4.1不定积分的直接积分法
不定积分的基本公式和运算法则直接积分法
不定积分的基本公式和运算法则直接积分法一、不定积分的基本公式和运算法则1.基本公式：- 常数公式：$\int c\,dx = cx + C$，其中c为常数，C为常数。
- 幂函数公式：$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$，其中n为非零常数，C为常数。
- 指数函数公式：$\int e^x\,dx = e^x + C$，其中C为常数。
- 对数函数公式：$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln，x， + C$，其中C为常数。
2.基本运算法则：- 常数倍法则：$\int kf(x)\,dx = k\int f(x)\,dx$，其中k为常数。
- 和差法则：$\int (f(x) \pm g(x))\,dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx$。
- 乘法法则：$\int u \cdot v\,dx = \int u\,dv + \int v\,du$。
- 除法法则：$\int \frac{u}{v}\,dx=i\ln，v，+j\int\frac{dv}{v}$。
直接积分法是指根据不定积分的基本公式和运算法则，直接进行积分计算的方法。
下面介绍一些常见的直接积分法：1.用代换法进行积分：-根据被积函数的形式，选择一个合适的代换，使得原函数的形式更简单。
-对原函数进行代换，将积分转化为新的变量的积分。
- 对新的变量进行求导，计算出dx或du。
-将上述结果带入到原函数中，得到最终的积分结果。
2.用分部积分法进行积分：-对于被积函数的乘积形式，选择一个函数进行求导，选择另一个函数进行积分。
- 根据分部积分公式$\int u \,dv = uv - \int v \,du$，进行积分计算。
3.用换元法进行积分：-对于被积函数的形式，选择一个新的变量代替原来的变量，使得积分变得更简单。
-对原函数进行换元，将积分转化为新的变量的积分。
- 对新的变量进行求导，计算出dx或du。
不定积分的基本公式和直接积分法省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
(6) csc2 xdx cot x C ((cot x) csc2 x)
5 反三角函数
(1)
dx arcsin x C arccos x C 1 x2
(arcsin x) 1 ,(arccos x) 1
51
x2 51
C
2 7
7
x2
C.
(2) 2x (e x 1)dx 解： 2x (e x 1)dx (2e)x dx 2x dx
(2e)x 2x C (2e)x 2x C
ln(2e) ln 2
1 ln 2 ln 2
(3) x3 x 1dx x2 1
解：
x3 x2
x
1 x2
1 x2
dx
(2) 1 x2 arctan x C arc cot x C
(arctan
x)
1 1 x2
, (arc
cot
x)
1
1 x
2
基 (1) kdx kx C (k是常数);
本
积
(2)
xdx x1 C ( 1); 1
分
表
(3)
dx x
ln
|
x
|
C;
阐明： x 0,
1 x 2 dx
1
1 x2dx
1 x
arctan
x
C.
例2 求下列不定积分
(1) sin2
xdx 2
(2)
cos 2x cos x sin
x
dx
解
(1)原式
1
cos 2
x
dx
1 2
(1 cos
不定积分的基本公式和直接积分法
第二节不定积分旳基本公式和直接积分法（ＢasiｃＦoｒｍula of UndefiｎｅdInteｇral ａnｄDirecｔＩnteｇral）课题：1.不定积分旳基本公式2．不定积分旳直接积分法课堂类型：讲授教学目旳：纯熟掌握不定积分旳基本公式,对简朴旳函数能用直接积分法进行积分。
教学重点:不定积分旳基本公式教学难点: 直接积分法教具:多媒体课件教学措施:教学内容：一、不定积分旳基本公式由于不定积分是求导旳逆运算，因此由导数旳基本公式相应地可以得到不定积分旳基本公式。
二、不定积分旳直接积分法运用不定积分旳性质和基本公式，可以求出某些简朴函数旳不定积分,一般把这种求不定积分旳措施叫做直接积分法。
