1.2.3 三角函数的诱导公式(3)
1.2.3 三角函数的诱导公式(3)
1.2.3 三角函数的诱导公式（3）一、课题：三角函数的诱导公式（3）二、三维目标：1、 知识与技能目标：熟练运用公式进行三角函数的求值、化简及恒等证明；2、 过程与方法目标：能运用化归思想解决与其它知识结合的综合性问题；3、情感态度价值目标：使学生学会全面的看问题，观察问题、分析问题，使学生会归纳、整理。
三、教学重、难点：1．熟练、准确地运用公式进行三角函数求值、化简及证明；2．带字母的三角函数的化简（分类讨论类型）。
教学方法：讲述法、启发法四、教学过程：（一）复习：1．复习五组诱导公式（包括正切）；2．分析记忆公式的口诀“函数名不变，符号看象限”；3．求任意角的三角函数的一般步骤。
4．练习：（1）化简：课本32页的练习第4题；（2）求值：①sin 315sin(1260)cos570sin(840)-+- ．（答案34） ②sin()sin(2)sin(3)sin(102)6666ππππππππ++++ ．（答案10212） （3）证明：sin(2)cos()1cos()sin(3)sin()sin παπαπαπαπαα-+=------． 说明：结合“口诀”，加强运用公式的熟练性、准确性。
（二）新课讲解： 例1 已知：tan 3α=，求2cos()3sin()4cos()sin(2)παπααπα--+-+-的值。
解：∵tan 3α=， ∴原式2cos 3sin 23tan 74cos sin 4tan αααααα-+-+===--． 说明：第二步到第三步应用了“弦化切”的技巧，即分子、分母同除以一个不为零的cos α，得到一个只含tan α的教简单的三角函数式。
变式训练：已知：1tan()2πα+=-，求s i n (7)c o s (5)απαπ-+的值。
解答：1tan()tan 2παα+==-， 原式222sin cos tan 2sin cos sin cos 1tan 5αααααααα====-++． 说明：同样应用上题的技巧，把sin cos αα看成是一个分母为1的三角函数式，注意结合“口诀”及22sin cos αα+的运用。
三角函数的诱导公式
1.2.3一．导学目标：12．简。
二．知识回顾：任意角的三角函数sinα= cos α= 三．新知导学1.观察图像,240,120,600002.与α终边相同的角k •+α角函数值ααcos )360cos(sin )360sin(00=•+=•+k k 3.)(1800απα--值αααcos )180cos(sin )180sin(00-=-=-4. )(1800απα++的三角函数值 ααααcos )180cos(sin )180sin(00-=+-=+ 5. )2(3600απα--或α-的三角函数值ααααcos )360cos(sin )360sin(00=--=-注：上述公式中，α公式中απαπαπ-+-2,,四．例题分析与巩固训练例1.求值（1）0300sin （2）分析：应用诱导公式化为特殊角（0 )6(300π )4(450π )3(600π)2(900π）等的三角函数值解：（1）0300sin =)60360sin(00-=060sin -=23-（2）236cos )6cos(67cos -=-=+=ππππ（3）πππππ43tan )432tan(411tan )411tan(-=+-=-=-14tan )4tan(==--=πππ巩固训练： 1.=-)4sin(π2.=π67tan3，=-)750cos(04.=01020tan例2.判断下列函数的奇偶性（1）x x f cos 1)(+= （2）x x x f cos sin )(•= 分析：①函数定义域关于原点对称②求)(x f -，若)()(x f x f -=-，函数为奇函数 若)()(x f x f =-，函数为偶函数 解：（1）)(x f 定义域为R)(cos 1)cos(1)(x f x x x f =+=-+=-∴)(x f 是偶函数（2）)(x f 定义域为R)(cos sin )cos()sin()(x f x x x x x f -=-=--=-∴)(x f 是奇函数巩固训练：1.判断下列函数的奇偶性（1）x x f sin )(= （2）x x x f sin )(--=例3.21)sin(-=+απ，求)4sin(απ-分析：只要求αsin 即可 解：21sin )sin()22sin()4sin(21sin 21sin )sin(-=-=-=•+-=-=-=-=+ααπααπαααπ巩固训练：A. 计算（1）54cos 53cos 52cos 5cos ππππ+++（2）00450sin 300tan +B.计算020*******cos 210sin 2135sin 150sin +++C.若41log )sin(8=-απ，且)0,2(πα-∈，求)cos(απ+五．名师点评六．学业达标A.求值（1）=-)417cos(π（2）=π326sin（3）=01650cos（4）=01740sinB ．化简（1）)(cos 2)sin()2sin(12ααππα--+-+（2）)606sin(1866sin 170tan 10tan 0000--++B. 已知,54)sin(=+πα且0cos sin <•αα，求)3cos(4)3tan(3)sin(2πααππα--+-的值。
1.2.3三角函数的诱导公式(苏教版)
180 180
sin cos
360 180
．
变式2化简： .
