叠加定理戴维宁与诺顿定理.
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戴维宁定理及诺顿定理
二、诺顿定理： 任何一个含独立电源、线性电阻和线性受控源的一 端口，对外电路来说，可以用一个电流源和电导的并联 来等效替代；其中电流源的电流等于该一端口的短路电 流，而电阻Ri等于把该一端口的全部独立电源置零后的 输入电导。 a Isc Gi b
a
A
b
可由戴维宁定理等效电路通过电源等效变换证明
例4-7 求如图所示诺顿等效电路。
20 40V +
解：
40 + 40V -
3A
20 Isc 60V +
Isc
Ri
i SC
60 40 40 3 A 20 40 20
i SC 1 A
1 Ri 8 1 1 1 20 40 20
注意：用戴维宁和诺顿定理求解时，必须画出等效电路图
30 5 R0 4.29 Ω 35
i U0 80 5.6 A R0 R 4.29 10
R0 + U0 -
i R
例4-5
14 + 14V -
如图所示电路，求戴维宁等效电路。 i
14 + 7V + 14 u 或 + 14V 14 + 7V -
i
+ u -
解： 列结点电压方程 1 1 14 7 ( )un1 i 14 14 14 14 un1 u
u 10.5 7i
R0 + U0 -
R0 7 U 0 10.5V
例4-6 已知如图，求UR 。(含受控源）
+ – 9V 3 – 6I1 + I1 + 3 UR – Ri + Uo –
+ 3 UR -
戴维宁和诺顿定理
如3图+电2u路_ ，2求i u＝？解:（1）两电+ 压u' 源_ 同时作用
2
12V + _
+ 6V _
5A
i' 3
2i' +
+
+
+ u" _
12V _
6V _
2 i" 3
i'= (12-6)/3=2
2i" 5A
u'=-2 i' ×2= -8V
（2）5A电流源单独作用
u"= -10V
（3）共同作用：u=u'+u"= -8-10= -18V
(2)电源置零后，等效电阻为
Req = 2∥2+3∥6 = 3
I 3I
I Uoc 3 21
3I Uoc 3 R
R = 5
戴维宁和诺顿定理的另一种求解方法 电路理论基础
例4-8 求图示二端网络的诺顿等效电路
i
2 i1
i
+
+
isc
+ 8V
+ 3u
4
u
–
–
0.5i1
–
解法1：求Req和isc（略） 解法2：由端口的u～i关系求解
10 103
20 2.5 103
2 103
I sc
U oc Req
2 103
③
联立① ② ③解得 Uoc=10V, Req=5000 .
解：戴维宁等效电路为
A 5k
+
10V
B
-
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电工电子技术 叠加定理、维宁定理和诺顿定理
I 1 I 3 I 4 10
(1) (2)
I2 I3 I4 5
列电压方程：
3I1 3I2 3I3 0
(3)
3 I 3 3 I 4 30 0
(4)
解方程（1）、（2）、（3）、（4）可得I1=6A、I2=-1A、 I3=7A、I4=3A。
的电压，都是各个电源单独作用时所得结果的代数和。 电源分别独立作用时： 暂时不予考虑的恒压源应予以短路，即令E=0；
暂时不予考虑的恒流源应予以开路，即令 Is=0。
I1 A
R1
+ _ E1
I2
I3 R2 + E2
I1' A R1 R3 + _ E1 B I3' R2
I2'
I1'' A
I2'' I3''
I3
则： P
R3
3
I 3 R3 ( I 3' I 3" ) R3
2 2
( I 3' ) R3 ( I 3" ) R3
2 2
例1.6.10
US
已知： US =1V、IS=1A 时， Uo=0V
IS 线性无
源网络
O
UO
US =10 V、IS=0A 时，Uo=1V 求： US =0 V、IS=10A 时， Uo=?
