2016年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷(附答案)
2016年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷(附答案)
2016．04
本试卷分选择题和非选择题两部分，全卷共三页，选择题部分1至2页，非选择题2至3页。
满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.
1. 已知(){}R M ∈+-+-=λλλ42,31,(){}R N ∈+-=λλλ3,1,则N M = ( ) A. ∅ B. {}2 C.
(){}2,2 D. ()2,2
2. 在平面直角坐标系XOY 中，若点P 的坐标为()3cos 2,3sin 2-，则POX ∠= ( )
A. 3
B. 3-π
C. 2
3π
+
- D. 2
3π
-
3. 在ABC ∆1=，2=⋅,若ABC S ∆=1，则BC = ( ) A. 5 B.
3 C. 1 D. 2
4. 函数x x y -+-=43的值域是 ( )
A. []2,1
B. []3,1
C.⎥⎦⎤
⎢⎣⎡23,1 D. []
2,1
5. 如果一个函数()x f 在其定义域内对任意的y x ,都满足()()22y f x f y x f +≤
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+，则称这个函数为下凸函数，下列函数是下凸函数的是 ( ) ①()x x f 2log -=②()3x x f =③()x
x f -=2
④()⎩
⎨⎧><=0,20
,x x x x x f
A. ①②
B. ②③
C. ③④
D. ①④
6. 函数()()β+=x a x f 2sin 2的值域为[]2,2-，在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-12,125ππ上单调递减，则常
数a 和β的值可以是 ( )
A. 32,1πβ=
=a B. 34,1πβ==a C. 34,1πβ=-=a D. 3
2,1π
β=-=a
7. 已知3,*≥∈k N k ，若一元二次方程()0212=+--k px x k 的两根都是正整数，则k p += ( )
A. 12
B. 11
C. 10
D. 9
8. 化简
85
sin 65cos 55cos 15cos = ( ) A. 4 B. 3 C. 34 D. 33 9. 平面直角坐标系中()()()()a a C B A ≤≤≤≤+=-μλμλ1,1,2,2,0,4,1,1若动点P 组成的区域面积为32，则a 等于 ( ) A. 27 B. 3 C. 2 D. 2
3 10. 设[]2,2,...,,201621-∈a a a ，且0...201621=+++a a a ,则32016
3231...a a a f +++=的最大值是 ( )
A. 2016
B. 3024
C. 4032
D. 5040
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题7分，共49分. 11. 函数()()
22
123log x x x f -+=的单调递减区间是
12. 定义在R 上的奇函数()()⎩⎨⎧<≥+=0,20
,22x x g x x x x f ，则()()2-g f =
13. 指数函数()1,0≠>=a a a y x 和对数函数()1,0log ≠>=a a y a 的图像分别为1C 和2C ，点M 在曲线1C 上，线段OM (O 为坐标原点）交曲线1C 与另一点N ,若曲线2C 存在点P ，满足点P 的横坐标与点M 的纵坐标相等，点P 的纵坐标是点N 的两倍，则点P 的坐标是
14. 已知21,e e 是两个相互垂直的单位向量，若21e y e x +=，且32=+y x 的最小值是
15. 已知函数()()x x x m x f 4cos 21cos sin 4
++=在⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 有最大值27，则实数m
的值是
16. 函数()x
x x x x x x x x x x f ++++++++++++++=
20152014....4332211图像的对称中心是 17. 设[]x 表示不超过x 的最大整数,集合[][][][]{}100,432≤≤+++==x x x x x y y A 中的元素个数为 个
三、解答题：本大题共三小题，共51分. 18. （本题满分15分）已知函数()()03sin 32
cos 62
>-+=ωωωx x
x f 在一个周期
内的图像如图所示，A 为图像最高点，C B ,为图像与x 轴的交点且ABC ∆为正三角形.
Ⅰ、求ω的值及函数()x f 的值域； Ⅱ、若()5380=
x f 且⎪⎭
⎫
⎝⎛-∈32,3100x , 求()10+x f .
19. （本题满分18分）已知函数()x f 是定义在R 上且5=T 的周期函数,当[]1,0∈x 时，()()
*343N n x x f n ∈=-, 当[]4,1x 时,()b x x f a +=log ,又函数()x f y =在[]1,1-上时奇函数且在区间[]1,0上单调递增. Ⅰ、求函数()x f y =在[]4,1上的解析式； Ⅱ、求函数()x f y =在R 上的解析式.
20. （本题满分18分）已知函数()a x x x f -++=12,其中a 为常数.
Ⅰ、求函数()x f 在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-21,21的单调区间；
Ⅱ、若不等式()a x x f ->2对任意的R x ∈恒成立，求实数a 的取值范围.
参考答案
一、选择题
1. C
2. D
3. A
4. D
5. D
6. B
7. B
8. A
9. C(图解法) 10. C
二、填空题
11. ()1,1-或(]1,1- 12. -15
13. ()4log ,4a 14. 5
53
15. 1
16. ()0152,1008- 17. 61
(提示：分k x k +<≤4
1，k x k +<≤+3
14
1，k x k +<≤+2
13
1，k x k +<≤+12
1，
10=x ，*,100N k k ∈<≤
五种情况进行讨论)
三、解答题
18. Ⅰ、[]3
2,32- Ⅱ、567
19. Ⅰ、()[]4,1,3log 32∈+-=x x x f (临界取值)
Ⅱ、()[]
()(]()
Z k k k x k x k k x k x x f ∈⎩⎨⎧++∈+--+-∈-=45,15,35log 315,15,1532
20.
