加法机器拓扑共轭嵌入到拓扑动力系统中的充要条件

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拓扑链混合映射的讨论

（１），Ｘ２ √ ２） √ （２）， …｝，且ｐｙｕ￣＝ｆｍ（ｉ）（０ ≤，ｎ≤Ｚ — ｌ，
（０），ｌ √ １）（１）， …
．
ｉ ≥０）为厂的一个伪轨。由于厂满足ＰＯＴＰ，所以对于任意６＞０，存在中的一点ｚ，使得对Ｖｎ＞０，ｄ（尸（。），
定义３令＞Ｏ，｝为厂的一个６伪轨，如存在 ∈Ｘ，满足对Ｖｉ＞０，ｄ（ｆ‘ （））＜，则称点相对
于跟踪伪轨｝。如果对于任意ｓ＞０，总存在６＞０，使得，的任意６伪轨总能被中某点相对于跟踪，则称厂满足伪轨跟踪性质。伪轨跟踪性质简记为ＰＯＴＰ。显然拓扑可迁（混合）映射必为链可迁（混合）映射。
要性；而拓扑动力系统中的链可迁性质及伪轨跟踪性质也已引起研究者的广泛关注ｐ＿８】，受链可迁性与拓扑可迁性关系的启发，本文拟讨论Ｚ次迭代下链混合与拓扑混合的关系。
１定义和引理
定义１设动力系统（，若对于每一对的任意非空开集，，总存在一个ｎ＞Ｏ，使得．厂（）ｎＶ ≠ ，则称厂是拓扑可迁的；若对于每一对的任意非空开集，，都存在一个正整数 Ⅳ，使得当ｎ＞Ｎ，有
中图分类号：０１８９．３文献标识码：Ａ文章编号：１６７４ — ８５２２（２０１３）０２ — ００４９ — ０３

拓扑空间中的拓扑共轭在迭代中的运用

ｃｎｒｐａｅｔｅｆｎｔｎｉｈｅｅｒｈｏｅｆｍａｐｎｒｐｒｅｆｄｎｍｉａｓｓｅ．ａｅｌｃｈｕｃｉｎｔｅｒｓａｃｆｓｌｏ－ｐｉｇｐｏｅｔｓｏｙａｃｌｙｔｍｓｉ
＝
Ｊｏ一＝Ｓ．
设ｘＸ如果存在自ｅ，然数ｎ使得Ｊ “ ），，＝（＝则称为舯
周期点。满足这一关系的最小自然数ｎ称为的周期。这，时，（，（ ≠ Ｖｋ＝１２ …，＿）＝Ｊ），ｆ＝，，ｎ一１直接称为ｎ，
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技学院学报（自然科学版）
ＪｕｎｌｏｎｎＩｓｉｔｆＳｉｎｅａｄＴｃｎｌｇｏｒａｆＨｅａｎｔｕｅｏｃｅｃｎｅｈｏｏｙｔ
周期点。特别是，ｎ＝１时，）＝称为Ｉ的不动当Ｊ＝（，ｆ
（ｉ设ｈ是从Ｊｇ的拓扑共轭，ｈｏ＝ｉ）。＝到则，Ｓｇｂ，ＯＩ有
ｈ０＝＝ＯＩｇｉＳＯｌ１ｇｂｊ＝ｈ０ｈ～ｊｈ０ＪＩｇ＝Ｊ０Ｉ＝ｈ一
Ｋｅｒｓｉｔａｉ；ｏｅｍｒｈｓｐｒｄｏｔｔｐｌｉｌｏｊｇｃｙｗｏｄ：ｅｔｎｈｍｏｏｐｉｎｒｏｍ；ｅｏｉｐｉ；ｏｇｃｎａｙｉｃｎｏｏａｃｕ
为吸引不动点。反之，则称是不稳定不动点，亦称之为排
（ｉ对称性：～ｇｇＪｉ）Ｊ＝ｊ～＝；
（＝则称Ｉｘ的恒等映射。），为设ｘ为一拓扑空问，（，）用Ｊ表示恒等映射，Ｊ＝ｅｘｘ，＝对任何自然数ｎ归纳地定义：＝ＪＪ＝ＪＪ … ，，Ｊ＝。＝，＝＝。＝，Ｊ＝“

