多元函数的极限与连续
多元函数在某点极限、连续、偏微商、全微分之间的关系
多元函数在某点极限、连续、偏微商、全微分之间的关系多元函数的概念在数学上已经有些年头了，即在多个变量的情况下，它们之间的关系也是非常有趣的话题。
这些多变量函数有很多重要的性质，其中之一就是某点极限、连续、偏微分和全微分之间的关系。
在本文中，将讨论多变量函数在某点极限、连续、偏微分、全微分之间的关系，并介绍如何利用这些概念求解多元函数。
首先，多变量函数的某点极限定义如下：当x趋于某一特定的值（或者说给定的一组值）时，多变量函数的极限就是函数值在这个点处的限值。
如果该函数有定义域，那么极限就是函数值在限近点的限值；如果函数没有定义域，那么极限就是函数值在限近点的上限或下限。
如果存在极限，那么必须满足极限定义；如果不存在极限，那么就不存在这样的限值。
其次，多变量函数的连续性描述如下：如果一个函数在某一点处存在极限，那么函数就是连续的，反之则不是。
如果某一函数的极限存在，且接近这一点时函数值趋于一个常数，那么函数就是连续的；如果极限不存在，或者极限存在但接近这一点时函数值不趋于一个常数，那么函数就是非连续的。
接着，多变量函数的偏微分定义如下：在多变量函数f(x,y,z)中，偏导数f/x就是函数f关于x的偏微分。
这意味着当把其他两个变量y和z都看作是定值时，f关于x的偏微分就是求解f关于x的变化量。
如果在某一点处偏导数的值存在，那么这个点就是导数的定义点；此外，如果在某一点处f是连续的，则此处偏导数的值也可能存在。
最后，多变量函数的全微分定义如下：在多变量函数f(x,y,z)中，全微分就是求函数f关于x、y、z三个变量的变化量。
这里的变化量就是每一个变量的偏导数的乘积，即f/xyz，如果在某一点处存在全微分，则这个点就是全微分的定义点。
以上就是多变量函数在某点极限、连续、偏微分、全微分之间的关系的简单介绍。
它们之间的联系可以用来求解多变量函数，尤其是关于极限和偏导数的讨论。
下面，将介绍如何使用这些概念来求解多变量函数。
第十六章多元函数的极限与连续
第十六章 多元函数的极限与连续1． 证明: 对任何n R E ⊂, 它的导集d E 必为闭集.2． 设B A ,是n R 中两个不相交的开集, 证明∅=B A I .3． 证明: 对任何n R E ⊂, 它的边界E ∂必为一闭集.4． 证明闭域必为闭集.5． 讨论下列函数在)0,0(),(→y x 时的极限不存在:(1) 242),(y x y x y x f +=; (2) y x xy y x g +=),(; (3) 2322),(yx y y x y x h ++-=. 6. 设),(y x f 在点),(000y x P 的某邻域)(0P U ο内有定义, 且满足:(1) 在)(0P U ο中, 对每个0y y ≠, 存在)(),(lim 0y y x f x x ψ=→; (2) )(),(lim 0x y x f y y ϕ=→, 关于)(0P U ο中的x 一致. 试证明:),(lim lim ),(lim lim 0000y x f y x f x x y y y y x x →→→→=. 7. 设)(),(y x yx y x y x f ≠-+=. 证明: (1) m k ∃∀,, 使得在mx y = 或 my x =上, 有k y x f y x =→),(lim )0,0(),(;(2) ),(lim lim ),(lim lim 0000y x f y x f x y y x →→→→≠. 8. 设22222)(),(y x y x y x y x f -+=. 证明: (1) ),(lim lim ),(lim lim 0000y x f y x f x y y x →→→→=; (2) ),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在.9. 证明: 22y x r +=在2R 上一致连续.10. 设),(y x f 是2R 上的实值函数. 证明: ),(y x f 在2R 上连续的充要条件是对于R 中的每个开集G , 集合}),(),{()(21G y x f R y x G f∈∈=-亦必为开集. 11. 证明: 若n R E ⊂为一有界开集, 则m R E f →:在E 上一致连续的充要条件是:f 在E 上连续, 且对任何点E x ∂∈0, 极限)(lim 0x f Ex x x ∈→都存在(即f 在E 上的连续性能延拓到E ∂). 12. 设R R f n →:为连续函数. 试证: A x f r =∞→)(lim 存在(x r =), 则f 在n R 上一致连续. 13. 设n R E ⊂, R E f →:. 试证f 在E 上一致连续的充要条件是: 对E 中每一对点列}{k x , }{k y , 如果0lim =-∞→k k k y x , 便有 0)()(lim =-∞→k k k y f x f .。
9-1,2-多元函数的概念极限和连续
P → P0
函数 f ( P ) 在点 P0 处连续。 设 P0 是函数 f ( P ) 的定义域的聚点， 的定义域的聚点，如果 f ( P ) 在点 P0 处不连续， 处不连续，则称 P0 是函数 f ( P ) 的间断 点。
故函数在(0,0)处连续.