Ⅰ、当2
32
1<<a 时，()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1,2
1a 上递减，在⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡-21,1a 上递增；
当2
3≥a 时，()x f 在⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡-21,21上递减； 当2
1≤a 时，()x f 在⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡-21,21上递增. Ⅱ、2
14
1-
<<-a
(提示：由a x a x x ->-++212得到
a x a x x -+-->122，比较
a x a x y x y -+--==122与的图像)。
2016年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷及参考答案
2016年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷2016.4本试卷分选择题和非选择题两部分，全卷共三页，选择题部分1至2页，非选择题2至3页。
满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1. 已知(){}R M ∈+-+-=λλλ42,31,(){}R N ∈+-=λλλ3,1,则N M = ( ) A. ∅ B. {}2 C. (){}2,2 D. ()2,22. 在平面直角坐标系XOY 中，若点P 的坐标为()3cos 2,3sin 2-，则POX ∠= ( )A. 3B. 3-πC. 23π+- D. 23π-3. 在ABC ∆1=，2=⋅AC AB ,若ABC S ∆=1，则BC = ( ) A. 5 B.3 C. 1 D. 24. 函数x x y -+-=43的值域是 ( )A. []2,1B. []3,1C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,1 D. []2,15. 如果一个函数()x f 在其定义域内对任意的y x ,都满足()()22y f x f y x f +≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+，则称这个函数为下凸函数，下列函数是下凸函数的是 ( )①()x x f 2log -=②()3x x f =③()xx f -=2④()⎩⎨⎧><=0,20,x x x x x fA. ①②B. ②③C. ③④D. ①④6. 函数()()β+=x a x f 2sin 2的值域为[]2,2-，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-12,125ππ上单调递减，则常数a 和β的值可以是 ( )A. 32,1πβ==a B. 34,1πβ==a C. 34,1πβ=-=a D. 32,1πβ=-=a7. 已知3,*≥∈k N k ，若一元二次方程()0212=+--k px x k 的两根都是正整数，则k p += ( )A. 12B. 11C. 10D. 98. 化简85sin 65cos 55cos 15cos = ( ) A. 4 B. 3 C. 34 D. 33 9. 平面直角坐标系中()()()()a a AC AB AP C B A ≤≤≤≤+=-μλμλ1,1,2,2,0,4,1,1若动点P 组成的区域面积为32，则a 等于 ( ) A. 27 B. 3 C. 2 D. 23 10. 设[]2,2,...,,201621-∈a a a ，且0...201621=+++a a a ,则320163231...a a a f +++=的最大值是 ( )A. 2016B. 3024C. 4032D. 5040第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题7分，共49分. 11. 函数()()22123log x x x f -+=的单调递减区间是12. 定义在R 上的奇函数()()⎩⎨⎧<≥+=0,20,22x x g x x x x f ，则()()2-g f =13. 指数函数()1,0≠>=a a a y x 和对数函数()1,0log ≠>=a a y a 的图像分别为1C 和2C ，点M 在曲线1C 上，线段OM (O 为坐标原点）交曲线1C 与另一点N ,若曲线2C 存在点P ，满足点P 的横坐标与点M 的纵坐标相等，点P 的纵坐标是点N 的两倍，则点P 的坐标是14. 已知21,e e 是两个相互垂直的单位向量，若21e y e x a +=，且32=+y x 的最小值是15. 已知函数()()x x x m x f 4cos 21cos sin 4++=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 有最大值27，则实数m的值是16. 函数()xxx x x x x x x x x f ++++++++++++++=20152014....4332211图像的对称中心是 17. 设[]x 表示不超过x 的最大整数,集合[][][][]{}100,432≤≤+++==x x x x x y y A 中的元素个数为 个三、解答题：本大题共三小题，共51分. 18. （本题满分15分）已知函数()()03sin 32cos 62>-+=ωωωx xx f 在一个周期内的图像如图所示，A 为图像最高点，C B ,为图像与x 轴的交点且ABC ∆为正三角形.Ⅰ、求ω的值及函数()x f 的值域； Ⅱ、若()5380=x f 且⎪⎭⎫⎝⎛-∈32,3100x , 求()10+x f .19. （本题满分18分）已知函数()x f 是定义在R 上且5=T 的周期函数,当[]1,0∈x 时，()()*343N n x x f n ∈=-, 当[]4,1x 时,()b x x f a +=log ,又函数()x f y =在[]1,1-上时奇函数且在区间[]1,0上单调递增. Ⅰ、求函数()x f y =在[]4,1上的解析式； Ⅱ、求函数()x f y =在R 上的解析式.20. （本题满分18分）已知函数()a x x x f -++=12,其中a 为常数.Ⅰ、求函数()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21的单调区间；Ⅱ、若不等式()a x x f ->2对任意的R x ∈恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案一、选择题1. C2. D3. A4. D5. D6. B7. B8. A9. C(图解法) 10. C二、填空题11. ()1,1-或(]1,1- 12. -1513. ()4log ,4a 14. 55315. 116. ()0152,1008- 17. 61(提示：分k x k +<≤41，k x k +<≤+3141，k x k +<≤+2131，k x k +<≤+121，10=x ，*,100N k k ∈<≤五种情况进行讨论)三、解答题18. Ⅰ、[]32,32- Ⅱ、56719. Ⅰ、()[]4,1,3log 32∈+-=x x x f (临界取值)Ⅱ、()[]()(]()Z k k k x k x k k x k x x f ∈⎩⎨⎧++∈+--+-∈-=45,15,35log 315,15,153220.Ⅰ、当2321<<a 时，()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1,21a 上递减，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,1a 上递增；当23≥a 时，()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上递减； 当21≤a 时，()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上递增. Ⅱ、2141-<<-a(提示：由a x a x x ->-++212得到a x a x x -+-->122，比较a x a x y x y -+--==122与的图像)。
