农大概率论课件
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东北林业大学概率课件
三、事件间的关系
首先声明，下面的讨论均在同一个样本空间中进行． 1．事件的包含与相等 如果事件A发生必然导致事件B发生，即A的每个样本点都 是B的样本点，则称B包含A，记作 ．从事件的集合表 示看，事件B包含事件A就是样本空间的子集B包含子集A， 如图1.1（a）
(a)
如果 A B ，同时 B A ，则称事件A和事件B相等， 记为A=B，即，A与B含有相同的样本点
一、引言
自然界和社会上发生的现象 是多种多样的。
有一类事在一定的条件下 必然发生(或不发生),例如 向上抛一石子必然下落。
而另一类则在观测之前无法 预知确切结果,即呈现出 不确定型.
即可能发生也可能不发生，这类现象在自然 界和日常生活中十分普遍，比如，抛一枚硬币， 可能出现有国徽的一面，也可能出现有数字的一 面；掷一颗骰子，可能会出现‘1’点，也可能不 出现‘1’点而出现其它点数；随便走到一个有交 通灯的十字路口，可能会遇到红灯，也可能会遇 到绿灯或黄灯. 但人们长期观测发现这类现象在大量重复实 验和观察下却呈现出某种规律型即统计规律性 概率论和数理统计就是研究和揭示随机现象统计 规律性的一门学科
(b )
3．差事件
定义事件A与B的差事件为 “A-B=A发生且B不发生”=“A与 B 同时发生”， 即，差事件 A-B 是由在A中但不在B中的所有样本 点组成的新事件，是子集A与B的差集,如图1.2(c) 所示. 由定义或借助于集合观点易知，差事件满足关系： （1） A B AB A (AB) ， （2） A A ， （3） ( A B) B A B .
3．事件的互逆
如果事件A和B中必有一个发生但又不可能同时发 生，则称A与B是互逆（Mutually Inverse）或对 立的，称B为A的逆事件（或对立事件），记 作 B A ．两个事件A与B互逆就是样本空间两个子 集A与B互补，A的逆事件 B A 就是A的补集，如 图1.1（c）所示.
农大概率论课件 (8)
散型 r.v.。
1、联合分布列定义与性质 定义 设 ( X ,Y ) 的所有可能的取值为
( xi , y j ), i, j 1,2,
则称
P( X xi ,Y y j ) pij , i, j 1,2,
为二维 r.v.( X ,Y ) 的联合分布列.
( X ,Y ) 的联合分布列
Y
X
y1
例 设 (X ,Y ) ~ G 上的均匀分布,
G (x, y) 0 y x,0 x 1
求 (1) p ( x, y ); (2) P ( Y > X 2 )。
解 (1)
f
(x,
y)
2, 0,
0 y x,0 x 1 其他
y
(2) P(Y X 2 )
1
x
1
dx 2dy
0
x2
1/ 3 .
(1,1), (2,1), (2,2), (3,1),
(3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4) .
由乘法公式，得：
PX i,Y j P{Y j | X i}P{X i}
1 1 ,i 1,2,3,4, j i. i4
X Y1
1
1 4
20
30
40
则称( X ,Y ) 为二维连续型 r.v. p (x, y) 为( X ,Y ) 的联合密度函数.
注1: 在 p(x, y)的连续点处
2F p(x, y) xy
注2: 若G 是平面上可度量的区域，则
P (X ,Y ) G p(x, y)dxdy
2、联合密度的性质
G
(1)非负性 p(x, y) 0
(2)正则性
p(x, y)dxdy 1
1、联合分布列定义与性质 定义 设 ( X ,Y ) 的所有可能的取值为
( xi , y j ), i, j 1,2,
则称
P( X xi ,Y y j ) pij , i, j 1,2,
为二维 r.v.( X ,Y ) 的联合分布列.
( X ,Y ) 的联合分布列
Y
X
y1
例 设 (X ,Y ) ~ G 上的均匀分布,
G (x, y) 0 y x,0 x 1
求 (1) p ( x, y ); (2) P ( Y > X 2 )。
解 (1)
f
(x,
y)
2, 0,
0 y x,0 x 1 其他
y
(2) P(Y X 2 )
1
x
1
dx 2dy
0
x2
1/ 3 .
