07-08第2学期高数C试卷A答案

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(完整版)07~08高一第二学期学段考(试题)

澄海中学2007-2008学年度第二学期学段考试高一级数学科试题本试卷分选择题和非选择题两部分，共3页，满分150分．考试时间100分钟．注意事项：1. 答第I 卷前，务必将自己的姓名、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．3. 考试结束后，监考人将答题卡收回，试卷考生自己保管．第一部分（选择题，共60分）一、选择题：本大题共有10小题，每小题6分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把它选出后在答题卡上规定的位置上用铅笔涂黑．1. 已知θ为钝角，且sin θtan 2θ= （）A.B.C.D. 2. α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin(3)-=πα（） A. 513 B. 513- C. 15D . 15- 3. 若函数()cos 2x f x =，则下列等式恒成立的是（） A ．)()2(x f x f =-π B ．)()2(x f x f =+πC ．)()4(x f x f -=-πD ．)()4(x f x f =-π4. 下列不等式中正确的是（）A ．)7tan(815tan ππ->B ． 74sin 75sin ππ> C. )6sin()5sin(ππ->- D ．)49cos()53cos(ππ->- 5. 要得到函数sin y x =的图象，只需将函数sin π⎛⎫=- ⎪6⎝⎭y x 的图象（） A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π3个单位 D ．向左平移π6个单位 6. 若角α为第二象限角，则42πα+是第（）象限角A. 一或三B. 二或四C. 一或二D. 三或四7. 已知函数()sin (0)f x x ωωπ⎛⎫=+> ⎪3⎝⎭的最小正周期为π，则该函数的图象（） A ．关于点0π⎛⎫ ⎪3⎝⎭，对称 B ．关于直线x π=4对称 C ．关于点0π⎛⎫ ⎪4⎝⎭，对称D ．关于直线x π=3对称 8．已知函数1)2sin()(--=ππx x f ，则下列命题正确的是（）A ．)(x f 是周期为1的奇函数B ．)(x f 是周期为2的偶函数C ．)(x f 是周期为1的非奇非偶函数D ．)(x f 是周期为2的非奇非偶函数 9.已知锐角α终边与单位圆的交点为P (sin1， cos1)，若一扇形的中心角为α且半径为2，则该扇形的面积为( )A ．2B ．2π－4C ．π－2D ．以上都不对10.若对任意实数a ，函数y ＝5sin (2136k x p p +-)(k ∈Ｎ)在区间［a ，a ＋3］上的值45出现不少于4次且不多于8次，则k 的值是( )A ．2B ．4C ．3或4D ．2或3第二部分（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共有4个小题，每小题6分，共24分。

三 07-08高数B2试卷(A)(答案)

东莞理工学院（本科）试卷（A 卷）（答案及评分标准）2007 --2008学年第二学期《高等数学（B ）Ⅱ》试卷开课单位：软件学院，考试形式：闭、开卷，允许带入场一、填空题（共24分每题3分）1. 极限=⎰→2d sin limx t t xx (21)。

2. 广义积分=⎰1d 1x x( 发散 )（收敛、发散）。

3. 函数xy z -=1的定义域为（ {}R y x y x y x ∈<,,),(2）。

4. 函数),(y x f z =在点),(y x 的偏导数yzx z ∂∂∂∂, 连续，则该函数在该点是否可微分（是）。

5．级数∑∞=+12)1(2sin n n n是（绝对收敛）（绝对收敛、条件收敛）。

6．级数∑∞=-1)1(n nn x 的收敛域是（ )2,0[ ）。

7．微分方程yx xey -='22的通解是（C e e x y+=2（C 为任意常数））。

8．微分方程x e y y y =-'-''32的特解形式是xbe y =*，则=b （ 41-）。

二、计算题（共60分每题5分）１．求积分x x xd 1310 2⎰+。

解：2ln 61)(1ln 61)d(11161d 131221 0210 2=+=++=+⎰⎰x x x x x x （2分）（2分）（1分） 2．求积分x x x d ln e1⎰。

解：2e 1e1d ln 21d ln x x x x x ⎰⎰=（1分） )1(41)21(21)d 1ln (212122e 1 212+=-=⋅-=⎰e x e x x x x x ee（2分）（1分）（1分） 3．已知函数v u e z2-=，而3,sin x v x u ==，求xzd d 。

