2021版高一下学期数学期中考试试卷
2021版高一下学期数学期中考试试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共12题；共24分)
1. （2分）用数学归纳法证明不等式(,且n>1)时，不等式在n=k+1时的形式是（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分） (2019高一下·上高月考) 在中，内角、、所对的边分别为、、，
且满足，若点是外一点，，则四边形
的面积的最大值为（）
A .
B .
C . 12
D .
3. （2分）在△ABC中，如果lga﹣lgc=lgsinB=lg ，且B为锐角，此三角形的形状（）
A . 钝角三角形
B . 直角三角形
C . 等腰直角三角形
D . 等边三角形
4. （2分）单位向量与的夹角为，则（）
A .
B .
C .
D .
5. （2分）已知，且a-b与a垂直，则a与b的夹角为（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分） (2016高一下·惠阳期中) 在△ABC中，三内角A、B、C的对边分别是a、b、c．若4a2=b2+c2+2bc，sin2A=sinB•sinC，则△ABC的形状的形状为（）
A . 等边三角形
B . 等腰三角形
C . 直角三角形
D . 等腰直角三角形
7. （2分） (2019高二上·辽宁月考) 等差数列的前项和为，且，则
= （）
A . 2016
B . 2017
C . 2018
D . 2019
8. （2分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=（）
A .
B .
C .
D .
9. （2分） (2016高一下·太谷期中) 已知平面向量 =（3，1），，且，则x=（）
A . ﹣3
B . ﹣1
C . 3
D . 1
10. （2分）(2018·呼和浩特模拟) 已知是双曲线的上、下两个焦点，过
的直线与双曲线的上下两支分别交于点，若为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分）设a∈R，若关于x的不等式|cos2x|≥asinx在区间[﹣， ]上恒成立，则实数a的取值范围是（）
A . [﹣， ]
B . [﹣，0]
C . [0， ]
D . [0，1]
12. （2分） (2018高二上·济源月考) 等比数列满足且成等差数列，则数列
的公比为（）
A . 1
B . -1
C . -2
D . 2
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分）已知{an}为等差数列，a3+a8=22，a6=8，则a5=________．
14. （1分） (2017高一下·株洲期中) 在△ABC中，若（ + ）• = | |2 ，则
=________．
15. （1分） (2019高一下·上海月考) 在中，已知，给出以下四个论断：
①
②
③
④ ，其中正确的是________.
16. （1分）设数列满足，，，则数列的前n项和为________.
三、解答题 (共6题；共65分)
17. （10分） (2016高一下·益阳期中) 已知向量 =（cosα，sinα）， =（cosβ，si nβ），| ﹣ |= ．
（1）求cos（α﹣β）的值；
（2）若﹣＜β＜0＜α＜，且sinβ=﹣，求sinα的值．
18. （10分）(2018·中原模拟) 如图所示，中，
．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）求的值以及的面积．
19. （10分） (2016高一下·枣强期中) 设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13．
（1）求{an}、{bn}的通项公式；
（2）求数列的前n项和Sn．
20. （10分）(2017·朝阳模拟) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞b＞c， c﹣2bsinC=0．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b= ，c=1，求a和△ABC的面积．
21. （10分） (2016高一下·太谷期中) 已知向量 =（cos x，sin x）， =（cos ，﹣sin ），且x∈[﹣， ]
（1）求• 及| + |；
（2）若f（x）= • ﹣| + |，求f（x）的最大值和最小值．
22. （15分） (2019高三上·赤峰月考) 已知数列的前项和为，且 . （1）求数列的通项公式；
（2）令，若数列的前项和为，求满足的正整数的值.
参考答案一、单选题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、
17-2、
18-1、
18-2、
19-1、
19-2、
20-1、
21-1、
21-2、22-1、
22-2、。
江苏省镇江市2021年高一下学期《数学》期中试卷与参考答案
江苏省镇江市2021年高一下学期《数学》期中试卷与参考答案一、选择题本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知向量，，且，那么实数的值是（ ）A.B. C. -2 D. 22. 若，则实数（ ）A. 2B. 3C. 4D. 53. 已知，，则的值为（ ）A. -2B. C. 2D.4. 已知向量，满足，，，则向量与的夹角为（ ）A. B. C. D. 5. 在中，角，，所对的边分别为，，，，，，则（）A. 2B.C. D.6. 在中，点在线段上，且，若，则（）()2,1a=- ()1,b m =a b ⊥ m 1212-231aii i+=++a =tan 3α=-tan 1β=()tan αβ-12-12a b 2a = 1b = 2a b +=a b 30︒60︒120︒150︒ABC △A B C a b c 30B =︒a =3c =sin sin a bA B+=+12ABC △P AB 4BA BP = 22cos sin CP CA CB θθ=⋅+⋅ cos2θ=A. B.C. D.7. 今年是伟大、光荣、正确的中国共产党成立100周年.“红星闪闪放光彩”，正五角星是一个非常优美的的几何图形，庄严美丽的国旗和国徽上的大五角星是中国共产党的象征，如图为一个正五角星图形，由一个正五边形的五条对角线连结而成，已知，为的两个黄金分割点，即则（ ）A.B.C.D.8.▲表示一个整数，该整数使得等式成立，这个整数▲为（）A. -1B. 1C. 2D. 3二、选择题本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知复数，则下列结论正确的是（ ）A. 在复平面内，对应的点在第四象限 B. C. 复数和满足方程 D. 12-1214-14C D AB AC BD AB AB ==cos DEC ∠=4cos 40+=︒▲3z i =+z z =z z 26100x x -+=2106z i=+10. 已知向量，，是三个非零向量，则下列结论正确的有（ ）A. 若，则 B. 若，，则C. 若，则 D. 若，则11. 在中，角，，的对边分别为，，，且，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. 如果为锐角，为虚数单位，，，则D. 12. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，为边的中点，则下列结论正确的是（ ）A. B. 若的周长为C.D. 若是中点，三、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置上.13. 已知向量，是两个不共线的向量，且，，，若，，三点共线，则实数__________.14. 已知复数对应的点在复平面第三象限内，甲、乙、丙三人对复数的陈述如下（为虚a b c//a b a b a b ⋅=⋅ //a b //b c //a ca cbc ⋅=⋅ a b= a b a b +=-a b⊥ ABC △A B C a b c A B >a b>AB AC BA BC bc ac⋅⋅<A i 1cos sin z A iB =+2cos sin z B i A =+12z z <sin sin a b A B->-ABC △A B C a b c a =1sin sin 4B C =1tan tan 3B C =D AC 60A =︒ABC △4+BD M BD 34AM CM ⋅=a b 35OA a b =+ 47OB a b =+ OC a mb =+A B C m =z z i数单位）：甲：；乙：；丙：；丁：.在甲、乙、丙、丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数__________.15. 已知正六边形的边长为1，当点满足__________时，.（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）16. 窗，古时亦称为牅，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件.如图，是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓是边长为的正方形，它是由四个全等的直角三角形和一个边长为的小正方形拼接而成，则__________；的值为__________.四、解答题本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知，为锐角，，.（1）求的值；（2）求的值.4z z +=-z z -=7z z ⋅=2zz=z =ABCDEF M 32BF BM ⋅= ABCD 50cm 10cm EFGH tan HAB ∠=AG DF ⋅αβ4sin 5α=()tan 2αβ+=-tan β()cos αβ-18. 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.①为虚数单位），②的面积为，③，在中，内角，，的对边分别为，，，若，，__________.（1）求；（2）在（1）的结论下，若点为线段的一点且，求长.19. 若是边长为2的正三角形.请在内画一条线段，端点，都在的边上，并将正分成面积相等的两部分.（1）请给出线段的一种画法，并证明；（2）如果此时线段是所有画法中最短的，求此时该线段的长度；（3）请提出一个类似（2）的问题（不需要解决你提出的问题）.20. 如图，正三角形的边长为6，，分别是边，上的点，且，，其中，为的中点.b ci +=i ABC △6AB AC ⋅=-ABC △A B C a b c 2b c -=1cos 4A =-a D BC 3BD DC =AD ABC △ABC △EF E F ABC △ABC △EF EF ABC E F AB AC AE xAB =AF y AC =(),0,1x y ∈N BC（1）若，求；（2）设为线段的中点，若，求的最小值.21. 已知，，函数.（1）求函数的奇偶性；（2）是否存在常数，使得对任意实数，恒成立；如果存在，求出所有这样的；如果不存在，请说明理由.22. 如图，某湖有一半径为1百米的半圆形岸边，现决定在圆心处设立一个水文监测中心（大小忽略不计），在其正东方向相距2百米的点处安装一套监测设备.为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点以及湖中的点处，再分别安装一套监测设备，且满足，设.13y =BF AN ⋅ M EF 1x y +=MN0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x R ∈()()222()cos cos sin f x x x x αα=++-+()f x αx ()2f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭αO A B C AB AC BC ==AOB θ∠=（1）当，求四边形的面积；（2）当为何值时，线段最长并求出此时的最大值.参考答案一、单项选择题1-5：DCCBC 6-8：AAB二、多项选择题9. ABC 10. BD 11. ABC 12. BCD三、填空题13. 114.15. 为直线上任一点均可16.；0四、解答题：17. 解：（1）因为，为锐角，则，，，则，，而.（2）由，得：，则.3πθ=OACB θOC 2-M AD139αβcos 0α>sin 0β>cos 0β>3cos 5α==sin 4tan cos 3ααα==[]tan()tan tan tan ()21tan()tan αβαβαβααβα+-=+-==++sin tan 2cos βββ==22sin cos 1ββ+=sin β=cos β=34cos()cos cos sin sin 55αβαβαβ-=+=+=18. 解：（1）方案一：选择条件①由，解得，则，则.方案二：选择条件②∵，∴，又∵，∴，由，解得，∴，则.方案三：选择条件③∵，；∴，由，解得，∴，则.（2）在中，由余弦定理得：，因为，，则.在中，由余弦定理得：，22522b c b c ⎧+=⎨-=⎩64b c =⎧⎨=⎩22212cos 3616264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭8a =1cos 4A =-sin A =1sin 2ABC S bc A ===△24bc =242bc b c =⎧⎨-=⎩64b c =⎧⎨=⎩22212cos 3616264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭8a =cos 6b A AB AC c =-⋅= 1cos 4A =-24bc =242bc b c =⎧⎨-=⎩64b c =⎧⎨=⎩22212cos 3616264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭8a =ABC △22211cos 216a cb B ac +-==8a =3BD DC =6BD =ABD △2222cos 19AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅=则.19. 解：（1）当与重合，是中点时，线段将正分成面积相等的两部分.证明：易证，所以和的面积相等，此时线段将正分成面积相等的两部分.（此题答案不唯一，其它合理表述和解法类似给分）（2）线段的两端点都在的边上，不妨设点在线段上，点在线段上.设，，∴，由（1）知，由得.在中，由余弦定理得：，（当且仅当“”时取等号），故，综上，当点在线段上，点在线段上，且时，线段将正分成面积相等的两部分.（此题答案不唯一，其它合理表述和解法类似给分）（3）如：①在正内画一条线段，端点，都在的边上，并将分成面积相等的两部分，求此时三角形的周长的最小值；在正内画一条线段，端点，都在的边上，并将分成的一个三角形和一个四边形，若它们的周长相等，求此时三角形的面积的最大值.（此题答案不唯一，其它合理表述和解法类似给分）20. 