【精品】2017年辽宁省葫芦岛一中高二上学期期中数学试卷带解析答案(理科)

2016-2017学年辽宁省葫芦岛一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）下列命题中，是正确的全称命题的是（）A．对任意的a，b∈R，都有a2+b2﹣2a﹣2b+2＜0B．菱形的两条对角线相等C．存在实数x，使得D．对数函数在定义域上是单调函数2．（5分）设a，b，c为实数，“ac=b2”是“a，b，c成等比数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）方程=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（）A．（4，+∞）B．（4，7） C．（7，10）D．（4，10）4．（5分）已知x＞0，y＞0，且+=1，则x+y的最小值是（）A．4 B．12 C．16 D．185．（5分）已知F1，F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点F1的距离|PF1|=9，则|PF2|=（）A．1 B．17 C．1或17 D．256．（5分）{a n}为等差数列，S n为其前n项和，a7=5，S7=21，则S10=（）A．40 B．35 C．30 D．287．（5分）设x，y满足约束条件则的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，+∞]8．（5分）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足•=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A．（0，1） B．（0，]C．（0，）D．[，1）9．（5分）在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，，AB=AC=AA1=1，已知G和E 分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点），若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为（）A．[，1）B．[，1]C．（，1）D．[，1）10．（5分）设a＞0，b＞0，且不等式++≥0恒成立．则实数k的最小值等于（）A．4 B．0 C．﹣2 D．﹣411．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的右顶点、左焦点分别为A、F，点B（0，﹣b），||=||，则双曲线的离心率值为（）A．B．C．D．12．（5分）过x轴上点P（a，0）的直线与抛物线y2=8x交于A，B两点，若+为定值，则a的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）若向量=（1，1，x），=（1，2，1），=（1，1，1），满足条件（﹣）•（2）=﹣2，则x=．14．（5分）设实数x，y满足条件若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则+的最小值为．15．（5分）设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的渐近线方程为．16．（5分）P是以F1，F2为焦点的椭圆上的任意一点，若∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，且cosα=，sin（α+β）=，则此椭圆的离心率为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知c＞0，且c≠1，设p：函数y=c x在R上单调递减；q：函数f （x）=x2﹣2cx+1在（，+∞）上为增函数，若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围．18．（12分）设椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点（0，4），离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．20．（12分）正数数列{a n}的前n项和为S n，已知对于任意的n∈Z+，均有S n与1正的等比中项等于a n与1的等差中项．（1）试求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，E，F分别为PA，BD中点，PA=PD=AD=2．（Ⅰ）求证：EF∥平面PBC；（Ⅱ）求二面角E﹣DF﹣A的余弦值；（Ⅲ）在棱PC上是否存在一点G，使GF⊥平面EDF？若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由．22．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．2016-2017学年辽宁省葫芦岛一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）下列命题中，是正确的全称命题的是（）A．对任意的a，b∈R，都有a2+b2﹣2a﹣2b+2＜0B．菱形的两条对角线相等C．存在实数x，使得D．对数函数在定义域上是单调函数【解答】解：对于A，任意的a，b∈R，a2+b2﹣2a﹣2b+2=（a﹣1）2+（b﹣1）2≥0，所以A不正确对于B，菱形的对角线垂直，矩形的对角线相等，故B不正确对于C，此命题不是全称命题对于D，是全称命题且是真命题故选：D．2．（5分）设a，b，c为实数，“ac=b2”是“a，b，c成等比数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若a、b、c成等比数列，根据等比数列的性质可得：b2=ac；若b=0，a=2，c=0，满足b2=ac，但a、b、c显然不成等比数列，则“b2=ac”是“a、b、c成等比数列”的必要不充分条件．故选：B．3．（5分）方程=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（）A．（4，+∞）B．（4，7） C．（7，10）D．（4，10）【解答】解：∵=1表示焦点在x轴上的椭圆，∴，解得7＜k＜10．∴实数k的取值范围是（7，10）．故选：C．4．（5分）已知x＞0，y＞0，且+=1，则x+y的最小值是（）A．4 B．12 C．16 D．18【解答】解：∵=1∴x+y=（）（x+y）=10++≥10+2=16当且仅当=时，取等号．则x+y的最小值是16．故选：C．5．（5分）已知F1，F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点F1的距离|PF1|=9，则|PF2|=（）A．1 B．17 C．1或17 D．