三角形不等式的应用
三角常用不等式
三角常用不等式
三角常用不等式是指在三角形中，角度和边长之间存在的一些关系。
1. 三角不等式：在一个三角形中，任意两边之和大于第三边。
即对于三角形的三边 a、b、c，满足 a + b > c、a + c > b、b + c > a。
2. 角度不等式：在一个三角形中，任意两角之和大于第三角。
即对于三角形的三角 abc，满足∠A + ∠B > ∠C、∠A + ∠C > ∠B、∠B + ∠C > ∠A。
3. 等腰三角形的边长关系：在一个等腰三角形中，两边的边长相等。
即对于等腰三角形的两边 a、b，满足 a = b。
4. 等边三角形的角度关系：在一个等边三角形中，三个角度均为 60 度。
即对于等边三角形的三个角 A、B、C，满足∠A = ∠B = ∠C = 60°。
5. 三角形内角和：在一个三角形中，三个内角之和为 180 度。
即对于三角形的三个内角 A、B、C，满足∠A + ∠B + ∠C = 180°。
以上是三角常用不等式的几个例子，它们在解决三角形相关问题时具有重要的应用价值。
三角形不等式(含练习题)
三角形不等式的应用根据两点之间线段最短导出了三角形任意两边之和大于第三边，我们把这个关系叫做三角形不等式.这一定理在证明一些结构特别的不等式中有广泛应用.下面我们举几个例子来说明这个定理的应用.类型一：证明形如a b c +>型的不等式例1、已知x y z 、、证明:作角∠120AOB =，∠120BOC =，则∠120AOC =，设x y z OA OB OC ===、、，由余弦定理：==又OA OB OC,+>所以原不等式成立.例2、已知x y z 、、证明:在空间直角坐标系中，取A(,0,0)B 0,0)C 00)x y z 、(,、(,,，则BC C A ==又AB BC C,A +>所以原不等式成立.类型二：证明形如a b c d ++>型的不等式例3、已知x y z 、、y z).++证明：以x y z ++为边作正方形，).BC CD AB x y z =++≥++DAx yzx y z类型三：证明形如a b c d e +++>型的不等式例4、设01,01x y <<<<求证：≥证明：左边即表示动点(,)P x y 到四个定点(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)O A B C 的距离之和. 另由题设知，P 在边长为1的正方形OABC 的内部.由()()OP BP CP AP OB AC +++≥+=.应当注意，有些不等式从表面上看很难用三角形不等式来证明，似乎只能用代数方法证明，但是如果仔细分析，也可能用上三角形不等式，一般说来，用三角形不等式证明要比代数方法简单的多，但是其构造的难度也很大，需要一些很技巧的变形，例如配方变形法，凑两点间距离公式等.例5、已知正数x y 、满足1x y +＝， 2.≥分析：用代数法可以使用分析法，并随时利用1x y +＝这个条件进行化简.证明：2,只要证22224,x y y ++++≥x即证22224,x y y ++++x即证22224,x y y ++++≥x即证22[()2]x y xy x y +-+++注意到1x y +＝，即证2[12]14,xy -++即证14,xy +即证224(4()52)1816(),xy xy xy xy -+≥++即证287,xy -≥-1,4xy ≤而21(),24x y xy +≤=故14xy ≤成立. 所以原不等式成立.如果用几何法，开始要用消元法，中间利用两点间距离公式配凑，最后也用到了三角形不等式：证明：左边===设(,0)P x ，1(,)44A ，3(,44B ，则|||)PA PB =+左边，1(4A 关于x 轴的对称点为11(,4A ， 由对称及三角形不等式知1||||||PA PB A B +≥，当P 为1A B 与x 轴交点时取等号.1A B ==2.≥左边即原不等式成立比较两种解法，可以看出利用三角形不等式证明运算量较小，但是思考的难度是很大的. 但是，我们仔细思考可以发现，编拟这些题目时，命题者大都是从几何的角度入手.因此，我们在这里研究一下几何的证明方法，对于走进命题人的思维是很有好处的，希望同学们在解题过程中多进行一些数形结合方面的思考.下面的练习可以利用三角形不等式来证明或求解：1、求y =.（答案：5）2、已知a b ≠，求证：||.a b <-3、 求证：01≤<.4、已知x y z 、、为正数，求证：（1>（2）|<。
绝对值三角不等式及其应用.