(1,1), (2,1), (2,2), (3,1),
(3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4) .
由乘法公式，得：
PX i,Y j P{Y j | X i}P{X i}
1 1 ,i 1,2,3,4, j i. i4
X Y1
1
1 4
20
30
40
则称( X ,Y ) 为二维连续型 r.v. p (x, y) 为( X ,Y ) 的联合密度函数.
注1: 在 p(x, y)的连续点处
2F p(x, y) xy
注2: 若G 是平面上可度量的区域，则
P (X ,Y ) G p(x, y)dxdy
2、联合密度的性质
G
(1)非负性 p(x, y) 0
(2)正则性
p(x, y)dxdy 1
东北林业大学概率课件
一般地，随机变量X取值的概率称为该随机变量 取值的概率称为该随机变量X 一般地，随机变量 取值的概率称为该随机变量 的概率分布．要研究随机变量X的概率分布 的概率分布， 的概率分布．要研究随机变量 的概率分布，我们 就要完成如下两件事： 就要完成如下两件事： 1．随机变量的取值范围是什么？ ．随机变量的取值范围是什么？ 2．它取每个值或在某个范围内取值的概率是多 ． 少？ 按随机变量的取值特征常把随机变量分为如下两 种形式：离散型随机变量和非离散型随机变量， 种形式：离散型随机变量和非离散型随机变量，非 离散型随机变量中最主要的是连续型随机变量， 离散型随机变量中最主要的是连续型随机变量，我 们将分别讨论它们的概率分布． 们将分别讨论它们的概率分布．
第二章 一维随机变量及其分布
在第一章里，我们研究了随机事件及其概率， 在第一章里，我们研究了随机事件及其概率，建 立了概率论中的一些基本概念， 立了概率论中的一些基本概念，通过随机事件的概 率计算使我们初步了解了如何定量描述和研究随机 现象及其统计规律的基本方法．然而实际中由一个 现象及其统计规律的基本方法． 随机试验导出的随机事件是多种多样的，因此， 随机试验导出的随机事件是多种多样的，因此，想 通过随机事件概率的计算来达到了解随机现象的规 律性显得很不方便． 律性显得很不方便． 本章，我们将引进概率论中的一个重要概念— 本章，我们将引进概率论中的一个重要概念 随机变量． 随机变量．随机变量的引进是概率论发展史上的
பைடு நூலகம்
重大事件， 重大事件，它使概率论的研究从随机事件转变为随 机变量，使随机试验的结果数量化， 机变量，使随机试验的结果数量化，这有利于我们 用分析的方法来研究随机现象的统计规律． 用分析的方法来研究随机现象的统计规律． 本章我们将介绍随机变量的概念、 本章我们将介绍随机变量的概念、随机变量的分 布及一些常见的典型分布， 布及一些常见的典型分布，给出分布函数的概念及 计算，最后给出随机变量函数的分布． 计算，最后给出随机变量函数的分布．
概率论第一章ppt课件
i1
i1
13
3. 积（交）事件 : 事件A与事件B同时发生，记
作 AB 或AB。
推广：n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作
n
n
A1A2…An或 A i 或 A i
i1
i1
14
4. 差事件： A－B称为A与B的差事件, 表示事件 A发生而事件B不发生
15
5. 互不相容事件（也称互斥的事件）： 即事件 A与事件B不能同时发生。AB＝ 。
A 1 “: 至少有一人命中目标 A 2 “: 恰有一人命中目标” A 3 “: 恰有两人命中目标” A 4 “: 最多有一人命中目标 A 5 “: 三人均命中目标” A 6 “: 三人均未命中目标”
”:
ABC
: ABCABCABC
: AC BABC ABC
”: BCACAB
:
ABC
:
ABC
21
小结
P Ak
k 1
k
k 1 k!
e
1 e
．
本题可采用另外一种解法． A A0 { 该地一年内
未发生交通事故} ，于是
P(A) 1 P(A) 1 P( A0) 1 e ．
33
小结
• 本节课主要讲授： 1.概率的统计定义； 2.概率的公理化定义； 3.概率的性质（重点）。
34
§1.3 古典概型与几何概型
验，简称试验。随机试验常用E表示。
7
1.1.3 随机事件与样本空间
❖样本空间: 试验的所有可能结果所组成的集合称为 试验E的样本空间, 记为Ω. ❖样本点: 试验的每一个可能出现的结果（样本空 间中的元素）称为试验E的一个样本点, 记为ω.