解：【法一（基底法）】AD =E A F BC EF ABC △ABF ACF ≅△△ABF △ACF △EF ABC △EF ABC △E AB F AC AE m =AF n =1sin 602AEF S mn =︒=△ABC S =△12AEF ABC S S =△△2mn =AEF △222222cos 60EF AE AF AE AF m n mn mn =+-⋅︒=+-≥m n ==min EF =E AB F AC AE AF AB AC ==EF ABC △ABC △EF E F ABC △ABC △ABC △EF E F ABC △ABC △（1）当时，，，.（2），，则，则.当时，的最小值为【法二（坐标法）】以所在直线为轴，其中垂线为轴建立平面直角坐标系，则，，，，（1）由，得，则，，.（2）∵，，13n =13BF AF AB AC AB =-=-1()2AN AB AC =+111223BF AN AB AC AC AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22111236AB AB AC AC=--⋅+18=-11()()22AM AE AF x AB y AC =+=+ 1()2AN AB AC =+ 1112222x y x x MN AN AM AB AC AB AC ---=-=+=+MN AN AM =-= =12x y ==MN BC x y ()0,0N ()3,0B -(A ()3,0C 13AF AC =(1,F (0,AN =- (4,BF =18AN BF ⋅=- AE xAB = AF y AC =∴，，为线段的中点，则，则当时，的最小值为21. 解：（法一）（1）定义域是，，∴函数是偶函数.（2）∵，∴，移项得：，展开得：，对于任意实数上式恒成立，只有.∵，∴.（法二）.（1）定义域是，(3)(3)E x x --=-(3)(3)F y y -=M EF 3(2M x y ⎛-+ ⎝MN == 12x y ==MN x R ∈222()cos ()cos ()sin ()f x x x x αα-=-++--+-222cos ()cos ()sin ()x x x f x αα=-+++=()f x ()2f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭222222cos ()cos ()sin sin ()sin ()cos x x x x x x αααα++-+=-+++cos(22)cos(22)cos 20x x x αα-++-=cos 2(2cos 21)0x α-=x 1cos 22α=02απ<<6πα=1cos(22)1cos(22)1cos 2()222x x xf x αα+++--=++3cos 2(2cos 21)2x α+-=x R ∈∵，∴该函数在定义域内是偶函数.（2）由恒成立得：，化简可得：对于任意实数上式恒成立，则，∵，∴.22. 解：（1）在中，由余弦定理得：，于是四边形的面积为（2）当时在中，由余弦定理得，∴在中，由正弦定理得，即3cos(2)(2cos 21)3cos 2(2cos 21)()()22x x f x f x αα+--+--===()2f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭3cos 2(2cos 21)3cos 2(2cos 21)222x x παα⎛⎫+-- ⎪+-⎝⎭=3cos 2(2cos 21)2x α--=cos 2(2cos 21)0x α-=x 1cos 22α=02απ<<6πα=OAB △2222cos 14212cos 33AB OA OB OA OB πθ=+-⋅=+-⨯⨯=OACB 21sin 2AOB ABC S S S OA OB AB θ=+=⋅+△△1122=⨯⨯=0θπ<<OAB △2222cos AB OA OB OA OB θ=+-⋅14212cos 54cos θθ=+-⨯⨯⨯=-AB =AC =OAB △sin sin AB OBOAB θ=∠sin sin OB OAB AB θ∠==又，所以为锐角，∴，∴，在中，由余弦定理得：.则当时，的最大值为3.当时，由余弦定理得：，此时，，当时，，此时，，综上，当时，的最大值为3.OB OA <OAB ∠cos OAB ∠==cos cos cos cos sin sin 333OAC OAB OAB OAB πππ⎛⎫∠=∠+=∠-∠ ⎪⎝⎭=OAC △2222cos OC OA AC OA CA OAC =+-⋅∠454cos 22θ=+--⨯52cos 54sin 6πθθθ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭23πθ=OC 0θ=22222cos 11211cos 33OC OB BC OB BC πθ=+-⋅=+-⨯⨯⨯=3OC =<θπ=1233CO CA CB =+CO == 3OC =<23πθ=OC。
六安第一中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题含解析
故选：A.
6．C
【分析】连接 EF，FG，EG，根据异面直线所成角的意义，在 EFG 中分情况计算作答.
【详解】连接 EF，FG，EG，如图，
依题意， EF / / AC, FG / /BD ，且 EF 1 AC 1, FG 1 BD 1，
2
2
因 AC 与 BD 所成的角为 60°，则 EFG 60 或 EFG 120 ，
试卷第 3 页，共 5 页
幕式的时长（单位： min ）情况，样本数据按照40,50 ，50, 60 ，…，90,100 进行
分组，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求 a 的值并估计该校学生观看开幕式时长的平均数（每组数据以该组区间的中点值为
代表）和中位数；
(2)已知样本中有
2 3
的男生观看开幕式时长小于
球的表面积公式可求得结果.
【详解】 AB AC 3 ， BAC 120 ，ABC 30 ，
3 2r （ r 是 ABC 的外接圆半径），解得： r 3 ； sin 30
2
R2
3 2
R
r2 3 R2 3 ，解得： R2 12 ， 4
球 O 的表面积 S 4 R2 48 .
安徽省六安第一中学 2021-2022 学年高一下学期期中 数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知i 是关于 x 的方程 ax2 bx 2 0a,b R 的一个根，则 a b （ ）
A．0
则这 20 位市民幸福感指数的方差为（ ）
A．1.75
B．1.85
C．1.95
D．2.05
山西省太原市2021-2022学年高一下学期期中数学试题
2021~2022学年第二学期高一年级期中质量监测数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其字母标号填入下表相应位置）1．复数()1z i i =-+在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．AB BC CD ++= （）A ．ADB ．DAC ．BDD ．DB3．下列平面图形中，通过围绕定直线旋转可得到如图几何体的是（）A ．B ．C ．D ．4．下列结论不．正确的是（）A ．长方体是平行六面体B ．正方体是平行六面体C ．平行六面体是四棱柱D ．直四棱柱是长方体5．给出以下结论，其中正确结论的个数是（）①0a b a b ⇒⋅=∥②a b b a⋅=⋅r r r r ③()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ ④a b a b⋅≤⋅A ．1B ．2C ．3D ．46．已知复数i 关于x 的方程20x px q ++=的一个根，则实数p ，q 的值分别为（）A ．0，1B ．0，-1C ．1，0D ．1-，07．已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若OA OB OC ++ 0→=，则点O 是△ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心8．已知()11,0e =u r ，()20,1e =- ，()2,2a = ，若12a xe ye =+ ，则下列结论正确的是()A ．2x =，2y =B ．2x =，=2y -C ．2x =-，2y =D ．2x =-，=2y -9．已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是半圆，则该圆锥的体积为（）AB C ．23πD ．2π10．在ABC 中，3sin5A =，3B π=，b =，则c =（）A ．35+B ．45C ．35D ．4511．已知等边ABC 的直观图A B C ''' ，则ABC 的面积为（）AB ．2C ．D ．12．在ABC 中，点D 在BC 上，且2BD DC =，过D 的直线分别交直线AB ，AC 于点M ，N ，记AM AB λ= ，AN AC μ= ，若23λ=，则μ=（）A ．53B ．32C ．43D ．54二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案写在题中横线上）13．已知复数34z i =+,则||z =_______14．已知球O 的表面积是其体积的3倍，则球O 的半径为______．15．已知()2,0A ，()3,2B ，()0,1C ，则BC 在AB上的投影向量的坐标为______．16．如图甲，透明塑料制成的长方体容器1111ABCD A B C D -内灌进一些水，固定容器一边AB 于地面上，再将容器慢慢倾斜．给出下面几个结论：①水面EFGH 所在四边形的面积为定值；②图乙中四边形ADHE 的面积为定值；③图丙中AE AH ⋅为定值；④若18AA =，6AB =，记1h 、2h 分别是将四边形ABCD 和11ADD A 水平放在地面上时的水面高度，则1243h h =；其中正确结论的序号是______．三、解答题（本大题共5小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知复数z 满足()1i 1i z -=+．(1)求z 及z ；(2)求234z z z z -+-的值．18．已知()1,2a =r ，()2,3b =- ，c a b λ=+ ．(1)当1λ=-时，求a c ⋅的值；(2)若()a b c +⊥，求实数λ的值．19．如图，在ABC 中，113AD AB ==，2AC =，60BAC ∠=︒，点E 是CD 的中点，记AB a = ，AC b = ．(1)用a ，b 表示CD ，A E ；(2)求AED ∠的余弦值．说明：请同学们在20、21两个小题中任选一题作答．20．在ABC 中，90BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，分别以AB ，AC ，BC 所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体，其体积分别记为1V ，2V ，3V ．(1)求1V ，2V ，3V 的值；(2)求以BC 所在直线为轴旋转所形成几何体的内切球的体积．21．在ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，且90BAC ∠= ，分别以AB 、AC 、BC 所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体，其体积分别记为1V 、2V 、3V ．(1)求证：222123111V V V +=；(2)求以BC 所在直线为轴旋转所形成几何体的内切球的体积．说明：请同学们在22、23两个小题中任选一题作答．22．在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，()sin sin ,sin m B C A =+，(),n a c b c =-- ，且m n ∥．(1)求角B 的值；(2)若2b =，求ABC 面积的最大值．23．在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，()sin sin ,sin m B C A =+，(),n a c b c =-- ，且m n ∥．(1)求角B 的值；(2)若2b =，求ABC 周长的取值范围．1．C 【分析】先化复数为代数形式，再根据几何意义确定点所在象限.【详解】()11z i i i =-+=--Q 对应点为(1,1)--所以复数()1z i i =-+在复平面内对应的点位于第三象限，故选：C 【点睛】本题考查复数几何意义，考查基本分析计算能力，属基础题.2．A 【分析】由向量的加法法则求解【详解】AB BC CD AC CD AD ++=+= 故选：A 3．C 【分析】逐项分析旋转图形可得旋转体的立体图，分析即可得答案.【详解】解：A 是上面一个圆锥，下面一个圆台，不符合；B 是上下两个圆锥，中间一个圆柱，不符合；C 是上面一个圆柱，下面一个圆锥，符合上图；D 是两个圆锥，不符合.故选：C 4．D 【分析】根据平行六面体及直棱柱的概念判断即可；【详解】解：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体，故长方体、正方体是平行六面体，平行六面体是四棱柱，侧棱垂直底面的棱柱叫直棱柱，当直四棱柱的底面不是矩形时直四棱柱不是长方体，故D 错误；故选：D 5．B 【分析】由平面向量数量积的定义对结论逐一判断【详解】由数量积的定义知||||cos a b a b θ⋅=，对于①，若a b∥，则||||a b a b ⋅= 或||||a b a b -⋅= ，0a b ⋅= 不一定成立，①错误对于②，a b b a ⋅=⋅r r r r成立，②正确对于③，()a b c ⋅⋅r r r 与a共线，()a b c ⋅⋅r r r 与c 共线，两向量不一定相等，③错误对于④，||||cos a b a b a b θ⋅=≤⋅ ，④正确故选：B 6．A 【分析】利用实系数一元二次方程的虚根成对原理、根与系数的关系即可得出.【详解】复数i 关于x 的方程20x px q ++=的一个根，则复数i -也是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，∴()i i 0p +-==-，即0p =；∴()i i 1q ⨯-==．故选：A.7．C 【分析】作BD ∥OC ，CD ∥OB ，连接OD ，OD 与BC 相交于点G ,可得OB OC OD +=，又OB OC + =-OA，则有OD =-OA ，即AG 是BC 边上的中线，同理，BO ，CO 也在△ABC的中线上,即可得出结果.【详解】作BD ∥OC ，CD ∥OB ，连接OD ，OD 与BC 相交于点G ，则BG=CG (平行四边形对角线互相平分)，∴OB OC OD += ，又OA OB OC ++ 0→=，可得OB OC + =-OA ，∴OD =-OA ，∴A ，O ，G 在一条直线上，可得AG 是BC 边上的中线，同理，BO ，CO 也在△ABC 的中线上.∴点O 为三角形ABC 的重心.故选：C.8．B 【分析】根据向量线性运算的坐标表示即可求解．【详解】∵()()12,2,2a xe ye x y =+=-=，∴2x =，=2y -．故选：B ．9．A 【分析】利用圆锥的侧面展开图，求出圆锥的母线以及圆柱的高，由圆锥的体积公式求解即可.【详解】因为圆锥底面半径为1，其侧面展开图是半圆，所以圆锥的底面周长为2π，则圆锥的母线长为2，=，所以圆锥的体积为2113V π=⨯⨯⨯，故选：A ．