Matlab软件在高等数学教学中的应用举例

线性代数作为讨论有限维空间线性关系理论的一门经典课程，由于其与实际问题的密切联系，在自然科学、社会科学，工程科学和军事技术中已得到广泛应用[1]。

由于线性代数知识体系具有较强的抽象性，不少同学在线性代数的学习过程觉得课程过于抽象难于理解，因此有必要对常规的线性代数教学进行一定的改革。

通过引入数学软件，可以一定在程度上帮助学生直观深入地了解知识点，辅助课堂教学，提高线性代数的课堂教学质量，同时也可以提高学生分析实际问题，解决实际问题的能力[2-3]。

Matlab（Matrix Laboratory的简称）软件是在20世纪80年代由Mathworks软件公司开发的一款数值计算软件，该软件以矩阵为基本运算单元，具有较强的科学计算功能和可视化功能[4]。

借助Matlab，用户可以进行数值计算、符号计算、数学建模和数值仿真并将计算结果通过友好的图形界面进行显示，方便用户对计算过程和结果进行分析和观察。

本文将结合线性代数中的几个知识点[5]，介绍Matlab软件在线性代数教学中的应用。

1 Matlab在线性代数教学中的应用
1.1 Matlab在行列式求解中的应用
关于行列式的计算，在线性代数教材中给出了定义法，按行（列）展开法或利用行列式性质求解等计算方法。

实际上，对于低阶行列式很容易通过这些方法求解求其值，但对于高阶行列式，人工计算不但耗时，而且容易出错，使用Matlab可以很容易地解决这一问题。

对于给定方阵A，在Matlab中求解行列式的公式为：det（A）。

下面给出一个程序实例。

>> A=[2 3 11 5； 1 1 5 2；2 1 3 2；1 1 3 4]；
>> det（A）
ans = 14
1.2 Matlab在矩阵求秩和向量组极大无关组求解中的应用
对于矩阵的求秩和向量组极大无关组的求解，Matlab提供了直接的命令，在此我们结合一个实例直接说明。

对于A=α■，α■，α■，α■=2 1 2 34 1 3 52 0 1 2，
求A的秩和将A化为行简化阶梯形矩阵的代码为：
>> A=[2 1 2 3；4 1 3 5；2 0 1 2]；
>> n=rank（A）
n=2
>> B=rref（A）
B = 1.0000 0 0.5000 1.0000
0 1.0000 1.0000 1.0000
0 0 0 0
通过上述代码，我们可以看到A的秩为2，B为A化为行简化阶梯形矩阵后对应的形式。

通过对B的分析，我们可以看出α■，α■是向量组α■，α■，α■，α■的一个极大无关组，且有α■=0.5α■+α■，α■=α■+α■。

1.3 Matlab在线性方程组求解中的应用
线性方程组求解是线性代数的重要知识点之一，对于给定线性方程组Ax=b，当且仅当r（A，b）=r（A）时，方程组有解；在此前提下，若r（A）<方程组中未知量的个数n，方程组有无穷多解，若r（A）=n，方程组解唯一。

在Matlab中，求解线性方程组A■x=b的命令为：x=A＼b。

针对m和n不同的大小关系，软件采用不同的算法来解决方程组的求解问题。

当m=n时，如果A非奇异，系统直接给出方程组的解；如果A 是奇异的，系统一方面给出警告信息，另一方面，给出结果为inf；如果A接近奇异，系统则给出警告信息。

当m>n时，MATLAB利用上述命令寻求方程组的最小二乘解。

当m
>> A=[1 -1 1 -2；2 0 -1 4；3 2 1 0；-1 2 -1 2]；
>> b=[2；4；-1；-4]；
>> x=A＼b
x=1.0000
-2.0000
-0.0000
0.5000
在该例中，系数矩阵A非奇异，计算结果显示的是方程组唯一的解。

1.4 Matlab在特征值求解中的应用
在Matlab 中，使用命令V，D=eig（A）来求解方阵A的特征值和特征向量，矩阵D是以A的特征值为对角元的对角矩阵，V是以与D中特征值对应的特征向量为列向量形成的矩阵。

下面给出一个实例。

>> A=[3 1；5 -1]；
>> [V，D]=eig（A）
V=0.7071 -0.1961
0.7071 0.9806
D=4 0
0 -2
2 结语
本文中，我们结合线性代数中的几个知识点，介绍了Matlab软件在线性代数教学中的应用。

将Matlab引入到线性代数的教学过程中，一方面，可以帮助学生比较直观地理解知识点；另一方面，也可以通过让学生参与应用实例分析求解，侧面提高学生的动手能力，激发学生学习兴趣，提高线性代数课堂教学质量。

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