8
例1-2：
概率论第一章PPT课件
2021/3/24
-
10
费尔马的解法
费尔马注意到，如果继续赌下去，最多只要再赌4轮便可 决出胜负，如果用“甲”表示甲方胜，用“乙”表示乙方胜， 那么最后4轮的结果，不外乎以下16种排列。
甲甲甲甲 甲甲甲乙 甲甲乙甲 甲乙甲甲 乙甲甲甲 乙甲甲乙
甲甲乙乙 甲乙甲乙 甲乙乙甲 乙乙甲甲 乙甲乙甲
甲乙乙乙 乙甲乙乙 乙乙甲乙 乙乙乙甲 乙乙乙乙
2021/3/24
-
8
直到1654年，一位经验丰富的法国赌徒默勒以自己的 亲身经历向帕斯卡请教“赌金分配问题“，求助其对这种现 象作出解释，引起了这位法国天才数学家的兴趣，帕斯卡接 受了这些问题，但他没有立即去解决它，而是把它交给另一 位法国数学家费尔马。之后，他们频频通信，互相交流，围 绕着赌博中的数学问题开始了深入细致的研究。这些问题后 来被来到巴黎的荷兰科学家惠更斯获悉，回荷兰后，他也开 始就这方面展开研究。
若每次试验中，事件A与事件B不能同时发生， 即A∩B= 。则称事件A与事件B互斥或互不相 容。
有时，我们也称满足以上三个特点的试验为随机 试验。
2021/3/24
-
20
§1.1.2 样本空间 随机事件
一、样本空间
随机试验E的所有可能的结果组成的集合称为E的 样本空间，记为Ω。Ω的每个元素，即Ω的每一个可能 的结果，称为E的一个样本点或基本事件。
指的是基本 结果
2021/3/24
样本点
-
21
特征：条件不能完全决定结果。
确定性现象与随机现象的共同特点是事物本身的含 义确定。随机现象与模糊现象的共同特点是不确定性， 随机现象的不确定性是指试验的结果不确定，而模糊现 象的不确定性有两层含义，一是指事物本身的定义不确 定，二是结果不确定。
大农类概率论CH1第1节 随机试验
实例3 抛掷一枚骰子,观 察出现的点数.
结果有可能为:
1, 2, 3, 4, 5 或 6.
实例4 从一批含有正品 和次品的产品中任意抽取 一个产品.
实例5 过马路交叉口时, 可能遇上各种颜色的交通 指挥灯.
其结果可能为: 正品 、次品.
实例6 出生的婴儿可 能是男,也可能是女.
实例7 明天的天气可 能是晴 , 也可能是多云 或雨.
验(3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会
出现.
4. 考察某地区 10 月 份的平均气温.
5. 从一批灯泡中任取 一只,测试其寿命.
四、小结
1. 概率论是研究随机现象规律性的一门数学学科.
随机现象的特征: 条件不能完全决定结果.
2. 随机现象是通过随机试验来研究的.
随 机 试
(1) 可以在相同的条件下重复地进行; (先2)明每确次试试验验的的所可有能可结能果结不果止;一个, 并且能事
分析
(1) 试验可以在相同的条件下重复地进行;
(2) 试验的所有可能结果: 字面、花面;
(3) 进行一次试验之前不能 确定哪一个结果会出现.
故为随机试验.
同理可知下列试验都为随机试验.
1. 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.
2. 从一批产品中,依次任选三件,记 录出现正品与次品的件数.
3. 记录某公共汽车站 某日上午某时刻的等 车人数.
“函数在间断点处不存在导数” 等.
确定性现象的特征
条件完全决定结果
2. 随机现象
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象 称为随机现象. 实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察 正反两面出现的情况.
