函数小结
八升九暑期预习——函数小结
第一讲函数第一部分平面直角坐标系与函数的认识1. (2019，河北)勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图(单位：km)．笔直铁路经过A，B两地．(1)A，B间的距离为km；(2)计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C 的距离相等，则C，D间的距离为km.2. (2013，河北)如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且AE＝EF＝FB＝5，DE＝12，动点P从点A出发，沿折线AD→DC→CB以每秒1个单位长度的速度运动到点B停止．设运动时间为t s，y＝S△EPF，则y关于t的函数图象大致是()A B C D3. (2011，河北)如图，在矩形中截取两个相同的圆柱的上、下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱．设矩形的长和宽分别为y和x，则y关于x的函数图象大致是(A)第3题图A B C D4. (2010，河北)一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地．已知轮船在静水中的速度为15 km/h，水流速度为5 km/h.轮船先从甲地顺水航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用时间为t(h)，航行的路程为s(km)，则s 关于t的函数图象大致是()A BC D平面直角坐标系与点的坐标特征例1 在平面直角坐标系中，将点A(－1，－2)向右平移3个单位长度得到点B，则点B 关于x轴的对称点B′的坐标为()A. (－3，－2)B. (2，2)C. (－2，2)D. (2，－2)针对训练1 (2019，邢台模拟)经过点M(4，－2)与点N(x，y)的直线平行于x轴，且点N 到y轴的距离等于5，则点N的坐标是)A. (5，2)或(－5，－2)B. (5，－2)或(－5，－2)C. (5，－2)或(－5，2)D. (5，－2)或(－2，－2)函数图象的判断与分析例2 (2019，唐山路南区三模)甲、乙两车间同时开始加工一批服装，从开始加工到加工完这批服装甲车间工作了9 h，乙车间在中途停工一段时间维修设备，然后按停工前的工作效率继续加工，直到与甲车间同时完成这批服装的加工任务为止．设甲、乙两车间各自加工服装的数量为y(件)，甲车间加工的时间为x(h)，y与x之间的函数图象如图所示，则下列结论错误的是()A. 甲车间每小时加工服装80件B. 这批服装的总件数为1 140件C. 乙车间每小时加工服装60件D. 乙车间维修设备用了4 h针对训练 2 (2019，北京模拟)如图①所示的为某立交桥示意图(道路宽度忽略不计)，A －F－G－J为高架，以O为圆心的圆盘B－C－D－E位于高架下方，其中AB，AF，CH，DI，EJ，GJ为直行道，且AB＝CH＝DI＝EJ，AF＝GJ，弯道FG是以点O为圆心的圆上的一段弧(立交桥的上下高度差忽略不计)，点B，C，D，E是圆盘O的四等分点．某日凌晨，甲、乙、丙、丁四辆车均以10 m/s的速度由A口驶入立交桥，并从出口驶出．若各车到圆心O的距离y(m)与从A口进入立交桥后的时间x(s)的对应关系如图②所示，则下列说法错误的是()训练2题图A. 甲车在立交桥上共行驶10 sB. 从I口出立交桥的车比从H口出立交桥的车多行驶30 mC. 丙、丁两车均从J口出立交桥D. 从J口出立交桥的两辆车在立交桥行驶的路程相差60 m函数自变量的取值范围例3 (2019，内江)在函数y＝1x＋3＋4－x中，自变量x的取值范围是()A. x＜4B. x≥4C. x＞4D. x≤4且x≠－3针对训练3 (2019，哈尔滨)在函数y＝3x2x－3中，自变量x的取值范围是（）.一、选择题1. (2019，东莞模拟)在平面直角坐标系中，点P(3，4)到原点的距离是()A. 3B. 4C. 5D. ±52. (2019，上海模拟)在平面直角坐标系中，若点A(－m，n)在第四象限，则点B(1－n，m)在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 若点A(a＋1，a－2)在第二、四象限的角平分线上，则点B(－a，1－a)在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4. 课间操时，小华、小军、小刚的位置如图所示，小军对小华说，如果我的位置用(0，－2)表示，小刚的位置用(2，0)表示，那么你的位置可以表示为()A. (－2，－3)B. (－3，－2)C. (－3，－4)D. (－4，－3)5. 已知点P(m－2，6－2m)在坐标轴上，则点P的坐标为()A. (2，0)B. (0，3)C. (0，2)或(1，0)D. (2，0)或(0，3)6. 若点M(3，－2)与点N(x，y)在同一条平行于x轴的直线上，且MN＝1，则点N的坐标为()A. (4，－2)B. (3，－1)C. (3，－1)或(3，－3)D. (4，－2)或(2，－2)7. (2019，包头)在函数y＝3x－2－x＋1中，自变量x的取值范围是()A. x＞－1B. x≥－1C. x＞－1且x≠2D. x≥－1且x≠28. (2019，重庆B)根据如图所示的程序计算函数y的值．若输入x的值是7，则输出y 的值是－2；若输入x的值是－8，则输出y的值是()A. 5B. 10C. 19D. 219. (2019，邯郸模拟)弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)之间有下面的关系：x/kg012345y/cm1010.51111.51212.5下列说法不正确的是()A. x与y都是变量，且x是自变量，y是x的函数B. 弹簧不挂重物时的长度为0 cmC. 所挂物体质量每增加1 kg，弹簧长度增加0.5 cmD. 所挂物体质量为7 kg时，弹簧长度为13.5 cm二、填空题10. 在平面直角坐标系中，点(－7，2m＋1)在第三象限，则m的取值范围是（）.11. 已知平面直角坐标系内不同的两点A(3a＋2，4)和B(3，2a＋2)到x轴的距离相等，则a的值为.三、解答题12. 如图，在正方形网格中，点A的坐标是(1，1)，点B的坐标是(2，0)．(1)依题意，在图中建立平面直角坐标系；(2)图中点C的坐标是(－1，－2)，点C关于x轴对称的点C′的坐标是；(3)若点D的坐标为(3，－1)，在图中标出点D的位置；(4)将点B向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，则所得的点B′的坐标是，△AB′C的面积为.13. 小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小玲开始跑步中途改为步行，到达图书馆恰好用30 min.小东骑自行车以300 m/min的速度直接回家，两人离家的路程y(m)与各自离开出发地的时间x(min)之间的函数图象如图所示．