例1 求32x dx ⎰导数旳基本公式()1222()01()1()()ln 1(ln )(sin )cos (cos )sin (tan )sec (cot )csc (sec )sec tan (csc )csc cot (arcsin )1(arctan )1(arccos )1(cot )1x xx x C x x x e e a a ax xx x x x x x x x x x x x x x x x x x arc x ααα+'='='=+'='='='='=-'='=-'='=-'='=+'='=-+21(log )ln a x x x a'=不定积分旳基本公式()1222011ln ln ||cos sin sin cos sec tan csc cot sec tan sec csc cot csc arcsin arctan 1x xxxdx C dx x Cx x dx C a e dx eCa a dx C a dxx Cx xdx x C xdx x C xdx x C xdx x C x xdx x C x xdx x Cx Cdxx C xααα+==+=+≠-+=+=+=+=+=-+=+=-+=+=-+=+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2arccos arc cot 11log ln a x C dxx C x dx x Cx a =-+=-++=+⎰⎰⎰解 31333412222312x x dx x dx x dx C x C +===⨯+=++⎰⎰⎰例2求(23cos x x dx -+⎰解(32322233233cos 3cos 3sin 5310sin 3xx dx x dx xdx x x x Cx x x C -+=-+=⨯-++=-++⎰⎰⎰⎰例3 求dx x x ⎰-23)1(解Cx x x x Cx x dxxx x dx xx x x dx x x +++-=+-=-+-=-+-=-⎰⎰⎰1||ln 332 31072 )133( 133)1(22327222323 例４ 求221sin cos dx x x⎰ 解22222222221sin cos 11sin cos sin cos cos sin sec csc tan cot x x dx dx dx dx x x x x x x xdx xdx x x C+==+=+=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰例5 求2x x e dx ⎰ 解()()()2222ln 21ln 2xxxx x e e e dx e dx C C e==+=++⎰⎰例6 求2sin 2x dx ⎰解 21cos sin 22x x-=21cos 11sin sin 2222x x dx dx x x C -==-+⎰⎰ 例7 求()221dxx x +⎰解()222211111x xx x =-++ ()222222111111111arctan dx dx dx dx x x x x x x x Cx⎛⎫=-=- ⎪+++⎝⎭=--+⎰⎰⎰⎰例8 已知物体以速度()221/v t m s =+沿Ox 轴作直线运动，当1t s =时,物体通过旳路程为3m ，求物体旳运动方程。
4.不定积分。PPT
如果 F(x)是 f (x)的一个原函数，则 f (x)
的不定积分 f (x)dx F(x) C．对于每一给
定的常数 C ，F(x) C 表示坐标平面上的一 条确定的曲线，这条曲线称为 f (x)的一条积 分曲线．由于 C 可以取任意值，因此不定积
分 f (x)dx 表示 f (x) 的一族积分曲线．
sin x 1 sin3 x c 3
例 4 求不定积分 3xexdx ．
解 3xexdx (3e)xdx (3e)x c 3xex c
ln 3e 1+ ln 3
4-2 不定积分的直接积分法
例 5 求不定积分
x4 1 x2
dx
．
解
x4
(x4 1) 1
1 x2 dx 1 x2 dx
x4 x2
1dx 1
1 1 x2
4-1不定积分的概念与性质
一般，如果F(x)是 f (x)的一个原函数，则 f (x)的全部原函数就是 F(x) C ( C为任意常 数)．
那么一个函数满足什么条件, 它的原函数 一定存在呢?
如果函数f(x)在区间［a,b］上连续,则在该 区间上f(x)的原函数一定存在.
4-1不定积分的概念与性质
第4章 不定积分
第4章 不定积分
4-1 不定积分的概念与性质 4-2 不定积分的直接积分法 4-3 换元积分法 4-4 分部积分法
4-1不定积分的概念与性质
一、 不定积分的概念 二、 不定积分的性质 三、 不定积分的几何意义
4-1不定积分的概念与性质
一、 不定积分的概念
1. 原函数 定义4.1 设 f (x)是定义在区间 (a,b)内的
其中 C 称为积分常数．
不定积分的概念与性质
0dx 0 dx.
