第七次作业(谓词公式类型及等值演算)
第七次作业（谓词公式类型及等值演算）
第七次作业（谓词公式类型及等值演算）一. 利用代换实例判断下列公式的类型(1) (?xA(x)→?xA(x))→(??yB(y)∨?yB(y))(2) ?(?xF(x)→?xB(x))∧?xB(x)二. 利用等值演算, 求证?x?y(P(x)→Q(y))??xP(x)→?yQ(y)三. 利用等值演算,求证??x?y(F(x) ∧(G(y) →H(x,y))) ??x?y((F(x) →G(y))∧( F(x) →? H(x,y)))一. 利用代换实例判断下列公式的类型(1) (?xA(x)→?xA(x))→(??yB(y)∨?yB(y))(2) ?(?xF(x)→?xB(x))∧?xB(x)二. 利用等值演算, 求证?x?y(P(x)→Q(y))??xP(x)→?yQ(y)三. 利用等值演算,求证??x?y(F(x) ∧(G(y) →H(x,y))) ??x?y((F(x) →G(y))∧( F(x) →? H(x,y)))一. 利用代换实例判断下列公式的类型(1) (?xA(x)→?xA(x))→(??yB(y)∨?yB(y))(2) ?(?xF(x)→?xB(x))∧?xB(x)二. 利用等值演算, 求证?x?y(P(x)→Q(y))??xP(x)→?yQ(y)三. 利用等值演算,求证??x?y(F(x) ∧(G(y) →H(x,y))) ??x?y((F(x) →G(y))∧( F(x) →? H(x,y)))一. 利用代换实例判断下列公式的类型(1) (?xA(x)→?xA(x))→(??yB(y)∨?yB(y))(2) ?(?xF(x)→?xB(x))∧?xB(x)二. 利用等值演算, 求证?x?y(P(x)→Q(y))??xP(x)→?yQ(y)三. 利用等值演算,求证??x?y(F(x) ∧(G(y) →H(x,y))) ??x?y((F(x) →G(y))∧( F(x) →? H(x,y)))一. 利用代换实例判断下列公式的类型(1) (?xA(x)→?xA(x))→(??yB(y)∨?yB(y))(2) ?(?xF(x)→?xB(x))∧?xB(x)二. 利用等值演算, 求证?x?y(P(x)→Q(y))??xP(x)→?yQ(y)三. 利用等值演算,求证??x?y(F(x) ∧(G(y) →H(x,y))) ??x?y((F(x) →G(y))∧( F(x) →? H(x,y)))一. 利用代换实例判断下列公式的类型(1) (?xA(x)→?xA(x))→(??yB(y)∨?yB(y))(2) ?(?xF(x)→?xB(x))∧?xB(x)二. 利用等值演算, 求证?x?y(P(x)→Q(y))??xP(x)→?yQ(y)三. 利用等值演算,求证??x?y(F(x) ∧(G(y) →H(x,y))) ??x?y((F(x) →G(y))∧( F(x) →? H(x,y)))一. 利用代换实例判断下列公式的类型(1) (?xA(x)→?xA(x))→(??yB(y)∨?yB(y))(2) ?(?xF(x)→?xB(x))∧?xB(x)二. 利用等值演算, 求证?x?y(P(x)→Q(y))??xP(x)→?yQ(y)三. 利用等值演算,求证??x?y(F(x) ∧(G(y) →H(x,y))) ??x?y((F(x) →G(y))∧( F(x) →? H(x,y)))一. 利用代换实例判断下列公式的类型(1) (?xA(x)→?xA(x))→(??yB(y)∨?yB(y))(2) ?(?xF(x)→?xB(x))∧?xB(x)二. 利用等值演算, 求证?x?y(P(x)→Q(y))??xP(x)→?yQ(y)三. 利用等值演算,求证??x?y(F(x) ∧(G(y) →H(x,y))) ??x?y((F(x) →G(y))∧( F(x) →? H(x,y)))。
谓词公式与翻译(精)
（4）谓词
P（x）为P（a）= 0，P（b）= 1；
Q（x，y）为Q（a，a）= 0，Q（a，b）= Q（b，a）= Q（b，b）
= 1；
L（x，y）为L（a，b）=L（b，a）= 0，L（a，a）= L（b，b）=
