高一必修一基本初等函数知识点总结归纳
高一数学必修一第二章基本初等函数知识点总结
在 R 上是减函数
函数值的 变化情况
a 变化对
图象的影 响
y＞1(x ＞ 0), y=1(x=0), 0 ＜ y＜1(x ＜ 0)
y＞ 1(x ＜ 0), y=1(x=0), 0 ＜ y＜ 1(x ＞ 0)
在第一象限内， a 越大图象越高，越靠近 y 轴； 在第一象限内， a 越小图象越高，越靠近 y 轴； 在第二象限内， a 越大图象越低，越靠近 x 轴． 在第二象限内， a 越小图象越低，越靠近 x 轴．
y
f ( x) 中反解出 x
1
f ( y) ；
③将 x f 1( y ) 改写成 y f 1 ( x) ，并注明反函数的定义域．
（ 8）反函数的性质
①原函数 y
f (x) 与反函数 y
1
f ( x) 的图象关于直线 y
x 对称．
②函数 y f ( x) 的定义域、值域分别是其反函数 y f 1 (x ) 的值域、定义域． ③若 P(a,b) 在原函数 y f (x ) 的图象上，则 P' (b, a) 在反函数 y f 1(x ) 的图象上．
③根式的性质： (n a )n a ；当 n 为奇数时， n an
a ；当 n 为偶数时， n an | a |
a (a 0)
．
a (a 0)
（ 2）分数指数幂的概念
m
①正数的正分数指数幂的意义是： a n n a m (a 0, m, n N , 且 n 1) ． 0 的正分数指数幂等于 0．②正数的负分数
设一元二次方程 ax 2 bx c 0( a 0) 的两实根为 x1, x2 ，且 x1 x2 ．令 f ( x) ax 2 bx c ，从以下四个方
面来分析此类问题：①开口方向： a ②对称轴位置： x
高中数学必修一基本初等函数知识点与典型例题总结
( a ,c ( 0 ,1 ) U ( 1 , ) ,b 0 )
c
2) 对数恒等式
a lo g a N N ( a 0 且 a 1 , N 0 )
3) 四个重要推论
①logabllggabllnnab; ②logamNnm nlogaN;
③logablog1ba;
④ lo g ab lo g bc lo g ac.
由f x是奇函数,图像关于原点对称.
所以f x在( ,- a )是增函数,
在(- a ,0)是减函数.
综上,函数 f x x a(a>0)的单调
区间是
x f x在(- a ,0),(0, a )是减函数.
在( ,- a ),( a ,+)是增函数,
单调区间的分界点为: a的平方根
5.函数f x x a (a>0)的值域
①找不到证明问题的切入口．如第(1)问，很 多考生不知道求其定义域．
②不能正确进行分类讨论．若对数或指数的 底数中含有参数，一般要进行分类讨论.
一般地，函数 y x x 是 自 变 量 ， 是 常 数
叫做幂函数
y
y x, y x2, y x3,
1
y x2, y x1
的图象.
O
x
幂函数的性质
当x1x2 >a时,由x1,x2是任意的,知x1,x2可 无限接近.而x1,x2在同一个区间取值, 知x1,x2 ( a,+)时,x1x2 >a都成立. 此时,f(x2 )>f (x1). 所以x ( a,+)时,f(x)是增函数.
同时可知,x (0, a )时,f(x)是减函数.
⑵. 当x∈ (-∞,0)时,确定某单调区间
基本初等函数知识点
基本初等函数知识点一、函数的定义和性质函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素对应到另一个集合中的唯一元素。
函数通常用f(x)表示，其中x是自变量，f(x)是因变量。
函数有以下性质：1. 定义域和值域：函数的定义域是所有可输入的自变量的集合，值域是所有对应的因变量的集合。
2. 奇偶性：一个函数可以是奇函数或偶函数，奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。
3. 单调性：函数可以是单调递增或单调递减的。
单调递增函数满足当x1小于x2时，f(x1)小于f(x2)；单调递减函数则相反。
二、常见的基本初等函数1. 幂函数：指数函数是形如y=x^n的函数，其中n是一个实数。
根据n的不同取值，幂函数可以分为多种情况，如正幂函数、负幂函数、倒数函数等。
2. 指数函数：指数函数是以指数为自变量的函数，常见的指数函数有以e为底的自然指数函数（y=e^x）和以10为底的常用对数函数（y=log(x)）。
3. 对数函数：对数函数是指以某个正实数为底的函数，常见的对数函数有以e为底的自然对数函数（y=ln(x)）和以10为底的常用对数函数。
4. 三角函数：三角函数是以角度或弧度为自变量的函数，常见的三角函数有正弦函数（y=sin(x)）、余弦函数（y=cos(x)）、正切函数（y=tan(x)）等。
5. 反三角函数：反三角函数是三角函数的逆函数，常见的反三角函数有反正弦函数（y=arcsin(x)）、反余弦函数（y=arccos(x)）、反正切函数（y=arctan(x)）等。
三、基本初等函数的图像和性质1. 幂函数的图像与性质：平方函数（y=x^2）的图像是一个开口上的抛物线，立方函数（y=x^3）的图像则是一个S形曲线。
幂函数的性质与指数n的奇偶性、正负有关。
2. 指数函数的图像与性质：自然指数函数（y=e^x）具有递增的特点，其图像是一条通过原点且向上增长的曲线。
常用对数函数（y=log(x)）的图像则是一条斜率逐渐减小的曲线。
高中数学必修一知识点归纳
高中数学必修一知识点归纳一、函数的概念与性质1. 函数的定义- 函数：从一个数集A（定义域）到另一个数集B（值域）的映射。
- 函数的表示：f(x) = y，其中x∈A，y∈B。
2. 函数的性质- 单调性：函数值随自变量增加而增加或减少。
- 奇偶性：f(-x) = f(x)（偶函数），f(-x) = -f(x)（奇函数）。
- 周期性：存在最小正数T，使得f(x+T) = f(x)。
- 有界性：函数的值在某个范围内。
3. 函数的图像- 坐标轴：x轴和y轴。
- 函数图像：表示函数关系的图形。
二、基本初等函数1. 幂函数- 定义：f(x) = x^n，n为实数。
- 性质：正整数幂、负整数幂、分数幂。
2. 指数函数- 定义：f(x) = a^x，a>0且a≠1。
- 性质：增长速度、指数律。
3. 对数函数- 定义：f(x) = log_a(x)，a>0且a≠1。
- 性质：对数律、换底公式。
4. 三角函数- 正弦、余弦、正切函数：sin(x), cos(x), tan(x)。
- 性质：周期性、奇偶性、最值。
三、函数的运算1. 函数的四则运算- 加法、减法、乘法、除法。
2. 复合函数- 定义：f(g(x))。
- 性质：复合函数的值域。
3. 反函数- 定义：f(x)的反函数为g(x)，满足f(g(x)) = x。
- 求法：通过解方程。
四、方程与不等式1. 一元一次方程- 解法：移项、合并同类项、系数化为1。
2. 一元二次方程- 解法：因式分解、配方法、公式法、图像法。
3. 不等式- 解法：移项、合并同类项、系数化为1。
- 性质：不等式的基本性质。