2013年温州市高一摇篮杯数学竞赛试题(含答案)
2013年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛参考解答一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．已知集合{|53,}A a a x x N +==+∈,{|72,}B b b y y N +==+∈,则A B 中的最小的元素是 ( ▲ )A ．17B ．19C ．21D ．23【答案】D【解析】代入检验或者依次取值.2．已知角α的终边与3π的终边相同，则在[)0,2π内与3α的终边相同的角有 ( ▲ )个 A ．1 B ．2C ．3D ．4 【答案】C 【解析】713,,999πππ3．已知()f x x m =-, 当[0,9]x ∈时, ()4f x ≤恒成立, 则实数m 的取值范围 是 ( ▲ )A ．[1,0]-B ．(,1]-∞-C ．(,1]-∞D ．[0,1]【答案】C【解析】t =2()2g t t t m =-+，max (3)34g g m ==+≤ 4．若(cos ,sin )a αα= ，(cos ,sin )b ββ= ，0αβπ<<<，(0)ka b a kb k +=-≠ ， 则βα-的值为 ( ▲ )A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π 【答案】A 【解析】由(0)ka b a kb k +=-≠ 两边平方展开得到cos()0βα-=5.函数1sin cos 1sin cos 1sin cos 1sin cos x x x x y x x x x+++-=++-++的最小正周期是 ( ▲ ) A ．2π B ．π C ．32π D ．2π 【答案】D 【解析】2sin y x=(sin 1)x ≠-6．ABC ∆中，tan 21,tan a B a c c C c -==，则角A 为 ( ▲ ) A ．6π B ．4π C ．3π D ． 2π 【答案】B【解析】由tan 2tan B a c C c -=得1cos ,23B B π==，再由sin 1)sin A C =得4A π= 7．在平行四边形ABCD 中，2CAB DBC DBA ∠=∠=∠，则sin CAB ∠的值为 ( ▲ )A ．13B ．12C ．2D ．34 【答案】B【解析】记DBA α∠=，O 为对角线交点，CAB CBO ∆∆ 得到2212BC CO CA CA =⋅=在ABC ∆中，由正弦定理得到sin 3sin 2AC BC αα==，整理得到cos α= 8．已知O ，A ，B 是平面上的三点，向量,OA a OB b == ，设点P 是线段AB 垂直平分线上的任意一点，向量OP p = ，若3,2a b == ，则()p a b ⋅- 的值为 ( ▲ ) A ．52 B ．3 C ．72D ． 4 【答案】A【解析】设AB 中垂线与AB 交于点C ，连OC ，1(),2CP p a b BA a b =-+=- ，由CP 与BA 垂直得到()p a b ⋅- =221()2a b - 9．设,82x y z x y z ππ≥≥≥++=，则cos sin cos x y z ⋅⋅的最小值为( ▲ )A ．18B ．8C ．14D ．4【答案】C 【解析】84x ππ≤≤，()21111cos sin cos cos sin()sin()cos sin()cos 2224x y z x y z y z x y z x ⋅⋅=++-≥+=≥ 10．当[0,1]x ∈时，不等式22cos (1)(1)sin 0x x x x αα--+->恒成立，则α的取值范围是( ▲ )A ．1122,1212k k k Z πππθπ+<<+∈ B ．522,66k k k Z πππθπ+<<+∈ C ．522,1212k k k Z πππθπ+<<+∈ D ．22,63k k k Z πππθπ+<<+∈ 【答案】C【解析】记22()cos (1)(1)sin f x x x x x αα=--+-，则(0)sin 0,(1)cos 0f f αα=>=>21()))2((1)2f x x x x =-+-+-，即102->，解得522,1212k k k Z πππαπ+<<+∈.二、填空题：本大题共7小题，每小题7分，共49分.11．函数()|2||1|f x x x =+--的值域为 ▲ ．【答案】[3,3]-12．22sin 13sin 47sin13sin 47︒+︒+︒⋅︒= ▲ ． 【答案】34【解析】构造三角形，内角分别为13,47,120︒︒︒，结合余弦定理即可13．过ABC ∆的重心G 的直线分别交直线AB 、AC 于点P 、Q ，若AC k AQ BP AB ==,，则k 的值是 ▲ ． 【答案】52 【解析】由1()3AG AB AC =+ ，设PG PQ λ= ，则 2(22)AG AP PG AB PQ AB k AC λλλ=+=+=-+ ，于是52,65k λ== 或者取正三角形即可。
2016年温州中学高一数学奥林匹克检测一(含答案)
[ MATHEMATICS ]（本卷满分：200分 考试时间：150分钟）（高一试卷）第一部分（共2小题，第1题20分，第2题30分，计50分）I .求所有大于1的正整数n ，使得对任意正实数n x x x ，，，⋅⋅⋅21，都有不等式()()21212231n n x x x n x x x x x x ++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅+．II .⑴ 设d 是任意四面体的相对棱间距离的最小值，h 是四面体的最小高的长．证明：2d > h ．⑵ 证明：不存在一个长方体，其体积、表面积和周长数值上相等(这里的周长指的是12条棱的长度之和)．第二部分（共2大题，计150分）一、填空题（共15小题，每题6分，计90分）．1. 已知向量与的夹角为θ=2=1，t =，()t -=1，在t 0时取得最小值．则当5100<<t 时，夹角θ的取值范围为 ． 2. 设二次函数()()()02122≠++=a b ax x f ，在[]43，上至少有一个零点．则22b a + 3. 记[]x 为不超过 x 的最大整数．若集合)[][]}1 ≤-++=y x y x y x S ，，则集合S 所表示的平面区域的面积为 ．4. 设c b a 、、为直角三角形的三边长，其中c 为斜边长．则使得k abcc b a ≥++333成立的k 的最大值为 ．5. 在ABC ∆中，()()C B C C B B cos cos 4cos sin 3 cos sin 3=--，且AB+AC =4，则BC 的值域为 ．6. 