22谓词公式与解释讲解
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谓词公式与翻译(精)
（4）谓词
P（x）为P（a）= 0，P（b）= 1；
Q（x，y）为Q（a，a）= 0，Q（a，b）= Q（b，a）= Q（b，b）
= 1；
L（x，y）为L（a，b）=L（b，a）= 0，L（a，a）= L（b，b）=
1。
求下列公式在解释I下的真值
2）x（ P（f（x））∧Q（x，f（x）））；
在解释I下
5
2.3 谓词公式与翻译
由例可知，对于命题翻译成谓词公式时，机动性很大，由于对个 体描述性质的刻划深度不同，就可翻译成不同形式的谓词公式。
例如：这只大红书柜摆满了那些古书
解法1：
解法2：
设：F(x,y): x摆满了y
设：F(x,y): x摆满了y
R(x): x是大红书柜
x（ P（f（x））∧Q（x，f（x）））
=（ P（f（a））∧Q（a，f（a）））∨（ P（f（b））∧Q（b，f
（b）））
=（ P（b）∧Q（a，b））∨（ P（a）∧Q（b，a））
=（ 1∧1）∨（ 0∧1）
= 1∨0
= 1 2019/6/3
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【例2.2.1】给定解释I如下
（1）U =｛a，b｝；
人总是要犯错误的。
解：设F(x)：x犯错误，M(x)：x是人。则上句符
号化为：
(a) ┒(x)(M(x)⋀┒F(x)) (b) x(M(x)→F(x)) 【例2】尽管有人聪明但未必一切人都聪明。
解：设P(x)：x聪明，M(x)：x是人。则上句符号 化为：
2019/6/3 x(M(x)⋀P(x))⋀┒(x(M(x)→P(x)))
2019/6/3
7
2.3 谓词公式与翻译
最新2.2谓词公式与解释
四、谓词公式的类型
西
设A是公式。如果A在任何的解释下都
华
大 是真的，则A是永真式；如果A在任何的
学 解释下都是假的，则A是永假式；如果A
在一些解释下为假，一些解释下为真，
则A是非永真的可满足式。
例如： x A(x) x A(x)是永真式； x A(x)∧x A(x）是永假式。
代换实例
西华设A0是含命题变元p1, p2, …, pn的命题逻辑公式，
2.2谓词公式与解释
一、合式公式的定义：
原子公式： f(x1,x2,,xn) 为n元谓词符号，t1,t2,…,tn 是
项，则 f(t1,t2,,tn) 是原子公式；
西 合式公式的归纳定义：
华 大
1、任意的原子公式是公式
学 2、若A是公式，则xA、xA是公式；
3、若A、B是公式，则 A、A∧ B、A∨B、A → B、A B是 公式；
2. 对于某些简单的公式，特别对于简单的闭式，
西 华
可在假定给定任意解释的前提下该公式的真值
大 学
都为真（或者为假）来证明该公式是永真式
（或矛盾式）。
3. 要证明一个公式是可满足式，只要找到一个 解释，使得该公式的真值为真即可。同时为了 证明它不是永真式，只要找一个解释，使得该 公式的真值为假即可。
解释的说明
(1) 一个谓词公式如果不含自由变元,则在一个解释下, 可以得到确定的真值,不同的解释下可能得到不同的 真值。
(2) 公式的解释并不对变元进行指定,如果公式中含有自 由变元,即使对公式进行了一个指派,也得不到确定的 真值,其仅是个命题函数,但约束变元不受此限制。
3）有公式的解释定义可以看出,公式的解释有许多的解 释,当D为无限集时,公式有无限多个解释,根本不可能 将其一一列出,因而谓词逻辑的公式不可能有真值表 可列。
谓词 基本推理公式
谓词基本推理公式
谓词逻辑是逻辑学中的一种形式系统，它使用谓词来表达命题的性质和关系。
基本推理公式是谓词逻辑中的一些基本规则，用于推导命题的真假。
以下是几个常用的谓词逻辑基本推理公式：
1. 交换律：A→B ↔ B→A
2. 结合律：(A→B)→C ↔ A→(B→C)
3. 吸收律：A→(B∧C) ↔ (A→B)∧(A→C)
4. 分配律：(A∧B)→C ↔ A→(B→C)
5. 重写律：A→B ↔ ¬B→¬A
6. 否定引入律：¬(A∧B) ↔ (¬A∧¬B)
7. 否定消去律：¬¬A ↔ A
8. 双条件引入律：A↔B ↔ (A→B)∧(B→A)
9. 双条件消去律：A↔B ↔ (A∧B)∨(¬A∧¬B)
10. 全称量词引入律：∀x(P(x)) ↔ P(y)/y (y属于某个集合)
11. 存在量词引入律：∃x(P(x)) ↔ P(y)/y (y属于某个集合)
这些基本推理公式是谓词逻辑的基础，可以用于推导其他命题的真假。
在具体使用时，需要根据命题的具体情况进行选择和应用。
谓词逻辑I 谓词、量词与谓词公式
如 F(x)G(x), xF(x)yG(y)是pq的代换实例 定理 重言式的代换实例都是重言式，矛盾式的代 换实例都是矛盾式.