五、数列的概念与表示1. 数列的定义- 数列：按照一定顺序排列的一列数。
2. 等差数列- 定义：相邻两项之差为常数的数列。
- 通项公式：an = a1 + (n-1)d。
3. 等比数列- 定义：相邻两项之比为常数的数列。
- 通项公式：an = a1 * q^(n-1)。
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高一必修一函数知识点（12.1）〖1.1〗指数函数（1）根式的概念叫做根指数，叫做被开方数．n a ②当为奇数时，为任意实数；当为偶数时，．n a n 0a ≥③根式的性质：；当；当为偶数时，．na =n a =n (0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：且．0的正分数指数幂等于0．0,,,mnaa m n N +=>∈1)n >②正数的负分数指数幂的意义是：且．0的负分数指数幂没有意1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈1)n >义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质① ② ③(0,,)rs r s aa a a r s R +⋅=>∈()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈（4）指数函数例：比较〖1.2〗对数函数（1）对数的定义①若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数．(0,1)xaN a a =>≠且x a N log a xN =a N②对数式与指数式的互化：．log (0,1,0)x a xN a N a a N =⇔=>≠>（2）常用对数与自然对数：常用对数：，即；自然对数：，即（其中…）．lg N 10log N ln N log e N 2.71828e =（3）几个重要的对数恒等式: ，，．log 10a =log 1a a =log b a a b =（4）对数的运算性质 如果，那么0,1,0,0aa M N >≠>>①加法： ②减法：log log log ()a a a M N MN +=log log log a a aMM N N-=③数乘： ④log log ()naa n M M n R =∈log a NaN=⑤ ⑥换底公式：log log (0,)b na a n M Mb n R b=≠∈log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且（5）对数函数函数值的变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<变化对图a 象的影响在第一象限内，越大图象越靠低，越靠近xa 轴在第四象限内，越大图象越靠高，越靠近y a 轴在第一象限内，越小图象越靠低，越靠近x 轴a 在第四象限内，越小图象越靠高，越靠近y 轴a (6) 反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式中反解出；()y f x =1()x f y -=③将改写成，并注明反函数的定义域．1()xf y -=1()y f x -=（7）反函数的性质①原函数与反函数的图象关于直线对称．()y f x =1()y f x -=y x =即，若在原函数的图象上，则在反函数的图象上．(,)P a b ()y f x ='(,)P b a 1()y f x -=②函数的定义域、值域分别是其反函数()y f x =的值域、定义域．1()y f x -=〖1.3〗幂函数（1）幂函数的图象(需要知道x=,1,2,3与y=的图121x 像)（2）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．②过定点：图象都通过点．(1,1)〖1.4〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：②顶点式： ③两根式：（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．③若已知抛物线与轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求更方便．x ()f x （3）二次函数图象的性质2线，对称轴方程为 ，顶点坐标是 。
必修一_基本初等函数_知识点讲解
基本初等函数第一讲 幂函数1、幂函数的定义一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数.如11234,,y x y x y x -===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.注意：y x α=中，前面的系数为1，且没有常数项2、幂函数的图像（1）y x = （2）12y x = （3）2y x = （4）1y x -= （5）3y x =3、幂函数的性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：11x=）；（2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；（3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．分数指数幂概念 有理指数幂运算性质(0,,)r s r s a a a a r s Q +=>∈；()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈(0,,*,1)a m n N n >∈>且 ()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =>>∈第二讲 指数函数1、指数（1）n 次方根的定义若x n =a ，则称x 为a 的n 次方根，“n”是方根的记号.在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根.（2）方根的性质①当n 为奇数时，n n a =a . ②当n 为偶数时，n n a =|a |=⎩⎨⎧<-≥).0(),0(a aa a（3）分数指数幂的意义①a nm =n m a （a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）. ②an m -=nm a1=nma1（a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）.2、指数函数的定义一般地，函数xy a =（a ＞0且a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R . 