河南省六市2020届高三第一次模拟调研试题4月数学文Word版含答案
2020年河南省六市高三第一次模拟调研试题
文科数学（含答案）
注意事项：
1.本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，满分150分。
考试用时120分钟。
2.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上。
3.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
4.第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
第I 卷 选择题(共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有，一项是符合题目要求的。
1.若复数z 满足(1＋i)z ＝1＋2i ，则|z|＝
A.22
B.32
C.102
D.12
2.集合M ＝{y|y ＝24x -，x ∈Z}的真子集的个数为
A.7
B.8
C.31
D.32
3.五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系。
若从五类元素中任选两类元素，则两类元素相生的概率为
A.
15 B.14 C.13 D.12
4.已知f(x)＝(cos θ)x ，θ∈(0，2π)，设a ＝f(12log 7)，b ＝f(log 43)，c ＝f(log 165)，则a ，b ，c 的大小关系是
A.a>c>b
B.c>a>b
C.b>a>c
D.c>b>a
5.已知cos(
2π＋α)＝35，且a ∈(2
π，32π)，则tan α＝ A.43 B.34 C.－34 D.±34
6.设函数f(x)＝1ln 1x x x +-，则函数的图像可能为
7.已知某超市2019年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：
根据该折线图可知，下列说法错误的是
A.该超市2019年的12个月中的7月份的收益最高
B.该超市2019年的12个月中的4月份的收益最低
C.该超市2019年7至12月份的总收益比2019年1至6月份的总收益增长了90万元
D.该超市2019年1至6月份的总收益低于2019年7至12月份的总收益
8.已知向量a ，b 满足|a ＋b|＝|a －b|，且|a|3|b|＝1，则向量b 与a －b 的夹角为
A.3π
B.23π
C.6
π D.56π 9.程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用。
卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个，问该若干?”如图是解决该问题的程序框图执行该程序框图，求得该垛果子的总数S 为
A.84
B.56
C.35
D.28
10.已知点M 是抛物线x 2＝4y 上的一动点，F 为抛物线的焦点，A 是圆C ：(x －1)2＋(y －4)2＝1上一动点，则|MA|＋|MF|的最小值为
A.3
B.4
C.5
D.6
11.设锐角△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的边长分别为a ，b ，c ，且b ＝2，A ＝2B ，则a 的取值范围为
2，3) B.(2，3) 2，4) D.(0，4)
12.设F 1，F 2分别为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点，过点F 1作圆x 2＋y 2＝b 2
的切线与双曲线的左支交于点P ，若|PF 2|＝2|PF 1|，则双曲线的离心率为
A.2 3 5 6
第II 卷 非选择题(共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.曲线y ＝xsinx 在点(π，0)处的切线方程为 。
14.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63。
则a 1＝ 。
15.已知函数f(x)3ωx ＋cos ωx(ω>0)，当|f(m)－f(n)|＝4时，|m －n|的最小值为3
π，若将函数f(x)的图象向右平移φ(φ>0)个单位后所得函数图像关于y 轴对称，则φ的最小值为 。
16.在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝3。
底面三边长分别为3、5、7，P 是上底面A 1B 1C 1所在平面内的动点，若三棱锥P －ABC 的外接球表面积为
2443
π，则满足题意的动点P 的轨迹对应图形的面积为 。
三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：60分
17.(本小题满分12分)
党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一。
为坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为帮助定点扶贫村脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，此帮扶单位考察了甲、乙两种不同的农产品加工生产方式，现对两种生产方式的产品质量进行对比，其质量按测试指标可划分为：指标在区间[80，100]的为优等品；指标在区间[60，80)的为合格品，现分别从甲、乙两种不同加工方式生产的农产品中，各自随机抽取100件作为样本进行检测，测试指标结果的频数分布表如下：
甲种生产方式：
(1)在用甲种方式生产的产品中，按合格品与优等品采用分层抽样方式，随机抽出5件产品，
①求这5件产品中，优等品和合格品各有多少件；②再从这5件产品中，随机抽出2件，求这2件中恰有1件是优等品的概率；
(2)所加工生产的农产品，若是优等品每件可售55元，若是合格品每件可售25元甲种生产方式每生产一件产品的成本为15元，乙种生产方式每生产一件产品的成本为20元用样本估计总体比较在甲、乙两种不同生产方式下，该扶贫单位应选择哪种生产方式来帮助该扶贫村脱贫?
18.(本小题满分12分)
已知等差数列{a n}的公差d>0，其前n项和为S n，且S5＝20，a3，a5，a8成等比数列。
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)令b n＝
1
1
n n
n
a a
+
+
⋅
，求数列{b n}的前n项和T n。
19.(本小题满分12分)
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面4BCD为正方形，△PAD为等边三角形，中面PAD⊥平
面PCD 。
(1)证明：平面PAD ⊥平面ABCD ；
(2)若AB ＝2，Q 为线段PB 的中点，求三棱锥Q －PCD 的体积。
20.(本小题满分12分)
设椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左，右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e ，动点P(x 0，y 0)在椭圆C 上运动，当PF 2⊥x 轴时，x 0＝1，y 0＝e 。
(1)求椭圆C 的方程；
(2)延长PF 1，PF 2分别交椭圆C 于A ，B(A ，B 不重合)两点，设11AF F P λ=u u u r u u u r ，22BF F P μ=u u u u r u u u u r ，
求λ＋μ的最小值。
21.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝lnx ＋a x
(a ∈R)。
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)令g(a)＝
(5)2a k a --，若对任意的x>0，a>0，恒有f(x)≥g(a)成立，求满足条件的最大整数k 的值。
(二)选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)
心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上
滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名在极坐标系Ox中，方程ρ＝a(1－sinθ)(a>0)表示的曲线C1就是一条心形线，如图，以极轴Ox所在的直线为x轴，极点O为坐标原点的
直角坐标系xOy中，已知曲线C2的参数方程为
13
3
3
x t
y t
⎧=+
⎪
⎨
=+
⎪
⎩
(t为参数)。
(1)求曲线C2的极坐标方程；
(2)若曲线C1与C2相交于A、O、B三点，求线段AB的长。
23.[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)
已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|，a∈R。
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥7的解集；
(2)若f(x)≤|x－4|＋|x＋2a|的解集包含[0，2]，求a的取值范围。
- 11 -。
2020年河南省高考数学模拟试卷(文科)(4月份) (含答案解析)
2020年河南省高考数学模拟试卷(文科)(4月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈Z|−2⩽x<3},B={0,2,4}，则A∩B=()A. {0,2,4}B. {0,2}C. {0,1,2}D. ϕ2.复数z满足z(3−4i)=1(i是虚数单位)，则|z|=()A. √55B. √525C. 125D. 153.CPI是居民消费价格指数(consumerpriceindex)的简称．居民消费价格指数，是一个反映居民家庭一般所购买的消费品价格水平变动情况的宏观经济指标．右图是根据统计局发布的2018年1月−7月的CPI同比增长与环比增长涨跌幅数据绘制的折线图．(注：2018年2月与2017年2月相比较，叫同比；2018年2月与2018年1月相比较，叫环比)根据该折线图，则下列结论错误的是()A. 2018年1月−7月CPI有涨有跌B. 2018年2月−7月CPI涨跌波动不大，变化比较平稳C. 2018年1月−7月分别与2017年1月一7月相比较，1月CPI涨幅最大D. 2018年1月−7月分别与2017年1月一7月相比较，CPI有涨有跌4.已知命题p：对∀x∈(−∞,0)，x2019<x2018，则￢p为()A. ∃x0∈[0,+∞)，使得x02019<x02018B. ∀x∈[0,+∞)，使得x2019≥x2018C. ∃x0∈(−∞,0)，使得x02019≥x02018D. ∀x∈(−∞,0)，使得x02019<x020185.已知向量a⃗=(1,−1),b⃗ =(m,2)，若a⃗//b⃗ ，则实数m的值为()A. 0B. 2C. −2D. 2或−26.已知双曲线x2−y2b2=1(b>0)的一条渐近线的方程为y=2x，则b的值等于()A. 12B. 1C. 2D. 47. 已知x 与y 之间的一组数据如右表，根据表中提供的数据求出y 关于x 的线性回归方程为y ̂=0.8x +0.5，那么t 的值为x 2 4 6 8 y345tA. 5B. 6C. 7D. 88. 已知某个三棱锥的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，则这个三棱锥的体积是( )A. 13cm 3B. 23cm 3C. 43cm 3D. 83cm 39. 在区域{x +y −√2≤0x −y +√2≥0y ≥0内任取一点P ，则点P 落在单位圆x 2+y 2=1内的概率为( )A. π8B. π6C. π4D. π210. 函数f(x)=sin(2x +φ)(|φ|<π2)的图象向左平移π6个单位后关于原点对称，则φ等于( )A. π6B. −π6C. π3D. −π311. 有四张卡片，每张卡片有两个面，一个面写有一个数字，另一个面写有一个英文字母．现规定：当卡片的一面为字母P 时，它的另一面必须是数字2.如图，下面的四张卡片的一个面分别写有P ，Q ，2，3，为检验此四张卡片是否有违反规定的写法，则必须翻看的牌是( )A. 第一张，第三张B. 第一张，第四张C. 第二张，第四张D. 第二张，第三张12. 已知f(x)=x 2+ax +3ln x 在(1,+∞)上是增函数，则实数a 的取值范围为( )A. (−∞,−2√6]B. [−2√6,+∞)C. (−∞,√62]D. [−5,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f(x)=(x+1)lnx−4(x−1)在(1,f(1))处的切线方程为______ ．14.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)和椭圆x216+y29=1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为______．15.△ABC中，∠C=90°，点M在边BC上，且满足BC=3BM，若sin∠BAM=15，则sin∠BAC= ______ ．16.A，B，C，D是同一球面上的四个点，△ABC中∠BAC=π2,AB=AC,AD⊥平面ABC，AD=2，BC=√6，则该球的表面积为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等比数列{2a n}的公比为2，且a4+a32=21．(1)求{a n}的通项公式；(2)若a1>0，求数列{1(2a n−1)(2n−1)}的前n项和S n．18.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱BB1⊥底面ABC，D，E分别为BC，CC1的中点，AA1=AC=AB=2，BC=3．(Ⅰ)证明：A1B//平面ADC1；(Ⅱ)求三棱锥E−A1BC的体积．19.某农科站技术员为了解某品种树苗的生长情况，在该批树苗中随机抽取一个容量为100的样本，测量树苗高度(单位：cm).经统计，高度均在区间[20,50]内，将其按[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45)，[45,50]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图，其中高度不低于40cm 的树苗为优质树苗．(1)求频率分布直方图中a的值；(2)已知所抽取的这100棵树苗来自于甲、乙两个地区，部分数据如下2×2列联表所示，将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与地区有关？甲地区乙地区合计优质树苗5非优质树苗25合计附：K2=n(ad−bc)2，其中n=a+b+c+d．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20. 已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)过点M(2√3,√3)且离心率为12．