已知整数c b a 、、，使得a c c b b a ++和c a b c a b ++均为整数，则acc b b a ++的值为 ．7. 在三棱锥ABC S -中，ABC SA 面⊥，BC AB ⊥，点E 为SC 的中点，D 为AC上的点，且SC DE ⊥．又SA=AB ，SB=BC ，则以BD 为棱，以BDE 和BDC 为面的二面角的正弦值为 ． 8. 若一个四面体恰有一棱之长大于1，则这四面体体积的最大值为 ．9. 数列{}n a 定义如下：11=a ，22=a ，()n n n a n na n n a 221212+-++=++，⋅⋅⋅=，，21n ．若201122012>+m a ，则正整数m 的最小值为 ． 10. 如图，已知A (1,0)，B (2,0)，C (3,0)，M (0,m )(m >0)为平面直角坐标系xOy 上的四点，满足OP ⊥AM ，AQ ⊥BM ，BR ⊥CM ．若P ,Q ,R 三点共线，则m 的值为 ．11. 已知集合M ={a ,b ,c }，N ={2,4,8,…,220}，又 f 是集合M 到N 上的一个映射，且满足()[]()()c f a f b f ⋅=2，则这样的映射的个数为 ．12. 设⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=*N k k ik a i min ，则[][][]2221n n a a a S +⋅⋅⋅++=的值为 ．(其中2≥n ，[]x 表示不超过 x 的最大整数) 13. 已知a+b+c >0，02=++c bx ax 有实根，若恒有{}{}c b a q c b a c b a p ，，，，max min ≤++≤，则min max q p +的值为 ．列n a 的通项公式为 ．15. 在一条长为36厘米的直尺上刻 n 条刻度，使得能够用这条尺一次性的度量[]361，中的任意整数厘米的长度．则 n 的最小值为 ．二、解答题（本大题分3小题，每题20分，计60分）．16. (本题满分20分)设函数()x f 对所有的实数x 都满足()()x f x f =+π2，求证：存在4个函数()()4321，，，=i x f i 满足：⑴ 对4321，，，=i ，()x f i 是偶函数，且对任意的实数x ，有()()x f x f i i =+π； ⑵ 对任意的实数x ，有()()()()()x x f x x f x x f x f x f 2sin sin cos 4321+++=．17. (本题满分20分)设集合*⊆Z X 且≠X Ø，满足下列条件：① 若X x ∈，则X x ∈4；② 若X x ∈，则X x ∈][．(其中[]x 表示不超过 x 的最大整数) 求证：X 是全体正整数构成的集合．18. (本题满分20分)已知{}n a 为n 项等差数列，且满足：50721111=-=+=∑∑∑===ni k n i k ni ka a a．求n 的最大值．2016年温州中学数学奥林匹克检测一 参考答案[ MATHEMATICS Examination paper reference answer ]（本卷满分： 200 分）第一部分（共2小题，第1题20分，第2题30分，计50分）I. 解 当n =2时，()()12212212x x x x x x +≥+⇒，即()0221≥-x x ，故n =2符合． (4分)当n =3时，()()13322123213x x x x x x x x x ++≥++⇒，()()()0213232221≥-+-+-⇔x x x x x x ，故n =3满足题意． (8分)当n =4时，不等式为()()14433221243214x x x x x x x x x x x x +++≥+++()024321≥-+-⇔x x x x ．故n =4满足题意． (12分)下证，当n >4时，不等式不可能对任意正实数n x x x ，，，⋅⋅⋅21都成立． 取()25114321-==⋅⋅⋅====n x x x x x n ，，()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-+≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++⇒2222532521251211n n n n n n ()()()2225325225121--+-+≥⇔n n n n n n ，这与121525n <≤矛盾． 所以满足题意的正整数n 为2,3,4．(20分)II. ⑴ 证明 不妨设A 到面BCD 高线长AH=h ，AC 与BD 间距离为d ，作AF ⊥BD 于点F ，CN ⊥BD 于点N ，则CN ∥HF ，在面BCD 内作矩形CNFE ，连结AE ．∵BD ∥CE ，∴BD ∥平面ACE ，∴BD 到面ACE 距离为BD 与AC 间距离d ．在ΔAEF 中，AH 为边EF 上的高，AE 边上的高FG=d ，作EM ⊥AF 于M ．则由EC ∥平面ABD 知，EM 为点C 到面ABD 的距离(由EM ⊥面ABD )．于是EM ≥ AH=h ．在RtΔEMF 与RtΔAHF 中，由EM ≥ AH ，得EF ≥ AF ．又∵ΔAEH ∽ΔFEG ，∴2≤+<==EFEFAF EF AE FG AH d h ．∴2d > h ．(15分) ⑵ 证明 若存在一个长方体，其体积、表面积和周长数值都相等．设其长、宽、高分别为a 、b 、c ，则()()c b a ca bc ab abc ++=++=42 (＊)(5分)根据(＊)知()[]()abc c b a ca bc ab ++=++422，即()()abc c b a ca bc ab ++=++2．(12分)然而，()()abc c b a ca bc ab ++≥++32，矛盾！故不存在．(15分)第二部分（共2大题，计150分）一、填空题（共15小题，每题6分，计90分）．1、 ⎪⎭⎫⎝⎛322ππ，2、 10013、 254、2+ 5、 ()42， 6、 3 7、 218、 81 9、 402510、 53011、 200 12、 66133823-+-n n n13、42514、 1=n a 15、 8 二、解答题（本大题分3小题，共60分）． 16、(20分)(可能有多种解法)证明 记()()()2x f x f x g -+=，()()()2x f x f x h --=，则()()()x h x g x f +=，且()x g 是偶函数，()x h 是奇函数，对∀x ∈R ，()()x g x g =+π2，()()x h x h =+π2．令()()()21π++=x g x g x f ，()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+≠+-=2 0 2cos 22πππππk x k x x x g x g x f ，，，()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-=πππk x k x x x h x h x f 0 sin 23，，，()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠++=2 0 22sin 24πππk x k x x x h x h x f ，，， 其中k 为任意整数． (8分)容易验证()()4321，，，=i x f i 是偶函数，且对∀x ∈R ，()()x f x f i i =+π，4321，，，=i ． 下证对∀x ∈R ，有()()()x g x x f x f =+cos 21．