结果有可能出现正面也可能出现反面.
实例2 用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多 发 , 观察弹落点的情况. 结果: 弹落点会各不相同.
结果有可能为:
1, 2, 3, 4, 5 或 6.
实例4 从一批含有正品 和次品的产品中任意抽取 一个产品.
实例5 过马路交叉口时, 可能遇上各种颜色的交通 指挥灯.
其结果可能为: 正品 、次品.
实例6 出生的婴儿可 能是男,也可能是女.
实例7 明天的天气可 能是晴 , 也可能是多云 或雨.
验(3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会
出现.
4. 考察某地区 10 月 份的平均气温.
5. 从一批灯泡中任取 一只,测试其寿命.
四、小结
1. 概率论是研究随机现象规律性的一门数学学科.
随机现象的特征: 条件不能完全决定结果.
2. 随机现象是通过随机试验来研究的.
随 机 试
(1) 可以在相同的条件下重复地进行; (先2)明每确次试试验验的的所可有能可结能果结不果止;一个, 并且能事
分析
(1) 试验可以在相同的条件下重复地进行;
(2) 试验的所有可能结果: 字面、花面;
(3) 进行一次试验之前不能 确定哪一个结果会出现.
故为随机试验.
同理可知下列试验都为随机试验.
1. 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.
2. 从一批产品中,依次任选三件,记 录出现正品与次品的件数.
3. 记录某公共汽车站 某日上午某时刻的等 车人数.
“函数在间断点处不存在导数” 等.
确定性现象的特征
条件完全决定结果
2. 随机现象
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象 称为随机现象. 实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察 正反两面出现的情况.
结果有可能出现正面也可能出现反面.
实例2 用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多 发 , 观察弹落点的情况. 结果: 弹落点会各不相同.
概率论与数理统计课件第1章.ppt
AB
记作 A B
BA
例如 抛掷两颗骰子，观察出现的点数
A={出现1点} B={出现奇数点}
A B
相等事件（Equal）
B A且 A B A=B
B A
事件A与事件B含有相同的样本点 例如：在投掷一颗骰子的试验中，事件“出现偶数点”
与事件“出现2，4或6点”是相等事件。
和事件 Union
和事件A∪B发生
什么是概率论
确定性现象 Certainty phenomena
在101325Ｐa的大气压下，将纯净水加热到 100℃时必然沸腾
垂直上抛一重物，该重物会垂直下落
随机现象 Random phenomena
掷一颗骰子，可能出现1，2，3，4，5，6点 抛掷一枚均匀的硬币，会出现正面向上、反面向上
两种不同的结果 概率论就是研究随机现象的统计规律性的数学学科
A =｛出现奇数点｝是由三个基本事件 “出现1 点”、“出现3点” 、 “出现5 点” 组合而成的随 机事件．
样本空间Ω的任一子集A称为随机事件
A
属于事件A的样本点出现，则称事件A发生。
特例—必然事件Certainty Events
必然事件 ——记作Ω
•样本空间Ω也是其自身的一个子集 •Ω也是一个“随机”事件 •每次试验中必定有Ω中的一个样本点出现 •必然发生
随机试验
掷一枚均匀的硬币，观察它出现正面或反面的情况 试验的样本点和基本事件
• H：“正面向上” • T ：“反面向上”
样本空间 Ω={H，T}．
随机事件
试验：掷一枚硬币三次，观察它出现正面或反面的情况 Ω={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT} A=“正面出现两次” ={HHT,HTH,THH} B=“反面出现三次” ={TTT} C=“正反次数相等” = Φ D=“正反次数不等” =Ω
大学 概率论 课件 中国农业出版社(04章)丁
RY
0
X(e)
x
二维随机变量(X, Y)的取值可看作平面上的点
（x，y） A
随机事件
(a,b)
X
a, Y b
( X ,
Y ) ( a, b )
X
a, Y b
二维随机变量的联合分布函数
定义 若（X，Y）是随机变量，对于任意的实数x,y.
F ( x, y) P{X x, Y y}
( x, y ) D 其它
其中 D 是平面上的有界区域，其面积为
A
，则称 ( X , Y ) 在 D 上服从均匀分布.