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例5
求积分
( 1
3 x
2
2 )dx. 1 x2
解
( 1
3 x2
2 )dx 1 x2
分项积分
3
1
1 x
2
dx
2
1 dx
1 x2
3arctan x 2arcsin x C
说明： 被积函数需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.
6
x5dx x6 C .
6
例2
求
1
1 x2
dx.
解
arctan
x
1
1 x2
,
1
1 x
2
dx
arctan
x
C
.
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例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.
解 设曲线方程为 y f ( x), 根据题意知 dy 2x, dx 即 f ( x)是2x 的一个原函数.
分项积分
加项减项
利用三角公式 , 代数公式 ,
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思考与练习
1. 若
x2 f (ln x) d x
1 x2 C 2
提示:
ex
f (ln x) eln x 1 x
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2. 若
是 ex 的原函数 , 则
f
(ln x
x)
d
x
4.1 不定积分的概念和性质
x
csc2
x
d
x
cot
xLeabharlann C(10) sec x tan xd x sec x C
(11) csc xcot xd x csc x C
(12) ex d x ex C (13) ax d x ax C
ln a
(7) sin xd x cos x C
●曲线族中不同曲线不相交；
任意x对应的不同曲线的纵坐
标之差为常数C；
●过x轴上一点 x0 作l y轴 O
x0
x
与曲线族中每条积分曲线均相交，
过交点的切线互相平行。
例题讲解:
换元积分法
例1. 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线
斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.
y
解:
(1, 2)
换元积分法
第四章 不定积分
微分法: F '(x) ( ? ) 互逆运算
积分法: ( ? ) ' f (x)
换元积分法
第一节 不定积分的概念与性质
一、 原函数与不定积分的概念 二、 基本积分表 三、不定积分的性质
第四章 不定积分
换元积分法
一、 原函数与不定积分的概念
引例: 一个质量为 m 的质点, 在变力F Asint 的作用
例7. 求
解: 原式 = (sec2 x 1)dx
sec2 xdx dx tan x x C
例8. 求
解: 原式 =
质点抛出时刻为
此时质点位置为
设时刻 t 质点所在位置为
则
d x v(t) dt
第4章不定积分
21
例：
22
例：
23
例：
24
积分基本公式：
25
§4.3分部积分法
设函数u u ( x)与 ( x)具有连续的导数，根据乘积的 微分法则，有：d (u ) ud du，移项得： ud d (u ) - du 两边积分，有： ud u - du 这就是分部积分法。 x2 x2 x2 例： x ln xdx ln xd 2 2 ln x 2 d (ln x) x2 x2 1 x2 x2 ln x dx ln x C 2 2 x 2 4
3 x 2 例如： x dx 3 C
cos xdx sin x C
1 x dx ln | x | C
4
三、不定积分的几何意义 ∫f(x)dx表示的是f(x)的一簇积分曲线，这簇曲线 可由其中任一条沿y轴方向平移而得。 例：已知曲线过点(2,2)，且其上每点(x,y)处的切线 斜率为横坐标的两倍，求此曲线方程。 ∫f(x)dx 解：设曲线方程为y=f(x)，则
10
例：
例：
11
以下凑微分的方法可做为公式直接使用：
教材：P94
12
例： 例：
例：
13
例：
14
例：
同理可得：
例：
15
因为： 所以：
因为： 所以：
16
例：
类似可得：
17
例：
18
例：
19
二、第二类换元法
在计算 f ( x)dx时，引入变量x (t )，将 f ( x)dx化为
y f ( x) 2 x y 2 xdx x 2 C
因为曲线过(2,2)点，所以有：2=22+C 得：C=-2，因此所求曲线方程为：y=x2-2
不定积分的基本公式和直接积分法
不定积分的基本公式和直接积分法第二节不定积分的基本公式和直接积分法（Basic Formula of UndefinedIntegral and Direct Integral）课题：1.不定积分的基本公式2.不定积分的直接积分法课堂类型：讲授教学目的：熟练掌握不定积分的基本公式，对简单的函数能用直接积分法进行积分。
