三角形的角平分线 3
三角平分线模型定理
三角平分线模型定理1.引言1.1 概述三角平分线模型定理是三角形中一个重要的几何定理，它涉及到三角形的平分线以及与之相关的性质。
在我们的日常生活和实际应用中，三角形是非常常见的图形，所以了解和掌握三角形的性质和定理对我们的学习和应用都有重要的意义。
本文旨在介绍三角平分线的定义和性质，以及三角平分线模型定理。
首先，我们将给出三角平分线的定义。
三角形的平分线是指从三角形的一个顶点引出的直线，将对立边分成两个相等的线段。
这个定义非常直观和容易理解，同时也是我们后续讨论的基础。
接着，我们将探讨三角平分线的性质。
首先，三角形的三条平分线的交点被称为三角形的内心，该内心与三个顶点的连线的交点分别是三角形的三条边的中点。
这一性质的直观解释是，平分线将对立边分成相等的线段，所以三条平分线的交点就是三个中点的共同点。
除此之外，我们还将研究三角平分线模型定理。
该定理是一个重要的几何定理，它给出了三角形内心与三角形的三个顶点之间的距离关系。
根据三角平分线模型定理，内心到三角形每条边的距离等于该边上相邻两边的长度之差的一半。
这一定理的应用范围广泛，在许多几何问题的解决中都起到了关键的作用。
通过对三角形平分线的概念、性质和模型定理的深入了解，我们将能够更好地理解和运用三角形的相关知识。
本文将系统地介绍这些内容，帮助读者全面掌握三角平分线的概念和定理，并为读者进一步探索几何学和应用数学提供基础知识。
下面将详细讨论三角平分线的定义和性质，以及三角平分线模型定理，以便读者对这一主题有更清晰和全面的理解。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：文章结构：本文主要包含引言、正文和结论三个部分。
引言部分：引言部分将对本文的内容进行概述，并介绍文章的结构和目的。
正文部分：正文部分将包括两个小节，分别是“三角平分线的定义和性质”和“三角平分线的模型定理”。
1. 三角平分线的定义和性质：这一小节将详细介绍三角平分线的定义和相关的性质。
三角形中的角平分线和中线性质
三角形中的角平分线和中线性质一、角平分线性质1.定义：从三角形一个顶点出发，将这个顶点的角平分成两个相等的角的线段，称为这个角的角平分线。
（1）一个角有且只有一条角平分线。
（2）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
（3）角平分线与这个角的对边相交，交点将对边分为两条线段，这两条线段的长度相等。
二、中线性质1.定义：连接三角形一个顶点与对边中点的线段，称为这个顶点的中线。
（1）一个三角形有且只有三条中线。
（2）中线的长度是该顶点与对边中点距离的一半。
（3）中线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
（4）三角形的中线将第三边平分成两条相等的线段。
三、角平分线与中线的交点性质1.定义：三角形的三条角平分线与三条中线的交点，称为三角形的心。
（1）三角形的心是三角形内部的一个点。
（2）三角形的心到三角形的三个顶点的距离相等。
（3）三角形的心到三角形的任意一边的距离相等。
四、角平分线和中线的应用1.判断三角形的形状：（1）如果一个三角形的三条角平分线相等，那么这个三角形是等边三角形。
（2）如果一个三角形的三条中线相等，那么这个三角形是等腰三角形。
2.求解三角形的问题：（1）利用角平分线求解三角形的角度。
（2）利用中线求解三角形的边长。
三角形中的角平分线和中线性质是解决三角形相关问题的重要知识点。
掌握这些性质，可以帮助我们更好地理解和解决三角形的相关问题。
习题及方法：1.习题：在三角形ABC中，角A的角平分线与中线交于点D，若AD=3，BD=4，求AB的长度。
答案：由于点D是角A的角平分线与中线的交点，根据性质可知AD=BD。
又因为AD=3，BD=4，所以AB=5。
2.习题：在等边三角形EFG中，求证：每条角平分线也是中线。
答案：由于三角形EFG是等边三角形，每个角都是60度。
根据角平分线性质，每条角平分线将角平分成两个30度的角。