I1 US1 100 50 + 10V b 100 10 a
+ 10V - US2
US2的极性接反，则
10 10 图P2-18 100 50 Va 0 .7 V 1 1 1 1 100 50 100 10
(1) (2)
I2 I3 I4 5
列电压方程：
3I1 3I2 3I3 0
(3)
3 I 3 3 I 4 30 0
(4)
解方程（1）、（2）、（3）、（4）可得I1=6A、I2=-1A、 I3=7A、I4=3A。
的电压，都是各个电源单独作用时所得结果的代数和。 电源分别独立作用时： 暂时不予考虑的恒压源应予以短路，即令E=0；
暂时不予考虑的恒流源应予以开路，即令 Is=0。
I1 A
R1
+ _ E1
I2
I3 R2 + E2
I1' A R1 R3 + _ E1 B I3' R2
I2'
I1'' A
I2'' I3''
I3
则： P
R3
3
I 3 R3 ( I 3' I 3" ) R3
2 2
( I 3' ) R3 ( I 3" ) R3
2 2
例1.6.10
US
已知： US =1V、IS=1A 时， Uo=0V
IS 线性无
源网络
O
UO
US =10 V、IS=0A 时，Uo=1V 求： US =0 V、IS=10A 时， Uo=?
I1 US1 100 50 + 10V b 100 10 a
+ 10V - US2
US2的极性接反，则
10 10 图P2-18 100 50 Va 0 .7 V 1 1 1 1 100 50 100 10
电路定理 叠加定理 戴维南定理 戴维宁定理
第4章 电路定理
本章重点
4.1 4.2 4.3 4.4 叠加定理 替代定理 戴维宁定理和诺顿定理 最大功率传输定理
4.5* 4.6*
4.7*
特勒根定理 互易定理
对偶原理
熟练掌握各定理的内容、适用范围 及如何应用。
建筑电气系
4.1 叠加定理
在线性电路中，任一支路的 电流(或电压)可以看成是电路中每一个独立电源 单独作用于电路时，在该支路产生的电流(或电压) 的代数和。
解 由上例的结果知
i 1.4A
(2 1)(i 2) 2i 0
u 7.2V
i 1.2A
u 2(2 i) 1.6V
在电流源单独作用的分电路中，应用KVL，得
i i i 1.4 1.2 0.2A
u u u 7.2 1.6 5.6V
例3 计算电压u、电流i。
解 画出分电路图 1 ＋ u（1） ＋ 2i(1) － －
i
＋ 10V － 2 i (2)
2
1 ＋ 5A ＋ u 2i － －
1 ＋ 5A ＋ u(2) 2i (2) － －
建筑电气系
i（1） 2 ＋
10V －
＋
受控源始终保留
i（1） 2 ＋ 10V －
1 ＋ u（1） ＋ ＋ 2i(1) － －
12 R 6Ω 2
建筑电气系
例4 用多大电阻替代2V电压源而不影响电路的工作
4 3A ＋ 2 4V － + 2V
I －
0.5A
2 ＋ 10V －
1+
2V
I1
-
5
10 10 2
2
解 应求电流I，先化简电路。 应用结点法得：
本章重点
4.1 4.2 4.3 4.4 叠加定理 替代定理 戴维宁定理和诺顿定理 最大功率传输定理
4.5* 4.6*
4.7*
特勒根定理 互易定理
对偶原理
熟练掌握各定理的内容、适用范围 及如何应用。
建筑电气系
4.1 叠加定理
在线性电路中，任一支路的 电流(或电压)可以看成是电路中每一个独立电源 单独作用于电路时，在该支路产生的电流(或电压) 的代数和。
解 由上例的结果知
i 1.4A
(2 1)(i 2) 2i 0
u 7.2V
i 1.2A
u 2(2 i) 1.6V
在电流源单独作用的分电路中，应用KVL，得
i i i 1.4 1.2 0.2A
u u u 7.2 1.6 5.6V
例3 计算电压u、电流i。
解 画出分电路图 1 ＋ u（1） ＋ 2i(1) － －
i
＋ 10V － 2 i (2)
2
1 ＋ 5A ＋ u 2i － －
1 ＋ 5A ＋ u(2) 2i (2) － －
建筑电气系
i（1） 2 ＋
10V －
＋
受控源始终保留
i（1） 2 ＋ 10V －
1 ＋ u（1） ＋ ＋ 2i(1) － －
12 R 6Ω 2
建筑电气系