单连通区域上全纯自同构的拓扑共轭分类

单连通区域上全纯自同构的拓扑共轭分类(摘要)本文主要介绍了单连通区域上全纯自同构的拓扑共轭分类.我们说两个变换f:X→X和g:Y→Y是拓扑共轭的,如果存在一个同胚h:X→Y使得h∘f=g∘h,这里∘是映射的复合.单连通区域主要包括:复平面,扩充复平面,单位圆盘和上半平面.关于复平面上全纯自同构的拓扑共轭分类问题,Budnitska得到了更一般的结论,即有限维向量空间上仿射算子的拓扑共轭分类.具体地讲,如果仿射算子f(x)=Ax+b有一个不动点,那么f拓扑共轭于它的线性部分A;如果仿射算子f:U→U无不动点,我们证明f拓扑共轭于一个仿射算子g:U→U,这里U是g 的不变子空间V和W的正交直和,g在V上的限制g|V是一个拥有如下形式的V的标准正交基底的仿射算子(x1,x2,...,x n)→(x1+1,x2,...,x n−1,εx n),ε=±1,它是由f唯一确定的,g在W上的限制g|W是一个通过幂零Jordan矩阵给出的W的标准正交基底的线性算子,是由f唯一确定的.对于扩充复平面上的分式线性变换的拓扑共轭分类问题, Rybalkina和S ergeichuk已经给出了相应的结果.我们在此整理并总结了复平面和扩充复平面上全纯自同构的拓扑共轭分类,关于单位圆盘和上半平面上全纯自同构的拓扑共轭之前没有得到完全的分类,本文将就这一问题给出答案.我们通过旋转理论及构造同胚的方法,证明了:上半平面上（单位圆盘）所有无不动点的全纯自同构之间都是拓扑共轭的;两个有不动点的全纯自同构f和g是拓扑共轭的当且仅当ρ(f)=±ρ(g),mod Z;无不动点的全纯自同构与有不动点的全纯自同构之间是不拓扑共轭的.关键词:拓扑共轭,全纯自同构,单位圆盘,上半平面,复平面,扩充复平面.Topologically conjugate classiﬁcations of the holomorphic isomorphisms on simple connected domains(Abstract)In this paper,we are interested in the topologically conjugate classiﬁcations of the holo-morphic isomorphisms on simple connected domains.We said that two transformations f: X→X and g:Y→Y are topologically conjugate if there exists a homeomorphism h:X→Y such that h∘f=g∘h,where∘is the composition of mappings.Simple connected do-mains includes:complex plane,extended complex plane,unit disk and upper half plane. For the problem of topologically conjugate classiﬁcations of the holomorphic isomorphisms on complex plane,Budnitska gave more general result.He obtained the topologically conjugate classiﬁcations of aﬃne operators onﬁnite dimensional vector space.Speciﬁcally speaking if the aﬃne operator f(x)=Ax+b has aﬁxed point,then f is topologically conjugate to its linear part A.If the aﬃne operator f:U→U has noﬁxed point,f is topologically conjugate to an aﬃne operator g:U→U,where U is an orthogonal direct sum of g-invariant subapaces V and W,the restriction g|V is an aﬃne operator with the form(x1,x2,...,x n)→(x1+1,x2,...,x n−1,εx n) under the orthogonal basis of V,ε=±1,and it is uniquely determined by f.The restriction g|W is a linear operator with a nilpotent Jordon form under the orthogonal basis of W,and it is uniquely determined by f.For the problem of topologically conjugate classiﬁcations of the holomorphic isomorphisms on extended complex plane,Rybalkina and Sergeichuk have given the answer.It is not known of the completely classiﬁcations for the holomorphic isomorphisms on unit disk or upper half plane before.Now we will solve the problem.By rotation theory and some constructions of homeomorphisms,we prove that all holomorphic automorphisms on upper half plane(or unit disk)having noﬁxed points are topologically conjugate;two holo-morphic automorphisms f and g havingﬁxed points are topologically conjugate if and only if ρ(f)=±ρ(g),mod Z;a holomorphic automorphism with noﬁxed points and a holomorphic automorphism withﬁxed points are not topologically conjugate.Key Words:topological conjugacy,holomorphic automorphism,unit disk,upper half plane, complex plane,extended complex plane.目录摘要 (i)Abstract (ii)第1章引言 (1)第2章复平面上全纯自同构的拓扑共轭分类 (5)2.1有不动点的仿射算子 (6)2.2无不动点的仿射算子 (8)第3章扩充复平面上全纯自同构的拓扑共轭分类 (13)3.1线性算子的拓扑分类 (13)3.2定理3.1的证明 (16)3.3推论3.2的证明 (17)第4章单位圆盘与上半平面上全纯自同构的拓扑共轭分类 (18)4.1单位圆盘与上半平面上的全纯自同构 (18)4.2上半平面上全纯自同构的拓扑共轭分类 (20)第5章结论 (23)参考文献 (24)作者简介及在学期间所取得的科研成果 (26)致谢 (27)第1章引言拓扑动力系统是指一个偶对(X,f),这里X是一个完备度量空间,f:X→X是X上的一个连续映射.我们关心空间中点在迭代作用f n下轨道的渐进性态,这里f n= f∘f∘···∘f,∘是映射复合.其中,拓扑共轭分类问题是该系统领域中的核心问题.定义1.1设X,Y是两个完备度量空间,f:X→X和g:Y→Y分别是X和Y上的连续（全纯,线性）自映射.如果存在（全纯,线性）同胚映射h:X→Y使得h∘f=g∘h.则称f和g是拓扑（全纯,线性）共轭的.一般而言,完全的拓扑共轭分类很难获得,但对于一些特殊的系统,我们已知如下结果:Poincare给出了圆周上旋转映射的拓扑共轭分类[1];Walters考察了n维环面T n和紧交换拓扑群上仿射变换的拓扑共轭分类[2,3];Robbin和Kuiper研究了有限维向量空间上线性自同态的拓扑共轭分类[4,5].本文我们将给出单连通区域上全纯自同构的拓扑共轭分类.记C为复平面,ˆC C∪{∞}为扩充复平面,H为上半平面,D为单位开圆盘.进而用Aut(C),Aut(ˆC),Aut(H)和Aut(D)分别表示复平面,扩充复平面,上半平面和单位开圆盘上的所有全纯自同构构成的集合.本文我们将给出在复平面,扩充复平面,单位圆盘和上半平面上全纯自同构的拓扑共轭分类.对于复平面上全纯自同构的拓扑共轭分类问题,Budnitska[6]给出了更一般的形式,即有限维向量空间上仿射算子的拓扑共轭分类问题.一个仿射算子f:V→V是一个形如f(x)=Ax+b的映射,这里A:V→V是一个线性算子并且b∈V.为了简便我们通常令V=F n,其中F=C或R,那么f:F n→F n有如下形式:f(x)=Ax+b,A∈M n×n(F), b∈F n.这里M n×n(F)是数域F上的n×n阶矩阵.两个仿射算子f,g:F n→F n是共轭的,如果存在一个双射h:F n→F n使得g=h−1f h,(1)我们说(a)如果h在(1)中是一个线性算子,那么它是线性共轭.(b)如果h是一个仿射算子,那么它是仿射共轭.(c)如果h是一个双射,那么它是双正则共轭,这意味着h和h−1有如下形式(x1,...,x n)→(ϕ1(x1,...,x n),...ϕn(x1,...,x n))(2)在这里所有的ϕi都是F上的多项式.(d)如果h是一个同胚,那么它是拓扑共轭,这意味着h和h−1是连续的双射.线性共轭蕴含着仿射共轭蕴含着双正则共轭蕴含着拓扑共轭.下面简单介绍一下(a)−(d)仿射算子共轭分类的结果.在(a)中一个线性共轭y=Ax+b的变换相当于一个在F n上的基底的变换,形式为(A,b)→(S−1AS,S−1b),S∈F n×n是非奇异(3)关于这些变换的仿射算子的规范形式是很容易构造的:如果F=C,我们令A是Jordan标准形式,然后通过(3)中的变换来化简b,因此S随着Jordan矩阵A变换,它的形式在[7]中给出.在(b)中一个仿射共轭的变换相当于一个在F n上的基底的仿射变换.我们说仿射算子x→Ax+b是非奇异的如果它的矩阵A是非奇异的.Blanc[8]证明了非奇异的仿射算子x→Ax+b和x→Cx+d在特征值为0的代数闭域上是仿射共轭的,当且仅当它们的矩阵A和C是相似的,即对于一些非奇异的S有S−1AS=C.在(c)中Blanc[8]也给出了特征值为0的代数闭域K上非奇异仿射算子的双正则共轭分类.两个K上有不动点的非奇异仿射算子是双正则共轭的,当且仅当它们的矩阵是相似的.一个无不动点的非奇异仿射算子f:K n→K n双正则共轭于一个对角的仿射算子.(x1,x2,...,x n)→(x1+1,λ2x2,...,λn x n)(4)在这里1,λ2,...,λn∈K∖0是矩阵的特征值,仿射算子(4)是由f唯一确定的.在(d)中R2上的仿射算子的拓扑共轭分类由E phramowitsch[9]给出.在本文中我们将给出R n和C n上的仿射算子的分类.对于扩充复平面上全纯自同构的拓扑共轭分类问题,我们主要考虑Mobius变换[10]. Mobius变换是一个在扩充复平面上的如下形式的线性分式变换:f(z)=az+bcz+d,ad−bc 0,a,b,c,d∈C(5)Mobius变换的理论基础可参见[11]和[12].a,b,c,d同时乘以任意一个非零的数,f不变,变换(5)可以写成矩阵的形式M f:=1√ad−bc⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝a bc d⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠.(6)它的行列式为1并且是由f唯一确定的至多差一个-1的乘子.变换的复合相当于矩阵的乘积M f g=M f M g(7)矩阵A的迹记做tr A.两个Mobius变换f和g是共轭的,如果存在一个Mobius变换h使得g=h−1f h:两个Mobius变换f和g是拓扑共轭的,如果存在一个同胚h:ˆC→ˆC,使得g=h−1f h.如果两个Mobius变换是共轭的,那么它们是拓扑共轭,因为每一个Mobius变换都是一个同胚.共轭的标准形式很容易从[11]中获得,不同的Mobius变换f和g是共轭的当且仅当tr M f=±tr M g,因此共轭的Mobius变换是由相似矩阵给出的至多差一个-1的乘子.我们给出变换矩阵M h使得M g是M h的Jordan形式.