25
例6 讨论函数
xy 2 2 x2 + y2 , x + y ≠ 0 f ( x, y) = 0, x2 + y2 = 0
在(0,0)的连续性． 的连续性． 解 取 y = kx 2 xy k kx lim 2 = lim 2 = 2 x →0 x + y 2 x→0 x + k 2 x 2 1 + k y→ 0 y = kx 极限不存在． 其值随k的不同而变化， 的不同而变化， 极限不存在． 处不连续． 故函数在(0,0)处不连续 ．
3
(3)连通，区域，有界
(1)如果 E 中的任意两点可以用完全含于 E 的折线段 连接起来， 连接起来，则称其为连通 则称其为连通的 连通的； (2)连通的开集成为区域 连通的开集成为区域(域)，连通的闭集称为闭域 连通的闭集称为闭域； 闭域； (3)无洞的连通区域称为单连通 否则为多连通 无洞的连通区域称为单连通的 单连通的， 否则为多连通的 多连通的； (4) 如果 E 含于某一个 含于某一个(有限个)(圆心在原点的)圆( 的 并集)，则称其为有界 则称其为有界的 有界的，否则称为无界 否则称为无界的 无界的。
1 x− y
y x
3) z =
多元函数的极限与连续课件
第8章 多元函数微分法及其应用
2
8.1 多元函数的极限与连续
8.1 多元函数的极限与连续
function of many variables
平面点集 多元函数的概念 多元函数的极限 多元函数的连续性 小结 思考题 作业
3
8.1 多元函数的极限与连续
一、平面点集
建立了坐标系的平面称为坐标面. 二元有序 实数组(x, y)的全体, 即
是区域吗? 是区域.
x y0 y x y0
•
E {( x, y) x 0, y 0}
不是区域. 因为不连通. 连结两点的任何折线都与 y轴相交, 相交点不属于E.
y
O•
x
O
x
10
8.1 多元函数的极限与连续
有界集 总可以被包围在一个以原点为中心、半径适当 大的圆内的区域, 称此区域为 有界集.否则称为 无界 集 (可伸展到无限远处的区域 ).
U (P0 , ) {( x, y) ( x x0 )2 ( y y0 )2 }
它是以P0为中心、以 为半径的开圆 (“开”意味着
不包括边界), 也称为点P0的邻域, y 几何表示
有时简记为 U (P0 ).
. P0
注 ① 将邻域去掉中心,
称之为 去心邻域. U (P0 , )
O
x
的几U全一何(②a体元表,点函也示)表称数可示之中将为:邻以与点域P点0P的为a0距邻概中离 域念心.小的: 于 某个的矩一形切内点(不x的算全周体界.)