例4 用多大电阻替代2V电压源而不影响电路的工作
4 3A ＋ 2 4V － + 2V
I －
0.5A
2 ＋ 10V －
1+
2V
I1
-
5
10 10 2
2
解 应求电流I，先化简电路。 应用结点法得：
叠加定理
6I
I 3
b
6I
U0
b
U0 6 I 3I
6 I I0 63
6 U0 9 I 0 6 I 0 9
U0 Req 6 I0
方法2：开路电压、短路电流
内部独立电源保留，将a、b端 短接，求出短路电流 Isc ，求
I1
9V
6
a
I 3
6I
I sc
b
U oc Req I sc
Ns为一个含源一端口， 有外电路与它连接。
把外电路断开，此时
Req
Ns
' uoc 端口 1 1 的电压称 uoc
1
'
为Ns的开路电压。用
外 电 路
1
'
1
N0
1
'
uoc表示。
Req N0:Ns内部电源置零。即
Ns独立电压源用短路替代， N0可以用一个等效 电阻Req表示。 独立电流源用开路替代。
1
流ik已知，那么这条支路就可以用一个具有电压等于uk的
独立电压源，或者用一个电流等于ik的 独立电流源来替代， 替代后电路中全部电压和电流均保持原有值(解答唯一)。 其中第 k 条支路可以是电阻、电压源和电阻的串联、 或者电流源和电阻的并联组合。
注意： 1.替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路。
1
N0
1
'
u
( 2)
u
( 2)
Req i
is i
电流源i为零
网络Ns中独立源全部置零
u uoc
(1)
1 1 的开路电压。
'
i
Ns
1
电路原理4.3.1戴维宁定理和诺顿定理 - 戴维宁定理
i
a 等效 Req
NS
b i
+ Uoc
-
a
b
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电路定理
ia
证明: NS
+ –u
N'
b
a
NS
+ u
–
i = NS
b
ia
Req
+
+
u
Uoc –
–
b a
+u' –
+
N0 Req
b
N'
a + u'' i –
b
根据叠加定理：当电流源 i为零， u'= Uoc (开路电压)
当网络NS中独立源全部置零 ， u"= － Req i
和N2分别用戴维宁等效电路代替，到图(b)电路。
单口N1的开路电压Uoc1可从图(c)电路中求得，
列出KVL方程
Uoc1
=
1
gUoc1
+
2
2 +
2
20
=
3Uoc1
+ 10
解得
Uoc1
=
-10 2
V
=
-5V
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电路定理
为求Ro1，将20V电压源用短路代替，得到图(d)电路，
再用外加电压源U 计算电流I的方法求得Ro1。列出
U0
–
b
U0 =0.5I0 103 +I0 103 =1500I0
Req = U0 /I0=1500
解毕！
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电路定理
例5: 电路如图 (a)所示，其中g=3S。试求Rx为何
戴维南定理和诺顿定理的适用条件
戴维南定理和诺顿定理的适用条件
戴维南定理和诺顿定理是电路理论中的两个重要概念，它们被广泛应用
于电路分析和设计中。
为了有效地运用这两个定理，有一些适用条件需要被
满足。
让我们探讨戴维南定理的适用条件。
戴维南定理，也称为戴维南-诺顿定理，用于计算线性电路中特定两点之间的等效电阻。
为了使用这个定理，电
路必须是线性的，这意味着电阻、电流和电压之间的关系必须遵循欧姆定律。
而且，电路中不能包含非线性元件，如二极管或晶体管等。
另一个重要的适用条件是电路必须是稳定的。
换句话说，电路中的元件
参数不能随时间变化或随温度变化而发生变化。
这可以确保在使用戴维南定
理时得到准确的结果。
让我们讨论一下诺顿定理的适用条件。
诺顿定理是用于计算电路中特定
两点之间的等效电流，它与戴维南定理是互相等效的。
与戴维南定理类似，
诺顿定理也要求电路是线性的，并且不能包含非线性元件。
诺顿定理适用的另一个条件是电路中的所有电压源必须转换为等效的电
