2023年云南省第一次高中毕业生复习统一检测数学

2023年云南省第一次高中毕业生复习统一检测数学一、单选题(共24 分)1.设z=1+i，则z2−i=（）A.iB.−iC.1D.−1【答案】A【解析】【分析】利用复数的乘法可求运算结果.【详解】z2−i=(1+i)2−i=i,故选：A2.设集合A={2,3,a2−2a−3}，B={0,3}，C={2,a}．若B⊆A，A∩C={2}，则a=（）A.−3B.−1C.1D.3【答案】B【解析】【分析】根据包含关系结合交集的结果可求a的值.【详解】因为B⊆A，故a2−2a−3=0，故a=−1或a=3，若a=−1，则A={2,3,0}，C={2,−1}，此时A∩C={2}，符合；若a=3，则A={2,3,0}，C={2,3}，此时A∩C={2,3}，不符合；故选：B3.甲、乙、丙、丁四名教师带领学生参加校园植树活动，教师随机分成三组，每组至少一人，则甲、乙在同一组的概率为（）A.16B.14C.13D.12【答案】A【解析】【分析】利用组合可求基本事件的总数，再根据排列可求随机事件含有的基本事件的总数，从而可求对应的概率.【详解】设“甲、乙在同一组”为事件A，教师随机分成三组，每组至少一人的分法为C42=6，而甲、乙在同一组的分法有1，故P(A)=16，故选：A.4.平面向量a⃗与b⃗⃗相互垂直，已知a⃗=(6,−8)，|b⃗⃗|=5，且b⃗⃗与向量(1,0)的夹角是钝角，则b⃗⃗=（）A.(−3,−4)B.(4,3)C.(−4,3)D.(−4,−3)【答案】D 【解析】 【分析】设b ⃗⃗=(x,y )，则由题意得{6x −8y =0x 2+y 2=25，解出方程，检验即可.【详解】设b⃗⃗=(x,y )，则由题意得{a ⃗⋅b ⃗⃗=0√x 2+y 2=5，即{6x −8y =0x 2+y 2=25 ， 解得{x =4y =3 或{x =−4y =−3，设c ⃗=(1,0)，当b ⃗⃗=(4,3)时，此时cos⟨b ⃗⃗,c ⃗⟩=b⃗⃗⋅c ⃗|b⃗⃗||c ⃗|=45>0，又因为向量夹角范围为[0,π]，故此时夹角为锐角，舍去； 当b ⃗⃗=(−4,−3)时，此时cos⟨b ⃗⃗,c ⃗⟩=b⃗⃗⋅c ⃗|b ⃗⃗||c⃗|=−45<0，故此时夹角为钝角，故选：D.5.已知点A ，B ，C 为椭圆D 的三个顶点，若△ABC 是正三角形，则D 的离心率是（ ） A.12B.23C.√63D.√32【答案】C 【解析】 【分析】首先由题得到2b =√a 2+b 2，结合a 2=b 2+c 2，即可求得e . 【详解】无论椭圆焦点位于x 轴或y 轴，根据点A ,B ,C 为椭圆D 的三个顶点,若△ABC 是正三角形,则2b =√a 2+b 2，即a 2=3b 2，即a 2=3(a 2−c 2)， 即有2a 2=3c 2，则e 2=23，解得e =√63. 故选：C.6.三棱锥A −BCD 中，AC ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ．若AB =3，BD =1，则该三棱锥体积的最大值为（ ） A.2 B.43C.1D.23【答案】D 【解析】 【分析】先利用线面垂直的判定定理与性质定理依次证得BD ⊥平面ACD 、BD ⊥AD 与AC ⊥CD ，从而利用基本不等式求得S △ACD ≤2，进而得到V A−BCD =V B−ACD ≤23，由此得解.【详解】因为AC ⊥平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，所以AC ⊥BD ，又BD ⊥CD ，AC ∩CD =C ，AC,CD ⊂平面ACD ，所以BD ⊥平面ACD ， 因为AD ⊂平面ACD ，所以BD ⊥AD ，在Rt △ABD 中，AB =3，BD =1，则AD =√AB 2−BD 2=2√2， 因为AC ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，所以AC ⊥CD ，在Rt △ACD 中，不妨设AC =a,CD =b (a >0,b >0)，则由AC 2+CD 2=AD 2得a 2+b 2=8， 所以S △ACD =12AC ⋅CD =12ab =14×2ab ≤14(a 2+b 2)=2，当且仅当a =b 且a 2+b 2=8，即a =b =2时，等号成立，所以V A−BCD =V B−ACD =13S △ACD ⋅BD ≤13×2×1=23，所以该三棱锥体积的最大值为23. 故选：D..7.设函数f (x )，g (x )在R 上的导函数存在，且f ′(x )<g ′(x )，则当x ∈(a,b )时（ ） A.f (x )<g (x )B.f (x )>g (x )C.f (x )+g (a )<g (x )+f (a )D.f (x )+g (b )<g (x )+f (b )【答案】C 【解析】 【分析】对于AB ，利用特殊函数法，举反例即可排除；对于CD ，构造函数ℎ(x )=f (x )−g (x )，利用导数与函数单调性的关系证得ℎ(x )在R 上单调递减，从而得以判断. 