由于det M f=det M g=1,M g=⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝λ001/λ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠(λ ±1,0)或者M g=⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝λ10λ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠(λ=±1)(8)矩阵M g是由f唯一确定的至多差一个-1的乘子和(8)中第一个矩阵对角元素λ和1/λ的交换.因此f共轭于z→λ2z,或者z→(1/λ2)z,或者z→z+1,我们从[11]中获得了规范形式.每个Mobius变换恰好共轭于如下形式mµ(z)=µz(µ 0,1)或者m1(z)=z+1(9)在这里µ是由1/µ确定的.µ1=µ和µ1=1/µ被叫做f的乘子.它们是由Riemann面上的全纯映射决定的[13];对于不同的Mobius变换f它们能通过下面的公式计算µi=f′(z i z i ∞,i=1,2µi=limz→∞1f′(z),z i=∞,i=1,2这里z1和z2是f的不动点.第2章复平面上全纯自同构的拓扑共轭分类本章我们将介绍复平面上全纯自同构的拓扑共轭分类,Budnitska[6]给出两种不同形式的仿射算子:（1）有不动点并且没有以1的根为特征值的仿射算子.有不动点的仿射算子的拓扑共轭分类问题是所有线性算子的拓扑共轭分类问题.实际上每一个线性算子x→Ax可以看作是一个有不动点x=0的仿射算子x→Ax+0.相反的,如果仿射算子是拓扑共轭的,那么每一个有不动点的x→Ax+b都能被它的线性部分x→Ax代替,因为有下面的引理2.1我们证明它们是拓扑共轭的.Kuiper和Robbin[5,4]给出了在R上的没有以1的根为特征值的线性算子的标准形式,在定理2.2中我们将标准扩展到C上，给出在R和C上的没有以1的根为特征值的线性算子的标准形式.为了简便我们不考虑以1的根为特征值的线性算子;像这种算子的拓扑分类问题已经由Kuiper和Robbin[5,4],Cappell和Shaneson [14,15,16,17,18],Hsiang和Pardon[19],Madsen和Rothenberg[20],和Schultz[21]给出.（2）无不动点的仿射算子.在定理2.3中我们证明了在F=C或R上的无不动点的仿射算子恰好共轭于一个如下形式的仿射算子x→(I k⊕J0)x+[1,0,...,0]T,如果当F=R时,x→(I k⊕[−1]⊕J0)x+[1,0,...,0]T,在这里k≥1并且J0是一个幂零的Jordan矩阵由f唯一确定.对任意一个F∈{C,R}上的方阵A,都有一个非奇异的矩阵A*和一个F上的幂零矩阵A0,使得A相似于A*⊕A0(10)在下面的定理中我们总结了仿射算子拓扑共轭的条件.定理2.1令f(X)=Ax+b和g(X)=Cx+d是F=C或R上的仿射算子.（1）假设f和g有不动点,那么f和g是拓扑共轭的,当且仅当x→Ax和x→Cx是拓扑共轭的.（2）假设f有一个不动点,g无不动点,那么f和g不拓扑共轭.（3）假设f和g无不动点:如果F=C,那么f和g是拓扑共轭的,当且仅当A0相似于B0.如果F=R,那么f和g是拓扑共轭的,当且仅当A*和C*的行列式有相同的迹并且A0相似于B0.2.1有不动点的仿射算子在这一部分我们将给出一个有不动点的仿射算子f(X)=Ax+b拓扑共轭的标准形式,这里矩阵A没有相同的特征值.我们可以仅仅考虑线性算子,因为在下面的引理中我们把有不动点仿射算子的分类问题化简为线性算子的分类问题.引理2.1一个C或R上的仿射算子f(X)=Ax+b拓扑共轭于它的线性部分f lin(X)= Ax,当且仅当f有一个不动点.如果p是f的一个不动点,那么f lin=h−1f h,h(x):=x+p.证明.如果f(p)=p,那么Ap+b=p并且(h−1f h)(x)=(h−1f)(x+p)=h−1(A(x+p)+b)= h−1(Ax+(p−b)+b)=h−1(Ax+p)=Ax=f lin(x).相反的,如果f和f lin是拓扑共轭的,那么f和f lin有相同的不动点,因为f lin(0)=0,f也有一个不动点.对任意的λ∈C,我们记J n(λ):=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣λ 01λ···... ............ 0···1λ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦对于每一个n×n复矩阵A=[a kl+b kl i],a kl,b kl∈R,我们记¯A=[akl−b kl i](11)并且通过A的实化A R来表示:通过用块⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣a kl−b klb kl a kl⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦(12)来代替每一个元素a kl+b kl i,由A得到了一个2n×2n的实矩阵.每一个在F∈{C,R}的方阵A相似于A0⊕A01⊕A1⊕A1∞,(13)在这里所有A0（A01A1,A1∞)的特征值λ都满足λ=0(0<|λ|<1,|λ|=1,|λ|>1).A0和(10)中的一样,A01⊕A1⊕A1∞和(10)中的A*相似.定理2.2(a)令f(x)=Ax和g(x)=Bx是F=C或R上没有以1的根为特征值的线性算子,令A0,...,A1∞和B0,...,B1∞像(13)中的一样,分别对应A和B的分解.（i）如果F=R,那么f和g是拓扑共轭的,当且仅当A0相似于B0,size A01=size B01,这里size是矩阵维数的意思,det(A01B01)>0,A1相似于B1，size A1∞=size B1∞，det(A1∞B1∞)>0,(14)（ii）如果F=C,那么f和g是拓扑共轭的,当且仅当A0相似于B0,size A01=size B01,A1⊕¯A1相似于B1⊕¯B1,size A1∞=size B1∞,(15)(b)每一个F=C或R上没有以1的根为特征值的线性算子拓扑共轭于一个线性算子,它的矩阵是一个由直和项的置换唯一确定的直和.（i）当F=R直和项的数字为J k(0),[1/2],J k(λ)R,[2](16)在这里λ是一个系数为1的复数,是由¯λ的置换确定的,显然它没有相同的特征值.至多一个1×1的直和项[-1/2]至多一个1×1的直和项[-2]（ii）当F=CJ k(0),[1/2],J k(λ),[2](17)在这里λ是一个系数为1的复数,是由¯λ的置换确定的,显然它没有相同的特征值.证明.（a）结论（i）已经由Kuiper和Robbin[5,4]证明,下面我们来证明（ii）关于加法的阿贝尔交换群V=C n可看做是C上的n维矢量空间V C和R上的2n维矢量空间V R.进一步的,我们可以将V C看做一个有标准正交基底的酉空间e1=[1,0,...,0]T,e2=[0,1,...,0]T,...,e n=[0,0,...,1]T,(18)将V R看做一个有标准正交基底的欧式空间e1,ie1,e2,ie2,...,e n,ie n(19)对每一个v=(α1+β1i)e1+...+(αn+βn i)e n∈V,αkβk∈R它在V C和V R的长度是相同的:+β21+...+α2n+β2n)1/2|v|=(α21因此映射h:V→V是V C的一个同胚当且仅当h是V R的一个同胚.(20)每一个线性算子f:V C→C定义一个线性算子f R:V R→R两个线性算子f,g:V C→C是拓扑共轭的当且仅当f R,g R:V R→R是拓扑共轭的.(21)令f(x)=Ax和g(x)=Bx是V C上没有相同特征值的线性算子,显然A和B是它们的有正交基底的矩阵.考虑f和g在V R上的线性算子f R和g R,我们发现f R和g R的基底是A和B 的实化A R和B R.因为S−1AS=A0⊕A01⊕A1⊕A1∞对于一些非奇异的S,我们有(S R)−1A R S R=A R0⊕A R01⊕A R1⊕A R1∞类似的B R相似于B R0⊕B R01⊕B R1⊕B R1∞通过(21)和定理2.2（a）的结论（i）f和g是拓扑共轭的当且仅当f R和g R是拓扑共轭的当且仅当A R 0相似于B R,size A R01=size B R01,det(A R01B R01)>0,A R 1相似于B R1,size A R1∞=size B R1∞,det(A R1∞B R1∞)>0,(22)对于每一个复矩阵M,它的实化M R相似于M⊕¯M,因为⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣11−i i⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦−1⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣a−bb a⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣11−i i⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣a+bi00a−bi⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦因为A0的Jordan标准形式是一个幂零的Jordan矩阵,¯A0相似于A0.因此条件A R相似于B R0,等价于条件A0⊕¯A0相似于B0⊕¯B0等价于条件A0相似于B0.条件size A R01=B R01等价于条件size A01=B01.条件det(A R01B R01)>0保持不变,因为det(A R01B R01)=det(A01B01)R=det(A01B01⊕A01B01)>0类似的我们考虑(22)中剩下的三个条件,得到(22)等价于(15),这就证明了（ii）结论.2.2无不动点的仿射算子在这一部分,我们将证明下面的定理,它给出了拓扑共轭的标准,并且给出了无不动点的仿射算子的拓扑共轭的标准形式.定理2.3(a)令f (x )=Ax +b 和g (x )=Cx +d 是F =C 或R 上的无不动点的仿射算子,令A *,A 0和C *,C 0像（10）中那样,分别对应A 和C 的分解.（b ）每一个F =C 或R 上的无不动点的仿射算子f 拓扑共轭于一个如下形式的仿射算子x →(I k ⊕J 0)x +[1,0,...,0]T(23)或者当F =R 时x →(I k ⊕[−1]⊕J 0)x +[1,0,...,0]T(24)在这里k ≥1并且J 0是一个由f 唯一确定的幂零Jordan 矩阵.我们通过对(A ,b )给出一个仿射算子f (x )=Ax +b ，写成f =(A ,b ).对于两个仿射算子f :F m →F m 和g :F n →F n ,我们通过(f ⊕g )⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣x y ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦:=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣f (x )g (y )⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦定义f ⊕g :F m +n →F m +n 因此(A ,b )⊕(C ,d )=(⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣A 00C ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦,⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣b d ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦)当f 和g 在F 上拓扑共轭时,我们记做f ∼F g 进一步我们有f ∼F f ′和g ∼F g ′=⇒f ⊕g ∼F f ′⊕g′(25)在这一部分,我们将继续通过拓扑共轭变换把F =C 或R 上的无不动点的仿射算子化简为(23)或者(24)的形式.第一步:将y =Ax +b 化简为如下的形式:p ⨁︁i =1(J m i (1),a i )⊕r ⨁︁i =p +1(J m i (1),a i )⊕(J 0,s )⊕(B ,c )(26)在这里J 0是A 0的Jordan 标准形式,1和0不是B 的特征值,每一个a 1,...,a p 都有一个非零的第一坐标,每一个a p +1,...,a r 都有一个零的第一坐标.我们是通过F 上的(3)中的线性共轭的变换来化简的.第二步:把(26)化简成如下的形式:p⨁︁i=1(J mi(1),a i)⊕r⨁︁i=p+1(J mi(1),0)⊕(J0,0)⊕(B,0)(27)在这里每一个a i都有一个非零的第一坐标,我们是通过(25)来进行化简的,共轭是(J m(1),a)∼F(J m(1),0),(J0,s)∼F(J0,0),(B,c)∼F(B,0)(28)在这里a的第一坐标是0,共轭(28)通过引理2.1保持不变,因为(J0,s)和(B,c)有不动点.