说明：因为a ＞0，x 是任意一个实数时，xa 是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R .n mnm a a=nmn m nm aa a1＝=-000,0xx a a x a ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩x当时,等于若当时,无意义若a ＜0，如1(2),,8xy x x =-=1先时,对于=等等,6在实数范围内的函数值不存在. 若a =1, 11,xy == 是一个常量， 5,,3,31x x x a y x y y +===+1xx为常数,象y=2-3,y=2等等, 不符合(01)x y a a a =>≠且的形式,所以不是指数函数.3、 指数函数的图像及其性质（1）底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y 轴对称.（2）在[,]x a b f x a 上,()=（a ＞0且a ≠1）值域是[(),()][(),()];f a f b f b f a 或 （3）若0,x f x f x x ≠≠∈则()1;()取遍所有正数当且仅当R;（4）对于指数函数()xf x a =（a ＞0且a ≠1），总有(1);f a =（5）当a ＞1时，若1x ＜2x ，则1()f x ＜2()f x ；第三讲 对数函数1、 对数（1）对数的概念一般地，若(0,1)xa N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =a 叫做对数的底数，N 叫做真数.如：24416,2log 16==则，读作2是以4为底，16的对数. 1242=，则41log 22=，读作12是以4为底2的对数. （2）指数式与对数式的关系：a b =N ⇔log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.（3）对数运算性质:①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a NM =log a M －log a N . ③log a M n=n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ④对数换底公式：log b N =bNa a log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）. （4）两类对数① 以10为底的对数称为常用对数，10log N 常记为lg N .② 以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数，log e N 常记为ln N .以后解题时，在没有指出对数的底的情况下，都是指常用对数，如100的对数等于2，即lg1002=.2、对数函数的概念一般地，我们把函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 3、对数函数的图象及其性质a <11))底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称.。
高中数学必修一基本初等函数知识点+练习题含答案解析(非常详细)
第一部分基本初等函数知识点整理第二章 基本初等函数一、指数函数 （一）指数1、 指数与指数幂的运算：复习初中整数指数幂的运算性质： a m *a n =a m+n(a m )n=a mn(a*b)n =a n b n2、根式的概念：一般地，若a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *．当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数。
此时，a 的n 次方根用符号 表示。
当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数。
此时正数a 的正的n 次方根用符号 表示，负的n 的次方根用符号 表示。
正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成 （a>0）。
注意：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n。
当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a nn 式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数。
3、 分数指数幂正数的分数指数幂的)1,,,0(*>∈>=n N n m a a an m nm ，)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aanmnm nm0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义4、 有理数指数米的运算性质（1）r a ·s r ra a+=),,0(R s r a ∈>； （2）rss r a a =)( ),,0(R s r a ∈>；（3）s r r a a ab =)(),,0(R s r a ∈>．5、无理数指数幂一般的，无理数指数幂a a（a>0,a 是无理数）是一个确定的实数。
有理数指数幂的运算性质同样使用于无理数指数幂。
（二）、指数函数的性质及其特点1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．为什么？（1）在[a ，b]上，值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [；（2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； （4）当a>1时，若X 1<X 2 ,则有f(X 1)<f(X 2)。
高中数学必修一基本初等函数小结与复习
（M，N＞0） （M，N＞0） （M＞0）
③logaMn=n logaM
logbN 7、对数的换底公式：logaN= log a b
n= n log b 重要推论： logab·logba=1， loga b m a m
8、 以10为底的对数叫做常用对数。 以e为底的对数叫做自然对数
m
1 an
n
（a≠0，n∈N）
（a＞0，n＞1，m、n∈N）
④正分数指数幂：a
n
= √
m
am 1 am
n
⑤负分数指数幂：a－ 2、幂的运算法则：
n
=
√
（a＞0，n＞1，m、n∈N）
①am．an=am＋n
③（am）n=amn
② am÷an=am－n
④（ab）m=ambm
（a≠0）
3、对数：如果ab=N，那么b叫做以a为底N的对数， 记为b=logaN。 ab=N b=logaN。（a＞0且 a≠1） logaN 4、对数恒等式：a = N（a＞0且a≠1，N＞0） 5、对数的性质：①0和负数没有对数；②loga1=0； ③logaa=1。 6、对数的运算法则： ①loga (MN)= logaM＋ logaN ② loga
2
x 1
( x 1), 对任意1 x1 x2 , 有
所以f ( x)在(1， +)上为增函数.