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若椭圆C 上存在三个不同的点A ，B ，P ，满足OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求弦长|AB|的取值范围．21. 已知函数f(x)=x 2+2x ，g(x)=xe x ．(1)求f(x)−g(x)的极值；(2)当x ∈(−2,0)时，f(x)+1≥ag(x)恒成立，求实数a 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =√2ty =t 2(t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsinθ=4，M 为曲线C 2上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM|⋅|OP|=16.(Ⅰ)求点P的轨迹C3的直角坐标方程；(Ⅱ)设C1与C3的交点为A，B，求△AOB的面积．23.已知函数f(x)=|x|+|x−4|．(1)若f(x)≥|m+2|恒成立，求实数m的最大值；(2)记(1)中m的最大值为M，正实数a，b满足a2+b2=M，证明：a+b≥2ab．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查集合的交集运算，属于基础题解：集合A={−2,−1,0,1,2}，B={0,2,4}，所以A∩B={0,2}．故选B．2.答案：D解析：解：复数z满足z(3−4i)=1(i是虚数单位)，可得|z(3−4i)|=1，即|z||3−4i|=1，可得5|z|=1，∴|z|=1，5故选：D．直接通过复数方程两边求模，化简求解即可．本题考查复数的模的求法，基本知识的考查．3.答案：D解析：解：对于A：2018年1月−7月CPI有4，7月涨有2，3，5，6，跌，故A正确；对于B：2018年2月−7月CPI涨跌波动不大，变化比较平稳，涨跌幅均在±0.1，0.2，故B正确；对于C：2018年1月−7月分别与2017年1月一7月相比较，1月涨幅2.5，其值最大，故C正确；对于D：2018年1月−7月分别与2017年1月一7月相比较，CPI全部上涨，故D错误．故选：D．根据同比和环比的概念逐项分析可得．本题考查统计图的应用，属中档题．4.答案：C解析：本题主要考查含有量词的命题的否定，为基础题．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．解：命题命题p：对∀x∈(−∞,0)，x2019<x2018为全称命题，则命题的否定为：∃x0∈(−∞,0)，使得x02019≥x02018，故选：C．5.答案：C解析：解：∵a⃗=(1,−1),b⃗ =(m,2)，且a⃗//b⃗ ，∴1×2−(−1)×m=0，解得m=−2故选：C由向量的平行可得1×2−(−1)×m=0，解方程可得．本题考查平面向量共线的坐标表示，属基础题．6.答案：C解析：本题考查双曲线的渐近线的方程，考查学生的计算能力，比较基础．利用双曲线x2−y2b2=1(b>0)的一条渐近线的方程为y=2x，可得b1=2，即可求出b的值．解：∵双曲线x2−y2b2=1(b>0)的一条渐近线的方程为y=2x，∴b1=2，∴b=2，故选：C．7.答案：B解析：先计算平均数，然后根据线性回归方程恒过样本中心点，即可得到结论，本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，利用线性回归方程恒过样本中心点是解题的关键，属于基础题．解：由题意，x=2+4+6+84=5，y=3+4+5+t4=12+t4，代入线性回归方程ŷ=0.8x+0.5，可得12+t4=0.8×5+0.5，解得t=6．故选B．8.答案：C解析：【试题解析】解：由三视图可得原几何体如图，底面三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，且BD=DC=1，AD=2，面PBC⊥面ABC，PD=2为棱锥的高，所以V P−ABC=13×S△ABC×PD=13×12×2×2×2=43cm3．故选C．俯视图是等腰三角形，且内部有一条实线，该实线是三棱锥的一条侧棱在地面上的垂直投影，所以棱锥顶点在底面的射影为底面三角形一边的中点，结合正视和左视图即可还原得到原图形，底面积可求，高已知，则体积可求．本题考查了由三视图求几何体的体积，解答的关键是由三视图还原得到原几何体，由三视图得原几何体的方法是，先看俯视图，结合正视图和左视图．此题是基础题．9.答案：C解析：解：作出不等式组对应的平面区域如图：则B(−√2,0)，C(√2,0)，A(0,√2)，则△ABC的面积S=12×√2×2√2=2，点P落在单位圆x2+y2=1内的面积S=12×π×12=π2，则由几何概型的概率公式得则点P落在单位圆x2+y2=1内的概率为π22=π4，故选：C．作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，结合几何概型的概率公式即可得到结论．本题主要考查几何概型的概率的计算，利用数形结合求出对应的区域面积是解决本题的关键．10.答案：D解析：本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．由条件根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得π3+φ=kπ，k∈Z，由此根据|φ|<π2求得φ的值．解：函数f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<π2)的图象向左平移π6个单位后，得到函数y=sin[2(x+π6)+φ]=sin(2x+π3+φ)的图象，再根据所得图象关于原点对称，可得π3+φ=kπ，k∈Z，由|φ|<π2得φ=−π3，故选：D．11.答案：B解析：解：由于当牌的一面为字母P时，它的另一面必须写数字2，则必须翻看P是否正确，这样2就不用翻看了，3后面不能是Q，要查3．故为了检验如图的4张牌是否有违反规定的写法，翻看第一张，第四张两张牌就够了．故选：B．由于题意知，一定要翻看P，而3后面不能是Q，要查3．本题考查了归纳推理，注意推理要合乎情理，利用p后面要写2，并没有说2这个数字后面是其他字母违规进而得出是解题关键．12.答案：B解析：本题考查利用导数研究函数的单调性.属于一般题．先对函数进行求导，然后根据二次函数的性质可列不等式，进而求得a的范围．解：由题意得f′(x)=2x+a+3x =2x2+ax+3x≥0在(1,+∞)上恒成立，⇔g(x)=2x2+ax+3≥0在(1,+∞)上恒成立，⇔Δ=a2−24≤0或{−a4≤1, g(1)≥0⇔−2√6≤a≤2√6或a≥−4，综上实数a的取值范围为a≥−2√6．故选B．13.答案：2x+y−2=0解析：解：函数f(x)=(x+1)lnx−4(x−1)的导数为f′(x)=lnx+x+1x−4，可得在(1,f(1))处的切线斜率为k=f′(1)=ln1+2−4=−2，切点为(1,0)，则在(1,f(1))处的切线方程为y−0=−2(x−1)，即为2x+y−2=0．故答案为：2x+y−2=0．求出函数的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线方程．本题考查函数导数的运用：求切线方程，考查导数的几何意义，正确求得导数和运用导数的几何意义是解题的关键，属于基础题．14.答案：x24−y23=1解析：解：由题得，双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦点坐标为(√7,0)，(−√7,0)，c=√7：且双曲线的离心率为2×√74=√72=ca⇒a=2.⇒b2=c2−a2=3，双曲线的方程为x 24−y 23=1．故答案为：x 24−y 23=1．先利用双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)和椭圆有相同的焦点求出c =√7，再利用双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，求出a =2，即可求双曲线的方程．本题是对椭圆与双曲线的综合考查．在做关于椭圆与双曲线离心率的题时，一定要注意椭圆中a 最大，而双曲线中c 最大．15.答案：√155解析：解：设AC =b ，AB =c ，BM =a 3，MC =2a 3，∠MAC =β，在△ABM 中，由正弦定理可得：a3sin∠BAM=csin∠AMB ，代入解得：sin∠AMB =3c5a ，cosβ=cos(π2−∠AMC)=sin∠AMC =sin(π−∠AMC)=sin∠AMB =3c5a ， 在RT △ACM 中，cosβ=AC AM =√(23a)+b ，√(23a)+b =3c5a ，由勾股定理可得a 2+b 2=c 2，化简整理得：(2a 2−3b 2)2=0， a =√62b ，c =√102b ， 在RT △ABC 中，sin∠BAC =a c=√6b2√10b 2=√155． 故答案为：√155．在△ABM 中，由正弦定理可知，sin∠AMB =3c 5a，进而可得cosβ=3c5a ，在RT △ACM 中，还可得cosβ=√(23a)2+b 2，建立等式后可得a =√62b ，c =√102b ，在RT △ABC 中，sin∠BAC =a c=√155． 本题考查正弦定理的应用，涉及三角函数的诱导公式以及勾股定理的应用，属难题．16.答案：10π解析：解：由题意画出几何体的图形如图， 把A 、B 、C 、D 扩展为三棱柱，上下底面中心F 、E 连线的中点O 与A 的距离为球的半径，AD=2，AB=AC=√3，OE=1，△ABC是等腰直角三角形，E是BC中点，AE=12BC=√62，∴球半径AO=√32+1=√52．所求球的表面积S=4π(√52)2=60π．故答案为：10π画出几何体的图形，把A、B、C、D扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，求出半径即可求解球的表面积．本题考查球的表面积的求法，球的内接体问题，考查空间想象能力以及计算能力．17.答案：解：(1)依题意可得：2a n+12a n=2a n+1−a n=2，则a n+1−a n=1，从而数列{a n}是公差为1的等差数列．∵a4+a32=a1+3+(a1+2)2=21，∴a1=2或a1=−7，当a1=2时，a n=n+1，当a1=−7时，a n=n−8.(2)因为a1>0，所以a n=n+1，1(2a n−1)(2n−1)=1(2n+1)(2n−1)=12(12n−1−12n+1)，则S n=12(1−13+13−1 5+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1．解析：本题考查数列的基本运算，等差数列的通项公式以及裂项相消法求和．(1)由等比数列的概念得到{a n}为等差数列，由通项公式求得{a n}的通项；(2)直接对通项裂项，由裂项相消法求和即可．18.答案：(Ⅰ)证明：设A1C与AC1相交于O点，连接OD，则O为A1C的中点，∵D为BC的中点，∴OD是△A1CB的中位线，∴OD//A1B，∵A1B⊄平面ADC1，OD⊂平面ADC1，∴A1B//平面ADC1；(Ⅱ)解：∵AB=AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∵BB1⊥底面ABC，AD⊂平面ABC，∴BB1⊥AD，又BB1∩BC=B，BB1、BC⊂平面BCE，∴AD⊥平面BCE，又AD=√AB2−BD2=√72，S△BCE=12×3×1=32．∴V E−A1BC=V A1−EBC=13S△EBC⋅AD=13×32×√72=√74．解析：本题考查线面平行的判定，考查多面体体积的求法，属于中档题．(Ⅰ)设A1C与AC1相交于O点，连接OD，则O为A1C的中点，由三角形中位线定理可得OD//A1B，再由线面平行的判定可得A1B//平面ADC1；(Ⅱ)由题意得到AD⊥BC和BB1⊥AD，进而证明AD⊥平面BCE.由勾股定理求得AD，再求出三角形BEC的面积，由等体积法求三棱锥E−A1BC的体积．19.答案：解：(1)根据概率的性质可得：(a+3a+0.04+0.07+0.04+a)×5=1，解得a=0.01．(2)2×2列联表如下：K2=100×(5×25−20×50)255×45×25×75，≈16.50>10.828．所以有99.9%的把握认为优质树苗与地区有关．解析：本题考查了独立性检验，属于中档题．(1)根据概率的性质可得：(a +3a +0.04+0.07+0.04+a)×5=1，解得a =0.01； (2)根据列联表计算观测值，根据临界值表可得结论．20.答案：解：(1)由题意知c a =12,(2√3)2a 2+(√3)2b2=1，又因为c 2+b 2=a 2，解得a 2=16，b 2=12．则椭圆标准方程为x 216+y 212=1；(2)因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则由向量加法的意义知四边形OAPB 为平行四边形， 设直线l 过A 、B 两点，①若直线l 垂直于x 轴，易得：P(4,0)，A(2,3)，B(2,−3)或者P(−4,0)，A(−2,3)，B(−2,−3)， 此时|AB|=6，②若直线l 不垂直于x 轴，设l ：y =kx +m(m ≠0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，P(x 0,y 0)， 将直线y =kx +m 代入C 的方程得(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−48=0， 故x 1+x 2=−8km3+4k 2,x 1x 2=4m 2−483+4k 2，因为OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以x 0=x 1+x 2，y 0=y 1+y 2， 则x 0=−8km 3+4k ，y 0=y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =6m 3+4k 2，即P(−8km 3+4k ,6m3+4k )， 因为P 在椭圆上，有(−8km 3+4k 2)216+(6m 3+4k 2)212=1，化简得m 2=3+4k 2，验证，△=64k 2m 2−16(3+4k 2)(m 2−12)=144m 2>0， 所以x 1+x 2=−8km3+4k 2=−8k m,x 1x 2=4m 2−483+4k 2=4m 2−48m 2，所以|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=12√1+k 2|m|=12√1+k 23+4k 2=12√14+14(3+4k 2)，因为3+4k 2≥3，则0<13+4k 2≤13，即14<14+14(3+4k 2)≤13，得6<|AB|≤4√3， 综上可得，弦长|AB|的取值范围为[6,4√3]．