教学重点：不定积分的基本公式教学难点: 直接积分法教具：多媒体课件教学方法：教学内容：一、不定积分的基本公式由于不定积分是求导的逆运算，所以由导数的基本公式对应地可以得到不定积分的基本公式。
二、不定积分的直接积分法利用不定积分的性质和基本公式，可以求出一些简单函数的不定积分，通常把这种求不定积分的方法叫做直接积分法。
例１ 求32x dx ⎰导数的基本公式 ()1222()01()1()()ln 1(ln )(sin )cos (cos )sin (tan )sec (cot )csc (sec )sec tan (csc )csc cot (arcsin )1(arctan )1(arccos )1(cot )1x xx x C x xxe e a a ax xx x x x x x x x x x x x x x x x x x arc x ααα+'='='=+'='='='='=-'='=-'='=-'='=+'='=-+21(log )ln a x x x a'=不定积分的基本公式 ()1222011ln ln ||cos sin sin cos sec tan csc cot sec tan sec csc cot csc arcsin arctan 1x x xxdx Cdx x Cx x dx C a e dx e C a a dx C a dxx Cx xdx x C xdx x C xdx x C xdx x C x xdx x C x xdx x Cx Cdxx C xααα+==+=+≠-+=+=+=+=+=-+=+=-+=+=-+=+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2arccos arc cot 11log ln a x C dxx C x dx x Cx a =-+=-++=+⎰⎰⎰解 31333412222312x x dx x dx x dx C x C +===⨯+=++⎰⎰⎰例２求(23cos x x dx -+⎰ 解(32322233233cos 3cos 3sin 5310sin 3xx dx x dx xdx x x x Cx x x C -+=-+=⨯-++=-++⎰⎰⎰⎰例３ 求dx x x ⎰-23)1( 解Cx x x x Cx x dxxx x dx xx x x dx x x +++-=+-=-+-=-+-=-⎰⎰⎰1||ln 332 31072 )133( 133)1(22327222323 例４ 求221sin cos dx x x⎰ 解22222222221sin cos 11sin cos sin cos cos sin sec csc tan cot x x dx dx dx dx x x x x x x xdx xdx x x C+==+=+=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰例５ 求2x x e dx ⎰解 ()()()2222ln 21ln 2xxxx x e e e dx e dx C C e==+=++⎰⎰例６ 求2sin 2xdx ⎰ 解 21cos sin 22x x-=21cos 11sin sin 2222x x dx dx x x C -==-+⎰⎰ 例７ 求()221dxx x +⎰ 解()222211111x x x x =-++ ()222222111111111arctan dx dx dx dx x x x x x x x Cx⎛⎫=-=- ⎪+++⎝⎭=--+⎰⎰⎰⎰例８ 已知物体以速度()221/v t m s =+沿Ox 轴作直线运动，当1t s =时，物体经过的路程为3m ，求物体的运动方程。
高数上4.1 不定积分概念与性质
从形式上看, 若能把 f ( x)dx 中的被积函数 f(x) 凑
到微分号后, 即把积分号下的 f (x)dx 转变成 dF(x) 则微分号后的函数 F ( x)就是所求的一个原函数。
因此积分运算可以看成是微分运算的逆运算。
例2 求下列不定积分
2
x 2
dx
12(1 cos x)dx 12 (1 cos x)dx
1 2
[
dx
cos
xdx]
1 2
(
x
sin
x)
C
.
例11 求满足下列条件的F ( x).
F ( x) 1 x , 13 x
F (0) 1.
解 根据题设条件, 有
F( x) F( x)dx 1 x dx (1 3 x 3 x2 )dx 13 x
即 kf ( x)dx k f ( x)dx (k 0); 证[k f ( x)dx] k[ f ( x)dx] kf ( x) [ kf ( x)dx]
证毕.
五、直接积分法
从前面的例题知道, 利用不定积分的定义来计算 不定积分是非常不方便的. 为解决不定积分的计算 问题, 这里我们先介绍一种利用不定积分的运算性 质和积分基本公式, 直接求出不定积分的方法, 即 直接积分法.