解：xv v z x u u z x z d d d d d d ⋅∂∂+⋅∂∂=2223)2(cos x e x e v u v u ⋅-+⋅=--（2分）（2分）)6(cos 22sin 3x x e x x -=- （1分）4．已知方程xyz ez=，求yz x z ∂∂∂∂,。

高数C2习题册答案(08年修改)

习题一定积分的概念与性质，微积分的基本公式一、单项选择题1、D2、B3、C4、C *5、D二、填空题1． 0 2．2x e dx -<< 3． 0 4．1x - 6．()()f b f a - 7．4π8． >三、求解题1．求下列函数的导数（1）解：()2x x ϕ'= （2）解：2324262()cos 2cos 3x x x e x x e x x ϕ'=⋅-⋅2．求下列极限：*(1)3x 0x x dt t 22⎰→arcsin lim*(2) )2(1lim22n n n n n +++∞→解：230arcsin limx x x →+⎰解：21limn n→∞ 202arcsin 2lim3x x x x →+=1lim n n →∞=+ 02arcsin 24lim 33x x x →+==11lim nn i n →∞==230arcsin limx x x→-⎰=⎰20arcsin 22lim 3x x x x→-⋅= 23= 02arcsin 24lim33x x x →--==-故极限不存在。

3．证明：)(x φ=dt t f t x xa2)()(⎰-=22(2)()xax xt t f t dt -+⎰=22()2()()xxxaaaxf t dt x tf t dt t f t dt -+⎰⎰⎰222()2()()2()2()()xxaax x f t dt x f x tf t dt x f x x f x ϕ'=+--+⎰⎰=2⎰-xadt t f t x )()(4．解：(1)x y e x '=-，令0y '=，得1x =，当1x <时，0y '<；当1x >时，0y '>，所以，函数y 在(,1)-∞内单调递减，在(1,)+∞单调递增，在1x =点处取得极小值1(1)(1)ty e t dt =-⎰=2e -.习题二定积分的换元积分法，分部积分法一、计算题1．计算下列定积分 (1)⎰--323)1(dx x (2)⎰-1212dt tet解：原式=332(1)(1)x d x ---⎰解：原式=2112201()2t ed t ---⎰=4321(1)4x --=654- 2112t e -=-121e -=-(3)⎰-π3)sin 1(dx x(4)41⎰ 解：原式30sin dx xdx ππ=-⎰⎰解：原式41=⎰20(1cos )cos x d x ππ=+-⎰412=⎰301(cos cos )3x x ππ=+-411)=43π=- 32ln 2=(5)⎰+312211dx x x (6)⎰20xdx 2x πsin解：令tan x t = 解：原式201cos 22xd x π=-⎰原式234ππ=⎰ 22001(cos 2cos 2)2x x xdx ππ=--⎰324sec tan t dt t ππ=⎰324cos sin t dt tππ=⎰ 2011(sin 2)222x ππ=---3241sin sin d t tππ=⎰341sin t ππ=-4π==(7)⎰230arccos xdx (8)⎰exdx 1ln sin解：原式0arccos x =- 解：原式111sin ln cos ln ee x x x x dx x =-⋅⎰0162π=- 111sin1cos ln sin ln e ee x x x x dx x =--⋅⎰1122=-⋅ 1sin1cos11sin ln ee e xdx =-+-⎰12=+ 故 11sin ln (1sin1cos1)2exdx e e =+-⎰2．解：令1x t -=，则⎰-2)1(dx x f 11()f t dt -=⎰01101111tdt dt e t -=+++⎰⎰ 令te u =，则1011111(1)t e dt du e u u --=++⎰⎰1111()1e du u u -=-+⎰11ln 1e uu-=+ln 2ln(1)e =-++11001ln(1)ln 21dt t t=+=+⎰ ⎰-2)1(dx x f ln(1)e =+二、证明题1．证明：令1x t =-，则()111(1)nmm nx x dx t t dt -=--⎰⎰1(1)m n t t dt =-⎰10(1)m n x x dx =-⎰2．证明：令x t =-，则()()bbbbf x dx f t dt --=--⎰⎰()bbf x dx -=-⎰3．证明：令1x t =，则111222111()11x x dx dt x tt -=-++⎰⎰12111x dt t =+⎰12111xdx x =+⎰ 4．证明：0()()xx f t dt ϕ--=⎰，令t u =-，则00()()()xx x f t dt f u du ϕ--==--⎰⎰ 又()f u 是奇函数()xf u du =⎰)x ϕ=（即⎰=xdt t f x 0)()(ϕ是偶函数.习题三广义积分，定积分的几何应用一、选择题1. B2. C3. D 二、填空题1． 1≤， >1 ,11α-； 1≥， <1 ， 11α- 2.6，(1)r -.三、计算题1．判断下列反常积分是否收敛，若收敛计算其值(1)dx x x 1e2⎰+∞ln (2)()dx x 1x 11002⎰∞++ 解：原式21ln ln ed x x +∞=⎰解：原式()21001(1)2(1)11x x dx x +∞+-++=+⎰ 11ln ex+∞=-= ()()()98991001121()(1)111d x x x x +∞=-+++++⎰97111()29798994-=-+⨯ (3)⎰-111dx x(4)⎰1ln xdx解：原式1(1)x =--⎰解：原式10(ln 1)x x =-11202(1)x =--2= 1=-2．解：⎰∞+2)(ln 1dx x x k 21ln (ln )k d x x +∞=⎰212ln ln 11(ln ) 11k x k x k k+∞-+∞⎧=⎪=⎨≠⎪-⎩ 11ln 211k k k k -≤⎧⎪=⎨>⎪-⎩发散令1(ln 2)()1xf x x -=-，则112(ln 2)ln ln 2(1)(ln 2)()(1)x x x f x x ---⋅--'=-11ln ln 2x =-为驻点，且111ln ln 2x <<-时，()0f x '<；11ln ln 2x >-时，()0f x '>，所以11ln ln 2k =-时，⎰∞+2)(ln 1dx x x k1(ln 2)1k k -=-取得最小值。