x 1 1 x (3)设g ( x) log 1 ( ) , 2 x 1 2 1 x 又因为y ( ) 在［3,4］上是减函数， 2 x 1 1 x 所以g ( x) log 1 ( ) 在［3,4］上是增函数. 2 x 1 2 9 所以g ( x) min g (3) . 8 1 x 又因为f ( x)>( ) m恒成立即g ( x) m恒成立， 2 9 9 所以m , 即所求m的取值范围是( ， ). 8 8
高一必修一基本初等函数知识点总结归纳
高一必修一函数知识点（12.１）〖1.１〗指数函数（1)根式的概念n 叫做根指数，a 叫做被开方数.②当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥． ③根式的性质:n a =;当n 为奇数时a =;当n 为偶数时(0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（２)分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是:0,,,m naa m n N +=>∈且1)n >.0的正分数指数幂等于０．②正数的负分数指数幂的意义是: 1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义.注意口诀:底数取倒数，指数取相反数． (３）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈(4）指数函数例:比较〖1.２〗对数函数（1）对数的定义①若(0,1)xaN a a =>≠且,则x 叫做以a 为底N 的对数,记作log a xN =,其中a 叫做底数，N叫做真数．②对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a xN a N a a N =⇔=>≠>.（２）常用对数与自然对数：常用对数：lg N ，即10log N ;自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…)．(３)几个重要的对数恒等式: log 10a =,log 1a a =,log b a a b =.(4）对数的运算性质 如果0,1,0,0aa M N >≠>>,那么①加法:log log log ()a a a M N MN +=②减法:log log log aa aM M N N-=③数乘：log log ()naa n M M n R =∈④log a NaN =⑤log log (0,)b na a n M Mb n R b=≠∈ ⑥换底公式:log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且 （５)对数函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低,越靠近ｘ轴 在第四象限内，a 越大图象越靠高，越靠近y 轴 在第一象限内,a 越小图象越靠低，越靠近x 轴在第四象限内,a 越小图象越靠高,越靠近ｙ轴(6) 反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域;②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()xf y -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域.（7)反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称.即，若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上.②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域．〖1.３〗幂函数(1)幂函数的图象(需要知道x=,1，2，3与y=的图像）(2)幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象．②过定点:图象都通过点(1,1).〖1.４〗二次函数(1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式： ②顶点式： ③两根式:（2)求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式. ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便.（3）二次函数图象的性质 ①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,顶点坐标是 。
高一数学 基本初等函数
基本初等函数一、知识梳理1.指数与对数的概念b a ＝N N b a log =⇔（a ＞0，a ≠1）2.指数与对数的性质 指数运算性质①r a a a a sr sr,0(>=⋅+、∈s Q ），②r a aa sr s r ,0()(>=⋅、∈s Q ），③∈>>⋅=⋅r b a b a b a rrr ,0,0()( Q ） （注）上述性质对r 、∈s R 均适用. 对数运算性质①log MN a ＝log N M a a log + ②log N M NMa a alog log -= ③M n M a na log log =（M 、N ＞0, a ＞0, a ≠1）推广：M mnMa na m log log =④换底公式：aNN b b a log log log =（a ，b ＞0，a ≠1，b ≠1）3.指数函数、对数函数的概念形如y ＝x a （a ＞0且a ≠1，x ＞0）叫做指数函数（exponential function ），其中x 是自变量，函数的定义域为R .形如y ＝x a log （a ＞0且a ≠1，x ＞0）的函数，叫做对数函数（logarithmic function ）.（1） 指数函数、对数函数的定义是一个形式定义，注意指数函数与幂函数的区别； （2） 注意底数的取值范围.4.指数函数、对数函数的图像和性质（略）.5.幂函数（1）幂函数定义：一般地，形如αx y =()R α∈的函数称为幂函数，其中α为常数.（2）幂函数性质：① 所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；②0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数.