25【解答】解：双曲线﹣=1，可得a=4，由双曲线的定义可得：丨|PF1|﹣|PF2|丨=2a=8，|PF1|=9，∴|PF2|=17或|PF2|=1（舍去），故选：B．6．（5分）{a n}为等差数列，S n为其前n项和，a7=5，S7=21，则S10=（）A．40 B．35 C．30 D．28【解答】解：由题意可得，解可得a1=1，d=∴=40故选：A．7．（5分）设x，y满足约束条件则的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，+∞]【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△AB0及其内部，其中A（2，2），B（0，），0（0，0）设P（x，y）为区域内的动点，定点Q的坐标为（﹣2，﹣1），则PQ的斜率k=，运动点P并加以观察，得直线PQ的倾斜角为锐角当P与原点0重合时，k达到最小值，k min==；当P与点B重合时，k达到最大值，k max==由此可得PQ的斜率k的取值范围是[，]，即目标函数的取值范围是[，]．故选：A．8．（5分）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足•=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A．（0，1） B．（0，]C．（0，）D．[，1）【解答】解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a，b，c，∵•=0，∴M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．又M点总在椭圆内部，∴该圆内含于椭圆，即c＜b，c2＜b2=a2﹣c2．∴e2=＜，∴0＜e＜．故选：C．9．（5分）在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，，AB=AC=AA1=1，已知G和E 分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点），若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为（）A．[，1）B．[，1]C．（，1）D．[，1）【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），E（0，1，），G（，0，1），F（x，0，0），D（0，y，0）由于GD⊥EF，所以x+2y﹣1=0DF==当y=时，线段DF长度的最小值是当y=1时，线段DF长度的最大值是1而不包括端点，故y=1不能取；故选：A．10．（5分）设a＞0，b＞0，且不等式++≥0恒成立．则实数k的最小值等于（）A．4 B．0 C．﹣2 D．﹣4【解答】解：由++≥0，得k≥﹣（+）（a+b），∵﹣（+）（a+b）=﹣（2+）=﹣4，当且仅当a=b时取等号，∴k≥﹣4，即实数k的最小值等于﹣4，故选：D．11．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的右顶点、左焦点分别为A、F，点B（0，﹣b），||=||，则双曲线的离心率值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵||=||，∴=0，∴∠ABF=90°，由射影定理得OB2=OF×OA，∴b2=ca，又∵c2=a2+b2，∴c2=a2+ca，∴a2+ca﹣c2=0，∴1+e﹣e2=0，解得e=或（舍），∴e=．故选：B．12．（5分）过x轴上点P（a，0）的直线与抛物线y2=8x交于A，B两点，若+为定值，则a的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：设直线AB的方程为：x=my+a，代入y2=8x得y2﹣8my﹣8a=0；设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=8m，y1•y2=﹣8a，AP2=+=+=（m2+1），同理，BP2=（m2+1），∴+=（+）=•=•=，∵+为定值，是与m无关的常数，∴a=4．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）若向量=（1，1，x），=（1，2，1），=（1，1，1），满足条件（﹣）•（2）=﹣2，则x=2．【解答】解：由题意向量=（1，1，x），=（1，2，1），=（1，1，1），满足条件（﹣）•（2）=﹣2所以（﹣）•（2）=（0，0，1﹣x）•（2，4，2）=2（1﹣x）=﹣2，可得x=2，故答案为：2．14．（5分）设实数x，y满足条件若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则+的最小值为．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（4，6），化目标函数z=ax+by为，由图可知，当直线过B时z有最大值，为4a+6b=12，即，则+=（+）（）=．当且仅当，即a=b=时上式等号成立．故答案为：．15．（5分）设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是C 上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的渐近线方程为．【解答】解：如图所示，不妨设点P在双曲线的右支上．则|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|+|PF2|=6a，联立解得．∵4a＞2a，|F1F2|=2c＞2a．∴∠PF1F2是最小角，因此．由余弦定理可得：﹣2，∴（2a）2=（4a）2+（2c）2﹣2×4a×2c•cos30°，化为=0，∴，解得e=．∴，解得．∴渐近线方程为．故答案为：．16．（5分）P是以F1，F2为焦点的椭圆上的任意一点，若∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，且cosα=，sin（α+β）=，则此椭圆的离心率为．【解答】解：∵cosα=，sin（α+β）=，∴sinα=，cos（α+β）=±，∴sinβ=sin[（α+β）﹣α]=•+•=或•﹣•＜0（舍去），设|PF1|=m，|PF2|=n，则由正弦定理可得，∴m=n，∵m+n=2a，∴n=，m=由余弦定理可得，整理可得，∵0＜e＜1，∴e=．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知c＞0，且c≠1，设p：函数y=c x在R上单调递减；q：函数f （x）=x2﹣2cx+1在（，+∞）上为增函数，若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围．【解答】解∵函数y=c x在R上单调递减，∴0＜c＜1．（2分）即p：0＜c＜1，∵c＞0且c≠1，∴￢p：c＞1．