2008年专升本高数二考试真题及参考答案

2008年成人高考专升本高等数学二考试真题及参考答案
一、选择题：每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。

第1题
参考答案：C
第2题
参考答案：C
第3题
参考答案：A
第4题
参考答案：B
第5题
参考答案：D 第6题
参考答案：A 第7题
参考答案：C 第8题
参考答案：B 第9题
参考答案：A 第10题
参考答案：D
二、填空题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分，把答案填写在题中横线上。

第11题
参考答案：1
第12题
参考答案：2
第13题
参考答案：cos x-xsin x
第14题
参考答案：20x3
第15题
参考答案：(1,1/3) 第16题
参考答案：
第17题
参考答案：x3+ x 第18题
参考答案：2
第19题
参考答案：x2+y2≤1第20题
参考答案：
三、解答题：共70分。

解答应写出推理、演算步骤。

第21题
第22题
第23题
第24题
第25题
第26题
第27题
第28题。

华东理工大学2007–2008 学年第二学期高等数学考试题

华东理工大学2007–2008学年第二学期《高等数学(下)11学分》课程期末考试试卷(A) 2008.6 开课学院：_理学院_ ，考试形式：_闭卷_，所需时间： 120 分钟考生姓名：学号：班级：任课老师：注意：试卷共3大张，7大题一. (本题8分)求旋转抛物面22y x z +=上与直线⎩⎨⎧=+=+2212z y z x 垂直的切平面方程。