特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；③0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数.在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴.二、方法归纳1.解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域；2.指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1还是小于1，要注意对底数的讨论；3.比较几个数（幂或对数值）的大小的常用方法有：①以0和1为桥梁；②利用函数的单调性；③作差.4.指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径.三、典型例题精讲【例1】比较下列各数的大小：3312122,15lg ,53,25lg ,53,35.0log ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛ 解析：∵35.0log 2＜0 ，其他各数都大于零，故35.0log 2最小；又∵10lg ＝1，100lg ＝2， ∴ 1＜15lg ＜25lg ＜2＜32＝8，对于2153⎪⎭⎫⎝⎛与3153⎪⎭⎫ ⎝⎛ ，首先，它们都属于区间（0,1），且是同底的幂，考虑函数y ＝x⎪⎭⎫ ⎝⎛53 为减函数，∴2153⎪⎭⎫ ⎝⎛＜3153⎪⎭⎫ ⎝⎛.于是有331212225lg 15lg 535335.0log <<<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛<.又例:比较下列各组数的大小：（1）7.06，67.0，6log 7.0；（2）7.0log 1.1，7.0log 2.1 解析：（1）∵7.06＞1， 0＜67.0＜1，6log 7.0＜0 ，∴6log 7.0＜67.0＜7.06.（2）∵1.1log 17.0log 7.01.1=，2.1log 17.0log 7.02.1=.又函数y ＝x 7.0log 为减函数，∴ 0＞1.1log 7.0＞2.1log 7.0.∴7.0log 1.1＜7.0log 2.1.再例：当０＜a ＜b ＜1，下列不等式正确的有（ ） A.()()bba a ->-111 B.()()bab a +>+11C.()()211bba a ->- D.()()bab a ->-11解析：∵0＜()b -1＜()a -1＜1，又函数y ＝xb )1(- 为减函数，y ＝a x 在（0,1）上为增函数， ∴()bb -1＜()ab -1＜()aa -1，故选D.技巧提示：利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性，同时充分利用0和1为桥梁，能使比较大小的问题得到解决.【例2】已知函数y ＝122-+x x a a （a ＞0，a ≠1）在区间[－1，1]上的最大值为14，求a 的值.解析：∵y ＝2)1(2-+x a ＝2)1(2-+u ，又11≤≤-x ，当a ＞1时，],1[a au ∈，1-≥u ，2)1(2-+u 为u 的增函数. ∴函数的最大值为)(5312142舍或-==⇒-+=a a a a 当0＜a ＜1时，]1,[aa u ∈，1-≥u ，2)1(2-+u 为u 的增函数.∴函数的最大值为舍）或(51311121142-==⇒-⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a a综上得，331==a a 或. 技巧提示：指数函数与二次函数的复合函数，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径 又例：已知)(x f ＝)32(log 24x x -+.求 （1）)(x f 的单调区间；（2）求函数)(x f 的最大值及对应的x 的值.解析：（1）由0322>-+x x ，得)(x f 的定义域为)3,1(-，记u ＝232x x -+＝－（x －1）2＋4，对称轴为x ＝1.∴)(x f 的增区间为（－1，1】，减为区间【1，3）. （2）∵u ＝－（x －1）2＋4≤4，∴当x ＝1 时有最大值y ＝1.【例3】函数12311-⎪⎭⎫⎝⎛-=x y 的定义域是（ ）A.),21[+∞B.]21,(-∞ C.),(+∞-∞ D.]1,(-∞解析：由 031112≥⎪⎭⎫⎝⎛--x ，得13112≤⎪⎭⎫⎝⎛-x ，即012)31(31≤⎪⎭⎫⎝⎛-x ， 由x)31( 为减函数，∴012≥-x .故所求定义域为21≥x .选A. 技巧提示：这里充分利用指数函数的单调性，通过解简单的指数不等式得到所求定义域.同样，可以充分利用对数函数的单调性，通过解简单的对数不等式得到某些问题的解.又例：若132log <a，则a 的取值范围是 . 解析：由 132log <a，即 a a a log 32log <， 当a ＞１时，x a log 是增函数，于是 32>a ，∴a ＞１. 当０＜a ＜１时，x a log 是减函数，于是 32<a ，∴０＜a ＜32. 综上可知a 的取值范围是a ＞１或０＜a ＜32. 再例：解不等式 0)1)(2(log 2221<+--x x xb ab a（a ＞0，b ＞0）.解析：由0)1)(2(log 2221<+--x x xb ab a，得xxxb ab a22)(2--＞0，即0122>-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛xxb a b a . ∴21+>⎪⎭⎫ ⎝⎛xb a 或21-<⎪⎭⎫⎝⎛xb a （舍去）.当a ＞b 时, )21(log +>ba x ； 当a ＜b 时，)21(log +<ba x ；当a ＝b 时，不等式无解.【例4】函数)2(log 221x x y +-=的单调递增区间是 .解析：由022>+-x x ，得20<<x ，而函数22)1(12--=+-=x x x u ， 即u 在)1,0(上是增函数，在)2,1(上是减函数.又u y 21log =是减函数，∴)2(log 221x x y +-=单调递增区间是)2,1(.技巧提示：对于复合函数的单调性，一要注意在定义域内研究问题；二是对组成复合函数的每一个函数的单调性作出判断；最后根据复合函数的单调性原则做出结论.