谓词逻辑永真公式
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概率论-第六讲 谓词演算的永真公式
将y代以w，得∀xP( x, w ) ∨ Q( w, w )
如果原式是永真公式, 则代入后仍得永真公式。若原 式是非永真式, 则代入后可能变化。
15
三、变换规则
2）在一公式中, 一个n元(n≥0)谓词变元F(x1, x2,…, xn)可 代以至少有n个自由个体变元的公式G(y1, y2, …, yn, yn+1, …, yn+r), (这里r≥0, y1, y2, …, yn是分别对应于 x1, x2,…, xn的任意选定的n个自由变元), 只须该n元谓词 出现的各处都同样代入, 且代入的公式中, 后边的r个自由 变元不允许在原公式中以约束变元出现; 而F(x1,x2, …, xn) 中的变元也不允许在代入的公式中以约束变元出现。 例如:a)
13
表 1.7 -1 含有量词的永真公式概要表
14
三、变换规则
1.代入规则 1）在一公式中, 任一自由个体变元可代以另一个体变 元, 只需该个体变元出现的各处都同样代入, 且代 入的变元不允许在原来公式中以约束变元出现。 如 ∀xP( x , y) ∨ Q( w , y)，将y代以z，得∀xP( x , z) ∨ Q( w , z)
说明否定词可通 过量词深入到辖 域且两个量词可 相互表达
① 从语义上理解 例如P(x):x今天来上课了； ¬P(x):x今天没来上课。 “不是所有的人都来上课了”等价于“有些人今天没 来上课”。 ②证明：（在有限个体域上证） 设个体域中个体变元为a1,a2,…,an 则 ¬(∀xA(x)) ⇔ ¬(A(a1 ) ∧ A(a 2 ) ∧ ... ∧ A(a n ))
含义：如果对某一确定的x，P(x)为真，则“存在一 个x,使P(x)为真”成立。
由∀xP(x) ⇒ P(x)和P(x) ⇒ ∃xP(x)根据前提三段论得 ∀xP(x) ⇒ ∃xP(x)
如果原式是永真公式, 则代入后仍得永真公式。若原 式是非永真式, 则代入后可能变化。
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三、变换规则
2）在一公式中, 一个n元(n≥0)谓词变元F(x1, x2,…, xn)可 代以至少有n个自由个体变元的公式G(y1, y2, …, yn, yn+1, …, yn+r), (这里r≥0, y1, y2, …, yn是分别对应于 x1, x2,…, xn的任意选定的n个自由变元), 只须该n元谓词 出现的各处都同样代入, 且代入的公式中, 后边的r个自由 变元不允许在原公式中以约束变元出现; 而F(x1,x2, …, xn) 中的变元也不允许在代入的公式中以约束变元出现。 例如:a)
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表 1.7 -1 含有量词的永真公式概要表
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三、变换规则
1.代入规则 1）在一公式中, 任一自由个体变元可代以另一个体变 元, 只需该个体变元出现的各处都同样代入, 且代 入的变元不允许在原来公式中以约束变元出现。 如 ∀xP( x , y) ∨ Q( w , y)，将y代以z，得∀xP( x , z) ∨ Q( w , z)
说明否定词可通 过量词深入到辖 域且两个量词可 相互表达
① 从语义上理解 例如P(x):x今天来上课了； ¬P(x):x今天没来上课。 “不是所有的人都来上课了”等价于“有些人今天没 来上课”。 ②证明：（在有限个体域上证） 设个体域中个体变元为a1,a2,…,an 则 ¬(∀xA(x)) ⇔ ¬(A(a1 ) ∧ A(a 2 ) ∧ ... ∧ A(a n ))
含义：如果对某一确定的x，P(x)为真，则“存在一 个x,使P(x)为真”成立。
由∀xP(x) ⇒ P(x)和P(x) ⇒ ∃xP(x)根据前提三段论得 ∀xP(x) ⇒ ∃xP(x)
谓词逻辑 有效式证明
谓词逻辑有效式证明什么是谓词逻辑谓词逻辑（Predicate Logic），也称为一阶谓词演算（First-order Predicate Calculus）或一阶逻辑（First-order Logic），是数理逻辑中的一个重要分支。