二. (本题8分)试用拉格朗日乘数法在椭圆4422=+y x 上求一点, 使其到直线632=+y x 的距离最短.三. (本题8分)设函数)(t f 在),0[+∞上连续, 且满足dxdy y x f t t f D )(1)(222∫∫+++=π, 其中222:t y x D ≤+, 求)(t f 的表达式 .四. (本题8分)计算∫∫∑++dxdy z dzdx y dydz x 222, 其中∑是上半圆锥面22y x z += 满足h z ≤的部分, 积分沿∑的下侧.五. (本题8分)一质量均匀分布的平面薄片(面密度为常数μ)占有xoy 坐标面上的圆域222:R y x D ≤+(0>R ) , 求其关于直线R y x L =+:的转动惯量L I .六. 填空题(每小题4分,共40分):1. 微分方程0168=+′−′′y y y 满足初始条件2)0(,1)0(=′=y y 的特解是 =y ___________ .2. 微分方程y x y x ′=′′−)1(2 的通解是_______________=y .3. 过点)3,1,2(−=P 且与x 轴垂直相交的直线的点向式方程是_______________ .4. 函数22z xy u −=在点)1,1,2(−=A 指向点)1,1,3(−=B 的方向导数等于________.5. 设),(22z y y x f u =, 其中2C f ∈, 则___________2=∂∂∂z x u.6. 二次积分___________110=∫∫dx e dy y x y.7. 设L 是由抛物线2y x =, 直线0=+y x , 1=y 围成区域的正向边界曲线 , 则曲线积分__________)()(322=++++∫L xy xy dy xe y xy dx ye x .8. 设曲面∑为圆柱面)10(222≤≤=+z R y x 在第一卦限的部分,则曲面积分__________=∫∫∑dS z .9. 设向量值函数z y z x xz z y x f )1(),,(222+++=,则_______),,(rot =z y x f .10．设函数⎩⎨⎧<≤−<≤=0,00,)(x x x x f ππ的傅立叶级数展开式为)sin cos (21∑∞=++n n n nx b nx a a ，则其中系数_________3=a .七. 选择题(每小题4分,共20分):1. 已知c b a ,, 两两垂直，且22||,2||2||===c b a ，，则向量++的模=++|| ( )(A). 232+ ; (B). 10 ; (C). 14 ; (D). 8 .2. 设线性无关的函数321,,y y y 都是二阶非齐次线性微分方程)()()(x f y x Q y x P y =+′+′′的解，21,C C 都是任意常数，则该非齐次方程的通解是 ( )(A).32211y y C y C ++; (B).3212211)(y C C y C y C +−+;(C).3212211)1(y C C y C y C −−−+; (D).3212211)1(y C C y C y C −−++.3. 考虑二元函数),(y x f 的下列4条性质:(1).),(y x f 在点),(00y x 处连续, (2). ),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数连续,(3). ),(y x f 在点),(00y x 处可微, (4). ),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数存在. 以下“)3()2(⇒”表示由性质(2)可推出性质(3), 则有 ( )(A).)1()3()2(⇒⇒; (B).)1()2()3(⇒⇒;(C).)1()4()3(⇒⇒; (D).)4()1()3(⇒⇒.4. 设函数),(v u F 具有一阶连续偏导数, 且1)0,7(=u F , 1)0,7(−=v F , 则曲面0),32(32=++z xy z y x F 上点)2,0,1(=P 处的法线与yoz 坐标面的交角是 ( ). (A). 71arcsin; (B). 141arcsin ; (C). 71arccos ; (D). 141arccos .5. 极坐标系下的二次积分ρθρθθπd f d ∫∫cos 200),(4，在交换积分次序后成为 ( ) (A).θθρρρd f d ∫∫2arccos 020),(； (B).θθρρθθρρρπd f d d f d ∫∫∫∫+24arccos 022020),(),(； (C).θθρρπd f d ∫∫4020),( ； (D).θθρρθθρρρπd f d d f d ∫∫∫∫+24arccos 020020),(),(。