流源。
这意味着电路中的每个电压源都被替换为一个与之等效的电流源。
这
样做是为了使电路简化和便于分析。
戴维南定理和诺顿定理在电路分析和设计中起着重要的作用，但在使用
它们之前，需要确保电路满足一定的适用条件。
这些条件包括电路的线性特性、不存在非线性元件以及电路的稳定性。
只有在满足了这些条件后，我们
才能准确地利用戴维南定理和诺顿定理进行电路分析。
4电路定理(3)
i NS u
+ 负载 –
i
应用戴维 宁定理
Req + Uoc –
+ u – RL
当RL＝Req时，RL将获得最大功率
PL max
U 4 Req
19
2 OC
例 问RL为何值时，可获得最大功率，并求最大功率。由电源
发出的功率有多少百分比传输给RL。 解： 求戴维宁等效电路 ＋ －
20V 5Ω Uoc R L 5Ω
3. Req的计算方法
1 当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联和△－Y
互换的方法计算等效电阻；
2 当网络内部含有受控源时，可采用外加电源法（加压求
流或加流求压）求输入电阻。
a
N0
Req
a
i
+ u – b
N0
Req
+ u – b
i
u Req i
3
3
开路电压，短路电流法。u = uoc-Reqi
7
(3) 等效电路
a
Req Uoc + – b + 3 U0 _
Uoc= 9V Req = 6
计算含受控源电路的等效电阻是用外加电源法 还是开路、短路法，要具体问题具体分析，以计 算简便为好。
8
例4- 6 解：
求图示一端口电路的等效发电机。 求短路电流isc
1 1 -1A 8
20 － 40V ＋ ＋ 40V －
独立电源置零
Req = U’ / I’ = 6
6
方法2：开路电压、短路电流
Uoc= 9V
6
I1
a – 6I + I Isc
Isc= I1-I 6 I1 + 3 I = 9
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解法2：
I1 I 2 I 3 I S 0
R1I1 R3 I 3 U S1 0 R2 I 2 R3 I 3 U S 2 0
代入数值得： I1 I 2 I 3 1
6I1 12I 3 30 12I 2 12I 3 48
解得：
I1 1 A
E1 E2 40 20 I A 2.5 A R1 R2 4 4
a E1 + – I1 R1 I2 + E2 – R2 R3 b
例2
计算电压u
解 画出分电路图
3A电流源作用： u (1) (6 // 3 1) 3 9V 其余电源作用：
i
(2)
(6 12) /(6 3) 2A
u u (1) u (2) 9 8 17V
u (2) 6i (2) 6 2 1 8V
联立两式解得： K1 = 0.1、K2 = – 0.1
所以 Uo = K1US + K2 IS = 0.1 0 +(– 0.1 ) 10 = –1V
课堂练习题:图示电路中，已知：R1=R3=3，R2=R4=6。用 叠加原理求各未知支路电流。
解：
R4 R3 I S1 4.5 A 在IS1和US作用下，电路如下所示： I 1 R1 R4 R3
IS2单独作用下，电路如下所示：
' ' I4 I3 I S1 I1' 6 4.5 1.5 A
R1 R4 I3 I S2 1.5 A R1 R4 R3
I 1 I 4 1.5 A
叠加得： I1=I1'+I1"=6A I4=I4'-I4"=0
a 无源二端网络可 化简为一个电阻 b 电压源 （戴维宁定理）
有源 二端 网络
a
b
R0 b a
IS R0
有源二端网络可 化简为一个电源 电流源 （诺顿定理）
b
2.7.1 戴维宁定理
任何一个有源二端线性网络都可以用一个电动势 为E的理想电压源和内阻 R0 串联的电源来等效代替。 a I a I + 有源 + R0 RL U 二端 U RL + – E _ 网络 – b 等效电源 b
例 3：
–
US
+
IS
线性无
源网络
已知： US =1V、IS=1A 时， Uo=0V + US =10 V、IS=0A 时，Uo=1V Uo 求： - US = 0 V、IS=10A 时， Uo=?