解析：(1)根据题意列出关于a ，b ，c 的方程组，解出a ，b ，c 的值，即可求出椭圆的标准方程； (2)由题意可知四边形OAPB 为平行四边形，设直线l 过A 、B 两点，对直线l 的斜率分情况讨论，若直线l 垂直于x 轴此时|AB|=6，若直线l 不垂直于x 轴，设l ：y =kx +m(m ≠0)，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出P(−8km3+4k 2,6m3+4k 2)，代入椭圆方程得到m 2=3+4k 2，再利用弦长公式求出|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=12√1+k 2|m|=12√1+k 23+4k 2=12√14+14(3+4k 2)，因为3+4k 2≥3，则0<13+4k 2≤13，解得6<|AB|≤4√3．本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，是中档题．21.答案：解：(1)令ℎ(x)=f(x)−g(x)，则ℎ′(x)=(x +1)(2−e x )，∴ℎ(x)极小值=ℎ(−1)=1e −1， ∴ℎ(x)极大值=ℎ(ln2)=ln 22；(2)由已知，当x ∈(−2,0)时，x 2+2x +1≥axe x 恒成立 即a ≥x 2+2x+1xe =x+2+x −1e 恒成立，令t(x)=x+2+x −1e x，则t′(x)=−(x 2+1)(x+1)x 2e x，∴当x ∈(−2,−1)时，t′(x)>0，t(x)单调递增， 当x ∈(−1,0)时，t′(x)<0，t(x)单调递减， 故当x ∈(−2,0)时，t(x)max =t(−1)=0，∴a ≥0．解析：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查恒成立问题的等价转化能力及计算能力，属于中档题．(1)令ℎ(x)=f(x)−g(x)，求导数，确定函数的单调性，即可求f(x)−g(x)的极值； (2)当x ∈(−2,0)时，x 2+2x +1≥axe x 恒成立，即a ≥x 2+2x+1xe x=x+2+x −1e x恒成立，求出右边的最大值，即可求实数a 的取值范围．22.答案：解：(Ⅰ)根据题意，设M(ρ0,θ0)，P(ρ,θ)，则|OM|=ρ0，|OP|=ρ，易知ρ≠0．由题意，得{ρρ0=16ρ0sinθ0=4θ=θ0，解得ρ=4sinθ．故轨迹C 3的直角坐标方程为x 2+(y −2)2=4(y ≠0)．(Ⅱ)将参数方程曲线C 1的参数方程为{x =√2ty =t 2(t 为参数)，转化为普通方程为y =x 22．联立{x 2+(y −2)2=4(y ≠0)y =x 22，可得A(2,2)，B(−2,2)．所以|AB|=4，所以S △AOB =12×2×|AB|=4．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，抛物线和圆的位置关系的应用，极径的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用抛物线和圆的位置关系的应用及三角形的面积公式的应用求出结果． 23.答案：解：(1)由已知可得f(x)={−2x +4,x ≤04,0<x <42x −4,x ≥4，所以f min (x)=4，所以只需|m +2|≤4，解得−6≤m ≤2， 所以实数m 的最大值M =2； ( 2)由(1)知a 2+b 2=2， 又a 2+b 2⩾2ab ，∴ab ≤1，∴√ab ≤1 ①,当且仅当a =b 时取等号， 又∵√ab a+b≤12，∴ab a+b ≤√ab2②，当且仅当a =b 时取等号，由①②得aba+b ≤12， 所以a +b ≥2ab ．解析：本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查分析法与综合法的应用，考查逻辑推理能力以及计算能力．(1)求出函数的解析式，然后求解函数的最小值，通过|m +2|≤4，求解m 的范围，得到m 的最大值M ．(2)综合法，利用基本不等式证明即可．。
河南省安阳市2020届高三数学第一次调研考试试题文(含解析)
河南省安阳市2020届高三数学第一次调研考试试题 文（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}|43M x x =-<<，{|N x y =，则M N =I （ ）A. {}|43x x -<<B. {}|23x x -≤<C. {}|42x x -<<-D. {}|23x x -<<【答案】B 【解析】 【分析】先求出函数y =M N ⋂即可。
【详解】∵{}|43M x x =-<<，{{}2||60N x y x x x ===+-≥{}{}2|60|23x x x x x =--≤=-≤≤，∴{}|23M N x x =-≤<I .选B 。
【点睛】本题主要考查集合的交集的运算，属基础题。
2.设复数z 满足()25z i +=，则在复平面内z 对应的点在（ ） A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限【答案】D 【解析】 【分析】先求出复数z ，再求z 对应的点的坐标。
【详解】∵()25z i +=，∴()()()5252222i z i i i i -===-++-，∴2z i =+，∴在复平面内z 对应的点在第一象限. 选D 。
【点睛】本题主要考查复数的运算及复数的几何意义，属基础题。
3.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是（ ）A. 甲所得分数的极差为22B. 乙所得分数的中位数为18C. 两人所得分数的众数相等D. 甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数 【答案】D 【解析】 【分析】根据茎叶图，逐一分析选项，得到正确结果.【详解】甲的最高分为33，最低分为11，极差为22，A 正确；乙所得分数的中位数为18，B 正确；甲、乙所得分数的众数都为22，C 正确；甲的平均分为11151720222224323319699x ++++++++==甲，乙的平均分为8111216182022223116099x ++++++++==乙，甲所得分数的平均数高于乙所得分数的平均数，D 错误，故选D.【点睛】本题考查了根据茎叶图，求平均数，众数，中位数，考查基本概念，基本计算的，属于基础题型.4.已知函数()sin ,0,621,0.x x x f x x ππ⎧⎛⎫+≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪+>⎩则()()21f f -+=( )63+63- C.72D.52【答案】C 【解析】 【分析】结合分段函数的表达式，利用代入法进行求解即可．【详解】解：Q 1(2)sin(2)sin662f πππ-=-+==，f （1）1213=+=， ∴17(2)(1)322f f -+=+=， 故选：C ．【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用代入法是解决本题的关键．属于基础题．5.执行如图所示的程序框图，则输出的m 的值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C 【解析】 【分析】按循环结构依次执行相关步骤即可。
2020届高三调研测试(一)文科数学答案
可得每周课外阅读时间与性别的列联表为:
男生 女生 总计
每周平均阅读时 18 7 25
间不超过 2 小时
每周平均阅读时 37 38 75
间超过 2 小时
总计
55 45 100
K
2
=
(a
+
b)
n (ad − bc)2 (c + d)(a + c)
(b
+
d
)
……………………8 分
100 × (18 × 38 − 7 × 37)2
=
1 2
×1×1×
3= 2
3,
4
……………………9 分
所以 . VP−EFD
=
VE
−
PFD
=
1 3
×
S∆PFD
×
AE
=
3 12
解法二：利用 . VP−EFD = VP−ADE −VF−ADE
……………………10 分
S∆ADE
=
1 2
×
AD ×
AE
=
1 2
×
VP−EFD = VP− ADE − VF − ADE
g′(x) = 0 x1 = a −1− (a −1)2 −1, x2 = a −1+ (a −1)2 −1
由 和 得 ， x2 > 1 x1x2 = 1 x1 < 1
……………………10 分
故当 x ∈(1, x2) 时， g′(x) < 0 ， g(x) 在 x ∈(1, x2) 单调递减，
因此 g(x) < 0 .
在 中, Rt∆PDA DF = 1 PA = 1 2
……………………7 分
河南省驻马店市等六市2020届高三第一次联考数学(文)试题 答案
品中，优等品有 3 件，合格品有 2 件．……………………………………………………2 分
②记 3 件优等品分别为 A，B，C,2 件合格品分别为 a，b，从中随机抽取 2 件，抽取方式
有 AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab 共 10 种，设“这 2 件中恰有 1 件是优等品”
方法二：因为 Q 为线段 PB 的中点，
所以 Q 到平面 PCD 的距离为 B 到平面 PCD 的距离的 1 . 2
所以 VQ PCD
1 2
VB
PCD
=
1 2
VP
BCD
=
1 1 1 23 2
2
2
3 3 3
三棱锥 Q PCD 的体积为 3 . ……………………………………………………12 分 3
20. 解：（1）由题知 e c ，c 1， P（1，c ）在椭圆上
由 AF1 F1P, 得 (1 x1, y1) (m 1, n) ，
所以 x1 m 1, y1 n ，
又由
x12 2
y12
1得（m 1）2 (n)2
2
1①
…………………………………6 分
又 m2 n2 1 ②，联立①②消去 n 得 (3 2m)2 (2m 2) 1 0 2
所以(a1＋4d)2＝(a1＋2d)(a1＋7d)，化简，得 a1＝2d， ②
联立①和②，得 a1＝2，d＝1，
所以 an＝n＋1.…………………………………………………………………………4 分
(2)因为 bn
1 an an1
n
n
1
1 n
2
n
＝
(
n
1
1
n
2020年河南省六市高考数学一模试卷(文科)(有答案解析)
2020年河南省六市（南阳市、驻马店市、信阳市、漯河市、周口市、三门峡市）高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若复数z满足，则A. B. C. D.2.集合的真子集的个数为A. 7B. 8C. 31D. 323.五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分．古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系．若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为A. B. C. D.4.已知，设，，，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D.5.已知，且，则A. B. C. D.6.设函数，则函数的图象可能为A. B.C. D.7.已知某超市2019年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示，根据该折线图可知，下列说法错误的是A. 该超市2019年的12个月中的7月份的收益最高B. 该超市2019年的12个月中的4月份的收益最低C. 该超市2019年7至12月份的总收益比2019年1至6月份的总收益增长了90万元D. 该超市2019年1至6月份的总收益低于2019年7至12月份的总收益8.已知向量，满足，且，，则向量与的夹角为A. B. C. D.9.程大位是明代著名数学家，他的新编直指算法统宗是中国历史上一部影响巨大的著作．它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用．卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个．问该若干？”如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图，求得该垛果子的总数S为A. 28B. 56C. 84D. 12010.已知点M是抛物线上的一动点，F为抛物线的焦点，A是圆C：上一动点，则的最小值为A. 3B. 4C. 5D. 611.设锐角的三内角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且，，则a的取值范围为A. B. C. D.12.设，分别为双曲线的左、右焦点，过点作圆的切线与双曲线的左支交于点P，若，则双曲线的离心率为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线在点处的切线方程是______．14.已知等比数列的前n项和为，若，，则______．15.已知函数，当时，的最小值为，若将函数的图象向右平移个单位后所得函数图象关于y轴对称，则的最小值为______．16.在直三棱柱中，，底面三边长分别为3、5、7，P是上底面所在平面内的动点，若三被锥的外接球表面积为，则满足题意的动点P的轨迹对应图形的面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻战之一，为坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为带助定点扶贫村贫，竖持长贫同扶智相结合，此帮扶单位考察了甲、乙两种不同的农产品加工生产方式，现对两种生产方式的产品质量进行对比，其质量按测试指标可划分为：在区间的为优等品；指标在区间的为合格品，现分别从甲、乙两种不同加工方式产的农产品中，各自随机抽取100件作为样本进行检测，测试指标结果的频数分布表如下：甲种生产方式指标区间频数51520301515乙种生产方式指标区间频数51520302010在用甲种方式生产的产品中，按合格品与优等品用分层物样方式，随机抽出5件产品，求这5件产品中，优等品和合格品各多少件：再从这5件产品中，随机抽出2件，求这2件中恰有1件是优等品的概率．所加工生产的农产品，若是优等品每件可售55元，若是合格品每件可售25元，甲种生产方式每生产一件产品的成本为15元，乙种生产方式每生产一件产出的成本为20元，用样本估计总体比较在甲、乙两种不同生产方式下，该单位要选那种生产方式来帮助该扶贫村来脱贫？18.已知等差数列的公差，其前n项和为，且，，，成等比数列．求数列的通项公式；令，求数列的前n项和．19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，为等边三角形，平面平面．证明：平面平面；若，Q为线段的中点，求三棱锥的体积．20.设椭圆C：的左右焦点分别为，，离心率是e，动点在椭圆C上运动．当轴时，，．求椭圆C的方程；延长，分别交椭圆C于点A，B不重合设，，求的最小值．21.已知函数．Ⅰ讨论函数的单调性；Ⅱ令，若对任意的，，恒有成立，求实数k的最大整数．22.心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名．