(1)家与图书馆之间的路程为m，小玲步行的速度为m/min；(2)求小东离家的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；(3)求两人相遇的时间．14. (2019，石家庄43中模拟)已知O为原点，点A(8，0)及在第一象限的动点P(x，y)，且x＋y＝8，设△OP A的面积为S.(1)求S关于x的函数解析式；(2)求x的取值范围；(3)当S＝12时，求点P的坐标；(4)画出函数S的图象．1. (2019，娄底)如图，在单位长度为1 m 的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2 m ，圆心角为120°的AB 多次复制并首尾连接而成．现有一点P 从点A (A 为坐标原点)出发，以每秒2π3m 的速度沿曲线向右运动，则在第2 019 s 时点P 的纵坐标为( )A. －2B. －1C. 0D. 12. (2019，郴州)若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数解析式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x （x ≤－1），|x －1|（x ＞－1）的图象与性质．x … －3 －52 －2 －32 －1 －120 12 1 32 2 52 3 … y…2345143232112121322…描点：在平面直角坐标系中，以自变量x 的取值为横坐标，以相应的函数值y 为纵坐标，描出相应的点，如图所示．第2题图(1)如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象； (2)研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：①点A (－5，y 1)，B ⎝⎛⎭⎫－72，y 2，C ⎝⎛⎭⎫x 1，52，D (x 2，6)在函数图象上，则y 1 y 2， x 1 x 2；(填“＞”“＜”或“＝”)②当函数值y ＝2时，求自变量x 的值；③在直线x ＝－1的右侧的函数图象上有两个不同的点P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，且y 3＝y 4，求x 3＋x 4的值；④若直线y ＝a 与函数图象有三个不同的交点，求a 的取值范围．第二部分 一次函数的图象和性质1. (2016，河北)若k ≠0，b ＜0，则y ＝kx ＋b 的图象可能是( )A B C D2. (2015，河北)如图，直线l ：y ＝－23x －3与直线y ＝a (a 为常数)的交点在第四象限，则a 可能在( )A. 1<a <2B. －2<a <0C. －3≤a ≤－2D. －10<a <－43. (2014，河北)如图，直线l 经过第二、三、四象限，直线l 的解析式是y ＝(m －2)x ＋n ，则m 的取值范围在数轴上的表示为( )A BC D4. (2011，河北)一次函数y ＝6x ＋1的图象不经过( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限一次函数的图象例1 (2019，辽阳)若ab＜0，且a＞b，则函数y＝ax＋b的图象可能是()A B C D针对训练1 (2019，承德模拟)一次函数y＝kx＋k的图象可能是()A B C D针对训练2 (2019，潍坊)当直线y＝(2－2k)x＋k－3经过第二、三、四象限时，k的取值范围是.一次函数的性质例2 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在直线y＝kx＋b上，且直线经过第一、二、四象限，当x1＜x2时，y1与y2的大小关系为.针对训练3 已知一次函数y＝kx－m－2x的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，则下列结论正确的是()A. k＜2，m＞0B. k＜2，m＜0C. k＞2，m＞0D. k＜0，m＜0一次函数解析式的确定例3 (2019，石家庄模拟)如图，已知点A，B，C，D的坐标分别为(－2，2)，(－2，1)，(3，1)，(3，2)．线段AD，AB，BC组成的图形为图形G，点P沿D→A→B→C移动，设点P移动的距离为s，直线l：y＝－x＋b过点P，且在点P移动过程中，直线l随P运动而运动．(1)若直线l过点D，求直线l的解析式；(2)当直线l 过点C 时，求s 的值；(3)①若直线l 与图形G 有一个交点，直接写出b 的取值范围； ②若直线l 与图形G 有两个交点，直接写出b 的取值范围．针对训练4 已知函数y ＝(2m ＋1)x ＋m －3. (1)若函数图象经过原点，求m 的值；(2)若函数的图象平行于直线y ＝3x －3，求m 的值；(3)若这个函数是一次函数，y 随x 的增大而增大，且图象不经过第二象限，求m 的取值范围．一次函数图象的平移例4 (2019，陕西)在平面直角坐标系中，将函数y ＝3x 的图象向上平移6个单位长度，则平移后的图象与x 轴的交点坐标为( )A. (2，0)B. (－2，0)C. (6，0)D. (－6，0)针对训练5 (2019，哈尔滨道外区三模)将直线y ＝2x ＋1沿x 轴向左平移1个单位长度，再沿y 轴向下平移1个单位长度后得到的直线的解析式为( )A. y ＝2x ＋2B. y ＝2x －2C. y ＝2x ＋1D. y ＝2x －1一次函数与一次方程(组)、一元一次不等式的关系例5 如图，一次函数y ＝－x －2与y ＝2x ＋m 的图象相交于点P (n ，－4)，则关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋m ＜－x －2，－x －2＜0的解集为 .针对训练6 如图，直线y ＝kx 与y ＝ax ＋4相交于点A (1，k )，则不等式kx －6＜ax ＋4＜kx 的解集为( )A. 1＜x ＜52B. 1＜x ＜3C. －52＜x ＜1D. 52＜x ＜3一、 选择题1. (2019，石家庄28中模拟)在函数y ＝－3x ＋4，y ＝74x ，y ＝1＋2x ，y ＝x 2＋2中，一次函数有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. (2019，石家庄桥西区模拟)下列各点在直线y ＝2x ＋6上的是( ) A. (－5，4) B. (－7，20) C. (－5，－4) D. (7，－20)3. (2019，保定曲阳县模拟)已知直线l 经过点A (4，0)，B (0，3)，则直线l 的解析式为( )A. y ＝－34x ＋3 B. y ＝3x ＋4 C. y ＝4x ＋3 D. y ＝－3x ＋34. (2019，石家庄43中模拟)已知y 与x －2成正比例，当x ＝1时，y ＝－2，则当x ＝3时，y 的值为( )A. 2B. －2C. 3D. －35. (2019，杭州)已知一次函数y 1＝ax ＋b 和y 2＝bx ＋a (a ≠b )，函数y 1和y 2的图象可能是( )A B C D6. 下列关于一次函数y ＝kx ＋b (k ＜0，b ＞0)的说法，错误的是( ) A. 