当2πk πx +≠时，显然成立；当2πk πx +=时，因为()()()()()2cos 121π++==+x g x g x f x x f x f ，而()()()x g k g k g k k g k g x g =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++22122323ππππππππππ故对∀x ∈R ，()()()x g x x f x f =+cos 21． (14分)下证对∀x ∈R ，有()()()x h x x f x f =+2sin 43．当2k πx ≠时，显然成立；当x=k π时，()()()()()πππππk h k h k k h k h x h -=-=-==2， 所以()()0==πk h x h ，而此时()()02sin 43=+x x f x f ，故()()()x x f x f x h 2sin 43+=；当2πk πx +=时，()()()x h k h k h k k h k h x h -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++22122323ππππππππππ 故()()()()x h x h x h x f =+-=23π，又()02sin 4=x x f ， 从而有()()()x x f x x f x h 2sin sin 43+=．于是，对∀x ∈R ，有()()()x h x x f x x f =+2sin sin 43．综上所述，结论得证． (20分)17、(20分)(可能有多种解法)证明 利用极端性原理，由集合*⊆Z X 且≠X Ø，可知X 中一定存在一个最小的元素，不妨设为a ．由②知 a a ≥][，1≤⇒a ．故1=a ．由①知 X ∈⋅⋅⋅，，，32444． (5分)当自然数⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-≥k m 11log log 4时，有()111log 2log 21log 2444>⎪⎭⎫⎝⎛+⋅=-+k k k m m m ．由此知，存在自然数n ，使得()1log 2log 244+≤≤k n k m m ．()mmk k n 2214+≤≤⇒．(17分) 由上述讨论知 X n ⊆4． 由②知 X k ⊆．故X 是全体正整数构成的集合． (20分)18、(20分)(可能有多种解法)解 因为方程21-=+=x x x 无解，故2≥n 且公差不为零． (2分)不妨设数列的各项为()01>≤≤-d n k kd a ，． 作函数()∑===nk kd x x f 1．条件等价于()507=x f 至少有三个不同的根21-+a a a ，，，此条件又等价于函数()x f y =的图像与水准直线507=y 至少有三个不同的公共点．由于()x f y =的图像是关于直线()21d n y +=左右对称的n +1段的下凸折线，它与水准直线l 有三个公共点，当且仅当折线有一水准段在l 上，当且仅当n =2m 且()[]d m md a a a 121+∈-+，，，，()507=md f ． 即3≥d 且5072=d m ． (16分)由此得 35072≤m ，解得 13≤m ． 显然，m =13，取d =3，a =4满足条件． 因此n 的最大值为26． (20分)。
数学竞赛高一试题及答案
数学竞赛高一试题及答案一、选择题（每题5分，共10分）1. 已知函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)，求\( f(-1) \)的值。
A. 4B. 6C. 8D. 102. 一个圆的半径为5，求其面积。
A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π二、填空题（每题5分，共10分）3. 已知\( a \)、\( b \)、\( c \)为三角形的三边长，且\( a^2 + b^2 = c^2 \)，这个三角形是________。
4. 将\( 1 \)、\( 2 \)、\( 3 \)三个数字排列成三位数，所有可能的组合数是________。
三、解答题（每题15分，共30分）5. 已知数列\( \{a_n\} \)满足\( a_1 = 1 \)，\( a_{n+1} = a_n + 2n \)，求\( a_5 \)。
6. 一个直角三角形的斜边长为\( 5 \)，一条直角边长为\( 3 \)，求另一条直角边长。
四、证明题（每题15分，共30分）7. 证明：对于任意正整数\( n \)，\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + ... + n)^2 \)。
8. 证明：若\( a \)、\( b \)、\( c \)是三角形的三边长，且\( a^2 + b^2 = c^2 \)，则这个三角形是直角三角形。
五、综合题（每题15分，共20分）9. 一个工厂计划在一年内生产\( x \)个产品，已知生产每个产品的成本是\( 10 \)元，销售每个产品的价格是\( 20 \)元。
如果工厂希望获得的利润不少于\( 10000 \)元，求\( x \)的最小值。
10. 已知函数\( g(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)，求\( g(x) \)的极值点。
答案：一、选择题1. 答案：B. 6（计算方法：\( f(-1) = 2(-1)^2 - 3(-1) + 1 = 2 + 3 + 1 = 6 \)）2. 答案：B. 50π（计算方法：圆面积公式为\( πr^2 \)，代入\( r = 5 \)）二、填空题3. 答案：直角三角形4. 答案：6（排列组合方法：\( 3 \times 2 \times 1 = 6 \)）三、解答题5. 答案：\( a_5 = 1 + 2(1) + 2(2) + 2(3) + 2(4) = 1 + 2 + 4 +6 + 8 = 21 \)6. 答案：根据勾股定理，另一条直角边长为\( 4 \)（计算方法：\( 5^2 - 3^2 = 4^2 \)）四、证明题7. 证明：根据等差数列求和公式，\( 1 + 2 + ... + n =\frac{n(n+1)}{2} \)，立方后得到\( \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \)，展开后即为\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 \)。
2008年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题(2008年4月13日)
2008年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题（2008年4月13日）命题人：胡云华（版权所有，请不要转传其他商业网站）本卷满分为150分，考试时间为120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分。