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实例
例 判断下列公式的类型 (1) ∀xF(x)→∃xF(x)；
设I为任意的解释，若∀xF(x)为假，则 ∀xF(x)→∃xF(x)为真. 若∀xF(x)为真，则∃xF(x)也为 真，所以∀xF(x)→∃xF(x)恒为真. 是逻辑有效式. (2) ∀xF(x)→(∀x∃yG(x,y)→∀xF(x))； 重言式p→(q→p) 的代换实例，是逻辑有效式.
7
基本概念 —谓词：0元谓词
例 将命题“2是素数且是偶数”用0元谓词 符号化 设F(x)：x是素数； G(x)：x是偶数；a: 2 则F(a)G(a)表示“2是素数且是偶数” F(a)和G(a)都是0元谓词，不仅如此 F(a)G(a)也是0元谓词， F(x)G(x)是一个1 元谓词，表示x既是素数又是偶数这一性质. 以个体常元a代入x，从而消去个体变元，便 得到0元谓词F(a)G(a)
10
例 (续 )
(2) 2 是无理数仅当 3是有理数 在命题逻辑中, 设 p： 2 是无理数，q： 3 是有理数. 符号化为 p q 在谓词逻辑中, 设F(x): x是无理数, G(x): x是有理数 符号化为 F ( 2 ) G( 3 ) (3) 如果2>3，则3<4 在命题逻辑中, 设 p：2>3，q：3<4. 符号化为 pq 在谓词逻辑中, 设 F(x,y)：x>y，G(x,y)：x<y, 符号化为 F(2,3)G(3,4)
基本概念 ——谓词：元数
谓词的元数: 谓词中包含的个体的个数， 例如 F(x,y,z)含有三个个体，其元数为3 一元谓词: 表示事物的性质或状态，如F(苏) 多元谓词 (n元谓词, n2): 表示事物之间的 关系. 例如 L(x,y)表示x与y有L关系， 若L表示…大于…，则L(x,y)表示x>y， 若 L 表示 …是 … 的妻子，则 L( 圆 , 又 ) 表示 高圆圆是赵又廷的妻子. n 元谓词规定了 n个个体的顺序，不可随意颠 倒 . 例如 L(圆,又)不能写L(又,圆)
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实例
例 判断下列公式的类型 (1) ∀xF(x)→∃xF(x)；
设I为任意的解释，若∀xF(x)为假，则 ∀xF(x)→∃xF(x)为真. 若∀xF(x)为真，则∃xF(x)也为 真，所以∀xF(x)→∃xF(x)恒为真. 是逻辑有效式. (2) ∀xF(x)→(∀x∃yG(x,y)→∀xF(x))； 重言式p→(q→p) 的代换实例，是逻辑有效式.