又例：求函数93221-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y 的单调递减区间.解析：显然93221-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y 的定义域是R .设932-+-=x x u ，则427)23(2---=x u . ∴932-+-=x x u 的单调递增区间为)23,(-∞有93221-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y ＝u⎪⎭⎫⎝⎛21是u 的减函数， ∴93221-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y 的单调递减区间为)23,(-∞.再例：已知a ＞0且a ≠1,函数x x f a log )(=在定义域[2,3]上的最大值比最小值大1 ,则a 的值为 .解析：由题意，有12log 3log =-a a ，即 123log ±=a，∴a ＝32，23.【例5】当a ＞1时，证明函数)(x f ＝11-+x x a a 是奇函数.解析：由x a －1≠0得x ≠0.故函数定义域｛x ｜x ≠0｝是关于原点对称的点集.又)(x f -＝1111)1()1(11-+-=-+=-+=-+----xx xx x x x x x x a a a a a a a a a a ，=-)(x f －11-+x x a a ， ∴)(x f -＝－)(x f .所以函数)(x f ＝11-+x x a a 是奇函数.技巧提示：对于指数形式的复合函数的奇偶性的证明，在判定)(x f -与)(x f 关系时，也可采用如下等价证法.1)()()()(=-⇔=-x f x f x f x f （)(x f ≠０），1)()()()(-=-⇔-=-x f x f x f x f （)(x f ≠０）. 如本题可另证如下：∵=-)()(x f x f 11111x x x x x x x x a a a a a a a a ----+--⋅==--+-，即)(x f -＝－)(x f ， ∴所以函数)(x f ＝11-+x x a a 是奇函数.又例：设a 是实数，)(x f ＝a －122+x（x ∈R ） （1）试证明对于任意a ，)(x f 为增函数； （2）试确定a 值，使)(x f 为奇函数. 解析：（1）设1x ，2x ∈R ，且1x ＜2x ，则)()(21x f x f -＝（)122()12221+--+-x x a a )12)(12()22(2122122212112++-=+-+=x x x x x x 由于指数函数x y 2=在R 上是增函数，且1x ＜2x ，所以12x ＜22x ，即12x －22x＜0， 又由2x ＞0得12x＋1＞0，22x＋1＞0，所以)()(21x f x f -＜0.即)()(21x f x f <. 因为此结论与a 取值无关，所以对于a 取任意实数，)(x f 为增函数. （2）若)(x f 为奇函数，则)(x f -＝－)(x f ，即22()2121x x a a --=--++，变形得：12)12(21222)12(222++=++⋅+⋅=-xx x x x x a ，解得a ＝1.所以当a ＝1时，)(x f 为奇函数.【例6】已知0＜x ＜1，a ＞0，a ≠1，比较)1(log x a -和)1(log x a +的大小.解析：方法一：当a ＞1时，)1(log x a -－)1(log x a +＝－)1(log x a -－)1(log x a +＝－)1(log 2x a -＞0，∴)1(log x a -＞)1(log x a +.当0＜a ＜1时，)1(log x a -－)1(log x a +＝)1(log x a -+)1(log x a +＝)1(log 2x a -＞0，∴)1(log x a -＞)1(log x a +.综上所述，在题设条件下，总有)1(log x a -＞)1(log x a +.方法二：∵)1(log )1(log x x a a +-＝)1(log )1(x x -+＝)1(log )1(x x --+＝xx -+11log )1( ＝2)1(11log xxx -++＞)1(log )1(x x ++＝1. ∴)1(log x a -＞)1(log x a +.技巧提示：比较大小通常采取作差－变形－判定符号.如果比较两个正数的大小时，亦可采取作商－变形－与“1”比较的办法.又例：解不等式)1(log )3(log 238+>++x x x解析：原不等式可化为⎪⎩⎪⎨⎧+>++>+>++333)1(30103x x x x x x ， 即等价于⎩⎨⎧<-+>+0223012x x x ，即⎪⎩⎪⎨⎧+-<<--->3713711x x ，解得：3711+-<<-x ， 所以原不等式的解集为｛x ︱3711+-<<-x ｝. 【例7】（1）已知a =3log 2，b =7log 3，用a ，b 表示56log 42；（2）已知,6log ,3log ,2log ===c b a x x x 求x abc log 的值.解析：（1）56log 42＝42lg 56lg ＝,3lg 2lg 7lg 2lg 37lg +++ 又 ∵,3lg 2lg ,3lg 7lg 3lg 7lg ,2lg 3lg ab b a ==⇒== ∴56log 42＝131133lg 3lg 3lg 3lg 33lg +++=+++=+++a ab ab ab a b a b a b . （2）∵a ＝2x ，b ＝63,x c x =，∴111log log 11==x x x abc . 技巧提示：掌握对数与指数的运算性质，是本部分的基本要求.尽管近几年高考中很少直接考查对数与指数的运算，但由于指数函数与对数函数几乎是必考内容，不能熟练的进行对数与指数的运算，会影响解题技巧的把握，至少会影响解题速度.又例：判断下列函数的奇偶性（1）)(x f ＝1212+-x x ；（2）)(x g ＝x1－)1ln(2++x x . 解析:（1）)(121221212)12(2)12(1212)(x f x f x x x x x x x x x x -=+--=+-=+-=++=-----，∴)(x f 为奇函数.（2）--=+-x x g x g 1)()()1ln(2++-x x ＋x1－)1ln(2++x x ＝－)]1)(1ln[(22++++-x x x x ＝－1ln ＝0.∴)(x g 为奇函数.四、课后训练1.已知732log [log (log )]0x =，那么12x -等于（ ）A.132.