（3分）又∵f（x）=x2﹣2cx+1在（，+∞）上为增函数，∴c≤．即q：0＜c≤，∵c＞0且c≠1，∴￢q：c＞且c≠1．（5分）又∵“p或q”为真，“p且q”为假，∴p真q假，或p假q真．（6分）①当p真，q假时，{c|0＜c＜1}∩{c|c＞，且c≠1}={c|}．（8分）②当p假，q真时，{c|c＞1}∩{c|0＜c}=∅．[（10分）]综上所述，实数c的取值范围是{c|}．（12分）18．（12分）设椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点（0，4），离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．【解答】解：（1）将点（0，4）代入椭圆C的方程得=1，∴b=4，…（1分）由e==，得1﹣=，∴a=5，…（3分）∴椭圆C的方程为+=1．…（4分）（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x﹣3），…（5分）设直线与椭圆C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），将直线方程y=（x﹣3）代入椭圆C方程，整理得x2﹣3x﹣8=0，…（7分）由韦达定理得x1+x2=3，y1+y2=（x1﹣3）+（x2﹣3）=（x1+x2）﹣=﹣．…（10分）由中点坐标公式AB中点横坐标为，纵坐标为﹣，∴所截线段的中点坐标为（，﹣）．…（12分）19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取AB中点，连接OC，OA1，∵CA=CB，AB=A1A，∠BAA1=60°∴OC⊥AB，OA1⊥AB，∵OC∩OA1=O，∴AB⊥平面OCA1，∵CA1⊂平面OCA1，∴AB⊥A1C；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，建立如图所示的坐标系，可得A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0），则=（1，0，），==（﹣1，，0），=（0，﹣，），设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos＜，＞=﹣，又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为：．20．（12分）正数数列{a n}的前n项和为S n，已知对于任意的n∈Z+，均有S n与1正的等比中项等于a n与1的等差中项．（1）试求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜．【解答】解：（1）由题意得：，故…①，又…②，②﹣①得：，整理得：（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣2）=0．由已知a n＞0，∴a n+1+a n＞0，故a n+1﹣a n﹣2=0，即a n+1﹣a n=2，所以数列{a n}为公差d=2的等差数列．又由可得：a1=1，∴a n=1+（n﹣1）•2=2n﹣1．（2）由题意可得，∴T n=b1+b2+…+b n=[1﹣+﹣+…+﹣=[1﹣]＜．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，E，F分别为PA，BD中点，PA=PD=AD=2．（Ⅰ）求证：EF∥平面PBC；（Ⅱ）求二面角E﹣DF﹣A的余弦值；（Ⅲ）在棱PC上是否存在一点G，使GF⊥平面EDF？若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由．【解答】（Ⅰ）作AB的中点H，连接EH，FH，∵在△PAB中，E，H为中点，∴EH∥PB，∵EH⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，∴EH∥平面PBC，同理可证明FH∥平面PBC，∵EH⊂平面EFH，FH⊂平面EFH，EH∩FH=H，∴平面EFH∥平面PBC，∵EF⊂平面EFH，∴EF∥平面PBC．（Ⅱ）做EI垂直AD于I，作IJ⊥DB=J，连接EJ，做AD中点O，连接OP，∵PA=PD，∴OP⊥AB，∵EI⊥AB，∴EI∥OP，∵E为中点，∴EI=OP=，AE=AB=，∵侧面PAD⊥底面ABCD，∴EI⊥底面ABCD，∵IJ⊥DB，∴EJ⊥DB，∴∠EJI为二面角E﹣DF﹣A的平面角，∵∠ADB=∠JIB，∠DJI=∠DAB=90°，∴△DJI∽△ADB，∴=，=，∴JI=∴EJ===，∴cos∠EJI===．即二面角E﹣DF﹣A的余弦值为．（Ⅲ）不存在．假设存在，连接AC，BD，交于点F，EF为平面EDF和平面PAC的交线，以O为原点，OA，OF，OP分别为xyz轴建立空间直角坐标系．则A（1，0，0），B（1，2，0），C（﹣1，2，0），D（﹣1，0，0），P（O，O，），E（，0，），F（0，1，0），设G（x1，y1，z1），则=（x1，1﹣y1，z1），设平面EFD的一个法向量是n=（x0，y0，z0），∵，即，令x0=1，则n=（1，﹣1，﹣），∵因为GF⊥面EDF，∴=λ，∴x1=λ，y1﹣1=﹣λ，z1=﹣λ，∵，共线，=（﹣1，2，﹣），=（x1+1，y1﹣2，z1），∴==，∴==，无解，故在棱PC上不存在一点G，故在棱PC上不存在一点G，使GF⊥平面EDF．22．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当点A的横坐标为3时，过点A作AG⊥x轴于G，A（3，），F（，0），，∴．∵△ADF为正三角形，∴．又∵，∴，∴p=2．∴C的方程为y2=4x．当D在焦点F的左侧时，．又|FD|=2|FG|=2（﹣3）=p﹣6，∵△ADF为正三角形，∴3+=p﹣6，解得p=18，∴C的方程为y2=36x．此时点D在x轴负半轴，不成立，舍．∴C的方程为y2=4x．（2）（ⅰ）设A（x1，y1），|FD|=|AF|=x1+1，∴D（x1+2，0），∴k AD=﹣．由直线l1∥l可设直线l1方程为，联立方程，消去x得①由l1和C有且只有一个公共点得△=64+32y1m=0，∴y1m=﹣2，这时方程①的解为，代入得x=m2，∴E（m2，2m）．点A的坐标可化为，直线AE方程为y﹣2m=（x﹣m2），即，∴，∴，∴，∴直线AE过定点（1，0）；（ⅱ）直线AB的方程为，即．联立方程，消去x得，∴，∴=，由（ⅰ）点E的坐标为，点E到直线AB的距离为：=，∴△ABE的面积=，当且仅当y1=±2时等号成立，∴△ABE的面积最小值为16．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征： PA Bl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为AB 的中点，F 为AC 上一动点，则EF +BF 的最小值为_________。