10．A 【分析】由正弦定理与两角和的正弦公式求解【详解】3sin 52A =<，故A 为锐角，4cos 5A =，则3sin sin()sin cos cos sin 10C A B A B A B +=+=+=，由正弦定理得sin sin b c B C =，故2sin c C ==故选：A 11．D 【分析】由原图和直观图面积之间的关系S =直原即可得结果.【详解】因为直观图A B C '''4S =原，解得S =原，故选：D.12．C 【分析】首先根据平面向量线性运算法则得到1233AD AB AC =+，从而得到1223M AD AN A μ=+ ，再根据D 、M 、N 三点共线及平面向量共线定理的推论得到方程，解得即可；【详解】解：依题意()22123333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，又23AM AB = ，即32AB AM = ，AN AC μ= 即1AC AN μ=uuur uuu r ，所以12112332332AD A AM AM N AN μμ=⨯+=+ ，因为D 、M 、N 三点共线，所以12123μ+=，解得43μ=；故选：C 13．5【分析】根据复数模的计算公式，即可求解，得到答案.【详解】由题意知，复数34z i =+，则5z ==，故答案为5.【点睛】本题主要考查了复数的模的计算，其中解答中熟记复数的模的计算公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于容易题.14．1【分析】设出球的半径，根据球的表面积公式与体积的等量关系，列方程即可求得半径．【详解】设球的半径为R ，球O 的表面积是其体积的3倍，则234433R R ππ=⨯，解得1R =，故答案为：1．15．()1,2--【分析】首先求出AB ，BC 的坐标，即可得到AB BC ⋅ ，AB ，再根据1AB BC AB AB AB⋅⋅求出BC 在AB上的投影向量；【详解】解：因为()2,0A ，()3,2B ，()0,1C ，所以()1,2AB = ，()3,1BC =--，所以()31215AB BC ⋅=-⨯+⨯-=-，AB ==所以BC 在AB上的投影为AB BC AB⋅=所以BC 在AB上的投影向量为)()11,21,2AB BC AB AB AB⋅⋅==--，故答案为：()1,2--16．②③④【分析】①②③注意到水的体积和EF 保持不变即可判断；④根据棱柱的体积计算公式即可计算．【详解】①由题图可知水面EFGH 的边EF 的长保持不变，但邻边的长却随倾斜程度而改变，可知①错误；②当容器倾斜如图乙所示时，∵水的体积是不变的，∴棱柱AEHD BFGC -的体积V 为定值，又ADHE V S EF =⋅四边形，高EF 不变，∴ADHE S 四边形也不变，即四边形ADHE 的面积为定值，故②正确；③当容器倾斜如图丙所示时，∵水的体积是不变的，∴棱柱AEH BFG -的体积V 为定值，又AEH V S EF =⋅ ，高EF 不变，∴12AEH S AE AH =⋅⋅ 也不变，即AE AH ⋅为定值，故③正确；④当将四边形ABCD 水平放在地面上时，即图甲所示时，设水的体积为V ，则11ABCD V S h AB AD h ==⋅⋅⋅矩形，∴16Vh AD=；当将四边形11ADD A 水平放在地面上时，水的体积仍然为V ，则11212ADD A V S h AA AD h =⋅=⋅⋅矩形，∴28Vh AD=；∴124638V h AD V h AD==，故④正确．故答案为：②③④．17．(1)i z =，i z =-(2)0【分析】（1）由复数及共轭复数的运算求解即可；（2）由复数的运算求解即可.(1)解：由题意得：()()()21i 1i 2i i 1i 1i 1i 2z ++====--+，i z =-(2)234234i i i i i 1i 10z z z z -+--+=---=+=18．(1)9(2)19-【分析】（1）利用平面向量的运算法则和数量积运算法则进行计算；（2）由向量垂直得到等量关系，求出实数λ的值.(1)当1λ=-时，()()()1,22,31,5c a b =-=--=- ，故()11259a c ⋅=⨯-+⨯= ，(2)()()12,233,1a b +=+-=- ，()12,23c a b λλλ=+=+- ，因为()a b c +⊥ ，所以()()312230λλ+--=，解得：19λ=-.所以实数λ的值为19-.19．(1)13CD b a =-+ ，A E 1126b a =+ .【分析】(1)根据题意，利用向量的加法的线性运算，直接计算即可.(2)根据题意，得3AB a == ，2AC b == ，且cos 603a b a b ⋅=⋅⋅︒= ，由(1)得，13CD b a =-+ ，A E 1126b a =+ ，所以，可以分别求出,,CD AE AD ，然后，直接利用余弦定理即可求出AED ∠的余弦值(1)因为E 是CD 的中点，113AD AB ==，所以，13AD AB = ，∴CD CA AD =+ 1133AC AB b a =-+=-+ .111()226AE AC AD AC AB =+=+ 1126b a =+ .(2)在ADC △中，113AD AB ==，2AC =，60BAC ∠=︒，所以，3AB a == ，2AC b == ，且cos 603a b a b ⋅=⋅⋅︒= ，所以，13CD b a =-+===1126AE b =+= E 是CD的中点，所以，2DE =.因此，在ADE V中，2DE =，2AE =，1AD =，利用余弦定理得，2227c 731os 442AE DE AD AED AE DE +-+-==⋅∠⋅.20．(1)116V π=，212V π=，3485V π=；(2)2304343π.【分析】（1）根据圆锥的体积公式进行求解即可；（2）根据内切球的性质，结合球的体积公式进行求解即可.(1)以AB 所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的图形是圆锥，它的底面半径为4，它的高为3，所以21143163V ππ=⋅⋅⋅=；以AC 所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的图形是圆锥，它的底面半径为3，它的高为4，所以22134123V ππ=⋅⋅⋅=；以BC 所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的图形是有公共的底面的两个圆锥，因为90BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，所以5BC ==，边BC 上的高为h ，所以有53412225h h ⨯=⇒=，所以底面半径为125，因此2311248(5355V ππ=⋅⋅⋅=；(2)设以BC 所在直线为轴旋转所形成几何体的内切球的半径为r ，所以有：11112222(34)342227AB r AC r BA AC r r ⨯⋅⋅+⨯⋅⋅=⨯⋅⋅⇒+=⨯⇒=，所以以BC 所在直线为轴旋转所形成几何体的内切球的体积为3412230437343ππ⎛⎫⋅⋅= ⎪⎝⎭.21．(1)证明见解析(2)()33343b c b c π+【分析】（1）过点A 作AD BC ⊥，计算出bc AD a=，计算出1V 、2V 、3V ，验证222123111V V V +=成立即可；（2）取旋转体的轴截面，利用等面积法可求得内切球的半径，再利用球体体积公式可求得结果.(1)证明：过点A 作AD BC ⊥，如下图所示：由已知可得222b c a +=，由等面积法可得bc AD a=，以AB 为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体为圆锥，且该圆锥的底面半径为c ，高为b ，所以，2113V c b π=，同理2213V b c π=，以BC 为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个共底面的圆锥拼接而成，且两个圆锥的底面半径均为AD ，高分别为BD 、CD ，所以，()222223211333b c b c V AD BD CD a a aπππ=⋅⋅+=⋅⋅=，所以，()2222222422424424421239119991b c a V V b c c b b c b c V ππππ++=+===.(2)解：以BC 为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个共底面的圆锥拼接而成，取该几何体的轴截面如下图所示：设内切球球心为点O ，则O 在线段BC 上，设球O 的半径为r ，由等面积法可得111A BC A OC A OB S S S =+△△△，即()1122bc b c r =+，解得bc r b c =+.所以，球O 的体积为()33334433b c r b c ππ=+.22．(1)π3；【分析】（1）根据向量平行的充要条件及正弦定理角化边，再用余弦定理可求出角B 的余弦值及角B 的范围即可求解；（2）根据余弦定理找到边ac 的范围，然后代入三角形的面积公式即可求解.(1)由()sin sin ,sin m B C A =+ ，(),n a c b c =-- ，且m n ∥ ，得()()()sin sin sin 0B C b c A a c +⋅--⋅-=及正弦定理，得()()()0b c b c a a c +⋅--⋅-=，即222a c b ac +-=.由余弦定理，可得2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，π,B <<0 π3B ∴=(2)由（1）知，π3B =，由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，co πs a c ac a c ac ac ac ac =∴=+-+-≥-=222222223，即4ac ≤，当且仅当2a c ==时，等号成立.当2a c ==时，ac 取的最大值为4.11sin 4222ABC S ac B =≤⨯⨯= 所以ABC23．(1)3π(2)(]4,6【分析】（1）首先利用向量共线基本定理建立三角函数的关系式，利用正弦余弦定理进一步求出B 的值；（2）利用（1）的结论和余弦定理求出关系式24()3a c ac =+-，再利用基本不等式求解即可.(1)解：由题意得：()sin sin ,sin m B C A =+ ，(),n a c b c =-- ，且m n ∥ ()sin sin ()sin ()B C b c A a c ∴+-=-，根据正弦定理可得()()()b c b c a a c +-=-，即222a c b ac+-=2221cos 22a cb B ac +-∴==又(0,)B π∈ 3B π∴=(2)若2b =，由余弦定理可得：2222142()32b ac ac a c ac ==+-⨯=+-2()4a c ac +≤223()()44a c a c +∴+-≤2()16a c ∴+≤04a c ∴<+≤，当且仅当a c =时取等号2a cb +>= 46a b c ∴<++≤所以三角形ABC 周长的取值范围(]4,6。
安徽省芜湖市2021年高一下学期《数学》期中试卷与参考答案
安徽省芜湖市2021年高一下学期《数学》期中试卷与参考答案一、选择题本题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有装一项是符合题目要求的。
1．化简向量+﹣﹣等于（ ）A．B．C．D．答案：A．2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2﹣b2＝c2+bc，则∠A＝（ ）A．B．C．D．答案：D．3．已知i是虚数单位，则复数＝（ ）A．+i B．﹣+i C．﹣﹣i D．﹣i答案：B．4．在△ABC中，若b＝ccosA，则△ABC是（ ）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形答案：A．5．如图所示，正方形O'A'B'C'的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为（ ）A．B．C．8D．4答案：C．6．如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且BF＝3FE，记＝，＝，则＝（ ）A．B．C．D．答案：D．7．球O的截面把垂直于截面的直径分成1：3，若截面圆半径为，则球O的体积为（ ）A．16πB．C．D．答案：D．8．在△ABC中，a，b分别为内角A，B所对的边，b＝5，B＝30°，若△ABC有两解，则a的取值范围是（ ）A．（2，5）B．（5，10）C．（2，2）D．（2，10）答案：B．9．如图，在离地面高400m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知∠BAC＝60°，则山的高度BC为（ ）A．700m B．640m C．600m D．560m答案：C．10．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，设正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2θ，则侧棱与底面内切圆半径的比为（ ）A．B．C．D．答案：A．11．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5＝+3，则△ABM与△ABC的面积比为（ ）A．B．C．D．答案：C．12．已知在△OAB中，OA＝OB＝2，，动点P位于线段AB上，当取得最小值时，向量与的夹角的余弦值为（ ）A．B．C．D．答案：C．二、填空题本题共4小题，每小题4分，共16分。
苏州市吴江区2021年高一下学期《数学》期中试卷与参考答案
