专题05 难点探究专题：全等三角形中的动态问题(解析版)

专题05 难点探究专题：全等三角形中的动态问题考点一 利用全等三角形中的动点求时间问题（利用分类讨论思想）考点二 利用全等三角形中的动点求线段长问题考点三 利用全等三角形中的动点求线段长最小值问题考点四 利用全等三角形中的动点综合问题考点一 利用全等三角形中的动点求时间问题（利用分类讨论思想）例题：（2021·山东临沂·八年级期中）如图，CA AB ⊥，垂足为点A ，射线BM AB ⊥，垂足为点B ，12cm AB =，6cm AC =．动点E 从A 点出发以3cm /s 的速度沿射线AN 运动，动点D 在射线BM 上，随着 E 点运动而运动，始终保持ED CB =．若点E 的运动时间为(0)t t >，则当 t =________ 个秒时，DEB 与BCA 全等．【答案】2或6或8【解析】【分析】分两种情况：①当E 在线段AB 上时，②当E 在BN 上，再分别分成两种情况AC =BE ，AB =BE 进行计算即可．【详解】解：①当E 在线段AB 上，AC =BE 时，ACB BED ≅AC =6，∴ BE =6，∴ AE =12-6=6，∴ 点 E 的运动时间为632÷= (秒)．②当E 在BN 上，AC =BE 时，ACB BED ≅AC =6，∴ BE =6，∴ AE =12+6=18．∴ 点 E 的运动时间为6318=÷ (秒)．③当E 在BN 上，AB =BE 时，ACB BDE ≅∴ AE =12+12=24.∴点E 的运动时间为8324=÷ (秒)④当E 在线段AB 上，AB =BE 时，ACB BDE ≅这时E 在A 点未动，因此时间为0秒不符合题意． 故答案为：2或6或8．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【变式训练】1．（2021·全国·七年级专题练习）已知：如图，在长方形ABCD 中，6,10AB AD ==延长BC 到点E ，使4CE =，连接DE ，动点F 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC CD DA --向终点A 运动，设点F 的运动时间为t 秒，当t 的值为_______时，ABF 和DCE 全等．【答案】2或11【解析】【分析】分两种情况讨论，根据题意得出BF =2t =4和AF =26-2t =4即可求得答案．【详解】解：∵DCE 为直角三角形，且AB =DC ，∵当ABF ∵DCE 时，有BF =2t =CE =4，解得：t =2；当BAF △∵DCE 时，有AF =CE =4，此时2=10610-2t=26-2t AF BC CD DA t =++-++=4，解得：11t =，故答案为：2或11．【点睛】本题考查全等三角形的判定，注意到DCE为直角三角形，且AB=DC，故只有BF=2t=4和AF=26-2t=4两种情况．2．（2019·江苏·镇江实验学校八年级阶段练习）已知正方形ABCD中，AB=BC=CD=DA=8cm，∵A=∵B=∵C=∵D=90°．动点P以每秒2cm的速度从点B出发沿线段BC方向运动，动点Q同时以每秒8cm的速度从B点出发沿正方形的边BA-AD-DC-CB方向顺时针作折线运动，当点P与点Q相遇时停止运动，设点P的运动时间为t．连接P A，当t的值为___________________秒时，P AB和QAD全等．【答案】0.8秒或83．【解析】【分析】分点Q在AB，AD，DC，BC边上这几种情况进行讨论，根据全等三角形的性质得出对应边相等，进而列出方程求得t的值．【详解】解：①当点Q在边AB上时，如图1，∵AB＝AD，∵ABP＝∵DAQ＝90°，要使P AB和QAD全等，只能是P AB∵QDA，∵BP＝AQ，∵AQ＝8－8t，BP＝2t，∵8－8t＝2t，∵t＝0.8，②当点Q在边AD时，不能构成QAD，③当点Q在边CD上时，如图2，同①的方法得，要使P AB和QAD全等，只能是P AB∵QAD，∵BP＝DQ，∵2t＝8t－16，∵t＝83，④当点Q在边BC时，QAD不是直角三角形，而P AB是直角三角形，所以，不能全等；即：当P AB和QAD全等时，t的值为0.8或83，故答案为：0.8或83．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是分类讨论，用方程的思想解决问题．考点二利用全等三角形中的动点求线段长问题例题：（2019·江苏·宜兴市周铁中学八年级阶段练习）已知：如图，∵B=90°AB∵DF，AB=3cm，BD=8cm，点C 是线段BD上一动点，点E是直线DF上一动点，且始终保持AC∵CE，若AC=CE ,则DE的长为______.【答案】5【解析】【分析】根据全等得出对应边相等，即可得出答案.【详解】解：∵∵B=90°，AB∵DF，∵∵D=∵B=90°，∵AC∵CE，∵∵ACE=90°，∵∵ECD +∵CED =90°，∵ACB +∵ECD =90°，∵∵ACB =∵CED ；∴在∵ABC 和∵CDE 中ACB CED B DAC CE ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝ ∵∵ABC ∵∵CDE （AAS ），∵AB =CD =3cm ，∵DE =BC =8cm -3cm =5cm故答案为5.【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．【变式训练】1．