(2) 外点 如果存在点P的某个邻域 U(P),
使U(P)∩E = ,则称P为E的 外点.(P2 )
E
• P2
(3) 边界点 如点P的任一邻域内既有属于E的点,
8.2 多元函数的极限与连续
13
8.2
多元函数的极限与连续
x2 x+ y
3− x + y +9 （3） lim x→0 x2 + y2
2 2 y→0
1 （4） lim(1 + ) x →∞ x y →a
1 =− . 解： 3）原式 = lim 2 （ x→0 2 2 2 6 ( x + y )(3 + x + y + 9) y→0
9
8.2
多元函数的极限与连续
若在开区域（或闭区域） D 内某些孤立点，或者沿 D 内 若在开区域（或闭区域） 内某些孤立点， 某些曲线，函数没有定义，但在 D 内其余部分， f ( x , y ) 都 某些曲线，函数没有定义， 内其余部分， 部分 有定义， 有定义，则这些孤立点或这些曲线上的点都是函数 f ( x , y ) 的间断点。 的间断点。
证
y = kx 3 , 取
x3 y x 3 ⋅ kx 3 k lim 6 = lim 6 , = 2 x →0 x + y 2 x →0 x + k 2 x 6 1+ k y→ 0 y = kx 3
的不同而变化， 其值随 k 的不同而变化， 故极限不存在． 故极限不存在．
关于二元函数的极限概念， 关于二元函数的极限概念，可相应地推广到 n 元函数
2．函数 f ( x, y) 在区域 D 上的连续性
如果函数 上任意一点都连续， 如果函数 z = f ( x , y ) 在区域 D 上任意一点都连续，则称
f ( x , y ) 在区域 D 上连续。 上连续。
二元连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面。 二元连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面。 连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限与连续性在微积分学中，多元函数的极限与连续性是重要的概念和理论。
本文将介绍多元函数的极限与连续性的定义、性质和相关定理，并通过实例和推导来加深理解。
一、多元函数的极限多元函数是指自变量为多个变量的函数，例如f(x, y)。
在研究多元函数的极限时，需要先定义自变量的趋近方式。
我们定义自变量(x, y)趋近于(a, b)，并记为(x, y)→(a, b)，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当(x, y)离开点(a, b)的距离小于δ时，对应的函数值f(x, y)与极限L的差的绝对值小于ε。
即满足以下条件：|f(x, y) - L| < ε，当0 < √((x-a)² + (y-b)²) < δ时。
二、多元函数的连续性多元函数在某个点上的连续性是指这个函数在该点的值与其极限相同。
具体地，函数f(x, y)在点(a, b)连续的定义如下：lim (x, y)→(a, b) f(x, y) = f(a, b)。
三、多元函数的极限运算法则多元函数的极限与一元函数类似，也遵循一些运算法则，如极限的唯一性、四则运算法则和复合函数的极限等。
其中，极限的唯一性法则指出：如果(x, y)→(a, b)时，f(x, y)存在极限L，则这个极限L唯一确定。
四、多元函数连续性的充分条件在一元函数中，连续函数的充分条件是极限存在。
但是在多元函数中，连续函数的充分条件有所不同。
根据多元函数的极限运算法则，可以得到以下结论：1. 一元函数的连续构成了多元函数的局部连续性；2. 极限与连续性的传递性：如果f(x, y)在点(a, b)连续，g(u, v)在点(f(a, b), c)连续，则复合函数g[f(x, y)]在点(a, b)也连续。
五、多元函数连续性的局部性质与一元函数连续性一样，多元函数的连续性也具有局部性质。
具体地，如果多元函数f(x, y)在点(a, b)连续，则在点(a, b)的任意邻域内，f(x, y)仍然连续。
多元函数
例如,
z = sin xy
多 元 函 数 极 限 与 连 续 性
例
多 元 函 数 极 限 与 连 续 性
求下列函数的定义域:
x + 3y z= x− y
2
2
想想，该怎么 想想，该怎么 求？ 求？ 与一元函数的情形进行比较 与一元函数的情形进行比较
解
由分母不能为零可知，该函数的
2
定义域为 xy 平面上除 y = x 以外的所
所求定义域为 D = {( x , y ) | 2 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4, x > y 2 }.
例 求下列函数的定义域:
f ( x , y ) = ln( y − x) +
多 元 函 数 极 限 与 连 续 性
x 1− x − y
2 2
与一元函数的情形进行比较 与一元函数的情形进行比较
解 由对数函数知识、分母不能为 零、负数不能开偶次方，得 y y−x>0 ⎧
y
E
无界集 E
E = {( x, y ) | a ≤ x ≤ b , − ∞ < y < +∞}
O
a
b
x
集合的连通性
若 E 中的任意两点均可用 完全位于 E 内的 折线连接起来，
多 元 函 数 极 限 与 连 续 性
则称 E 为 R 中的连通集。 否则，称 E 是不连通的。
n
.