1。
求下列公式在解释I下的真值
2）x（ P（f（x））∧Q（x，f（x）））；
在解释I下
5
2.3 谓词公式与翻译
由例可知，对于命题翻译成谓词公式时，机动性很大，由于对个 体描述性质的刻划深度不同，就可翻译成不同形式的谓词公式。
例如：这只大红书柜摆满了那些古书
解法1：
解法2：
设：F(x,y): x摆满了y
设：F(x,y): x摆满了y
R(x): x是大红书柜
x（ P（f（x））∧Q（x，f（x）））
=（ P（f（a））∧Q（a，f（a）））∨（ P（f（b））∧Q（b，f
（b）））
=（ P（b）∧Q（a，b））∨（ P（a）∧Q（b，a））
=（ 1∧1）∨（ 0∧1）
= 1∨0
= 1 2019/6/3
10
【例2.2.1】给定解释I如下
（1）U =｛a，b｝；
人总是要犯错误的。
解：设F(x)：x犯错误，M(x)：x是人。则上句符
号化为：
(a) ┒(x)(M(x)⋀┒F(x)) (b) x(M(x)→F(x)) 【例2】尽管有人聪明但未必一切人都聪明。
解：设P(x)：x聪明，M(x)：x是人。则上句符号 化为：
2019/6/3 x(M(x)⋀P(x))⋀┒(x(M(x)→P(x)))
2019/6/3
7
2.3 谓词公式与翻译
第六讲谓词演算的永真公式
二、谓词演算的基本永真公式
5 量词的分配形式 ① x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x) ② x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x) ③ x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x) ④ xA(x) xB(x) x(A(x) B(x)) 证： ①因为对一切x，A(x) B(x)为真，等价于对一切x， A(x)为真且B(x)为真。 ② 对① x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x) 用¬A(x), ¬B(x)分别取代A(x),B(x),则
二、谓词演算的基本永真公式
1.命题演算的永真公式也是谓词演算的永真公式。 因为谓词演算是命题演算的扩充，所以列于表 1.2 -1 , 表1.2 -2 的恒等式和永真蕴含式同样适用于 谓词演算。 2.量词的增加与删除 1）
xA A xA A
A中不含自由变元x
因为A不含自由变元x，所以A的真值与x无关，故恒等 式成立。
谢谢同学们的主动配合！ 愿大家天天快乐！
一、谓词演算基本概念
4. 两个任意谓词公式A和B,
1) A与B等价， A B iffA B 永真； E 2)在E上A与B等价，A B iffA B 在E上永真.
5. 两个任意谓词公式A和B, 1) A永真蕴含B ， A B iff A → B 永真； E 2)在E上A永真蕴含B， A B iff A → B 在E上永真.
将y代以w，得xP(x, w) Q(w, w)
注意： 换名规则的对象：只用于约束变元，换名后所得公式与原式等价；
代入规则的对象：只用于自由变元，换名后所得公式与原式一般
不等价，除非是永真式。
三、变换规则
2）在一公式中, 一个n元(n≥0)谓词变元F(x1, x2,…, xn)可 代以至少有n个自由个体变元的公式G(y1, y2, …, yn, yn+1, …, yn+r), (这里r≥0, y1, y2, …, yn是分别对应于 x1, x2,…, xn的任意选定的n个自由变元), 只须该n元谓词 出现的各处都同样代入, 且代入的公式中, 后边的r个自由 变元不允许在原公式中以约束变元出现; 而F(x1,x2, …, xn) 中的变元也不允许在代入的公式中以约束变元出现。 例如:a) P Q P Q，
离散数学作业标准答案
离散数学作业标准答案离散数学作业⼀、选择题1、下列语句中哪个是真命题（C ）。
A ．我正在说谎。
B ．如果1+2=3，那么雪是⿊⾊的。
C ．如果1+2=5，那么雪是⽩⾊的。
D ．严禁吸烟！2、设命题公式))((r q p p G →∧→=，则G 是（ C ）。