【详解】对于AB ，不妨设f (x )=−2x ，g (x )=1，则f ′(x )=−2，g ′(x )=0，满足题意， 若x =−1∈(a,b )，则f (x )=2>1=g (x )，故A 错误， 若x =0∈(a,b )，则f (x )=0<1=g (x )，故B 错误；对于CD ，因为f (x )，g (x )在R 上的导函数存在，且f ′(x )<g ′(x )， 令ℎ(x )=f (x )−g (x )，则ℎ′(x )=f ′(x )−g ′(x )<0， 所以ℎ(x )在R 上单调递减，因为x ∈(a,b )，即a <x <b ，所以ℎ(b )<ℎ(x )<ℎ(a )，由ℎ(x )<ℎ(a )得f (x )−g (x )<f (a )−g (a )，则f (x )+g (a )<g (x )+f (a )，故C 正确； 由ℎ(b )<ℎ(x )得f (b )−g (b )<f (x )−g (x )，则f (x )+g (b )>g (x )+f (b )，故D 错误. 故选：C.8.已知a ，b ，c 满足a =log 5(2b +3b )，c =log 3(5b −2b )，则（ ） A.|a −c |≥|b −c |，|a −b |≥|b −c | B.|a −c |≥|b −c |，|a −b |≤|b −c | C.|a −c |≤|b −c |，|a −b |≥|b −c | D.|a −c |≤|b −c |，|a −b |≤|b −c |【答案】B 【解析】 【分析】构造函数f(x)=(25)x+(35)x，利用其单调性，分b >1，b =1，b <1讨论即可.【详解】由题意得5b −2b >0，即5b >2b ，则0<(25)b<1，则b >0，令f(x)=(25)x +(35)x,f(1)=1，根据减函数加减函数为减函数的结论知：f (x )在R 上单调递减，当b >1时，可得(25)b+(35)b<1，∴2b +3b <5b ，两边同取以5为底的对数得a =log 5(2b +3b )<log 55b =b ，对2b +3b <5b 通过移项得5b −2b >3b ， 两边同取以3为底的对数得c =log 3(5b −2b )>b ，所以c >b >a ，所以 −b <−a ，所以c −b <c −a ，且c −b >0,c −a >0， 故此时，|a −c |>|b −c |，故C,D 选项错误，b =2时，a =log 513，c =log 321，c −b =log 321−2=log 373∈(12,1)，b −a =2−log 513=log 52513∈(0,12),∴c −b >b −a ，且c −b >0,c −a >0，故A 错误,下面严格证明当b >1时，0<b −a <c −b ，b −a =b −log 5(2b +3b )=log 5(5b 2b +3b)=log 5(1(25)b +(35)b )，c −b =log 3(5b −2b )−b =log 3[(53)b −(23)b]根据函数ℎ(x )=(53)x −(23)x 在R 上单调递增，且ℎ(1)=1， 则当b >1时，有1<(53)b−(23)b，∵0<(25)b +(35)b<1，∴1<1(25)b +(35)b，下面证明：5b 2b +3b<5b −2b 3b，b >1要证：5b2b +3b<5b −2b 3b，即证：15b <(2b +3b )(5b −2b )，等价于证明4b +6b <10b ， 即证：(25)b+(35)b<1，此式开头已证明，对5b 2b +3b <5b −2b 3b ，左边同除分子分母同除5b ，右边分子分母同除3b 得1(25)b+(35)b <(53)b −(23)b ，则0<b −a =log 5(1(25)b +(35)b )<log 5[(53)b −(23)b ]<log 3[(53)b −(23)b ]=c −b故当b >1时，0<b −a <c −b ，则|a −b |<|b −c |当0<b <1时，可得(25)b+(35)b>1，∴2b +3b >5b ，两边同取以5为底的对数得a =log 5(2b +3b )>log 55b =b ，对2b +3b >5b 通过移项得5b −2b <3b ， 两边同取以3为底的对数得c =log 3(5b −2b )<b ，所以c <b <a ，所以 −b >−a ，所以c −b >c −a ，且c −b <0,c −a <0， 故0<b −c <a −c ，故此时，|a −c |>|b −c |， 下面严格证明当0<b <1时，c −b <b −a <0，当0<b <1时，根据函数f(x)=(25)x+(35)x,f(1)=1，且其在R 上单调递减，可知(25)b +(35)b>1，则b −a =log 5(1(25)b +(35)b )<0，则0<1(25)b +(35)b<1，根据函数函数ℎ(x )=(53)x −(23)x在R 上单调递增，且ℎ(1)=1，则当0<b <1时，0<(53)b −(23)b<1，下面证明：5b 2b +3b>5b −2b 3b,(b <1)，要证：5b2b +3b>5b −2b 3b即证：15b >(2b +3b )(5b −2b )，等价于证4b +6b >10b ， 即证：(25)b+(35)b>1，此式已证明，对5b 2b +3b >5b −2b 3b ，左边同除分子分母同除5b ，右边分子分母同除3b 得1(25)b +(35)b >(53)b −(23)b ，则c −b =log 3[(53)b −(23)b ]<log 5[(53)b −(23)b ]<b −a =log 5(1(25)b +(35)b)<0，故0<b <1时，c −b <b −a <0，则|a −b |<|b −c |当b =1时，a =log 55=1,c =log 33=1，则|a −c|=|b −c|，|a −b|=|b −c|， 综上|a −c|≥|b −c|，|a −b |≤|b −c |， 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题的关键在于构造函数f(x)=(25)x+(35)x，利用其单调性及f(1)=1，从而得到a,b,c 之间的大小关系，同时需要先求出b 的范围，然后再对b 进行分类讨论.