《应用离散数学》谓词公式及其解释
《离散数学》谓词逻辑
§3.5 前束范式
§3.6 谓词逻辑的推理
4
谓词与量词
个体词（individual）是一个命题里表示思维
对象的词，表示独立存在的具体或抽象的客体
具体的、确定的个体词称为个体常项，一般用
a, b, c 表示
抽象的、不确定的个体词称为个体变项，一般
用 x, y, z 表示
个体变项的取值范围称作个体域或论域
那么在解释2下该命题是真命题。
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谓词公式及分类
类似于命题逻辑，也可以对谓词逻辑
公式进行分类：
设 A 为一个谓词公式，若 A 在任何解
释下真值均为真，则称 A 为普遍有效
的公式或逻辑有效式（logically valid
formula）
例
(x)
(P(x)∨P(x))
(x) P(x) P(y)
第三章 谓词逻辑
《离散数学及应用》
第三章 谓词逻辑
苏格拉底三段论：
凡是人都是要死的。
苏格拉底是人。
所以苏格拉底是要死的。
p∧q r
重言式？正确的推理？
2
第三章 谓词逻辑
为了克服命题逻辑的局限性，引入了
3
谓词和量词对原子命题和命题间的相
互关系做进一步的剖析，从而产生了
为谓词。这是一元（目）谓词，以
P(x), Q(x), …表示。
例
Human
(Socrates)
Mortal (Socrates)
7
谓词与量词
如果在命题里的个体词多于一个，那
么表示这几个个体词间的关系的词称
作谓词。这是多元（目）谓词，有 n
个个体的谓词 P(x1, …, xn) 称 n 元（目）
离散数学的谓词逻辑详解
全称量词:
1.全称量词 ： （任意，所有） x: “对一切x”，“对所有的x”， “对任一x”
如： x P(x) ┐ x P(x) x ┐ P(x)
“对一切x，P(x)是真” “并非对一切x，P(x)是真” “对一切x， ┐ P(x) 是真”
如: “ 所有人都是要死的”
于是令 M（x）：x是人。 （1） x（M(x)→D(x)) （2） x (M（x）∧ ┐G（x））
命题符号化(翻译)：
将汉语(或其他自然语言)语句翻译成逻辑表 达式，这在数学、逻辑编程、人工智能、软 件工程以及许多其他学科中都是一项重要的 任务。翻译的目的是生成简单而有用的逻辑 表达式。
命题符号化：
1.谓词与个体词
将简单命题分解成个体与谓词这样两个组成部分。谓词，通 常是用来描述个体的性质或特征，或者个体之间的关系。谓 词逻辑，是命题逻辑的扩充与发展 。
例1：下面两个命题 1. 张华是学生 2. 李明是学生
a: 张华 b:李明 H：是学生 ，则 H（x）:x是学生
1，2可分别表示成 H(a) ，H(b). 这样表示就揭示了两命题间有相同的谓语这一特征。
变元的约束
例1 ： 令 P（x， y）：“ x<y ”， Q（x）：x是有理数； F（x）：x可以表示为分数。
判断下列式子那些是命题函数，那些是命题？
P(x， y)
P(x， y)∧Q(x)
Q(x) → F(x) x（Q(x)→ F(x)) x Q(x)→ F(x)
自由变元与约束变元
[定义] 紧接于量词之后最小的子公式称为量词的辖 域．(量词的辖域是紧接其后的公式，除非辖域是个 原子公式，否则应在公式的两侧插入圆括号。)
离散数学第二章谓词逻辑
第二章 谓 词 逻 辑
2.1 谓词的概念与表示
2.1 谓词的概念与表示
在谓词逻辑中，可将原子命题划分为个体和谓 词两部分。 个体：可以独立存在的具体事物的或抽象的概念。 例如，电子计算机、李明、玫瑰花、黑板、实数、
中国、思想、唯物主义等，客体也可称之为 主语。 谓词：用来刻划个体的性质或个体之间的相互关系 的词。
第二章 谓 词 逻 辑