二维正态分布
设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为
1 2 1 2 1
2 ( x 1 )2 ( x 1 )( y 2 ) ( y 2 )2 2 1 2 2(1 2 ) 12 22 1
我们将二者作为一个整体来进行研究，记为(X, Y),称为随 机向量，又称多维R.v.。
二维随机变量
定义
设X、Y 为定义在同一样本空间Ω上的随机变 量，则称向量（ X，Y ）为Ω上的一个二维随机变 量。有时也用(ξ,η)表示.
y e Ω Y(e) X(e) RX Y(e) (X(e), Y(e))
二维离散型R.v.的边缘分布
Y
X x１ x２ p11 p21 p12 p22 p13 p23
．．． ．．．
y1
y2
y3
．．．
Pi .
p1． p2．
p.
j
p.１
p.2
p.3
．．．
关于X的边缘分布 关于Y的边缘分布
农大概率论课件 (2)
1 P( X v) P(Y v)
1 [1 FX (v)][1 FY (v)].
(2) Y2=min(X1,…,Xn)的分布函数是
FY2 ( y) 1 [1 FX1 ( y)] … [1 FX n ( y )]
特别地，当X1,…,Xn相互独立且具有相同分布 函数F(x)时，有
1/2
1
P
max(X,Y) P
2 20 6 / 20 3 20 3 20 6 / 20
-1 1 2
5 20 2 20 13/ 20
例2 (泊松分布的可加性)若 X 和 Y 相互独
立,它们分别服从参数为 1, 2 的泊松分布, 证明Z=X+Y 服从参数为 1 2 的泊松分布.
例3 (二项分布的可加性)
P( X u) P(Y u)
FX (u ) FY (u )
设X1,…,Xn是n 个相互独立的随机变量, 它们的分布 函数分别为 FX ( x ) ，i =0,1，…, n
i
则
(1) Y1=max(X1,…,Xn)的分布函数为:
FY1 ( y ) FX1 ( y )...FX n ( y ) FX i ( y )
(3) Z X Y
pZ ( z ) p X ( x) pY ( z x)dx
z e x e ( z x ) dx, z 0 0 0, z0
z
x
z z [ e e ], z 0 0, z0
z
p(u y, y)dy]du
求导即得 Z=X+Y 的概率密度:
交换积分次序
pZ ( z )
1 [1 FX (v)][1 FY (v)].
(2) Y2=min(X1,…,Xn)的分布函数是
FY2 ( y) 1 [1 FX1 ( y)] … [1 FX n ( y )]
特别地，当X1,…,Xn相互独立且具有相同分布 函数F(x)时，有
1/2
1
P
max(X,Y) P
2 20 6 / 20 3 20 3 20 6 / 20
-1 1 2
5 20 2 20 13/ 20
例2 (泊松分布的可加性)若 X 和 Y 相互独
立,它们分别服从参数为 1, 2 的泊松分布, 证明Z=X+Y 服从参数为 1 2 的泊松分布.