又因为等边三角形的中线也是角平分线，所以每条角平分线也是中线。
3.习题：在三角形APQ中，若角APQ的角平分线与中线交于点M，且AM=4，PM=6，求AB的长度。
三角形的三边关系与角平分线
三角形的三边关系与角平分线三角形是几何学中的基本形状之一，它由三条边和三个角组成。
在研究三角形时，我们常常会遇到三边之间的关系以及角平分线的性质。
本文将就这两个主题展开讨论。
一、三边关系在三角形中，三条边的关系可以帮助我们研究其形状以及内部角度的关系。
常见的三边关系有以下几种：1. 三边的长度关系：在任意三角形ABC中，三边的长度满足以下不等式关系：AB+BC＞AC，AC+BC＞AB，AB+AC＞BC。
这一关系被称为三角形的三边不等式。
根据这个不等式，我们可以判断三条线段是否能够构成一个三角形。
2. 等边三角形：等边三角形是指三条边的长度都相等的三角形。
在等边三角形中，每一个内角都是60度。
等边三角形具有对称性和稳定性，常常在建筑和设计中被广泛应用。
3. 等腰三角形：等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形。
在等腰三角形中，两个底角（底边两边对应的内角）是相等的。
等腰三角形也具有对称性，常用于制作礼花和图腾等艺术设计中。
二、角平分线角平分线是指从三角形的一个顶点出发，将相邻两边的内角平分为两个相等的角的线段。
角平分线具有以下几个重要性质：1. 角平分线的存在性：对于任意一个三角形ABC，从顶点A出发，可以找到一条角平分线AD。
AD将角BAC平分为两个相等的角。
同样地，我们还可以找到BC和CA的角平分线。
2. 角平分线的性质：a) 角平分线与边的关系：角平分线与三角形的边垂直且平分对边上的角。
例如，在三角形ABC中，如果AD是角BAC的平分线，则AD 与BC垂直且平分角BAC。
b) 角平分线的交点：角平分线的三条线段AD、BE、CF的交点O 称为三角形ABC的内心。
内心是三角形的一个重要特点，它有许多有趣的性质，例如内心到三角形的顶点距离相等。
c) 角平分线的角度关系：在三角形ABC中，如果AD是角BAC的平分线，那么角BAD和角CAD是相等的。
类似地，BE和CF也分别是三角形ABC其他两个内角的平分线。
图形的角平分线
图形的角平分线角平分线是一条从角的顶点出发的线段，将角等分为两个相等的部分。
它在数学和几何中有着重要的应用和性质。
本文将详细介绍图形的角平分线及其相关性质。
一、角平分线的定义及性质角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角等分成两个相等的角的线段。
角平分线具有以下性质：1. 角平分线与角的边相交，将角分成两个相等的角。
2. 角平分线与角的对边垂直相交。
3. 当一个角的两条边上的点到另一边的距离相等时，这个点就是角的平分线上的点。
二、三角形的角平分线在三角形中，角平分线具有一些特殊性质，如下所示：1. 内角平分线：从一个内角的顶点出发，将这个内角等分成两个相等的角的线段。
三角形的三个内角的角平分线会相交于一个点，被称为内心，内心到三角形的各个顶点的距离相等。
2. 外角平分线：从一个外角的顶点出发，将这个外角等分成两个相等的角的线段。
三角形的三个外角的角平分线被称为三角形的外心，外心到三角形的顶点的距离相等。
3. 中心角平分线：从一个中心角的顶点出发，将这个中心角等分成两个相等的角的线段。
三角形的三个中心角的角平分线相交于一个点，被称为三角形的外接圆心，外接圆心到三角形的各个顶点的距离相等。
三、四边形的角平分线除了三角形，四边形的角平分线也具有一些特殊性质，如下所示：1. 对角线的角平分线：四边形的对角线的交点到四边形的各个顶点的距离相等。
2. 长方形的角平分线：长方形的角平分线是垂直平分线，将角等分为两个相等的直角。
3. 正方形的角平分线：正方形的角平分线具有特殊性质，将角等分为两个相等的直角。
四、其他除了三角形和四边形之外，其他一些图形也存在角平分线，如下所示：1. 平行四边形的角平分线：平行四边形的对角线交点到相对顶点的距离相等。