二、多选题(共 12 分)9.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )，g (x )在(−∞,0]单调递减，则（ ） A.f(f (1))<f(f (2)) B.f(g (1))<f(g (2)) C.g(f (1))<g(f (2)) D.g(g (1))<g(g (2))【答案】BD 【解析】 【分析】由奇偶函数的单调性的关系确定两函数的单调性，再结合f (1)<f (2)，g (0)=0>g (1)>g (2)逐项判断即可. 【详解】因为f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，且两函数在(−∞,0]上单调递减， 所以f (x )在[0,+∞)上单调递增，g (x )在[0,+∞)上单调递减，g (x )在R 上单调递减， 所以f (1)<f (2)，g (0)=0>g (1)>g (2)，所以f(g (1))<f(g (2))，g(f (1))>g(f (2))，g(g (1))<g(g (2))， 所以BD 正确，C 错误；若|f (1)|>|f (2)|，则f(f (1))>f(f (2))，A 错误. 故选：BD10.已知平面α∩平面β=l ，B ，D 是l 上两点，直线AB ⊂α且AB ∩l =B ，直线CD ⊂β且CD ∩l =D ．下列结论中，错误的有（ ）A.若AB ⊥l ，CD ⊥l ，且AB =CD ，则ABCD 是平行四边形B.若M是AB中点，N是CD中点，则MN∥ACC.若α⊥β，AB⊥l，AC⊥l，则CD在α上的射影是BDD.直线AB，CD所成角的大小与二面角α−l−β的大小相等【答案】ABD【解析】【分析】由空间中线线、线面及面面关系逐项判断即可得解.【详解】对于A，由题意，AB，CD为异面直线，所以四边形ABCD为空间四边形，不能为平行四边形，故A错误；对于B，取BC的中点H,连接HM,则HM是△ABC的中位线，所以HM//AC，因为HM与MN相交，所以MN与AC不平行，B错误；对于C，若AB⊥l,AC⊥l，所以由线面垂直的判定可得l⊥平面ABC，所以l⊥BC，由α⊥β结合面面垂直的性质可得BC⊥α，所以点C在平面α内的投影为点D,所以CD在平面α内的投影为BD，故C正确；对于D,由二面角的定义可得当且仅当AB⊥l,CD⊥l时，直线AB，CD所成的角或其补角才为二面角的大小，故D错误.故选：ABD.11.质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的⊙O上逆时针作匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为2rad/s，起点为⊙O与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为5rad/s，起点为射线y=−√3x(x≥0)与⊙O的交点．则当Q与P重合时，Q的坐标可以为（）A.(cos2π9,sin2π9) B.(−cos5π9,−sin5π9)C.(cosπ9,−sinπ9) D.(−cosπ9,sinπ9)【答案】ABD【解析】【分析】确定点Q的初始位置，由题意列出重合时刻t的表达式，进而可得Q点的坐标，通过赋值对比选项即可得解.【详解】由题意，点Q的初始位置Q1的坐标为(12,−√32)，锐角∠Q1OP=π3，设t时刻两点重合，则5t−2t=π3+2kπ,(k∈N),即t=π9+2k3π,(k∈N)，此时点Q(cos(−π3+5t),sin(−π3+5t))，即Q(cos(2π9+10k3π),sin(2π9+10k3π)),(k∈N)，当k=0时，Q(cos2π9,sin2π9)，故A正确；当k=1时，Q(cos32π9,sin32π9)，即Q(−cos5π9,−sin5π9)，故B正确；当k=2时，Q(cos62π9,sin62π9)，即Q(−cosπ9,sinπ9)，故D正确.由三角函数的周期性可得，其余各点均与上述三点重合.故选：ABD.12.下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在编制《授时历》时所做的天文计算．图中的AB⌢，AC⌢，BD⌢，CD⌢都是以O为圆心的圆弧，CMNK是为计算所做的矩形，其中M，N，K分别在线段OD，OB，OA上，MN⊥OB，KN⊥OB．记α=∠AOB，β=∠AOC，γ=∠BOD，δ=∠COD，则（）A.sinβ=sinγcosδB.cosβ=cosγcosδC.sinα=sinδcosβD.cosα=cosγcosδcosβ【答案】ACD【解析】【分析】先利用线面垂直的判定定理与性质定理证得CM⊥OD，CK⊥OA，结合条件中MN⊥OB，KN⊥OB，从而在各直角三角形中得到α,β,γ,δ的正余弦表示，对选项逐一分析判断即可.