A. 恒假的B. 恒真的C. 可满⾜的D. 析取范式 3、谓词公式),,(),,(z y x yG x z y x F ??→中的变元x （ C ）。
A ．是⾃由变元但不是约束变元 B ．既不是⾃由变元⼜不是约束变元 C ．既是⾃由变元⼜是约束变元 D ．是约束变元但不是⾃由变元4、设A={1，2，3}，则下列关系R 不是等价关系的是（C ）A ．R={<1，1>，<2，2>，<3，3>}B ．R={<1，1>，<2，2>，<3，3>，<2，3>，<3，2>}C ．R={<1，1>，<2，2>，<3，3>，<1，4>}D ．R={<1，1>，<2，2>，<3，3>，<1，2>，<1，3>，<2，3>，<2，1>，<3，1>，<3，2>} 5、设R 为实数集，映射σ=R →R ，σ（x ）= -x 2+2x-1，则σ是（ D ）。
A ．单射⽽⾮满射 B ．满射⽽⾮单射 C ．双射 D ．既不是单射，也不是满射 6、下列⼆元运算在所给的集合上不封闭的是（ D ） A. S={2x-1|x ∈Z +}，S 关于普通的乘法运算 B. S={0，1}，S 关于普通的乘法运算 C. 整数集合Z 和普通的减法运算D. S={x | x=2n ，n ∈Z +}，S 关于普通的加法运算7、*运算如下表所⽰，哪个能使（{a,b}，*）成为含⼳元半群（ D ）b a b b a a b a * b b b a a a b a * a a b a a a b a * a b b b a a b a *A B C D8、下列图中是欧拉图的是（ A ）。
《离散数学》谓词逻辑
§3.5 前束范式
§3.6 谓词逻辑的推理
4
谓词与量词
个体词（individual）是一个命题里表示思维
对象的词，表示独立存在的具体或抽象的客体
具体的、确定的个体词称为个体常项，一般用
a, b, c 表示
抽象的、不确定的个体词称为个体变项，一般
用 x, y, z 表示
个体变项的取值范围称作个体域或论域
那么在解释2下该命题是真命题。
24
谓词公式及分类
类似于命题逻辑，也可以对谓词逻辑
公式进行分类：
设 A 为一个谓词公式，若 A 在任何解
释下真值均为真，则称 A 为普遍有效
的公式或逻辑有效式（logically valid
formula）
例
(x)
(P(x)∨P(x))
(x) P(x) P(y)
第三章 谓词逻辑
《离散数学及应用》
第三章 谓词逻辑
苏格拉底三段论：
凡是人都是要死的。
苏格拉底是人。
所以苏格拉底是要死的。
p∧q r
重言式？正确的推理？
2
第三章 谓词逻辑
为了克服命题逻辑的局限性，引入了
3
谓词和量词对原子命题和命题间的相
互关系做进一步的剖析，从而产生了
为谓词。这是一元（目）谓词，以
P(x), Q(x), …表示。
例
Human
(Socrates)
Mortal (Socrates)
7
谓词与量词
如果在命题里的个体词多于一个，那
么表示这几个个体词间的关系的词称
作谓词。这是多元（目）谓词，有 n
个个体的谓词 P(x1, …, xn) 称 n 元（目）
离散数学的谓词逻辑详解
全称量词:
1.全称量词 ： （任意，所有） x: “对一切x”，“对所有的x”， “对任一x”
如： x P(x) ┐ x P(x) x ┐ P(x)
“对一切x，P(x)是真” “并非对一切x，P(x)是真” “对一切x， ┐ P(x) 是真”
如: “ 所有人都是要死的”
于是令 M（x）：x是人。 （1） x（M(x)→D(x)) （2） x (M（x）∧ ┐G（x））
命题符号化(翻译)：
将汉语(或其他自然语言)语句翻译成逻辑表 达式，这在数学、逻辑编程、人工智能、软 件工程以及许多其他学科中都是一项重要的 任务。翻译的目的是生成简单而有用的逻辑 表达式。
命题符号化：
1.谓词与个体词
将简单命题分解成个体与谓词这样两个组成部分。谓词，通 常是用来描述个体的性质或特征，或者个体之间的关系。谓 词逻辑，是命题逻辑的扩充与发展 。
例1：下面两个命题 1. 张华是学生 2. 李明是学生
a: 张华 b:李明 H：是学生 ，则 H（x）:x是学生