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基本概念 —谓词：0元谓词
例 将命题“2是素数且是偶数”用0元谓词 符号化 设F(x)：x是素数； G(x)：x是偶数；a: 2 则F(a)G(a)表示“2是素数且是偶数” F(a)和G(a)都是0元谓词，不仅如此 F(a)G(a)也是0元谓词， F(x)G(x)是一个1 元谓词，表示x既是素数又是偶数这一性质. 以个体常元a代入x，从而消去个体变元，便 得到0元谓词F(a)G(a)
10
例 (续 )
(2) 2 是无理数仅当 3是有理数 在命题逻辑中, 设 p： 2 是无理数，q： 3 是有理数. 符号化为 p q 在谓词逻辑中, 设F(x): x是无理数, G(x): x是有理数 符号化为 F ( 2 ) G( 3 ) (3) 如果2>3，则3<4 在命题逻辑中, 设 p：2>3，q：3<4. 符号化为 pq 在谓词逻辑中, 设 F(x,y)：x>y，G(x,y)：x<y, 符号化为 F(2,3)G(3,4)
基本概念 ——谓词：元数
谓词的元数: 谓词中包含的个体的个数， 例如 F(x,y,z)含有三个个体，其元数为3 一元谓词: 表示事物的性质或状态，如F(苏) 多元谓词 (n元谓词, n2): 表示事物之间的 关系. 例如 L(x,y)表示x与y有L关系， 若L表示…大于…，则L(x,y)表示x>y， 若 L 表示 …是 … 的妻子，则 L( 圆 , 又 ) 表示 高圆圆是赵又廷的妻子. n 元谓词规定了 n个个体的顺序，不可随意颠 倒 . 例如 L(圆,又)不能写L(又,圆)
第7章谓词
谓词变元有理数质数量词金子第7章谓词更多
第7章 谓词逻辑
§7.1 一阶谓词基本概念 §7.2 谓词公式及其解释
§7.3 谓词公式之间的关系与范式表示
§7.4 谓词演算的推理理论
§7.1 一阶谓词基本概念
7.1.1 谓词、个体词和个体域
一个命题是一个陈述句。陈述句的组成结构？
组 成 主语+谓语 主语+谓语+宾语
(∃x (J(x) ∧ S(x) )) ∧ (∀x ( S(x) → J(x))
翻译： 1. 有些金子不闪光。 2. 不闪光的都不是金子。 3. 金子未必都闪光。
多重量化
例10. 有些人对一些食物过敏。 设：Q(x,y): x 对 y 过敏。 M(x): x 是人。 P(y): y 是食物。 x ( M(x) ∧ y ( P(y) ∧ Q(x,y) ) ) 例11. 每个人都有一些朋友。 设：P(x,y): x是y的朋友。 M(x): x是人。 x ( M(x) → y ( M(y) ∧ P(y,x) ) )
4. 如果7是质数，那么8是奇数。 5. 小王和小丁是好朋友。
7.1.2 量词
定义7.4 量词 —— 表示数量的词
量词
•∀x 表示对个体域内的任意的个体x ； •∀xA(x)表示个体域内任意的个体x都具有性质A，A(x)称为全称量词的辖域； •∃x 表示在个体域内存在着个体x； •∃xA(x)表示在个体域内存在着个体x具有性质A，A(x)称为存在量词的辖域
令：P(x)：x是质数。
注意： 翻译时的个体域说明是不可少的。 所有的人都是要死的。<=> 对所有的x, 只要x是人, 那么x就是要死的。 令：D(x)：x是要死的。
M(x)：x是人。
第7章 谓词逻辑
§7.1 一阶谓词基本概念 §7.2 谓词公式及其解释
§7.3 谓词公式之间的关系与范式表示
§7.4 谓词演算的推理理论
§7.1 一阶谓词基本概念
7.1.1 谓词、个体词和个体域
一个命题是一个陈述句。陈述句的组成结构？
组 成 主语+谓语 主语+谓语+宾语
(∃x (J(x) ∧ S(x) )) ∧ (∀x ( S(x) → J(x))
翻译： 1. 有些金子不闪光。 2. 不闪光的都不是金子。 3. 金子未必都闪光。
多重量化
例10. 有些人对一些食物过敏。 设：Q(x,y): x 对 y 过敏。 M(x): x 是人。 P(y): y 是食物。 x ( M(x) ∧ y ( P(y) ∧ Q(x,y) ) ) 例11. 每个人都有一些朋友。 设：P(x,y): x是y的朋友。 M(x): x是人。 x ( M(x) → y ( M(y) ∧ P(y,x) ) )
4. 如果7是质数，那么8是奇数。 5. 小王和小丁是好朋友。
7.1.2 量词
定义7.4 量词 —— 表示数量的词
量词
•∀x 表示对个体域内的任意的个体x ； •∀xA(x)表示个体域内任意的个体x都具有性质A，A(x)称为全称量词的辖域； •∃x 表示在个体域内存在着个体x； •∃xA(x)表示在个体域内存在着个体x具有性质A，A(x)称为存在量词的辖域
令：P(x)：x是质数。
注意： 翻译时的个体域说明是不可少的。 所有的人都是要死的。<=> 对所有的x, 只要x是人, 那么x就是要死的。 令：D(x)：x是要死的。
M(x)：x是人。
谓词公式与翻译(精)
xP(x)→x Q(x)) ┒(x)P(x) ⋁x Q(x)
定义2:
设A为谓词公式，若在任何解释下，A的真值都为真，则 称A为永真式；
若至少存在一种解释，使A的真值为真，则称A为可满足 式；
若在任何解释下，A的真值都为假，则称A为矛盾式，矛 盾式也称不可满足式。
2019/6显/3 然，永真式是可满足式。
2019/6/3
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2.3 谓词公式与翻译
