结构力学 虚功原理.
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W ＝（内力虚功）U ，称为虚功原理。 （外力虚功）
实功原理只能求单一荷载下，荷载作用点处沿荷载作用方向 的位移，实际应用价值不大。 虚功原理可求任意荷载下，任意位置、任意方向的位移，及 温度改变、支座移动引起的位移，具有广泛的应用价值。在虚功 原理中，力是虚拟的，而位移是真实的，所以该原理更确切应称 为虚力原理。 应用虚力原理求结构的位移，与虚拟力的大小无关，为计算 方便虚拟力取单位1，故这种求位移的方法也称为单位力（荷载） 法。
l
M ( x2 ) x2 l
7ql4 1 2 0 2 qx 2 ( x2 l )dx 2 24EI
【例7－1】应用虚功原理（积分法）求图示悬臂梁自由端C的竖向 位移△Cy和转角θ C 。
q A l B x2 EI l
x1
C
A l
x2
B l
x1 C m=1
MP(x1)=0
MP(x2)
l/2 l/2 A=2lh/3
【例7－2】计算下列各对弯矩图的图乘结果。
C2
h/2
y1
l/2
h
yC
l/2
C
y2
l/2
l/2
h
（a）
1 l h 1 l h h lh 2 （ a） h 2 2 2 2 2 2 3 12
（b）
1 3h 3 2 lh （b） lh 2 2 4
NP、QP、MP 为实际荷载下的轴力、剪力和弯矩。 二、静定梁、刚架的位移计算 1．积分法 以弯曲变形为主的杆件，如梁、刚架等，只计弯曲变形的虚 功，略去剪切、拉压变形的虚功，于是虚功原理 可简化为：
MM P dx EI
等截面杆可写作：
1 M M P dx EI
【例7－1】应用虚功原理（积分法）求图示悬臂梁自由端C的竖向 位移△Cy和转角θ C 。
N P dx kQ dx M dx N Q P M P EI EA GA
由虚功原理 W ＝ U 得位移计算的一般公式
NNP k QQP MMP dx dx dx EA GA EI
M 为单位荷载下的轴力、剪力和弯矩； N 、Q 、
h
2h
C1
h/2
3．虚拟力状态 求△Cx
B
求△Cy
P 1
C B C B
求θ
C
P
D
C
B
m 1
C
q
A
P 1
A A
A
求△DE
P 1
B D C
求θ
m 1
B
BC
求θ
m 1
B C
B
求△Ex
C
B C
m 1
P 1A
E
P 1 E
A A
A
4．解题步骤： ⑴ 画荷载下的弯矩MP图； ⑵ 在所求位移处，沿所求位移方向加单位荷载，并画M 图； ⑶ 由图乘
q A l B x2 EI l
x1
C
A l
x2
B l
P 1
x1 C
P 1
MP(x1)=0
MP(x2)
MP(x1)
q x2 l
x1
M ( x1 ) x1
M ( x1 )
x1
P 1
M ( x2 )
x2
l
1 2 MP(x2)= qx 2 2
Cy 1 1 M M dx P EI EI
第七章 静定结构位移计算 ·虚功原理
一、虚功原理 1．虚功的概念 P
1
△11
P
2
△21
力在自身作用下产生的位移上作功称为（外力）实功，如P 在△11上作功。 力在其它因素产生的位移上作功称为（外力）虚功，如 P 在 △21上作功。
2．虚功原理 弹性体在外力作用下产生变形，根据功能原理，外力作功转 换为弹性体的变形能（内力功），储存在弹性体内。 （外力实功）W＝（内力实功）U，称为实功原理。
MP(x1)
q x2 l
x1
M ( x1 ) 1
M ( x1 )
x1
m=1
M ( x2 )
M ( x2 ) 1
1 2 ql3 0 2 qx 2 dx 2 6 EI
l
x2
m=1 l
1 2 MP(x2)= qx 2 2
1 1 C M M P dx EI EI
2．图乘法 积分 M M P dx 可用几何法（图乘法）求之。
1 A y C 求位移。 EI
【例7－3】应用虚功原理（图乘法）求图示悬臂梁自由端C的竖向 位移△Cy和转角θ C 。
