵的形状、山脉的轮廓、河流的分布等。
通过研究这些分形现象，我们可以更好地理解自然界的规律。
在科学研究中，分形也被广泛应用于物理学、生物学、经济学等领域。
例如，在物理学中，分形可以用来描述复杂的物理现象，如分形电阻、分形结构的磁体等。
数学的分形几何
数学的分形几何分形几何是一门独特而迷人的数学领域，它研究的是自相似的结构和形态。
分形几何的概念由波蒂亚·曼德博（Benoit Mandelbrot）在1975年首次提出，之后得到了广泛应用和发展。
本文将介绍分形几何的基本概念和应用领域，旨在帮助读者更好地了解这一令人着迷的学科。
一、分形几何的基本概念分形（fractal）是一种非几何形状，具有自相似的特点。
简单来说，分形就是在各个尺度上都具有相似性的图形。
与传统的几何图形相比，分形图形更加复杂、细致，其形状常常无法用传统的几何方法进行描述。
分形几何的基本概念包括分形维度、分形特征和分形生成等。
1. 分形维度分形维度是分形几何中的重要概念之一。
传统的几何图形维度一般为整数，如直线的维度为1，平面的维度为2，而分形图形的维度可以是非整数。
分形维度能够描述分形的复杂程度和空间占据情况，是衡量分形图形特性的重要指标。
2. 分形特征分形几何的分形特征是指分形图形所具有的一些独特性质。
其中最著名的就是自相似性，即分形图形在不同尺度上具有相似的形态和结构。
此外，分形图形还具有无限的细节，无论放大多少倍都能够找到相似的结构。
3. 分形生成分形图形的生成是分形几何中的关键问题之一。
分形图形可以通过递归、迭代等方式进行生成，比如著名的分形集合——曼德博集合就是通过迭代运算得到的。
分形生成的过程常常需要计算机的辅助，对于不同的分形形状，生成算法也有所不同。
二、分形几何的应用领域分形几何的独特性质使其在许多领域中得到广泛应用。
以下列举了几个典型的应用领域。
1. 自然科学分形几何在自然科学中有着广泛的应用。
例如，分形理论可以用来研究自然界中的地形、云雾形态等。
通过分形几何的方法，我们能够更好地理解和描述自然界的复杂性，揭示出隐藏在表面之下的规律。
2. 经济金融分形几何在经济金融领域也有着重要的应用。
金融市场的价格走势往往具有分形特征，通过分形几何的方法可以更好地预测未来的市场走势和波动。
分形艺术启发学生对形对称性的理解
分形艺术启发学生对形对称性的理解形对称性是数学中一个重要的概念，它在自然界和艺术中也得到广泛的应用。
而分形艺术作为一种独特的艺术形式，以其独特的对称性特点，更加深化了人们对形对称性的理解。
本文将通过介绍分形艺术及其对称性特点，探讨它如何启发学生对形对称性的理解。
一、分形艺术的概念分形艺术是一种特殊的艺术形式，它的灵感源于数学中的分形几何。
分形艺术以自相似性为基础，通过重复的图形构成来营造出一种生动而富有变化的艺术效果。
分形艺术通过不断重复放大或缩小的过程，形成了独特的图案和形态，具有丰富的对称性特点。
二、分形对称性的特点分形对称性是指分形图形具有自我重复的特性，即整体的图形结构在局部的放大或缩小过程中保持不变。
这种自我重复的特性使得分形图形在视觉上具有高度的对称性。
而且，分形图形的对称性不仅仅局限于传统的对称轴，而是在整个图形中体现出来，给人一种独特的视觉享受。
三、分形艺术对学生的启发1. 提高形对称性的观察能力：分形艺术的独特对称性特点能够训练学生观察和感知图形的能力。
通过欣赏分形艺术作品，学生能够更加敏锐地发现形状中的对称性，提高他们对图形对称性的观察和理解能力。
2. 发展创造力和想象力：分形艺术作品通常具有非常独特和复杂的形态，这对激发学生的创造力和想象力具有积极的影响。
学生可以通过观察和分析分形艺术作品，自由发挥他们的想象力，创造出与之类似或不同的分形图形。
3. 深化数学知识的理解：分形艺术与数学中的分形几何密切相关。
学生通过分析分形艺术作品，可以更加深入地理解分形几何的基本概念和原理，进一步巩固和拓展他们在数学方面的知识。
4. 培养审美情趣：分形艺术作为一种独特的艺术形式，它的独特对称性和美感给人一种审美享受和艺术启发。
学生通过欣赏分形艺术作品，可以培养自己的审美情趣，提高对艺术的欣赏和理解能力。
四、在教学中应用分形艺术为了更好地启发学生对形对称性的理解，我们可以将分形艺术引入教学中。
分形科普-Fractal
类似二维，将一个正方体平均分成27份，取走中间的7个小正方体，剩余部分继续依此规律操作，直至无穷，得到一块类似海绵的分形体。
其他三维分形体
不可能三维分形体
分形树
一种分形树的构图过程
分形体的周长、面积
分形体的表面积、体积
怪异体，只有表面没有内容。
体积：每次迭代体积都更小，无穷次迭代后体积趋近0。