苏州市吴江区2021年高一下学期《数学》期中试卷与参考答案一、单选题1. 下列命题：①钝角是第二象限的角；②小于的角是锐角；③第一象限的角一定不是负角；④第二象限的角一定大于第一象限的角；⑤手表时针走过2小时，时针转过的角度为；⑥若，则是第四象限角.其中正确命题的个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 若为虚数单位，复数满足，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 3.已知函数，为其图像的对称中心，，是该图像上相邻的最高点和最低点，若，则的单调递增区间是（）A.，B. ，C. ，D. ，4.欧拉是瑞士著名数学家，他首先发现：（为自然对数的底数，为虚数单90︒60︒5α=αiz 11z i ≤++≤1z i --11())0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭1,02A ⎛⎫⎪⎝⎭B C4BC =()f x 32,222k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭k Z∈132,222k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭k Z∈34,422k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭k Z∈134,422k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭k Z∈cos sin i e i θθθ=+e i位），此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系.根据欧拉公式可知，（ ）A. 1B. 0C. -1D. 5.甲船在湖中岛的正南处，，甲船以的速度向正北方向航行，同时乙船从岛出发，以的速度向北偏东方向驶去，则行驶半小时，两船的距离是（ ）A. B. C. D. 6.已知，且，，则的值是（）A.B.C.D.7.在中，角A ，B ，C 所以对的边分别为a 、b 、c ，若，的，（ ）A. B. C.D.或38.已知中，，，，为所在平面内一点，且，则的值为（ ）A. -4B. -1C. 1D. 4i e π-=1i+B A 12km AB =8km/h B 8km/h 60︒(),0,αβπ∈()1tan 3αβ-=1tan 7β=2αβ-4π34π54π74πABC △sin sin B C A =ABC △a b +=c =ABC △2AB =1AC =1AB AC ⋅=O ABC △230OA OB OC ++= AO BC ⋅9.已知复数的实部与虚部之和为-2，则的取值可能为（ ）A.B.C. D.10.在中，.若，则的值可以等于（ ）A. B.C. 2D. 311.甲，乙两楼相距，从乙楼底仰望甲楼顶的仰角为，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为，则下列说法正确的有（ ）A. 甲楼的高度为B. 甲楼的高度为C.D. 乙楼的高度为12.已知函数，则下列说法正确的是（ ）A. 最小正周期是B. 是偶函数C. 在上递增D. 是图象的一条对称轴()3cos cos 202z i αααπ=+<<α3π23ππ53πABC △()sin sin 3sin 2C A B B +-=3C π=ab121320m 60︒30︒42()sin cos f x x x =+2π()f x ()f x ,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭8x π=()f x13.定义运算，则符合条件的复数对应的点在第________象限.14.在中，，，若，则的取值范围为________.15.若函数的图象关于点对称，则实数__________.16.在中，角，，的对边，，为三个连续偶数，且，则__________，最大角的余弦值为__________.四、解答题（共6题；共70分）17.已知，向量，.（1）若向量与平行，求的值；（2）若向量与的夹角为锐角，求的取值范围.18.已知函数的图象关于直线对称，且图象相邻两个最高点的距离为.（1）求和的值；（2）若，求的值.19.在中，角，，的对边分别是，，，且.（1）若，，求的值；ab ad bc cd =-102z i i i+=-z ABC △1OA OB ==23AOB π∠=OC OA OB λμ=+ OC = λμ+()sin 23cos 2f x m x x =+3,08π⎛⎫⎪⎝⎭m =ABC △A B C a b c 2C A =a =k R ∈()1,1a k =+ (),2b k =2a b - bk 2a b - bk ())0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-≤< ⎪⎝⎭3x π=πωϕ2263f αππα⎛⎫⎫=<< ⎪⎪⎝⎭⎭cos 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭ABC △A B C a b c 3B π=32BA BC ⋅= b =a c +（2）求的取值范围.20.在锐角中，角，，的对边分别为，，，已知.（1）若，，求；（2）求的取值范围.21.在平面直角坐标系中，为坐标原点，、、三点满足.（1）求证：、、三点共线；（2）已知、，，的最小值为5，求实数的值.22.如图，某登山队在山脚处测得山顶的仰角为，沿倾斜角为（其中）的后到达到达山顶.（1）求山的高度；（2）现山顶处有一塔从到的登山途中，队员在点处测得塔的视角为（）若点处高度，则为何值时，视角最大？2sin sin A C -ABC △A B C a b c sin 2sin a B b A =3a =b =c cos cos a C c Ab-O A B C 1233OC OA OB =+A B C ()1,cos A x ()1sin ,cos B x x +0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦21()23f x OA OC m AB m ⎛⎫=⋅+++ ⎪⎝⎭ m A B 45︒α1tan 3α=D B BE 1km 4CB =A D P θCPB θ∠=P km PF x =x θ参考答案一、单选题1. B2. D3. D4. C5. C6. A7. D8. B 二、多选题9.BC10.AD 11.AC 12.ABC 三、填空题13. 二 14. 15. 3 16.8；四、解答题17.（1）由向量，，所以，又与平行，所以，解得或.（2）若向量与的夹角为锐角，则，解得；由（1）知，当时，与平行，所以的取值范围是.18.（1）因为图象相邻两个最高点的距离为，所以的最小正周期为，所以，又解得：.因为的图象关于直线对称，所以，又，解得：.⎡-⎣18()1,1a k =+ (),2b k = ()22,2a b k k -=-2a b - b()22220k k --=2k =-1k =2a b - b()240k k k -+>06k <<1k =2a b - bk ()()0,11,6 ()y f x =π()y f x =π2ππω=0ω>2ω=()y f x =3x π=232k ππϕπ⨯+=+22ππϕ-≤<6πϕ=-（2）由（1）知，，所以，所以.因为，所以，所以，所以19.（1）因为，，所以，即.又，所以，配方得：，所以.（2）因为，所以，所以，所以，()26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭26f απα⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1sin 64πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭263ππα<<062ππα<-<cos 6πα⎛⎫-=== ⎪⎝⎭cos cos 366πππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos cos sin sin6666ππππαα⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1142=+⨯32BA BC ⋅= b =3cos 2ac B =3ac =b =2222cos b a c ac B =+-223a c ac +-=()212a c +=a c +=3B π=23A C π+=23A C π=-22sin sin 2sin sin 3A C C Cπ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭222sincos 2cos sin sin 33C C C ππ=--C =因为，所以，所以的取值范围是.20.（1）由，得，得，得，在，所以，由余弦定理，得，即，解得或.当时，，，即为钝角（舍），故符合.（2）由（1）得 ，所以，所以，因为为锐角三角形，所以，所以，20,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1cos ,12C ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭2sin sin A C -⎛ ⎝sin 2sin a B b A =sin sin 2sin sin A B B A =2sin sin cos sin sin A B A B A =1cos 2B =ABC △3B π=2222cos b c a ac B =+-27923cos3c c π=+-⨯2320c c -+=1c =2c =1c =22220b c a +-=-<cos 0A <A 2c =3B π=23C A π=-cos cos sin cos cos sin 22sin 3a C c A A C A C A b B π--⎛⎫===-⎪⎝⎭ABC △62A ππ<<22333A πππ-<-<所以，所以，故的取值范围是.21.（1）证明：因为，所以，又与有公共点，所以，，三点共线.（2）因为，，所以，，故，，从而，关于的二次函数的对称轴为，因为，所以，又区间的中点为.①当，即时，当时，，由得或，又，所以；②当，即时，当时，，2sin 23A π⎛⎫<-< ⎪⎝⎭cos cos 11a C c Ab--<<cos cos a C c Ab-()1,1-1222()3333AC OC OA OA OB OA OB OA AB =-=+-=-=//AC AB AC AB A A B C ()1,cos OA x =()1sin ,cos OB x x =+1221sin ,cos 333OC OA OB x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭(sin ,0)AB OB OA x =-=221sin cos 3OA OC x x ⋅=++sin AB x ==222121()21sin cos 2sin 333f x OA OC m AB m x x m x m ⎛⎫⎛⎫=⋅+++=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222cos (21)sin 1sin (21)sin 2x m x m x m x m =++++=-++++sin x 21sin 2m x +=0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦[]sin 0,1x ∈[]0,11221122m +≤0m ≤sin 1x =2min ()22f x m m =++min ()5f x =3m =-1m =0m ≤3m =-21122m +>0m >sin 0x =2min ()2f x m =+由得，又，所以.综上所述：的值为-322.（1）因为，为锐角，所以，，所以在中，过作于，因为所以，在中，，所以山的高度为.（2）过作于，因为，所以，因为在上，，所以，min ()5f x =m =0m >m =m1tan 3α=αsin α=cos α=cos cos cos cos sin sin 444BAD πππααα⎛⎫∠=-=+ ⎪⎝⎭==ABD △D DM AB ⊥M AD BD ==22cos AB AM AD BAD ==⋅∠==Rt ABE △cos 454BE AB =︒==4km P PN BE ⊥N PF x =3AF x =P AD 1DG =[]0,1x ∈所以，，所以，，令，则，所以当且仅当，即，取得最大值，所以当时，视角最大.4tan43BN xBPNPN x-∠==-117444tan4343x xCNCPNPN x x-+-∠===--tan tantan tan()1tan tanCPN BPNCPN BPNCPN BPNθ∠-∠=∠-∠=+∠⋅∠17414434341717(4)4441(43)434343x xx xx x xxxx x x-----==⎛⎫---⎪-⎝⎭+⋅-+---[]0,1x∈[]()431,4y x t=-∈43tx-=2194tan70671740679936t t ttttθ==≤=⎛⎫++++⎪⎝⎭+7tt=t=x=tanθx=θ11。
2021年高一(下)期中数学试卷含解析
2021年高一（下）期中数学试卷含解析一、选择题1．（5分）（xx春•济南校级期中）角﹣1120°是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角考点：象限角、轴线角．专题：三角函数的求值．分析：把角写成k×360°+α，0°≤α＜360°，k∈z 的形式，根据α的终边位置，做出判断．解答：解：∵﹣1120°=﹣4×360°+320°，故﹣1120°与320°终边相同，故角﹣1120°在第四象限．故选：D．点评：本题主要考查终边相同的角的定义和表示方法，象限角、象限界角的定义，属于基础题．2．（5分）（xx春•济南校级期中）要从已编号（1到50）的50名学生中随机抽取5名学生参加问卷调查，用系统抽样方法确定所选取的5名学生的编号可能是（）A．5，10，15，20，25 B．3，13，23，33，43C．1，2，3，4，5 D．2，4，8，16，32考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据系统抽样的定义求出样本间隔即可．解答：解：样本间隔为50÷5=10，则用系统抽样方法确定所选取的5名学生的编号可能是3，13，23，33，43，故选：B点评：本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键．3．（5分）（xx春•衡水校级期中）已知△ABC中，tanA=﹣，那么cosA等于（）A．B．C．﹣D．﹣考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：由tanA的值及A为三角形内角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值即可．解答：解：∵在△ABC中，tanA=﹣，∴cosA=﹣=﹣．故选：C．点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．4．（5分）（xx•长春模拟）如图是根据某校10位高一同学的身高（单位：cm）画出的茎叶图，其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生身高的个位数字，从图中可以得到这10位同学身高的中位数是（）A．161cm B．162cm C．163cm D．164cm考点：众数、中位数、平均数；茎叶图．专题：图表型．分析：由茎叶图可知10位学生身高数据，将它们一一从小到大排列，即可求出中位数．解答：解：由茎叶图可知10位学生身高数据：155，155，157，158，161，163，163，165，171，172．中间两个数的平均数是162．∴这10位同学身高的中位数是162cm．故选B．点评：本题考查读茎叶图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．5．（5分）（xx•山东）在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90 89 90 95 93 94 93去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数的平均值和方差分别为（）A．92，2 B．92，2.8 C．93，2 D．93，2.8考点：众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：平均数就将剩余5个数的和除以5即可得到；方差就是将数据代入方差公式s2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+（x3﹣）2+…+（x n﹣）2]即可求得．