在极坐标系Ox中，方程表示的曲线就是一条心形线，如图，以极轴Ox所在的直线为x轴，极点O为坐标原点的直角坐标系xOy中，已知曲线的参数方程为为参数．求曲线的极坐标方程；若曲线与相交于A、O、B三点，求线段AB的长23.已知函数．当时，求不等式的解集；若的解集包含，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：，．故选：C．直接利用商的模等于模的商求解．本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．2.答案：A解析：解：令，则；令，则；令，则；则M中有三个元素，则有7个真子集．故选：A．根据题意，设x取一些值，代入求y值，再求真子集个数．本题考查真子集，集合元素，属于基础题．3.答案：A解析：解：金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系．从5类元素中任选2类元素，基本事件总数，2类元素相生包含的基本事件有5个，则2类元素相生的概率为．故选：A．从5类元素中任选2类元素，基本事件总数，2类元素相生包含的基本事件有5个，由此能求出2类元素相生的概率．本题考查概率的求法及应用，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.答案：B解析：解：，，在R上是减函数，又，且，，．故选：B．根据题意即可得出在R上是减函数，并且可得出，并且，从而可得出a，b，c的大小关系．本题考查了余弦函数的图象，指数函数的单调性，对数的换底公式，对数的运算性质，对数函数的单调性，减函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．5.答案：B解析：解：；；又故选：B．通过诱导公式求出的值，进而求出的值，最后求．本题主要考查三角函数中的诱导公式的应用．属基础题．6.答案：B解析：解：函数的定义域为，由，得为偶函数，排除A，C；又，排除D．故选：B．由函数奇偶性的定义判断函数为偶函数，再求出，则答案可求．本题考查函数的图象与图象变换，考查函数奇偶性的应用，是中档题．7.答案：C解析：解：由折线图可知，该超市2019年的12个月中的7月份的收入支出的值最大，所以收益最高，故选项A正确；由折线图可知，该超市2019年的12个月中的4月份的收入支出的值最小，所以收益最低，故选项B正确；由折线图可知，该超市2019年7至12月份的总收益为，2019年1至6月份的总收益为，所以该超市2019年7至12月份的总收益比2019年1至6月份的总收益增长了100万元，故选项C错误，选项D正确；故选：C．根据折线图，即可判定选项A，B正确，计算出2019年7至12月份的总收益和2019年1至6月份的总收益，比较，即可得到选项C错误，选项D正确．本题主要考查了简单的合情推理，是基础题．8.答案：B解析：解：，，，且，，，，且，与的夹角为．故选：B．根据条件即可得出，进而得出，然后即可求出的值，进而可得出与的夹角．本题考查了向量数量积的运算，向量长度的求法，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．9.答案：C解析：解：模拟程序的运行，可得，，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，满足条件，退出循环，输出S的值为84．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10.答案：B解析：【分析】本题考查的知识点：圆外一点到圆的最小距离，抛物线的准线方程，三点共线及相关的运算问题，属于基础题．根据抛物线定义和三角形三边关系可知当三点共线时，的值最小，根据圆的性质可知最小值为；根据抛物线方程和圆的方程可求得，从而得到所求的最值．【解答】解：如图所示，利用抛物线的定义知：，当M、A、P三点共线时，的值最小，即轴，抛物线的准线方程：，此时，又，，所以，即，故选B．11.答案：B解析：解：锐角中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，，且，．，，，，由正弦定理可得：，可得：，则a的取值范围为故选：B．由题意可得，且，解得B的范围，可得cos B的范围，由正弦定理求得，根据cos B的范围确定出a范围即可．此题考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，解题的关键是确定出B的范围，属于基础题．12.答案：C解析：解：P为双曲线左支上的一点，则由双曲线的定义可得，，由，则，，设切点为M，则，，，为的中位线，则即有即有．故选：C．由双曲线的定义可得，，则，，设切点为M，则，，又，，即有，即可．本题考查双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．13.答案：解析：解：的导数为，可得在点处的切线斜率为，则在点处的切线方程为，即为．故答案为：．求得函数的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得所求切线的方程．本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用直线方程是解题的关键，属于基础题．14.答案：1解析：解：根据题意，等比数列满足，，则其公比，若，则；，则；变形可得：，解可得；又由，解可得；故答案为：1根据题意，由等比数列前n项和公式可得，；变形可得，解可得q的值，将q的值代入，计算可得答案．本题考查等比数列的前n项和公式以及应用，注意分析q是否为1．15.答案：解析：解：已知函数，当时，的最小值为，，故若将函数的图象向右平移个单位后，得到的图象．根据所得函数图象关于y轴对称，则，，即，令，可得的最小值为，故答案为：．由题意利用函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得的最小值．本题主要考查函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．16.答案：解析：解：设三被锥的外接球的球心为O，底面ABC的外接圆的圆心为，上底面的外接圆的圆心为，若三被锥的外接球表面积为，则外接球的半径R满足，即，由底面ABC的三边长分别为3、5、7，可设AC的长为7，可得，则，则底面ABC的外接圆的半径，可得球心O到底面ABC的距离，则球心O到底面的距离，在直角三角形中，，由题意可得P在以为圆心，半径为的圆上运动，可得满足题意的动点P的轨迹对应图形的面积为．故答案为：．设三被锥的外接球的球心为O，底面ABC的外接圆的圆心为，球的半径为R，由表面积公式球的R，再由三角形的余弦定理和正弦定理可得底面ABC所在圆的半径r，可得的长，的长，再由勾股定理可得，判断P所在的轨迹为圆，可得其面积．本题考查直三棱柱的定义和性质，以及三棱锥的外接球的定义和面积，考查球的截面的性质，以及解三角形的知识，考查空间想象能力和运算能力、推理能力，属于中档题．17.答案：解：由频数分布表得：甲的优等品率为，合格品率为，抽出的5件产品中优等品有3件，合格品有2件．记3件优等品分别为A，B，C，2件合格品分别为a，b，从中任取2件，抽取方式有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10种，设“这2件中恰有1件是优等品的事件”为M，则事件M发生的情况有6种，这2件中恰有1件是优等品的概率．根据样本知甲种生产方式生产100件农产品有80件优等品，20件合格品，设甲种生产方式每生产100件，所获得的利润为元，乙种生产方式每生产100件，所获得的利润为元，元，元，，用样本估计总体知乙种生产方式生产的农产品所获得的较高，该扶贫单位要选择乙生产方式来帮助该扶贫单位来脱贫较好．解析：由频数分布表得甲的优等品率为，合格品率为，由此能过求出这5件产品中，优等品和合格品各多少件．记3件优等品分别为A，B，C，2件合格品分别为a，b，从中任取2件，利用列举法能求出这2件中恰有1件是优等品的概率．根据样本知甲种生产方式生产100件农产品有80件优等品，20件合格品，设甲种生产方式每生产100件，求出所获得的利润为元，乙种生产方式每生产100件，求出所获得的利润为元，由，得到该扶贫单位要选择乙生产方式来帮助该扶贫单位来脱贫较好．本题考查概率的求法，考查最佳生产方式的判断，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.答案：解：，，化为：．，，成等比数列，，可得，，化为：．联立解得：，．．，数列的前n项和．解析：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式及其性质、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．由，可得，化为：由，，成等比数列，可得，，，化为：联立解得：，即可得出．，利用裂项求和方法、等差数列的求和公式即可得出．19.答案：Ⅰ证明：取PD的中点O，连接AO，为等边三角形，，平面PAD，平面平面，平面平面PCD，平面PCD，平面PCD，，底面ABCD为正方形，，，平面PAD，又平面ABCD，平面平面ABCD；Ⅱ解：由Ⅰ知，平面PCD，到平面PCD的距离．底面ABCD为正方形，，又平面PCD，平面PCD，平面PCD，，B两点到平面PCD的距离相等，均为d，又Q为线段PB的中点，到平面PCD的距离．由Ⅰ知，平面PAD，平面PAD，，．解析：Ⅰ取PD的中点O，连接AO，由已知可得，再由面面垂直的判定可得平面PCD，得到，由底面ABCD为正方形，得，由线面垂直的判定可得平面PAD，则平面平面ABCD；Ⅱ由Ⅰ知，平面PCD，求出A到平面PCD的距离，进一步求得Q到平面PCD的距离，再由Ⅰ知，平面PAD，得，然后利用棱锥体积公式求解．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．20.答案：解：由题意知当轴时，，知，，，又，所以椭圆的方程为：；由知，设，由得，即，代入椭圆方程得：，又，得，两式相减得：，因为，所以，故；同理可得：，故，当且仅当时取等号，故的最小值为．解析：由轴时，，得c，b的值，再由a，b，c之间的关系求出椭圆的方程；由得：焦点，的坐标，再由，，求出，的值，进而求出之和的值，再由的范围，求出的最小值．考查直线与椭圆的综合应用，属于中难题．21.答案：解：Ⅰ此函数的定义域为，．当时，，在上单调递增，当时，当时，，单调递减，当时，，单调递增．综上所述：当时，在上单调递增；当时，若，单调递减，若，单调递增；Ⅱ由Ⅰ知，恒成立，则只需恒成立，则，即，令，则只需，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，即，则，的最大整数为7．解析：Ⅰ求出函数的定义域为，再求出原函数的导函数，分和两类求解函数的单调区间；Ⅱ由Ⅰ知，把恒成立，转化为恒成立，进一步得到，令，则只需，利用导数求最值，则答案可求．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求最值，考查数学转化思想方法，是中档题．22.答案：解：已知曲线的参数方程为为参数转换为直角坐标方程为，转换为极坐标方程为．由，解得．所以由，解得，解得所以．解析：直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用极径的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．23.答案：解：当时，，当时，由得，解得；当时，无解；当时，由得，解得，的解集为：，或；的解集包含等价于在上恒成立，当时，等价于恒成立，而，，，故满足条件的a的取值范围为：．解析：当时，，然后由分别解不等式即可；由条件可得在上恒成立，然后求出和最大值即可．本题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属中档题．。
2020年河南省第一次高考模拟考试文科数学试题与答案
2020年河南省第一次高考模拟考试文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
|﹣1＜x＜5}，集合A＝{1，3}，则集合∁U A的子集的个数是（）1. 设全集U＝{x NA. 16B. 8C. 7D. 42. 下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A. i（1+i）2B. i2（1﹣i）C. （1+i）2D. i（1+i）3. 为比较甲、以两名篮球运动员的近期竞技状态,选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图,有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定。
其中所有正确结论的编号为（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④4. 已知直线，直线为，若则( )A．或 B．C ．D ．或5. 已知,条件甲：；条件乙：,则甲是乙的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 轴截面为正方形的圆柱的外接球的体积与该圆柱的体积的比值为（ ） A ． B ．C ．D ．7. 在中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，，则角B=（ ）A.B. C.D.8. 执行如图所示的程序框图，输出的S=（ ）A. 25B. 9C. 17D. 209. 设直线1:210l x y -+=与直线A 的交点为A ；,P Q 分别为12,l l 上任意两点，点M 为,P Q 的中点，若12AM PQ =，则m 的值为（ ） A. 2B. 2-C. 3D. 3-10.在V ABC 中，sin B A =，BC =4C π=，则=AB （ ）B. 5C. D.11. 已知函数，若，且函数存在最小值，则实数的取值范围为（ ） A.B.C. D. 12.已知三棱锥的底面的顶点都在球的表面上，且，，，且三棱锥的体积为，则球的体积为（ ） A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
六市南阳市驻马店市信阳市漯河市周口市三门峡市2020届高三数学第一次模拟调研试题文含解析
设 为 外接圆圆心,作 平面 ,交平面 于点 ，由三棱锥外接球的性质可知，球心 为 上一点.
设三棱锥 外接球半径为 ，
三棱锥 外接球表面积 ， .
在 中，由余弦定理得： ，
，由正弦定理得： ，
，即 ， ，
，
即点 的轨迹对应的图形是以 为圆心, 为半径的圆，
对应的图形面积为 .
【答案】D
【解析】
【分析】
用收入减去支出，求得每月收益，然后对选项逐一分析，由此判断出说法错误的选项.
【详解】用收入减去支出，求得每月收益(万元），如下表所示:
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
收益
20
30
20
10
30
30
60
40
30
30
50
30
所以 月收益最高，A选项说法正确; 月收益最低，B选项说法正确； 月总收益 万元， 月总收益 万元，所以前 个月收益低于后六个月收益，C选项说法正确，后 个月收益比前 个月收益增长 万元,所以D选项说法错误。故选D.