例3 (二项分布的可加性)
P( X u) P(Y u)
FX (u ) FY (u )
设X1,…,Xn是n 个相互独立的随机变量, 它们的分布 函数分别为 FX ( x ) ，i =0,1，…, n
i
则
(1) Y1=max(X1,…,Xn)的分布函数为:
FY1 ( y ) FX1 ( y )...FX n ( y ) FX i ( y )
(3) Z X Y
pZ ( z ) p X ( x) pY ( z x)dx
z e x e ( z x ) dx, z 0 0 0, z0
z
x
z z [ e e ], z 0 0, z0
z
p(u y, y)dy]du
求导即得 Z=X+Y 的概率密度:
交换积分次序
pZ ( z )
华中农业大学数学建模概率统计专题ppt模板
华中农业大学数学建模基地
单因素方差分析—理论 结论1）SST=SSE+SSA；
华中农业大学数学建模基地
单因素方差分析—理论
华中农业大学数学建模基地
单因素方差分析—理论 结论2） 结论3）当H0为真时，
结论4）当H0为真时，SSE、SSA相互独立；
华中农业大学数学建模基地
单因素方差分析—理论 结论5）当H0为真时，
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单因素方差分析--计算
例1.1《切胚乳试验》用小麦种子进行切胚 乳试验，设计分3种处理，同期播种在条件较为 一致的花盆内，出苗后每盆选留2株，成熟后测 量每株粒重(单位：g)，得到数据如下：
处理 未切去胚乳 切去一半胚乳 切去全部胚乳
每株粒重
21,29,24,22,25,30,27,26 20,25,25,23,29,31,24,26,20,21 24,22,28,25,21,26
双因素方差分析-不考虑交互作用-计算
华中农业大学数学建模基地
双因素方差分析-不考虑交互作用-计算
data ex;do a=1 to 4;do b=1 to 5; input x @@;output;end;end; cards; 53 56 45 52 49 47 50 47 47 53 57 63 54 57 58 45 52 42 41 48 ; proc anova;class a b;model x=a b; means a b/duncan cldiff;run;
因素A的水平 A1 A2
观测值
x11 , x12 , x21 , x22 ,
, x1n1 , x2n2
Ar
xr1 , xr 2 , , x1nr
(n1+n2+…+nr= n)
单因素方差分析—理论 结论1）SST=SSE+SSA；
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结论4）当H0为真时，SSE、SSA相互独立；
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单因素方差分析—理论 结论5）当H0为真时，
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单因素方差分析--计算
例1.1《切胚乳试验》用小麦种子进行切胚 乳试验，设计分3种处理，同期播种在条件较为 一致的花盆内，出苗后每盆选留2株，成熟后测 量每株粒重(单位：g)，得到数据如下：
处理 未切去胚乳 切去一半胚乳 切去全部胚乳
每株粒重
21,29,24,22,25,30,27,26 20,25,25,23,29,31,24,26,20,21 24,22,28,25,21,26
双因素方差分析-不考虑交互作用-计算
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双因素方差分析-不考虑交互作用-计算
data ex;do a=1 to 4;do b=1 to 5; input x @@;output;end;end; cards; 53 56 45 52 49 47 50 47 47 53 57 63 54 57 58 45 52 42 41 48 ; proc anova;class a b;model x=a b; means a b/duncan cldiff;run;
因素A的水平 A1 A2
观测值
x11 , x12 , x21 , x22 ,
, x1n1 , x2n2
Ar
xr1 , xr 2 , , x1nr
(n1+n2+…+nr= n)
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X* X X , Y* Y Y ,
X
Y
此时 coX v*,(Y*)coX vX X,Y Y Y
coX vX,YY covX,Y
XY
XY
四、相关系数
定义: 设Var(X)>0, Var(Y)>0, 称
Corr(X,Y) Cov(X,Y) Var(X)Var(Y)
为随机变量 X 和 Y 的相关系数(correlation
coefficient) .（ 也记为XY )
注:相关系数和协方差具有相同的符号.
(X 1 2 X 2 3 X 3 ) 4 .
例 设随机变量序列 X1,X2,,Xn,相互独立，
且有共同的方差：D (X k)20,k1 ,2,
则
va1 nrkn1Xkn12vakrn1Xk
1 n2
n
varXk
k1
1 2. n
思考 将n 个球放入M 个盒子中,设每个球落入
各个盒子是等可能的,求有球的盒子数 X 的方 差.
P
28 48
28
E (X ) E (Y ) 0 ; E(X)Y 0; E (X ) Y E (X )E ( Y )
但 P(X1,Y1)1
8 P(X1)P(Y1)8 32
例 将n 个球放入M 个盒子中,设每个球落入各
个盒子是等可能的,求有球的盒子数 X 的期望.
解: 引入随机变量:
1 Xi 0
若第i个盒子中有球 若第i个盒子中无球
则 D i n1aiXibi n1ai2D (Xi)
注：若X ,Y 相互独立
D (X Y ) D (X ) D ( Y )
例 设随机变量X1, X2, X3 相互独立, 且 X1~U(0,6), X2~N(1,3), X3 ~Exp(3). 试求 Y = X1-2X2+3X3 的数 学期望, 方差, 标准差.