它是一种用于研究自然语言和数学推理的形式系统，能够精确地描述和分析复杂的命题、关系和推理。
在谓词逻辑中，我们使用谓词来描述对象之间的关系，使用量词来表示命题的范围。
谓词是一个描述性质或关系的函数，它接受一些参数并返回真或假。
量词则用于限定谓词的范围，包括全称量词∀（for all）和存在量词∃（exists）。
通过合理地运用这些符号和规则，我们可以进行有效式证明，即证明某个命题在给定公理系统下是可证明的。
有效式证明的基本概念在进行有效式证明之前，我们首先需要了解一些基本概念。
命题命题是一个陈述句，它要么为真（True），要么为假（False）。
在谓词逻辑中，我们使用符号P、Q、R等来表示命题。
公理公理是谓词逻辑中的基本假设或前提，它是一个被认为是真的命题。
在进行有效式证明时，我们需要基于一组公理来推导出新的命题。
推理规则推理规则是用于从已知命题推导出新的命题的规则。
常见的推理规则包括：假言推理、析取三段论、合取三段论、全称推广、全称特指等。
有效式证明有效式证明是指使用一组公理和推理规则，通过一系列合法的推导步骤，从已知命题推导出目标命题。
如果我们能够按照一定的规则进行推导，并最终得到目标命题，则称该证明是有效式的。
谓词逻辑有效式证明的步骤进行谓词逻辑有效式证明时，通常需要按照以下步骤进行：1.确定目标：首先需要确定要证明的目标命题。
2.建立前提：根据已知信息和所给公理，建立起一组前提命题。
3.运用推理规则：根据前提和已有信息，运用合适的推理规则来进行推导。
4.反复应用：根据需要反复应用不同的推理规则，直到最终得到目标命题。
5.证明结束：当我们成功地从已知信息推导出目标命题时，证明结束。
谓词逻辑永真公式
T
所以
T
xA(x)∨xB(x) x(A(x)∨B(x))
F
F
xA(x)∨xB(x) → x(A(x)∨B(x))
此处取T亦可
例(续前)：试判断xA(x)∨xB(x) → x(A(x)∨B(x))是否是永真式，并说明理由。
总的思路：试图在D={1,2}上找到一个使所给公式为假的解释。 注意：以前进行运算都是根据形成过程由里往外逐次进行的，但这里的过程正好相反：自顶向下逐步推演。 在推演过程中，首先考虑以下事实： 若是上述五种情况之外的情况，则利用D中元素的对称性避免讨论。
例
取解释I如下：
D={1,2}, 定义D上的二元谓词P真值为 P(1,1): T； P(1,2): F； P(2,1):F； P(2,2): T 则xyP(x,y)和yxP(x,y) 在解释I下的真值分别为?
T
F
T
T
关于x的一元函数
xyP(x,y)
P(x,y)
T
yP(x,y)
T
xyP(x,y)
F
T
F
F
F
F
F
T
2
1
2
2
1
1
yx P(x,y)
xP(x,y)
P(x,y)
x
y
关于y的一元函数
yxP(x,y)
取解释I如下： D={1,2}, 令 a:1, f(1)=2, f(2)=1 定义D上的谓词P和Q为 P(1): F； P(2): T； Q(1,1):T； Q(1,2):T； Q(2,1):F； Q(2,2): F 求谓词公式x(P(x)→Q(f(x),a))在解释I下的真值
8
单击此处添加大标题内容
量词对及→的处理 x(A(x)→B(x))xA(x)→xB(x) xA(x)→xB(x)x(A(x)→B(x)) 证明1. xA(x)→xB(x) xA(x)∨xB(x) xA(x)∨xB(x) x(A(x)∨B(x)) x(A(x)→B(x)) 证明2. xA(x)→xB(x) xA(x)∨xB(x) xA(x)∨xB(x) x(A(x)∨B(x)) x(A(x)→B(x))
所以
T
xA(x)∨xB(x) x(A(x)∨B(x))
F
F
xA(x)∨xB(x) → x(A(x)∨B(x))
此处取T亦可
例(续前)：试判断xA(x)∨xB(x) → x(A(x)∨B(x))是否是永真式，并说明理由。
总的思路：试图在D={1,2}上找到一个使所给公式为假的解释。 注意：以前进行运算都是根据形成过程由里往外逐次进行的，但这里的过程正好相反：自顶向下逐步推演。 在推演过程中，首先考虑以下事实： 若是上述五种情况之外的情况，则利用D中元素的对称性避免讨论。
例
取解释I如下：
D={1,2}, 定义D上的二元谓词P真值为 P(1,1): T； P(1,2): F； P(2,1):F； P(2,2): T 则xyP(x,y)和yxP(x,y) 在解释I下的真值分别为?