【详解】因为在矩形MNKC中，KN⊥MN，又KN⊥OB，MN∩OB=N，MN,OB⊂面BOD，所以KN⊥面BOD，又OD⊂面BOD，所以KN⊥OD，因为在矩形MNKC中，CM//KN，所以CM⊥OD，即CM⊥MO，因为MN⊥OB，KN⊥MN，KN∩OB=N，KN,OB⊂面OAB，所以MN⊥面OAB，又在矩形MNKC中，MN//CK，所以CK⊥面OAB，又OA⊂面OAB，所以CK⊥OA，同时，易知在矩形MNKC中，CM=KN,CK=MN，对于A，在Rt△CKO中，sinβ=CKOC，在Rt△MNO中，sinγ=MNOM，在Rt△CMO中，cosδ=OMOC，所以sinγcosδ=MNOM ⋅OMOC=MNOC=CKOC=sinβ，故A正确；对于B，在Rt△CKO中，cosβ=OKOC，在Rt△MNO中，cosγ=ONOM，又cosδ=OMOC，且在Rt△KNO中，OK为Rt△KNO的斜边，则ON≠OK，所以cosγcosδ=ONOM ⋅OMOC=ONOC≠OKOC=cosβ，故B错误；对于C，在Rt△KNO中，sinα=KNOK，在Rt △CMO 中，sinδ=CM OC，又cosβ=OK OC≠0， 所以sinδcosβ=CM OC⋅OC OK=CM OK=KN OK=sinα，故C 正确；对于D ，在Rt △KNO 中，cosα=ON OK，又cosβ=OK OC≠0，cosγ=ON OM ，cosδ=OM OC，所以cosαcosβ=ON OK⋅OK OC=ON OC,cosγcosδ=ON OM⋅OM OC=ON OC，所以cosαcosβ=cosγcosδ，即cosα=cosγcosδcosβ，故D 正确.故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题的突破口是利用线面垂直的判定定理与性质定理证得CM ⊥OD ，CK ⊥OA ，从而得到α,β,γ,δ的正余弦表示，由此得解.三、填空题(共 6 分)13.某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布N (100,σ2)．质量指标介于99至101之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到95.45%，则需调整生产工艺，使得σ至多为________．(若X ∼N (μ,σ2)，则P (|X −μ|<2σ)≈0.9545) 【答案】12##0.5【解析】 【分析】根据题意以及正态曲线的特征可知，|X −100|<2σ的解集A =(100−2σ,100+2σ)⊆(99,101)，即可根据集合的包含关系列出不等式组，从而得解． 【详解】依题可知，μ=100，再根据题意以及正态曲线的特征可知，|X −100|<2σ的解集A ⊆(99,101)， 由|X −100|<2σ可得，100−2σ<X <100+2σ， 所以{100−2σ≥99100+2σ≤101，解得：σ≤12，故σ至多为12．故答案为：12．14.若P ，Q 分别是抛物线x 2=y 与圆(x −3)2+y 2=1上的点，则|PQ |的最小值为________． 【答案】√5−1##−1+√5 【解析】 【分析】设点P (x 0,x 02)，圆心C (3,0)，|PQ |的最小值即为|CP |的最小值减去圆的半径，求出|CP |的最小值即可得解．【详解】依题可设P (x 0,x 02)，圆心C (3,0)，根据圆外一点到圆上一点的最值求法可知，|PQ |的最小值即为|CP |的最小值减去半径．因为|CP |2=(x 0−3)2+(x 02−0)2=x 04+x 02−6x 0+9，x ∈R ，设f (x )=x 4+x 2−6x +9，f ′(x )=4x 3+2x −6=2(x −1)(2x 2+2x +3)，由于2x 2+2x +3=2(x +12)2+52>0恒成立，所以函数f (x )在(−∞,1)上递减，在(1,+∞)上递增，即f min =f (1)=5， 所以|CP |min =√5>1，即|PQ |的最小值为√5−1．故答案为：√5−1．四、双空题(共3 分)15.数学家祖冲之曾给出圆周率π的两个近似值：“约率”227与“密率”355113．它们可用“调日法”得到：称小于3.1415926的近似值为弱率，大于3.1415927的近似值为强率．由31<π<41，取3为弱率，4为强率，得a1=3+41+1=72，故a1为强率，与上一次的弱率3计算得a2=3+71+2=103，故a2为强率，继续计算，……．若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推，已知a m=227，则m=________；a8=________．【答案】(1). 6(2). 4715【解析】【分析】根据题意不断计算即可解出．【详解】因为a2为强率，由31<π<103可得，a3=3+101+3=134>3.1415927，即a3为强率；由31<π<134可得，a4=3+131+4=165>3.1415927，即a4为强率；由31<π<165可得，a5=3+161+5=196>3.1415927，即a5为强率；由31<π<196可得，a6=3+191+6=227>3.1415927，即a6为强率，所以m=6；由31<π<227可得，a7=3+221+7=258=3.125<3.1415926，即a7为弱率；由258<π<227可得，a8=25+228+7=4715．故答案为：6；4715．五、填空题(共3 分)16.图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关1次，将导致自身和所有相邻的开关改变状态．