分形出现 试图用经典几何学描述分形 出现大量处处连续不可微图形
1875~1925
计算机图形学发展 分形构图软件大量出现 计算机进行分形研究兴起
研究分形维数 分形集的局部性质 分形集的结构 S-集分析与几何性质
成为独立学科 曼德尔布莱特出版里程碑专著
1926~1975
1976~2010
分形画
分形画
谢谢！
Thanks For Your Coming
分形体的维度
谢尔宾斯基地毯维度为：
分形体的维度
谢尔宾斯基海绵维度为：
分形体的维度
分形体的维度一般不是整数。
闵可夫斯基香肠
四方内生树
龙曲线
股票走势分形
洛伦茨曲线
朱丽亚图谱
曼德勃罗集图
广义曼德勃罗集图
k=3 k=4 k=5
事物的发展，也可以从局部的发展，看出事物整体发展的状况；
事物的功能，事物局部的功能，也存在着与整体功能相似的情况。
分形的功能
测量海岸线
在测量海岸线长度时，采用不同的尺子得到的结果也不相同，采用更大的红色尺子测出的结果要小于绿色尺子结果，尺子越小，测得长度越长，如果把海岸线放在显微镜下测量长度可能是无限长。
曼德勃罗集图逐步放大
曼德勃罗集图逐步放大
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第六章分形造型简介
迭代函数系统生成的植物
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第六章分形造型简介
6.4 工程应用4—分形造型
分形造型理论揭示了有序与无序的统一， 确定性与随机性的统一。 分形造型的研究早期是以模拟自然景物 为目的，不同的景物应根据其特点，采 用不同的模型。如山峰、海岸线等，可 采用随机插值模型；火焰、喷泉一类的 动态景物适合采用粒子系统。
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第六章分形造型简介
6.4 工程应用4—分形造型
目前分形造型技术在工程领域也得到广 泛应用。 布朗粒子的轨迹，由各种尺寸的折线连 成。只要有足够的分辨率，就可以发现 原以为是直线段的部分，其实由大量更 小尺度的折线连成。这是一种处处连续， 但又处处无导数的曲线。这种布朗粒子 轨迹可以用分形几何描述。
3
第六章分形造型简介
分形形体中的自相似性
测量海岸线的长度 大树与树枝的关系在几何形状上称之为 自相似关系。 分形形体中的自相似性可以是完全相同， 也可以是统计意义上的相似。
4
第六章分形造型简介
6.2 分形几何的维数
如果某图形是由把原图缩小为1/a的相似 的b个图形所组成， 则 aD=b D=logb/loga 关系成立，则指数D称为维数，D可以是 整数，也可以是分数。
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第六章分形造型简介
L系统（正规文法模型）
基于L系统的三维植物造型
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第六章分形造型简介
三. 粒子系统
粒子系统是W.T.Reeves于1983年提出的 模拟不规则模糊自然物体随机动态特性 的方法。 它能够有效地模拟动态的、结构随时间 而波动的模糊自然景物，如火焰、下雪、 行云、随风摇曳的树林等。
计算机图形处理 及其在工程中的应用
第六章
分形造型简介
1
第六章分形造型简介 内容
6.1 概述 6.2 分形几何的维数 6.3 分形造型的常用模型 6.4 工程应用4—分形造型
2
第六章分形造型简介
6.1 概述
自然界中的许多事物如蜿蜒曲折的海 岸线、连绵的山川、雪花、树木、飘浮 的云朵、岩石的断裂口等是如此的丰富 多彩、不规则和支离破碎，拥有与欧氏 几何完全不同层次的复杂性。 分形几何则提供了一种描述这种不规 则复杂现象中的秩序和结构的新方法。
一．随机插值模型
山脉的形成
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第六章分形造型简介
二. L系统（正规文法模型）
1969年美国科学家Aristid Lindenmayer提出了 一种研究植物形态与生长的描述方法L系统。 1984年Alvy Ray Smith将L系统应用于计算机图 形学中，形成分形生成和模拟自然景物的一种 典型方法。 其基本思想是用正规文法生成结构性强的植物 的拓扑结构，再通过进一步几何解释来形成逼 真的画面。
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第六章分形造型简介
6.3 分形造型的常用模型