T
F
T
T
关于x的一元函数
xyP(x,y)
P(x,y)
T
yP(x,y)
T
xyP(x,y)
F
T
F
F
F
F
F
T
2
1
2
2
1
1
yx P(x,y)
xP(x,y)
P(x,y)
x
y
关于y的一元函数
yxP(x,y)
取解释I如下： D={1,2}, 令 a:1, f(1)=2, f(2)=1 定义D上的谓词P和Q为 P(1): F； P(2): T； Q(1,1):T； Q(1,2):T； Q(2,1):F； Q(2,2): F 求谓词公式x(P(x)→Q(f(x),a))在解释I下的真值
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量词对及→的处理 x(A(x)→B(x))xA(x)→xB(x) xA(x)→xB(x)x(A(x)→B(x)) 证明1. xA(x)→xB(x) xA(x)∨xB(x) xA(x)∨xB(x) x(A(x)∨B(x)) x(A(x)→B(x)) 证明2. xA(x)→xB(x) xA(x)∨xB(x) xA(x)∨xB(x) x(A(x)∨B(x)) x(A(x)→B(x))
第六讲谓词演算的永真公式
二、谓词演算的基本永真公式
5 量词的分配形式 ① x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x) ② x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x) ③ x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x) ④ xA(x) xB(x) x(A(x) B(x)) 证： ①因为对一切x，A(x) B(x)为真，等价于对一切x， A(x)为真且B(x)为真。 ② 对① x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x) 用¬A(x), ¬B(x)分别取代A(x),B(x),则
二、谓词演算的基本永真公式
1.命题演算的永真公式也是谓词演算的永真公式。 因为谓词演算是命题演算的扩充，所以列于表 1.2 -1 , 表1.2 -2 的恒等式和永真蕴含式同样适用于 谓词演算。 2.量词的增加与删除 1）
xA A xA A
A中不含自由变元x
因为A不含自由变元x，所以A的真值与x无关，故恒等 式成立。
谢谢同学们的主动配合！ 愿大家天天快乐！
一、谓词演算基本概念
4. 两个任意谓词公式A和B,
1) A与B等价， A B iffA B 永真； E 2)在E上A与B等价，A B iffA B 在E上永真.
5. 两个任意谓词公式A和B, 1) A永真蕴含B ， A B iff A → B 永真； E 2)在E上A永真蕴含B， A B iff A → B 在E上永真.
将y代以w，得xP(x, w) Q(w, w)
注意： 换名规则的对象：只用于约束变元，换名后所得公式与原式等价；
代入规则的对象：只用于自由变元，换名后所得公式与原式一般
不等价，除非是永真式。
三、变换规则
2）在一公式中, 一个n元(n≥0)谓词变元F(x1, x2,…, xn)可 代以至少有n个自由个体变元的公式G(y1, y2, …, yn, yn+1, …, yn+r), (这里r≥0, y1, y2, …, yn是分别对应于 x1, x2,…, xn的任意选定的n个自由变元), 只须该n元谓词 出现的各处都同样代入, 且代入的公式中, 后边的r个自由 变元不允许在原公式中以约束变元出现; 而F(x1,x2, …, xn) 中的变元也不允许在代入的公式中以约束变元出现。 例如:a) P Q P Q，
离散数学---谓词逻辑推理
得到(3)不能使用存在量词消除规则 由(2)得到 不能使用存在量词消除规则， 得到 不能使用存在量词消除规则， 因为(2)中含有除 以外的自由变元z。 中含有除y以外的自由变元 因为 中含有除 以外的自由变元 。
推理举例1 推理举例
每一个大学生不是文科生就是理科生； 每一个大学生不是文科生就是理科生；有的大学生是优 西 等生；小张不是文科生但他是优等生。因此， 等生；小张不是文科生但他是优等生。因此，如果小张是 华 大 大学生，他就是理科生。 大学生，他就是理科生。
∃y (P(x)→Q(y)) // 存在量词引入规则 →
一阶逻辑中特有的推理规则( 一阶逻辑中特有的推理规则(续)
西 华 大 学