1．已知集合{,,()},,,M a b a b a R b R =-+∈∈，集合{1,0,1}P =-，映射:f x x →表示把集合M 中的元素x 映射到集合P 中仍为x ，则以,a b 为坐标的点组成的集合S 有元素（ ）个A ．2B ．4C ．6D ．82．设D 为△ABC 的边AB 的中点，P 为△ABC 内一点，且满足,25AP AD BC =+，则APD ABC S S =△△ （）A.35 B. 25 C. 15 D. 3103．在点O 处测得远处质点P 作匀速直线运动，开始位置在A 点，一分钟后到达B 点，再过一分钟到达C 点，测得090,30AOB BOC ∠=∠=，则tan OAB ∠= （ ）A ．32 B C D ．234．已知当6x π=时，函数sin cos y x a x =+取最大值，则函数sin cos y a x x =-图象的一条对称轴为 （ ） A ．3x π=-B ．3x π=C ．6x π=-D ．6x π=5．已知α是函数 ()log 2008,(1)a f x x x a =->的一个零点，β是函数()2008x g x xa =-的一个零点，则αβ的值为 （ ）A ．1B ．2008C ．22008 D ．40166．函数()f x 的定义域为D ，若满足①()f x 在D 内是单调函数，②存在[,],m n D ⊆使()f x 在[,]m n 上的值域为11[,]22m n ，那么就称()y f x =为“好函数”。
现有()log (),xa f x a k =+ (0,1)a a >≠是“好函数”，则k 的取值范围是 （ ） A ．(0,)+∞ B ．1(,)4-∞ C ．1(0,)4 D ．1(0,]47．如图，一个棱长为a 的立方体内有1个大球和8个小球，大球与立方体的六个面都相切，每个小球与大球外切且与共顶点的三个面也相切，现在把立方体的每个角都截去一个三棱锥，截面都为正三角形并与小球相切，变成一个新的立体图形，则原立方体的每条棱还剩余（ ） A ．(633)2a - B ．(633)a - C ．5382a - D ．(538)a - 8．使232n+为完全平方数的正整数n 有 （ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．无数个二、填空题：本大题共6小题，每小题8分，共48分。
2016年浙江省高中数学竞赛含答案
2016年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案一、选择题（每题6分，共48分）1. A .2. .3. .4. D .5. D.6. B.7. B.8. A .二、填空题（每题7分，12题9分，共51分）9. 36−2017201520162.b b +=− ==11. 2.a = = ==12. 245,,.999x y z =−=== 13. 14. [1,2]£® 15. 8.三、解答题（本大题共有3小题，16题15分，17、18每题18分，共51分）16.设函数22()(53)7f x x k ak x =−−++（,R a k ∈）.已知对于任意的[0,2]k ∈，若12,x x 满足1[,],x k k a ∈+2[2,4]x k a k a ∈++，则12()()f x f x ≥， 求正实数a 的最大值. ½â´ð£ºÓÉÓÚ¶þ´Îº¯Êý22()(53)7f x x k ak x =−−++2532k ak x −+=,¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-£¨3·Ö£©¹ÊÌâÉèÌõ¼þµÈ¼ÛÓÚ¶ÔÈÎÒâµÄ[0,2]k ∈ 2535.22k ak k a −+≥+……………………① 6·Ö£© ¼´¶ÔÈÎÒâµÄ[0,2]k ∈ 22351k k a k −+≤+ £¬202235min 1k k k a k ≤≤ −+≤ +9·Ö£©又2236(1)44411k k k k k −+=++−≥−=++，……………（12分）当且仅当1k =−时取等号，故20223min 41k k k k ≤≤ −+=− +.……………………（15分）所以，正实数a17. 已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >> ），经过点16(3,)5P ，离心率为35. 过椭圆C 的右焦点作斜率为k 的直线l ，交椭圆于,A B 两点，记,PA PB 的斜率为12,k k . （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若120k k +=，求实数k .22222925691,925a b a b a −+== 2225,16a b == = 2212516x y += == 0k <<∞ l µÄ·½³ÌΪ(3)y k x =− (3),221,2516y k x x y =−+= 2222(1625)1502254000k x k x k +−+−== 1122(,),(,)A x y B x y £¬Ôò22121222150225400,.16251625k k x x x x k k −+==++= 121212161655,,33y y k k x x −−==−− 122112121616()(3)()(3)55(3)(3)y x y x k k x x −−+−−+=−−= 1122(3),(3)y k x y k x =−=− =12212153625600,5(1625)(3)(3)kk k k x x −+==+−− 35k = =0k = 1228,,55k k ==− 12605k k +=−≠ =k ²»´æÔÚʱ£¬´ËʱбÂÊ12,k k ¾ù²»´æÔÚ£¬²»ºÏÌâÒâ. ËùÒÔ£¬35k = =18. 给定数列{}n x ，证明: 存在唯一分解nn n x y z =−，其中数列{}n y 非负，{}n z 单调不减，并且1()0n n n y z z −−=，00z =.证明：我们只需证明对任意的正整数n ， 满足110()0000n n n n n n n n n x y z y z z y z z z −−=− −= ≥ −≥=, ………(*)………………（6分） 的(),n n y z 存在且唯一。
2016年浙江省高中数学竞赛试题及答案
D.
4 2 [ , ] 5 7
uv
a 0 f (1) 1 0 a b 1 u a b 2 ，这 .令 ，则 解答：由题意得 0 f (1) 1 1 a b 0 v a b b u v 2
12
ED DC 的最小值为 EC 的值，即等于 26.故正确答案为 B.
7. 设集合 M ( x, y )
1 1 1 , x, y N* ，则集合 M 中的元素个数为（ x y 45
C. 2 D. 3
）.
A. 0 解答：由于
B. 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 ，故 + + ，这样 5 x 225 5 y 15 5 y x y 45 5x 5 y 15
2016 年浙江省高中数学竞赛试卷
一、选择题（本大题共有 8 小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后
的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题 6 分，共 48 分） 1. 曲线 ( x 2 y a)( x y ) 0 为平面上交于一点的三条直线的充要条件是（
2 2
）.
(2)i (b2 b1 ). 所以
11. 设 a R ，方程 x a a 2 恰有三个不同的根，则 a
.
解答：原方程可变形为 x a a 2 ，要使方程恰有三个不同的根，则 a 2, 此时方程恰 有三个不同的根 x1 2, x2 6, x3 2 .所以 a 2.
为 （ A.
的直线与双曲线的一个交点 . 若△ F1 F2 A 为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为 4
）.