故选： .
【点睛】本题考查了集合的真子集个数，意在考查学生的计算能力。
3。五行学说是华夏民族创造的哲学思想,是华夏文明重要组成部分.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图,分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系。若从5类元素中任选2类元素,则2类元素相生的概率为（ ）
【答案】
【解析】
【分析】
利用辅助角公式可整理函数得到 ，根据最值可知 ，从而求得函数解析式；根据三角函数平移变换原则得到变换后函数的解析式，根据对称性可得到 ，结合 可求得结果。
2020届河南省濮阳市高三毕业班第一次模拟考试数学(文)试题(原卷版)
濮阳市2020届高三毕业班第一次模拟考试文科数学考生注意：1．答题前考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{1,1,2,3,4,5}A =-，{|(1)(5)0}B x x x =∈--<N ，则A B =（ ）． A. {3}B. {2,3}C. {2,3,5}D. {1,1,5}- 2.已知复数512z i i =+-，则z 的共轭复数为（ ）． A. 13i + B. 13i - C. 13i -+ D. 13i --3.在一堆从实际生活得到的十进制数据中，一个数的首位数字是d （1d =，2，⋯，9）的概率为1lg 1d ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，这被称为本福特定律．以此判断，一个数的首位数字是1的概率约为（ ）．A. 10%B. 11%C. 20%D. 30%4.某公司以客户满意为出发点，随机抽选2000名客户，以调查问卷的形式分析影响客户满意度的各项因素．每名客户填写一个因素，下图为客户满意度分析的帕累托图．帕累托图用双直角坐标系表示，左边纵坐标表示频数，右边纵坐标表示频率，分析线表示累计频率，横坐标表示影响满意度的各项因素，按影响程度（即频数）的大小从左到右排列，以下结论正确的个数是（ ）．①35.6%的客户认为态度良好影响他们的满意度；②156位客户认为使用礼貌用语影响他们的满意度；③最影响客户满意度的因素是电话接起快速；④不超过10%的客户认为工单派发准确影响他们的满意度．A. 1B. 2C. 3D. 4 5.已知tan 2α=，5cos 43sin 4παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ ）． A. 3B. 1C. 1-D. 3- 6.已知函数21,0()1,0x x x f x a x ->⎧=⎨+≤⎩，若(1)3f -=，则不等式()5f x ≤的解集为（ ）． A. [2,1]- B. [3,3]- C. [2,2]-D. [2,3]- 7.已知实数x ，y 满足3220210210x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩，则z x y =-的取值范围是（ ）． A. 33,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B. 33,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C. [3,0]-D. [0,3] 8.执行如图所示的程序框图，若输出的值30S =，则p 的取值范围为（ ）．A. (18,30]B. [18,30]C. (0,30]D. [18,30) 9.已知函数()sin 2f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与()sin(2)(0)g x x ϕϕπ=+≤<，它们的图象有一个横坐标为3π的交点，将函数()g x 的图象向左平移12π个单位长度，所得图象的一条对称轴方程为（ ）． A. 12x π=- B. 712x π= C. 512x π= D. 1112π=x 10.已知函数()f x ，()g x 的定义域为R ，(1)f x +是奇函数，(1)g x +是偶函数，若()()y f x g x =⋅的图象与x 轴有5个交点，则()()y f x g x =⋅的零点之和为（ ）．A. 5-B. 5C. 10-D. 1011.已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的侧棱长为8，底面矩形的面积为16，一个小虫从C 点出发沿直四棱柱侧面绕行一周后到达线段1CC 上一点M ，若AM ⊥平面1A BD ，则小虫爬行的最短路程为（ ）．A. 8B. 16C. 65D. 1712.已知从圆222:(0)C x y r r +=>上一点(0,)Q r 作两条互相垂直的直线与椭圆22:1124x y τ+=相切，同时圆C 与直线:310l mx y m +--=交于A ，B 两点，则||AB 的最小值为（ ）． A. 23 B. 4 C. 3 D. 8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.在等边三角形ABC 中，2AB =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则CE AF ⋅=__________．14.双曲线222:12sin2x yCπθθ⎛⎫-=<≤⎪⎝⎭的离心率的最大值是__________．15.已知球O的内接正方体1111ABCD A B C D-的棱长为1，点P在线段1BD上，过点P垂直于1BD的平面截球O所得的截面圆的面积为23π，则线段PB的长为__________．16.已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角B为钝角，设ABC的面积为S，若()2224bS a b c a=+-，则sin sinA C+的取值范围是__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知数列{}n a满足11221n nn na a++=-，数列{}n b是各项均为正数的等比数列，且46574b b b b=，111a b==．（Ⅰ）求{}n a和{}n b的通项公式；（Ⅱ）设1,2,nnnnpb n+⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数，求数列{}n p的前2n项和2n S．18.如图，已知圆柱内有一个三棱锥A BCD-，AD为圆柱的一条母线，DF，BC为下底面圆O的直径，2AD BC==．（Ⅰ）在圆柱的上底面圆内是否存在一点E，使得//EF平面ABC？证明你的结论．（Ⅱ）设点M为棱AC的中点，2DN NC=，求四棱锥B ADNM-体积的最大值．19.某科研小组为了研究一种治疗新冠肺炎患者的新药的效果，选50名患者服药一段时间后，记录了这些患者的生理指标x 和y 的数据，并统计得到如下的22⨯列联表（不完整）：其中在生理指标 1.7x >的人中，设A 组为生理指标60y ≤的人，B 组为生理指标60y >的人，他们服用这种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A 组：10，11，12，13，14，15，16B 组：12，13，15，16，17，14，25（Ⅰ）填写上表，并判断是否有95%的把握认为患者的两项生理指标x 和y 有关系；（Ⅱ）从A ，B 两组随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++． ..20.已知O 为坐标原点，抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点坐标为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，点A ，B 在该抛物线上且位于y 轴的两侧，3OA OB ⋅=．（Ⅰ）证明：直线AB 过定点(0,3)；（Ⅱ）以A ，B 为切点作C切线，设两切线的交点为P ，点Q 为圆22(1)1x y -+=上任意一点，求||PQ 的最小值．21.已知函数2()2x f x e x =-．（Ⅰ）设()()xf xg x e =，判断()g x 在(0,)+∞上零点的个数； （Ⅱ）证明：25119(1)21010f x x ⎛⎫->--+ ⎪⎝⎭． （二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为2x y t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin 4ρθ=，M 为曲线2C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=．（Ⅰ）求点P 的轨迹3C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设1C 与3C 的交点为A ，B ，求AOB ∆的面积．[选修4-5：不等式选讲]23.若对于实数x ，y 有|12|4x -≤，|31|3y +≤． （Ⅰ）求16x y +-的最大值M ； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正实数a ，b 满足12M a b +=，证明：50(1)(2)9a b ++≥。
2020届高三数学第一次(4月)模拟考试试题(含解析)
2020届高三数学第一次（4月）模拟考试试题（含解析）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1-3页，第Ⅱ卷3-4页，共150分，测试时间120分钟.注意事项：选择题每小题选岀答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上.第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】计算，，再计算交集得到答案【详解】，，故.故选：.【点睛】本题考查了交集计算，意在考查学生的计算能力.2.已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在第（）象限.A. 一B. 二C. 三D. 四【答案】A【解析】【分析】化简得到，故，得到答案.【详解】，则，故，对应的点在第一象限.故选：.【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，复数对应象限，意在考查学生的计算能力.3.设命题任意常数数列都是等比数列.则是（）A. 所有常数数列都不是等比数列B. 有的常数数列不是等比数列C. 有的等比数列不是常数数列D. 不是常数数列的数列不是等比数列【答案】B【解析】【分析】直接根据命题的否定的定义得到答案.【详解】全称命题的否定是特称命题，命题：任意常数数列都是等比数列，则：有的常数数列不是等比数列.故选：.【点睛】本题考查了命题的否定，意在考查学生的推断能力.4.在正方体中，点是的中点，且，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】化简得到，得到，，得到答案.【详解】，故，，.故选：.【点睛】本题考查了空间向量的运算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.5.函数在区间上大致图象为（）A. B. C.D.【答案】C【解析】【分析】判断函数为奇函数排除，计算排除，得到答案.【详解】，，故函数为奇函数，排除；，排除.故选：.【点睛】本题考查了函数图像的识别，确定函数为奇函数是解题的关键.6.某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分用茎叶图表示，茎叶图中甲得分的部分数据丢失（如图），但甲得分的折线图完好，则下列结论正确的是（）A. 甲得分的极差是11B. 乙得分的中位数是18.5C. 甲运动员得分有一半在区间上D. 甲运动员得分的平均值比乙运动员得分的平均值高【答案】D【解析】【分析】根据茎叶图和折线图依次判断每个选项得到答案.【详解】A. 甲得分的极差是，错误；B. 乙得分的中位数是，错误；C. 甲运动员得分在区间上有3个，错误；D. 甲运动员得分的平均值为：，乙运动员得分的平均值为：，故正确.故选：.【点睛】本题考查了茎叶图和折线图，意在考查学生的计算能力和理解能力.7.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，，，，则球的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】计算，根据正弦定理得到，，得到答案.【详解】根据余弦定理：，故，根据正弦定理：，故，为三角形外接圆半径，设为三棱锥外接球的半径，故，故.故选：.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.8.已知函数，若关于的方程有且只有两个不同实数根，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】确定函数的单调区间，画出函数图像，变换，得到和，根据函数图像得到答案.【详解】当时，，则，，函数在上单调递增，在上单调递减，画出函数图像，如图所示：，即，当时，根据图像知有1个解，故有1个解，根据图像知.故选：.【点睛】本题考查了函数的零点问题，画出函数图像，变换是解题的关键.二、多选题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求，全部选对得满分，部分选对得3分，错选得0分）9.某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在，，，，五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则下面叙述正确的是（）A. 样本中女生人数多于男生人数B. 样本中层人数最多C. 样本中层次男生人数为6人D. 样本中层次男生人数多于女生人数【答案】ABC【解析】【分析】根据直方图和饼图依次判断每个选项的正误得到答案.【详解】样本中女生人数为：，男生数为，正确；样本中层人数为：；样本中层人数为：；样本中层人数为：；样本中层人数为：；样本中层人数为：；故正确；样本中层次男生人数为：，正确；样本中层次男生人数为：，女生人数为，错误.故选：.【点睛】本题考查了统计图表，意在考查学生的计算能力和应用能力.10.1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章.人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为，，下列结论正确的是（）A. 卫星向径的取值范围是B. 卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C. 卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁D. 卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小【答案】ABD【解析】【分析】根据椭圆的定义和性质和面积守恒规律，依次判断每个选项得到答案.【详解】根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是，正确；当卫星在左半椭圆弧的运行时，对应的面积更大，面积守恒规律，速度更慢，正确；，当比值越大，则越小，椭圆轨道越圆，错误.根据面积守恒规律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，正确.故选：.【点睛】本题考查了椭圆的定义和性质，意在考查学生的理解能力和应用能力.11.已知函数，下列命题正确的为（）A. 该函数为偶函数B. 该函数最小正周期为C. 该函数图象关于对称D. 该函数值域为【答案】BCD【解析】【分析】化简函数，得到函数图像，计算，，讨论，，计算得到答案.【详解】当时，，当时，，画出函数图像，如图所示：根据图像知：函数不是偶函数，错误；，该函数最小正周期为，正确；，故该函数图象关于对称，正确；根据周期性，不妨取，，，，故值域为.故选：.【点睛】本题考查了三角函数的奇偶性，周期，对称性，值域，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用能力.12.如图，已知点是的边的中点，为边上的一列点，连接交于，点满足，其中数列是首项为1的正项数列，是数列的前项和，则下列结论正确的是（）A. B. 数列是等比数列C. D.【答案】AB【解析】【分析】化简得到，根据共线得到，即，计算，依次判断每个选项得到答案.【详解】，故，共线，故，即，，故，故.