多 元 函 数 极 限 与 连 续 性
多 元 函 数 极 限 与 连 续Ω 性
⎪ ⎨ ⎪ ⎩
1− x − y > 0 x≥0
2 2
Ω
y=x
1 x
O
故原函数的定义域为
02多元函数的极限与连续
f(x ) U a ,)(即 ,|f(x ) a |,则称
lim f(X)a
进
X X0
行
lim f(x)a.
xx0
整
理
现在进行形式上的推广
设 u f(X )X ,X 0为 的.聚点
若 0 , 0 ,当 X U ˆ ( X 点 0 ,) 时 ,
f(x ) U a ,)(即 ,|f(x ) a |,则称
lim f(x)a.
xx0
现在进行形式上的推广
回忆一元函数极限的概念的
uf(X )X X0为的聚点 设 yf(x )x Ix ,0为 I的.聚点
X U ˆ(X0,)
若 0 , 0 ,当 x U ˆ ( x 0 , 点 ) 时 ,
若 X l iX 0m (X )0 ,则(称 X )为 X X 0时的.无
应用这个性质,
lifm (X ) a f(X ) a 可将一元函数的
X X 0
极限运算法则和
其 ,X 中 U ˆ(X 0 )X ,l X i0m 0 .
性质推广到多元 函数中来.
例
求 lim x2 y2 .
x0 | x | | y |
y0
怎么办? 怎么办? 解 由于
0 x2 y2 x2 y2 | x | | y | |x|| y| |x|| y|
x2 y2 | x|| y| |x| | y|
而 lim (|x|| y|)0, 故由夹逼定理, 得 x0 y0 lim x2 y2 0 x0 | x | | y | y0
limy 2. x 0 yБайду номын сангаас2
多元函数的极限和连续性
多元函数的极限和连续性在高等数学中，多元函数的极限和连续性是比较基础的概念，对于学习后续的微积分、偏微分方程等内容都有重要的意义，因此本文将从多元函数极限和连续性的定义、求解及其应用等方面进行探讨和阐述。
一、多元函数的极限和连续性的定义在一元函数中，极限的概念是比较容易理解和推广的，而在多元函数中，由于独立变量的个数增加，问题变得更加复杂。
因此，我们需要重新定义多元函数的极限。
1. 多元函数的极限定义设$f(\boldsymbol{x})$是定义在某点$\boldsymbol{x_0}=(x_0,y_0, z_0, ...)$的某一邻域内的多元函数，$\boldsymbol{\alpha}=(\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n)$是任一常数向量，那么当对于任意$\epsilon>0$，都存在$\delta>0$，使得当$0<\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{x_0}\Vert<\delta$时，都有$\vert f(\boldsymbol{x})-f(\boldsymbol{x_0}+\boldsymbol{\alpha})\vert<\epsilon$成立，则称$\boldsymbol{x_0}$是$f(\boldsymbol{x})$的一个极限点，记作$\lim\limits_{\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x_0}}f(\boldsymbol{x})=f(\boldsymbol{x_0}+\boldsym bol{\alpha})$。
可以看出，多元函数的极限与一元函数的极限相似，但是需要考虑的变量更多。
在多元函数中，只有当$\boldsymbol{x}$从任意方向趋近于$\boldsymbol{x_0}$时，$\lim\limits_{\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x_0}}f(\boldsymbol{x})$才存在。
高等数学讲义2
第八章：多元函数微分8.1 多元函数的极限与连续性8.1.1 定义设函数f(x,y)在开区域（或闭区域）D内有定义，P0(x,y)是D的内点或边界点。
如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于适合不等式的一切点P(x,y)∈D,都有|f(x,y)-A|<ε成立，则称常数A为函数f(x,y)当 x→x0,y→y时的极限，记作或f(x,y) →A (ρ→0),这里ρ=|PP|。
例设（x2+y2≠0），求证。
因为，可见，对任何ε>0，取，则当时，总有成立，所以。
我们必须注意，所谓二重极限存在，是指P（x,y）以任何方式趋于P0（x,y）时，函数都无限接近于A。
定义设函数f(x,y)在开区域（或闭区域）D内有定义，P0(x,y)是D的内点或边界点且P∈D。
如果则称函数f(x,y)在点P0(x,y)连续。
8.1.2 性质性质1（最大值和最小值定理）在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最小值和最大值。
性质2（介值定理）在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。
所谓定义区域，是指包含在定义域内的区域或闭区域。
由多元初等函数的连续性，如果要求它在点P0处的极限，而该点又在此函数的定义区域内，则极限值就是函数在该点的函数值，即。
8.2 偏导数的定义及计算法8.2.1 定义设函数z=f(x,y)在点(x0,y)的某一邻域内有定义，当y固定在y而x在x0处有增量Δx时，相应的函数有增量f(x+Δx,y)-f(x,y),如果存在，则称此极限为函数z=f(x,y) 在点(x0,y)处对x的偏导数，记作或 fx （x，y）。
对于函数z=f(x,y)，求时，只要把y暂时看作常量而对y求导。
例求z=x2sin2y的偏导数。
解。
8.2.2 高阶偏导数定理如果函数z=f（x,y）的两个二阶混合偏导数在区域D内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。
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13
8.1 多元函数的极限与连续
例 设R是电阻R1, R2并联后的总电阻. 由电学 知识知道, 它们之间具有如下的关系
R R1 R 2 R1 R 2 , R1 0 , R 2 0 .