3 1 2
温州市“摇篮杯——生活中的数学知识”大赛(4)答案
温州市“摇篮杯——生活中的数学知识”大赛训练题（4）一、选择题1．岩岩家住在人民广场附近，她经常看到有好多人把自行车存到广场旁边．有一次她问看自行车的老大爷，得知当天的存车量为6 882辆次，其中普通自行车的存车费是每辆次0.2元，电动自行车的存车费是每辆次0.5元，且到19∶00以后，两种存车费都要翻倍．已知该天普通自行车19∶00之前的存车量为5 180辆次，19∶00之后的存车量为335辆次，其总收入为电动自行车的1.5倍．那么电动自行车在晚19∶00前和19∶00后的存车量各有（）A．1 072辆次、294辆次B．1 174辆次、193辆次C．973辆次、394辆次D．1 173辆次、254辆次2．小王8∶30从家出门去参观房展，家里的闹钟也指向8∶30，房展结束，他12∶00准时回到家，发现家里的闹钟才11∶46，那么，再过几分钟此闹钟才能指到12点整（）A．13分钟B．14分钟C．15分钟D．16分钟3．6月份以来，猪肉价格一路上涨．为平抑猪肉价格，某省积极组织货源，计划由A、B、C三市分别组织10辆、10辆和8辆运输车向D、E两市运送猪肉，现决定派往D、E两地的运输车分别是18辆、10辆，已知一辆运输车从A市到D、E两市的运费分别是200元和800元，从B市到D、E两市的运费分别是300元和700元，从C市到D、E两市的运费分别是400元和500元．若设从A、B两市都派x辆车到D市，则当这28辆运输车全部派出时，总运费W（元）的最小值和最大值分别是（）A．8 000，13 200 B．9 000，10 000C．10 000，13 200 D．13 200，15 400二、填空题4．小龙乘坐商场的自动扶梯下楼，他以每步一级的速度往下走，结果走了30步就到楼下，猛然发现，由于匆忙包丢在购物处了，接着他又以下楼时速度的3倍冲上楼梯，结果走了90步才到楼上，当电梯停下时，露在外面的电梯一共有级．5．“爱心”教育基金会资助某山村学校13 440元，其中七、八年级的学生平均每人60元，七、八年级的每位学生都接受了资助；九年级每个学生100元，但九年级学生有40%因家庭条件好而未接受资助．则该学校一共有名学生．6．如图3所示的徽标，是我国古代弦图的变形，该图是由其中的一个Rt△ABC绕中心点O顺时针连续旋转3次，每次旋转90°得到的，如果中间小正方形的面积为1cm2，这个图形的总面积为113cm2，且AD=2cm，请问徽标的外围周长为cm．7．你看过机器人大赛吗？在美国旧金山举办的世界机器人大赛中，机器人踢足球可谓是独占鳌头．如图4，AOB∠= ，45cm90OB=，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方OA=，15cm向匀速前进向点O滚动，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进截小球，在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC=cm．三、解答题8．（本题15分）2008年北京奥运会的主会场——鸟巢年底就要竣工了，也许你也知道它全都是利用优质钢筋焊接而成的．也许你会为它骄傲，为它自豪．可是你是否知道为了节约钢筋，还有许多科学道理呢？如图5就是从长为40cm，宽为30cm的矩形钢板的左上角剪下一块长为20cm、宽为10cm的矩形后剩下的一块脚料，工人师傅为了节约，要将它做适当的切割，重新拼接后焊成一个面积与原下脚料的面积相等，接缝尽可能短的正方形工件再重新使用．（1）请根据上述要求，设计出将这块下脚料适当分割成三块或三块以上的两种不同的拼接方案（在图5（2）和图5（3）中分别画出切割时所沿的虚线，以及拼接后所得的正方形，保留拼接的痕迹）；（2）比较（1）中的两种方案，哪种更好些？说说你的看法和理由．也为建设节约型社会做出一点贡献！9．（本题15分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．今年首个超强台风“圣帕”第0709号超强台风（圣帕）于8月13日在北纬21.3度，东经123.3度的太平洋上生成，其中心气压925百帕，近中心最大风速55米/秒，生成时还是热带风暴的“圣帕”，在连跳两级后，15日晚8时已“变身”为超强台风．向台湾东部沿海逼近并登陆台湾岛，之后于19日上午将在福建中南部沿海福州一带再次登陆．在这之前，台风中心在我国台湾海峡的B处，在沿海城市福州A的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图6所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响．试问：（1）该城市是否会受到台风影响？请说明理由．（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？卷参考答案一、选择题（每小题6分，共30分）1．B2．C （提示：从8∶30到12∶00共三个半小时，在这三个半小时内闹钟共慢了14分钟，平均每小时慢4分钟，所以慢钟与正常钟走时之比为604146015-=，慢的闹钟从11点46分走到12点整，按慢钟来计要走14分钟，因此若按准时的钟来计就要15分钟了．）3．C （提示：由题设可知A 、B 、C 三市派往D 市的运输车的辆数分别是x 、x 、（182x -）辆，派往E 市的运输车的辆数为10x -，10x -，210x -，则总运费200300400(182)800(10)700(10)500(210)W x x x x x x =++-+-+-+-80017 200x =-+．依题意有01001828x x ⎧⎨-⎩≤≤，≤≤，解之，得59x ≤≤，当5x =时，13 200W =最大元，当9x =时，10 000W =最小元．故选C ．）二、填空题（每小题6分，共30分）4．60（提示：设往下走时，人走一步电梯往下走x 级，则有903030903x x +=-，解得1x =，所以电梯的级数为303060+=（级）．）5．224（提示：资助九年级学生每人100元，但有40%的学生没有接受资助，这样九年级所有学生的平均钱数也是每人60元，而七、八年级每人60元，即整个学校每个学生平均能得到60元，所以该校学生总人数为13 44060224÷=（人）．）6．52（提示：设Rt ABC △的较长直角边为a ，短直角边为b ，斜边为c ，依题意有3a b -=，1113124ab -=．又由勾股定理得22222()23112121c a b a b ab =+=-+=+=，所以11cm c =，故徽标的外围周长4(112)52(cm)=⨯+=．）7．25（提示：因为BC AC =，所以可设BC x =，则45OC OA AC x =-=-，在Rt BOC △中，根据勾股定理可得：222(45)15x x -+=，解得25x =．即机器人行走的路程为25cm ）．三、解答题（每小题15分，共60分）8．（1）图1和图2即为所作图．（2）图1中第一种分割方案较好，因为分割的块数较少．但焊接处和图2中第二种方案一样长．9．解：（1）该城市会受到台风影响．理由：如图3，过点A 作AD BC ⊥于D 点，则AD 即为该城市距离台风中心的最短距离．在Rt ABD △中，因为30240B AB ∠== ，． 11由题可知，距台风中心在(124)25200-⨯=（千米）以内时，则会受到台风影响． 因为120＜200，因此该城市将会受到“圣帕”影响．（2）依题（1）可知，当点A 距台风中心不超过200千米时，会受台风影响，故在BC 上作200AE AF ==；台风中心从点E 移动到点F 处时，该城市会处在台风影响范围之内．（如图4） 由勾股定理得，2222200120160DE AE AD =-=-=（千米）．所以2160320EF =⨯=（千米）．又知“圣帕”中心以20千米/时的速度移动．所以台风影响该城市3202016÷=（小时）．（3）该城市受台风影响最大风力7.2级．。
2016年浙江省高中数学竞赛模拟试题(2)及参考答案第一试
nx 2 x
10. （本小题满分 20 分）已知函数 f n( x)
x2
， x1 , x2, 1
, xn 为正实数，且 x1
x2 ...
xn
1，
证明： fn( x1) fn ( x2 ) ... fn ( xn ) 0
（略）
11.（本小题满分 20 分） .
an 1 an 1 ,
已知数列 an , bn 满足 a1 0, b1 0,
(3)
3
现考虑 20*(1) 12*(2) 27*(3) ， 59k 140 a1 a2 a3 ，所以 m 59 k 140
3 k ，即为所求 .