记p≥1因为(27)是一个有不动点为0的线性算子,但是f没有不动点.第三步:把(27)化简成如下的形式:p⨁︁i=1(J mi(1),e1)⊕(C,0)⊕(J0,0)(29)在这里e1=[1,0,...,0]T和C:=⨁︀ri=p+1J mi(1)⨁︀B是非奇异的.我们用的共轭是(J m(1),a)∼F(J m(1),e1)(30)在这里a的第一坐标是0,a被下面的形式代替a=b[1,a2,...,a n]T,b 0,这个共轭是线性的,它保持不变因为(S J m(1)S−1,S e1)=(J m(1)a)S=b ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1 0a21······...a3a21···... ...............a n...a3a21⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦第四步:把(29)化简成如下的形式:p⨁︁i=1(I mi,e1)⊕(C,0)⊕(J0,0)(31)我们用的共轭是(J m(1),e1)∼F(I m,e1)(32)第五步:把(31)化简成如下的形式:(I 1,[1])⊕(D ,0)⊕(J 0,0)(33)在这里D :=I ⊕C 是非奇异的.我们用的共轭是p ⨁︁i =1(I m i ,e 1)∼F (I p ,[1,...,1]T )⊕(I q ,0)∼F (I 1,[1])⊕(J q +p −1,0)最后的共轭保持不变,因为(I 2,[1,1]T )∼F (I 2,e 1),它有如下的形式(S −1I 2S ,S −1⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣11⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦)=(I 2,e 1),S :=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1011⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦第六步:我们把（33）化简到（23）,（24）的形式,在这里我们分两方面来考虑.当F =R ,我们有共轭f ∼Fg ,f :=(I 1,[1])⊕(εF ,0),g :=(I 1,[1])⊕(εI m ,0)(34)实际上,g =h −1f h 对于映射h :R m +1→R m +1是由h :⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣x y ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦→⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣x εF x y ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦,x ∈R ,y ∈R m 决定的.因为hg ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣x y ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦=h ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣x +1εy ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣x +1ε2F x +1y ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦=f ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣x εF x y ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦=f h ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣x y ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦映射h 是连续的,因为级数F x=exG=1+xG +(xG )22!+(xG )33!+...(35)收敛半径是无穷的,这里G 是实矩阵使得F =e G.逆映射h :⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣x y ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦→⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣x εF −x y ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦,x ∈R ,y ∈R m 也是连续的.这就证明了(34).应用线性共轭(3)到(33)的变换,我们化简D 到P ⊕(−Q )的形式,这里P 是一个非奇异的实的没有负的实特征值的p ×p 矩阵,Q 是一个非奇异的实的有正的实特征值的q ×q 矩阵.这里线性算子(33)有如下形式(I 1,[1]⊕(P ,0)⊕(−Q ,0)⊕(J 0,0);它拓扑共轭于(I 1,[1]⊕(I p ,0)⊕(−I q ,0)⊕(J 0,0)(36)在(34)中令ε=1,F=−I2,我们得到(I1,[1]⊕(−I2,0)∼R(I3,e1)应用这个共轭多次,我们把(36)化简为(23),(24)的形式,我们证明了在R上的无不动点的仿射算子拓扑共轭于(23)或(24).当F=C,让我们证明f∼C g,f:=(I1,[1])⊕(D,0),g:=(I1,[1])⊕(I m,0)(37)在这里D是一个非奇异的m×m复矩阵,实际上,g=h−1f h,这里h:C m+1→C m+1是由h:⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣xy⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦→⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣xD x y⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦,x∈C,y∈C m决定的.映射h是一个同胚因为D x被(35)中的F:=D代替了.这就证明了(37),用它我们把(33)化简为(23),我们证明了在C上的无不动点的仿射算子拓扑共轭于(23).第3章扩充复平面上全纯自同构的拓扑共轭分类本章我们将介绍扩充复平面上全纯自同构的拓扑共轭分类,关于Mobius变换的拓扑共轭分类由Rybalkina在[10]中给出.定理3.1对于任意的非奇异的Mobius变换f,g:ˆC→ˆC,下面的四条是等价的.（i）f和g是拓扑共轭的;（ii）M f的迹和M g的迹不属于[-2;2],或者trM f=±trM g;（iii）如果λ是M f的任意特征值,λ′是M g的任意特征值,那么|λ|,|λ′| 1,或者λ=±λ′,或者λ=±¯λ′;（iv）如果µ是f的任意乘子,ν是g的任意乘子,那么|µ|,|ν| 1,或者µ=ν,或者µ=¯ν;（9）中的标准形式被用到下面的定义中:一个非奇异的Mobius变换被叫做双曲如果它解析共轭于z→µz同时1 µ∈R;斜驶如果它解析共轭于z→µz同时µ R并且|µ| 1;椭圆如果它解析共轭于z→µz同时|µ|=1并且µ 1;抛物如果它解析共轭于z→z+1.一个Mobius变换的拓扑共轭的标准形式很容易从定理3.1中（i）到（iv）的等价形式中获得:推论3.1（a）每一个双曲或斜驶的Mobius变换拓扑共轭于z→2z.（b）每一个椭圆的Mobius变换拓扑共轭于z→µz,它是由µ通过¯µ的替换唯一确定的.（c）每一个抛物的Mobius变换拓扑共轭于z→z+1.两个线性算子A,B:C2→C2是拓扑共轭的,如果存在一个同胚h:C2→C2使得B=h−1Ah.Mobius变换的线性算子x→M f x(x∈C2)是由-1的乘子决定的,我们得到了一个ˆC上的Mobius变换和C2上的行列式值为1的线性算子的一一对应.推论3.2下面的两个条件对于Mobius变换f和g是等价的（i）f和g是拓扑共轭的;（ii）在C2上的线性算子x→M f x拓扑共轭于x→M g x或−x→M g x.3.1线性算子的拓扑分类在本小节我们将给出一些关于线性算子的拓扑分类[5,4].对于每一个复方阵A=[a i j],我们定义矩阵¯A=[¯a i j]是矩阵A的复共轭,利用矩阵的直和构造一个A的分解S−1AS=A0⊕A01⊕A1⊕A1∞(S是非奇异的矩阵）(38)在这里所有A0的特征值λ满足λ=0分别的A01,A1,A1∞的特征值λ满足0<|λ|<1,|λ|= 1,|λ|>1.两个线性算子f,g:R n→R n是共轭的,如果存在一个同胚h:R n→R n使得g=h−1f h.算子f具有周期性,如果对于一些自然数k有f k是恒等映射.Kuiper和Robbin[5]证明了如果假设两个周期的线性算子是拓扑共轭的当且仅当它们是线性共轭的.定理3.2令f(x)=Ax和g(x)=Bx是V=R m或C m上的线性算子,令A0,A01,A1,A1∞和B0,B01,B1,B1∞像（38）中一样,分别对应A和B的分解.（i）如果V=R m同时m≤5,那么f和g是拓扑共轭的,当且仅当A0相似于B0,size A01=size B01,det(A01B01)>0,A1相似于B1,size A1∞=size B1∞,det(A1∞B1∞)>0,（ii）如果V=C m同时m≤2,那么f和g是拓扑共轭的,当且仅当A0相似于B0,size A01=size B01,A1⊕¯A1相似于B1⊕¯B1,size A1∞=size B1∞,(39)推论3.3令f(x)=Ax和g(x)=Bx是C2上的两个非奇异的线性算子,矩阵A和B的行列式为1并且是对角矩阵.令λ和λ′是A和B的特征值,那么f和g是拓扑共轭的,当且仅当|λ|,|λ′| 1,或者λ=λ′或者λ=¯λ′.证明.线性算子的共轭意味着它们拓扑共轭,因此我们假设f(x)=Ax和g(x)=Bx的矩阵由它们的Jordan形式给出:A=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣λ00λ−1⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦,⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣λ′00λ′−1⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦,λ,λ′ ±1,0下面我们分四种情况来讨论:第一种:|λ| 1并且|λ′| 1.那么在（38）中A01⊕A1∞=[λ]⊕[λ−1],B01⊕B1∞=[λ′]⊕[λ′−1]通过定理3.2的（ii）f和g是拓扑共轭的.第二种:|λ|=|λ′|=1,那么A1⊕¯A1=[λ]⊕[¯λ],B1⊕¯B1=[λ′]⊕[¯λ′]通过定理3.2的（ii）f和g是拓扑共轭的,当且仅当λ=λ′或者λ=¯λ′第三种:|λ|=1并且|λ′| 1,那么A1⊕¯A1=[λ]⊕[¯λ],B01⊕B1∞=[λ′]⊕[λ′−1]通过定理3.2的（ii）f和g不是拓扑共轭的.第四种:|λ| 1并且|λ′|=1,那么f和g不是拓扑共轭的.引理3.1Mobius变换f(z)=az和g(z)=bz是拓扑共轭的当且仅当|a|,|b| 1或a=b或a=¯b(40)证明.⇐=.假设f和g满足(40)如果f和g满足|a|,|b|<1或|a|,|b|>1或a=b或a=¯b(41)那么通过定理3.2的（ii）在C上的线性映射z→az和z→bz通过同胚η:C→C是拓扑共轭的,因此f和g通过同胚h:ˆC→ˆC是拓扑共轭的,定义成如下形式h(z):=η(z)如果z∈C并且h(∞):=∞.如果f和g不满足(41)（但是满足(40)）,那么|a|<1并且|b|>1或者|a|>1并且|b|<1.假设|a|<1并且|b|>1.那么|1/b|<1并且通过(41)f拓扑共轭于g−1z=(1/b)z,通过ˆC上的同胚z→1/z拓扑共轭于g.=⇒.令ˆC上的Mobius变换f(z)=az和g(z)=bz是拓扑共轭的,那么存在着一个同胚h:ˆC→ˆC,使得hg(z)=f h(z)z∈ˆC.(42)因为h把所有g的不动点转换成f的不动点,他们的不动点是0和∞,下面我们分两种情形来讨论.第一种情形:h(∞)=∞并且h(0)=0.通过(42)线性算子z→az和z→bz在C上是拓扑共轭的,通过h到C上的限制同胚.