当电阻R1, R2取定后, R的值就唯一确定了.
如 { ( x , y ) 1 x y 4 }, { ( x , y ) x y 0 }
2 2
都是闭区域.
9
8.1 多元函数的极限与连续
连通的开集称为区域或开区域.
E { ( x , y ) x y 0 }, E {( x , y ) x 0 , y 0 }
例 集合 { ( x , y ) 1 x 2 y 2 2 }是有界闭区域;
集合 { ( x , y ) x y 0 } 是无界开区域; 集合 { ( x , y ) x y 0 } 是无界闭区域.
11
8.1 多元函数的极限与连续
y
y
O
x 有界开区域 y
O
x 有界闭区域 y
怎样描述呢? 回忆: 一元函数的极限 注 (1) P (x, y)趋向于P0(x0, y0)的 方向有任意 多个, 路径又是多种多样的. y
( x, y) ( x, y) ( x, y) ( x, y)
( x0 , y0 )
y
( x, y)
( x, y) ( x, y)
( x, y)
( x0 , y0 )
14
8.1 多元函数的极限与连续
定义8.1 设D是R2的一个非空子集, 称映射
f : D R 为定义在D上的二元(点)函数,记为
z f ( x , y ),
( x, y) D
P D,
或
z f ( P ),
称x, y为自变量, 称z为 因变量.点集D称为该函数的
定义域, 数集 { z z f ( x , y ), ( x , y ) D } 称为该函数
P ( x , y ) P0 ( x 0 , y 0 )
这样, 可以在一元函数的基础上得出二元 函数极限的一般定义.
24
8.1 多元函数的极限与连续
定义8.2 ( ) 设二元函数 f (P ) = f (x, y)的 定义域为D, P0(x0, y0)是D的聚点. 如果存在常数 A,
x x0
0, ,当 0 x x ( P , lim 如果对于任意给定的 0P的去心邻域0U 时,) f ( x ) A 0,
8.1 多元函数的极限与连续
( x , y ) ( x 0 , y0 )
lim
f ( x, y)
说明 (1) 定义中 P P0 的方式是任意的; (2) 二元函数的极限也叫 二重极限. (double limit) 关于二元函数的极限概念可相应地推广到 n元函数上去.
26
8.1 多元函数的极限与连续
多元函数的极限与一元函数的极限的 相同点和差异是什么 相同点 定义相同. 差异 一元函数在某点的极限存在的 充要条件是左右极限都存在且相等; 而多元函 数必需是点 P 在定义域内以任何方式和途径 趋于P0时, f (P)都有极限, 且相等.
点 P ( x0 , y0 ) R ,
2
若 1 x 0 y 0 2, 则P为E的内点;
2 2
2 2
也是E的聚点;
若 x 0 y 0 1 或 x 0 y 0 2, 则P为E的边界点,
2 2
也是E的聚点; E的边界 E { ( x , y ) x y 1 或
y
O
1
x
有界半开半闭区域
18
8.1 多元函数的极限与连续
2. 二元函数的几何意义
z
研究单值函数
z f ( x, y)
M
y
O
y
P D
x
x
{( x , y , z ) | z f ( x , y ), ( x , y ) D }
二元函数的图形通常是一张 曲面.
19
8.1 多元函数的极限与连续
lim
f ( x, y) A
或 f ( x , y ) A ( 0)
也记作 lim f ( P ) A 或 f ( P ) A ( P P0 ).