，正确；数列是等比数列，正确；，错误；，故错误.故选：.【点睛】本题考查了向量运算，数列的通项公式，数列求和，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力.第Ⅱ卷（共90分）三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸中的横线上）13.某校三个兴趣小组的学生人数分布如下表（每名学生只参加一个小组，单位：人）.学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，用分层抽样的方法，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，求a的值.【答案】【解析】【分析】根据三个小组抽取的总人数为人表示出抽样比，该抽样比就等于篮球组被抽取的人数除以篮球组总人数，由此计算出的值.【详解】因为抽样比为：，所以结合题意可得：，解得.【点睛】本题考查分层抽样的简单应用，难度较易.分层抽样的抽样比等于每一层抽取的比例.14.如图，在棱长为1的正方体中，点、是棱、的中点，是底面上（含边界）一动点，满足，则线段长度的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】如图所示：连接，，故平面，故在线段上，计算得到答案.【详解】如图所示：连接，，易知，，故，，故平面，故，，故平面，故在线段上，故线段长度的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查了立体几何中线段的最值问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.15.已知双曲线的左、右焦点分别为、.（1）若到渐近线的距离是3，则为__________.（2）若为双曲线右支上一点，且的角平分线与轴的交点为，满足，则双曲线的离心率为__________.【答案】 (1). 3 (2).【解析】【分析】直接利用点到直线的距离公式计算得到答案；，则，故，，再利用余弦定理计算得到答案.【详解】取渐近线方程为，即，到直线的距离为，故；，则，，故，，根据余弦定理：，整理得到：，故.故答案为：；.【点睛】本题考查了双曲线的渐近线问题，离心率问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.16.若函数在存在唯一极值点，且在上单调，则的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】，故，根据周期得到，故，解得答案.【详解】，则，故，解得，，故，，即，，则，故，则，解得；综上所述：.故答案为：.【点睛】本题考查了根据三角函数的极值点和单调性求参数范围，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.四、解答题：（解答应写出文字说眀，证明过程或演算步骤.本大题共6小题，共70分）17.在条件①，②，③中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.已知的内角，，的对边分别是，，，且，，__________.求边上的高【答案】【解析】【分析】依次计算选择①②③的情况，根据正弦定理和余弦定理，三角恒等变换计算得到，，再利用等面积法计算得到答案.【详解】若选①因为，由正弦定理得：，即，，因为，所以.由余弦定理得：，所以，化简得：，所以（舍去）或者，从而.设边上的高是，所以，所以；若选②由题设及正弦定理，，因为，所以，由，可得，故，因为，故，因此，下同选①；若选③由已知得，故由正弦定理得.由余弦定理得.因为，所以，下同选①.故答案：.【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和应用能力.18.已知数列的前项和为，数列满足，（1）求数列、的通项公式；（2）求.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1），，代入计算得到，得到答案.（2）讨论和两种情况，计算得到答案.【详解】（1），当时，，当时，也满足，所以，又数列满足，所以.（2）当，时，；当，时，.所以，，即.【点睛】本题考查了等差数列，等比数列通项公式，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.19.如图，在四棱锥中，，，，、分别为棱、的中点，.（1）证明：平面平面；（2）若二面角的大小为45°，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）证明，得到答案.（2）以与垂直的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，面的法向量记为，面的法向量为，根据夹角得到，平面的法向量，计算得到答案.【详解】（1）因为点为的中点，，，所以四边形为平行四边形，即.因为、分别为棱、的中点，.，所以平面平面.（2）如图所示因为，，与为相交直线，所以平面，不妨设，则.以与垂直的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，，，，，从而，，面的法向量记为，则，可得，令，则，，又面的法向量为，二面角的大小为45°.，解得，所以，，，所以，，，设平面的法向量为，则，可得：.令，则，.所以.设直线与平面所成角为，则.【点睛】本题考查了面面平行，二面角，线面夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.20.已知抛物线的焦点为，圆的方程为：，若直线与轴交于点，与抛物线交于点，且.（1）求出抛物线和圆的方程.（2）过焦点的直线与抛物线交于、两点，与圆交于、两点（，在轴同侧），求证：是定值.【答案】（1）抛物线，圆（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设，则，代入方程计算得到答案.（2）设直线的方程是：，，，联立方程得到，，，，计算得到答案.【详解】（1）设，由得，所以，将点代入抛物线方程得，所以抛物线，圆.（2）抛物线的焦点，设直线的方程是：，，，有，则，且，.由条件可知圆的圆心为，半径为1，圆心就是焦点，由抛物线的定义有，，则，，.即为定值，定值为1.【点睛】本题考查了抛物线方程，圆方程，定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21.医院为筛查某种疾病，需要血检，现有份血液样本，有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，需要检验次；方式二：混合检验，把每个人的血样分成两份，取个人的血样各一份混在一起进行检验，如果结果是阴性，那么对这个人只作一次检验就够了；如果结果是阳性，那么再对这个人的另一份血样逐份检验，此时这份血液的检验次数总共为次.（1）假设有6份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验的方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验岀来的概率；（2）假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阳性结果的概率为.现取其中（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为.①运用概率统计的知识，若，试求关于的函数关系式；②若，且采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求的最大值.参考数据：，，.【答案】（1）（2）①②的最大值为12.【解析】【分析】（1）记恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来为事件，计算概率得到答案.（2）①计算，，根据，计算得到答案.②，所以，设，求导得到单调区间，计算得到最值.【详解】（1）记恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来为事件，则.（2）①的取值为，，所以，的取值为1，，计算，，所以，由，得，所以.②，，所以，即.设，，，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减.且，，所以的最大值为12.【点睛】本题考查了概率的计算，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.22.已知函数.（1）若，求函数在处的切线方程；（2）讨论极值点的个数；（3）若是的一个极小值点，且，证明：.【答案】（1）（2）当时，无极值点；当时，有一个极值点（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导得到，，，得到切线方程.（2）求导得到，讨论和两种情况，时必存在，使，计算单调区间得到极值点个数.（3），即，代入得到，设，确定函数单调递减得到，令，确定单调性得到答案.【详解】（1）当时，，，所以，.从而在处的切线方程为，即.（2），，①当时，，在上增函数，不存在极值点；②当时，令，，显然函数在是增函数，又因为，，必存在，使，，，，为减函数，，，，增函数，所以，是的极小值点，综上：当时，无极值点，当时，有一个极值点.（3）由（2）得：，即，，因为，所以，令，，在上是减函数，且，由得，所以.设，，，，，所以为增函数，即，即，所以，所以，所以，因为，所以，，相乘得，所以，结论成立.【点睛】本题考查了切线方程，极值点，利用导数证明不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.2020届高三数学第一次（4月）模拟考试试题（含解析）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1-3页，第Ⅱ卷3-4页，共150分，测试时间120分钟.注意事项：选择题每小题选岀答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上.第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】计算，，再计算交集得到答案【详解】，，故.故选：.【点睛】本题考查了交集计算，意在考查学生的计算能力.2.已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在第（）象限.A. 一B. 二C. 三D. 四【答案】A【解析】【分析】化简得到，故，得到答案.【详解】，则，故，对应的点在第一象限.故选：.【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，复数对应象限，意在考查学生的计算能力.3.设命题任意常数数列都是等比数列.则是（）A. 所有常数数列都不是等比数列B. 有的常数数列不是等比数列C. 有的等比数列不是常数数列D. 不是常数数列的数列不是等比数列【答案】B【解析】【分析】直接根据命题的否定的定义得到答案.【详解】全称命题的否定是特称命题，命题：任意常数数列都是等比数列，则：有的常数数列不是等比数列.故选：.【点睛】本题考查了命题的否定，意在考查学生的推断能力.4.在正方体中，点是的中点，且，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】化简得到，得到，，得到答案.【详解】，故，，.故选：.【点睛】本题考查了空间向量的运算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.5.函数在区间上大致图象为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】判断函数为奇函数排除，计算排除，得到答案.【详解】，，故函数为奇函数，排除；，排除.故选：.【点睛】本题考查了函数图像的识别，确定函数为奇函数是解题的关键.6.某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分用茎叶图表示，茎叶图中甲得分的部分数据丢失（如图），但甲得分的折线图完好，则下列结论正确的是（）A. 甲得分的极差是11B. 乙得分的中位数是18.5C. 甲运动员得分有一半在区间上D. 甲运动员得分的平均值比乙运动员得分的平均值高【答案】D【解析】【分析】根据茎叶图和折线图依次判断每个选项得到答案.【详解】A. 甲得分的极差是，错误；B. 乙得分的中位数是，错误；C. 甲运动员得分在区间上有3个，错误；D. 甲运动员得分的平均值为：，乙运动员得分的平均值为：，故正确.故选：.【点睛】本题考查了茎叶图和折线图，意在考查学生的计算能力和理解能力.7.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，，，，则球的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】计算，根据正弦定理得到，，得到答案.【详解】根据余弦定理：，故，根据正弦定理：，故，为三角形外接圆半径，设为三棱锥外接球的半径，故，故.故选：.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.8.已知函数，若关于的方程有且只有两个不同实数根，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】确定函数的单调区间，画出函数图像，变换，得到和，根据函数图像得到答案.【详解】当时，，则，，函数在上单调递增，在上单调递减，画出函数图像，如图所示：，即，当时，根据图像知有1个解，故有1个解，根据图像知.故选：.【点睛】本题考查了函数的零点问题，画出函数图像，变换是解题的关键.二、多选题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求，全部选对得满分，部分选对得3分，错选得0分）9.某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在，，，，五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则下面叙述正确的是（）A. 样本中女生人数多于男生人数B. 样本中层人数最多C. 样本中层次男生人数为6人D. 样本中层次男生人数多于女生人数【答案】ABC【解析】【分析】根据直方图和饼图依次判断每个选项的正误得到答案.【详解】样本中女生人数为：，男生数为，正确；样本中层人数为：；样本中层人数为：；样本中层人数为：；样本中层人数为：；样本中层人数为：；故正确；样本中层次男生人数为：，正确；样本中层次男生人数为：，女生人数为，错误.故选：.【点睛】本题考查了统计图表，意在考查学生的计算能力和应用能力.10.1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章.人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为，，下列结论正确的是（）A. 卫星向径的取值范围是B. 卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C. 卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁D. 卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小【答案】ABD【解析】【分析】根据椭圆的定义和性质和面积守恒规律，依次判断每个选项得到答案.【详解】根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是，正确；当卫星在左半椭圆弧的运行时，对应的面积更大，面积守恒规律，速度更慢，正确；，当比值越大，则越小，椭圆轨道越圆，错误.根据面积守恒规律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，正确.故选：.【点睛】本题考查了椭圆的定义和性质，意在考查学生的理解能力和应用能力.11.已知函数，下列命题正确的为（）A. 该函数为偶函数B. 该函数最小正周期为C. 该函数图象关于对称D. 该函数值域为【答案】BCD【解析】【分析】化简函数，得到函数图像，计算，，讨论，，计算得到答案.【详解】当时，，当时，，画出函数图像，如图所示：根据图像知：函数不是偶函数，错误；，该函数最小正周期为，正确；，故该函数图象关于对称，正确；根据周期性，不妨取，，，，故值域为.故选：.