一．随机插值模型 二. L系统（正规文法模型） 三. 粒子系统 四. 迭代函数系统
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第六章分形造型简介
一．随机插值模型
随机插值模型是1982年由Alain Fournier 、 Don Fussell和Loren Carpenter提出的， 它能有效模拟海岸线和山等自然景象。
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பைடு நூலகம்
第六章分形造型简介
一．随机插值模型
通过多边形细分的方法构造山的模型。 如果采用三角形细分，可以在三角形的 三条边上随机各取一点，并沿垂直方向 偏移一定距离后得到三个点，再连接成 四个三角形。如此继续下去，就可以构 造出褶皱的山峰。 山的褶皱程度由随机偏移量控制 。
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第六章分形造型简介
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第六章分形造型简介
二.L系统（正规文法模型）
利用L系统生成一株植物，每一个新枝的参数 均由其前一个分枝递归计算而来，父枝的数据 作为新的参数进行递归调用，求出子枝的数据。 在植物生成程序中，受两个重要参数的控制。 一个是递归深度，它控制着从初始生成元开始， 到最末分枝所经历的次数；另一个是分枝密度， 它控制同一递归深度上最大的分叉数，即一个 父枝上长几个子枝。 这两个参数既控制树的最终形态，又影响计算 速度。
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第六章分形造型简介
6.4 工程应用4—分形造型
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第六章分形造型简介
四. 迭代函数系统
迭代函数系统是美国佐治亚理工学院 Demko和Barnsley等人首创的一种分形图 形的方法。 迭代函数系统是以仿射变换为框架，根 据几何对象的整体与局部具有自相似结 构，经过迭代而产生。
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第六章分形造型简介
四. 迭代函数系统
该模型方法就是要选取合适的映射集合、 概率集合和初始点，使得所生成的无数 点集能模拟某种自然景物。 用迭代函数系统绘出的分形图形具有无 穷细微的自相似结构，能够较准确地描 述客观事物。 只要选取适当的变换，就可以生成任意 精度的图形效果。
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第六章分形造型简介
三. 粒子系统
粒子系统的基本思想是用单个随时间变化的粒 子作为景物造型的基本元素，每个粒子都有各 自的生命周期，要经历从“产生”、“生长” 到“消亡”三个阶段。 采用随机过程的方法，控制粒子的产生数量， 确定新产生粒子的一些初始随机属性，并在粒 子的运动和生长过程中随机地改变这些属性， 可以实现不规则模糊物体的模拟。
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第六章分形造型简介
6.2 分形几何的维数
第一次迭代
第二次迭代
Koch曲线
第五次迭代
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第六章分形造型简介
6.2 分形几何的维数
Koch曲线的形成
将一条线段去掉其中间的1/3，然后用三角形的 两条边去代替，不断重复上述步骤。Koch曲线 的整体是一条无限长的线折叠而成 。 用小直线段量，其结果是无穷大，而用平面量， 其结果是0。那么只有找一个与Koch曲线维数 相同的尺子量它才会得到有限值，而这个维数 显然大于1、小于2，那么只能是小数（即分数） 了，所以Koch曲线是分数维。
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第六章分形造型简介
6.2 分形几何的维数
Koch曲线的维数的计算
初始三角形的每条边分成4等份，而每一等份 是原来尺寸的1/3，即 b=4，1/a=1/3。 运用维数计算式可得 D=(log4)/(log3)≈1.2618 即Koch曲线的维数是1.2618。 显然，Koch曲线处处连续，但又处处是尖点， 处处不可微，不难证明它的周长为无穷，而面 积却为零。