1，2可分别表示成 H(a) ，H(b). 这样表示就揭示了两命题间有相同的谓语这一特征。
变元的约束
例1 ： 令 P（x， y）：“ x<y ”， Q（x）：x是有理数； F（x）：x可以表示为分数。
判断下列式子那些是命题函数，那些是命题？
P(x， y)
P(x， y)∧Q(x)
Q(x) → F(x) x（Q(x)→ F(x)) x Q(x)→ F(x)
自由变元与约束变元
[定义] 紧接于量词之后最小的子公式称为量词的辖 域．(量词的辖域是紧接其后的公式，除非辖域是个 原子公式，否则应在公式的两侧插入圆括号。)
1.7谓词演算的永真公式
（15） （16） （17）
例如：设个体域D为联欢会上所有的人组成的集合， A(x)：x唱歌。 B(x)：x跳舞。
1 x(A(x)∧B(x))： 联欢会上所有的人既唱歌又跳舞。 与 xA(x)∧xB(x)： 联欢会上所有的人唱歌且所有的人
跳舞。（含义相同） 2 x(A(x)∨B(x))： 联欢会上有人唱歌或跳舞。 与 xA(x)∨xB(x)： 联欢会上有人唱歌，或联欢会上有
人跳舞。（含义相同）
14
NUIST
证明：设D为任意一个个体域，I为任意一个指派。 x(A(x)∧B(x))：对于D中所有的ｘ，A(x)和B(x)都是真的。 xA(x)∧xB(x)：对于D中所有的ｘ，A(x)是真的；同时对
于D中所有的ｘ，B(x)也是真的。---两个命题是等价的。
x(A(x)∨B(x))：D中存在ｘ，能使Ａ(ｘ)或者Ｂ(ｘ)为真。 xA(x)∨xB(x)：D中存在ｘ能使Ａ(ｘ)为真，或者D中存在
指定：1.个体域D为全总个体域
2.Ｐ(x)：x是人；Ｑ(x)：x是黄种人。
则x(P(x)→Q(x))：所有的人都是黄种人。 F
思考：若 个体域D为实数集
Ｐ(x)：x是自然数；Ｑ(x)：x是有理数。
2
NUIST
例1-7-1 给定一个解释I： D={2，3}； D中的特定元素 a=2 D上的特定谓词 F(x)为：F(2)=0，F(3)=1 L(x,y)为：L(2,2)= L(3,3)=1; L(2,3)=L(3,2)=0.
等价（永真蕴含） 1 若A和B在任意个体域上都是等价的，则称谓词公式A和B
等价，记作：AB。 2 若A和B在任意个体域上都有A永真蕴含B，则称谓词公式A
永真蕴含B，记作：AB。
8
第2章 逻辑代数(下)：谓词演算
第2章逻辑代数（下）：谓词演算2.1 谓词演算基本概念2.1.1 个体谓词演算中把一切讨论对象都称为个体(individuals)，它们可以是客观世界中的具体客体，也可以是抽象的客体，诸如数字、符号等。
确定的个体常用a，b，c等小写字母或字母串表示。
a，b，c等小写字母或字母串称为个体常元(constants)。
不确定的个体常用字母x，y，z，u，v，w等来表示。
它们被称为个体变元，或变元(variables)。
谓词演算中把讨论对象——个体的全体称为个体域(domain of individuals)，常用字母D表示，并约定个体域都是非空的集合。
当讨论对象未作具体指定，而是泛指一切客体时，个体域特称为全总域(universe)，用字母U表示。
当给定个体域时，常元表示该域中的一个确定的成员，而变元则可以取该域中的任何一个成员为其值。
表示D上运算的运算符与常元、变元可组成所谓个体项(terms)。
例如，数学中的代数式a2+b，x2c等。
由于在我们讨论的谓词演算中，其变元只能取值个体对象，不能取值函数、命题或谓词，因此，它又常被叫做一阶谓词演算。
2.1.2 谓词2.1.3 量词谓词演算中的量词(quantifiers)指数学中常用的数量词“所有的”（或“每一个”）和“有”（或“存在”），用符号∀和∃来表示，分别称为全称量词和存在量词。
为了用全称量词∀表示个体域中所有（每一个）个体满足一元谓词P，用存在量词∃表示有（存在）个体满足一元谓词P，还需使用变元：∀xP(x) 读作“所有（任意，每一个）x满足P(x)”，表示个体域中所有的个体满足谓词P(x)。
∃x P(x) 读作“有（存在，至少有一个）x满足P(x)”，表示个体域中至少有一个体满足谓词P(x)。