[4]. 存在量词消除规则（EI规则） 存在量词消除规则（ 规则 规则） ∃x A(x) ⇒ A(c) 成立的条件是： 成立的条件是： (1). c是特定的个体常项，是使得 是特定的个体常项， 是特定的个体常项 是使得A(c)为 为 真的个体常项， 不能在前面的公式序列中出 真的个体常项 ， c不能在前面的公式序列中出 现； (2). c不在 不在A(x)中出现； 中出现； 不在 中出现 (3). A(x)中自由出现的个体变元只有 ； 中自由出现的个体变元只有x； 中自由出现的个体变元只有
举例： 举例：存在量词消除规则
西 华 大 学
指出下列推导中的错误，并加以改正： 指出下列推导中的错误，并加以改正： A (1). ∃x P(x) // 前提 (2). P(c) // 存在量词消除规则 (3). ∃x Q(x) // 前提 (4). Q(c) // 存在量词消除规则 A解 ： 第二次使用存在量词消除规则时 ， 所指定的特 解 第二次使用存在量词消除规则时， 定个体应该在证明序列以前的公式中不出现， 定个体应该在证明序列以前的公式中不出现，正确的推 理是： 理是： (1). ∃x P(x) // 前提 (2). P(c) // 存在量词消除规则 (3). ∃x Q(x) // 前提 (4). Q(d) // 存在量词消除规则
第1章2谓词逻辑
在谓词公式中，形如 xA(x) 或
xA(x) 的
那一部分称为公式的x约束部分。而A（x）称为量词
x或 x的辖域。x在公式的x约束部分的任一出现都称为x
的约束出现。
公式中约束出现的变元是约束变元 当x 的出现不是约束出现时，称x 的出现是自由出现 。 自由出现的变元是自由变元。
26
例
指出下列各公式中的量词辖域及自由变元和约束变元。
6
二、个体变元 个体常元 表示具体或特定的个体的个体词称为个体常元。 个体变元 表示抽象的，或泛指的（或者说取值不确定的）
个体称为个体变元。
例2 L（x,y,z）表示“x+y=z”,其中x,y,z为个体变元。
L（3，2，5）表示真命题“3+2=5”， （3，2，5）为个体常元 而L（1，2，4）表示假命题“1+2=4” ， （1，2，4）为个体常元。
14
例5
(1) “所有的人都是要死的。”
(2) “有的人活百岁以上。” 当x的个体域E为全体人组成的集合时，符号化上述命题。
令D（x）：x是要死的。则（1）可表示为 x D（x）。 令G（x）：x活百岁以上。则（2）可表示为 x G（x）。
15
当取x的个体域为全总个体域时，必须引入一个特性谓词将人 从全宇宙的一切事物中分离出来。 P60 （1）对所有个体而言，如果它是人，则它是要死的。 ( 2）存在着个体，它是人并且它活百岁以上。 于是令M（x）：x是人。 （1） x（M（x） D（x）） （2） x（M（x）∧G（x））
令P（x）：x是x+1=0的整数解。
则命题可表示为 !x P（x），
其中x的个体域为整数集。
12
个体变元的取值范围称为个体域（论域）。
xA(x) 的
那一部分称为公式的x约束部分。而A（x）称为量词
x或 x的辖域。x在公式的x约束部分的任一出现都称为x
的约束出现。
公式中约束出现的变元是约束变元 当x 的出现不是约束出现时，称x 的出现是自由出现 。 自由出现的变元是自由变元。
26
例
指出下列各公式中的量词辖域及自由变元和约束变元。
6
二、个体变元 个体常元 表示具体或特定的个体的个体词称为个体常元。 个体变元 表示抽象的，或泛指的（或者说取值不确定的）
个体称为个体变元。
例2 L（x,y,z）表示“x+y=z”,其中x,y,z为个体变元。
L（3，2，5）表示真命题“3+2=5”， （3，2，5）为个体常元 而L（1，2，4）表示假命题“1+2=4” ， （1，2，4）为个体常元。
14
例5
(1) “所有的人都是要死的。”
(2) “有的人活百岁以上。” 当x的个体域E为全体人组成的集合时，符号化上述命题。
令D（x）：x是要死的。则（1）可表示为 x D（x）。 令G（x）：x活百岁以上。则（2）可表示为 x G（x）。
15
当取x的个体域为全总个体域时，必须引入一个特性谓词将人 从全宇宙的一切事物中分离出来。 P60 （1）对所有个体而言，如果它是人，则它是要死的。 ( 2）存在着个体，它是人并且它活百岁以上。 于是令M（x）：x是人。 （1） x（M（x） D（x）） （2） x（M（x）∧G（x））
令P（x）：x是x+1=0的整数解。
则命题可表示为 !x P（x），
其中x的个体域为整数集。
12
个体变元的取值范围称为个体域（论域）。
离散数学的谓词逻辑详解
两种量词: 全称量词和存在量词.