高等数学高数二07-08竞赛参考答案

高等数学2竞赛参考答案一. 填空题1、3 2、ln (22+-3、0()f x '4、35、2e 二. 选择题. 1. (C) 2. (A) 3. (A) 4.(B) 5.(D)三. 计算题 1.解：1(1)sin lim(1)(1)x x x x x x →-++-1sin12=x = –1 为第一类可去间断点1lim ()x f x →=∞x = 1 为第二类无穷间断点0lim ()1,x f x +→=-0lim ()1,x f x -→=x = 0 为第一类跳跃间断点2.解2sin 2(cos 2 )x y e x x '=⋅⋅2sin 21(2)x e x x +222sin sin 2cos x x x x e =3. 解: (1) 利用对称性. 2d d DI x x y =⎰⎰ 22d d xy Dxye x y ++⎰⎰213001d d 2r r πθ=⎰⎰(2) 积分域如图:添加辅助线,y x =-将D 分为12,,D D 利用对称性 , 得2212d d d d xy DD I x x y xye x y +=+⎰⎰⎰⎰222d d xy D xye x y ++⎰⎰1211d d 00xx x y --=++⎰⎰,221()d d 02D x y x y =++⎰⎰4π=23=四．应用题1.解：设观察者与墙的距离为 x m ,2.4(0,)x =∈+∞则1.4 1.8 1.8arctanarctan ,(0,)x x xθ+=-∈+∞ 2222222223.2 1.8 1.4( 5.76)3.2 1.8( 3.2)( 1.8)x x x x x θ---'=+=++++, 令0,θ'=得驻点 2.4(0,)x =∈+∞根据问题的实际意义, 观察者最佳站位存在,驻点又唯一,因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚.2.解：方法1 利用球坐标方程.设球面方程为r a =，球面面积元素为2222d sin d d d sin d 4A a A aaππϕϕθθϕϕπ=∴==⎰⎰方法2 利用直角坐标方程.3. 解：12012:0(1)01z x y y x x ≤≤--⎧⎪Ω≤≤-⎨⎪≤≤⎩，121(1)1200d d d d d d x x y x x y z x x y z ---Ω∴=⎰⎰⎰⎰⎰⎰121(1)d (12)d xx x x y y -=--⎰⎰123011(2)d 448x x x x =-+=⎰ 五．证明题1. 证：令sin 2(),x f x x π=-则()f x 在(0,]2π上连续，在(0,)2π上可导，且 22cos sin cos ()(tan )0x x x xf x x x x x⋅-'==-<， ()(0,),2f x π因此在内单调递减(),2f x π又在处左连续因此()()02f x f π≥=，从而sin 2,(0,]2x x x ππ≥∈。

2008高数工-2期末-A(工-4ye)答案

一、单项选择题：本大题共5小题，每小题4分，共20 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请将正确结果的字母写在括号内。