解答：解：由题意知，所剩数据为90，90，93，94，93，所以其平均值为90+（3+4+3）=92；方差为（22×2+12×2+22）=2.8，故选B．点评：本题考查平均数与方差的求法，属基础题．6．（5分）（xx秋•常德校级期末）已知角α的终边经过点P（﹣b，4）且cosα=﹣，则b的值等于（）A．3 B．﹣3 C．±3 D． 5考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：根据三角函数的定义建立方程关系即可．解答：解：∵角α的终边经过点P（﹣b，4）且cosα=﹣，∴cosα==﹣，则b＞0，平方得，即b2=9，解得b=3或b=﹣3（舍），故选：A点评：本题主要考查三角函数的定义的应用，注意求出的b为正值．7．（5分）（xx春•济南校级期中）tan10°tan20°+=（）A．﹣1 B．C． 1 D．﹣考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：把题中的tan10°+tan20°换成tan30°（1﹣tan10°tan20°），化简可得所给式子的值．解答：解：tan10°tan20°+=tan10°tan20°+•tan30°（1﹣tan10°tan20°）=tan10°tan20°+1﹣tan10°tan20°=1，故选：C．点评：本题主要考查两家和的正切公式的应用，属于基础题．8．（5分）（xx春•济南校级期中）某校1000名学生的高中数学学业水平考试成绩的频率分布直方图如图所示．则不低于60分的人数是（）A．800 B．900 C．950 D．990考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：利用频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组据求出频率；再利用频数等于频率乘以样本容量求出不人数．解答：解：由频率分布直方图得，低于60分的频率=0.005×20=0.1，低于60分人数=0.1×1000=100．则不低于60分的人数是：900．故选：B．点评：本题考查频率分布直方图中的频率公式：频率=纵坐标×组据；频数的公式：频数=频率×样本容量．9．（5分）（xx•陆丰市校级模拟）从一批羽毛球产品中任取一个，质量小于4.8g的概率是0.3，质量不小于4.85g的概率是0.32，那么质量在[4.8，4.85）g范围内的概率是（）A．0.62 B．0.38 C．0.7 D．0.68考点：二项分布与n次独立重复试验的模型．专题：计算题．分析：本题是一个频率分布问题，根据所给的，质量小于4.8 g的概率是0.3，质量不小于4.85 g的概率是0.32，写出质量在[4.8，4.85）g范围内的概率，用1去减已知的概率，得到结果．解答：解：设一个羽毛球的质量为ξg，则根据概率之和是1可以得到P（ξ＜4.8）+P（4.8≤ξ＜4.85）+P（ξ≥4.85）=1．∴P（4.8≤ξ＜4.85）=1﹣0.3﹣0.32=0.38．故选B．点评：本题是一个频率分布问题，主要应用在一个分布列中，所有的概率之和是1，这是经常出现的一个统计问题，常以选择和填空形式出现．10．（5分）（xx春•济南校级期中）cos15°•cos105°﹣cos75°•sin105°的值为（）A．﹣B．C．D．﹣考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：利用诱导公式和两角和的余弦函数公式化简，根据特殊角的三角函数值即可得解．解答：解：cos15°•cos105°﹣cos75°•sin105°=cos15°•cos105°﹣sin15°•sin105°=cos（15°+105°）=cos120°=﹣．故选：A．点评：本题主要考查了诱导公式和两角和的余弦函数公式以及特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．11．（5分）（xx春•济南校级期中）如图所示的程序框图，若输出结果是990，则判断框内应填入的条件是（）A．i≥10 B．i＜10 C．i≥9 D．i＜9考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：根据程序输出的结果，得到满足条件的i的取值，即可得到结论．解答：解：模拟执行程序框图，可得i=11，S=1满足条件，S=11，i=10满足条件，S=110，i=9满足条件，S=990，i=8由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为990．故判断框内应填入的条件是i≥9．故选：C．点评：本题主要考查程序框图的识别和判断，根据程序运行的结果判断退出循环的条件是解决本题的关键，属于基础题．12．（5分）（xx•湖南）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x ﹣85.71，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心（，）C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg考点：回归分析的初步应用．专题：阅读型．分析：根据回归方程为=0.85x﹣85.71，0.85＞0，可知A，B，C均正确，对于D回归方程只能进行预测，但不可断定．解答：解：对于A，0.85＞0，所以y与x具有正的线性相关关系，故正确；对于B，回归直线过样本点的中心（，），故正确；对于C，∵回归方程为=0.85x﹣85.71，∴该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故正确；对于D，x=170cm时，=0.85×170﹣85.71=58.79，但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg，故不正确故选D．点评：本题考查线性回归方程，考查学生对线性回归方程的理解，属于中档题．13．（5分）（xx•武汉模拟）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有3种结果，根据古典概型概率公式得到结果．解答：解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3=9种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，由于共有三个小组，则有3种结果，根据古典概型概率公式得到P=，故选A．点评：本题考查古典概型概率公式，是一个基础题，题目使用列举法来得到试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，出现这种问题一定是一个必得分题目．14．（5分）（xx春•济南校级期中）设，则sinβ的值为（）A．B．C．D．考点：两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题；三角函数的求值．分析：根据α、β的取值范围，利用同角三角函数的基本关系算出且cosα=，再进行配方sinβ=sin[α﹣（α﹣β）]，利用两角差的正弦公式加以计算，可得答案．解答：解：∵，∴α﹣β∈（﹣，0），又∵，∴．根据α∈（0，）且sinα=，可得cosα==．因此，sinβ=sin[α﹣（α﹣β）]=sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β）=×﹣×（﹣）=．故选：C点评：本题给出角α、β满足的条件，求sinβ的值．着重考查了任意角的三角函数、同角三角函数的基本关系、两角差的正弦公式等知识，属于中档题．15．（5分）（xx•江西）已知f（x）=sin2（x+），若a=f（lg5），b=f（lg），则（）A．a+b=0 B．a﹣b=0 C．a+b=1 D．a﹣b=1考点：二倍角的余弦；对数的运算性质；余弦函数的定义域和值域．专题：计算题；压轴题．分析：由题意，可先将函数f（x）=sin2（x+）化为f（x）=，再解出a=f（lg5），b=f（lg）两个的值，对照四个选项，验证即可得到答案解答：解：f（x）=sin2（x+）==又a=f（lg5），b=f（lg）=f（﹣lg5），∴a+b=+=1，a﹣b=﹣=sin2lg5故C选项正确故选C点评：本题考查二倍角的余弦及对数的运算性质，解题的关键是对函数的解析式进行化简，数学形式的化简对解题很重要二、填空题16．（5分）（xx•封开县校级模拟）设扇形的周长为8cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是2．考点：扇形面积公式．专题：计算题．分析：设扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r，弧长为l，面积为S，由面积公式和周长可得到关于l和r的方程组，求出l和r，由弧度的定义求α即可．解答：解：S=（8﹣2r）r=4，r2﹣4r+4=0，r=2，l=4，|α|==2．故答案为：2．点评：本题考查弧度的定义、扇形的面积公式，属基本运算的考查．17．（5分）（xx春•济南校级期中）已知某单位有职工120人，男职工有90人，现采用分层抽样（按男、女分层）抽取一个样本，若已知样本中有27名男职工，则样本容量为36．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．解答：解：设样本容量为n，则，解得n=36，故答案为：36．点评：本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．18．（5分）（2011•江西）小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为．考点：几何概型．专题：计算题．分析：根据题意，计算可得圆的面积为π，点到圆心的距离大于的面积为，此点到圆心的距离小于的面积为，由几何概型求概率即可．解答：解：圆的面积为π，点到圆心的距离大于的面积为，此点到圆心的距离小于的面积为，由几何概型得小波周末不在家看书的概率为P=故答案为：点评：本题考查几何概型问题，属基础知识的考查．19．（5分）（xx秋•正定县校级期末）已知tanθ=2，则=﹣2．考点：运用诱导公式化简求值；三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：原式利用诱导公式化简，再利用同角三角函数间基本关系变形，把tanθ的值代入计算即可求出值．解答：解：∵tanθ=2，∴原式====﹣2．故答案为：﹣2点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．20．（5分）（xx春•济南校级期中）已知sin（α﹣）=，则cos（+α）=．考点：两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由诱导公式可得cos（+α）=cos[+（α﹣）]=﹣sin（α﹣），结合已知可得．解答：解：∵sin（α﹣）=，∴cos（+α）=cos[+（α﹣）]=﹣sin（α﹣）=﹣，故答案为：．点评：本题考查诱导公式，涉及整体角的思想，属基础题．三、解答题21．（12分）（xx春•济南校级期中）已知函数f（x）=cos2﹣sincos﹣，若f（α）=，求sin2α的值．考点：两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．专题：计算题；三角函数的求值．分析：利用倍角公式化简已知可得f（x）=（cosx﹣sinx），可得cosα﹣sinα=，两边平方利用倍角公式即可得解．解答：解：∵f（x）=cos2﹣sincos﹣==（cosx﹣sinx），∴f（α）=（cosα﹣sinα）=，可得：cosα﹣sinα=，∴两边平方可得：1﹣sin2α=，∴解得：sin2α=．点评：本题主要考查了二倍角的正弦公式，余弦函数公式的应用，属于基础题．22．（12分）（xx春•济南校级期中）已知函数f（x）=Acos（+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）设α，β∈[0，]，f（4α+π）=﹣，f（4β﹣π）=，求cos（α+β）的值．考点：两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：（1）直接利用条件求得A的值．（2）由条件根据f（4α+π）=﹣，求得sinα的值，再利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值；由f（4β﹣π）=，求得cosβ的值，再利用同角三角函数的基本关系求得sinβ的值；从而求得cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ的值．解答：解：（1）对于函数f（x）=Acos（+），x∈R，由f（）=Acos=A=，可得A=2．（2）由于α，β∈[0，]，f（4α+π）=2cos（+）=2cos（α+）=﹣2sinα=﹣，∴sinα=，∴cosα==．又f（4β﹣π）=2cos（+）=2cosβ=，∴cosβ=，∴sinβ==．∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=×﹣×=．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式的应用，属于基础题．23．（13分）（xx春•济南校级期中）编号为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：运动员编号A1A2A3A4A5A6A7A8得分15 35 21 28 25 36 18 34运动员编号A9A10A11A12A13A14A15A16得分17 26 25 33 22 12 31 38（Ⅰ）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；区间[10，20）[20，30）[30，40]人数（Ⅱ）从得分在区间[20，30）内的运动员中随机抽取2人，A1，A2，…A16（i）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；（ii）求这2人得分之和大于50的概率．考点：频率分布表；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（I）根据已知中编号为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录表，我们易得出得分在对应区间内的人数．（II）（i）根据（I）的结论，我们易列出在区间[20，30）内的运动员中随机抽取2人，所有可能的抽取结果；（ii）列出这2人得分之和大于50分的基本事件的个数，代入古典概型公式即可得到这2人得分之和大于50分的概率解答：解：（I）由已知中编号为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录表易得：得分在区间[10，20）上的共4人，在区间[20，30）上的共6人，在区间[30，40]上的共6人，故答案为4，6，6；（II）（i）得分在区间[20，30）上的共6人，编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13，从中随机抽取2人，计为（X，Y），则所有可能的抽取结果有：（A3，A4），（A3，A5），（A3，A10），（A3，A11），（A3，A13），（A4，A5），（A4，A10），（A4，A11），（A4，A13），（A5，A10），（A5，A11），（A5，A13），（A10，A11），（A10，A13），（A11，A13）共15种．（ii）从得分在区间[20，30）内的运动员中随机抽取2人，这2人的得分之和大于50分的基本事件有：（A4，A5），（A4，A10），（A4，A11），（A5，A10），（A10，A11）共5种故这2人得分之和大于50分的概率P==．点评：本题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件烽、古典概型及其概率计算公式等基础知识，考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力．24．（13分）（xx春•济南校级期中）已知函数f（x）=．（1）求f（x）的定义域；（2）若角α是第四象限角，且cosα=，求f（α）．考点：运用诱导公式化简求值；任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：（1）由函数的解析式可得sin（x+）≠0，可得x+≠kπ，k∈z，由此求得x的范围，可得函数的定义域．（2）由条件利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式求得sin2α和cos2α的值，再利用两角差的余弦公式求得f（α）的值．解答：解：（1）对于函数f（x）=，显然，sin（x+）≠0，∴x+≠kπ，k∈z，求得x≠kπ﹣，k∈z，故函数的定义域为[x|x≠kπ﹣，k∈z }．（2）∵角α是第四象限角，且cosα=，∴sinα=﹣，∴sin2α=2sinαcosα=﹣，cos2α=2cos2α﹣1=﹣，则f（α）=====﹣．点评：本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，同角三角函数的基本关系、两角差的余弦公式，属于基础题．F 34677 8775 蝵22260 56F4 围26109 65FD 旽mHRc^23430 5B86 宆39589 9AA5 骥30212 7604 瘄。