定理3.2的（ii）确定|a|,|b|<1或|a|,|b|>1或a=b或a=¯b(43)第二种情形:h(∞)=0并且h(0)=∞.Mobius变换f−1(z)=(1/a)z和g(z)=bz是拓扑共轭的,通过同胚h1:=ϕh在这里ϕ(z):=1/z.因为h1(∞)=∞,我们有(43),在这里a被1/a代替.上面的两种情形a和b都满足(40).3.2定理3.1的证明我们记f和g是两个非恒等映射的Mobius变换,记λ和λ′分别为M f和M g的任一特征值,记n(f)和n(g)为f和g的不动点个数.(44)另外,注意到任意非恒等映射的Mobius变换的不动点个数为1或2.（i）⇐⇒（iv）.假设（i）存在,那么n(f)=n(g).因为f和g不是恒等的,下面我们分两种情形来讨论.第一种情形:n(f)=n(g)=1,通过(9)f和g共轭于m1(z)=z+1,它的乘子是1,这就确定了（iv）.第二种情形:n(f)=n(g)=2,令µ,ν 0,1是f和g的乘子,通过(9)f和g共轭于mµ(z)=µz和mν(z)=νz,他们的不动点是0或者∞.引理3.1确定了（iv）.因此推出（i）=⇒（iv）,相反的讨论我们得出（i）⇐=（iv）.（iii）⇐⇒（iv）.通过(9)和(6),如果µ是f的乘子,那么f共轭于mµ(z)=µz(µ 0,1)或者m1(z)=z+1(µ=1),因此M f相似于M mµ=±1√µ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣µ001⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦=±⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣√µ001/√µ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦(µ 0,1)或者M mµ=±⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1101⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦(µ=1)因此矩阵M f有一个特征值λ等于√µ或−√µ(µ 0)(45)类似的,如果ν是g的乘子,那么M g有一个特征值λ′等于√νor−√ν(ν 0),这就证明了（iii）和（iv）是等价的.（ii）⇐⇒（iii）.让我们证明|λ|=1⇐⇒trM f=±trM mµ∈[−2;2].(46)等式trM f=±trM mµ成立是因为M f和M mµ是相似的.如果|λ|=1,那么通过(8)trM mµ=λ+λ−1=λ+¯λ∈[−2;2].如果|λ| 1,那么λ−1=¯λ并且trM mµ=λ+λ−1 [−2;2],这就证明了(46).下面我们分三种情形来讨论.第一种情形:|λ| 1并且|λ′| 1,那么（iii ）存在,并且通过(46),（ii)也存在.第二种情形:|λ|=1并且|λ′| 1,或者|λ| 1并且|λ′|=1,那么（ii ）和（iii ）都不存在.第三种情形:|λ|=|λ′|=1.条件trM f =±trM g 等价于trM m µ=±trM m ν等价于λ+¯λ=±(λ′+¯λ′)等价于λ=±λ′或者λ=±¯λ′.3.3推论3.2的证明对于任意的Mobius 变换f 和g 我们将分以下四种情形分别讨论.第一种情形:n (f ) n (g ),那么推论3.2的断言（i ）不存在,让我们证明（ii ）也不存在.假设n (f )<n (g ).如果n (g )=∞,那么g 是恒等的,n (f )∈1,2,并且（ii ）是不存在的.假设n (g )<∞,那么n (f )=1并且n (g )=2.通过（9）和（45）,f 共轭于m 1(z )=z +1并且g 共轭于m µ(z )=λ2z .线性算子x →M f x 和x →M g x 共轭于x →±M m 1x 和x →±M m µx ,在这里M m 1=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1101⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦,M m µ=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣λ00λ−1⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦(λ 0,1)矢量[0,0]T 是线性算子x →±M m µx 的唯一不动点.所有的矢量[a ,0]T (a ∈C )是x →±M m 1x 的不动点.因此断言（ii ）不存在.第二种情形:n (f )=n (g )=1,通过（9）f 和g 共轭于z =z +1,通过（8）矩阵M f 和M g 相似于⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1101⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦或者⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣−110−1⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦因此M f 相似于M g 或者−M g ,因此x →M f x 共轭于x →M g x ,因此它们拓扑共轭.第三种情形:n (f )=n (g )=2,通过（9）和（45）f 共轭于z →λ2z 并且g 共轭于z →λ′2z ,在这里λ和λ′是M f 和M g 的特征值.M f 和M g 的Jordan 形式是±J f 和±J g ,在这里J f :=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣λ00λ−1⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦,J g :=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣λ′00λ′−1⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦,λ,λ′ {0,±1}.通过定理3.1（iii ）,f 和g 共轭当且仅当|λ|,|λ′| 1,或者λ=±λ′,或者λ=±¯λ′,当且仅当线性算子x →J f x 和x →±J g x 拓扑共轭,当且仅当线性算子x →M f x 和x →±M g x 拓扑共轭.第四种情形:n (f )=n (g )>2，断言（i ）和（ii ）存在因为f 和g 是恒等映射并且M f =±M g =±I 2,在这里I 2是恒等矩阵.第4章单位圆盘与上半平面上全纯自同构的拓扑共轭分类4.1单位圆盘与上半平面上的全纯自同构众所周知,存在从单位圆盘到上半平面的解析双射,所以Aut(H)和Aut(D)是全纯同构的.那么当我们明确了上半平面上的全纯自同构的拓扑共轭分类时,也就可以给出单位圆盘上全纯自同构的拓扑共轭分类.现在我们从Aut(H)入手,上半平面上的全纯自同构必具有如下形式f(z)=az+bcz+d,这里a,b,c,d∈R且ad−bc=1.记PSL(2,R) SL(2,R)/{I2,−I2}为实数域上的2阶射影特殊线性群,这里I2表示2阶单位矩阵.注意到Aut(H) PSL(2,R),那么我们可以根据Jordon标准型对上半平面上的全纯自同构进行分类,而且具有相同Jordon标准型的全纯自同构是全纯共轭的（这个全纯共轭是由相似变换诱导的）.Type I.若⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝a bc d⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠≃⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝λ100λ2⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠这里λ1 λ2.则f(z)=az+bcz+d全纯共轭于某个g(z)=λz,λ>1.Type II.若⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝a bc d⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠≃⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝1101⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠或⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝−110−1⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠.则f(z)=az+bcz+d全纯共轭于g(z)=z+1.Type III.若⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝a bc d⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠≃⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝cosθ−sinθsinθcosθ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠这里θ∈[0,2π).则f(z)=az+bcz+d全纯共轭于某个g(z),g(z)=cosθz−sinθsinθz+cosθ,这里θ∈[−π2,π2 ).上半平面上的全纯自同构必为Type I―III中的一种.另外,注意到Type I和Type II的全纯自同构是没有不动点的,称之为NFP-型全纯自同构;Type III的全纯自同构必有不动点,称之为EFP-型全纯自同构.由于具有不动点这一性质是拓扑共轭不变性,所以NFP-型全纯自同构与EFP-型全纯自同构之间是不拓扑共轭的.另外,通过上半平面到单位圆盘的解析双射,Type III型的全纯自同构对应了（全纯共轭）单位圆盘上的旋转映射.引理4.1令f(z):H→H为上半平面上的全纯自同构f(z)=cosθz−sinθsinθz+cosθ,令g(ω):D→D为单位圆盘上的全纯自同构g(ω)=e i2θω,这里θ∈[−π2,π2).则f与g全纯共轭(拓扑共轭).证明.定义映射h:H→D为,对任意的z∈C,h(z)=z−i z+i.则h是一个全纯同构(同胚).往证下面图表是交换的.H f−→Hh↓↓hD g−→D令ω=h(z)=z−iz+i ,则z=h−1(ω)=ω+11−ωi.那么f h−1(ω)=cosθω+11−ωi−sinθsinθω+11−ωi+cosθ=ωi cosθ+i cosθ−sinθ+ωsinθωi sinθ+i sinθ+cosθ−ωcosθ,进而h f h−1(ω)=ωi cosθ+i cosθ−sinθ+ωsinθωi sinθ+i sinθ+cosθ−ωcosθ−i ωi cosθ+i cosθ−sinθ+ωsinθωi sinθ+i sinθ+cosθ−ωcosθ+i=ωi cosθ+i cosθ−sinθ+ωsinθ+ωsinθ+sinθ−i cosθ+iωcosθωi cosθ+i cosθ−sinθ+ωsinθ−ωsinθ−sinθ+i cosθ−iωcosθ=2ωi cosθ+2ωsinθ2i cosθ−2sinθ=i cosθ+sinθi cosθ−sinθω=(i cosθ+sinθ)(i cosθ+sinθ)−cosθ·cosθ−sinθ·sinθω=−(−cosθ·cosθ+2i sinθcosθ+sinθ·sinθ)ω=(cos2θ−i sin2θ)ω=e i2θω=g(ω).至此,我们可以称Type III的全纯自同构为上半平面上的旋转,若其对应θ∈[−π2,π2 ),则称θπ为这个旋转的旋转数,记做ρ(f).4.2上半平面上全纯自同构的拓扑共轭分类现在我们将进一步讨论Type I-III型全纯自同构,进而给出上半平面上全纯自同构拓扑共轭分类.如不作特殊说明,本节中的映射均指上半平面上的连续自映射.首先对于Type I的全纯自同构,我们可以证明它们都是拓扑共轭的.命题4.1设g(z)=2z.那么对每个f(z)=az,a>1,f(z)拓扑共轭于g(z).证明.对任意的a>1,令α=log2a−1.定义映射h:H→H为h(z)=z|z|α,对任意z∈H.则h是一个同胚.一方面,h∘g(z)=h(2z)=2z|2z|α=2α+1z|z|α=az|z|α,另一方面,f∘h(z)=f(z|z|α)=az|z|α,故h∘g(z)=f∘h(z),因此f拓扑共轭于g.。