例2 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个 地点施工，这两个地点分别位于公路路碑的第 10km和第20km处。现要在公路沿线建两个施 工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生 活区和施工地点之间往返一次。要使两个施工 队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于 何处？ · · ·
10 x 20
分析：假设生活区建在公路路碑的第xkm处，两 个施工队每天往返的路程之和为S(x)km，则有 S(x)=2(|x-10|+|x-20|)，要求问题化归为求该函数 的最小值，可用绝对值三角不等式求解。
绝对值不等式
复习回顾： 我们知道,一个实数 a 的绝对值的意义: a ( a 0) ⑴ a 0 ( a 0) ;（定义） a ( a 0)
关于绝对值还有什么性质呢?
①a a
2
a a ② ab a b , ,…… b b
绝对值三角不等式
根据绝对值的定义，实数a的绝对值|a| 有明确的几何意义：
实数a的绝对值|a|的几何意义是：表示数轴上 坐标为a的点A到原点的距离：
|a|
A O a
x
任意两个实数a,b在数轴上的对应点分别为A、B， 那么|a-b|的几何意义是： A、B两点间的距离即线段AB的长度。
|a-b|
A a B b
x
联系绝对值的几何意义，从“运算”的角度研 究|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之间的关系：
证明: 10.当ab≥0时, 当ab<0时, ab | ab |,
| a b | (a b )2 a 2 2ab b 2 | a |2 2 | ab | | b |2 | a |2 2 | a || b | | b |2 (| a | | b |)2
三角形中的不等式
三角形中的不等式【知识点】若a、b为实数，则有-|a±b| ≤|a|-|b| ≤ |a ±b| ≤|a|+|b|。
1，绝对值不等式，一般指的是绝对值符号中含有未知数的不等式。
解绝对值不等式的基本方法是去绝对值符号，最常用的方法是分类讨论（“零点分区间法”），还有两边平方或者利用绝对值的定义等方法。
2，三角不等式，可以通过绝对值的性质对不等式进行缩放，以确定含绝对值的代数式（函数式）的取值范围、最大/小值问题，以及不等式的证明等综合运用。
这里省略绝对值的意义、以及三角不等式的证明过程一万字......【例①】求函数 y = |x－3|－|x＋1| 的最小值和最大值。
【解析】利用三角不等式的性质，选择合适的不等号方向求得最大/小值。
求最大值时，选择不等号方向为≤；求最小值时，选择不等号的方向为≥。
因为|x－3|－|x＋1| ≤|(x－3)－(x＋1)| = 4，所以，y 的最大值为 4；又因为|x－3|－|x＋1| ≥－|(x－3)－(x＋1)| = - 4，所以，y 的最小值为- 4。
【例②】若关于x 的不等式|x－4|－|x＋3| ≤ a 对一切x∈R 恒成立，求实数 a 的取值范围。
【解析】对不等式解集的“转义（等价于）”理解，利用三角不等式求得最值。
令 y = |x－4|－|x＋3| ，则原不等式y ≤ a 对一切x ∈R 恒成立⟺ a 大于等于 y 的最大值。
因为|x－4|－|x ＋3| ≤|(x－4)－(x＋3)| = 7，即 y 的最大值为 7，所以，实数 a 的取值范围为 a ≥ 7。
【例③】若关于x 的不等式|x＋1| ＋|2－x| ≤ a 的解集不是空集，求实数 a 的取值范围。
【解析】对不等式解集的“转义（等价于）”理解，利用三角不等式求得最值。
令 y = |x＋1| ＋|2－x| ，则原不等式y ≤ a 的解集不是空集⟺ a 大于等于 y 的最小值。
因为|x＋1| ＋|2－x| ≥|(x＋1)＋(2－x)| = 3，即 y 的最小值为 3，所以，实数 a 的取值范围为 a ≥ 3。
三角不等式公式大全
三角不等式公式大全三角不等式是初中数学中的一个重要概念，它是指任意两边之和大于第三边的三角形中的关系。
在几何学和代数学中，三角不等式都有着重要的应用。
下面将对三角不等式的相关公式进行大全总结，希望对大家有所帮助。
1. 一般三角不等式公式：对于任意三角形ABC，有以下不等式成立：AB + BC > AC。
AC + BC > AB。
AB + AC > BC。
这是最基本的三角不等式公式，它表明了三角形中任意两边之和大于第三边。
2. 余弦定理：在三角形ABC中，设三边分别为a、b、c，夹角A对应的边为a，夹角B对应的边为b，夹角C对应的边为c，则有余弦定理：c^2 = a^2 + b^2 2abcosC。
b^2 = a^2 + c^2 2accosB。
a^2 = b^2 + c^2 2bccosA。