例如，按(2,2)将导致(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)改变状态．如果要求只改变(1,1)的状态，则需按开关的最少次数为________．【答案】5【解析】【分析】方法一：根据题意可知，如果要求只改变(1,1)的状态，只有在(1,1)以及周边按动开关才可以使按开关的次数最少，利用表格即可分析求出．【详解】方法一：根据题意可知，只有在(1,1)以及周边按动开关才可以使按开关的次数最少.具体原因如下：假设开始按动前所有开关闭合，要只改变(1,1)的状态，在按动（1,1）后，（1,2），（2,1）也改变，下一步可同时恢复或逐一恢复，同时恢复需按动（2,2），但会导致周边的（2,3），（3,2）也改变，因此会按动开关更多的次数，所以接下来逐一恢复，则至少按开关3次，这样沿着周边的开关再按动，可以实现最少的开关次数，即按动5次可以满足要求．如下表所示：（按顺时针方向开关，逆时针也可以）方法二：要满足题意，按动开关次数必须为奇数，且连续两次按一个方格等于无操作，按开关顺序无影响，由对称性按表格顺序可设各方格按动次数为方格(1,1)改变状态的次数为奇数，其它方格改变状态的次数为偶数，所以，对(1,1)：a+2b为奇数；对(1,2)或(2,1)：a+b+c+d为偶数；对(1,3)：b+c+e为偶数；对(2,2)：2b+2e+d为偶数；对(2,3)或(3,2)：c+d+e+f为偶数；对(3,3)：2e+f为偶数，根据以上情况，为使开关次数最少，a=1，f=0，d=0，即1+b+c为偶数，b+c+e为偶数，c+e为偶数，所以可取b=0，e=1，即各方格开关次数如下：具体开闭状态可参照方法一，故按开关的最少次数为5．故答案为：5．【点睛】本题主要考查学生运用所学知识解决知识迁移问题的综合能力，利用表格分析法简单清晰直观．六、解答题(共39 分)如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，AC是圆柱的底面直径，PC是圆柱的母线，E是AC与BD的交点，AB=AD，∠BAD=60°．17. 记圆柱的体积为V1，四棱锥P−ABCD的体积为V2，求V1V2；18. 设点F在线段AP上，PA=4PF,PC=4CE，求二面角F−CD−P的余弦值．【答案】17. √3π18. 2√3913【解析】【分析】（1）利用平面几何的知识推得AC⊥BD，进而得到BD=2√3EC与AC=4EC，从而利用柱体与锥体的体积公式求得V1,V2关于EC,PC的表达式，由此得解；（2）根据题意建立空间直角坐标系，设|CE⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=1，结合（1）中结论与（2）中所给条件得到所需向量的坐标表示，从而求得平面FCD与平面PCD的法向量n⃗⃗与m⃗⃗⃗，由此利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.【17题详解】因为∠ABD与∠ACD是底面圆弧AD⌢所对的圆周角，所以∠ABD=∠ACD，因为AB=AD，所以在等腰△ABD中，∠ABD=∠ADE，所以∠ADE=∠ACD，因为AC是圆柱的底面直径，所以∠ADC=90°，则∠CAD+∠ACD=90°，所以∠CAD+∠ADE=90°，则∠AED=90°，即AC⊥BD，所以在等腰△ABD，BE=DE，AC平分∠BAD，则∠CAD=12∠BAD=30°，所以∠ADE=60°，则∠CDE=30°，故在Rt△CED中，CD=2EC，DE=√3EC，则BD=2DE=2√3EC，在Rt△ACD中，AC=2CD=4EC，因为PC是圆柱的母线，所以PC⊥面ABCD，所以V1=π⋅(12AC)2⋅CP=π⋅(2EC)2⋅PC=4π⋅EC2⋅PC，V2=13×12AC⋅BD⋅PC=16×4EC×2√3EC⋅PC=4√33EC2⋅PC，所以V1V2=√3π．【18题详解】以C为坐标原点，CA⃗⃗⃗⃗⃗⃗的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C−xyz，不妨设|CE⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=1，则AC =4EC =4，DE =√3EC =√3，PC =4CE =4， 则C (0,0,0),A (4,0,0),D(1,√3,0),P (0,0,4)，所以CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,√3,0)，CP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,0,4)，PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(4,0,−4)，因为PA =4PF ，所以PF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=14PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,0,−1)， 则CF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=CP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PF⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,0,4)+(1,0,−1)=(1,0,3)， 