性
cX o Y ,Z ) v c( X o ,Z ) c v Y , o Z ( )性 质v(
co a1 v X b (1,Y c2 X d2)Y accoXv 1,X (2)acdoXv 1,Y(2) bccoY1v ,X(2)bd coY1v ,Y2()
注：运算法则同数的乘法。
(2). 随机变量和差的方差与协方差的关系 Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y)
三、协方差 · D (X Y )D (X )D (Y )
2 E (XE (X )Y ) (E (Y ))
数 E [XE (X )][YE (Y)]
反映了随机变量 X , Y 之间的某种关系
1.定义 任意两个随机变量 X 和Y 的协方 差（covariance）,记为Cov(X,Y), 定义 为 Cov(X,Y) = E[ (X-EX)(Y-EY ) ]
(M1)n
M1
Mn
.
练习 利用数学期望的可加性计算负二
项分布的期望.
3. D (X Y )D (X )D (Y )
2 E (XE (X )Y ) (E (Y ))
特别地，若 X ,Y 相互独立，则
D ( X Y ) D ( X ) D ( Y )
若 X1,,Xn 相互独立，a1,a2,,an,b为常数
第三章第四节 多维随机变量的特征数
主要内容
• 多维随机变量函数的数学期望 • 数学期望与方差性质的进一步讨论 • 协方差与相关系数 • 多维随机变量的数学期望和协方差阵
二、数学期望与方差性质的进一步讨论
1. E(X+Y) = EX+EY
n
n
推:广 E[ aiXi] aiE(Xi)
i1
i1
注:由 E(XY)=E(X)E(Y) 不一定能推出X,Y独立
解: E ( X 1 ) 3 ,E ( X 2 ) 1 ,E ( X 3 ) 1 /3 ,
D ( X 1 ) 3 ,D ( X 2 ) 3 ,D ( X 3 ) 1 /9 , E (X 1 2 X 2 3 X 3 ) 3 2 1 3 1 3 2 D (X 1 2 X 2 3 X 3 ) 3 ( 2 )2 3 3 2 9 1 16
注:协方差反映了随机变量 X , Y 之间的 相互关联程度.特别,Cov(X,X)=VarX . Cov(X,Y) = 0 时, 称 X 与 Y 不相关.
2.性质 (1) 协方差的简单计算公式
Cov(X,Y) = E(XY) -E(X)E(Y)
可见，若X 与Y 独立, Cov(X,Y)= 0; 但反 之不然 .
例 设(X,Y)服从单位圆域 x2+y2≤1上的均匀分
布, 证明Cov(X,Y) =0.
证明:
1
p(x,
y)
(x, y) D
0 (x, y) D
x
E(X)
dxdy
x2 y21
1
1 1
1y2 1y2
xdx dy 110dy0
同理得E(Y)=0
xy
E(XY)
dxdy
x2y21
i 1, 2,L ,M
则 X=X1+X2+…+XM , 于是
E(X) = E(X1)+E(X2)+ …+E(XM). 每个随机变量Xi 都服从两点分布, i=1,2,…, M.
(M1)n P(Xi 0) Mn ,
P(Xi 1)1(M M n1)n,
EXi 1(MMn1)n,
EXEX1EX2 ...EXM
n
n
推 广 : V a r( X i)V a r(X i) 2 C o v (X i,X j)
i 1
i 1
i j
若 X1,X2, …,Xn 两两不相关，上式化为
n
n
Va( r Xi)Va(X ri)
i1
i1
相关系数的引入 设 D XX 2,D YY 2 存在，
考虑 X, Y 的标准化（消除单位不同的影响）
2. 设X、Y 独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);
n
n
推 广 :若 X 1 ,K ,X n 相 互 独 立 , 则 E [ X i]E (X i)
i 1
i 1
反例
pij X -1
0
Y
1 p• j
-1
18
18
18 38
0
18
0
18 28
1
18
18
18 38
pi•
38
28
3822xdx dy 1 10dy0
∴ Cov(X,Y) = E(XY)-E(X)E(Y) = 0
故 X与Y 不相关.
但是由本章第2节例知: X和Y不相互独立.
coX,v Y)(coY,v X)(
ca o,b X v ) Y a (cb X o ,Y ) v(线