全称量词:
1.全称量词 ： （任意，所有） x: “对一切x”，“对所有的x”， “对任一x”
如： x P(x) ┐ x P(x) x ┐ P(x)
“对一切x，P(x)是真” “并非对一切x，P(x)是真” “对一切x， ┐ P(x) 是真”
如: “ 所有人都是要死的”
于是令 M（x）：x是人。 （1） x（M(x)→D(x)) （2） x (M（x）∧ ┐G（x））
命题符号化(翻译)：
将汉语(或其他自然语言)语句翻译成逻辑表 达式，这在数学、逻辑编程、人工智能、软 件工程以及许多其他学科中都是一项重要的 任务。翻译的目的是生成简单而有用的逻辑 表达式。
命题符号化：
1.谓词与个体词
将简单命题分解成个体与谓词这样两个组成部分。谓词，通 常是用来描述个体的性质或特征，或者个体之间的关系。谓 词逻辑，是命题逻辑的扩充与发展 。
例1：下面两个命题 1. 张华是学生 2. 李明是学生
a: 张华 b:李明 H：是学生 ，则 H（x）:x是学生
1，2可分别表示成 H(a) ，H(b). 这样表示就揭示了两命题间有相同的谓语这一特征。
变元的约束
例1 ： 令 P（x， y）：“ x<y ”， Q（x）：x是有理数； F（x）：x可以表示为分数。
判断下列式子那些是命题函数，那些是命题？
P(x， y)
P(x， y)∧Q(x)
Q(x) → F(x) x（Q(x)→ F(x)) x Q(x)→ F(x)
自由变元与约束变元
[定义] 紧接于量词之后最小的子公式称为量词的辖 域．(量词的辖域是紧接其后的公式，除非辖域是个 原子公式，否则应在公式的两侧插入圆括号。)
全称量词:
1.全称量词 ： （任意，所有） x: “对一切x”，“对所有的x”， “对任一x”
如： x P(x) ┐ x P(x) x ┐ P(x)
“对一切x，P(x)是真” “并非对一切x，P(x)是真” “对一切x， ┐ P(x) 是真”
如: “ 所有人都是要死的”
于是令 M（x）：x是人。 （1） x（M(x)→D(x)) （2） x (M（x）∧ ┐G（x））
命题符号化(翻译)：
将汉语(或其他自然语言)语句翻译成逻辑表 达式，这在数学、逻辑编程、人工智能、软 件工程以及许多其他学科中都是一项重要的 任务。翻译的目的是生成简单而有用的逻辑 表达式。
命题符号化：
1.谓词与个体词
将简单命题分解成个体与谓词这样两个组成部分。谓词，通 常是用来描述个体的性质或特征，或者个体之间的关系。谓 词逻辑，是命题逻辑的扩充与发展 。
例1：下面两个命题 1. 张华是学生 2. 李明是学生
a: 张华 b:李明 H：是学生 ，则 H（x）:x是学生
1，2可分别表示成 H(a) ，H(b). 这样表示就揭示了两命题间有相同的谓语这一特征。
变元的约束
例1 ： 令 P（x， y）：“ x<y ”， Q（x）：x是有理数； F（x）：x可以表示为分数。
判断下列式子那些是命题函数，那些是命题？
P(x， y)
P(x， y)∧Q(x)
Q(x) → F(x) x（Q(x)→ F(x)) x Q(x)→ F(x)
自由变元与约束变元
[定义] 紧接于量词之后最小的子公式称为量词的辖 域．(量词的辖域是紧接其后的公式，除非辖域是个 原子公式，否则应在公式的两侧插入圆括号。)
1.7谓词演算的永真公式
（15） （16） （17）
例如：设个体域D为联欢会上所有的人组成的集合， A(x)：x唱歌。 B(x)：x跳舞。
1 x(A(x)∧B(x))： 联欢会上所有的人既唱歌又跳舞。 与 xA(x)∧xB(x)： 联欢会上所有的人唱歌且所有的人
跳舞。（含义相同） 2 x(A(x)∨B(x))： 联欢会上有人唱歌或跳舞。 与 xA(x)∨xB(x)： 联欢会上有人唱歌，或联欢会上有
人跳舞。（含义相同）
14
NUIST
证明：设D为任意一个个体域，I为任意一个指派。 x(A(x)∧B(x))：对于D中所有的ｘ，A(x)和B(x)都是真的。 xA(x)∧xB(x)：对于D中所有的ｘ，A(x)是真的；同时对
于D中所有的ｘ，B(x)也是真的。---两个命题是等价的。
x(A(x)∨B(x))：D中存在ｘ，能使Ａ(ｘ)或者Ｂ(ｘ)为真。 xA(x)∨xB(x)：D中存在ｘ能使Ａ(ｘ)为真，或者D中存在
指定：1.个体域D为全总个体域
2.Ｐ(x)：x是人；Ｑ(x)：x是黄种人。
则x(P(x)→Q(x))：所有的人都是黄种人。 F
思考：若 个体域D为实数集
Ｐ(x)：x是自然数；Ｑ(x)：x是有理数。
2
NUIST
例1-7-1 给定一个解释I： D={2，3}； D中的特定元素 a=2 D上的特定谓词 F(x)为：F(2)=0，F(3)=1 L(x,y)为：L(2,2)= L(3,3)=1; L(2,3)=L(3,2)=0.
