圆锥曲线定义的应用

圆锥曲线定义的应用

高三复习备考后期提倡回归课本，抓住课本基本知识点，利用它解决有关数学问题，已是高考经常出现的题型。圆锥曲线的定义的应用在高考题每年必考。现将与圆锥曲线定义有关的题型总结如下：

一、利用定义求曲线方程

例1:[2008年湖北]如图，在以o为圆心，|ab|=4为直径的半圆adb中，od⊥ab，p是半圆弧上一点，∠pob=30°，曲线c是满足||ma|-|mb||为定值的动点m的轨迹，且曲线c过点p。

(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线c的方程。

解析：以o为原点，ab、od所在直线为x轴，y轴建平面直角坐标系，则a（-2，0），b（2，0），d（0，2），p（，1）。

∵点p在曲线c上，∴||ma|-|mb||=|pa|-|pb|＜|ab|=4

∴由双曲线定义知：曲线c是a、b为焦点的双曲线

设双曲线方程为：-=1（a＞0,b＞0）

则由得∴曲线c的方程为

评注：此题主要考查双曲线的第一定义。

练习一：1、已知：双曲线过a（-2，4）和b（4，4），它的一个焦点为f（1，0），则它的另一个焦点轨迹方程是：_________。

2、动圆过定点(-4,0)与圆（x-4）2+y2=16相外切，则动圆的圆心的轨迹方程是：_________。

3、在平面直角坐标系中，若方程m（x2+y2+2y+1）=（x-2y+3）

2表示的曲线为椭圆，则实数m的取值范围是（）

a（0，1） b（1，+∞） c（0，5） d（5，+∞）

二、利用定义求圆锥曲线的离心率

例2[2009全国ⅱ]已知双曲线c：-=1（a＞0，b＞0）的右焦点为f，过f且斜率为的直线交曲线c于a、b两点，若=4，则曲线c 的离心率为（）

a、 b、 c、 d、

解析：设双曲线的右准线为l，过a、b分别作的垂线，垂足是a＇b＇，得直角梯形aa＇b＇b，∵=4，∴||=4||，记||=m＞0，则||=4m。

由双曲线第二定义知：|aa＇|=，|bb＇|=，∵直线ab的斜率为，∴∠a=，∴cosa=== ∴e=

评注：此题主要考查了双曲线第二定义，利用平面几何知识解决问题，突出数形结构思想，转化思想的应用。

练习二：1、已知双曲线-=1的左、右焦点分别为f1、f2，左准线为l，在双曲线左半支上存在点p，使|pf1|是p到l的距离d和|pf2|的比例中项，则离心率e的取值范围为（）

a、[+1，+∞）

b、[1，+1）

c、（1，+1]

d、[+1，+∞）

2、已知f1、f2是椭圆c的两个焦点，p为椭圆上一点，且p到一条准线的距离是|pf1|、|pf2|的等差中项，则椭圆c的离心率e 的取值范围为_________。

3、[08年湖南]若双曲线-=1（a＞0,b＞0）上横坐标为的点到右

焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围为（）

a（1，2） b、（2，+∞） c（1，5） d（5，+∞）

4、[2009年江西卷]过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点作x轴的垂线交椭圆于点p，f2为右焦点，若∠f1pf2=600，则椭圆的离心率为（）

a、 b、 c、 d、

三、利用定义求值（最值）

例3、已知f是椭圆+=1的左焦点，p是此椭圆的动点，a（1，1）是一定点。

（1）求+的最小值，求点p的坐标。

（2）求+的最大值和最小值。

解析：e=，过点p作pq垂直于左准线于q，由椭圆第二定义知：e==,则=所以+=+

故当a、p、q三点共线时，+最小，最小值为+1=，此时，p（-，1）。

（2）设点f1为椭圆右焦点，由椭圆第一定义知：+=6

所以，+=+6-=6+(-)

由三角形边的不等关系和绝对值不等式性质知:

-≤||-|pf1|≤|af1|（当p、a、f共线

时等号成立）

∴-+≤6+，+≥6-

点评：（1）考查椭圆第二定义，利用数形结合思想，转化为三点共线求最值。

（2）考查椭圆第一定义，利用数形结合思想，转化为三点共线求最值。

练习三1、[2009辽宁卷]已知f是双曲线-=1的左焦点a（1，4），p是双曲线右支上的动点，则+的最小值为

2、[2009年四川卷]已知直线l1：4x-3y+6=0和直线l2：x=-1，抛物线y2=4x上一动点p到直线l1和直线l2的距离之和最小值为（）

a、2

b、3

c、

d、

3、[2008年天津卷]设椭圆+=1（m＞1）上一点p到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则p到右准线的距离为（）

a、6

b、2

c、

d、

4、[2008年四川卷]已知抛物线c：y2=8x的焦点为f，准线与x 轴的交点为k，点a在c上且=,则△afk的面积为（）

a、4

b、8

c、16

d、32

5、[2008辽宁卷]已知点p是抛物线y2=2x上的一个动点，则点p到（0，2）的距离与p到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）

a、b、3 c、d、

答案:练习一:1、+=1或=1（y≠0，8）2、-=1（≤2） 3、d

练习二：1、c 2、[，1） 3、b 4、b

练习三：1、9 2、a 3、b 4、b 5、a

通过以上例题的学习和习题的训练，能深入地理解圆锥曲线的定义的实质，对有关知识能融会贯通，正确解决有关数学问题。