2．谓词公式的解释 定义 谓词公式的一个解释I，由下面4部分组成 1）非空的论域U； 2）U中的特定的个体常项； 3）U上特定的函数； 4）U上特定的谓词。
若将谓词公式中的个体常项，函数和谓词分别指定 为U中的特定个体常项，U上特定的函数和U上特定的谓 词，即为该公式在解释I下的真值。
彐x(P(z)∧R(x,z)) 但是彐x(P(x)∧R(x,x))与彐x(P(z)∧R(x,y))这两种代入都是与
规则不符的。
2019/6/3
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2.5谓词公式的等价与蕴涵
1、谓词逻辑中常见的等价与蕴含关系 谓词公式的赋值:
在谓词公式中常包含命题变元和客体变元，当客体 变元由确定的客体所取代，命题变元用确定的命题 所取代时，就称作对谓词公式的赋值。一个谓词公 式经过赋值以后，就成为具有确定真值T或F的命 题。
17
(1)命题逻辑中等价和蕴含的推广
在命题演算中，任一永真公式，其中同一命题变元， 用同一公式取代时，其结果也是永真公式。我们可以 把这个情况推广到谓词公式之中，当谓词演算中的公 式代替命题演算中永真公式的变元时，所得的谓词公 式即为有效公式，故命题演算中的等价公式表和蕴含 式表都可推广到谓词演算中使用。
例题 2 对x(P(x)→R(x,y))∧Q(x,y)换名。 解 可换名为： z(P(z)→R(z,y))∧Q(x,y)， 但不能改名为： y(P(y)→R(y,y))∧Q(x,y) 以及 z(P(z)→R(x,y))∧Q(x,y)。
2.2--谓词逻辑表示法
2013-7-9源自智能信息处理联合实验室制作
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7. 谓词逻辑表示知识的举例
例1：用谓词逻辑表示下列知识： 武汉是一个美丽的城市，但她不是一个沿海城市。 如果马亮是男孩，张红是女孩，则马亮比张红长得 高。 解：按照知识表示步骤，用谓词公式表示上述知识。 第一步：定义谓词如下： BCity(x)：x是一个美丽的城市 HCity(x)：x是一个沿海城市 Boy(x):x是男孩 Girl(x):x是女孩 High(x,y):x比y长得高
标点符号、括号、逻辑联结词、常量符 号集、变量符号集、n元函数符号集、n 元谓词符号集、量词
·谓词演算
合法表达式 (原子公式、合式公式)， 表达式的演算化简方法，标准式 (合取 的前束范式或析取的前束范式)
2013-7-9
智能信息处理联合实验室制作
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人工智能
·语法元素
常量符号。
变量符号。
函数符号。
谓词符号。
联结词： ┐、∧、∨、→、 。
量词： 全称量词、 存在量词。和 后面跟着的x叫做量词的指导变元。
2013-7-9
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人工智能
2 基本概念
函数符号与谓词符号 · 若函数符号f中包含的个体数目为n,则称f
为n元函数符号。 若谓词符号P中包含的个体数目为n,则称P为 n元谓词符号。 如：father(x)是一元函数,less(x,y)是二 元谓词. 一般一元谓词表达了个体的性质,而多元谓 词表达了个体之间的关系.
2013-7-9
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8
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注意:
在命题逻辑中，每个表达式都是句 子，表示事实。 在谓词逻辑中，有句子，但是也有 项，表示对象。常量符号、变量和 函数符号用于表示项，量词和谓词 符号用于构造句子。
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7. 谓词逻辑表示知识的举例
例1：用谓词逻辑表示下列知识： 武汉是一个美丽的城市，但她不是一个沿海城市。 如果马亮是男孩，张红是女孩，则马亮比张红长得 高。 解：按照知识表示步骤，用谓词公式表示上述知识。 第一步：定义谓词如下： BCity(x)：x是一个美丽的城市 HCity(x)：x是一个沿海城市 Boy(x):x是男孩 Girl(x):x是女孩 High(x,y):x比y长得高
标点符号、括号、逻辑联结词、常量符 号集、变量符号集、n元函数符号集、n 元谓词符号集、量词
·谓词演算
合法表达式 (原子公式、合式公式)， 表达式的演算化简方法，标准式 (合取 的前束范式或析取的前束范式)
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·语法元素
常量符号。
变量符号。
函数符号。
谓词符号。
联结词： ┐、∧、∨、→、 。
量词： 全称量词、 存在量词。和 后面跟着的x叫做量词的指导变元。
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2 基本概念
函数符号与谓词符号 · 若函数符号f中包含的个体数目为n,则称f
为n元函数符号。 若谓词符号P中包含的个体数目为n,则称P为 n元谓词符号。 如：father(x)是一元函数,less(x,y)是二 元谓词. 一般一元谓词表达了个体的性质,而多元谓 词表达了个体之间的关系.