图象经过第一、二、四象限 B. y 随x 的增大而减小 C. 图象与y 轴相交于点(0，b ) D. 当x ＞－bk 时，y ＞07. (2019，北京丰台区一模)函数y ＝kx ＋b 的图象如图所示，那么当y ＞0时，x 的取值范围是( )A. x ＞1B. x ＞2C. x ＜1D. x ＜28. (2019，唐山路南区模拟)已知一次函数y ＝－0.5x ＋2，当1≤x ≤4时，y 的最大值是( )A. 1.5B. 2C. 2.5D. －69. (2019，河北模拟)若一次函数y ＝ax ＋b (a ，b 为常数，且a ≠0)图象上的点满足下表，则方程ax ＋b ＝0的解是( )x －2 －1 0 1 2 3 y642－2－4A. x ＝1B. x ＝－1C. x ＝2D. x ＝3二、 填空题10. 在平面直角坐标系中，已知一次函数y ＝－2x ＋1的图象经过P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点．若x 1＜x 2，则y 1 y 2.(填“＞”“＜”或“＝”)11. (2019，上海模拟)如果关于x 的一次函数y ＝mx ＋(4m －2)的图象不经过第二象限，那么m 的取值范围是（ ）.12. 一次函数y ＝－32x ＋3的图象如图所示，当－3＜y ＜3时，x 的取值范围是13. 如图，一次函数y ＝ax ＋b 的图象与x 轴相交于点(2，0)，与y 轴相交于点(0，4)．结合图象可知，关于x 的方程ax ＋b ＝0的解是 .14. (2019，葫芦岛模拟)在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为(1，3)，(2，0)，直线y＝3x＋b与线段AB有公共点，则b的取值范围为.三、解答题15. (2019，石家庄43中模拟)已知一次函数y＝－2x－6.(1)画出函数的图象；(2)求图象与x轴、y轴的交点A，B的坐标；(3)求A，B两点间的距离；(4)求△AOB的面积；(5)利用图象求当x为何值时，y＞0.1. (2019，盐城)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x－1的图象分别交x轴、y 轴于点A，B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的解析式是（）.2. (2019，唐山路南区一模)如图，直线l1：y＝2x＋1分别与x轴、y轴相交于点D，A，直线l2：y＝mx＋4分别与x轴、y轴相交于点C，B，两直线相交于点P(1，b)．(1)求b，m的值；(2)求S△PDC－S△P AB的值；(3)垂直于x轴的直线x＝a与直线l1，l2分别相交于点M，N.若线段MN的长为2，求a 的值．第三部分 一次函数与几何图形1. (2018，河北)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝－12x ＋5的图象l 1分别与x ，y 轴相交于A ，B 两点，正比例函数的图象l 2与l 1相交于点C(m ，4)．(1)求m 的值及l 2的解析式； (2)求S △AOC －S △BOC 的值；(3)一次函数y ＝kx ＋1的图象为l 3，且l 1，l 2，l 3不能围成三角形，直接写出k 的值．2. (2017，河北)如图，在直角坐标系xOy 中，A(0，5)，直线x ＝－5与x 轴交于点D ，直线y ＝－38x －398与x 轴及直线x ＝－5分别交于点C ，E.点B ，E 关于x 轴对称，连接AB.(1)求点C ，E 的坐标及直线AB 的解析式；(2)设面积的和S ＝S △CDE ＋S 四边形ABDO ，求S 的值；(3)在求(2)中S 时，嘉淇有个想法：“将△CDE 沿x 轴翻折到△CDB 的位置，而△CDB 与四边形ABDO 拼接后可看成△AOC ，这样求S 便转化为直接求△AOC 的面积不更快捷吗？”但大家经反复验算，发现S △AOC ≠S ，请通过计算解释他的想法错在哪里．3. (2008，河北)如图，直线l 1的解析式为y ＝－3x ＋3，且l 1与x 轴相交于点D ，直线l 2经过点A ，B ，直线l 1，l 2相交于点C.(1)求点D 的坐标； (2)求直线l 2的解析式； (3)求△ADC 的面积；(4)在直线l 2上存在异于点C 的另一点P ，使得△ADP 与△ADC 的面积相等，请直接写出点P 的坐标．求b 的取值范围(平移)例1 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点是A(1，1)，B(3，1)，C(2，2)，当直线y ＝12x ＋b 与△ABC 有交点时，b 的取值范围是(B )A. －1≤b ≤1B. －12≤b ≤1C. －12≤b ≤12 D. －1≤b ≤12针对训练1 如图，正方形ABCD 的边长为2，BC 边在x 轴上，BC 的中点与原点O 重合，过定点M (－2，0)与动点P (0，t )的直线MP 记作l .(1)若l 的解析式为y ＝2x ＋4，判断此时点A 是否在直线l 上，并说明理由； (2)当直线l 与AD 边有公共点时，求t 的取值范围．求k 的取值范围(旋转)例2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，4)，B (3，0)，以AB 为边在第一象限内作正方形ABCD ，直线l ：y ＝kx ＋3.(1)当直线l 经过点D 时，求点D 的坐标及k 的值； (2)当直线l 与正方形有两个交点时，求k 的取值范围．针对训练2 如图，已知一次函数y ＝kx ＋3－2k (k ≠0)，A (－2，1)，C (－2，－3)，B (1， －3)．(1)求证：点M (2，3)在直线y ＝kx ＋3－2k (k ≠0)上；(2)当直线y ＝kx ＋3－2k (k ≠0)经过点C 时，P 是直线y ＝kx ＋3－2k (k ≠0)上一点．若S △CBP ＝2S △ABC ，求点P 的坐标；(3)当直线y ＝kx ＋3－2k (k ≠0)与△ABC 有公共点时，求k 的取值范围．一次函数与图形面积的问题例3 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点A (－2，6)，且与x 轴相交于点B ，与正比例函数y ＝3x 的图象相交于点C ，点C 的横坐标为1.(1)求k ，b 的值；(2)若点D 在y 轴的负半轴上，且满足S △COD ＝13S △BOC ，求点D 的坐标．针对训练3 如图，在平面直角坐标系中，已知点A (5，3)，点B (－3，3)，过点A 的直线y ＝12x ＋m (m 为常数)与直线x ＝1相交于点P ，与x 轴相交于点C ，直线BP 与x 轴相交于点D .(1) 求点P 的坐标；(2) 求直线BP 的解析式，并直接写出△PCD 与△P AB 的面积比；(3)若反比例函数y ＝kx (k 为常数，且k ≠0)的图象与线段BD 有公共点时，请直接写出k的最大值和最小值．