函数2lg 11y x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图像关于（ ） A.x 轴对称 B.y 轴对称 C.原点对称 D.直线y x =对称3.函数(21)log x y -= ）A.()2,11,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭B.()1,11,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C.2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭ D.1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭4.函数212log (617)y x x =-+的值域是（ ） A.R B.[)8,+∞ C.(],3-∞- D.[)3,+∞5.下列函数中，在()0,2上为增函数的是（ ）A.12log (1)y x =+ B.2log y =C.21log y x = D.2log (45)y x x =-+ 6.已知|1|log )(+=x x g a )1,0(≠>a a 在()10-，上有()0g x >，则1()x f x a +=是（ ）A.在(),0-∞上是增加的B.在(),0-∞上是减少的C.在(),1-∞-上是增加的D.在(),1-∞-上是减少的 7.函数xa x f )1()(2-=是减函数，则实数a 的取值范围是 . 8.计算=+⋅+3log 22450lg 2lg 5lg .9.已知11log )(--=x mxx f a 是奇函数 （其中)1,0≠>a a ， （1）求m 的值；（2）讨论)(x f 的单调性； （3）求)(x f 的反函数)(1x f-；（4）当)(x f 定义域区间为)2,1(-a 时，)(x f 的值域为),1(+∞，求a 的值. 10.对于函数)32(log )(221+-=ax x x f ，解答下述问题：（1）若函数的定义域为R ，求实数a 的取值范围； （2）若函数的值域为R ，求实数a 的取值范围； （3）若函数在),1[+∞-内有意义，求实数a 的取值范围；（4）若函数的定义域为),3()1,(+∞-∞ ，求实数a 的值； （5）若函数的值域为]1,(--∞，求实数a 的值； （6）若函数在]1,(-∞内为增函数，求实数a 的取值范围.五、参考答案1.C.2.C.3.A.4.C.5.D.6.C.7.)2,1()1,2( --8.109.解析：（1）011log 11log 11log )()(222=--=--+--+=+-x x m x mx x mx x f x f a a a对定义域内的任意x 恒成立，∴10)1(11122222±=⇒=-⇒=--m x m xx m ， 当1m =，()f x 无意义，舍去， 1-=∴m ，（2）∵11log )(-+=x x x f a， ∴ 定义域为),1()1,(+∞--∞ ， 而)121(log 11log )(-+=-+=x x x x f a a， ①当1>a 时，)(x f 在),1()1,(+∞--∞与上都是减函数； ②当10<<a 时，)(x f 在),1()1,(+∞--∞与上都是增函数；（3）111)1(1111log -+=⇒+=-⇒-+=⇒-+=y y y y y a a a x a x a x x a x x y ， ∵ 001≠≠-y a y，，∴ )10,0(11)(1≠>≠-+=-a a x a a x f xx 且. （4）)2,1()(,3,21->∴-<<a x f a a x 在 上为减函数，∴命题等价于1)2(=-a f ，即014131log 2=+-⇒=--a a a a a ， 解得32+=a .10.解析：记2223)(32)(a a x ax x x g u -+-=+-==，（1）R x u ∈>对0 恒成立，33032min <<-⇒>-=∴a a u ，∴a 的取值范围是)3,3(-；（2）这是一个较难理解的问题。
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C. f(2)> f( )>f( ) D.f( )>f( )>f(2)
10．(湖南)函数 的图象和函数 的图象的交点个数是
A．4B．3C．2D．1
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上．
11．(上海)函数 的定义域是．
③数乘： ④
⑤ ⑥换底公式：
（5）对数函数
函数名称
对数函数
定义
函数 且 叫做对数函数
图象
定义域
值域
过定点
图象过定点 ，即当 时， ．
奇偶性
非奇非偶
单调性
在 上是增函数
在 上是减函数
函数值的
变化情况
变化对图象的影响
在第一象限内， 越大图象越靠低，越靠近x轴
在第四象限内， 越大图象越靠高，越靠近y轴
在第一象限内， 越小图象越靠低，越靠近x轴
A．奇函数非偶函数B．偶函数非奇函数
C．奇函数且偶函数D．非奇非偶函数
2. 已知函数f（x）=ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么g（x）=ax3＋bx2＋cx是( ）
A.奇函数B.偶函数
C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数
3.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在 上是减函数，
且f(2)=0，则使得f(x)<0的x的取值范围是()
在 上是减函数
函数值的
变化情况
y＞1(x＞0), y=1(x=0), 0＜y＜1(x＜0)
y＞1(x＜0), y=1(x=0), 0＜y＜1(x＞0)
变化对
图象的影
响
在第一象限内， 越大图象越高，越靠近y轴；
在第二象限内， 越大图象越低，越靠近x轴．
在第一象限内， 越小图象越高，越靠近y轴；
在第二象限内， 越小图象越低，越靠近x轴．
在第四象限内， 越小图象越靠高，越靠近y轴
(6)反函数的求法
①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式 中反解出 ；
③将 改写成 ，并注明反函数的定义域．
（7）反函数的性质
①原函数 与反函数 的图象关于直线 对称．
即，若 在原函数 的图象上，则 在反函数 的图象上．
②函数 的定义域、值域分别是其反函数 的值域、定义域．
12. 当x [－1, 1]时，函数f(x)=3x－2的值域为.