7
两点处的切线交于点 Q ，则点 Q 的轨迹方程是
8．选择集合 S 1,2, , n n N * 的两个不同的非空子集 A 和 B ．
则使 B 中最小数大于 A 中最大数的概率是
设 A 中的最大数为 k，其中 1≤k≤ n 1 , 整数 n≥ 3，
则 A 中必含元素
k，另元素
1， 2，…， k
1可在 A 中，故 A 的个数为：
Ai ,i a3，有 Ai X X 3 2 .
类似地， 在集合 X X 3中依次选定集合 Ai ，使得这些集合的并集 Ai 的元素个数每次递增 2 个，不妨设这些
集合 S2
Aa3 1 , Aa3 2 , , Aa3 a2 全部被选出，则有
S2
X X 3 X 2 ，且 X 2 2a2 ；同理，对于剩下
二、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分.
2
2
9. （本小题满分
16 分） .
已知椭圆
E
:
x a2
y b2
1 的左、右焦点分别为
温州市“摇篮杯——生活中的数学知识”大赛答案
温州市“摇篮杯——生活中的数学知识”大赛训练题（3）一、判断决策（本题20分）在我国，规定使用在水果或蔬菜上的农药必须低毒易挥发，在生活中我们在吃水果或蔬菜前一般都会先清洗上面的残留农药，假设我们把清洗前水果或蔬菜上的残留农药量记为1个单位，那么用x单位量的a≥）单水清洗一次以后，水果或蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量比是多少？现有a（2位量的水供清洗，可以一次，也可以平分水量两次清洗，你认为选择哪种方法更好呢？请说明理由．如果水能平均三次清洗，效果会如何？二、实践应用（本题20分）某市的公共汽车实行的是一票制（一次上车不管乘几站，票价都是一样的）．张先生所在的公司每月发80元的公交费，起初他是每次乘车用现金买票，则所发公交费的余额与乘车次数的函数图象如图中的一条线段；后来，他将每月的80元公交费买成公交公司的“IC”卡．按规定，打卡乘车比用现金买票乘车可优惠20%．这样，卡上的余额与乘车次数的函数图象就如下图中的另一条线段．（1）填空（填“Ⅰ”或“Ⅱ”）：每次乘车用现金买票时，余额与乘车次数的函数图象是________；买成IC卡后，余额与乘车次数的函数图象是________．（2）求出线段Ⅰ和线段Ⅱ所表示的函数关系式；（3）如果张先生每月平均乘坐公交车70次，则他用IC卡消费比用现金消费可以省下多少钱？三、动手操作（本题20分）手工课上有位小朋友想剪一个正三角形，可手上只有一张正方形的手工纸，若你是小朋友的手工课老师，你能帮助这位小朋友得到正三角形吗？请画出图形，写出操作过程，并说明理由．四、方案设计（本题20分）某汽车配件厂有工人300人，生产甲种配件，平均每人每年可创造利润m万元（m为大于零的常数），为减员增效，决定从中调配x人去生产新开发的乙种配件，根据预算，调配后继续生产甲种配件的工人平均每人每年创造利润可增加20%，生产乙种配件的工人平均每人每年可创造利润1.54m万元．（1）调配后，此汽车配件厂生产甲、乙两种配件的年利润分别为多少？（用含m，x的代数式表示）（2）如果调配后，生产甲种配件的年利润不小于调配前年利润的45，生产乙种配件的年利润大于调配前年利润的一半，应如何设计调配方案？哪种方案全年总利润最大？参考答案 一、解：（1）11x+． ·············································································· 2分 （2）①若选择一次清洗，则清洗后残留农药为：11a+． ································· 3分 ②若分两次清洗，则第一次清洗后残留农药为：12212a a =++． ······················· 6分 第二次清洗后残留农药为：224222422a a a a a +=++++． ···································· 9分 222221424442124(24)(1)(24)(1)a a a a a a a a a a a a a a ++----==+++++++++． ··················· 12分 ∵2a ≥，∴2140124a a a -+++≥． ····································································· 14分 ∴选择分两次的方法进行清洗，这样水果或蔬菜上的残留农药更少一些． ··········· 16分如果水能平分三次清洗，水果或蔬菜上的残留农药会更少． ··························· 20分二、（1）Ⅰ，Ⅱ；（2）设Ⅱ的函数关系式为y kx b =+，因（0，80）和（100，0）满足关系式，即800100.b k b =⎧⎨=+⎩，解得804.5b k =⎧⎪⎨=-⎪⎩， ∴4805y x =-+（x 取整数）． ················ 10分 由图象Ⅱ知，用IC 卡，每次乘车实用金额为800.8100=（元）． 设每次用现金购买为z 元，则依题意知(120%)0.8z -=，1z =（元）．∴Ⅰ所代表的函数关系式为80y x =-+（x 取整数）． ································· 16分（3）(10.8)7014-⨯=（元）． ································································· 20分三、如下图，先对折正方形ABCD ，得到折线MN ；将重叠的两边AD 、BC 过C （D ）点向MN 方向折叠，使顶点B （和A ）落在MN 上的点E 处；然后再沿EC （ED ）折叠一次，展开后得到正三角形CDE ． ································································································ 8分。