2. 五边形的角平分线：五边形的每个内角都可以有一个角平分线。
3. 圆的角平分线：圆的半径可以被视为角平分线，将圆内的角等分为两个相等的角。
五、应用领域角平分线在实际生活和学科中有广泛应用，如下所示：1. 建筑设计：在建筑设计中，角平分线可以帮助确定房间的布局和摆放家具的位置。
三角形三条角平分线交点定理
三角形三条角平分线交点定理1. 引言三角形是几何学中的基本概念之一，研究三角形的性质对于几何学的发展具有重要意义。
在研究三角形时，我们常常会遇到一些特殊点和线，它们与三角形的关系可以揭示出许多有趣的性质和定理。
本文将介绍一个与三角形相关的重要定理——三角形三条角平分线交点定理。
2. 定理表述给定一个任意三角形ABC，分别作边AB、AC上的两条内角平分线AD和AE，以及边BC上的一条外角平分线BF。
则AD、AE和BF交于一点。
3. 定理证明为了证明这个定理，我们需要用到一些基本几何知识和方法。
步骤1：构造辅助线首先，我们需要构造两条辅助线来帮助证明。
我们在顶点A处引入边BC上的内切圆，并设其切点为D’、E’。
此外，在顶点B和C处分别引入边AC和AB上的外切圆，并分别设其切点为F’、F”。
如下图所示：步骤2：证明三边相等根据内切圆的性质，我们知道AD’和AE’是三角形ABC的两条角平分线，因此它们与边BC垂直。
同样地，根据外切圆的性质，BF’和BF”也与边BC垂直。
由于直角三角形中两条垂直线段互相平分对应的弧长，我们可以得出以下结论： - 弧BD’ = 弧CD’ - 弧BE’ = 弧CE’ - 弧BF’ = 弧CF”再根据弧长定理可知： - BD’ = CD’ - BE’ = CE’ - BF’ = CF”又因为D’E’||BC，所以我们可以得到以下结论： - AD’/AD = AE’/AE - BD’/BD = BE’/BE根据内切圆的性质，我们还可以得到以下结论： - AD’/BD’ = AE’/BE’综上所述，我们可以得出以下等式： 1. AD/BD = AE/BE 2. BD/CD = BE/CE 3. AD’/BD’ = AE’/BE’ 4. AD/BD = AD’/BD’ 5. AE/BE = AE’/BE’步骤3：证明交点存在根据步骤2的结果，我们可以得出以下结论： - 三角形ABD与三角形ABD’相似（共边AB，∠BAD = ∠BAD’，AD/BD = AD’/BD’） - 三角形ACE与三角形ACE’相似（共边AC，∠CAE = ∠CAE’，AE/CE = AE’/CE’）由于相似三角形的性质，我们知道∠ADB = ∠ADB’，∠AEC = ∠AEC’。
三角形的高、中线与角平分线(ppt课件)
复习提问
1.什么叫线段的中点？
把一条线段分成两条相等的线段的点叫线段的中点
A
B
2.什么叫角平分线？
一条射线把一个角分成两个相等的角,这条射线叫做
这个角的平分线
B
O
A
复习提问 3.你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗?
放、靠、过、画.
01
01
01
23
23
23
0
1 0 2 1 03 21 3 2
3
探究新知
B
C
探究新知
3.钝角三角形的三条高
(1)你能画出钝角三角形的三条高吗？
AF
(2)AC边上的高是__B_F__； BC边上的高是__A__D_；
DB
C
AB边上的高是__C_E__；
E
(3)钝角三角形的三条高交于一点吗?
钝角三角形的三条高不相交于一点.
O
(4)它们所在的直线交于一点吗?
钝角三角形的三条高所在直线交于一点.
三角形的中线
B
D
C
定义：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中 点，所得线段叫做三角形的这条边上的中线.
三角形中线的符号语言：
∵AD是△ABC的中线
∴BD=CD =12 BC
探究新知
思考2.如图，在△ABC中，还能画出几条中 线呢？你发现了什么特征？
还能画出2条，3条中线交于一点.
B
重心：三角形的三条中线相交于一点，三 角形三条中线的交点叫做三角形的重心.