命题逻辑的局限性： 在命题逻辑中，命题是命题演算的基本单位，不
再对原子命题进行分解，因而无法研究命题的内部结 构、成分及命题之间的内在联系，甚至无法处理一些 简单而又常见的推理过程。
1
第二章 谓 词 逻 辑
例如，下列推理： 所有的人都是要死的。 苏格拉底是人。 苏格拉底是要死的。 众所周知，这是真命题。但在命题逻辑中,如果
31
第二章 谓 词 逻 辑
2.2 命题函数与量词
(4) 一 般 来 说 ， 当 多 个 量 词 同 时 出 现 时 ，
它们的顺序不能随意调换。 例如：在实数域上用H(x,y)表示x+y=5，
则命题“对于任意的x，都存在y使得 x+y=5”可符号化为：xyH(x,y)，其真值 为1。若调换量词顺序后为： yxH(x,y) , 其真值为0。
（x）(M(x) F(x))
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第二章 谓 词 逻 辑
2.2 命题函数与量词
（2） 令S(x): x吸烟。则符号化为： （x）(M(x)∧S(x))
（3） 令D(x): x登上过木星。则符号化为： （x）(M(x)∧D(x))
（4）令Q(x):x是清华大学的学生。H(x):x是高 素质的。则符号化为： （x）(Q(x) H(x))
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第二章 谓 词 逻 辑
离散数学第五章__谓词逻辑详述
又如，在命题“武汉位于北京和广州之间” 中，武汉、北京和广州是三个个体，而“…位 于…和…之间”是谓词，它刻划了武汉、北京和 广州之间的关系。设P：…位于…和…之间，a： 武汉，b：北京，c：广州，则
P(a，b，c)：武汉位于北京和广州之间。
定义5.1.2 一个原子命题用一个谓词(如P)和n 个有次序的个体常元(如a1，a2，…，an)表示 成P(a1，a2，…，an)，称它为该原子命题的谓 词形式或命题的谓词形式。
注意：
1. n元谓词不是命题，只有其中的个体变元用特定个体或个 体常元替代时，才能成为一个命题。
例如，令S(x)：x是大学生,这是一元谓词，不是命题； S(c)：张明是位大学生，这就是一个命题。 2. 个体变元在哪些论域取特定的值，对命题的真值有影响。
例如，令S(x)：x是大学生。若x的论域为某大学的计 算机系中的全体同学，则S(x)是真的；若x的论域是某中 学的全体学生，则S(x)是假的；若x的论域是某剧场中的 观众，且观众中有大学生也有非大学生的其它观众，则 S(x)是真值是不确定的。
例如，著名的亚里士多德三段论苏格拉底推理： 所有的人都是要死的， 苏格拉底是人， 所以苏格拉底是要死的。
根据常识，认为这个推理是正确的。若用命题逻 辑来表示，设P、Q和R分别表示这三个原子命题， 则有
P，Q┣ R
(P∧Q)→P, (P∧Q)→Q都是永真式
然而，(P∧Q)→R并不是永真式，故上述推理形 式又是错误的。一个推理，得出矛盾的结论， 问题在哪里呢? 问题就在于这类推理中，各命题 之间的逻辑关系不是体现在原子命题之间，而 是体现在构成原子命题的内部成分之间，即体 现在命题结构的更深层次上。对此，命题逻辑 是无能为力的。所以，在研究某些推理时，有 必要对原子命题作进一步分析，分析出其中的 个体词，谓词和量词，研究它们的形式结构的 逻辑关系、正确的推理形式和规则，这些正是 谓词逻辑的基本内容。
离散数学 谓词逻辑
例1 给定解释I1如下：
(1)个体域为自然数集合N； (2)N中的特定元素a=0； （3）F(x,y):x大于或等于y. 在解释I1下,求下列各式的真值： (1)(∀x)F(x,a)；(2)(∀x∃y)F(x,y) 解 在解释I1下,公式分别解释为： (1)任何自然数都大于或等于零, 为真命题.