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注意:
在命题逻辑中，每个表达式都是句 子，表示事实。 在谓词逻辑中，有句子，但是也有 项，表示对象。常量符号、变量和 函数符号用于表示项，量词和谓词 符号用于构造句子。
第二讲谓词公式及其性质
4、自由变元的代入
(1)对于谓词公式中的自由变元可以代入，代入时需对公 式中出现该自由变元的每一处进行； (2)用以代入的变元与原公式中所有变元名称不能相同。 (x)(F(x,y) P(y))∧(x)(Q(x,y) R(z) ) ∧(y)B(y) (x)(F(x,w) P(w))∧(x)(Q(x,w) R(z) ) ∧(y)B(y)
2. 相应概念
量词的指导变元 (x)P(x) (x)P(x) 量词作用域 (x)( …… (y)(……) )
量词的作用域是邻 接其后的公式，除 非作用域是个原子 公式，否则应在公 式的两侧插入圆括 号。
约束变元 (x)( …P(x)…） (x)(…Q(x)…）
自由变元 (y)( …P(x)…Q(x,y)…） (y)(…Q(x)…R(x,y)…）
说明下列各式的作用域和变元约束情况
1、(x)(A(x) ( y)(B(y) ∧ F(x,y))) 2、(x)(P(x) ( y)(Q(y) ∧ F(x,y,z))) 3、(x) (y)(P(x,y) ∧Q(y,z) 呈自由出现，又呈约束出现 设A(x)：x是大学生 论域：我们班全体学生 (x)A(x) (y)A(y) (z)A(z)
5、量化断言与命题的关系
假设个体域D={a1, a2，…，an} (x) (P(x)) P(a1) ∧ P(a2) ∧ … ∧ P(an) ( x)(P(x)) P(a1) ∨ P(a2) ∨ … ∨ P(an)
如何由命题函数变成命题？
具体客体名称取代客体变元获得命题 用量化客体变元的方法获得命题
3、约束变元的换名
换名的目的： 避免由于变元的约束与自由同时出现而引起的混乱。
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解释的说明
(1) 一个谓词公式如果不含自由变元,则在一个解释下, 可以得到确定的真值,不同的解释下可能得到不同的 真值。
(2) 公式的解释并不对变元进行指定,如果公式中含有自 由变元,即使对公式进行了一个指派,也得不到确定的 真值,其仅是个命题函数,但约束变元不受此限制。
3）有公式的解释定义可以看出,公式的解释有许多的解 释,当D为无限集时,公式有无限多个解释,根本不可能 将其一一列出,因而谓词逻辑的公式不可能有真值表 可列。
二、约束部分
在谓词公式中，形如xP(x)或xP(x)以及
xP(x，y)的部分中x称为指导变元，在辖
西 域中,x的所有出现称为约束变元（约束出
华 大
现）；y是自由变元（自由出现）。
学 量词的辖域
(x)P(x)或(x)P(x)中的公式P(x)，通
称为量词的辖域。换言之，量词的辖域是
邻接其后的公式，除非辖域是原子公式，
项，则 f (t1, t2 ,, tn ) 是原子公式；
西 合式公式的归纳定义：
华 大
1、任意的原子公式是公式
学 2、若A是公式，则xA、xA是公式；
3、若A、B是公式，则 A、A∧ B、A∨B、A → B、A B是 公式；
有限次地应用前三条，得到公式。
判断下列符号串是否为合式公式： 1. x(P(x) ∧ Q(x)) 2. xy(P(x) Q(y)) 3. yx∧ P(x) 4. x f(x) → x(g(x,y) ∨f(x) )
(2)xy(F(f(x,a),y)F(f(y,a),x)) 在解释N下此公式：xy(x+0=yy+0=x)此命题为真 (3)F(f(x,y),f(y,z))在解释N下该公式x+y=y+z 此时,x,y,z均为自由变元,解释不对自由变元进行指定。因而该 公式是命题函数,不是命题,真值不能确定。
例如公式：x F(x,a)∧x G(f(x),a)
三、谓词公式的赋值(解释)