当量词用于一谓词填式或复合的谓词表达式时，该谓词或复合的谓词表达式称为量词的辖域(domains of quantifiers)。
因此，量词的辖域或者是紧邻其右侧的那个谓词；或者是其右侧第一对括号内的表达式。
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一. 利用代换实例判断下列公式的类型
(1) (∀xA(x)→∀xA(x))→(⌝∃yB(y)∨∃yB(y))
(2) ⌝(∀xF(x)→∃xB(x))∧∃xB(x)
二. 利用等值演算, 求证∀x∀y(P(x)→Q(y))⇔∃xP(x)→∀yQ(y)
三. 利用等值演算,
求证⌝∃x∀y(F(x) ∧(G(y) →H(x,y))) ⇔∀x∃y((F(x) →G(y))∧( F(x) →⌝ H(x,y)))
一. 利用代换实例判断下列公式的类型
(1) (∀xA(x)→∀xA(x))→(⌝∃yB(y)∨∃yB(y))
(2) ⌝(∀xF(x)→∃xB(x))∧∃xB(x)
二. 利用等值演算, 求证∀x∀y(P(x)→Q(y))⇔∃xP(x)→∀yQ(y)
三. 利用等值演算,
求证⌝∃x∀y(F(x) ∧(G(y) →H(x,y))) ⇔∀x∃y((F(x) →G(y))∧( F(x) →⌝ H(x,y)))
一. 利用代换实例判断下列公式的类型
(1) (∀xA(x)→∀xA(x))→(⌝∃yB(y)∨∃yB(y))
(2) ⌝(∀xF(x)→∃xB(x))∧∃xB(x)
二. 利用等值演算, 求证∀x∀y(P(x)→Q(y))⇔∃xP(x)→∀yQ(y)
三. 利用等值演算,
求证⌝∃x∀y(F(x) ∧(G(y) →H(x,y))) ⇔∀x∃y((F(x) →G(y))∧( F(x) →⌝ H(x,y)))
一. 利用代换实例判断下列公式的类型
(1) (∀xA(x)→∀xA(x))→(⌝∃yB(y)∨∃yB(y))
(2) ⌝(∀xF(x)→∃xB(x))∧∃xB(x)
二. 利用等值演算, 求证∀x∀y(P(x)→Q(y))⇔∃xP(x)→∀yQ(y)
三. 利用等值演算,
求证⌝∃x∀y(F(x) ∧(G(y) →H(x,y))) ⇔∀x∃y((F(x) →G(y))∧( F(x) →⌝ H(x,y)))
一. 利用代换实例判断下列公式的类型
(1) (∀xA(x)→∀xA(x))→(⌝∃yB(y)∨∃yB(y))
(2) ⌝(∀xF(x)→∃xB(x))∧∃xB(x)
二. 利用等值演算, 求证∀x∀y(P(x)→Q(y))⇔∃xP(x)→∀yQ(y)
三. 利用等值演算,
求证⌝∃x∀y(F(x) ∧(G(y) →H(x,y))) ⇔∀x∃y((F(x) →G(y))∧( F(x) →⌝ H(x,y)))
一. 利用代换实例判断下列公式的类型
(1) (∀xA(x)→∀xA(x))→(⌝∃yB(y)∨∃yB(y))
(2) ⌝(∀xF(x)→∃xB(x))∧∃xB(x)
二. 利用等值演算, 求证∀x∀y(P(x)→Q(y))⇔∃xP(x)→∀yQ(y)
三. 利用等值演算,
求证⌝∃x∀y(F(x) ∧(G(y) →H(x,y))) ⇔∀x∃y((F(x) →G(y))∧( F(x) →⌝ H(x,y)))
一. 利用代换实例判断下列公式的类型
(1) (∀xA(x)→∀xA(x))→(⌝∃yB(y)∨∃yB(y))
(2) ⌝(∀xF(x)→∃xB(x))∧∃xB(x)
二. 利用等值演算, 求证∀x∀y(P(x)→Q(y))⇔∃xP(x)→∀yQ(y)
三. 利用等值演算,
求证⌝∃x∀y(F(x) ∧(G(y) →H(x,y))) ⇔∀x∃y((F(x) →G(y))∧( F(x) →⌝ H(x,y)))
一. 利用代换实例判断下列公式的类型
(1) (∀xA(x)→∀xA(x))→(⌝∃yB(y)∨∃yB(y))
(2) ⌝(∀xF(x)→∃xB(x))∧∃xB(x)
二. 利用等值演算, 求证∀x∀y(P(x)→Q(y))⇔∃xP(x)→∀yQ(y)
三. 利用等值演算,
求证⌝∃x∀y(F(x) ∧(G(y) →H(x,y))) ⇔∀x∃y((F(x) →G(y))∧( F(x) →⌝ H(x,y)))。