q A l B EI l C
q A l
1 2 ql 2
1 2 ql 8
B EI l
C
MP图
2l
M图
Cy
P 1
l
1 l ql 2 5l 2l ql 2 3l ( ) EI 2 2 3 3 8 2 7ql 4 24EI
y
MP
C
A
dx yC
MP图 B
M图
MM
A
B
P
dx
A yC
A — MP图的面积
tg A xC
B
A
xtgM P dx
o
A
x xC
M
B
x
百度文库
yC — MP图形心所对 M 图的竖距
于是虚功原理 可写作：
1 A yC EI
注意***： ⑴ 两图在杆同侧，图乘为正；在杆两侧，图乘为负。
⑵ yC所在的弯矩图必须为同一直线，不是同一直线，需 分段图乘，并取和。 C2 A2 C3 A3
1 A yC EI
C1 A1
y1
y2
y3
1 ( A1 y1 A2 y 2 ) EI
ql2 h 8
常用图形的面积和形心位置： C h h C C
l/2 l/2 A=lh
l/3 2l/3 A=lh/2
1
M图
1 l ql 2 2l ql 2 C ( ) 1 EI 2 2 3 8 3 ql m 1 6 EI
【例7－4】用虚功原理求图示刚架C端的水平位移△Cx和转角θC 。
B EI C
q
EI A
l
ql2/2 ql2/2 ql2/8 l l
l
P 1
m 1
1
MP图
M图
M图
1 l ql 2 2l 2l ql 2 l 3ql 4 Cx ( 2 ) EI 2 2 3 3 8 2 8EI 1 l ql 2 1 ql 3 C ( ) EI 2 2 3 12EI
3．虚功的计算 ⑴外力虚功的计算： W 1 ⑵内力虚功的计算： 虚拟力状态
N N
Q
Q
M
M
dx
dx
dx
实际位移状态
d
d
N dx
N d(△l)
Q dx
Q
M
M
dx
虚拟力状态
N N
Q
Q
M
M
dx 实际位移状态
dx
d
dx
d
NP
dx
NP
d(△l)
QP
dx
QP MP
dx
MP
内力虚功： U N d (l ) Qd M d
实功原理只能求单一荷载下，荷载作用点处沿荷载作用方向 的位移，实际应用价值不大。 虚功原理可求任意荷载下，任意位置、任意方向的位移，及 温度改变、支座移动引起的位移，具有广泛的应用价值。在虚功 原理中，力是虚拟的，而位移是真实的，所以该原理更确切应称 为虚力原理。 应用虚力原理求结构的位移，与虚拟力的大小无关，为计算 方便虚拟力取单位1，故这种求位移的方法也称为单位力（荷载） 法。
l
M ( x2 ) x2 l
7ql4 1 2 0 2 qx 2 ( x2 l )dx 2 24EI
【例7－1】应用虚功原理（积分法）求图示悬臂梁自由端C的竖向 位移△Cy和转角θ C 。
q A l B x2 EI l
x1
C
A l
x2
B l
x1 C m=1
MP(x1)=0
MP(x2)
l/2 l/2 A=2lh/3
【例7－2】计算下列各对弯矩图的图乘结果。
C2
h/2
y1
l/2
h
yC
l/2
C
y2
l/2
l/2
h
（a）
1 l h 1 l h h lh 2 （ a） h 2 2 2 2 2 2 3 12
（b）
1 3h 3 2 lh （b） lh 2 2 4
NP、QP、MP 为实际荷载下的轴力、剪力和弯矩。 二、静定梁、刚架的位移计算 1．积分法 以弯曲变形为主的杆件，如梁、刚架等，只计弯曲变形的虚 功，略去剪切、拉压变形的虚功，于是虚功原理 可简化为：
MM P dx EI
等截面杆可写作：
1 M M P dx EI
【例7－1】应用虚功原理（积分法）求图示悬臂梁自由端C的竖向 位移△Cy和转角θ C 。
N P dx kQ dx M dx N Q P M P EI EA GA
由虚功原理 W ＝ U 得位移计算的一般公式
NNP k QQP MMP dx dx dx EA GA EI
M 为单位荷载下的轴力、剪力和弯矩； N 、Q 、