余弦定理可以用来求解三角形的边长和角度大小，是三角形中常用的重要公式。
3. 正弦定理：在三角形ABC中，设三边分别为a、b、c，夹角A对应的边为a，夹角B对应的边为b，夹角C对应的边为c，则有正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R。
其中R为三角形外接圆半径。
正弦定理可以用来求解三角形的边长和角度大小，也是三角形中常用的重要公式。
4. 三角形面积公式：设三角形ABC的三边分别为a、b、c，三角形的面积S可以用以下公式表示：S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]其中p为半周长，即p=(a+b+c)/2。
三角形面积公式是计算三角形面积常用的公式，可以通过三边长度直接求解三角形的面积。
5. 海伦公式：海伦公式是用来计算任意三角形面积的公式，对于任意三角形ABC，设三边分别为a、b、c，半周长为p，则三角形的面积S可以用以下公式表示：S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]海伦公式是三角形面积公式的一种推广，适用于任意三角形的面积计算。
以上是关于三角不等式的相关公式大全总结，这些公式在解决三角形相关问题时都有着重要的应用价值。
三角形不等式的应用举例(含练习题)
三角形不等式的应用举例根据两点之间线段最短导出了三角形任意两边之和大于第三边，我们把这个关系叫做三角形不等式.这一定理在证明一些结构特别的不等式中有广泛应用.下面我们举几个例子来说明这个定理的应用.类型一：证明形如a b c +>型的不等式例1、已知x y z 、、> 证明:作角∠120AOB = ，∠120BOC = ，则∠120AOC = ， 设x y z OA OB OC ===、、，由余弦定理：==又OA OB OC,+>所以原不等式成立.例2、已知x y z 、、> 证明:在空间直角坐标系中，取A(,0,0)B 0,0)C 00)x y z 、(,、(,,，则BC C A ==又AB BC C,A +>所以原不等式成立.类型二：证明形如a b c d ++>型的不等式例3、已知x y z 、、y z).>++ 证明：以x y z ++为边作正方形，).BC CD AB x y z =++≥++ DAx yzx y z类型三：证明形如a b c d e +++>型的不等式例4、设01,01x y <<<<求证：≥证明：左边即表示动点(,)P x y 到四个定点(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)O A B C 的距离之和.另由题设知，P 在边长为1的正方形OABC 的内部.由()()OP BP CP AP OB AC +++≥+=知原不等式成立.应当注意，有些不等式从表面上看很难用三角形不等式来证明，似乎只能用代数方法证明，但是如果仔细分析，也可能用上三角形不等式，一般说来，用三角形不等式证明要比代数方法简单的多，但是其构造的难度也很大，需要一些很技巧的变形，例如配方变形法，凑两点间距离公式等.例5、已知正数x y 、满足1x y +＝， 2.≥分析：用代数法可以使用分析法，并随时利用1x y +＝这个条件进行化简.证明：2,只要证22224,x y y ++++≥x即证22224,x y y ++++≥x即证22224,x y y ++++x即证22[()2]x y xy x y +-+++注意到1x y +＝，即证2[12]14,xy -++即证14,xy ≥+即证224(4()52)1816(),xy xy xy xy -+≥++即证287,xy -≥-1,4xy ≤ 而21(),24x y xy +≤=故14xy ≤成立. 所以原不等式成立.如果用几何法，开始要用消元法，中间利用两点间距离公式配凑，最后也用到了三角形不等式：证明：左边===设(,0)P x ，1(,44A ，3(,)44B ，则|||)PA PB =+左边，1(4A 关于x 轴的对称点为11(,4A ， 由对称及三角形不等式知1||||||PA PB A B +≥，当P 为1A B 与x 轴交点时取等号.1A B ==2.≥左边即原不等式成立比较两种解法，可以看出利用三角形不等式证明运算量较小，但是思考的难度是很大的.但是，我们仔细思考可以发现，编拟这些题目时，命题者大都是从几何的角度入手.因此，我们在这里研究一下几何的证明方法，对于走进命题人的思维是很有好处的，希望同学们在解题过程中多进行一些数形结合方面的思考.下面的练习可以利用三角形不等式来证明或求解：1、求y =.（答案：5）2、已知a b ≠，求证：||.a b <-3、 求证：01≤.4、已知x y z 、、为正数，求证：（1>（2）|<。
绝对值三角不等式及其应用
| a 综合10,20知定理成立.