1．对函数xy x y x f +=2),(，原点 )0,0( 【 B 】（A ）不是驻点. （B ）是驻点却不是极值点. （C ）是极大值点. （D ）是极小值点. 2．微分方程01=-'xy 【 D 】（A ）不是可分离变量的微分方程（B ）是齐次微分方程（C ）是一阶线性齐次微分方程（D ）是一阶线性非齐次微分方程3．级数()∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-111n n n n 的敛散情况是【 C 】（A ）条件收敛（B ）绝对收敛（C ）发散（D ）敛散性不能确定 4．设∑为球面2222x y z a ++=的表面,则⎰⎰∑zdS = 【 A 】（A ）0 （B ）22a π （C ） 24a π （D ） 1 5．将二次积分dx x dy I y ⎰⎰+=1311交换积分次序后得【 B 】（A ）⎰⎰+13121x dy x dx (B) ⎰⎰+20311x dy x dx （C ） ⎰⎰+ydy x dx 03101 （D ）⎰⎰+1311xdy x dx二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中的横线上.6．曲线t z t y t t x 2,sin ,cos ===在点),,1,0(πP 处的切线方程为2012π-=-=-z y x ，法平面方程为0440222=+-=-+-ππππz x z x 或.7．试写出求解下列条件极值问题的拉格朗日函数：分解已知正数a 为三个正数z y x ,,之和，使z y x ,,的倒数之和最小()()a z y x zy x z y x L -+++++=λ111,,.8．函数()x x x f -=1ln )(的麦克劳林级数的收敛域为[)1,1-∈x ， ()=)0(5f -30 . 9．设函数(),001⎩⎨⎧≤≤--<<=x x x x f ππ)(x S 是()x f 的以2π为周期的傅立叶级数的和函数，则=-)21(S21 ，=)(πS 21+π . 10．2222=+++z y x xyz 确定了隐函数),(y x z z =，则),(y x z z =在点()1,0,1-处的全微分为 dy dx dz 2-=.三、计算下列各题：本大题共6小题，每小题9分，共54分. 解答应写出主要过程或演算步骤.11．设函数()ye x yf z ,22-=，其中f 具有二阶连续偏导数，求y z ∂∂，yx z ∂∂∂2．解 ye f yf y z 2'12'+=∂∂ ()y e f y f x yx z 1211222''+''-=∂∂∂12．计算三重积分dv y xI ⎰⎰⎰Ω+=)(22，其中Ω为旋转抛物面22y x z +=与平面 1=z 所围成的区域.解：利用柱面坐标： dv y x I ⎰⎰⎰Ω+=)(22dz d d ⎰⎰⎰=1012202ρπρρρθ ()ρρρπd 21312-=⎰ ρρρπd )(2513-=⎰6π=13．利用高斯公式计算曲面积分 ⎰⎰∑++++=,222333zy x dxdyz dzdx y dydz x I 其中∑是球面2222a z y x =++的内侧.解：将球面方程2222a z y x =++代入I ，得： ⎰⎰⎰⎰∑∑++=++++=dxdy z dzdx y dydz x a z y x dxdyz dzdx y dydz x I 3332223331 利用高斯公式，333,,z R y Q x P ===，设球面∑所围闭区域为Ω，()dxdydz z y x a I ⎰⎰⎰Ω++-=2223331 dr r r d d a a ϕϕθππsin 3202020⎰⎰⎰-=⎰-=πϕϕπ05sin 56d a a 5124a π-=.14．计算()(),322⎰++-=Ly dy ye x dx y xI 其中L 是由直线22=+y x 上从点()0,2A 到点()1,0B 上的一段及圆弧21y x --=上从()1,0B 到()0,1-C 的一段连接而成的有向曲线.解：补线21:,0:→-=x y CA ，++BC 弧则围成封闭曲线，其所围闭区域为D ，在其上使用格林公式，y ye x Q y x +=-=3,2P 2，2,3-=∂∂=∂∂yPx Q()()⎰++-=Ly dyye x dx y x I 322()()()()⎰⎰++--++-=++CAy BC y dy ye x dx y xdy ye x dx y x32322CAAB 2弧=dx x dxdy y P x Q D ⎰⎰⎰--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂21221335--=⎰⎰x dxdy D 4523415ππ+=-⎪⎭⎫⎝⎛+= 15．求（1）幂级数()121121-∞=∑--n n n x n 的收敛域；（2）幂级数()121121-∞=∑--n n n x n 的和函数.解：（1）求收敛域：121211212lim()(lim -+∞→+∞→-+=n n n nn n x n n x x u x u 2x =，则该级数在()1,1-内收敛. 1=x 时，级数为()∑∞=--1121n nn ，收敛1-=x 时，级数为()∑∞=---1121n nn ，收敛，该级数的收敛域为[]1,1-. （2）求和函数设()121121)(-∞=∑--=n n n x n x s ，两边同时对x 求导，得()221121)1(121)(-∞=-∞=∑∑-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--='n n n n n n x x n x s 211x +-=两边同时对x 积分，得 x dx x s x s xarctan 11)0()(02-=+-=-⎰由于,0)0(=s 所以[]1,1,arctan )(-∈-=x x x s 16．设函数)(x y 满足()()[]d t t y tex y x t⎰-+='01，且(),10=y ，求)(x y .解：两边求导得()()x y xe x y x -=''，即：()()x xe x y x y =+'' 这是二阶常系数非齐次线性方程，且(),10=y ()10='y（1）先解对应的齐次方程：特征方程为,012=+r 特征根为i r ±= 对应齐次方程的通解为x C x C Y sin cos 21+=（2）再求非齐次方程的一个特解：设特解为()x e B Ax y +=*，求"'**,yy ，代入方程()()x xe x y x y =+''化简得 21,21-==B A 则所求特解为x e x y ⎪⎭⎫⎝⎛-=2121*（3）求原方程的特解：原方程的通解为()x e x x C x C y Y y 121sin cos 21*-++=+= 将初始条件(),10=y ()10='y 代入得1,2321==C C 则()x e x x x y 121sin cos 23-++=四、证明题: 本题共1题，6分. 17. 证明：()()21,21:,11ln 1ln ≤≤≤≤≥++⎰⎰y x D dxdy x y D. 证明：()()dxdy x y D⎰⎰++1ln 1ln ()()()()dxdy y x x y D ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++=1ln 1ln 1ln 1ln 211⎰⎰=≥Ddxdy 其中用到了()()()()()()()()y x x y y x x y +++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++1ln 1ln 21ln 1ln 1ln 1ln 1ln 1ln 21221≥。