等价（永真蕴含） 1 若A和B在任意个体域上都是等价的，则称谓词公式A和B
等价，记作：AB。 2 若A和B在任意个体域上都有A永真蕴含B，则称谓词公式A
永真蕴含B，记作：AB。
8
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P(1,1): T； P(1,2): F； P(2,1):F； P(2,2): T – 则xyP(x,y)和yxP(x,y) 在解释I下的真值分
别为?
xyP(x,y) 关于x的一元函数
x y P(x,y) yP(x,y) xyP(x,y)
1
T
1
T
2
F
T
1
F
2
T
2
T
yxP(x,y) 关于y的一元函数
– 例：I(x)：x是整数，论域E为自然数集合
• I(x)在E上是永真式 • I(x) ∨ I(x)是与论域无关的永真式
• 谓词公式的永假式 • 谓词公式的可满足式
例：试说明以下公式的类型
1. xA(x)→A(y)
永真式
2. xA(x)→A(y)
可满足式
3. A(x) (A(x) ：x+6=5) 可满足式
x(A(x)∨B(x)) F
B(1) B(2) F
因此
xA(x) F
所以 xB(x) T
从而 A(1) A(2) B(1) B(2)
F
FT
结论：所给公式不是永真式
例(续前)：试判断xA(x)∨xB(x) → x(A(x)∨B(x)) 是否是永真式，并说明理由。
解：所给公式不是永真式，理由如下。
体函数常量
3. 对A中出现的每一个n元谓词，指定一个D上的n元谓词 常量
4. 对A中出现的每一个个体常量及自由变元，指定D中的 一个个体常量
5. 对A中出现的每一个命题变元P，指派一个真值T或F
由此得到一个命题AI，称AI的真值为公式A在 解释I 下的真值
例
• 取解释I如下：
– D={1,2}, – 定义D上的二元谓词P真值为
– 联词与量词的关系 – 问题与否问题的关系 – 构造证法的一种典型情形 – 公式形成规则、联词、量词、变元约束等知识点 – 逐步推演思想 – 完整地自顶向下逐步求精思想
问题与否问题
• 问题：所给公式是永真式吗？ • 否问题：所给公式不是永真式吗？ • 这两个问题有不同的难度
– 是永真式：在任何论域的任何解释下皆为真 – 不是永真式：存在一个使该公式为假的特定
• 注意：以前进行运算都是根据形成过程由里往外 逐次进行的，但这里的过程正好相反：自顶向下 逐步推演。
• 在推演过程中，首先考虑以下事实：
A→B F
AB TF
A∨B F
A B A∧B FF T
AB TT
xA(x) A(1) A(2)
xA(x) A(1) A(2)
T
TT
F
FF
• 若是上述五种情况之外的情况，则利用D中元素 的对称性避免讨论。
P(1)→Q(f(1),1)
P(2)→Q(f(2),1)
T
T
x(P(x)→Q(f(x),a))在解释I下的真值为T
谓词公式的永真式
• 定义
– 给定谓词公式A，E是其论域，如果在任何解释 下公式A的真值都为真，则称公式A在论域E上 是永真式。如果不论对什么论域E，都使得公 式A为永真式，则称A为永真式。
考虑D={1,2}上的解释I：
A(1) A(2) B(1) B(2)
FFFT
在I下： xB(x) A(1)∨B(1)
T
F
此处取T亦可
所以 xA(x)∨xB(x) x(A(x)∨B(x))
T
F
xA(x)∨xB(x) → x(A(x)∨B(x))
F
总结
• 总的思路：试图在D={1,2}上找到一个使所给公式 为假的解释。
11.6 谓词逻辑的永真公式
• 在谓词逻辑中，公式是一个符号串，必须 给以具体的解释后才能分辨其真假的可能。
• 解释：给公式中的个体变元指定一个具体 的个体域D
• 一个公式经解释后才具有具体的意义。
• 谓词公式的解释I包括：
1. 指定一个论域D(称I为D上的解释) 2. 对A中出现的每一个n元函数，指定一个D上的 n元个
y x P(x,y) xP(x,y) yx P(x,y)
1
T
1
F
2
F
F
1
F
2
F
2
T
例
• 取解释I如下：
– D={1,2}, – 令 a:1, f(1)=2, f(2)=1 – 定义D上的谓词P和Q为
P(1): F； P(2): T； Q(1,1):T； Q(1,2):T； Q(2,1):F； Q(2,2): F 求谓词公式x(P(x)→Q(f(x),a))在解释I下的真值
• I(x)与N(x)在E上是等价的 • N(x)→I(x) N(x)∨I(x)
4. x( A(x) ∧ ¬A(x)) 永假式
5. 6.