重心
A
O C
D
探究新知
1.如图，有一块三角形的菜地，现要求分成面积比为1：1：2
三块，且图中A处是三块菜地的共同水源处，应该怎么分？
1.4.2三角形三条角平分线的性质(教案)
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“三角形三条角平分线的性质”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要将一个角平均分成两个相等角的情况？”比如，在制作风筝或剪纸时，我们经常需要这样做。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索三角形角平分线的奥秘。
1.4.2三角形三条角平分线的性质（教案）
一、教学内容
本节课选自七年级数学教材《几何》章节1.4.2节“三角形三条角平分线的性质”。教学内容主要包括：
1.理解三角形角平分线的概念；
2.掌握三角形三条角平分线的性质，即角平分线将对边平分，并且每条角平分线上的点到对边的距离相等；
3.学会运用三角形的角平分线性质解决相关问题，如求三角形的面积等。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调角平分线将对边平分和角平分线上点到对边距离相等这两个重点。对于难点部分，我会通过具体的图形和计算例子来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与三角形角平分线相关的实际问题，如如何利用角平分线求解三角形的面积。
-在复杂图形中，能够识别和应用角平分线的性质进行证明和计算。
-解决与角平分线相关的综合问题，如角的倍数关系、三角形全等和相似等问题的结合。
举例解释：
-对于难点的第一点，可以通过绘制具体的图形，如等腰三角形、不等腰三角形等，让学生观察和发现角平分线上点到对边距离相等的现象，并通过数学证明加深理解。
角平分线三个定理-概述说明以及解释
角平分线三个定理-概述说明以及解释1.引言1.1 概述角平分线三个定理是解决与角度相关的几何问题时，非常重要且常用的定理。
它们分别应用于角的平分线问题，帮助我们更深入地理解角的性质与构造。
这三个定理不仅在数学学科中有广泛的应用，而且在实际生活中也具有重要的意义。
在解释这三个定理之前，我们先回顾一下角的基本概念。
在几何学中，角是由两条线段或射线共享一个公共端点而形成的图形。
以公共端点为中心，可以将角分为两个部分，分别称为角的两个腿。
角的大小通常用度或弧度来表示，这取决于所用的单位。
第一个定理是角的平分线定理，它指出：如果一条直线将一个角平分成两个相等的角，那么这条直线称为这个角的平分线。
换句话说，平分线将角分为两个相等的部分。
这个定理有广泛的应用，例如在三角形中，利用角平分线定理可以证明角的大小相等，从而推导出三角形的一些特殊性质。
第二个定理是外角平分线定理，它指出：如果一条直线通过一个三角形的外角的顶点，并将外角的两个邻角平分成两个相等的角，那么这条直线称为该三角形的外角平分线。
这个定理在解决外角问题时非常有用，它保证了外角平分线的存在性，并简化了我们分析与推导相关问题的步骤。
第三个定理是内角平分线定理，它指出：如果一条直线通过一个三角形的内角的顶点，并将内角的两个邻角平分成两个相等的角，那么这条直线称为该三角形的内角平分线。
这个定理与外角平分线定理类似，但是涉及的是三角形的内角。
利用内角平分线定理，我们可以简化三角形内角相关问题的分析过程。
角平分线三个定理在几何学中占据着重要的地位，是研究角度关系和解决几何问题的基础。
它们不仅具有理论意义，还具有广泛的应用价值。
通过深入理解和熟练运用这三个定理，我们能够提高问题解决的效率，并在实际生活中更好地应用几何知识。
1.2文章结构文章结构：本文主要介绍了角平分线的三个定理，分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分首先概述了角平分线的意义和应用，以及本文的目的。
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三角形的角平分线
例1．如图，已知：AD 是ABC ∆的角平分线，DE 、DF 分别是ABD ∆和ACD ∆的高.
求证：AF AE =.
例2．已知：如图，BD 是ABC ∠的平分线，BC AB =，P 在BD 上，AD PM ⊥，CD PN ⊥.
求证：PN PM =.
例3．如图，已知：在ABC ∆中AD 是BAC ∠的平分线，AB DE ⊥于E ，AC DF ⊥于F .
求证：EF AD ⊥.