一、 选择题 1. (2019，石家庄27中模拟)如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0，2)，△OAB 沿x 轴向右平移后得到△O ′A ′B ′，点A 的对应点A ′在直线y ＝23x 上，则点B 与其对应点B ′间的距离为( )A. 94B. 3C. 4D. 52. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点C 的坐标为(－1，0)，点B 的坐标为(0，2)，对角线AC ⊥x 轴，点A 在第二象限，直线y ＝－12x ＋5与x 轴、y 轴分别相交于点N ，M .将菱形ABCD 沿x 轴向右平移m 个单位长度，当点A 落在MN 上时，m 的值为( )A. 1B. 2C. 3D. 43. 在平面直角坐标系中，过点(1，2)作直线l .若直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则满足条件的直线l 的条数是( )A. 5B. 4C. 3D. 24.如图，直线l 的解析式为y ＝3x ＋3.若直线y ＝a 与直线l 的交点在第二象限，则a 的取值范围是( )A. 1＜a ＜2B. 3＜a ＜4C. －1＜a ＜0D. 0＜a ＜3 5. (2019，深圳福田区模拟)如图，在平面直角坐标系中，直线l 1：y ＝－24x ＋1与x 轴、y 轴分别相交于点A 和点B ，直线l 2：y ＝kx (k ≠0)与直线l 1在第一象限相交于点C .若∠BOC ＝∠BCO ，则k 的值为( )A.23 B. 22C. 2D. 2 2 6. 如图，直线y ＝23x ＋4与x 轴、y 轴分别相交于点A 和点B ，C ，D 分别为线段AB ，OB 的中点，P 为OA 上一动点．当PC ＋PD 的值最小时，点P 的坐标为( )A. (－3，0)B. (－6，0)C. ⎝⎛⎭⎫－32，0D. ⎝⎛⎭⎫－52，07. (2019，廊坊安次区二模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCD 的顶点A 的坐标为(2，0)，点B 的坐标为(0，1)，点C 的坐标为(2，2)．若直线y ＝kx ＋5＋2k (k ≠0)与菱形ABCD 有交点，则k 的取值范围是( )A. －23≤k ≤－14B. －2≤k ≤－23C. －2≤k ≤34 D. －2≤k ≤2且k ≠0二、 填空题8. (2019，营口一模)如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO 是正方形，点B 的坐标为(4，4)，直线y ＝mx －2恰好把正方形ABCO 的面积分成相等的两部分，则m ＝ .9. (2019，青岛模拟)有一种动画设计，屏幕上的长方形ABCD 是灰色区域(含长方形的边界)，如图所示，其中A (－1，1)，B (2，1)，C (2，2)，D (－1，2)．用信号枪沿直线y ＝kx －2发射信号，当信号遇到灰色区域时，区域便由灰变白，则能够使灰色区域变白的k 的取值范围是（ ）.10. (2019，长春模拟)如图，在平面直角坐标系中，点P (a ，1)在直线y ＝－2x ＋2与直线 y ＝－2x ＋4之间，则a 的取值范围是( ).11. 如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与x 轴、y 轴分别相交于A ，B 两点，⊙O 经过A ，B 两点．已知AB ＝2，则kb的值为( ).三、解答题12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A(－2，0)的直线交y轴正半轴于点B，将直线AB绕着点O顺时针旋转90°后，分别与x轴、y轴相交于点D，C.(1)若OB＝4，求直线AB的解析式；(2)连接BD，若△ABD的面积是5，求点B的运动路径长．13. 如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A(－6，0)的直线l1与直线l2：y＝2x相交于点B(m，4)．(1) 求直线l1的解析式；(2)直线l1与y轴相交于点M，求△AOM的面积；(3)过动点P(n，0)且垂直于x轴的直线与l1，l2的交点分别为C，D，当点C在点D 上方时，直接写出n的取值范围．1. (2019，包头一模)如图，已知点A 的坐标为(3，0)，直线y ＝kx ＋b (b ＞0)与直线y ＝x 平行，且与x 轴、y 轴分别交于点C ，B ，连接AB .若α＝75°，则直线y ＝kx ＋b 的解析式为.2. 如图，在平面直角坐标系中，直线l 1：y ＝12x 与直线l 2的交点A 的横坐标为2，将直线l 1沿y 轴向下平移4个单位长度，得到直线l 3 ，直线l 3与y 轴相交于点B ，与直线l 2相交于点C ，点C 的纵坐标为－2，直线l 2与y 轴相交于点D .求：(1)直线l 2的解析式；(2)△BDC 的面积．第四部分一次函数的实际应用1. (2019，河北)长为300 m的春游队伍，以v(m/s)的速度向东行进，如图①和图②，当队伍排尾行进到位置O时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为2v(m/s)，当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置O开始行进的时间为t(s)，排头与O的距离为s头(m)．①②第1题图(1)当v＝2时，解答：①求s头与t之间的函数关系式；(不写t的取值范围)②当甲赶到排头位置时，求s头的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为s甲(m)，求s甲与t之间的函数关系式；(不写t的取值范围)(2)设甲这次往返队伍的总时间为T(s)，求T与v之间的函数关系式(不写v的取值范围)，并写出队伍在此过程中行进的路程．2. (2015，河北)如图，水平放置的容器内原有210 mm高的水，将若干个球逐一放入该容器中，每放入一个大球水面就上升4 mm，每放入一个小球水面就上升3 mm，假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出．设水面高为y mm.(1)只放入大球，且个数为x大，求y关于x大的函数解析式；(不必写出x大的取值范围)(2)仅放入6个大球后，开始放入小球，且小球的个数为x小．①求y关于x小的函数解析式；(不必写出x小的取值范围)②限定水面高不超过260 mm，最多能放入几个小球？3. (2011，河北)已知A，B两地之间的路程为240 km.某经销商每天都要用汽车或火车将x t保鲜品一次性由A地运往B地．受各种因素限制，下一周只能采用汽车和火车中的一种进行运输，且须提前预订．现有货运收费项目及收费标准表、行驶路程s(km)与行驶时间t(h)的函数图象(如图①)、上周货运量折线统计图(如图②)等信息如下：货运收费项目及收费标准表运输工具运输费单价/[元/(t·km)]冷藏费单价/[元/(t·h)]固定费用/(元/次)汽车25200火车 1.65 2 280(1)汽车的速度为km/h，火车的速度为km/h；(2)设每天用汽车和火车运输的总费用分别为y汽(元)和y火(元)，分别求y汽，y火关于x 的函数解析式(不必写出x的取值范围)，及x为何值时y汽＞y火；(总费用＝运输费＋冷藏费＋固定费用)(3)请你从平均数、折线图走势两个角度分析，建议该经销商应提前为下一周预定哪种运输工具，才能使每天的运输总费用较省．