变式3：化简tan(2 )sin(2 ) cos( ) cos( )sin(5 )
特别提示：符号问题
小结
1、化任意角的三角函数为锐角三角函数的一般思 路为：
任意负角的 用公式 三角函数 三或一
任意正角的 三角函数
公式二：
与的三角函数关系 sin( ) ______. cos( ) ______. t an( ) ______.
的终边
(x, y)
（3）拓展：公式中锐角 能否推广到任意角 .
给定一个角 （1） 的终边与角的终边有什么关系？
（2）三角函数值与角的三角函数值有什么关系？
公式三：
用公式一
锐角的三 角函数
用公式 二或四
的 三角函数
上述过程体现了由未知到已知的化归思想。
“负化正，大化小，化到锐角为终了”。
作业布置：课本29页习题
敬请指点
sin( 2k ) _____,cos( 2k ) _____, tan( 2k ) ____（ _. k z）
思考1：它的作用是什么？
利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数转化
为 00到360（ 0 0到2）内的角的三角函数值. （大化小）
二、导入新课 互动：（抢答） 第一组：sin 300 ____,cos300 _____,tan300 _____.
四、示例应用
例1：（利用公式求值）
（1）sin 210 （2）cos 2 （3）t a（ n - ）
3
3
练习. 求sin( 16 )的值.
3
解：sin( 16 ) sin(16 ) sin(4 4 ) sin 4
完整版)三角函数诱导公式总结
完整版)三角函数诱导公式总结三角函数诱导公式与同角的三角函数知识点1】诱导公式及其应用诱导公式是指通过一些特定的公式，将三角函数中的某些角度转化为其他角度，从而简化计算。
以下是常用的诱导公式：公式一：sin(-α) = -sinα；cos(-α) = cosα；tan(-α) = -tanα公式二：sin(π+α) = -sinα；cos(π+α) = -cosα；tan(π+α) =tanα公式三：sin(π-α) = sinα；cos(π-α) = -cosα；tan(π-α) = -tanα公式四：sin(2π-α) = -sinα；cos(2π-α) = cosα；tan(2π-α) = -tanα公式五：sin(π/2-α) = cosα；cos(π/2-α) = sinα公式六：sin(π/2+α) = cosα；cos(π/2+α) = -sinα公式七：sin(-π/2-α) = -cosα；cos(-π/2-α) = -sinα公式八：sin(-π/2+α) = -cosα；cos(-π/2+α) = sinα公式九：sin(α+2kπ) = sinα；cos(α+2kπ) = cosα；tan(α+2kπ) = tanα（其中k∈Z）。
以上公式可以总结为两条规律：1.前四组诱导公式可以概括为：函数名不变，符号看象限。
2.公式五到公式八总结为一句话：函数名改变，符号看象限（原函数所在象限）。
另外，还有一个规律是：奇变偶不变，符号看象限。
也就是说，将三角函数的角度全部化成kπ/2+α或是kπ/2-α的形式，如果k是奇数，那么符号要改变；如果k是偶数，符号不变。
例1、求值：（1）cos(2916π)= ________；（2）tan(-855)= ________；（3）sin(-π)= ________。
例2、已知tan(π+α)=3，求：(2cos(-α)-3sin(π+α))/(4cos(-α)+sin(2π-α))的值。
1.2.3 三角函数的诱导公式(3)
1.2.3 三角函数的诱导公式（3）一、课题：三角函数的诱导公式（3）二、教学目标：1.牢固掌握五组诱导公式，熟练运用公式进行三角函数的求值、化简及恒等证明；2.能运用化归思想解决与其它知识结合的综合性问题；3.渗透分类讨论的数学思想，提高分析和解决问题的能力。
三、教学重、难点：1．熟练、准确地运用公式进行三角函数求值、化简及证明；2．带字母的三角函数的化简（分类讨论类型）。
四、教学过程：（一）复习：1．复习五组诱导公式（包括正切）；2．分析记忆公式的口诀“函数名不变，符号看象限”；3．求任意角的三角函数的一般步骤。
4．练习：（1）化简：课本32页的练习第4题；（2）求值：①sin315sin(1260)cos570sin(840)-+-． （答案34） ②sin()sin(2)sin(3)sin(102)6666ππππππππ++++． （答案10212） （3）证明：sin(2)cos()1cos()sin(3)sin()sin παπαπαπαπαα-+=------． 说明：结合“口诀”，加强运用公式的熟练性、准确性。