浙江理工大学07~08高数A2期末试卷(含答案)

浙江理工大学2007~2008学年第二学期高等数学A 期终试题（A ）卷班级学号姓名一、选择题（每小题4分，满分28分）1、函数2222),(y x y x y x f +-= 在点)1,1(处的全微分)1,1(df 为（）(A) 0 (B) dy dx + (C) dx 4 (D) dy dx -2 ２、设L 是从A (1,0)到B (-1,2)的直线段，则()Lx y ds +⎰＝（）(B)(C) 2 (D) 03、方程234sin 2y y x '''+=+的特解为（）(A)1(cos 2sin 2);2y x x =-+ (B) 31cos 222y x x =- (C)31sin 222y x x =- (D)311cos 2sin 2.222y x x x =--4、设)(x f 在),0(+∞上有连续的导数，点A )2,1(，B )8,2(在曲线22x y =上。

L为由A 到B 的任一曲线，则=++-⎰dy x xy f x dx x y f x y xy L])(1[)](22[22223（）。

(A) 20， (B) 30， (C) 35， (D) 40。

5、设b 为大于1的自然数，对幂级数∑∞=1n bnnx a，有a a a nn n =+∞→1l i m，（1,0≠>a a ），则其收敛半径=R （）。

(A) a ， (B) a1， (C)ba ， (D)ba1。

6、下列级数收敛的是（）(A) ∑∞=1sin n n π；（B ）∑∞=1100!n n n ；（C ）∑∞=+12)11ln(n n ；（D ）∑∞=+-12)11(21)1(n n n nn ． 7、已知曲线)(x f y =过原点，且在原点处的法线垂直于直线)(,13x y y x y ==-是微分方程02=-'-''y y y 的解，则=)(x y （）（A ）x xe e--2 （B ）x x e e 2-- （C ）x x e e 2-- （D ）x x e e --2二、填空题（每小题4分，满分20分）1、设函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在点(1,1)-取得极值, 则常数a = 。

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海南师范大学
电子商务、金融、经济、会计专业高等数学（C ） 2007 —2008 学年度第二学期期末考试（A ）卷答案
注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚 2. 所有答案请直接答在试卷上
3．考试形式：闭卷
4. 本试卷共四大题，满分100分，考试时间100分钟
一、单项选择题（本题共6小题，每小题 3分，共18 分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。