拓扑共轭、符号动力系统和马蹄映射

即 h f = g h ，亦即 f ( x) 与 g ( x) 是拓扑共轭的。这样， f ( x) 与 g ( x) 的动力学特性是完全相
( x) 4 x(1 − x) ，只需研究比较简单的映射 f ( x) 即可。同的。为了研究 g= （注意上面的第一个
式子简化用到了三角公式 sin x = 2sin( x / 2) cos( x / 2) ）
4
1. 拓扑共轭
2）同胚和微分同胚
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定义 1：设 F : U → V 是 1-1 满射，若 F ( x) 连续，F −1 (若 F ( x) 和 F −1 ( x) 不仅连续，而且还可微，则称 F ( x) 是 U 到 V 的一个微分同胚。 3）拓扑共轭在动力系统中，有一个重要的方法，即利用拓扑共轭将较为复杂的动力系统转化为较为简单的动力系统。定义 2：设 A 和 B 是两个拓扑空间， f : A → A, g : B → B 分别是 A 与 B 上的自映射，如果存在 A 到 B 的同胚 h : A → B ，使得
h
~ g 。拓扑共轭关系是一种等价关系，也
就是说，它满足以下三条（1）反身性。 f 与 f 是拓扑共轭的，即 f ~ f ；（2）对称性。若 f ~ g ，则 g ~ f ；（3）传递性。若 f ~ g ， g ~ ϕ ，则 f ~ ϕ 。
6
1. 拓扑共轭
自映射，它们的迭代轨道有着相同性质。这是因为，当 f
d ( s, t ) ≤
10
1 1 ，这与 d ( s, t ) ≤ n 矛盾。故若 n 2 2
1 2n
= si ti= , (i 1, 2, , n) 。，则必有

关于拓扑空间中的几个可测选择定理

关于拓扑空间中的几个可测选择定理
拓扑空间中的几个可测选择定理是指：
1、拓扑空间和Tikhonov 充要条件：如果一个拓扑空间和收敛于其上的一个序列有一些性质，则另一个拓扑空间上的序列也具有这些相同的性质。

2、Heine-Borel 充要条件：给定一个拓扑空间X，如果其是有界的，则X也是闭的（X的闭包与X自身是一致的）。

3、Banach 充要条件：如果一个拓扑空间X是一个完备的拓扑空间，那么它也是一个有限维的拓扑空间。

4、贝尔集定理：在拓扑空间的任意两个点中间总能找到一条路径。

拓扑半共轭下扩充与因子Devaney混沌性状的保持性

轭的概念，得出半群的混沌作用关于拓扑半共轭不变．本文把拓扑半共轭增强为有限层覆盖映射与局
’
部等距覆盖映射，研究扩充与因子的Ｄｖｎｙｅａｅ混沌性状的相互保持性．定义１设ｘ，为拓扑空间，：ｙ厂ｘ—ｘ，ｙｙ为连续映射．ｇ： — 如果存在连续满射ｈｘ— ｙ，：使得ｈ。厂＝ｇ。ｈ成立，称厂与ｇ拓扑半共轭，ｈ为从厂到ｇ的拓扑半共轭，中－为ｇ的扩充，则称其厂ｇ为
３ｒｅｚ
，（２＝ｅｇｅ枷）２
，（ｅ枷）２ｒ）则厂Ｘ— Ｘ，ｙ— ｙ连续，Ｘ— ｙ是连续满ｈｒ＝ｅ枷（＞０，：ｇ：ｈ：
射．因为ｈｒ２＝ｈ３ｅ ‘ ’ ＝ｅ ‘ ｆ（ｅ枷）（ｒ２专）２
，（ｅ槲）（ｚ＝ｅｒ２＝ｇｅ枷）２
，以＝，ｈ是从所即
．
厂ｇ的拓扑半共轭．任意的ｚＥＸ，ｚ＝ｔ２，ｚ＝，ｅ郴，对任意的整数咒＞０（＝到对记－取．２则ｅ．ｚ）
３ｒ２，（＝３ｒｅ．ｅ州ｚ）２州由于（）ｚ与（模的差为３ｌ —ｒｌｌ —ｒｌｚ）且为定值，自ｒｒ故某咒后， —ｒｆ３ｒ大于任意给定的正数，ｌ于是任意的＞０都是厂的初值敏感常数．对任意的ＥＹ，
２１０１年１２月
广西师范学院学报：自然科学版
ＪｕｎｌｏａｇｉａｈｒｕａｔｎＵｎｖｒｉ：ｔｒｌｃｅｃｉｏｏｒａｆＧｕｎｘｃｅｓＥｄｃｉｉｅｓｔＮａｕａｉｎｅＥｄｔｎＴｅｏｙＳｉ

点集拓扑知识归纳总结

第二章拓扑空间2.1拓扑空间的概念2.1.1拓扑定义2.1.1设X 是一集合，T 是X 的一子集族。

如果T 满足：（1）,X T ∅∈；（2）有限交封闭；（3）任意并封闭。

则称T 为X 上的一拓扑，而T 的成员叫X 的开集。

例：{},T X =∅叫X 上的平庸拓扑；{}A |A T X =⊆叫X 上的离散拓扑；典型拓扑：余有限拓扑、余可数拓扑、有心拓扑、去心拓扑定义2.1.2 Y 的子空间拓扑或相对拓扑：母空间的开集交上Y 即可。