设平面FCD 的法向量n ⃗⃗=(x,y,z)，则{n ⃗⃗⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0n ⃗⃗⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 ，即{x +3z =0x +√3y =0 ，令x =−3，则y =√3,z =1，故n ⃗⃗=(−3,√3,1)，设平面PCD 的法向量m ⃗⃗⃗=(p,q,r)，则{m ⃗⃗⃗⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0m ⃗⃗⃗⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 ，即{4r =0p +√3q =0 ， 令p =−3，则q =√3,r =0，故m ⃗⃗⃗=(−3,√3,0)， 设二面角F −CD −P 的平面角为θ，易知0<θ<π2，所以cosθ=|cos ⟨n ⃗⃗,m ⃗⃗⃗⟩|=n⃗⃗⋅m ⃗⃗⃗⃗|n⃗⃗|⋅|m ⃗⃗⃗⃗|√9+3+1×√9+3=2√3913，因此二面角F −CD −P 的余弦值为2√3913． 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)在区间(π6,π2)单调，其中ω为正整数，|φ|<π2，且f (π2)=f (2π3)．19. 求y =f(x)图像的一条对称轴； 20. 若f (π6)=√32，求φ． 【答案】19. x =7π1220. φ=π3【解析】 【分析】（1）由函数在区间上的单调性确定最小正周期的范围，再由函数值相等即可确定对称轴； （2）根据对称轴及函数值确定ωx +φ的表达式，再结合最小正周期确定ω的可能取值，即可得解. 【19题详解】因为函数f(x)=sin(ωx +φ)在区间(π6,π2)单调，所以函数f(x)的最小正周期T ≥2×(π2−π6)=2π3，又因为f (π2)=f (2π3)，所以直线x=12×(π2+2π3)即x=7π12为y=f(x)图象的一条对称轴；【20题详解】由（1）知T≥2π3，故ω=2πT≤3，由ω∈N∗，得ω=1,2或3．由x=7π12为f(x)=sin(ωx+φ)的一条对称轴，所以7π12ω+φ=π2+k1π,k1∈Z．因为f(π6)=√32，所以π6ω+φ=π3+2k2π或π6ω+φ=2π3+2k3π,k2,k3∈Z，若π6ω+φ=π3+2k2π，则5π12ω=π6+(k1−2k2)π，即ω=25+125(k1−2k2)，不存在整数k1,k2，使得ω=1,2或3；若π6ω+φ=2π3+2k3π，则5π12ω=−π6+(k1−2k3)π，即ω=−25+125(k1−2k3)，不存在整数k1,k3，使得ω=1或3．当k1=2k3+1时，ω=2．此时φ=π3+2k3π，由|φ|<π2，得φ=π3．记数列{a n}的前n项和为T n，且a1=1,a n=T n−1(n≥2)．21. 求数列{a n}的通项公式；22. 设m为整数，且对任意n∈N∗，m≥1a1+2a2+⋯+na n，求m的最小值．【答案】21. a n={1,n=1,2n−2,n≥2.22. 7【解析】【分析】（1）由数列a n与T n的关系可得a n+1=2a n(n≥2)，再结合等比数列的通项可得解；（2）利用错位相减法求出1a1+2a2+⋯+na n，结合范围即可得解.【21题详解】因为a1=1,a n=T n−1(n≥2)，所以a2=a1=1，当n≥2时，a n+1=T n=T n−1+a n=2a n，故a n=a2⋅2n−2=2n−2(n≥2)，且a1=1不满足上式，故数列{a n}的通项公式为a n={1,n=1,2n−2,n≥2.【22题详解】设S n=1a1+2a2+⋯+na n，则S1=1，当n≥2时，S n=1+2⋅20+3⋅2−1+⋯+n⋅22−n，故12S n=12+2⋅2−1+3⋅2−2+⋯+n⋅21−n，于是12S n=52+(2−1+2−2+⋯+22−n)−n⋅21−n=52+2−1(1−22−n)1−2−1−n⋅21−n．整理可得S n=7−(n+2)22−n，所以S n<7，又S5=498>6，所以符合题设条件的m的最小值为7．一个池塘里的鱼的数目记为N，从池塘里捞出200尾鱼，并给鱼作上标识，然后把鱼放回池塘里，过一小段时间后再从池塘里捞出500尾鱼，X表示捞出的500尾鱼中有标识的鱼的数目．23. 若N=5000，求X的数学期望；24. 已知捞出的500尾鱼中15尾有标识，试给出N的估计值（以使得P(X=15)最大的N的值作为N的估计值）．【答案】23. 2024. 6666【解析】 【分析】（1）首先求出标鱼占总体的比例，再分析其符合超几何分布，根据超几何分布期望的计算公式即可得到答案. （2）首先计算出当N <685时，P(X =15)=0，当N ≥685时，P(X =15)=C 20015C N−200485C N500，记a(N)=C 20015C N−200485C N500，计算a(N+1)a(N)，从而得到a (N )的单调性，最后得到其最大值.【23题详解】依题意X 服从超几何分布，且N =5000,M =200,n =500， 故E(X)=N ×M n=500×2005000=20．