P P0
内总有E中的点(P本身可属于E, 也可不属于E ), 则称P 恒有 | f ( x ) A | . 25 是E的聚点.
function of many variables
平面点集 多元函数的概念 多元函数的极限 多元函数的连续性 小结 思考题 作业
3
8.1 多元函数的极限与连续
一、平面点集
建立了坐标系的平面称为坐标面. 二元有序
实数组(x, y)的全体, 即
R
2
R R {( x , y ) x , y R }
O
x 有界半开半闭区域
O
x 无界闭区域
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8.1 多元函数的极限与连续
二、多元函数的概念
1. 二元函数的定义 例 在生产中, 产量Y与投入资金K和劳动力L
之间, 有如下的关系
Y AK
L , ( A , ,
为正的常数).
在西方经济学中称此函数关系为 Cobb-Douglas 生产函数.
0, 0, 当0
( x x0 ) ( y y0 ) ,
2 2
有
f ( P ) A f ( x, y) A
成立. 则称 A 为 z f ( x , y ) 当 ( x , y ) ( x 0 , y 0 )时
的极限. 记作
( x , y ) ( x 0 , y 0 )
本章在一元函数微分学的基础上, 讨论多元函 数的微分方法及其应用. 以二元函数为主, 但所得到 的概念、性质与结论都可以很自然地推广到二元以 上的多元函数. 同时, 还须特别注意一些与一元函数
微分学显著不同的性质和特点.
第8章 多元函数微分法及其应用
2
8.1 多元函数的极限与连续
8.1 多元函数的极限与连续
几何表示
O a
a
a
x
5
8.1 多元函数的极限与连续
下面利用邻域来描述点和点集之间的关系. 任意一点 P R 2 与任意一点集 E R 2 之间 必有以下四种关系中的一种: (1) 内点 设E为一平面点集, 点 P E , 若存在
0 , 使 U ( P ) E , 称P为E的 内点. P1 ) (
第8章
多元函数微分法 及其应用
z
M
z f ( x, y)
y
O
y
P D
x
x
8.1 多元函数的极限与连续
上册已经讨论了一元函数微积分. 但在自然科 学、工程技术和经济生活的众多领域中, 往往涉及
到多个因素之间关系的问题. 这在数学上就表现为 一个变量依赖于多个变量的情形, 因而导出了多元 函数的概念及其研究与应用.
22
8.1 多元函数的极限与连续
x x0
lim f ( x ) A 0, 0, 当 0 x x0 时,
恒有
三、多元函数的极限 | f ( x ) A | .
讨论二元函数z = f (x, y), 当 x x 0 , y y 0 ,
即 P ( x , y ) P0 ( x 0 , y 0 )时的极限 .
( x, y)
O
x
O
x
23
8.1 多元函数的极限与连续
(2) 变点P (x, y) 与定点P0(x0, y0)之间的距离 记为 ,
( x x 0 ) ( y y 0 ) PP 0
2 2
不论P(x, y)趋向于P0(x0, y0) 的过程多复杂, 总可以用 0 来表示极限过程:
的值域, 记为
f ( D ).
15
8.1 多元函数的极限与连续
函数 z = f (x, y) 在点P0(x0, y0)处的函数值 记为f (x0, y0) 或f (P0). 类似, 可定义n元函数. 二元及二元以上的函数统称为 多元函数. 多元函数定义域: 实际问题中的函数: 定义域为符合实际意义 的自变量取值的全体. 纯数学问题的函数: 定义域为使运算有意义 的自变量取值的全体. 多元函数的自然定义域.
显然, E的内点属于E.
P3
P1
(2) 外点 如果存在点P的某个邻域 U ( P ), 使U(P)∩E = , 则称P为E的 外点. P2 ) (
E
P2
(3) 边界点 如点P的任一邻域内既有属于E的点, 也有不属于E的点, 称P为E的边界点.( P3 ) E的边界点的全体称为E的边界, 记作 E .
2 2
R
2
它是以P0为中心、 为半径的开圆 (“开”意味着 以 几何表示 不包括边界), 也称为点P0的邻域,
y
有时简记为 U ( P0 ). 注 ① 将邻域去掉中心, 称之为 去心邻域. U ( P0 , )
O
. P0
x
一元函数中邻域的概念 : ② 也可将以P0为中心的某个矩形内(不算周界) U ( a , ) 表示 : 与点 a 邻域. 的全体点称之为点P0距离小于 的一切点 x 的全体 .
2 2
例 E 3 {( x , y ) 1 x y 4 }
2 2
E3既非开集, 也非闭集.
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