定义2.1.3 设(X,T )是拓扑空间，∼是X 上的等价关系，等价类的集合为[]{}/|X x x X =∈∼，自然投影:/p X X →∼定义为()[]p x x =。

令(){}1//|T U X p U T −=⊆∈∼∼叫/X ∼上的商拓扑，()/,/T X ∼∼叫商空间。

下面证明/T ∼是/X ∼上拓扑。

(1)由于()1p T −∅=∅∈，()1/p X X T −=∈∼，即,//X T ∅∈∼∼；(2)设/A T ⊆∼为有限集，由于()11U U U A Ap p U −−∈∈⎛⎞=⎜⎟⎝⎠∩∩，且满足()1p U T −∈，由拓扑T 对有限交封闭有，()1U A p U T −∈∈∩，从而U U /AT ∈∈∼∩；(3) /A T ∀⊆∼，由于()11U U A Ap U p U −−∈∈⎛⎞=⎜⎟⎝⎠∪∪，类似地，由拓扑T 对任意并封闭有，()1U A p U T −∈∈∪，从而U /AU T ∈∈∼∪。

综上所述，/T ∼是/X ∼上拓扑。

定理2.1.1设(X,T )是拓扑空间，F 是X 的闭集族，则（1）,X F ∅∈；（2）有限并封闭；（3）任意交封闭。

定理2.1.2设(X,T )是拓扑空间，F 是X 的闭集族，Y ⊆ X，则Y |F 是Y 作为子空间的闭集族。

2.1.2 领域系定义2.1.5设X 是拓扑空间，包含x 的开集叫x 的开领域。

定义2.1.6设X 是拓扑空间，如果A 内存在x 的开领域，则称A 是x 的领域。

复合动力系统

复合动力系统
席凤娟;成丹丹;宋晓倩
【期刊名称】《重庆理工大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2008(022)012
【摘要】采用分析法研究了拓扑动力系统(X,f°g)的动力性状与拓扑动力系统(X,f)及(X,g)的动力性状之间的关系,结果表明,若f是拓扑传递、拓扑混合、拓扑强传递和初值敏感依赖的,且g满足一定条件,则fog相应地也是拓扑传递、拓扑混合、拓扑强传递和初值敏感依赖的.通过对(X,f)的动力性状和(X,g)的动力性状的研究,可以刻画出(X,f°g)的某些动力性状.
【总页数】4页(P79-81,101)
【作者】席凤娟;成丹丹;宋晓倩
【作者单位】西北大学数学系,西安,710127;西北大学数学系,西安,710127;西北大学数学系,西安,710127
【正文语种】中文
【中图分类】O189.11
【相关文献】
1.复合电源电动汽车动力系统优化设计研究 [J], 张进;麻友良
2.基于动力系统结构稳定性的共轭剪切破裂-地震复合模型 [J], 乔建永;马念杰;马骥;赵志强;郭晓菲;师皓宇
3.基于新能源复合能源动力系统的小型无人机总体仿真设计 [J], 余彬; 邓浩; 马琪; 贺翔
4.复合储能式装载机混合动力系统协同优化 [J], 曹海岐; 林慕义; 陈勇
5.基于Isight对复合储能式混合动力系统的稳健设计 [J], 徐大雨;林慕义;李钊;陈勇;马彬
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(点集拓扑学拓扑)知识点

第4章连通性重要知识点本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉及某些简单的应用．这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间． §4．1 连通空间本节重点: 掌握连通与不连通的定义.掌握如何证明一个集合的连通与否?掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性。

我们先通过直观的方式考察一个例子．在实数空间R 中的两个区间（0，l ）和［1，2），尽管它们互不相交，但它们的并（0，1）U ［l ，2）＝（0，2）却是一个“整体”；而另外两个区间（0，1）和（1，2），它们的并（0，1）U （1，2）是明显的两个“部分”．产生上述不同情形的原因在于，对于前一种情形，区间（0，l ）有一个凝聚点1在［1，2）中；而对于后一种情形，两个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中．我们通过以下的定义，用术语来区别这两种情形．定义4．1．1设A 和B 是拓扑空间X 中的两个子集．如果∅=⋂⋃⋂)()(A B B A则称子集A 和B 是隔离的．明显地，定义中的条件等价于∅=⋂B A 和 ∅=⋂A B 同时成立，也就是说，A 与B 无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点．应用这一术语我们就可以说，在实数空间R 中，子集（0，1）和（1，2）是隔离的，而子集（0，l ）和[1，2) 不是隔离的．又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的，而在离散空间中任何两个无交的子集都是隔离的．定义4．1．2 设X 是一个拓扑空间．如果X 中有两个非空的隔离子集A 和B 使得X=A ∪B ，则称X 是一个不连通空间；否则，则称X 是一个连通空间．显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间，而任何平庸空间都是连通空间．定理4．1．1设X 是一个拓扑空间．则下列条件等价：（l ）X 是一个不连通空间；（2）X 中存在着两个非空的闭子集A 和B 使得A ∩B=∅ 和 A ∪B ＝ X 成立；（3） X 中存在着两个非空的开子集A 和B 使得A ∩B=∅ 和 A ∪B ＝ X 成立；（4）X 中存在着一个既开又闭的非空真子集．证明（l ）蕴涵（2）: 设（1）成立．令A 和B 是X 中的两个非空的隔离子集使得 A ∪B ＝X ，显然 A ∩B=∅，并且这时我们有B B B A B B A B X B B =⋂⋃⋂=⋃⋂=⋂=)()()(因此B 是X 中的一个闭子集；同理A 也是一个X 中的一个闭子集．这证明了集合A 和B 满足条件（2）中的要求．（2）蕴涵（3）．如果X 的子集A 和B 满足条件（2）中的要求，所以A 、B 为闭集，则由于这时有A ＝B /和B=A '，因此A 、B 也是开集，所以A 和B 也满足条件（3）中的要求．（3）蕴涵（4）．如果X 的子集A 和B 满足条件（3）中的要求，所以A 、B 是开集，则由A ＝B '和B=A '易见A 和B 都是X 中的闭集，因此A 、B 是X 中既开又闭的真（∵A 、B ≠∅，A ∪B=X ，∴A 、B ≠X ）子集，所以条件（4）成立．（4）蕴涵（l ）．设X 中有一个既开又闭的非空真子集A ．令B=A '．则A 和B 都是X 中的非空的闭子集，它们是无交的并且使得A ∪B=X ．易见两个无交的闭子集必定是隔离的（因为闭集的闭包仍为自己）．因此（l ）成立．例4. 1．1 有理数集Q 作为实数空间R 的子空间是一个不连通空间．这是因为对于任何一个无理数r ∈R-Q ，集合（-∞，r ）∩Q ＝（－∞，r]∩Q 是子空间Q 中的一个既开又闭的非空真子集．定理4．1．2 实数空间R 是一个连通空间．证明我们用反证法来证明这个定理．假设实数空间R 是不连通空间．则根据定理4．1．1，在R 中有两个非空闭集A 和B 使得A ∩B=∅ 和 A ∪B ＝ R 成立．任意选取a ∈A 和b ∈B ，不失一般性可设a ＜b ．令A ~=A ∩[a,b]，和B ~=B ∩[a,b]．于是A ~和B ~是R 中的两个非空闭集分别包含a 和b ，并且使得A ~∩B ~=∅和A ~∪B ~=[a ，b]成立．集合A ~有上界b ，故有上确界，设为b ~．由于A ~是一个闭集，所以b ~∈A ~，并且因此可见b ~＜b ，因为b ~＝b 将导致b ∈A ~∩B ~，而这与A ~∩B ~=∅矛盾．因此（b ~，b]⊂B ~．由于B ~是一个闭集，所以b ~∈B ~．这又导致b ~∈A ~∩B ~，也与A ~∩B ~=∅矛盾．定义4．1．3设Y 是拓扑空间X 的一个子集．如果Y 作为X 的子空间是一个连通空间，则称Y 是X 的一个连通子集；否则，称Y 是X 的一个不连通子集．拓扑空间X 的子集Y 是否是连通的，按照定义只与子空间Y 的拓扑有关(即Y 的连通与否与X 的连通与否没有关系.)．因此，如果X Z Y ⊂⊂，则Y 是X 的连通子集当且仅当Y 是Z 的连通子集．这一点后面要经常用到．定理4．1．3 设Y 是拓扑空间X 的一个子集，A ，B ⊂Y ．则A 和B 是子空间Y 中的隔离子集当且仅当它们是拓扑空间X 中的隔离子集．因此，Y 是X 的一个不连通子集当且仅当存在Y 中的两个非空隔离子集A 和B 使得A ∪B ＝Y(定义)当且仅当存在X 中的两个非空隔离子集A 和B 使得A ∪B ＝Y ．证明因为 ))(())(())()(())()(()))((()))((())(())((A B C B A C A Y B C B Y A C A Y B C B Y A C A B C B A C X X X X X X Y Y ⋂⋃⋂=⋂⋂⋃⋂⋂=⋂⋂⋃⋂⋂=⋂⋃⋂因此根据隔离子集的定义可见定理成立．定理4．1．4 设Y 是拓扑空间X 中的一个连通子集．如果X 中有隔离子集A 和B 使得 Y ⊂A U B ，则或者 Y ⊂A ，或者 Y ⊂B ．证明如果A 和B 是X 中的隔离子集使得Y ⊂AUB ，则∅=⋂⋃⋂⋂=⋂⋂⋃⋂⋂⊂⋂⋂⋂⋃⋂⋂⋂)()(()()())(())((A B B A Y A Y B B Y A Y A Y B Y B Y A 这说明A ∩Y 和B ∩Y 也是隔离子集．然而（A ∩Y ）∪（B ∩Y ）＝（A ∪B ）∩Y ＝Y因此根据定理4．1．3，集合A ∩Y 和B ∩Y 中必有一个是空集．如果 A ∩Y=∅，据上式立即可见 Y ⊂B ，如果 B ∩Y ＝ ∅，同理可见Y ⊂A ．定理4．1．5设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z ⊂X 满足条件Y Z Y ⊂⊂．则 Z 也是X 的一个连通子集．证明假设Z 是X 中的一个不连通子集．根据定理4．1．3，在 X 中有非空隔离子集A 和B 使得Z=A ∪B ．因此 Y ⊂AUB ．由于Y 是连通的，根据定理4．1．4，或者Y ⊂A ，∅=⋂=⇒∅=⋂⊂⋂⇒⊂⊂B Z B B A B Z A Y Z或者Y ⊂B,同理,∅=A 。