图象型一次函数应用题例1 (2019，长春)已知A，B两地之间有一条270 km 长的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以60 km/h 的速度沿此公路从A地匀速开往B地，乙车从B地沿此公路匀速开往A地，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车相距的路程y(km)与甲车的行驶时间x(h)之间的函数关系如图所示．(1)乙车的速度为km/h，a＝，b＝；(2)求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式；(3)当甲车到达距B地70 km处时，求甲、乙两车之间的路程．针对训练1 (2019，大连)甲、乙两人沿同一条直路行走，如果两人分别从这条直路上的A，B两处同时出发，都以不变的速度相向而行．图①是甲离开A处后行走的路程y(单位：m)与行走的时间x(单位：min)之间的函数图象，图②是甲、乙两人之间的距离(单位：m)与甲行走时间x(单位：min)之间的函数图象，则a－b＝( ).表格型一次函数应用题例2 (2019，邯郸一模)某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店经营，了解到一种新型商品成本为20元/件，第x 天销售量为p 件，销售单价为q 元．经跟踪调查发现，这40天中p 与x 的关系保持不变，前20天(包含第20天)，q 与x 的关系满足关系式q ＝30＋ax ；从第21天到第40天中，q 是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与x 第x 天 10 21 35 q /(元/件)354535(1)a 的值为 ；(2)求从第21天到第40天中，q 与x 满足的关系式； (3)若该网店第x 天获得的利润为y 元，并且已知这40天里前20天中y 与x 的函数关系式为y ＝－12x 2＋15x ＋500.①这40天中p 与x 的关系式为 ； ②求这40天里该网店第几天获得的利润最大．针对训练2 (2019，威海)甲、乙施工队分别从两端修一段长度为380 m 的公路．在施工过程中，乙队曾因技术改进而停工一天，之后加快了施工进度并与甲队共同按期完成了修路任务．下表是根据每天工程进度制作而成的.施工时间/天 1 2 3 4 5 6 7 8 9 累计完成施工量/m3570105140160215270325380下列说法错误的是( ) A. 甲队每天修路20 m B. 乙队第一天修路15 mC. 乙队技术改进后每天修路35 mD. 前七天，甲、乙两队修路长度相等文字型一次函数应用题例3某公司在甲、乙两个仓库共存放某种原料450 t ．如果运出甲仓库所存原料的60%，乙仓库所存原料的40%，那么乙仓库剩余的原料比甲仓库剩余的原料多30 t.(1)求甲、乙两个仓库各存放原料多少吨；(2)现公司需将300 t原料运往工厂，从甲、乙两个仓库到工厂的运价分别为120元/t和100元/t.经协商，从甲仓库到工厂的运价可优惠a元/t(10≤a≤30)，从乙仓库到工厂的运价不变．设从甲仓库运m t原料到工厂，请求出总运费W关于m的函数解析式；(不要求写出m的取值范围)(3)在(2)的条件下，请根据函数的性质说明：随着m的增大，W的变化情况．针对训练3 实验室里有一个水平放置的长方体容器，从内部量得它的高是15 cm，底面的长是30 cm，宽是20 cm，容器内的水深为x cm.现往容器内放入如图所示的长方体实心铁块(铁块一面平放在容器底面)，过顶点A的三条棱的长分别10 cm，10 cm，y cm(y≤15)，当铁块的顶部高出水面2 cm时，x，y满足的关系式是( )．一、选择题1. 2017年某省财政收入比2016年增长8.9%，2018年比2017年增长9.5%.若2016年和2018年该省财政收入分别为a亿元和b亿元，则a，b之间满足的关系式为()A. b＝a(1＋8.9%＋9.5%)B. b＝a(1＋8.9%×9.5%)C. b＝a(1＋8.9%)(1＋9.5%)D. b＝a(1＋8.9%)2(1＋9.5%)2. 等腰三角形的周长为20 cm，底边长y cm与腰长x cm 之间的函数关系式是()A. y＝20－2xB. y＝20－2x(5＜x＜10)C. y＝10－0.5xD. y＝10－0.5x(10＜x＜20)3. (2019，聊城)某快递公司每天上午9：00—10：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y(件)与时间x(min)之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为()A. 9：15B. 9：20C. 9：25D. 9：304. 某工厂加工一批零件，为了提高工人工作的积极性，工厂规定每名工人每天薪金如下：生产的零件不超过a 件，则每件3元；超过a 件，超过部分每件b 元．如图所示的是一名工人一天获得薪金y (元)与其生产的零件数量x (件)之间的函数关系，则下列结论错误的是( )A. a ＝20B. b ＝4C. 若工人甲一天获得薪金180元，则他共生产零件50件D. 若工人乙一天生产零件m 件，则他获得薪金4m 元5. (2019，宜宾模拟)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝2，P 为BC 上的一点．设BP ＝x (0＜x ＜2)，则△APC 的面积S 与x 之间的函数关系式是( )A. S ＝12x 2 B. S ＝2x C. S ＝2(x －2) D. S ＝2(2－x )6. (2019，辽阳)一条公路旁依次有A ，B ，C 三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从A 村、B 村同时出发前往C 村，甲、乙之间的距离s (km)与骑行时间t (h)之间的函数关系如图所示，下列结论：①A ，B 两村相距10 km ； ②出发1.25 h 后两人相遇； ③甲每小时比乙多骑行8 km ；④相遇后，乙又骑行了15 min 或65 min 两人相距2 km. 其中正确的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 二、 填空题7. 某商户购进一批苹果到农贸市场零售．已知卖出的苹果数量x (kg)与收入y (元)的关系如下表：数量x /kg 1 2 3 4 5 … 收入y /元2＋0.14＋0.26＋0.38＋0.410＋0.5…则收入y (元)与卖出苹果数量x (kg)之间的函数关系式是y ＝ .8. (2019，重庆B)一天，小明从家出发匀速步行去学校上学．几分钟后，在家休假的爸爸发现小明忘带数学书，于是爸爸立即匀速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速原路跑回家．