(2)对任一自然数x,都存在一自然数y使得x≥y, 为真命题.
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例子
［例2-1.1］ 张明是位大学生。 解：设S(x)：x是大学生,c：张明, 一元谓词：表 则原句的谓词形式为S(c)。 示客体性质 ［例2-1.2］我坐在张三和李四中间。 解：设S(x,y,z)：x坐在y和z之间,i：我,z：张 三,l：李四, 多元谓词：表 示客体间关系 则原句的谓词形式为S(i,z,l)。
★从以上两命题的符号化可以看出,同一命题在不同个体域下 符号化的形式可能不同。
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这里,M(x)称为特性谓词。应该注意 的是,全称量词和存在量词符号化时,引入 特性谓词时的形式是不同的。 用全称量词 符号化时,特性谓词作为条 件式的前件； 用存在量词符号化时则作为合取式的一 项。
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对于任一给定的实数x,都存在着一个实数y,使得 x+y=0。 如果取个体域为实数集合 ∀ x ∃ y H(x, y ) 然而 ∃ y ∀ x H(x, y )： 存在着一个少数y,对于任一实数x,使得x+y=0
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谓词的表示
客体词有两种：客体常元和客体变元。客体常 元表示具体的或特定的客体,一般用小写字母 a、b、c等表示；表示抽象的或泛指的客体的 词称为客体变元,常用小写字母x、y、z等表 示。 谓词,通常用大写的字母A、B、C等表示。
谓词填式：单独一个谓词不是完整的命题, 把谓词字母后填以客体所得的式子。
离散数学L4谓词
谓词是命题函数
• 一元谓词P可视为从个体域D到集合{T,F} 上的映射:
P: D {T,F}
• n元谓词也是一样:
P: Dn {T,F}
• 注意:P(x)是命题形式但不是命题,因为其 真值不确定.
– 仅当P取定为谓词常项,x取定为个体常项时, P(x)才成为命题.
Lu Chaojun, SJTU
谓词逻辑的基本概念
本章主要内容
• 谓词 • 量词 • 一阶谓词公式 • 自然语句的形式表示 • 公式的解释及真假性
Lu Chaojun, SJTU
谓词逻辑与命题逻辑的区别
• 命题逻辑:简单命题是分析的基本单元,不再对 简单命题的内部结构进行分析.
– 例如P:“柏拉图是人”和Q:“亚里士多德是人”是两个 相互独立的命题,看不出P和Q有什么联系.
Lu Chaojun, SJTU
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量词的辖域
• 量词所约束的范围称为量词的辖域.即:
(x) (…辖域…) (x) (…辖域…)
• 在x(或x)的辖域内的自由x都被该量词 约束.
– 例如(x)(P(x) Q(x)) – 但在(x)(P(x) (x)Q(x))中, Q(x)还处于最近
的(x)的辖域中,此x非自由,故不被(x)约束.
Lu Chaojun, SJTU
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命题形式P(x)如何化为命题?
• 假设P含义确定,是谓词常项
– 若x用个体常项代入,则P(x) 真假就定了; – 或者将x量化,形如(x)P(x)或(x)P(x),这时也
确定了真假.
• 总之:命题中是不能有自由变元的. • 变元易名规则:约束变元改名不改变命题
的真值,即(x)P(x) = (y)P(y).
离散数学19.谓词公式与翻译
解：（1）令F(x): x是正数.M(x):x大于零.
则符号化为：（x）(F(x)M(x)).
（2）令E(x): x小于2. S(x):x是素数.则符号化为：
（x)(E(x)∧S(x)).
（3）令D(x): x是有理数.F(x):x能表示成分数.则符号化为：
学情分析
学生已经掌握谓词的概念和表示方法，能充分理解量词的含义并能合理运用。
教学评价
师生互动，启发式教学引导学生思考并进而解决问题；深入分析，用例题加深学生对知识点的理解。
课程资源
参考书目，网上教学视频，网络微课。
教学过程：
一、谓词合式公式
定义：称n元谓词A(x1,x2,...,xn)为原子谓词公式，其中x1,x2,...,xn是客体变元。
4）如果A是合式公式，x是A中的任何客体变元，则(x) A和(x) A也是合式公式；
5)只有经过有限次地应用规则(1)-(4)所得的公式是合式公式.