x (A(x)∨B(x)) → x (A(x)∧B(x))
xA(x)∨xB(x) xA(x) ∧ xB(x)
永真吗?
永真式的判定
• 命题逻辑的永真式问题是可判定的。
– 至少可用真值表
• 谓词逻辑的永真式问题是不可判定的。 • 研究谓词逻辑永真式判定问题非常有意义：
谓词公式的等价
• 定义
– 两个任意谓词公式A和B, E是它们共有的论域, 若在任何解释下，A与B作的真值都相同(或者 说AB是永真式)，则称公式A与B在论域E上是 等价的。如果不论对什么论域E，都使得公式A 与B等价，则称A与B等价，记作AB。
– 例：I(x)：x是整数，N(x)：x是自然数，论域E 是自然数集合
目的(约束条件)是 xA(x)∨xB(x) → x(A(x)∨B(x)) F
所以
xA(x)∨xB(x) T
x(A(x)∨B(x)) F
xA(x)为T或xB(x)为T
A(1)∨B(1)为F或A(2)∨B(2)为F
xA(x)∨xB(x)
T
不妨取
A(1)∨B(1) F
这样 A(1) A(2) F
解释
问题证明的一般方法
直接证明法 反证法 数学归纳法
Px(Q(x)→R(x)) What描述方式决定
(两种方式)
找出实例
2.转换形式结构 3.引用已知条件P
x：Q(x)
(问题具体描述)
PxA(x)
构造证法 给出算法
(问题抽象描述)
Q1(x)
P R1(x)
R(x)
递归或递推的 形式给出算法
例：试判断xA(x)∨xB(x) → x(A(x)∨B(x))是否是 永真式，并说明理由。
分析：试图找到一个使该公式为假的解释，首先考虑论域。 论域大了，过程会复杂，论域小了，无法区分全称与存在，
所以取D={1,2}。
现在要确定 A(1) A(2) B(1) B(2) ?? ??
别为?
xyP(x,y) 关于x的一元函数
x y P(x,y) yP(x,y) xyP(x,y)
1
T
1
T
2
F
T
1
F
2
T
2
T
yxP(x,y) 关于y的一元函数
– 例：I(x)：x是整数，论域E为自然数集合
• I(x)在E上是永真式 • I(x) ∨ I(x)是与论域无关的永真式
• 谓词公式的永假式 • 谓词公式的可满足式
例：试说明以下公式的类型
1. xA(x)→A(y)
永真式
2. xA(x)→A(y)
可满足式
3. A(x) (A(x) ：x+6=5) 可满足式
x(A(x)∨B(x)) F
B(1) B(2) F
因此
xA(x) F
所以 xB(x) T
从而 A(1) A(2) B(1) B(2)
F
FT
结论：所给公式不是永真式
例(续前)：试判断xA(x)∨xB(x) → x(A(x)∨B(x)) 是否是永真式，并说明理由。
解：所给公式不是永真式，理由如下。
体函数常量
3. 对A中出现的每一个n元谓词，指定一个D上的n元谓词 常量
4. 对A中出现的每一个个体常量及自由变元，指定D中的 一个个体常量
5. 对A中出现的每一个命题变元P，指派一个真值T或F
由此得到一个命题AI，称AI的真值为公式A在 解释I 下的真值
例
• 取解释I如下：
– D={1,2}, – 定义D上的二元谓词P真值为
– 联词与量词的关系 – 问题与否问题的关系 – 构造证法的一种典型情形 – 公式形成规则、联词、量词、变元约束等知识点 – 逐步推演思想 – 完整地自顶向下逐步求精思想
问题与否问题
• 问题：所给公式是永真式吗？ • 否问题：所给公式不是永真式吗？ • 这两个问题有不同的难度
– 是永真式：在任何论域的任何解释下皆为真 – 不是永真式：存在一个使该公式为假的特定
• 注意：以前进行运算都是根据形成过程由里往外 逐次进行的，但这里的过程正好相反：自顶向下 逐步推演。
• 在推演过程中，首先考虑以下事实：
A→B F
AB TF
A∨B F