拓扑传递的等价条件

拓扑传递的等价条件
我以前遇到个学这个的小伙子，那头发乱得像个鸟窝似的，眼睛倒是贼亮。

他跟我说这个拓扑传递啊，就像是在一个奇怪的空间里玩一种特别的游戏。

他一边说一边手在空中比划着，那模样就像个魔法师在施法。

这拓扑传递有好几个等价条件呢。

首先啊，就像是在一个满是小道的大院子里，从任何一个角落出发，总能通过这些弯弯曲曲的小道到达另一个看起来很远的角落。

我就跟他说：“这咋有点像我小时候在村子里串门儿呢，不管哪家，总能顺着那些小巷子找到。

”他就笑了，说：“您还真有点感觉了。

”
还有啊，这个等价条件还可以想象成一群小蚂蚁在一个复杂的巢穴里。

每个小空间就像是拓扑里的一个集合。

不管哪只蚂蚁从哪个小空间开始爬，只要这个巢穴满足拓扑传递的条件，那它总能爬到其他的小空间去。

我就想啊，这蚂蚁要是知道自己在这么复杂的数学概念里，得吓一跳呢。

我又问那小伙子：“你说这东西在现实里还有啥例子不？”他挠挠头，那乱发更乱了，然后说：“您看那城市里的交通网络，只要设计得合理，从任何一个地方出发，总能通过那些道路到达另一个地方，这在某种程度上也有点像拓扑传递呢。

”我一听，还真是这么回事儿。

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文章编号：００２４Ｘ（０１０４７４５１０－７２１）５３６４３
Ｃｎｕａｅｍｂｄｉｇｏｅａｄｎｃｉｅｉｔｏｏｏｉａｏｊｇｔｌｅｅｄｎｆｔｄｉｇｍａｈｎｏｔｐｌｇｃｌｙｈｎ
ｄｎｍｉａｙｔｍｓ：Ａｅｅｓｒｎｕｃｅｏｄｔｏｙａｃｌｓｓｅｎｃｓａｙａｄｓｆｉｎｔｃｎｉｉｎｉ
摘要：目的
研究拓扑动力系统的动力性状。方法通过拓扑共轭和半共轭的方法，用加法机器来类似于把符号动力系统拓扑共轭嵌入到给定拓
研究拓扑动力系统的动力性状。结果获得了拓扑动力系统（）一个子系统（ｌ）加法有以，＾与机器（） △ 拓扑（）半共轭充分必要条件。结论
加法机器拓扑共轭嵌入到拓扑动力系统中的充要条件
李自来王延庚卫国，，
（．１西北大学数学系，陕西西安７０２２美国北卡罗莱那大学彭布洛克分校１１７；．数学与计算机科学系，北卡罗莱那州彭布洛克２３２８７）
ｉｎｔｏｏｃｎｍｃｔｔｓｏｊｇｔｅｐ，ｓｍ－ｎｕａｅｏｈｄｉｇａｈｎ．ｎｌｓｇｅｐｌｉｌｙａｉａｓｓｍｔａｉｃｎｕａｒｓ．ｅｉｏｊｇｔ）ｔｔｅａｄｎｃｉｅＣｏｃｕｉｎｖｏｇａｄｌｙｅｈｅ（ｃｏ
西北大学学报（自然科学版）
２１年１月，４卷第５，ｃ，１，ｏ４，ｏ５０１０第１期Ｏｔ２１Ｖ１１Ｎ．．０．
ＪｕａｏｏｈｅｔｎｖｒｔＮｔｒｌｃｎｅＥｉｏ）ｏｒｌｆｒｗｓＵｉｓｙ（ａｕａＳｉｃｄｉｎＮｔｅｉｅｔｎ
Ａｂｔａｔｓｒｃ：ＡｉＴｎｅｔａｅｔｅｄｎｍｉａｅａｉｒａｄｃｍｐｅｉｆｔｐｌｇｃｌｙａｃｌｓｓｍｓＭｅｈｄｍｏｉｖｓｉｔｈｙａｃｌｈｖｏｎｏｌｘｔｏｏｏｉａｎｍｉａｙｔ．ｔｏｓｇｂｙｏｄｅＴｅａｄｎｃｉｅｉｅｅｄｄｉｔｏｏｏｉａｙａｃｙｔｍｓｔｘｌｒａｉｕｙａｃｌｐｏｅｔｓｏｈｄｉｇｍａｈｎｓｍｂｄｅｎｏｔｐｌｇｃｄｎｍｉａｓｓｅｏｅｐｏｅｖｒｓｄｎｍｉａｒｐｒｅｆｌｌｏｉｔｅｅｓｓｍｓＲｅｕｔＡｎｃｓａｙａｄｓｆｃｅｔｃｎｉｏｓｅｔｂｉｅｏｈｘｓｅｃｆａｓｂｙｔｍｎｔｅｈｓｙｔ．ｓｌｅｓｅｅｓｒｎｕｆｉｎｏｄｔｎｉｓａｌｈｄｆｒｔｅｅｉｎｅｏｕｓｓｅｉｈｉｉ拓扑共轭嵌入到复杂拓扑动力系，把为研究复杂动力系统的动力性状提供了
关键词：法机器；扑共轭；扑半共轭；系统加拓拓子
中图分类号：１９１０８．
文献标识码：Ａ
Ｌ —ａ，ＷＡＮＧｎ．ｅｇ，ＷＥＩＧｕＩＺｉｌｉＹａｇｎｏ
（．ｅａｍｎｆｔｅａｉ，ｏｈｅｔｎｖｒｔ，ｉｎ７０２，ｈｎ；１ＤｐｒｅｔｈｍｔｓＮｒｗｓＵｉｓｙＸ１１７ＣｉａｔｏＭａｃｔｅｉａ
Ｐｒｌｌｏｅｅｄｎｅｓｍｂｌｙｔｍｔｉｅｙｔｍ，ｅｅｄｎｅａｄｎｃｉｅｉｔｅｇｖｎｓｓｅａａｌｍｂｄｉｇｔｙｏｉｓｓｅｔｈｃｅｉｏａｇｖｎｓｓｎｅｍｂｄｉｇｔｄｉｇｍａｈｎｏｔｉｅｙｔｍｈｎｈｐｏｉｅｎａｔｒａｉｅａｐｏｃｏｘｌｒｇｄｎｍｉａｏｌｘｔｆｔｅｇｖｎｓｓｅｒｖｄｓａｅｎｔｐｒａｈｆｒｅｐｏｉｙａｃｌｃｍｐｅｉｏｉｅｙｔｍ．ｌｖｎｙｈ