谓词合式公式也叫谓词公式，简称公式.
下面都是合式公式：
P，(P→Q)，(Q(x)∧P)，(x)(A(x)→B(x))，(x)C(x)
而下面都不是合式公式：
教学设计
课程名称
《离散数学》
教师姓名
授课题目
谓词公式与翻译
授课章节
§2.3谓词公式与翻译
授课对象
数学与应用数学专业
教学目标
熟练掌握量词与联结词在谓词翻译里面的使用
教学方式
启发式
教学内容
谓词中量词与联结词的使用
教学重点
量词与联结词的使用
教学难点
谓词函数的使用
教学方法和策略
采用多媒体课件辅助，通过例子说明量词和联结词的使用方法；注意师生互动，以学生为教学主体，共同完成教学目标。
离散数学逻辑公式大全化简
离散数学逻辑公式大全化简
离散数学逻辑公式大全：
一、对称表达式
1. 对立矛盾：P∧(¬P)，这就意味着，实际上什么都不是真。
2. 波尔定理：(P→Q)∨(Q→P)，即P和Q之一必定是另一个的条件。
3. 谓词逻辑：∀xPx，表明了P是对任意x是真的。
二、蕴涵表达式
1. 因果关系：P→Q，其中P是因，Q是果。
2. 排中律：P∨(Q∧R)≡(P∨Q)∧(P∨R)，即P既支持Q和R的同时满足，也支持Q和R的分别满足。
3. 简单蕴涵：P→Q，Q即P的蕴涵结果。
三、命题逻辑
1. 范式：¬(P∨Q)即¬P∧¬Q，这表明,若P和Q两者成立其一，则结果
为假。
2. 合取范式：P ∨ Q，表示只要PQ其一成立，结果即成立。
3. 否定范式：P→Q，表示只有当P成立，Q才会成立，否则结果为假。
四、可辩证表达式
1. 含义性质：P→Q，表明当P为真时，Q也可能为真，但可能有证据
表明P为假时，Q也可能为假。
2. 对抗性质：¬P∧Q，表明当P（或Q）被否定时，另一方会加强对这个变量的认可。
3. 不可满足性：P∧¬P，表明两个性质之间存在矛盾，因此，这种形式无法同时满足。
离散数学(2.3谓词公式与翻译)
1
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.1谓词的概念与表示(Predicate and its expression) 2.2命题函数与量词(Propositional functions & Quantifiers) 2.3谓词公式与翻译(Predicate formulae) 2.4变元的约束(Bound of variable) 2.5谓词演算的等价式与蕴含式(Equivalences &
implications of predicate calculus)
2.6前束范式(Prenex normal form)
2.7谓词演算的推理理论(Inference theory of predicate calculus)
2
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.3谓词公式与翻译(Predicate formulae)
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第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
Quantifiers)
• 例2：在谓词逻辑中将下列命题符号化. （1）所有运动员都钦佩某些教练. （2）有些运动员不钦佩教练. 设：L(x):x是运动员 J(y):y是教练 A(x,y):x钦佩y (1) (x)(L(x) （y)(J(y)∧A(x,y)))
(Q(δ,0)∧(Q(δ , x a)Q(ε,
f ( x) f ()a ) ). ))
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第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
离散数学-2-1谓词的概念与表
在谓词逻辑中，可以使用特定的 推理规则，如Modus Ponens和 Modus Tollens，来推导新的命 题。
推理过程的逻辑分析
前提分析
在推理过程中，需要仔细分析给出的前提，以确保正确地应用推 理规则。