第四章 不定积分
一、不定积分的概念与性质 二、换元积分法 三、分部积分法 四、有理函数的积分
第一节 不定积分的概念与性质
一、原函数与不定积分的概念 二、不定积分的几何意义 三、基本积分表 四、不定积分的性质 五、直接积分法
一、原函数的概念
定义 设 f ( x)是定义在空间 I上的函数, 若存在函 数F ( x)对任何 x I均有
微积分 经管类. 第四版 课件 (吴赣昌) 第四章
2 3
4 3
完
例7 求不定积分 2 e dx .
x x
解
2 x e x dx ( 2e ) x dx
x x ( 2e ) 2 e C C. ln( 2e ) 1 ln 2
x
完
例8 求不定积分 解
1 x 2 dx . 1 x4
1 1 (3)因为 (arctan x ) , 故 arctan x是 2的 2 1 x 1 x 的原函数, 从而 1 dx arctan x C (C为任意常数). 1 x2
完
例4 已知曲线 y f ( x ) 在任一点 x 处的切线斜率 为 2 x , 且曲线通过点 (1,2), 求此曲线的方程. 解 根据题意知 f ( x ) 2 x , 即 f ( x ) 是 2 x 的一个 原函数, 从而
得
x C1 , x 0 f ( x) x e C 2 , 0 x
又 f (0) 0, 得 C1 0, 再由 f ( x )在 x 0 处连续,
f (0) lim f ( x ), 得 C2 1.
x 0
所以
x 0 x, f ( x) x . e 1, 0 x
C (q) 2q 3,
因为
(q 2 3q ) 2q 3,
2 q 3q C 0 C (q ) ( 2q 3)dx
所以 q 2 3q 是 2q 3 的一个原函数, 从而
(C 0为积分常数).
现要在上述积分曲线中选出一条生产成本曲线, 由 已知生产的固定成本为 2, 即当产量 q 0 时成本为 2, 故可得
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2 x cot x c
(2 x) ( 4) dx x x
2
1 e2 x (5) dx x 1 e
dx
4 4x x 2 x x
3 2
(1 e x )(1 e x ) dx x 1 e
(4 x
4 x
x )dx
(1 e x )dx
2 1 (1 )dx x x
x 4 x ln x C
1 x2 (4) dx 2 1 x
1 x 解： 1 x 2 dx
2
x4 (5) dx 2 1 x x4 11 dx 2 1 x
2 (1 x 2 ) dx 2 1 x 2 ( 1)dx 2 1 x
(3) f ( x)的所有原函数称为f ( x)在区间I上的不定积分, 记作
f ( x)dx
即, 若F ( x) f ( x), 则
f ( x)dx F ( x) c
(c R)
2.结论：如果函数 f (x)在某区间 I 上连续，则其原 函数必存在
3. f ( x)的任意两个原函数之间 相差一个常数.
(9)
x4 dx x 2
x2 (10 ) dx 2 2(1 x )
1 x2 11 dx 2 2 1 x
1 1 (1 1 x 2 )dx 2
( x 2)dx
2 2 x 2x c 3
3
1 ( x arctan x) c 2
即若F ( x) f ( x), G ( x) f ( x),
则G( x) F ( x) c
4.不定积分的性质 1.求不定积分与求微分(或求导数)运算互为逆运算，即
(1)[ f ( x)dx] f ( x)或 d f ( x)dx f ( x)dx
(2) F ( x)dx F ( x) c或
k1 f1 ( x)dx k2 f 2 ( x) k3 f 3 ( x)dx
5.基本积分公式 若F ( x) f ( x), 则
1 x dx 1 x
kdx kx C
dx x c
C
1
1 dx 2 x c x
e dx e
(2 sec2 x csc2 x 1)dx
(cos x sin x)dx
2 tan x cot x x c
2 (6) ( cos x)dx 2 2 1 x 1 x 3
x 2 arctan x sin x c
x
1 1 x 2 dx x c 1 x x a dx a C ln a
x
sec x tan xdx sec x C csc x tan xdx csc x C
sin xdx cos x C cos xdx sin x C sec xdx tan x C csc xdx cot x C
1 1 1 2 2 ( x 2 1) x 2 x x 1