A B A∧B FF T
AB TT
xA(x) A(1) A(2)
xA(x) A(1) A(2)
T
TT
F
FF
• 若是上述五种情况之外的情况，则利用D中元素 的对称性避免讨论。
P(1)→Q(f(1),1)
P(2)→Q(f(2),1)
T
T
x(P(x)→Q(f(x),a))在解释I下的真值为T
谓词公式的永真式
• 定义
– 给定谓词公式A，E是其论域，如果在任何解释 下公式A的真值都为真，则称公式A在论域E上 是永真式。如果不论对什么论域E，都使得公 式A为永真式，则称A为永真式。
考虑D={1,2}上的解释I：
A(1) A(2) B(1) B(2)
FFFT
在I下： xB(x) A(1)∨B(1)
T
F
此处取T亦可
所以 xA(x)∨xB(x) x(A(x)∨B(x))
T
F
xA(x)∨xB(x) → x(A(x)∨B(x))
F
总结
• 总的思路：试图在D={1,2}上找到一个使所给公式 为假的解释。
11.6 谓词逻辑的永真公式
• 在谓词逻辑中，公式是一个符号串，必须 给以具体的解释后才能分辨其真假的可能。
• 解释：给公式中的个体变元指定一个具体 的个体域D
• 一个公式经解释后才具有具体的意义。
• 谓词公式的解释I包括：
1. 指定一个论域D(称I为D上的解释) 2. 对A中出现的每一个n元函数，指定一个D上的 n元个
y x P(x,y) xP(x,y) yx P(x,y)
1
T
1
F
2
F
F
1
F
2
F
2
T
例
• 取解释I如下：
– D={1,2}, – 令 a:1, f(1)=2, f(2)=1 – 定义D上的谓词P和Q为
P(1): F； P(2): T； Q(1,1):T； Q(1,2):T； Q(2,1):F； Q(2,2): F 求谓词公式x(P(x)→Q(f(x),a))在解释I下的真值
• I(x)与N(x)在E上是等价的 • N(x)→I(x) N(x)∨I(x)
4. x( A(x) ∧ ¬A(x)) 永假式
5. 6.
x (A(x)∨B(x)) → x (A(x)∧B(x))
xA(x)∨xB(x) xA(x) ∧ xB(x)
永真吗?
永真式的判定
• 命题逻辑的永真式问题是可判定的。
– 至少可用真值表
• 谓词逻辑的永真式问题是不可判定的。 • 研究谓词逻辑永真式判定问题非常有意义：
谓词公式的等价
• 定义
– 两个任意谓词公式A和B, E是它们共有的论域, 若在任何解释下，A与B作的真值都相同(或者 说AB是永真式)，则称公式A与B在论域E上是 等价的。如果不论对什么论域E，都使得公式A 与B等价，则称A与B等价，记作AB。
– 例：I(x)：x是整数，N(x)：x是自然数，论域E 是自然数集合
目的(约束条件)是 xA(x)∨xB(x) → x(A(x)∨B(x)) F
所以
xA(x)∨xB(x) T
x(A(x)∨B(x)) F
xA(x)为T或xB(x)为T
A(1)∨B(1)为F或A(2)∨B(2)为F
xA(x)∨xB(x)
T
不妨取
A(1)∨B(1) F
这样 A(1) A(2) F
解释
问题证明的一般方法
直接证明法 反证法 数学归纳法
Px(Q(x)→R(x)) What描述方式决定
(两种方式)
找出实例
2.转换形式结构 3.引用已知条件P
x：Q(x)
(问题具体描述)
PxA(x)
构造证法 给出算法
(问题抽象描述)
Q1(x)
P R1(x)
R(x)
递归或递推的 形式给出算法
例：试判断xA(x)∨xB(x) → x(A(x)∨B(x))是否是 永真式，并说明理由。
分析：试图找到一个使该公式为假的解释，首先考虑论域。 论域大了，过程会复杂，论域小了，无法区分全称与存在，
所以取D={1,2}。
现在要确定 A(1) A(2) B(1) B(2) ?? ??