【24题详解】当N <685时，P(X =15)=0， 当N ≥685时，P(X =15)=C 20015C N−200485C N500，记a(N)=C 20015C N−200485C N500，则a(N +1)a(N)=C N+1−200485C N500C N+1500C N−200485=(N +1−500)(N +1−200)(N +1)(N +1−200−485)=(N −499)(N −199)(N +1)(N −684)=N 2−698N+499×199N 2−683N−684．由N 2−698N +499×199>N 2−683N −684， 当且仅当N <499×199+68415≈6665.7，则可知当685≤N ≤6665时，a(N +1)>a(N)； 当N ≥6666时，a(N +1)<a(N)，故N =6666时，a(N)最大，所以N 的估计值为6666． 已知双曲线C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)过点A(4√2,3)，且焦距为10．25. 求C 的方程；26. 已知点B(4√2,−3),D(2√2,0)，E 为线段AB 上一点，且直线DE 交C 于G ，H 两点．证明：|GD||GE|=|HD||HE|．【答案】25.x 216−y 29=126. 证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程组求出a,b ，即可得出C 的方程； （2）根据D,E,H,G 四点共线，要证|GD||GE|=|HD||HE|即证GD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅HE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=GE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅DH⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，设出直线DE:y =2√2−2√2)，G (x 1,y 1),H (x 2,y 2)，E(4√2,t)，联立直线方程与椭圆方程得出x 1+x 2,x 1x 2，将其代入GD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅HE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−GE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅DH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，计算结果为零，即证出． 【25题详解】由题意可得32a 2−9b 2=1,2√a 2+b 2=10，故a =4,b =3，所以C 的方程为x 216−y 29=1．【26题详解】设E(4√2,t)，G (x 1,y 1),H (x 2,y 2)， 当x =4√2时，即3216−y 29=1，解得y =±3，则|t|<3，∵双曲线的渐近线方程为y =±34x ，故当直线DE 与渐近线平行时，此时和双曲线仅有一个交点， 此时直线DE 方程为y =±34(x −2√2)，令x =4√2，则y =±3√22，故|t|≠3√22． 则直线DE:y =t 2√2−2√2)．由{y =2√2−2√2)x 216−y 29=1得(9−2t 2)x 2+8√2t 2x −16t 2−144=0，所以x 1+x 2=8√2t 22t 2−9，x 1x 2=16t 2+1442t 2−9．GD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅HE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−GE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅DH⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2√2−x 1,−y 1)⋅(4√2−x 2,t −y 2)−(4√2−x 1,t −y 1)⋅(x 2−2√2,y 2) =2x 1x 2+2y 1y 2−6√2(x 1+x 2)−t (y 1+y 2)+32 =(2+t 24)x 1x 2−(3√24t 2+6√2)(x 1+x 2)+4t 2+32 =4(t 2+8)(t 2+9)2t 2−9−4t 2(3t 2+24)2t 2−9+4t 2+32 =0．所以GD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅HE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=GE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅DH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以|GD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||HE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cos0=|GE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||DH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cos0 即|GD||GE|=|HD||HE|．