13. (全国Ⅰ)函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，则 ．
14．(湖南) 若 ， ，则 .
15. (四川) 若函数 （ 是自然对数的底数）的最大值是 ，且 是偶函数，则 ________.
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
函数基本性质——奇偶性知识点及经典例题
一、函数奇偶性的概念：
①设函数 的定义域为 ，如果对 内的任意一个 ，都有 ，
且 ，则这个函数叫奇函数。
（如果已知函数是奇函数，当函数的定义域中有0时，我们可以得出 ）
②设函数 的定义域为 ，如果对 内的任意一个 ，都有 ，
若 ，则这个函数叫偶函数。
从定义我们可以看出，讨论一个函数的奇、偶性应先对函数的定义域进行判断，看其定义域是否关于原点对称。也就是说当 在其定义域内时， 也应在其定义域内有意义。
例：比较
〖〗对数函数
（1）对数的定义
①若 ，则 叫做以 为底 的对数，记作 ，其中 叫做底数， 叫做真数．
②对数式与指数式的互化： ．
（2）常用对数与自然对数：常用对数： ，即 ；自然对数： ，即 （其中 …）．
（3）几个重要的对数恒等式: ， ， ．
（4）对数的运算性质 如果 ，那么
①加法： ②减法：
A． B．
C． lg(a+b)=lga·lgb D．lne=1
2. 已知 ，则
A. 3 B. 9 C. –3 D.
3．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是
A. B. C. D.
5.把函数y=ax(0<a<1)的反函数的图象向右平移一个单位得到的函数图象大致是
（A） （B） （C） （D）
高一必修一基本初等函数知识点总结归纳
高一必修一函数知识点（）
〖〗指数函数
（1）根式的概念
① 叫做根式，这里 叫做根指数， 叫做被开方数．
②当 为奇数时， 为任意实数；当 为偶数时， ．
③根式的性质： ；当 为奇数时， ；当 为偶数时， ．
（2）分数指数幂的概念
①正数的正分数指数幂的意义是： 且 ．0的正分数指数幂等于0．
A.(-?,2)B.(2,+?)C.(-?,-2)?(2,+?)D.(-2,2)
答案：ADA
二、函数的奇偶性与图象间的关系：
①偶函数的图象关于 轴成轴对称，反之也成立；
②奇函数的图象关于原点成中心对称，反之也成立。
三、关于函数奇偶性的几个结论：
①若 是奇函数且在 处有意义，则
②偶函数 偶函数=偶函数；奇函数 奇函数=奇函数；
16. (本小题满分12分)
（1）指数函数y=f(x)的图象过点(2，4)，求f(4)的值；
③图像特征
如果一个函数是奇函数 这个函数的图象图象关于 轴对称。
④复合函数的奇偶性：同偶异奇。
⑤对概念的理解：
(1)必要条件：定义域关于原点成中心对称。
(2) 与 的关系：
当 或 或 时为偶函数；
当 或 或 时为奇函数。
例题：
1．函数f（x）=x(-1﹤x≦1)的奇偶性是（ ）
偶函数 偶函数=偶函数；奇函数 奇函数=偶函数；
偶函数 奇函数=奇函数
③奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，
偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性.
第二章 基本初等函数
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列计算中正确的是
②正数的负分数指数幂的意义是： 且 ．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．
（3）分数指数幂的运算性质
① ② ③
（4）指数函数
函数名称
指数函数
定义
函数 且 叫做指数函数
图象
定义域
值域
（0,+∞）
过定点
图象过定点（0,1），即当x=0时，y=1．
奇偶性
非奇非偶
单调性
在 上是增函数
A． B． C． D．
6. 若a、b是任意实数，且 ，则
A． B． C． D．
7．（山东）设 ，则使函数 的定义域为R且为奇函数的所有 值为
A． ， B． ， C． ， D． ， ，
8．(全国Ⅰ)设 ，函数 在区间 上的最大值与最小值之差为 ，
则
A． B． C． D．
9. 已知f(x)=|lgx|，则f( )、f( )、f(2) 大小关系为