解：电路中有两个电源作用，根据叠加定理可设 Uo = K1US + K2 IS 当 US = 1V、IS=1A 时， 得 0 = K1 1 + K2 1 当 US =10 V、IS=0A 时， 得 1 = K1 10+K2 0
等效电源的电动势E 就是有源二端网络的开路电 压U0，即将负载断开后 a 、b两端之间的电压。 等效电源的内阻R0等于有源二端网络中所有电源 均除去（理想电压源短路，理想电流源开路）后所 得到的无源二端网络 a 、b两端之间的等效电阻。
实验法求等效电Biblioteka : R0=U0/ISC 戴维宁定理证明：
I
1
1 + _ U0
+ NS
U0 I SC
-
R0 E I
ISC
1’
1’
–
E
++ –
+
NS
U
+
R
NS
-
E=U0
(b)
U
R
-
叠加原理
(a)
+ –
E
I'
I 0
R
+
U'
– N0
E
+ +
I"
R
I I
+ _E
R0 ( e)
I + U R
NS
(c)
(d)
-
-
+
R0
U"
-
例 1： 电路如图，已知E1=40V，E2=20V，R1=R2=4， R3=13 ，试用戴维宁定理求电流I3。 a a + + E1 E2 R0 – – R3 I3 R3 I3 + I1 R1 I2 R2 E _ b b 有源二端网络 等效电源
I3=I3'+I3"=3A
叠加定理：对于线性电路，任何一条支路的电流，都 可以看成是由电路中各个电源（电压源或电流源）分别作 用时，在此支路中所产生的电流的代数和。
齐性定理
只有一个电源作用的线性电 路中，各支路的电压或电流 和电源成正比。 如图：
I1 R1 + E1 R2 I2 R3 I3
可见： 若 E1 增加 n 倍，各电流也会增加 n 倍。
注意：“等效”是指对端口外等效 即用等效电源替代原来的二端网络后，待求 支路的电压、电流不变。
例1：电路如图，已知E1=40V，E2=20V，R1=R2=4， R3=13 ，试用戴维宁定理求电流I3。 a a + + + + + E1 E1 E2 E2 – – I – – R3 I3 U0 R2 I1 R1 I2 R2 R1 – b b 解：(1) 断开待求支路求等效电源的电动势 E E = U0= E2 + I R2 = 20V +2.5 4 V= 30V 或：E = U0 = E1 – I R1 = 40V –2.5 4 V = 30V E 也可用结点电压法、叠加原理等其它方法求。
I2 2A
I3 2 A
第2章 电路的分析方法
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 电阻串并联联接的等效变换 电阻星型联结与三角型联结的等效变换 电压源与电流源及其等效变换 支路电流法 结点电压法 叠加定理（续）
2.7 戴维宁定理与诺顿定理
2.8 受控源电路的分析
2.9 非线性电阻电路的分析
2.7 戴维宁定理与诺顿定理
二端网络的概念： 二端网络：具有两个出线端的部分电路。 无源二端网络：二端网络中没有电源。 有源二端网络：二端网络中含有电源。 a R4 IS + E – R3
R1
R2
+ E – R1
a R2 IS R3 b 有源二端网络
b 无源二端网络
无源 二端 网络
a R b + _E a
课前提问：
在图示电路中，已知US1=30V，US2=48V，IS=1A，R1=6Ω， R2=12Ω，R3=12Ω，用支路电流法求未知支路电流，试问下述哪种 解法正确？
U S1 30 解法1： I1 5A R1 6
U S 2 48 I2 4A R2 12 I 3 I1 I 2 I S 5 4 1 8 A
I1 I 2 I 3 I S 0
R1I1 R3 I 3 U S1 0 R2 I 2 R3 I 3 U S 2 0
代入数值得： I1 I 2 I 3 1
6I1 12I 3 30 12I 2 12I 3 48
解得：
I1 1 A
E1 E2 40 20 I A 2.5 A R1 R2 4 4
a E1 + – I1 R1 I2 + E2 – R2 R3 b
例2
计算电压u
解 画出分电路图
3A电流源作用： u (1) (6 // 3 1) 3 9V 其余电源作用：
i
(2)
(6 12) /(6 3) 2A
u u (1) u (2) 9 8 17V
u (2) 6i (2) 6 2 1 8V
联立两式解得： K1 = 0.1、K2 = – 0.1
所以 Uo = K1US + K2 IS = 0.1 0 +(– 0.1 ) 10 = –1V
课堂练习题:图示电路中，已知：R1=R3=3，R2=R4=6。用 叠加原理求各未知支路电流。
解：
R4 R3 I S1 4.5 A 在IS1和US作用下，电路如下所示： I 1 R1 R4 R3
IS2单独作用下，电路如下所示：
' ' I4 I3 I S1 I1' 6 4.5 1.5 A
R1 R4 I3 I S2 1.5 A R1 R4 R3
I 1 I 4 1.5 A
叠加得： I1=I1'+I1"=6A I4=I4'-I4"=0
a 无源二端网络可 化简为一个电阻 b 电压源 （戴维宁定理）
有源 二端 网络
a
b
R0 b a
IS R0
有源二端网络可 化简为一个电源 电流源 （诺顿定理）
b
2.7.1 戴维宁定理
任何一个有源二端线性网络都可以用一个电动势 为E的理想电压源和内阻 R0 串联的电源来等效代替。 a I a I + 有源 + R0 RL U 二端 U RL + – E _ 网络 – b 等效电源 b
例 3：
–
US
+
IS
线性无
源网络
已知： US =1V、IS=1A 时， Uo=0V + US =10 V、IS=0A 时，Uo=1V Uo 求： - US = 0 V、IS=10A 时， Uo=?