2021年高一下学期期中考试数学试卷+答案
2020－2021学年度第二学期高一年级期中检测时间：120分钟 总分：150分注意事项：2021.41．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上并检查试卷.2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．保持卡面清洁，不折叠，不破损． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. 设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( )A ．a ＋b <ab <0B ．ab <a ＋b <0C ．a ＋b <0<abD ．ab <0<a ＋b2. 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，若y ≥k (x ＋1)－1恒成立，那么k 的取值范围是( )A. ⎣⎡⎦⎤12，3B. ⎝⎛⎦⎤－∞，43C. [3，＋∞)D. ⎝⎛⎦⎤－∞，12 3. 在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若A ＝120°，a ＝1，则2b ＋3c 的最大值为( )A ．3 B. 2213 C ．3 2 D. 3524. 素数也叫质数，法国数学家马林·梅森是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“2n －1”形式（n 是素数）的素数称为梅森素数．已知第20个梅森素数为P ＝24423－1，第19个梅森素数为Q ＝24253－1，则下列各数中与P Q最接近的数为（参考数据：lg 2≈0.3）( )A ．1045B ．1051C ．1056D ．10595. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，b cos A ＝c －12a ，点D 在AC 上，2AD ＝DC ，BD ＝2，则△ABC 的面积的最大值为( ) A. 332B. 3 C ．4 D ．6 6. 欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x （i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，e πie π4i 表示的复数在复平面中位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7. 如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则( )A ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线8. 定义在R 上的偶函数f (x )对任意实数都有f (2－x )＝f (x ＋2)，且当x ∈(－1，3]时，f (x )＝⎩⎨⎧ 1－x 2，x ∈(－1，1]，1－|x －2|，x ∈(1，3]，则函数g (x )＝5f (x )－|x |的零点个数为( ) A ．5 B ．6 C ．10 D ．12二、多项选择题：本大题共4题，每小题5分，共20分.9. 正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系。
山东省聊城市2021年高一下学期《数学》期中试卷与参考答案
山东省聊城市2021年高一下学期《数学》期中试卷与参考答案一、单项选择题本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项只有一项符合题目要求的。
1.已知是两条异面直线是两条垂直直线，那么的位置关系是（ ）A.平行或相交B.异面或平行C.异面或相交D.平行或异面或相交2.在中,则（ ）A. B.C.6D.53.已知三角形是边长为4的等边三角形；为的中点，点在边AC 上；且设与交于点，当变化时，，则下列说法正确的是（ ）A. 随的增大而增大B. 为定值C. 随的增大而减少D. 先随的增大而增大后随的增大而减少4如图，已知等腰三角形是一个平面图形的直观图，,斜边,则这个平面图形的面积是( ),a b ,b c ,a c ABC ∆60,28,sin 6sin C a b A B ︒∠=+==c =ABC D BC E ()01AE AC λλ=<< AD BE P λm BP BC =⋅ m λm m λm λλO A B '''O A A B ''''=2O B ''=A. B. 1D. 5.若则是的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6已知点为所在平面内一点；若动点满足则过的（ ）A. 外心B. 内心C.重心D.垂心7.下列说法正确的有（ ）两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；经过球面上不同的两点只能作一个大圆；各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；圆锥的轴截面是等腰三角形.A.1个B.2个C.3个D.4个8.在中,则为（ ）A.直角三角形 B.三边均不相等的三角形C.等边三角形 D.等腰非等边三角形二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9.已知复数),则（ ）()2121(4),33z m m m i z i =+++-=-1m =12z z =O ABC ∆P ()()0OP OA AB AC λλ=++≥ P ABC ∆ABC ∆10,2BA AC AC BC BC BA BC BCBC BA ⋅⋅⋅+==⋅ ABC ∆z (,)x yi x y R =+∈A.B.的虚部是C.若,则D.10.如图所示，在正方体中，为的中点，直线交平面于点,则下列结论正确的是（ ）A.三点共线：B.四点共面C.四点共面D.四点共面11.在中，分别为角的对边，已知且则（ ）A. B.C. D.12已知是平面上夹角为-的两个单位向量，向量在该平面上，且下列结论中正确的有（ ）A. B.C.D.c的夹角是钝角2z 0≥z yi 12z i =+1,2x y ==x =1111ABCD A B C D -O DB 1A C 1C BD M 1,,C M O 1,,,C M O C 1,,,C M O A 1,,,D D M O ABC ∆,,a b c ,,A B C cos ,cos 2ABC B b S C a c ∆==-3b =1cos 2B =cos B =a c +=a c +=,a b 23πc ()()0a c b c -⋅-= 1a b += a b -= c < ,a b c +三、填空题13.已知复数，则_________________;14.已知的面积为，则_____________;15.已知向量，若,则的最小值为___________;16.已知半径为的球放在房屋的墙角处，球与围成墙角的三个两两互相垂直的面都相切，若则球的体积是_____________________.四、解答题（本大题共6小题；共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.(本小题满分10分）在①,②,三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答：(1)求;(2)若,则求18.(本小题满分12分）如图，圆锥的底面直径和高均是,过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，(1)求圆柱的表面积；(2)求圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积.12z i =+z z ⋅= ABC ∆2,3AB B π=∠=sin sin B C =()(),1,4,2,0,0a m b n m n ==->> //a b 18m n+R sin cos a C A =222b c a bc +-=cos 1A A -=A 2a =ABC ∆,b cPO a PO O '19.(本小题满分12分）已知三角形中，三边长为，满足.(1)若,求三个内角中最大角的度数；（2)若,且,求的面积20.本小题满分12分）已知的顶点坐标为,点的横坐标为4,且,是边上一点，且(1)求实数的值与点的坐标；(2)求点的横坐标与纵坐标之和.21.本小题满分12分）图，在扇形中，,半径为弧上一点.(1)若求的值;(2)求的最小值;22.(本小题满分12分）平面直角坐标素中，为坐标原点，已知向量,又点(1)若,且(2)若向量与向量共线，常数,求的值域.ABC ∆,,a b c 2b a c =+sin :sin 3:5A B =1b =22()BA BC b a c ⋅=-- ABC ∆OAB ∆()()()0,0,2,9,6,3O A B -P OP PB λ= Q ABOQ AP ⋅= λP Q OAB 120AOB ︒∠=1,OA OB P ==AB OA OB ⊥PA PB ⋅ PA PB ⋅ O ()1,2a =- ()()()8,0,,1,sin ,,A B n C k t Rθθ∈AB a ⊥ AB = OBAC a 0k >()sin f t θθ=参考答案一、单项选择题1.D2.B3.B4.A5.C6.C7.A 8 .D二、多项选择题9.CD 10.ABC 11.AD 12.ABC三填空题-四、解答题17.解：若选①(1).即(2)由余弦定理：即,解得94,23πsin cos a C A =sin sin cos A C C A∴=sin A A∴=tan A ∴=3A π∴=112,sin sin 223a S bc A bc π==== 4bc ∴=2222cos a b c bc A=+-228b c =+2b c ==若选②(1)由余弦定理，（2）由余弦定理： 解得：若选③(1)(2)由余弦定理：解得：18.解：(1)设圆锥底面半径为,圆柱底面半径为，因为过的中点作平行干底面的截面,以该截面为底面挖去一个圆柱可得;且圆柱母线长圆锥母线长,所以圆柱的表面积为：222b c a bc+-= 1cos 23A A π=∴=12,sin 2a S bc A === 228b c +=2b c ==cos 1A A -=1sin 62A π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭5,666A πππ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3A π∴=112,sin sin 223a S bc A bc π==== 4bc ∴=228b c +=2b c ==r r 'PO O 'ar=,24ar '=2a l '=l ==2225222244296a a a S r r l a πππππ⎛⎫'''=+=⋅+⋅⋅= ⎪⎝⎭(2)剩下几何体的体积19.解：(1)因为满足又所以设,则最大角为,由得(2)又由,得，所以三角形的面积为20.解：(1)设,则,由得,解得,所以点22215396V r OP r OO a πππ'=⋅-⋅=,,a b c 2b a c=+sin :sin =3:5A B :3:5a b =3,5,7a k b k c k ===C 2221cos 22a b c C ab +-==-120C ︒=()22BA BC b a c ⋅=-- ()22cos ac B b a c =--2222cos b a c ac B=+- cos 2cos 2ac B ac B ac∴=-+2cos ,sin 3B B ∴==1,2b a c =+= ()22cos ac B b a c =--910ac ∴=1sin 2ac B =()4,P y ()4,OP y = ()2,3PB y =- OP PB λ=()()4,2,3y y λ=-2,2y λ==-()4,2P -(2)设;则由（1)得,①点在边上，所以又即.②.联立①②，解得21.解：(1)当时，如图所示.因为,所以,所以在中，由余弦定理，得因为所以又所以(),Qa b (),OQa b = ()2,11AP =- 0OQ AP ⋅=2110ab ∴-=Q AB//AQ AB()()4,12,2,9AB AQ a b =-=-- ()4912(2)0b a ∴-+-=3150a b +-=33639,,777a b a b ==+=OA OP ⊥120AOB ︒∠=30POB ︒∠=180301202OPB ︒︒︒-∠==7545120APB ︒︒︒∠=+=POB ∆2222cos PB OB PO OP OB POB =+-⋅∠1122=+-=22PB =PB = PA = cos PA PB PA PB APB APB ⋅=⋅∠=∠=（2）以为原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系；则因为,所以设,其中则，，所以当时，即时取得最小值;22.解：(1) ,且O OA x ()1,0A 120,1AOB OB ︒∠==12B ⎛-⎝()cos ,sin P αα2[0,]3πα∈()11cos ,sin cos 2PA PB αααα⎛⎫⋅=--⋅-⎪ ⎪⎝⎭221cos cos sin 2αααα=-++()1sin 302α︒=+2[0,]3πα∈ 5[,]666πππα∴+∈1sin [,1]62πα⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭62ππα+=3πα=12-()8,AB n t =- AB a ⊥ AB =11解得当时，;当时，所以向量)或(2) ,向量与向量共线，常数①当即时，当时取得最大值时，取得最小值,此时函数的值域为,②当即时，当时，取得最大值,此时函数的值域是综上所述，当时f(8)的值域为当时值域为.()82n t ∴--+==8t =±8t =24n =8t =-8n =-()24,8OB = ()8,8OB =-- ()sin 8,AC k t θ=- AC a 0k >2sin 16t k θ∴=-+()22432sin 2sin 16sin 2sin f t k k k kθθθθθ⎛⎫==-+=--+ ⎪⎝⎭401k <<4k >4sin k θ=()sin f t θθ=32ksin 1θ=-()sin f t θθ=216k --()sin f t θθ=32[216,k k --41k ≥04k <≤sin 1θ=()sin f t θθ=216k --()sin f t θθ=[216,216]k k ----4k >32[216,]k k --04k <≤[216,216]k k ----。