（二）新课讲解：例1 已知：tan 3α=，求2cos()3sin()4cos()sin(2)παπααπα--+-+-的值。
解：∵tan 3α=， ∴原式2cos 3sin 23tan 74cos sin 4tan αααααα-+-+===--． 说明：第二步到第三步应用了“弦化切”的技巧，即分子、分母同除以一个不为零的cos α，得到一个只含tan α的教简单的三角函数式。
变式训练：已知：1tan()2πα+=-，求sin(7)cos(5)απαπ-+的值。
解答：1tan()tan 2παα+==-，原式 222sin cos tan 2sin cos sin cos 1tan 5αααααααα====-++．说明：同样应用上题的技巧，把sin cos αα看成是一个分母为1的三角函数式，注意结合“口诀”及22sin cos αα+的运用。
三角函数的诱导公式(2)
利用诱导公式进行化简， 主要是进行角的转化， 最终
给定一个角 ，终边与角 的终边关于直线 y x 对 称的角与角 有什么关系？它们的三角函数之间又有 什么关系？能否说明？
sin(
2
) cos
2
O
公式 五
如何求 的三角函数值？ 2
2
)]
( cos )sin( )[ sin( )]sin[4 ( sin cos [ cos( )] 2
2
2
)]
( cos )sin [( sin )]sin(
sin tan . cos
sin(π -α) = sinα cos(π -α) = -cosα tan(π -α) = -tanα
诱导公式小结:
公式一、二、三、四都叫做诱导公式． 概括如下： 2k k Z , , 的三角函数值，等于 的同名函数值，前面
加上一个把 看成锐角时原函数值的符号.
口诀: “函数名不变，符号看象限”．
例2
sin α＋3πcosα＋π 化简： . 3 tanα＋πcos －α－π
2 2
2
sin α· －cos α －sin α· cos α 解 原式＝ ＝ 3 3 tan α· cos α＋π －tan α· cos α sin2α· cos α sin2αcos α sin α ＝ sin α ＝sin αcos2α＝cos α＝tan α. 3 · cos α cos α
cos( ) sin 2
cos( ) sin 2
三角函数的诱导公式【六公式】
）/ ）
九倍角
sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2 ）* （ 64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3 ））
cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2 ）* （ 64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3 ））
tan9A=tanA* （ 9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8 ） / （1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8 ）
例. c^3=c*c^2=c* （1-s^2 ）， c^5=c*(c^2 ） ^2=c* （ 1-s^2 ） ^2 ）
特殊公式
（sina+sin θ） * （ sina- sin θ） =sin （a+θ） *sin （ a- θ）
证明：（sina+sin θ） *（ sina- sin θ） =2 sin[ （θ +a)/2] cos[(a - θ)/2] *2 cos[ （θ +a)/2] sin[(a- θ） /2]
tan （α +β+γ） =（tan α+tan β+tan γ - tan α· tan β· tan γ） / （1- tan α· tan β - tan β· tan γ - tan α· tan γ）
（α +β+γ≠π /2+2k π，α、β、γ≠π /2+2k π）
积化和差的四个公式
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
诱导公式(3))
记忆：(把看成是锐角)函数名改变，符号看象限
总结：利用诱导公式求任意角的三角函数值一般步骤:
任意负角的三角函数
用公式 三、一
任意正角的三角函数
用公式 一
0°—360°间角的三角函数
用公式二、四、五,六
0°—90°间角的三角函数
查表
3 1
7
7
作业
1.已知sin 1， sin( ) 1,
3
求 sin(2 )
2、已知A、B、C为ABC的
三个内角，求证:
（1）cos(2A B C) cos A;
（2）tan( A B ) tan 3 C .