错选或未选均无分。

1. 在下列方程中，表示旋转曲面的方程为（ C ）
A ．122=+-z y x B.122=-+z y x
C.122=-+z y x
D. 122=--z y x
2．
2
2
)
1,0(),(lim
y
x y y x +→=（ B ）
A. 0
B. 1
C. ∞
D. 2 3. 设D 由x 轴、ln y x =、x e =围成，则D 的面积可表
示为（ A ）
A ．⎰⎰
e
x
dy dx 1
ln 0 B.
⎰
⎰
e
x
dy dx 0
ln 0
C. ⎰⎰
1
ln 0
x
dy dx D. ⎰⎰
e x
dy dx 1
ln 0
2
4．差分方程031=--x x y y 的通解为（ D ）
A. 3x
c
y x = B. x x y )31
(2=
C. c y x x +=)31(
D. x x c y )3
1
(=
5.以x x e C e C y -+=21为任意常数）21,(C C 为通解的微分方程为( D )
A. 0='-''y y
B. 012=+'-''y y
C. 012=+'+''y y
D. 0=-''y y 6. 设级数∑
∞
=-+1)
1(n n
n
a ，其中0>a ，则下列说法正确的是（ A ）
A ．该级数发散
B ．该级数条件收敛
C ．该级数绝对收敛
D ．当1<a 时该级数收敛二、填空题（每空 4分，共24分） 1．向量B A
的终点坐标为B=(2,-1,0),它在坐标轴上的投影分别
为1，-4，1，
则该向量的起点坐标为A=(1,3,-1)
2.过点（1，-1，0）并且垂直于平面0=+z x 的直线方程为 1
00
11
1-=+=-z y x
3．设x y z =，则=dz dy xy ydx y x x 1ln -+
4、变换二次积分的次序：=
⎰⎰
-+-10
1122
),(y
y
dx y x f dy
⎰
⎰
---2
1
)
1(122
x x
dy dx
5. 将二次积分化为极坐标形式的积分：=
+⎰⎰
-2
040
2
22
)(x dy y x dx ⎰
⎰
2
2
3
π
θ
dr
r d
6. 设f 具有一阶连续偏导数，)(2y x f z =，则
=∂z )(22
y x f xy '
三、计算题（本题共6
1．求过点(0,1,-2)且与直线⎩
⎨
⎧=+=-+1
1
y x z y x 垂直的平面方程.
解：直线⎩⎨⎧=+=-+1
1y x z y x 由两平面相交得到，}0,1,1{:},1,1,1{:2211=∏-=∏n n
.可得直
线的方向向量}0,1,1{0
1
1
111
21-=-=⨯=k
j i n n s
,平面的法向量s n
=, 故所求平面
的方程为
01=+-y x
2. 设2
2
1ln y x z ++=，求
y
x z ∂∂∂2
.
解：
,
12
2
y
x x x
z ++=
∂∂2
2
2
2
)
1(2y x xy y
x z ++-=
∂∂∂
3．计算二重积分dxdy e D
y )1(2
⎰⎰+，其中D 是由直线y x =，1=y 及y 轴所
围成的闭区域. 解：2
2
1)1(1
1
2
2
2
e dy ye
dxdy e y
y
y
D
D
y
=
+
=
+⎰
⎰⎰
⎰⎰
4．求差分方程x
x x x y y y 23212⋅=++++的通解。

解：对应的齐次方程的特征方程为：
0122
=++λλ
121-==λλ，对应的齐次方程的通解：
x
x c c Y )
1)((21-+=，21,c c 为任意常数。

令自身特解为：)2,1,0(,20==*s x b y x
s x
，代原差分方程得：,31.00==b s 特
解为：
,2)3
1
(x
x
y
=*原
差
分方程的通解为
：
.2)3
1
()1)((21x
x
x
x c c y
Y y +-+=+=*
5. 求幂级数∑
∞
=-1)
1(1n n
x n
的收敛域
解：研究∑∑
∞
∞
==-1
1
)
1(1n
n n
u x n
11)
1(1)1(1
1
lim
lim
1
1<-=--+=+∞
→+∞
→x x n
x n u u n n n n
n n ，收敛
当,
2,11时即==-x x ∑
∞
=1
1n n
发散；当,0,11时即=-=-x x n
n n
)
1(11
-∑
∞
=收敛；
故收敛域为.20<≤x
6. 判定级数∑
∞
=1
n n
n
a
的收敛性.
解：∑∞1
n u =∑
∞
=1
n n
n a
，
11lim
lim
1
1<=+=+∞
→+∞
→a n
a
n a
u u n
n n n
n n ，收敛
当,1,11
∑
∞
==n n
a 发散，,)1(,11
∑
∞
=--=n n
n
a 收敛。

故当,11<≤-a 收敛；其它，发散。

四、综合题（每小题 8分，共 16 分） 1．设函数)(x ϕ连续，且满足dt t e x x
x
⎰
+
=0
)()(ϕϕ，求)(x ϕ.
解：等式两边对x 求导：
x
x
e
y y x y x e x =-'=+=',)
(),()(即设ϕϕϕ
解此一阶线性微分方程，
)()()()1()1(x xe ce c dx e c dx e e e y x
x x dx x dx ϕ=+=+=+⎰⎰=⎰⎰---
2. 根据统计资料，某厂生产的A 、B 两种产品的价格分别为y x ,时，销售利润
88
102828142
2
---++=y x xy y x R ，问价格y x ,为多少时利润最大
解：
,
04814=-+=∂∂x y x
R )14,263(
),(,020828=∴=-+=∂∂y x y x y
R
,016,20,8,042
<-=--====<-==AC B R C R B R A yy xy xx 最大
所以，当价格14
,2
63==
y x 时，利润最大。