h
2h
C1
h/2
3．虚拟力状态 求△Cx
B
求△Cy
P 1
C B C B
求θ
C
P
D
C
B
m 1
C
q
A
P 1
A A
A
求△DE
P 1
B D C
求θ
m 1
B
BC
求θ
m 1
B C
B
求△Ex
C
B C
m 1
P 1A
E
P 1 E
A A
A
4．解题步骤： ⑴ 画荷载下的弯矩MP图； ⑵ 在所求位移处，沿所求位移方向加单位荷载，并画M 图； ⑶ 由图乘
q A l B x2 EI l
x1
C
A l
x2
B l
P 1
x1 C
P 1
MP(x1)=0
MP(x2)
MP(x1)
q x2 l
x1
M ( x1 ) x1
M ( x1 )
x1
P 1
M ( x2 )
x2
l
1 2 MP(x2)= qx 2 2
Cy 1 1 M M dx P EI EI
第七章 静定结构位移计算 ·虚功原理
一、虚功原理 1．虚功的概念 P
1
△11
P
2
△21
力在自身作用下产生的位移上作功称为（外力）实功，如P 在△11上作功。 力在其它因素产生的位移上作功称为（外力）虚功，如 P 在 △21上作功。
2．虚功原理 弹性体在外力作用下产生变形，根据功能原理，外力作功转 换为弹性体的变形能（内力功），储存在弹性体内。 （外力实功）W＝（内力实功）U，称为实功原理。
MP(x1)
q x2 l
x1
M ( x1 ) 1
M ( x1 )
x1
m=1
M ( x2 )
M ( x2 ) 1
1 2 ql3 0 2 qx 2 dx 2 6 EI
l
x2
m=1 l
1 2 MP(x2)= qx 2 2
1 1 C M M P dx EI EI
2．图乘法 积分 M M P dx 可用几何法（图乘法）求之。
1 A y C 求位移。 EI
【例7－3】应用虚功原理（图乘法）求图示悬臂梁自由端C的竖向 位移△Cy和转角θ C 。
q A l B EI l C
q A l
1 2 ql 2
1 2 ql 8
B EI l
C
MP图
2l
M图
Cy
P 1
l
1 l ql 2 5l 2l ql 2 3l ( ) EI 2 2 3 3 8 2 7ql 4 24EI
y
MP
C
A
dx yC
MP图 B
M图
MM
A
B
P
dx
A yC
A — MP图的面积
tg A xC
B
A
xtgM P dx
o
A
x xC
M
B
x
百度文库
yC — MP图形心所对 M 图的竖距
于是虚功原理 可写作：
1 A yC EI
注意***： ⑴ 两图在杆同侧，图乘为正；在杆两侧，图乘为负。
⑵ yC所在的弯矩图必须为同一直线，不是同一直线，需 分段图乘，并取和。 C2 A2 C3 A3
1 A yC EI
C1 A1
y1
y2
y3
1 ( A1 y1 A2 y 2 ) EI
ql2 h 8
常用图形的面积和形心位置： C h h C C
l/2 l/2 A=lh
l/3 2l/3 A=lh/2
1
M图
1 l ql 2 2l ql 2 C ( ) 1 EI 2 2 3 8 3 ql m 1 6 EI
【例7－4】用虚功原理求图示刚架C端的水平位移△Cx和转角θC 。
B EI C
q
EI A
l
ql2/2 ql2/2 ql2/8 l l
l
P 1
m 1
1
MP图
M图
M图
1 l ql 2 2l 2l ql 2 l 3ql 4 Cx ( 2 ) EI 2 2 3 3 8 2 8EI 1 l ql 2 1 ql 3 C ( ) EI 2 2 3 12EI
3．虚功的计算 ⑴外力虚功的计算： W 1 ⑵内力虚功的计算： 虚拟力状态
N N
Q
Q
M
M
dx
dx
dx
实际位移状态
d
d
N dx
N d(△l)
Q dx
Q
M
M
dx
虚拟力状态
N N
Q
Q
M
M
dx 实际位移状态
dx
d
dx
d
NP
dx
NP
d(△l)
QP
dx
QP MP
dx
MP
内力虚功： U N d (l ) Qd M d