【点睛】关键点睛：本题第二问不能直接计算长度，否则计算量过大，而是转化为证明向量数量积之间的关系，采取设E(4√2,t)，从而得到直线DE 方程，再使用经典的联立法，得到韦达定理式，然后证明GD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅HE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−GE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅DH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0即可. 椭圆曲线加密算法运用于区块链．椭圆曲线C ={(x,y)∣y 2=x 3+ax +b,4a 3+27b 2≠0}．P ∈C 关于x 轴的对称点记为P̃．C 在点P(x,y)(y ≠0)处的切线是指曲线y =±√x 3+ax +b 在点P 处的切线．定义“⊕”运算满足：①若P ∈C,Q ∈C ，且直线PQ 与C 有第三个交点R ，则P ⊕Q =R ̃；②若P ∈C,Q ∈C ，且PQ 为C 的切线，切点为P ，则P ⊕Q =P ̃；③若P ∈C ，规定P ⊕P ̃=0∗，且P ⊕0∗=0∗⊕P =P ． 27. 当4a 3+27b 2=0时，讨论函数ℎ(x)=x 3+ax +b 零点的个数；28. 已知“⊕”运算满足交换律、结合律，若P ∈C,Q ∈C ，且PQ 为C 的切线，切点为P ，证明：P ⊕P =Q̃；29. 已知P(x1,y1)∈C,Q(x2,y2)∈C，且直线PQ与C有第三个交点，求P⊕Q的坐标．参考公式：m3−n3=(m−n)(m2+mn+n2)【答案】27. 见解析28. 证明见解析29. ((y1−y2x1−x2)2−x1−x2,y1−y2x1−x2[−(y1−y2x1−x2)2+2x1+x2]−y1)【解析】【分析】（1）利用导数讨论函数的单调性后求出极值，从而可判断零点的个数.（2）利用“⊕”运算的性质计算P⊕P⊕Q⊕Q̃后可得证明.（3）设直线PQ的斜率λ=y1−y2x1−x2，利用点在曲线上结合因式分解可求第三个点的坐标.【27题详解】由题设可知a≤0，有ℎ′(x)=3x2+a，若a=0，则b=0，则ℎ(x)=x3，此时ℎ(x)仅有一个零点；若a<0，令ℎ′(x)=0，解得x1=−√−a3,x2=√−a3．当x<−√−a3或x>√−a3时，ℎ′(x)>0，当−√−a3<x<√−a3时，ℎ′(x)<0，故ℎ(x)在(−∞,−√−a3)，(√−a3,+∞)上为单调递增；在(−√−a3,√−a3)上ℎ(x)单调递减.因为4a3+27b2=0，若b<0，则b=−√−4a327=2a3√−a3，此时ℎ(−√−a3)=−(−a3)√−a3−a√−a3+b=b−2a3√−a3=0，而ℎ(√−a3)<0故此时ℎ(x)有2个零点；若b>0，则b=√−4a327=−2a3√−a3，此时ℎ(√−a3)=(−a3)√−a3+a√−a3+b=b+2a3√−a3=0，而ℎ(−√−a3)>0故此时ℎ(x)有2个零点；综上，当b>0,ℎ(x2)=0，所以ℎ(x)有2个零点．当b<0,ℎ(x1)=0，所以ℎ(x)有2个零点．当a=0，有b=0，则ℎ(x)有1个零点．【28题详解】因为PQ为C在点P处的切线，且Q∈C，所以P⊕Q=P̃，故P⊕(P⊕Q)=P⊕P̃=0∗，故((P⊕P)⊕Q)⊕Q̃=0∗⊕Q̃=Q̃，因为“⊕”运算满足交换律、结合律，故((P⊕P)⊕Q)⊕Q̃=P⊕(P⊕(Q⊕Q̃))=P⊕(P⊕0∗)=P⊕P，故P⊕P=Q̃.【29题详解】直线PQ的斜率λ=y1−y2x1−x2，设PQ与C的第三个交点为(x3,y3)，则y3=λ(x3−x1)+y1，代入y32=x33+ax3+b得λ2(x3−x1)2+2λy1(x3−x1)+y12=x33+ax3+b，而y12=x13+ax1+b，故λ2(x3−x1)2+2λy1(x3−x1)+x13+ax1+b=x33+ax3+b，整理得到：λ2(x3−x1)2+2λy1(x3−x1)=x33−x13+a(x3−x1)，故λ2(x3−x1)+2λy1=x32+x12+x1x3+a即x32+(x1−λ2)x3+x12+λ2x1−2λy1+a=0，同理可得x32+(x2−λ2)x3+x22+λ2x2−2λy2+a=0，两式相减得：(x1−x2)x3+x12−x22+λ2(x1−x2)−2λ(y1−y2)=0，故x3+(x1+x2)+λ2−2λ(y1−y2)x1−x2=0，所以x3+(x1+x2)+λ2−2λ2=0，故x3=λ2−x1−x2，故x3=(y1−y2x1−x2)2−x1−x2，所以y3=y1−y2x1−x2[(y1−y2x1−x2)2−2x1−x2]+y1，因此P⊕Q的坐标为：((y1−y2x1−x2)2−x1−x2,y1−y2x1−x2[−(y1−y2x1−x2)2+2x1+x2]−y1)．【点睛】思路点睛：函数新运算问题，需根据运算的性质选择合理的计算顺序来处理等式，而三次函数的零点问题，注意结合极值的符号处理零点的个数。