山东省青岛市第二中学2021-2022高一数学下学期期中试题(含解析)
山东省青岛市第二中学2021-2022高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题 1.下列命题正确的是 A. 若 a ＞b,则a 2＞b 2B. 若a ＞b ，则 ac ＞bcC. 若a ＞b ，则a 3＞b 3D. 若a>b ，则1a ＜1b【答案】C 【解析】对于A ，若1a =，1b =-，则A 不成立；对于B ，若0c，则B 不成立；对于C ，若a b >，则33a b >，则C 正确；对于D ，2a =，1b =-，则D 不成立. 故选C2.设直线,a b 是空间中两条不同的直线，平面,αβ是空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A. 若a ∥α，b ∥α，则a ∥bB. 若a ∥b ，b ∥α，则a ∥αC. 若a ∥α，α∥β，则a ∥βD. 若α∥β，a α⊂，则a ∥β【答案】D 【解析】 【分析】利用空间直线和平面的位置关系对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】A. 若a ∥α，b ∥α，则a 与b 平行或异面或相交，所以该选项不正确； B. 若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α或a α⊂，所以该选项不正确； C. 若a ∥α，α∥β，则a ∥β或a β⊂，所以该选项不正确； D. 若α∥β，a α⊂，则a ∥β，所以该选项正确. 故选：D【点睛】本题主要考查空间直线平面位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3..以斜边所在直线为旋转迪，将该直角三角形旋转一周所得几何的体积是（ ）A.3πB.23πC. πD.43π【答案】B【解析】【分析】画出图形，根据圆锥的体积公式直接计算即可．【详解】如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体．由题得等腰直角三角形的斜边上的高为1.所以2112233V S h R hπ=⨯⋅=⨯⋅2122(1)133ππ=⨯⨯⨯=．故选：B．【点睛】本题主要考查圆锥的体积公式，考查空间想象能力以及计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．4.ABC∆的三个内角,,A B C的对边分别是,,a b c.已知23b=6Bπ=，6c=，则A=（）A.6πB.2πC.6π或2πD.3π或2π【答案】C【解析】【分析】先利用正弦定理求出角C,再求角A得解.2363,sinsin2CC∴=因为c＞b,所以3Cπ=或23π.所以2Aπ=或6π.【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 5.一个等差数列共有13项，奇数项之和为91，则这个数列的中间项为（ ） A. 10 B. 11C. 12D. 13【答案】D 【解析】 【分析】设数列为{}n a ，由题得77=91a 即得解. 【详解】设数列为{}n a ，由题得131113++++=91a a a a ，所以777=91=13a a ∴，. 所以这个数列的中间项为13. 故选：D【点睛】本题主要考查等差数列的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 6.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若a =7b =，4A π=，则ABC ∆的形状可能是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形C. 钝角或锐角三角形D. 锐角、钝角或直角三角形【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理得sin B =>, 求出角B 的范围，再求出角C 的范围得解.【详解】由正弦定理得7sin sin 262B B =∴=>, 因为b a >，4A π=，所以233B ππ<<,且2B π≠,所以7115,12121212A B C ππππ<+<∴<<. 所以三角形是锐角三角形或钝角三角形.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ，且2135n n S n T n +=+，则55a b =（ ） A. 38B.23 C.1116D.1932【答案】D 【解析】 【分析】利用95595599S a a T b b ==即可得解. 【详解】由题得955955929119939532S a a T b b ⨯+====⨯+. 故选：D【点睛】本题主要考查等差数列的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 8.设0a >，0b >，若3是3a 与9b 的等比中项，则12a b+的最小值为（ ） A.92B. 3C.32+ D. 4【答案】A 【解析】 【分析】由题得22a b +=，再利用基本不等式求最值得解. 【详解】因为3是3a 与9b 的等比中项， 所以223393,22aba ba b +=⋅=∴+=.所以12112112122=()2()(2)(5)222a b a b a b a b a b b a+⋅+⋅=⋅+⋅+=++19(522≥⋅+=当且仅当23a b ==时取等 故选：A【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，考查等比中项的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9.已知函数()24f x x mx =++，若()0f x >对任意实数()0,4x ∈恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A. [)4,-+∞ B. ()4,-+∞ C. (],4-∞-D. (),4-∞-【答案】B 【解析】 【分析】由题得4()m x x>-+ 对任意实数()0,4x ∈恒成立，再利用基本不等式求解即可. 【详解】由题得已知函数240x mx ++>对任意实数()0,4x ∈恒成立， 所以4()m x x>-+ 对任意实数()0,4x ∈恒成立，因为4()4x x -+≤-=-（当且仅当x=2时取等） 所以4m >-. 故选：B【点睛】本题主要考查不等式的恒成立问题，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10.若等差数列{}n a 单调递减，24,a a 为函数()2812f x x x =-+两个零点，则数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值时，正整数n 的值为（ ） A. 3 B. 4C. 4或5D. 5或6【答案】C 【解析】 【分析】先求出210n aa n =-+，再得到1456,0,0,,,0n a a a a a >=<，，即得解.【详解】因为等差数列{}n a 单调递减，24,a a 为函数()2812f x x x =-+的两个零点，所以24=6=22,6(2)(2)210n a a d a n n ∴=-∴=+-⨯-=-+，，. 令2+1005n n -≥∴≤，. 所以1456,0,0,,,0n a a a a a >=<，，所以数列前4项或前5项的和最大. 故选：C【点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和的最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11.在《九章算术》中，底面是直角三角形的直棱柱成为“堑堵”.某个“堑堵”的高为2，且该“堑堵”的外接球表面积为12π，则该“堑堵”的表面积的最大值为（ ）A. 4+B. 12+C. 16+D.20+【答案】B 【解析】 【分析】设底面直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c,求出21()2(+)42S a b a b =+++，再利用基本不等式求出a+b 的范围，利用二次函数的图象得解. 【详解】设底面直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c,由题得222221412,1(),=82R R c c a b π=∴==+∴=∴+.由题得该“堑堵”的表面积为2+222+2S ab a b ab a b =++⋅=++因为222221()8,()28,()4,424a b a b a b ab ab a b a b ++=∴+-=∴=+-≤∴+≤.所以21()2(+)42S a b a b =+++令4),a b t t +=<≤21242S t t =++，所以当t=4时，S 最大为12+故选：B【点睛】本题主要考查几何体的外接球问题和基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，数列{}n b 满足()1log 01n n ana b a a +=<<，n T 是数列{}n b 的前n 项和，若11log 2n a n M a +=，则n T 与n M 的大小关系是（ ） A. n n T M ≥ B. n n T M >C. n n T M <D. n n T M ≤【答案】C 【解析】 【分析】先求出2462log ()13521n a nT n =⨯⨯⨯-，log n a M =，再利用数学归纳法证明*1321)242n n N n -⨯⨯⋯⨯∈即得解. 【详解】因为2n S n =，所以11=1,21(2)n n n a a S S n n -=-=-≥适合n=1,所以=21n a n -.所以2log 21n anb n =-， 所以24622462log log log log log ()1352113521n a a a aa n nT n n =+++=⨯⨯⨯--111log =log (21)log 22n a n a a M a n +=+=下面利用数学归纳法证明不等式*1321)242n n N n -⨯⨯⋯⨯<∈ （1）当1n =时，左边12=，右边=<右边，不等式成立， （2）22414n n -<，即2(21)(21)(2)n n n +-<．即212221n nn n -<+，∴<，∴<假设当n k =时，原式成立，即1121232k k -⨯⨯⋯⨯<那么当1n k =+时，即112121212322(1)2(1)1k k k k k k -++⨯⨯⋯⨯⨯=<++即1n k =+时结论成立．根据（1）和（2）可知不等式对任意正整数n 都成立．所以246213521nn ⨯⨯⨯>-因为0＜a ＜1，所以2462log ()log 13521a a nn ⨯⨯⨯<- 所以n n T M <. 故选：C【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查对数的运算和对数函数的性质，考查数学归纳法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 二、填空题13.已知等比数列{}n a 的前n 项和14233n n S t -=⋅-，则t =______. 【答案】2 【解析】 【分析】 求出1423a t =-，2=43n n a t -⋅，解方程1214=2433a t t --=⋅即得解. 【详解】当n=1时，114=23a S t =-， 当n ≥2时，12221=232323(31)43n n n n n n n a S S t t t t ------=⋅-⋅=⋅-=⋅，适合n=1.所以1214=243,23a t t t --=⋅∴=. 故答案为：2【点睛】本题主要考查等比数列通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 14.已知函数1a >，12b >，若实数()()1211a b --=，则2+a b 的最小值为______. 【答案】4 【解析】 【分析】求出1112b a+=，再利用基本不等式求解. 【详解】由题得1122,12ab a b b a=+∴+=，所以1122=(a+2b)()22422a b b a b a ++=++≥+=a b . 当且仅当2,1a b ==时取等. 故答案为：4【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 15.在ABC ∆中，6A π=，A 的角平分线AD 交BC 于点D，若AB =AC =AD =______.【解析】 【分析】先利用余弦定理求出BC AB =，得到4ADB π∠=，再利用正弦定理得解【详解】在△ABC中，由余弦定理得22622,BC BC AB =+-=∴=. 所以263C B ππ==，.所以4ADB π∠=. 在△ABD2AD =∴=.【点睛】本题主要考查正弦余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 16.如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是棱CD 的中点，动点N 在体对角线1A C 上（点N 与点1A ，C 不重合），则平面AMN 可能经过该正方体的顶点是______.（写出满足条件的所有顶点）【答案】11,,A B C 【解析】 【分析】取1CC 中点E ，取11A B 中点F, 1,A C 在平面1AMEB 两侧，1,A C 在平面1AMC F 两侧，分析即得解. 