2019年高考文科数学知识点总结：直线和圆

2019年高考文科数学知识点总结：直线和圆

直线和圆

70、直线的倾斜角的概念：当直线l 与x 轴相交时, 取x 轴作为基准, x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.特别地,当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°. 倾斜角α的值范围： 0°≤α＜180°.

71、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；当α∈[0°，90°)时，α越大，l 的斜率越大；当α∈(90°，180°)时，α越大，l 的斜率越大．

（2）斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212

121x x x x y y k ≠--=； 72、直线的方程： (1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，过定点00(,)P x y 的直线要设成x=x 0和)(00x x k y y -=-）；

(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等?直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数?直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等?直线的斜率为1±或直线过原点。

73、点到直线的距离及两平行直线间的距离：

（1）点00(,)P x y 到直线Ax ＋By ＋C ＝0

的距离d =；

（2）两平行线1122:0,:0l Ax By C l Ax By C ++=++=

间的距离为d =

74、直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=的位置关系：

（1）平行?12210A B A B -=（斜率相等）且12210B C B C -≠（在y 轴上截距不等）

； （2）直线Ax 1＋B 1y ＋C 1＝0与直线Ax 2＋B 2y ＋C 2＝0垂直?12120A A B B +=。

75、对称问题：

（1）中心对称

①点P (x ，y )关于O (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足x ′=2a-x, y ′=2b-y ②直线关于点的对称可能转化为点关于点的对称问题来解决．

(2)轴对称

①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，

②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.

提醒：在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解。

76、简单的线性规划：

（1）二元一次不等式表示的平面区域：用特殊点判断；②无等号时用虚线表示不包含直线l ，有等号时用实线表示包含直线l ；

（2）求解线性规划问题的步骤是什么？①根据实际问题的约束条件列出不等式；②作出可行域，写出目标函数；③确定目标函数的最优位置，从而获得最优解。

（3）在求解线性规划问题时要注意：①将目标函数改成斜截式方程；②寻找最优解时注意作图规范；③注意直线的斜率正负对最值取点的影响。

（4）线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值。

77、圆的方程：

⑴圆的标准方程：()()22

2x a y b r -+-=。 ⑵圆的一般方程：22220(D E 4F 0)＋－x y Dx Ey F ++++=>，

⑶圆的参数方程：{cos sin x a r y b r θθ=+=+（θ为参数），其中圆心为(,)a b ，半径为r 。

78、直线与圆的位置关系：直线:0l Ax By C ++=和圆()()222C ：x a y b r -+-=

()0r >有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断：

（1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：0?>?相交；0?

（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为d ，则d r ?相离；d r =?相切。

79、圆与圆的位置关系（用两圆的圆心距与半径之间的关系判断）：已知两圆的圆心分别为

12O O ，，半径分别为12,r r ，则（1）当1

212|O O r r |>+时，两圆外离；（2）当1212|O O r r |=+时，两圆外切；（3）当121212<|O O r r r r -|<+时，两圆相交；（4）当1212|O O |r r |=|-时，两圆内切；（5）当12120|O O |r r ≤|<|-时，两圆内含。

80、圆的切线与弦长：

(1)切线：①过圆222x y R +=上一点P (x 0,y 0)圆的切线方程是：200xx yy R +=，过圆

222()()x a y b R -+-=上一点P (x 0,y 0)圆的切线方程是：200()()()()x a x a y a y a R --+--=，

一般地，如何求圆的切线方程？（抓住圆心到直线的距离等于半径）；②从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法（抓住圆心到直线的距离等于半径）来求；③过两切点的直线（即“切点弦”）方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程；③切线长：圆

（2）弦长问题：①圆的弦长的计算：常用弦心距d ，弦长一半12

a 及圆的半径r 所构成的直角三角形来解：2221

()2

r d a =+；②过两圆1:(,)0C f x y =、2:(,)0C g x y =交点的圆(公共弦)系为(,)(,)0f x y g x y λ+=，当1λ=-时，方程(,)(,)0f x y g x y λ+=为两圆公共弦所在直线方程.。