小明拿到书后以原速的54快步赶往学校，并在从家出发后23 min 到学校(小明被爸爸追上时交流时间忽略不计)．两人之间相距的路程y (m)与小明从家出发到学校的步行时间x (min)之间的函数关系如图所示，则小明家到学校的路程为 .三、 解答题9. 某新建小区要修一条1 050 m 长的路，甲、乙两个工程队都想承建这项工程．经了工程队 每天修路的 长度/m单独完成 所需天数每天所需 费用/元 甲队 30 n 600 乙队mn －141 160(1)甲队单独完成这项工程所需天数n ＝ ，乙队每天修路的长度m ＝ m ； (2)甲队先修了x m 之后，甲、乙两队一起修路，又用了y 天完成这项工程(其中x ，y 为正整数)．①当x ＝90时，求出乙队修路的天数；②求y 关于x 的函数解析式；(不用写出x 的取值范围)③若总费用不超过22 800元，求甲队至少要先修多少米．10. 小明放学后从学校回家，出发5 min 后，同桌小强发现小明的数学作业忘记拿了，他立即拿着数学作业按照同样的路线去追赶小明．小强出发10 min 后，小明才想起没拿数学作业，马上以原速原路返回，在途中与小强相遇．两人离学校的路程y (m)与小强所用时。
初二函数知识点总结
初二函数知识点总结初二函数知识点总结篇一一。
定义1、全等形：形状大小相同，能完全重合的两个图形。
2、全等三角形：能够完全重合的两个三角形。
二。
重点1、平移，翻折，旋转前后的图形全等。
2、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。
3、全等三角形的判定：SSS三边对应相等的两个三角形全等[边边边]SAS两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等[边角边]ASA两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等[角边角]AAS两个角和其中一个角的对边开业相等的两个三角形全等[边角边]HL斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等[斜边，直角边]4、角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
5、角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
初二函数知识点总结篇二一、函数：一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
二、自变量取值范围使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
一般从整式（取全体实数），分式（分母不为0）、二次根式（被开方数为非负数）、实际意义几方面考虑。
三、函数的三种表示法及其优缺点（1）关系式（解析）法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做关系式（解析）法。
（2）列表法把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。
（3）图象法用图象表示函数关系的。
方法叫做图象法。
四、由函数关系式画其图像的一般步骤（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。
五、正比例函数和一次函数1、正比例函数和一次函数的概念一般地，若两个变量x，y间的关系可以表示成（k，b为常数，k0)的形式，则称y是x 的一次函数(x为自变量，y为因变量）。
第一章 函数的极限与连续 小结
∆x →0
lim ∆y = 0 或 lim[ f ( x0 + ∆x) − f ( x0 )] = 0 ,
∆x → 0
则称函数 f ( x) 在点 x 0 连续， x 0 称为 f ( x) 的连续点。 或 设函数 f ( x) 在点 x 0 的某个邻域内有定义，若
x → x0
lim f ( x) = f ( x0 ) ，
六个常见的有界函数：
sin x ≤ 1, arcsin x ≤ arctan x <
cos x ≤ 1, (−∞, +∞); 0 ≤ arccos x ≤ π ,
可测函数小结
可测函数（一）可测函数的定义1、在可测函数定义的学习过程中，对于可测函数的表示：∀a∈R, 有{x |f(x) > a}可测，则f(x) 可测；用简单间函数列来表示：有简单函数列{φn},满足limφn = f (x) , 则f(x)可测；由鲁津定理得用连续函数逼近可测函数；n→∞通过本章可测函数的学习，要把这三种关系透彻理解、掌握。
2、简单函数的引入对于学习讨论可测函数、L积分都有重要的意义。
简单函数是常量函数、分段函数的进一步扩展。
通过简单函数，对可测函数及L 积分的讨论从简到繁、从特殊到一般过渡；要证明某个命题对于可测函数（或其一部分）成立，可先证明该命题对简单函数成立，再由极限过程过渡到一般可测函数。
3、可测函数列的等价条件。
（二）可测函数列的收敛性由L测度建立的L积分理论中，零测度集不影响函数的可积性和积分值。
实变函数中的L积分与数学分析中的R积分，有一个很重要的不同点，就是命题的成立引入了“几乎处处”的概念。
对于可测函数列的三种强度不等的收敛定义：几乎一致收敛、几乎处处收敛、依测度收敛，要理解其意义与作用及相互关系。
可测函数列{f n (x) }处处收敛与依测度收敛虽然有很大区别，但仍有密切联系，主要表现在于：（1）处收敛的函数列可能不是依测度收敛，依测度收敛的函数列仍右能不是处处收敛。
(x) }几乎处处收敛（2）若{f n (x) }依测度收敛f(x)，则必有子列{f ni于f (x)。
（3）几乎一致收敛函数列{f n(x)}一定依测度收敛于同一函数；反之，若{fn (x) }依测度收敛于f(x)，则存在子列几乎一致收敛函数f(x) 。
（三）函数可测与连续的关系——鲁津定理区间上的连续函数、单调函数、简单函数都是可测函数，所以可测函数类比连续函数类更广。
鲁津定理给出了连续函数与可测函数的关系，表明用连续函数可以“逼近”可测函数，从而用我们比较熟悉的连续函数去把握比较抽象的可测函数，在某些情况下可以适当地把可测函数转换为连续函数。
三角函数在解题中的应用小结
三角函数在解题中的应用小结三角函数是非常重要的基本初等函数，它是一种描述周期性现象的重要数学模型.函数是刻画客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律应当用不同的函数来刻画。
在数学和其它学科领域中具有重要的作用，它是学生在高中阶段学习的又一类重要的基本初等函数之一.通过对三角函数的定义及其性质的学习，体会三角函数在解决具有周期性变化规律问题中的作用。
将会进一步提升学生对函数概念的理解，提高用函数思想解决实际问题的能力。
一、三角函数的定义以及三角函数之间的关系（二）三角函数的定义1. 锐角三角函数的定义若在锐角（）的一边上任取一点，向另一边作垂线，垂足为，于是得,设的对边分别为,如图所示当a在上变化时函数的值将随之而变,它们均为角a的函数，统称为锐角a的三角函数。