例4．已知：如图，在ABC ∆中，︒=∠90C ，BC AC =，AD 是A ∠的平分线.
求证：AB CD AC =+.
例5．已知：如图，在ABC ∆中，BE 、CF 分别平分ABC ∠、ACB ∠，且交于点O ，
求证：点O 在A ∠的平分线上.
针对性练习
1、下列说法正确的有几个（ ）
（1） 角的平分线上的点到角的两边的距离相等； （2） 三角形两个内角的平分线交点到三边距离相等；
（3） 三角形两个内角的平分线的交点到三个顶点的距离相等；
（4） 点E 、F 分别在∠AOB 的两边上，P 点到E 、F 两点距离相等，所以P 点在∠AOB 的平分线上； （5） 若OC 是∠AOB 的平分线，过OC 上的点P 作OC 的垂线，交OB 于D ，交OA 于E ，则线段PD 、
PE 的长分别是P 点到角两边的距离
A ．2
B 3
C 4
D 5
2． 如图，△ABC 的三边AB 、BC 、CA 长分别是20、30、40，其三条角平分线将 △ABC 分为三个三角形，则S △ABO ︰S △BCO ︰S △CAO 等于（ ） A ．1︰1︰1 B ．1︰2︰3 C ．2︰3︰4 D ．3︰4︰5
3、在△ABC 中，∠C ＝0
90，BC ＝16cm ，∠A 的平分线AD 交BC 于D ，且CD ：DB ＝3：5，则D 到AB 的距离等于＿＿＿＿
4、已知：如图1，BD 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，2
36cm S ABC =∆，
AB ＝18cm,BC ＝12cm,求DE 的长
5、如图，三条公路两两相交于Ａ、B 、C 三点，现计划建一座综合供应中心，要求到三条公路的距离相等，则你能找出符合条件的地点吗？画出来。
6．如图，已知：CD BD =，AC BF ⊥于F ，AB CE ⊥于E .
求证：D 在BAC ∠的平分线上.
7、已知：如图2， ∠B ＝∠C ＝0
90，M 是BC 中点，DM 平分∠ADC 求证：AM 平分∠DAB
8．如图，ABC ∆是等腰直角三角形，︒=∠90A ，BD 是ABC ∠的平分线， BC DE ⊥于E ，cm BC 10=，求DEC ∆的周长.
B 图1
A
D E
A
B
C
D
M
图2
·
A B
· ·C
9．如图，已知：在ABC ∆中，外角CBD ∠和BCE ∠的平分线BF ，CF 相交于点F .
求证：点F 在DAE ∠的平分线上.
10、如图，BC AD //，点E 在线段AB 上，∠， 求证：BC AD CD +=。
11、已知：如图3，在△ABC 中，∠B ＝0
60，△ABC 的角平分线AD 、CE 线相交于点O
求证：AE+CD ＝AC
12.如图在 △ABC 中,∠BAC ＝100°,∠ACB ＝20°,CE 是∠ACB 的平分线,D 是BC 上一点,若∠DAC ＝20°,求∠CED 的度数.
13.在四边形ABCD 中,B C ﹥BA,AD ＝CD,BD 平分∠ABC,∠C ＝72°,求∠BAD 的度数
C D O A B
C E 图3 D
C B A
G F E D C B A
14、(1)如图10－1所示，BD, CE 分别是△ABC 的外角平分线， 过点A 作AF ⊥BD, AG ⊥CE,垂足分别为F ，G ，连结FG ， 延长AF, AG ，与直线BC 分别交于点M 、N ，那么线段FG 与△ABC 的周长之间存在的数量关系是什么？ 即：FG ＝ （AB ＋BC+AC ） （直接写出结果即可）．．．．．．．．．．
（2）如图10－2，若BD ，CE 分别是△ABC 的内角平分线；其他条件不变，线段FG 与
ΔABC 三边之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．
（3）如图10－3，若BD 为△ABC 的内角平分线，CE 为△ABC 的外角平分线，其他条件不变，线段FG
与ΔABC 三边又有怎样的数量关系？ 直接写出你的猜想即可．不需要证明。
答：线段FG 与ΔABC 三边之间数量关系
是 。
图10－3 图10－2。