结论分析
在推导结论时，需要确保结论在逻辑上是从前提得出的。
逻辑谬误
在推理过程中，应避免出现逻辑谬误，如非形式谬误和形式谬误。
等价关系
定义：如果命题A和命题B的真值相同，那么就说A和B等价。 符号表示：A↔B。 例子：一个角是直角当且仅当它的三角形的两条边长度相等（A↔B）。
矛盾关系
定义
如果命题A和命题B的真值相反，那么就说A和B是矛 盾的。
符号表示
A∧¬B 或者 ¬A∧B。
例子
所有的猫都是动物（A），有些动物不是猫 （¬A∧B）。
分类
一元谓词
一元谓词是指只包含一个个体变量的谓词。 例如，“P(x)”表示“x是红色的”。
二元谓词
二元谓词是指包含两个个体变量的谓词。例如， “Q(x,y)”表示“x大于y”。
n元谓词
n元谓词是指包含n个个体变量的谓词，其中 n大于等于2。例如，“R(x,y,z)”表示“x等 于y和z的和”。
特性
04
谓词的推理规则
推理规则的种类
附加规则
将新的信息添加到前提中，从而 得出新的结论。
实例化规则
将抽象的谓词实例化为具体的对 象，从而得出新的结论。
01
02
分离规则
从前提中分离出结论，即如果前 提为真，则结论一定为真。
03
04
重写规则
将前提中的某些部分替换为等价 的表达式，从而得出新的结论。
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§2.2 谓词公式及其解释
习题2.2
1. 指出下列谓词公式的指导变元、量词辖域、约束变元和自由变元。
（1）))()((y x Q x P x ，→∀
（2）)()(y x yQ y x xP ，，∃→∀ （3）)())()((z y x xR z y Q y x P y x ，，，，∃∨∧∃∀
解 （1）x ∀中的x 是指导变元；量词x ∀的辖域是),()(y x Q x P →；x 是约束变元，y 是自由变元。
（2）x ∀中的x ，y ∃中的y 都是指导变元；x ∀的辖域是)(y x P ，，y ∃的辖域是)(y x Q ，；)(y x P ，中的x 是x ∀的约束变元，y 是自由变元；
)(y x Q ，中的x 是自由变元，y 是y ∃的约束变元。
（3）x ∀中的x ，y ∃中的y 以及x ∃中的x 都是指导变元；x ∀的辖域是))()((z y Q y x P y ，，∧∃，y ∃的辖域是)()(z y Q y x P ，，∧，x ∃的辖域是)(z y x R ，，；)(y x P ，中的x ，y 都是约束变元；)(z y Q ，中的y 是约束变元；z 是自由变元，
)(z y x R ，，中的x 为约束变元，y ，z 是自由变元。
2. 设个体域}21
{，=D ，请给出两种不同的解释1I 和2I ，使得下面谓词公式在1I 下都是真命题，而在2I 下都是假命题。
（1）))()((x Q x P x →∀ （2）))()((x Q x P x ∧∃
解（1）解释1I ：个体域}21
{，=D ，0:)(,0:)(>>x x Q x x P 。
（2）解释2I ：个体域}21
{，=D ，2:)(,0:)(>>x x Q x x P 。
3. 对下面的谓词公式，分别给出一个使其为真和为假的解释。
（1）)))()(()((y x R y Q y x P x ，∧∃→∀
（2）)),()()((y x R y Q x P y x →∧∀∀
解 （1）成真解释：个体域D ＝{1,2,3},0:)(<x x P ,2:)(>y y Q ,3:),(>+y x y x R 。
成假解释：个体域D ＝{1,2,3},0:)(>x x P ，2:)(>y y Q ，1:),(<+y x y x R 。
（2）成真解释：个体域D ＝{1,2,3}，0:)(<x x P ，2:)(>y y Q ，3:),(>+y x y x R 。
成假解释：个体域D ＝{1,2,3},0:)(>x x P ，0:)(>y y Q ，1:),(<+y x y x R 。
4. 给定解释I 如下：
个体域R =D （这里R 为实数集合）。
个体常元0=a 。
二元函数y x y x f -=)(，。