【点睛】本题考查了三角函数的奇偶性，周期，对称性，值域，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用能力.12.如图，已知点是的边的中点，为边上的一列点，连接交于，点满足，其中数列是首项为1的正项数列，是数列的前项和，则下列结论正确的是（）A. B. 数列是等比数列C. D.【答案】AB【解析】【分析】化简得到，根据共线得到，即，计算，依次判断每个选项得到答案.【详解】，故，共线，故，即，，故，故.，正确；数列是等比数列，正确；，错误；，故错误.故选：.【点睛】本题考查了向量运算，数列的通项公式，数列求和，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力.第Ⅱ卷（共90分）三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸中的横线上）13.某校三个兴趣小组的学生人数分布如下表（每名学生只参加一个小组，单位：人）.学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，用分层抽样的方法，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，求a的值.【答案】【解析】【分析】根据三个小组抽取的总人数为人表示出抽样比，该抽样比就等于篮球组被抽取的人数除以篮球组总人数，由此计算出的值.【详解】因为抽样比为：，所以结合题意可得：，解得.【点睛】本题考查分层抽样的简单应用，难度较易.分层抽样的抽样比等于每一层抽取的比例.14.如图，在棱长为1的正方体中，点、是棱、的中点，是底面上（含边界）一动点，满足，则线段长度的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】如图所示：连接，，故平面，故在线段上，计算得到答案.【详解】如图所示：连接，，易知，，故，，故平面，故，，故平面，故在线段上，故线段长度的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查了立体几何中线段的最值问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.15.已知双曲线的左、右焦点分别为、.（1）若到渐近线的距离是3，则为__________.（2）若为双曲线右支上一点，且的角平分线与轴的交点为，满足，则双曲线的离心率为__________.【答案】 (1). 3 (2).【解析】【分析】直接利用点到直线的距离公式计算得到答案；，则，故，，再利用余弦定理计算得到答案.【详解】取渐近线方程为，即，到直线的距离为，故；，则，，故，，根据余弦定理：，整理得到：，故.故答案为：；.【点睛】本题考查了双曲线的渐近线问题，离心率问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.16.若函数在存在唯一极值点，且在上单调，则的取值范围为__________.【答案】【解析】。
河南广东等省2020届高三4月联考数学(文)试题 Word版含解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试·联考文科数学本试卷共5页，23小题（含选考题），满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答题信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}20A x x x =-=，则集合A 的真子集的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】C【解析】【分析】可用列举法列出所有真子集即可.【详解】由题可解集合{}0,1A =，则集合A 的真子集有∅、{}0、{}1.故选：C .【点睛】本题考查集合的真子集，可用列举法或公式计算即可，易错点为列举法容易忽略空集，属于基础题.2.如图，复数1z ，2z 在复平面上分别对应点A ，B ，则12z z ⋅=（ ）A. 0B. 2i +C. 2i --D. 12i -+【答案】C【解析】【分析】 由图可得点A ，B ，即可得复数1z ，2z 的代数形式，进行复数相乘即可.【详解】由图可得：112z i =-+，2z i =，∴()12122z z i i i ⋅=-+⋅=--.故选：C .【点睛】本题考查复数的几何意义及复数的运算，解题关键是根据复数的几何性质求复平面所表示的复数，运用乘法法则进行复数运算即可，属于基础题.3.若向量()4,2a x =-与向量()1,1b =-平行，则a =( ). A. 2 B. 2 2 D. 8 【答案】A【解析】【分析】由a b ，可解得2x =，所以可得()2,2a =-，即可求得a .【详解】由a b ，可得()()41210x -⨯--⨯=，解得2x =，所以()2,2a =-， 可得()22222a =-+=故选：A .【点睛】本题考查向量的共线定理及向量模的运算，属于基础题.4.若函数()221x x a f x -=+的图像关于y 轴对称，则常数a =( ) A. 1-B. 1C. 1或1-D. 0【答案】A【解析】【分析】方法一：可知()f x 是偶函数，则()()f x f x -=，可解出a ；方法二：可知()f x 是偶函数，利用特殊值，令()()11f f -=，可解出a .【详解】方法一：可知()f x 是偶函数，则()()f x f x -=， 即222121x x x x a a ----=++， 解得1a =-.方法二：可知()f x 是偶函数，令()()11f f -=， 即1111222121a a ----=++， 解得1a =-.此时()1f x =偶函数，故选：A .【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，由函数是偶函数求参数值，常用()()f x f x -=或代入特殊值建立方程求解，属于基础题.5.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，判断下列结论：（1）月接待游客量逐月增加；（2）年接待游客量逐年增加；（3）各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月；（4）各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳. 其中正确结论的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】由题图可知逐一分析即可，这三年8月到9月的月接待游客量在减少，则结论（1）错误，（2）（3）（4）正确.【详解】由题图可知，这三年8月到9月的月接待游客量在减少，则结论（1）错误； 年接待游客数量逐年增加，故（2）正确；各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故（3）正确；各年1月至6月的月接待游客量相对变化较小，而7月至12月则变化较大，故（4）正确； 故选：C .【点睛】本题考查折线统计图，考查统计思想与分析数据能力，属于简单题. 6.若抛物线()220y px p =>的焦点是双曲线2213-=x y p p 的一个焦点，则p =( ) A. 2B. 4C. 8D. 16 【答案】D【解析】【分析】 分别求出抛物线的焦点及双曲线的一个焦点，由条件得2162p p p =⇒=. 【详解】抛物线()220y px p =>的焦点是02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 双曲线2213-=x y p p 的一个焦点是()20p ，， 由条件得22p p =，解得16p =. 故选：D .【点睛】本题考查抛物线与双曲线的性质，属于综合题，但是难度不大，注重基础知识点考查，属于简单题.7.函数()32xy x x =-⋅的图象大致是（ ） A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】排除法：根据函数()32x y x x =-⋅为奇函数，故图象关于原点对称；函数有1-，0，1三个零点；当2x =时，函数值为正数，进行选项排除即可.【详解】函数()32xy x x =-⋅为奇函数，故图象关于原点对称，故排除D ；函数有1-，0，1三个零点，故排除A ；当2x =时，函数值为正数，故排除B .故选：C .【点睛】本题考查函数的图象，根据解析式求图像通常利用排除法，依据有函数奇偶性、单调性、零点、定义域、值域、特殊值等，属于中等题.8.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的体积为（ ）A. 13B. 23C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】 由三视图及条件可知：此直三棱柱的底面是等腰直角三角形，得出底面上的高和边长，再由直三棱柱的高为2，利用体积公式可求体积.【详解】由三视图可知：此直三棱柱的底面是等腰直角三角形，底面上的高为1221+12=，斜边为2. 直三棱柱的高为2，故121222V Sh ==⋅⋅⋅=， 故选：D .【点睛】本题考查几何体三视图及体积公式，考查转化和空间想象能力，属于基础题.9.已知4log 7x =，3log 2y =，32z =，则（ ） A. x y z << B. y x z <<C. z y x <<D. y z x <<【解析】【分析】由对数函数的性质可得4433log 7log 81,22x x ⎛⎫=<=⇒∈ ⎪⎝⎭，()3log 20,1y =∈，可得y x z <<. 【详解】∵443log 7log 82x =<=，∴31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ∵()3log 20,1y =∈，∴y x z <<.故选：B .【点睛】本题考查对数的大小比较，若同底采用对数函数的单调性比较，不同底则引入中间值进行比较，属于基础题.10.在ABC 中有，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，6A π=，sin a A =，则角C 为（ ） A. 12πB. 712πC. 12π或712πD. 4π 【答案】C【解析】【分析】 根据题意，由正弦定理得：4B π=或34π，即可求角C . 【详解】∵6A π=，∴50,6B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由正弦定理得：sin a A =，即sin sin A B A =，sin 0,A ≠可得()sin 0,24πB B B π=∈∴=或34π， ∴()712πC πA B =-+=或12π，【点睛】本题考查正弦定理的应用，易错点为利用正弦求三角形内角容易忽略为钝角的情况，本题属于简单题.11.如图长方体中，过同一个顶点的三条棱的长分别为2、4、6，A 点为长方体的一个顶点，B 点为其所在棱的中点，则沿着长方体的表面从A 点到B 点的最短距离为（ ）29B. 3541 D. 213【答案】C【解析】【分析】 由长方体的侧面展开图可得有3种情况如下：①当B 点所在的棱长为2；②当B 点所在的棱长为4；③当B 点所在的棱长为6，分别再求出展开图AB 的距离即可得最短距离.【详解】由长方体的侧面展开图可得：（1）当B 点所在的棱长为2，则沿着长方体的表面从A 到B 的距离可能为()22461101++=()2241661++=()2246165++=. （2）当B 点所在的棱长为4，则沿着长方体的表面从A 到B 的距离可能为()22226213++=()22262217++=()22262217++=（3）当B 点所在的棱长为6，则沿着长方体的表面从A 到B 的距离可能为()2223441++=()2224335++=()2223453++=综上所述，沿着长方体的表面从A 点到B 41故选：C .【点睛】本题考查长方体的展开图，考查空间想象与推理能力，属于中等题.12.倾斜角为45︒的直线与双曲线22214x y b-=交于不同的两点P 、Q ，且点P 、Q 在x 轴上的投影恰好为双曲线的两个焦点，则该双曲线的焦距为（ ）A. 2B. 2 1 1【答案】B【解析】【分析】 方法一；由双曲线的对称性可知直线过原点，可得2Rt QOF △为等腰三角形且245QOF ∠=︒，根据勾股定理及双曲线的定义可得：1c =.方法二：等腰2Rt QOF △中，可得22b QF a =，且2b c a=.又根据222b a c =-，联立可解得1c =. 【详解】方法一；由双曲线的对称性可知直线过原点，在等腰2Rt QOF △中，245QOF ∠=︒，则122F F c =，2QF c =，1QF =. 由双曲线的定义可得：122QF QF a-=，41c c -==，，故22c =.方法二：等腰2Rt QOF △中，22b QF a=， ∴2b c a=. 又222b a c =-，∴2240c c --=，得1c =.∴22c =.故选：B .【点睛】本题考查双曲线的性质，解题关键是将题目条件进行转化，建立等量关系求解，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知数列{}n a 满足1n n a ta +=，*n N ∈，t 为常数，12a =，8256a =，则t =__________.【答案】2【解析】【分析】数列{}n a 是公比为t 的等比数列，根据条件及等比数列通项公式列方程求解即可.【详解】数列{}n a 是公比为t 的等比数列，且12a =，8256a =，则782256a t ==，可得2t =.故答案为：2.【点睛】本题考查等比数列的通项公式，根据通项公式求公比，通常借助方程求解，属于基础题.14.曲线()cos x x f x e=在点()()0,0f 处的切线方程为__________. 【答案】10x y +-=【解析】【分析】 由题意可得切点()0,1，对()cos x x f x e =求导可得()01f '=-，即为切线斜率，由此可求其切线方程.【详解】由()0cos00=1f e=，可得切点()0,1， ()sin cos x x x f x e--'=，()01f '=-， 其切线方程为1y x -=-，即10x y +-=.故答案为：10x y +-=.【点睛】本题考查应用导数求切线方程，求出函数的导数即可得到切线斜率，再根据点斜式即可求出切线方程，属于简单题.15.函数()3cos 4cos 2πf x x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭在0x x =处取得极大值，则0tan x =__________. 【答案】43【解析】【分析】根据诱导公式及辅助角公式化简()()5cos f x x α=-，由题意可得()f x 取得极大值时02x k πα=+，代入0tan x 结合同角三角函数商数关系可得结果.【详解】()343cos 4cos 3cos 4sin 5cos sin 255f x x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=-+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 令3cos 5α=，4sin 5α，则()()5cos f x x α=-. 由题意得：()0cos 1x α-=，∴02x k πα=+. ∴04sin 45tan tan 3cos 35x ααα====. 故答案为：43. 【点睛】本题考查三角函数恒等变换及同角三角函数关系，解题的关键是利用诱导公式及辅助角公式化简，再根据三角函数性质及同角三角函数关系可得结论，属于中等题. 16.若函数()2121x x f x -=+，则不等式()719f x +<的解集为__________. 【答案】{}42x x -<<【解析】【分析】根据绝对值的性质，结合函数的解析式、指数函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为()1121121x x f x ++-+=+，所以 ()11177217112842992198x x x f x x +++-+<⇒-<<⇒<<⇒-<<+. 故答案为：{}42x x -<<【点睛】本题考查了指数函数的单调性的应用，考查了指数不等式的解法，考查了绝对值不等式，考查了数学运算能力.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分17.某地自2014年至2019年每年年初统计所得的人口数量如表所示：（1）根据表中的数据判断从2014年到2019年哪个跨年度的人口增长数量最大？