解：电路中有两个电源作用，根据叠加定理可设 Uo = K1US + K2 IS 当 US = 1V、IS=1A 时， 得 0 = K1 1 + K2 1 当 US =10 V、IS=0A 时， 得 1 = K1 10+K2 0
等效电源的电动势E 就是有源二端网络的开路电 压U0，即将负载断开后 a 、b两端之间的电压。 等效电源的内阻R0等于有源二端网络中所有电源 均除去（理想电压源短路，理想电流源开路）后所 得到的无源二端网络 a 、b两端之间的等效电阻。
实验法求等效电Biblioteka : R0=U0/ISC 戴维宁定理证明：
I
1
1 + _ U0
+ NS
U0 I SC
-
R0 E I
ISC
1’
1’
–
E
++ –
+
NS
U
+
R
NS
-
E=U0
(b)
U
R
-
叠加原理
(a)
+ –
E
I'
I 0
R
+
U'
– N0
E
+ +
I"
R
I I
+ _E
R0 ( e)
I + U R
NS
(c)
(d)
-
-
+
R0
U"
-
例 1： 电路如图，已知E1=40V，E2=20V，R1=R2=4， R3=13 ，试用戴维宁定理求电流I3。 a a + + E1 E2 R0 – – R3 I3 R3 I3 + I1 R1 I2 R2 E _ b b 有源二端网络 等效电源
I3=I3'+I3"=3A
叠加定理：对于线性电路，任何一条支路的电流，都 可以看成是由电路中各个电源（电压源或电流源）分别作 用时，在此支路中所产生的电流的代数和。
齐性定理
只有一个电源作用的线性电 路中，各支路的电压或电流 和电源成正比。 如图：
I1 R1 + E1 R2 I2 R3 I3
可见： 若 E1 增加 n 倍，各电流也会增加 n 倍。
注意：“等效”是指对端口外等效 即用等效电源替代原来的二端网络后，待求 支路的电压、电流不变。
例1：电路如图，已知E1=40V，E2=20V，R1=R2=4， R3=13 ，试用戴维宁定理求电流I3。 a a + + + + + E1 E1 E2 E2 – – I – – R3 I3 U0 R2 I1 R1 I2 R2 R1 – b b 解：(1) 断开待求支路求等效电源的电动势 E E = U0= E2 + I R2 = 20V +2.5 4 V= 30V 或：E = U0 = E1 – I R1 = 40V –2.5 4 V = 30V E 也可用结点电压法、叠加原理等其它方法求。
I2 2A
I3 2 A
第2章 电路的分析方法
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 电阻串并联联接的等效变换 电阻星型联结与三角型联结的等效变换 电压源与电流源及其等效变换 支路电流法 结点电压法 叠加定理（续）
2.7 戴维宁定理与诺顿定理
2.8 受控源电路的分析
2.9 非线性电阻电路的分析
2.7 戴维宁定理与诺顿定理
二端网络的概念： 二端网络：具有两个出线端的部分电路。 无源二端网络：二端网络中没有电源。 有源二端网络：二端网络中含有电源。 a R4 IS + E – R3
R1
R2
+ E – R1
a R2 IS R3 b 有源二端网络
b 无源二端网络
无源 二端 网络
a R b + _E a
课前提问：
在图示电路中，已知US1=30V，US2=48V，IS=1A，R1=6Ω， R2=12Ω，R3=12Ω，用支路电流法求未知支路电流，试问下述哪种 解法正确？
U S1 30 解法1： I1 5A R1 6
U S 2 48 I2 4A R2 12 I 3 I1 I 2 I S 5 4 1 8 A