1 arctan x c x
1 (7 ) 2 dx 2 sin x cos x
cos 2 x (8) dx sin x cos x
sin 2 x cos2 x dx 2 2 sin x cos x
1 (x 1 )dx 2 1 x
2
1 3 x x arctan x c 3
1 x 2 2 (1 x 2 )
2 arctan x x C
1 (6) 2 dx 2 ( x 1) x
1 1 2 dx 2 1 x x
复习引入:
1.定义:设函数 f (x) 在区间 I 上有定义． 如果存在可导函数 F (x)，使对于任意的 x I ,都有
F ( x) f ( x) 或 dF ( x) f ( x)dx 则 (1)称 F (x)是函数 f (x)在 I 上的一个原函数．
F (2) f ( x)的所有原函数表示为： ( x) c(c R)
3 5 3 18 5
23 5
c
(2) (3x e x 5sin x)dx
解：(3 x e x 5 sin x)dx
[(3 e) 5 sin x]dx
x
(3e) x 5 cos x C ln(3e)
( x 1) 2 (3) dx x
( x 1) 2 解： dx x 2 x 1dx x x
(14)
3 dx 1 cos 2 x
1 cos x sec x tan x dx 2
3 dx 2 1 (1 2 sin x)
x sin x secx c 2
3 1 2 dx 2 sin x
3 cot x c 2
例3 已知曲线上任意一点的切线斜率等于该 点横坐标的两倍多6，且曲线过点（-1,2），求此 曲线方程。
解: 设曲线方程为 y f ( x ),
根据题意知 y 2 x 6
y (2 x 6)dx x 2 6 x c
将x 1, y 2代入得 C 7
于是所求曲线方程为 y x 6 x 7.
2
课堂检测题:求下列不定积分 1 (1) ( x x 2 2)dx x
4 x (2) ( e 2 x )dx x
2x 4 ln x e x c ln 2
2 2 1 x x 2x c 5 x
1 1 (3) ( )dx 2 x sin x
8 2 8 x x x c 3 x
x ex c
2 sin 2 x (7) dx 2 cos x
(2 sec x cot x)dx
2 2
cos 2 x (8) dx cos x sin x
cos2 x sin 2 x dx cos x sin x
dF ( x) F ( x) c
(k 0)
2. k f ( x)dx k f ( x)dx
.
3. [ f ( x) g ( x)]dx f ( x)dx g ( x)dx
[k
1 1
f ( x) k 2 f 2 ( x) k3 f 3 ( x)]
cos x sin x dx sin x cos x
2 2
(sec x csc x)dx
2 2
(cos x sin x)dx
tan x cot x C
sin x cos x c
cos 2 x cos2 x sin 2 x 1 2 cos2 x 2 sin 2 x 1
2
x
x c1 5e c2 arctan x c3
3
x
x 5e arctan x C
3 x
别忘了加 任意常数c哟！
仍为任意常数。 其中c c1 c2 c3，
以后不必再写出
c1 , c 2 , c3
例.求(1) x 3 5 x 3 dx
5 x 解 : x x dx x dx 23
2 2
f ( x)dx F ( x) c
C
dx arcsin x C 2 1 x 1 dx arctan x C 2 1 x
例１
1 (3x 5e 1 x2 )dx
2 x
1 解： (3x 5e )dx 2 1 x
2 x
1 3 x dx 5 e dx dx 2 1 x
2
cos 2 x cos2 x sin 2 x 1 2 cos2 x 2 sin 2 x 1
(11) tan x 3 cot x dx
2
tan 2 x 6 9 cot 2 x dx
sec2 x 9 csc2 x 15 dx
(9) tan xdx
2
(sec x 1)dx
2
x (10) cos dx 2
2
tan x x C
1 cos x dx 2 1 1 x sin x C 2 2
1 cos 2 x cos x 2 1 cos x 2 x cos 2 2
tan x 9 cot x 15 x c
(12 ) sec x( sec x tan x)dx
(sec2 x sec x tan x)dx
tan x secx c
2x (13) sin sec x tan x dx 2