定理 1（绝对值三角形不等式）如果a, b 是实数， 则 a b ≤ a b （当且仅当 ab≥0 时，等号成立.）
如果把 a, b 换为向量 a, b ，根据向量加法的三 角形法则,易知 a b ≤ a b .(同向时取等号)
等号成立.
等号成立.
将定理中的实数a、b换成向量(或复数)仍成立
例1 已知ε> 0,|x - a|<ε,|y - b|<ε,
求 证: |2x + 3y - 2a - 3b|< 5ε
证明： |2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)| =|2(x-a)+3(y-b)|≤|2(x-a)|+|3(y-b)| =2|x-a|+3|y-b|<2ε +3ε=5ε.
a f (1) f (1) 2 f (0) , 2
b f (1) f (1) ,c f (0). 2
∴f（2）=|4a+2b+c| =|2f(1)+2f(-1)-4f(0)+f(1)-f(-1)+f(0)| =|3f(1)+f(-1)-3f(0)| ≤3|f(1)|+|f(-1)|+3|f(0)| ≤3×1+1×1+3×1=7≤8.
0
a
0,
因此f (x) x2 1 . 2
探究提高 证明含有绝对值的不等式，其思路有 两种：（1）恰当运用|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b| 进行放缩，并注意不等号的传递性及等号成立的条 件；（2）把含有绝对值的不等式等价转化为不含 绝对值的不等式，再利用比较法、综合法及分析法 进行证明.
根号三角不等式
根号三角不等式根号三角不等式（也称为三角不等式的平方根）是一个数学不等式，它表示了两个正数之间的不等关系。
这个不等式在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
下面我们将详细介绍根号三角不等式的定义、证明方法、应用场景以及如何在实际问题中使用它。
一、根号三角不等式的定义和意义给定两个正数a、b、c，其中a≤b≤c，那么有以下不等式成立：√(a+b+c) ≤ √(a+b) + √(b+c) + √(c+a)这个不等式表明，两个正数的和与它们的平方根之和之间存在一种不等关系。
在这种情况下，我们可以认为根号三角不等式提供了在一个给定条件下，能够使得两边平方根之和最小化的策略。
二、根号三角不等式的证明方法根号三角不等式的证明方法主要依赖于平方差公式和基本不等式。
以下是证明过程：(a+b+c) - [(a+b) + (b+c) + (c+a)] = 2(a+b+c) - [2√(ab) + 2√(bc) + 2√(ac)]= 2(a+b+c) - 2[√(ab) + √(bc) + √(ac)]≤2[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2]根据平方差公式，(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 ≥ 0所以，2[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2] ≥ 0从而，2(a+b+c) - 2[√(ab) + √(bc) + √(ac)] ≥ 0于是，√(a+b+c) ≤ √(a+b) + √(b+c) + √(c+a)三、根号三角不等式的应用场景1.几何：在三角形中，根号三角不等式可以用来估算三边的长度，帮助我们判断一个三角形是否能够构成。
2.物理：在弹性力学中，根号三角不等式可以用来估算物体受力后的形变。
3.工程：在建筑、桥梁等领域，根号三角不等式有助于分析结构的稳定性。
4.经济学：在资源分配问题上，根号三角不等式可以用来分析不同方案的效益。
四、如何在实际问题中使用根号三角不等式以下是一个实际问题中的应用根号三角不等式的例子：假设某商场举行促销活动，三种商品的价格分别为a、b、c，且a≤b≤c。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二角形不等式的应用
根据两点之间线段最短导出了三角形任意两边之和大于第三边，我们把这个关系叫做
三角形不等式•这一定理在证明一些结构特别的不等式中有广泛应用•下面我们举几个例子来说明这个定理的应用，并探究命题者是如何编拟这些题目的类型一：证明形如a b c型的不等式例1、已知x、y、z为正数，求证：,x^ y2xy y2Z yz•、z2x2 zx.