2. 任意角的三角函数由于角的概念推广到了任意角，于是就必须给任意角的三角函数下定义,为了得到推广，我们不妨把这个几何问题转化为代数问题来解决。
在平面直角坐标系内，把任意角的顶点和坐标原点重合，角的始边在轴的非负半轴上，角的终边与单位圆的交点为，则叫做的正弦，记作，即。
叫做的余弦，记作,即.叫做的正切，记作，可以看出，当时，即的终边在y轴上，这时点p的横坐标,所以无意义。
除此之外，对于确定的角，上述三个值都是唯一确定的。
所以，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们把它们统成为三角函数。
由于角的集合与实数集之间可建立对应的关系，因此三角函数可以看作是自变量为实数(正切除终边在y轴上)的函数。
由相似三角形具有相似比，故角终边上任意一点，设p点到原点的距离为r()无论角的终边落在哪一个象限，根据点的坐标的定义x,y,r这三个实数都可以构造一个直角三角形。
又因有锐角三角函数的定义为基础，这三个实数的六个比值就定义了任意角的三角函数。
这样就把直角三角形中边的比转化为实数之比了.由于“距离”都是正的，即r>0，且而实数x,y是可正可负的，于是三角函数定义中的比值的正负就取决于角的终边所在的象限了。
高一函数小结(教师版)
（1） 当 y 2 0 即 y 0 时
x R 0
即： 4 y 2 4 y 2 3 y 7 0
2
9 解得 y 2 2
（2） 当 y 2 0 即 y 2 时 有 6 7 0 （舍去） 9 y 2 2
高一数学
函数总结
教师：谢焕钢
第二讲：函数的三性质 1、函数的单调性 定义： 一般地， 设函数 y=f(x)的定义域为 A， 区间 I A ， 如果对于区间 I 上的任意的两个值 x1 , x2 ， 当 x1 x2 时，都有
f ( x1 ) f ( x2 ) ，那么就说 y f ( x) 在区间 I 上是单调增函数， I 称为 f ( x) 的单
2
点为 k , h ） ；两根式： f ( x) a x x1 x x2 ，其中 x1 ， x2 为使 f(x)=0 成立的两根；一般式：
f ( x) ax 2 bx c ；
反比例函数可设成： f ( x)
k ） x
例：已知 f ( x) 为一次函数， f ( f ( x)) 4 x 3 求 f ( x) 的函数解析式。 （注：这里不仅要利用到待定 系数法，也要用到直接代入法） 解：令 f ( x) ax b 则 f ( f ( x)) a ax b b a 2 x ab b 4 x 3
练习：函数 A 到 B 的函数 f ( x ) : x 2 x 1 集合 A 1, 2,3 ， B 0,1, 2,3, 4,5,6 求 f ( x) 的值域。 B、配方法：求二次函数的值域（通常和函数图像一起来求解）
2 ) , 例如：已知函数 y x 2 2 x 3 分别求出下列区间上的值域， （1）x R ， （2） 、x [2 ] 3 ,1 [ （3） 、x
高中数学一次函数知识点小结
中学数学一次函数学问点小结中学数学一次函数学问点小结一、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。
特殊地，当b=0时，y是x的正比例函数。
即：y=kx(k为常数，k0)二、一次函数的性质：1.y的改变值与对应的x的改变值成正比例，比值为k即：y=kx+b(k为随意不为零的实数b取任何实数)2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质：1.作法与图形：通过如下3个步骤(1)列表;(2)描点;(3)连线，可以作出一次函数的图像一条直线。
因此，作一次函数的.图像只需知道2点，并连成直线即可。
(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)2.性质：(1)在一次函数上的随意一点P(x，y)，都满意等式：y=kx+b。
(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。
3.k，b与函数图像所在象限：当k0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;当k0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b0时，直线必通过一、二象限;当b=0时，直线通过原点当b0时，直线必通过三、四象限。
特殊地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。
这时，当k0时，直线只通过一、三象限;当k0时，直线只通过二、四象限。
四、确定一次函数的表达式：已知点A(x1，y1);B(x2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的表达式。
(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。
(2)因为在一次函数上的随意一点P(x，y)，都满意等式y=kx+b。
所以可以列出2个方程：y1=kx1+b①和y2=kx2+b②(3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。
(4)最终得到一次函数的表达式。
五、一次函数在生活中的应用：1.当时间t肯定，距离s是速度v的一次函数。
s=vt。
2.当水池抽水速度f肯定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。
高中数学函数对称性和周期性小结
高中数学函数对称性和周期性小结高中数学中，函数对称性和周期性是重要的概念。
它们在数学理论和实际应用中都扮演着重要的角色。
本文将对函数的对称性和周期性进行详细的介绍和总结。
首先，我们来讨论函数的对称性。
对称性是指函数在某种变换下具有保持不变的性质。
在数学中，常见的函数对称性有对称、反对称和轴对称等。
对称函数是一种在镜像变换下保持不变的函数。
对称函数的概念可以延伸到两种情况：关于y轴对称和关于原点对称。
关于y轴对称的函数满足 f(x) = f(-x)，这意味着函数的图像在y轴上对称。
而关于原点对称的函数满足 f(x) = -f(-x)，这意味着函数的图像在原点上对称。
常见的对称函数有偶函数和奇函数。
偶函数是指关于y轴对称的函数，即满足 f(x) = f(-x) 的函数。
这种函数的图像关于y轴对称，例如 y = x^2 就是一个典型的偶函数。
偶函数的特点是在定义域的对称位置的函数值相等。
对偶函数来说，如果f(x)在定义域内有定义，则f(-x)也在定义域内有定义。
偶函数的性质还包括：偶函数相加仍为偶函数，偶函数与任意常数先乘后加仍为偶函数，偶函数乘以奇函数得到奇函数。
奇函数是指关于原点对称的函数，即满足f(x) = -f(-x) 的函数。
这种函数的图像关于原点对称，例如 y = x^3 就是一个典型的奇函数。
奇函数的特点是在定义域的对称位置的函数值互为相反数。
对奇函数来说，如果f(x)在定义域内有定义，则f(-x)也在定义域内有定义。
奇函数的性质还包括：奇函数相加仍为奇函数，奇函数与偶函数相加得到一个新的函数，既不是偶函数也不是奇函数。