一个解释由4部分组成：
（1） 非空个体域D；
西 华
（2）D中特定元素；
大 （3）D上特定函数； 学 （4）D上特定谓词。
公式x F(x,a)∧x G(f(x),a)
指定：D=实数集合；a=0；f(x):3x;F(x,y):x≥y； G(x,y):x=y。
则x (x ≥0) ∧x (3x=0) 假命题。
解释举例1
给定解释I如下：
西 华 大 学
x(F(x) ∧ G(x,2))
(F(2) ∧ G(2,2)) ∧ (F(3) ∧ G(3,2))
y L(2,y) ∧ y L(3,y)
0∧ 11
(L(2,2)∨L(2,3)) ∧(L(3,2) ∨ L(3,3)) ( 1 ∨0 ) ∧(0 ∨ 1) 1
解释举例2
例2：已知指定一个解释N如下： (1)个体域为自然数集合DN (2)指定常项a=0 (3)DN上的指定函数f(x,y)=x+y,g(x,y)=x*y (4)指定谓词F(x,y)为x=y 在以上指定的解释N下,说明下列公式的真值
(1)xF(g(x,a),x) 即x(x*0=x)该命题假的
• 项的定义
1. 个体变元、个体常元是项；
2. 若 f (x1, x2 ,, xn ) 是任意n元函数，t1,t2,…,tn 是项，
则 f (t1, t2 ,, tn ) 是项； 3. 有限次的应用1，2得到项。
一、合式公式的定义：
原子公式： f (x1, x2 ,, xn ) 为n元谓词符号，t1,t2,…,tn 是
对x (F(x,y)∧y G(x,y)) F(x,y) 改为： x (F(x,t)∧y G(x,y)) F(s,t) 或者为：t (F(t,y)∧y G(t,y)) F(x,y)
谓词公式的解释
西 谓词逻辑中的解释(赋值)
华
大 在命题逻辑对每个命题符号作个真值指定可以得一个
学
公式的一个指派,又称赋值,又称解释。如公式中共出 现n个不同的命题符号,则共有2n个解释,因而可以列 出公式的真值表。而谓词逻辑中公式的赋值解释是 怎样的呢？
§2.2 一阶逻辑合式公式及解释
• 符号体系：
1. 个体常元符号：a,b,c,……a1,a2,a3,…… 西华2. 个体变元:x,y,z,……,x1,x2,x3,……
大3. 学
4.
函数符号:f,g,h,……f1,f2,f3,…… 谓词符号:F,G,H,……
5. 量词符号:
6. 联结词: ∧∨ →
四、谓词公式的类型
西
设A是公式。如果A在任何的解释下都
华
大 是真的，假式；如果A
在一些解释下为假，一些解释下为真，
则A是非永真的可满足式。
例如： x A(x) x A(x)是永真式； x A(x)∧x A(x）是永假式。
代换实例
西华设A0是含命题变元p1, p2, …, pn的命题逻辑公式，
否则应在所辖公式的两侧插入圆括号。
量词辖域举例
西 例如：x F(x)G(x,y)
华
大 学
解：x的辖域仅F(x),x是指导变元，变
元x第一次出现是约束出现，第二次出
现是自由出现，y的出现是自由出现。
所以第一个x是约束变元，第二个x是
自由变元，本质上这两个x的含义是不
同的；而y仅是自由变元。
换名规则
2、 代替规则：对自由变元进行代入。
整个谓词公式中同一个字母的自由变元是指同一个个体 名词。因此可以用整个公式中没有的变元符号来代替， 且要求整个公式中该变元同时用同一个符号代替。
换名规则举例
西x F(x,y)∧x G(x,y) 华大改为：x F(x,y)∧u G(u,y) 学或者为： z F(z,y)∧x G(x,y)
可以看出,在谓词公式中一个变元可能既是约束出现,同
时又有自由出现,则该变元既是自由变元又是约束变元,
西 本质上这两种出现,用的是一个符号,实质上是不同的
华 大 学
含义。为避免混淆,需要改名。改名要采用以下规则, 使谓词公式的含义不改变。
1、 换名规则：对约束变元进行换名。
将量词辖域内出现的某个约束变元及其相应量词中的指 导变元，可以换成一个其他变元，改变元不能与本辖 域内的其他变元同名，公式中的其他部分不改变。