并描述该地人口数量的变化趋势；（2）研究人员用函数()0.65444502000 4.48781t P t e -=++拟合该地的人口数量，其中t 的单位是年，2014年年初对应时刻0t =，()P t 的单位是千人，经计算可得()6.52450P ≈，请解释()6.52450P ≈的实际意义.【答案】（1）2016年到2017年的人口的增长数量最大，2014年到2019年该地每年人口的增长数量呈先递增后递减的趋势（或2014年到2019年该地每年人口总数呈逐渐递增的趋势）；（2）到2020年中，该地的总人数大约可增长到2450千人（或到2020年6月末或7月初，该地的总人数大约可增长到2450千人）【解析】【分析】（1）根据表中的数据，逐年作差，可得从2014年到2019年每年增加的数量，逐年增多，从2017后，增加的人数逐年减少；（2）根据函数的表达式及题意，可得()P t 表示2014+t 年的人口数量，不难得到()6.52450P ≈的实际意义．【详解】（1）从2014年到2015年该地的人口增长数量：2135208253-=；从2015年到2016年该地的人口增长数量：2203213568-=；从2016年到2017年该地的人口增长数量：2276220373-=；从2017年到2018年该地的人口增长数量：2339227663-=；从2018年到2019年该地的人口增长数量：2385233946-=；故2016年到2017年的人口的增长数量最大.2014年到2019年该地每年人口的增长数量呈先递增后递减的趋势.（或2014年到2019年该地每年人口总数呈逐渐递增的趋势）.（2）由题意，2014年年初对应时刻0t =，()P t 表示2014+t 年的人口数量，6.5t =，()P t 表示2014+6.5=2020.5年的人口数量，故()6.52450P ≈其实际意义为：到2020年中，该地的总人数大约可增长到2450千人. 或到2020年6月末或7月初，该地的总人数大约可增长到2450千人.【点睛】本题考查统计表及函数模型的应用，考查运算求解及数学分析能力，属于简单题.18.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，n S 满足36S =，33a =，数列{}n b满足210n n b b +-=，且0n b >，数列{}n b 的前n 项和为n T .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求99T .【答案】（1）n a n =；（2）9【解析】【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由36S =，33a =列方程解得首项与公差，由此可得通项；（2）将{}n a通项代入210n n b b +-=，由一元二次方程求根公式可得n b ，再利用裂项相消求出99T .【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d .由36S =，33a =得：1336a d +=，123a d +=.解得：11a =，1d =.∴n a n =.（2）由（1）得：210n n b +-=.由一元二次方程的求根公式得：2n b -==∵0n b >，∴n b =.∴)991299119T b b b =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+==. 【点睛】本题考查等差数列通项及裂项相消求和，等差数列通项一般根据条件列方程解出首项与公差即可，本题求解99T 的关键是求n b ，考查一元二次方程与数列的综合应用，属于中等题.19.已知椭圆C 的中心为O ，左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为A ，右顶点为B ，且OB 、OA 、2OF 成等比数列.（1）求椭圆C 的离心率；（2）判断1F AB 的形状，并说明理由.【答案】（1）e =；（2）直角三角形，理由见解析 【解析】【分析】 （1）设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为2a 、2b 、2c ，由题设可得2b ac =及222b a c =-，消b 得a 、c 齐次式，解得离心率；（2）设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，则()0,A b ，(),0B a ，()1,0F c -，2b ac =.方法一：利用向量10AF AB ⋅=，方法二：利用斜率11AF AB k k ⋅=-，方法三：利用勾股定理22211F A AB F B +=，可得到1F AB 是直角三角形.【详解】（1）设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为2a 、2b 、2c ， 则OB a =、OA b =、2OF c =由题设2b ac =及222b a c =-，消b 得：22ac a c =-即210e e +-=.解得：e =e =又01e <<，则e =.（2）方法一：设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>， 则()0,A b ，(),0B a ，()1,0F c -，2b ac =.∴()1,AF c b =--，(),AB a b =-，∴210AF AB ac b ⋅=-+=，∴1AF AB ⊥， 故190F AB ∠=︒，∴1F AB 是直角三角形.方法二：设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>， 则()0,A b ，(),0B a ，()1,0F c -，2b ac =. ∴1AF b k c =，AB b k a=-， ∴121AF ABb k k ac ⋅=-=-，∴1AF AB ⊥， 故190F AB ∠=︒，∴1F AB 是直角三角形.方法三：由条件得：在1F AB 中，1F A a ==，1F B c a =+，AB =. 222212F A AB a b +=+，()22222222221222F B c a c ac a a b b a a b =+=++=-++=+， ∴22211F A AB F B +=，故190F AB ∠=︒，∴1F AB 是直角三角形.【点睛】本题考查椭圆离心率及三角形形状判断，离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解，本题属于简单题．20.如图，在四棱锥C ABEF -中，底而ABEF 为菱形，且菱形ABEF 所在的平面与ABC 所在的平面相互垂直，4AB =，2BC =，BC BE ⊥，60ABE ∠=︒.（1）求证：//AB 平面CEF ；（2）求四棱锥C ABEF -的最长侧棱的长.【答案】（1）证明见解析；（2）13【解析】【分析】（1）在菱形ABEF 中，AB EF ，AB ⊄平面CEF ，EF ⊂平面CEF ，由此可证.（2）取AB 中点O ，连结OE ，BF ，由已知易得：ABE △是正三角形，OE AB ⊥，进一步可证BC ⊥平面ABEF ，由勾股定理可求出侧棱CB ，CE ，CF ，CA 的长度，得到最长的是CF ，或可先判断CF 最长，求解出长度即可.【详解】（1）在菱形ABEF 中，AB EF ，AB ⊄平面CEF ，EF ⊂平面CEF . ∴AB ∥平面CEF .（2）方法一：取AB 中点O ，连结OE ，BF ，由已知易得：ABE △是正三角形，∴OE AB ⊥.又∴平面ABEF ⊥平面ABC 且交线为AB ，∴OE ⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，∴OE BC ⊥，又∵BC BE ⊥，OEBE E =， ∴BC ⊥平面ABEF ，又AB ，BF ⊂平面ABEF ，∴BC AB ⊥，BC BF ⊥，在菱形ABEF 中，4AB BE EF FA ====，60ABE ∠=︒，120BEF ∠=︒， BC BE ⊥，2BC =.在Rt ABC △中，2225AC AB BC =+=在Rt EBC 中，2225EC EB BC +=.在RtFBC △中，2222cos 48BF BE EF BE EF BEF =+-⋅∠=，∴22213CF CB BF =+=.显然在侧棱CB ，CE ，CF ，CA 中最长的是CF .∴四棱锥C ABEF -的最长侧棱的长为213.方法二：取AB 中点O ，连结OE ，BF ，由已知易得：ABE △是正三角形，∴OE AB ⊥，又∵平面ABEF ⊥平面ABC 且交线为AB ，∴OE ⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，∴OE BC ⊥，又∵BC BE ⊥，OE BE E =，∴BC ⊥平面ABEF .又AB ，BF ⊂平面ABEF ∴BC AB ⊥，BC BF ⊥.在菱形ABEF 中，BF AB >，BF BE >，∴CF 最长.在Rt BCF 中，22213CF CB BF =+=∴四棱锥C ABEF -的最长侧棱的长为213【点睛】本题考查线面平行的证明及棱长求解，考查棱长的关键是垂直判定定理及性质定理的应用，在借助勾股定理求解即可，考查空间思维及推理能力，属于中等题.21.已知函数()ln f x x x =-+，()f x 的最大值为a .（1）求a 的值；（2）试推断方程()2ln 2ln x x a x x x +=+是否有实数解？若有实数解，请求出它的解集.【答案】（1）1-；（2）无实数解【解析】【分析】（1）由题意，对函数f （x ）=-x +lnx 求导数，研究出函数在定义域上的单调性，判断出最大值，即可求出；（2）由于函数的定义域是正实数集，故方程|2x （x -lnx ）|=2lnx +x 可变为12lnx x lnx x -=+，再分别研究方程两边对应函数的值域，即可作出判断．【详解】(1)已知函数()ln f x x x =-+，则0x >，可得()111f x x x x-=-+='， 令()0f x '=，x =1，当0<x <1时,f ′(x )>0;当x >1时,f ′(x )<0.∴f (x )在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数，∴()()11max x a f f ==-=；(2)|2x (x −lnx )|=2lnx +x 可得12lnx x lnx x -=+， 由(1)知f (x )max =f (1)=−1，即−x +lnx ≤−1，∴|x −lnx |≥1，又令()12lnx g x x =+,()21lnx g x x -'=， 令g ′(x )>0,得0<x <e ;令g ′(x )<0，得x >e ，∴g (x )的增区间为(0,e ),减区间为(e ,+∞)，∴()()1112max g x g e e ==+<,∴g (x )<1， ∴|x −lnx |>g (x ),即12lnx x lnx x ->+恒成立， ∴方程12lnx x lnx x -=+即方程|2x (x −lnx )|=2lnx +x 没有实数解. 【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，根的存在性及根的个数判断，根的存在性及根的个数判断稍难，此类问题通常是利用转化思想和方程思想将问题进行转化为求新函数值域问题，属于中等题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.曲线1C 的极坐标方程为r ρ=（常数0r >），曲线2C 的参数方程为()22131t x t y t -⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数）.（1）求曲线1C 的直角坐标方程和2C 的普通方程；（2）若曲线1C ，2C 有两个不同的公共点，求实数r 的取值范围.【答案】（1）1C ：222x y r +=，2C ：()2100x y y +-=≠；（2）11,22⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 【解析】【分析】（1）根据直角坐标与极坐标关系及题目条件cos sin x y r ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=⎩得曲线1C 的直角坐标方程，利用消元法消去t 可得2C 的普通方程；（2）若曲线1C ，2C 有两个不同的公共点，法一：方程联立利用根与系数关系，利用判别式解出即可求实数r 的取值范围；法二：数形结合可得圆心到直线距离小于半径，解出即可求实数r 的取值范围.【详解】（1）方法一：由cos sin x y r ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=⎩得：222x y r +=.由()22131t x t y t -⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩得：21x y +=，即()2100x y y +-=≠.∴曲线1C 的直角坐标方程为：222x y r +=，2C 的普通方程为：()2100x y y +-=≠. 方法二：由cos sin x y r ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=⎩得：222x y r +=. 由()221t x t -=+得：2212x t x +=-；由31y t =+得：3y t y -=. ∴22312x y x y+-=-.整理得2C 的普通方程为：()2100x y y +-=≠.∴曲线1C 的直角坐标方程为：222x y r +=，2C 的普通方程为：()2100x y y +-=≠. （2）方法一：由22221x y x y r+=⎧⎨+=⎩消y 得：225410x x r -+-=.由曲线1C ，2C 有两个不同的公共点得：22040r ∆=->，0r >解得：r >. 又当圆1C ：222x y r +=过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭时，有12r =，且曲线2C 表示不过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线. ∴12r ≠.∴实数r 的取值范围为11,522⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.方法二：圆心()0,0到直线210x y +-=的距离为：5d =.由曲线1C ，2C 有两个不同的公共点得：d r <，即5r >. 又当圆1C ：222x y r +=过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭时，有12r =，且曲线2C 表示不过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线. ∴12r ≠.∴实数r 的取值范围为11,22⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查直角坐标与极坐标的互化、参数方程与普通方程的互化、直线与圆的位置关系，解题的关键是熟记直角坐标与极坐标的互化关系，直线与圆的位置关系可借助二次方程判别式或距离关系求解，属于中等题.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|1,(0)f x m x m =--，且(1)0f x +≥的解集为[3,3]-．（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若正实数,,a b c 满足11123m a b c++=，求证：233a b c ++≥． 【答案】（1）3m =（2）见解析【解析】试题分析：(1)求解绝对值不等式可得3m = ；(2)由题意结合柯西不等式即可证得结论，注意等号成立的条件.试题解析：解：（Ⅰ）因为()1f x m x -=-，所以()10f x -≥等价于x m ≤， 由x m ≤，得解集为[],,(0)m m m ->又由()10f x -≥的解集为[]3,3-，故3m =． （Ⅱ）由（Ⅰ）知111323a b c++=， 又∵,,a b c 是正实数，∴23a b c ++= ()111123323a b c a b c ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭ 2133≥=． 当且仅当111,,23a b c ===时等号成立， 所以233a b c ++≥．点睛：根据柯西不等式的结构特征，利用柯西不等式对有关不等式进行证明，证明时，需要对不等式变形，使之与柯西不等式有相似的结构，从而应用柯西不等式．。