证明：作角/ AOB =120’，/ BOC -120，则/ AOC =120：,
设OA二x、OB二y、OC=z，由余弦定理：
0A=、x2 y2 xy,OB 二y2 z2 yz,OC 二.z2 x2 zx,
又OA OB OC,所以原不等式成立.
例2、已知x、y、z 为正数，求证：x y2, y2z2. z2x2.
证明：在空间直角坐标系中，取A(x,0,0)、B；0, y,0)、q0,0, z),
则AB= x2 y2 ,BC = _ y2 z2, AC = z2 x2,
又AB ■ BC - AC,所以原不等式成立•
类型二：证明形如a b c d型的不等式
例3、已知x、y、z为正数，求证：
■, x2 y2 .. y2 z2■ z2 x2、. 2(x y z).
证明：如右图，以* 讨 z为边作正方形，则
x2y2、、y2 z2z2 x2
=B C C D A 2 ( x y ).z
类型三：证明形如a b " c " d e型的不等式
例4、设0 :：: x ：：：1,0 ：：： y ：：：1 求证：
z x y
、、x2 y2； (1 _x)2 y2x2 (1 一y)2 :. (1 一x)2 (1 — y)2一 2、2.
证明：左边即表示动点P(x, y)到四个定点0(0,0), A(1,0),B(1,1),C(0,1)的距离之和
另由题设知，P在边长为1的正方形OABC的内部•
由(OP - BP) (CP - AP) _ OB - AC = 2、2 知原不等式成立.
应当注意，有些不等式从表面上看很难用三角形不等式来证明，似乎只能用代数方法证明，但是如果仔细分析，也可能用上三角形不等式，一般说来，用三角形不等式证明要比代数方法简单的多，但是其构造的难度也很大，需要一些很技巧的变形，例如配方变形法，凑两点间距离公式等.
例5、已知正数x、y满足x y=1求证：.2x2• y u 2y2• x _ 2.
分析：用代数法可以使用分析法，并随时利用x y=1这个条件进行化简.
证明：要证2x2 y 2y2 x _2,
只要证2x2 y 2y2 x 2, (2x2 y)(2y2 x) _ 4,
即证2x2y 2y2x 2 (2x2y)(2y2 x) _ 4,
即证2x2y 2y2x 2 2(x3y3) 4x2y2 xy _ 4,
即证2[(x y)2 -2xy] x y 2、,2[(x y)^3xy(x y)] 4(xy)2 xy 一4,
注意到x y=1 即证2[1 -2xy] 1 2 2(1 -3xy) 4(xy)2 xy 一4,
即证2、4(xy)2 -5xy 2-1 4xy,
2 2
即证4(4( xy) -5xy 2)-1 8xy 16(xy),
1
即证-28xy _ -7, xy ,
4
x + y 1 1
而xy _ ( )2，故xy " 成立.所以原不等式成立.
2 4 4
如果用几何法，开始要用消元法，中间利用两点间距离公式配凑，最后也用到了三角形不等式: 证明：左边一2x2 y 2y2 x =、2x2 1 一x 2（仁x）2x
（o- 4）2, 3、2 J7、2r
r +（r）］
i J7 3 77
设P（x,O），A（丄，丄），B（=d），则
4 4 4 4
（「
左边=冋p AE pB|），A（4■乎）关于x轴的对称点为A
由对称及三角形不等式知| PA| • | PB |_| A,B |，当P为A,B与x轴交点时取等号
AB胡弓2+（-?¥）—松
左边-2.即原不等式成立
比较两种解法，可以看出利用三角形不等式证明运算量较小，但是思考的难度是很大的
但是，我们仔细思考可以发现，编拟这些题目时，命题者大都是从几何的角度入手•因此，我们在这里研究一下几何的证明方法，对于走近命题人的思维是很有好处的，希望同学们在解
题过程中多进行一些数形结合方面的思考•
F面结合图形编一个与例1类似的题目:
如右图，在ABC内取一点O,使.AOB =90，
AOC =120，BOC =150，则AB「x2 y2，
AC = • x2z2 -2xzcos120 = ■ x2
z2xz，
BC 二y2z2 -2yzcos150 = , x2z2一3xz，由图可
知AB AC BC，于是可以改编如下题目：
已知x、y、z 为正数，求证：、、x2y2. y2z2y^、x2£ 亠■■: 3xz .。