反对称函数是指既不关于y轴对称也不关于原点对称的函数，而是在镜像变换下呈现一种特殊的关系。
即满足 f(x) = -f(-x)的函数。
这种函数的图像在关于y轴和原点的对称位置的函数值互为相反数。
例如 y = x 就是一个典型的反对称函数。
其次，我们来讨论函数的周期性。
周期性是指函数在某个特定的区间内，满足一个特定的周期性关系。
关于积分上限函数的小结
关于积分上限函数积分上限函数（或变上限定积分）()()xa F x f t dt =⎰的自变量是上限变量x ，在求导时，是关于x 求导，但在求积分时，则把x 看作常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变动。
弄清上限变量和积分变量的区别是对积分限函数进行正确运算的前提。
1． 关于积分上限函数的理论定理1 如果)(x f 在],[b a 上可积，则⎰=xa dt t f x F )()(在],[b a 上连续.定理2 如果)(x f 在],[b a 上连续，则⎰=xadt t f x F )()(在],[b a 上可导，且).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='⎰ 注：（Ⅰ）从以上两个定理可看出，对)(x f 作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。
这是积分上限函数的良好性质。
而我们知道，可导函数)(x f 经过求导后，其导函数)(x f '甚至不一定是连续的。
（Ⅱ）定理（2）也称为原函数存在定理。
它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。
我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。
定理（2）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。
推论1)(])([x f dt t f dx d bx -=⎰ 推论2)()]([])([)(x x f dt t f dxd x c ϕϕϕ'=⎰推论3)()]([)()]([])([)()(x x f x x f dt t f dxd x x ϕϕψψψϕ'-'=⎰2． 积分限函数的几种变式（1） 比如 ⎰-=xdt t f t x x F 0)()()((被积函数中含x , 但x 可提到积分号外面来.)在求)(x F '时，先将右端化为⎰⎰⎰⎰-=-xxxxdt t tf dt t f x dt t tf dt t xf 0)()()()(的形式，再对x 求导。
关于积分上限函数的小结
关于积分上限函数积分上限函数（或变上限定积分）()()xa F x f t dt =⎰的自变量是上限变量x ，在求导时，是关于x 求导，但在求积分时，则把x 看作常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变动。
弄清上限变量和积分变量的区别是对积分限函数进行正确运算的前提。
1． 关于积分上限函数的理论定理1 如果)(x f 在],[b a 上可积，则⎰=xa dt t f x F )()(在],[b a 上连续.定理 2 如果)(x f 在],[b a 上连续，则⎰=xadt t f x F )()(在],[b a 上可导，且).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='⎰ 注：（Ⅰ）从以上两个定理可看出，对)(x f 作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。
这是积分上限函数的良好性质。
而我们知道，可导函数)(x f 经过求导后，其导函数)(x f '甚至不一定是连续的。
（Ⅱ）定理（2）也称为原函数存在定理。
它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。
我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。
定理（2）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。
推论1 )(])([x f dt t f dx d bx -=⎰推论2 )()]([])([)(x x f dt t f dxd x c ϕϕϕ'=⎰推论3 )()]([)()]([])([)()(x x f x x f dt t f dx d x x ϕϕψψψϕ'-'=⎰2． 积分限函数的几种变式（1） 比如 ⎰-=xdtt f t x x F 0)()()((被积函数中含x , 但x 可提到积分号外面来.)在求)(x F '时，先将右端化为⎰⎰⎰⎰-=-xxxxdt t tf dt t f x dt t tf dt t xf 0)()()()(的形式，再对x 求导。
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课堂教学设计授课时间：10、21教案序号：
知识网络归纳：
见必修1、76页
二．本章注意问题及解题方法：
1、函数、映射、一一映射之间的联系。
2、相同函数的判定方法：（1）定义域相同（2）对应法则相同
3、函数定义域的求法：列使函数有意义的自变量的不等式，求解即可求得函数的定义域。
常涉及到的依据为（1）分母不为0；（2）偶次根式中被开方数不小于0；（3）零指数幂的底数不等于0；（4）对数的真数大于0，底数大于0且不等于1；（5）实际问题要考虑实际意义。
（6）复合函数定义域。
4、函数值域的求法：（1）观察法（2）配方法（3）判别式法（4）换元法（5）分离常数法（6）解不等式法（7）函数单调性法（8）图象法
5、函数解析式的求法：（1）定义法（2）待定系数法（3）换元法（4）配楱法（5）解方程组法（6）赋值法。
6、单调性的判定方法：（1）定义法取值-----作差----变形整理-----定号-----下结论
（2）复合函数单调性的判断。
7、奇偶性的判定方法：（1）看定义域是否关于原点对称-------判断f(-x)与+(-)f(x)的相等或不等。
（2）图象是否关于原点（y轴）对称
8、解决应用题的步骤：审题-----设未知量---建立数学模型------解答----回归实际。
9、一次和二次函数图象与性质及解析式的求解。
10、函数零点即函数图象与x轴交点的横坐标即相应方程的实数根。
11、求变号零点的近似值应用二分法。
三、专题综合讲解：
（一）函数与映射的定义及函数的表示方法。
如：77页1、2、3、4、5、7、8、19
（二）函数三要素的研究：定义域、值域、解析式
如：78页6、9、10、11、15、17；79页1、（2）（3）2、3、4、5
（三）函数单调性的研究：
如：78页12、20；79页1、（4）
（四）函数奇偶性的研究：
如：78页16、18、21；79页1、（1）
（五）函数应用
如：79页23、24、；80页6
（六）函数与方程-------零点、二分法
如：78页13、14；79页22、1、（5）。