二元谓词y x y x P =：，)(，y x y x Q <：，)(。
在解释I 下，下列公式的含义是什么？哪些成为命题哪些不成为？成为命题的其真值又
如何？ （1）))()((y x P y x Q y x ，，⌝→∀∀
（2）))())(((y x Q a y x f P y x ，，，→∀∀
（3）)))(()((a y x f P y x Q y x ，，，⌝→∀∀
（4）))())(((y x P a y x f Q y x ，，，→∀∀
解（1）公式被解释成“)(y x y x y x ≠→<∀∀”，为真命题。
（2）公式被解释成“)0(y x y x y x <→=-∀∀”，为假命题。
（3）公式被解释成“)0(≠-→<∀∀y x y x y x ”，为真命题。
（4）公式被解释成“)0(y x y x y x =→<-∀∀”，为假命题。
5. 判断下列谓词公式哪些是永真式，哪些是永假式，哪些是可满足式，并说明理由。
（1）)()(x xP x P ∃→ （2）)()(x P x xP →∃
（3）)()(x xP x P ∀→ （4）)()(x P x xP →∀
（5）))()((x P x P x ⌝→∀ （6）)()(y x xP y y x yP x ，，∀∀→∀∀
（7）)()(x y yP x y x yP x ，，∀∀→∀∀ （8）)()(y x yP x y x yP x ，，∀∃→∃∀ （9）)()(y x xP y y x yP x ，，∃∀→∀∃
（10）))()((x y P y x P y x ，，→∀∀ 解（1）因为当存在某个x 使)(x P 取1时)(x xP ∃一定取1，所以公式是为永真式。
（3）取解释1I ：个体域为自然数集合，
0)(2≥x x P ：。
在1I 下公式的前件与后件均为真，所以公式为真，即不是永假式。
取解释2I ：个体域仍为自然数集合，但)(x P 取为0>x 。
在2I 下公式不成为命题，即不是永真式。
综合知公式为可满足式。
（5）取解释1I ：个体域为自然数集合，
0)(2≥x x P ：。
在1I 下，对任意的x ，)(x P 为真而)(x P ⌝为假，所以公式为假，即不是永真式。
取解释2I ：个体域仍为自然数集合，
但)(x P 取为02<x 。
在2I 下，对任意的x ，)(x P 为假而)(x P ⌝为真，所以公式为真，即
不是永假式。
综合知公式为可满足式。
（7）公式为永真式，用非形式化的反证法证明如下：若公式非永真，则存在一个解释，使得)(y x yP x ，∀∀取1而)(x y yP x ，∀∀取0。
)(x y yP x ，∀∀取0表明存在某对00,y x 使得)(00x y P ，取0，从而)(y x yP x ，∀∀也应取0。
这与前面说)(y x yP x ，∀∀取1矛盾。
故
公式是永真式。
（9） 设I 为任意一个解释，个体域为D 。
若)(y x yP x ，∀∃取1，即存在D x ∈0，使得)(0y x yP ，∀为真，从而)(y x xP y ，∃∀为真，故)()(y x xP y y x yP x ，，∃∀→∀∃为真。
所以在解释I 下公式为真，由I 的任意性可知，公式为永真式。
（2）、（4）、（6）、（8）、（10）略。
6. 判断下列谓词公式哪些是永真式，哪些是永假式，哪些是可满足式，并说明理由。
（1）))()(())()((y yQ x xP x Q x P x ∀∧∀→∧∀
（2）))()(())()((y yQ x xP x Q x P x ∀∨∀→∨∀
（3）)())()((y yQ y yQ x xP ∃∧∃→∀⌝
（4）))()(())()((x xQ y P x Q y P x ∀→→→∀
（5）))()(())()((x xQ x P x Q x P x ∀→→→∀
（6）)))()(()((x P y x yQ x P →∀→⌝，
（7）))()(()(y x P y x Q y x P ，，，→→
解 略
7. 给出一个非闭式的永真式，给出一个非闭式的永假式，给出一个非闭式的可满足式。
解 略。