【详解】见上面左图，取1CC 中点E ，因为ME 1//AB ,所以A,M,E,1B 四点共面，1,A C 在平面1AMEB 两侧，所以1A C 和平面1AMEB 交于点N,此时平面AMN 过点A, 1B ;见上面右图，取11A B 中点F,因为1//AF C M ,所以1,,,A F C M 四点共面，1,A C 在平面1AMC F 两侧，所以1A C 和平面1AMC F 交于点N,此时平面AMN 过点A, 1C ;综上，平面AMN 可能经过该正方体的顶点是11,,A B C . 故答案为：11,,A B C【点睛】本题主要考查棱柱的几何特征和共面定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题17.证明：对任意实数()3,x ∈-+∞<.【答案】证明见解析 【解析】 【分析】利用分析法证明即可.【详解】要证明对任意实数()3,x ∈-+∞，恒成立，<只需证明2929x x ++++， 只需证明22+918920x x x x +<++， 只需证明1820<， 而1820<显然成立，所以对任意实数()3,x ∈-+∞<.所以原题得证.【点睛】本题主要考查分析法证明不等式，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 18.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且()sin 2sin 0c B b A B ++=. （Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）若7b =，ABC ∆的面积为4，求a c +. 【答案】（Ⅰ）2;3B π=（Ⅱ）8. 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简()sin 2sin 0c B b A B ++=即得角B 的大小；（Ⅱ）先求出ac=15,再利用余弦定理求出a+c 的大小即得解.【详解】（Ⅰ）由题得sin 2sin 0,2sin sin cos sin sin 0c B b C C B B B C +=∴+=,因为sin sin 0B C ≠,所以12cos ,0,23B B B ππ=-<<∴=.（Ⅱ）由题得1152a c ac ⨯⨯=∴=. 由222222149=2()()()152a c ac a c ac a c ac a c +-⨯-=++=+-=+-， 所以8a c +=.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()()1110n n nS n S n n +-+++=，且110a =.求数列{}na 的前n 项和.【答案】数列{}n a 的前n 项和2211,6=1160,6n n n n T n n n ⎧-+≤⎨-+>⎩【解析】 【分析】先通过已知求出=212n a n -+，再分类讨论求出数列{}n a 的前n 项和.【详解】由题得()()1110n n nS n S n n +-+++=，所以 ()110n n n nS nS S n n +--++=， 所以()()1110,1n n n n na S n n S na n n ++-++=∴=++.当n ≥2时，111=(1)+2,2n n n n n n n a S S na n a n a a -++-=--∴-=-当n=1时，21212202S S a a -+=∴-=-，. 所以数列{}n a 是一个以10为首项，以-2为公差的等差数列， 所以=10+(n 1)(2)212n a n -⨯-=-+. 所以n ≤6时，0n a ≥，n ＞6时，0n a <. 设数列{}n a 的前n 项和为n T , 当n ≤6时，21(10122)112n n nT a a n n n =++=+-=-+；当n ＞6时，221676666(2122)11602n n n T a a a a n n n -=++---=-+--+-=-+.所以数列{}n a 的前n 项和2211,6=1160,6n n n n T n n n ⎧-+≤⎨-+>⎩.【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查等差数列的前n 项和的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.20.在正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为棱1AA 的中点.问：在棱11A D 上是否存在点N ，使得1C N ∥面1B MC ？若存在，请说明点N 的位置；若不存在，请说明理由.【答案】在棱11A D 上存在点N ，使得1C N ∥面1B MC ，N 就是11A D 的中点. 【解析】 【分析】如图，取11A D 的中点N,1DD 的中点E,连接DE,1EC .证明平面1NEC //平面1B MC 即得解.【详解】如图，取11A D 的中点N,1DD 的中点E,连接DE,1EC .由题得1//NE B C ,因为NE ⊄平面1B MC ，1B C ⊂平面1B MC ， 所以NE //平面1B MC .由题得111//,C E MB C E ⊄平面1B MC ,1MB ⊂平面1B MC ,所以1//C E 平面1B MC . 因为11,,NEC E E NE C E =⊂平面1NEC ,所以平面1NEC //平面1B MC ， 因为1C N ⊂平面1NEC , 所以1C N //平面1B MC .所以在棱11A D 上存在点N ，使得1C N ∥面1B MC ，N 就是11A D 的中点.【点睛】本题主要考查直线平面位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 21.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，当2n ≥时，1122n n n S S S +-++=，且10S =，24a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）等比数列{}n b 满足22331b a b a ==，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T . 【答案】（Ⅰ）=44n a n -;（Ⅱ）214(1)()2n n T n -=-+.【解析】 【分析】（Ⅰ）根据1122n n n S S S +-++=得到数列{}n a 是一个以0为首项，以4为公差的等差数列，即得数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）利用错位相减求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T . 【详解】（Ⅰ）由题得2n ≥时，111124,4n n n n n n n S S S S S S S +-+-+=+∴--+=，+14n n a a ∴-=，因为10S =，24a =.所以数列{}n a 是一个以0为首项，以4为公差的等差数列. 所以=44n a n -.（Ⅱ）因为22331b a b a ==，所以1111,,()222n n b q b ==∴=. 所以211=(4n 4)()(1)()22nn n n a b n -⋅-=-.所以01221111=0+1()2()3()(1)()2222n n T n -⨯+⨯+⨯++-⨯，123111111=0+1()2()3()(1)()22222n n T n -⨯+⨯+⨯++-⨯两式相减得122111111=1+1()1()+()(1)()22222n n n T n --⨯+⨯+--⨯， 所以2111[1()]1122=1+(1)()12212n n n T n -----⨯-， 所以214(1)()2n n T n -=-+.【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.22.已知数列{}n a 的前n 项和n S 1=，且11a =.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=，且数列{}n b 的前n 项和n T 满足262n T t t <-对任意正整数n 恒成立，求实数t 的取值范围；（Ⅲ）设134nn n c a +⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，问：是否存在正整数m ，使得m n c c ≥对一切正整数n 恒成立？若存在，请求出实数m 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）21n an =-；（Ⅱ）3t ≥或1t ≤-；（Ⅲ）m=3时，使得m n cc ≥对一切正整数n 恒成立. 【解析】【详解】1=，所以数列是一个以1为首项，以1为公差的等差数列，21),n n S n -=∴=.当n ≥2时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，适合n=1.所以21n a n =-. （Ⅱ）1111()(21)(21)22121n b n n n n ==--+-+，所以1111111111()(1)2133521212212n T n n n =-+-++-=-<-++， 所以216232t t t ⨯≤-∴≥，或1t ≤-. （Ⅲ）3(21)4nn c n ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭, 所以1+133352(23)(21)4444n n nn n n c c n n +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⋅+-⋅+=⋅⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.所以n ≤2时，+13210n n c c c c c ->∴>>，. n ＞2时，+13450n n c c c c c -<∴>>>，所以m=3时，使得m n c c ≥对一切正整数n 恒成立【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查裂项相消法求和，考查数列的单调性和最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.23.在数列{}n a 中，12a =，26a =.当2n ≥时，1122n n n a a a +-+=+.若[]x 表示不超过x 的最大整数，求12320192019201920192019...a a a a ⎡⎤++++⎢⎥⎣⎦的值. 【答案】2021 【解析】 【分析】构造1n n n b a a +=-，推出数列{}n b 是4为首项2为公差的等差数列，求出12n n a a n --=，利用累加法求解数列的通项公式．化简数列的通项公式．利用裂项消项法求解数列的和，然后求解即可．【详解】构造1n n n b a a +=-，则1214b a a =-=， 由题意可得111()()2n n n n n n a a a a b b +-----=-=，(n ≥2). 故数列{}n b 是以4为首项2为公差的等差数列， 故142(1)22n n n b a a n n +=-=+-=+，故214a a -=，326a a -=，438a a -=，⋯，12n n a a n --=以上1n -个式子相加可得1(1)(42)4622n n n a a n -+-=++⋯+=，(1)n a n n =+．所以1111n a n n =-+， ∴12111111111(1)()()122311n a a a n n n ++⋯+=-+-+⋯+-=-++ ∴122019201920192019201920192020a a a ++⋯+=- 则1220192019201920191[][2018]20182020a a a ++⋯+=+=． 【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。
2021年高一下学期期中检测数学试题 Word版含答案
注意事项：1．答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．一、填空题（本大题共14题，每题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1. 等差数列的通项公式是，则此数列的公差为▲ .2. = ▲ .3. 等比数列中，则此数列的公比是▲.4. 在△ABC中，已知，则等于▲.5. 若数列是等比数列，且则= ▲.6. 已知为等差数列的前项和，若，则的值为▲.7. 在△ABC中，已知，则△ABC的面积等于▲.8. 已知，则= ▲.9. 某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，这个剧场共有▲个座位.10. △ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足，则角C＝▲.11. 已知是各项都为正数的等比数列，是其前项和，若,则▲.12. 已知，则= ▲.13. 下列说法：①设都是锐角，则必有②在中，若, 则为锐角三角形．③在中，若, 则；则其中正确命题的序号是▲.14. 已知数列满足，，，类比课本中推导等比数列前项和公式的方法，可求得= ▲.二、解答题：（本大题共6题计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）已知均为锐角，且，．（1）求的值；（2）求的值．16．（本题满分14分）已知数列是首项为1的等差数列，数列是等比数列，设，且数列的前三项分别为3,6,11（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前10项和；17．（本题满分15分）已知71tan ,21)tan(),,0(,-==-∈ββαπβα且 （1）计算、的值（2）求的值．18．（本题满分15分）为了测量河对岸两点A,B 之间的距离，在河岸的这一边取相距的C,D 两点，并测得ACB=75，BCD=45，ADC=30，ADB=45，设A ，B ，C ，D 在同一个平面内，试求A,B 两点之间的距离A B DC19.(本题满分16分) 若已知数列是首项为，公差为6的等差数列；数列 的前n 项和为.（1）求数列和的通项公式；（2）若数列是等比数列. 试证明：对于任意的，均存在正整数，使得，并求数列的前n 项和.20．(本题满分16分) 已知数列，满足⑴若数列是等差数列，求证是等比数列； ⑵若数列的前项和为①设对于任意的正整数，恒有)1211()1211)(1211)(1211(1321-+-+-+-+>n n b b b b a λ 成立，试求实数的取值范围.②若数列满足，问数列中是否存在不同的三项成等比数列？如果存在，请求出这三项；如果不存在，请说明理由.宝应中学高一数学期中参考答案与评分标准一、填空题（每题5分，共70分）1.-1；2.；3.-2；4. ；5. 3；6. 81；7. ； 8. ； 9. 820； 10. ； 11. 1612.； 13.①； 14.二、解答题：（本大题共6题,计90分）15.解：（1）∵，从而．……………………2分又, ∴ …………………………4分∴, ∴ ………………………………7分（2）∵为锐角，，∴． ……………………………………8分∴cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=-+- …………12分==． ……………14分注：其他解法，请相应给分。