4
4
且0<α<π,0<β<π，求sinα、 3
sinβ的值。
例4、已知，cos(75 ) 1 ,
3
其中为第三象限角，
求cos(105 ) sin( 105)
例5,设 tan( 8 ) a
7
求证
sin(15
7
sin( 20
) 3cos( 13
7
) cos( 22
) )
a a
求值
例1、求三角函数值
(1)cos 510
(2)
(4)tan( 330)
例2、求证
sin(2 ) tan( ) cot( ) 1 cos( ) tan( 3 )
例3若sin(3π-α)= 2 sin(2π+β),
3 cos(-α)=- 2 cos(π+β)，
sin(180°-α) =sinα cos(180°-α) = -cosα tan(180°-α)=-tanα
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1.2.3 三角函数的诱导公式（3）
教学过程： （一）复习：
1．复习五组诱导公式（包括正切）；
2．分析记忆公式的口诀“函数名不变，符号看象限”； 3．求任意角的三角函数的一般步骤。
4．练习：
（1）化简：课本32页的练习第4题；
（2）求值：①sin 315sin(1260)cos 570sin(840)-+-
． （答案
34
）
②sin ()sin (2)sin (3)sin (102)6
6
6
6
π
π
π
π
ππππ+
+
+
+
． （答案102
12
）
（3）证明：
sin (2)co s()1co s()sin (3)sin ()
sin παπαπαπαπαα
-+=-
-----．
说明：结合“口诀”，加强运用公式的熟练性、准确性。
（二）新课讲解：
例1 已知：tan 3α=，求
2co s()3sin ()4co s()sin (2)
παπααπα--+-+-的值。
解：∵tan 3α=，
∴原式2co s 3sin 23tan 74co s sin 4tan ααααα
α
-+-+=
=
=--．
说明：第二步到第三步应用了“弦化切”的技巧，即分子、分母同除以一个不为零的
co s α，得到一个只含tan α的教简单的三角函数式。
变式训练：已知：1tan ()2
πα+=-，求sin(7)cos(5)απαπ-+的值。
解答：1tan ()tan 2
παα+==-
，原式
2
2
2
sin co s tan 2sin co s sin co s 1tan 5
ααααααα
α
==
=
=-
++．
说明：同样应用上题的技巧，把sin cos αα看成是一个分母为1的三角函数式，注意结
合“口诀”及2
2
sin cos αα+的运用。
例2 已知3
sin 5
α=-
，且α是第四象限角，求tan [cos(3)sin(5)]απαπα--+的值。
解：tan [cos(3)sin(5)]απαπα--+
tan [cos()sin()]απαπα=--+tan (cos sin )ααα=-+
tan sin tan cos αααα=-sin (tan 1)αα=-
由已知得：43co s ,tan 5
4
αα=
=-
， ∴原式21
20
=
．
说明：关键在于抓住α是第四象限角，判断co s ,sin αα的正负号，利用同角三角函数
关系式得出结论。
变式训练：将例2中的“α是第四象限角”条件去掉，结果又怎样？ 解答：原式sin (tan 1)αα=-，
∵sin α为负值，∴α是第三、四象限角。
当α是第三象限角时，43co s ,tan 5
4
αα=-
=
．∴原式320
=
．
当α是第四象限角时，即为上例。
说明：抓住已知条件判断α角所在象限，利用分类讨论的思想，同上题类似做法，得出结论。
例3 化简
sin()sin()()sin ()co s()
n n n Z n n απαπαπαπ++-∈+-．
解：①当2,n k k Z =∈时， 原式sin (2)sin (2)2sin (2)co s(2)
co s k k k k απαπαπαπα
++-=
=
+-．
②当21,n k k Z =+∈时， 原式sin [(21)]sin [(21)]2sin [(21)]co s[(21)]
co s k k k k απαπαπαπα
+++-+=
=-
++-+．
说明：关键抓住题中的整数n 是表示π的整数倍与公式一中的整数k 有区别，所以必须把n
分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论。
五、小结：1．熟练运用公式化简、求值、证明；
2．运用化归思想和分类讨论的思想分析解决问题。
六、作业： 补充：1．化简
sin()cos()
cos[(1)]
n n n παπαπα+-+-；
2．化简sin()sin(2)sin(3)sin()k παπαπαπα++++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+且k Z ∈；。