（2020·江苏·泰州中学附属初中八年级阶段练习）如图，△ABC 中，点D 在边BC 上，DE ∵AB 于E ，DH ∵AC 于H ，且满足DE =DH ，F 为AE 的中点，G 为直线AC 上一动点，满足DG ＝DF ，若AE =4cm ，则AG = _____cm ．【答案】2或6.【解析】【详解】∵DE ∵AB ，DH ∵AC ，∵∵AED =∵AHE =90°.在△ADE 和△ADH 中，∵AD =AD ,DE =DH , ∵∵ADE ∵∵ADH (HL ),∵AH =AE =4cm .∵F 为AE 的中点，∵AF =EF =2cm .在△FDE 和△GDH 中，∵DF =DG ,DE =DH , ∵∵FDE ∵∵GDH (HL ),∵GH =EF =2cm .当点G 在线段AH 上时，AG =AH -GH =4-2=2cm ;当点G 在线段HC 上时，AG =AH +GH =4+2=6cm ;故AG 的长为2或6.2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，AO∵OM，OA=7，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB，AB 为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，则PB的长度____________．【答案】7 2【解析】【分析】根据题意过点E作EN∵BM，垂足为点N，首先证明∵ABO∵∵BEN，得到BO=ME；进而证明∵BPF∵∵MPE并分析即可得出答案．【详解】解：如图，过点E作EN∵BM，垂足为点N，∵∵AOB=∵ABE=∵BNE=90°，∵∵ABO+∵BAO=∵ABO+∵NBE=90°，∵∵BAO=∵NBE，∵∵ABE、∵BFO均为等腰直角三角形，∵AB=BE，BF=BO；在∵ABO与∵BEN中，BAO NBE AOB BNE AB BE ∠⎪∠⎧⎩∠⎪∠⎨＝＝＝，∵∵ABO ∵∵BEN （AAS ），∵BO =NE ，BN =AO ；∵BO =BF ，∵BF =NE ，在∵BPF 与∵NPE 中，FBP ENP FPB EPN BF NE ∠⎪∠⎧⎩∠⎪∠⎨＝＝＝，∵∵BPF ∵∵NPE （AAS ），∵BP =NP =12BN ，BN =AO ， ∵BP = 12AO = 12×7=72． 故答案为：72． 【点睛】本题考查三角形内角和定理以及全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形并灵活运用有关定理进行分析．考点三 利用全等三角形中的动点求线段长最小值问题例题：（2021·重庆八中八年级开学考试）如图，在Rt ∵ABC 中，∵ACB =90°，AC =6，BC =8，AB =10，AD 平分∵CAB 交BC 于D 点，E ，F 分别是AD ，AC 上的动点，则CE +EF 的最小值为________．【答案】245【解析】【分析】 在AB 上取点F ′，使AF ′=AF ，过点C 作CH ∵AB ，垂足为H ．因为EF +CE =EF ′+EC ，推出当C 、E 、F ′共线，且点F ′与H 重合时，FE +EC 的值最小．【详解】解：如图所示：在AB 上取点F ′，使AF ′=AF ，过点C 作CH ∵AB ，垂足为H ．∵AD 平分∵CAB ，∵∵CAD =∵BAD ，又AE =AE ，∵∵AEF ∵∵AE F ′（SAS ），∵FE =E F ′，∵S △ABC =12AB •CH =12AC •BC ， ∵CH =•245AC BC AB =， ∵EF +CE =EF ′+EC ，∵当C 、E 、F ′共线，且点F ′与H 重合时，FE +EC 的值最小，最小值为245， 故答案为：245． 【点睛】本题主要考查的是勾股定理的应用、垂线段最短等知识，解题的关键是正确的作出辅助线，明确当C 、E 、F ′共线，且点F ′与点H 重合时，CE +EF 的值最小．【变式训练】1．（2021·全国·八年级专题练习）如图，在线段AB 两侧作ABC 和ABD △，使AC AB =，ABC ABD ∠=∠，E 为BC 边上一点，满足2EAD BAC ∠=∠，P 为直线AE 上的动点，连接BP 、DP ．已知3AB =， 2.6AD =，BDE 的周长为3.6，则BP DP +的最小值为______．【答案】2.8【解析】 【分析】在BC上取CD′=BD，连接AD′，证明∵ACD′∵∵ABD，得到AD′=AD，∵CAD′=∵BAD，从而证明∵AED′∵∵AED，得到D′E=DE，∵AED′=∵AED，过A作AF∵BC，AF与BC交于点F，从而推断出BP+DP=BP+D′P最小值为P 点与E点重合时，BP与D′P共线，BP+D′P=BD′，利用勾股定理求出BD′的长度即可．【详解】解：在BC上取CD′=BD，连接AD′，∵AC=AB，∵∵C=∵ABC，∵∵ABC=∵ABD，∵∵C=∵ABD，又CD′=BD，AC=AB，∵∵ACD′∵∵ABD（SAS），∵AD′=AD，∵CAD′=∵BAD，∵∵DAD′=∵BAC，∵2∵EAD=∵BAC=∵DAD′，∵∵D′AE=∵DAE，又AD′=AD，AE=AE，∵∵AED′∵∵AED（SAS），∵D′E=DE，∵AED′=∵AED，∵D′在直线BD上，过A作AF∵BC，AF与BC交于点F，∵CD′=BD，D′E=DE，∵CD′+D′E+EB=BC=BD+DE+BE=3.6，∵P为AE上的动点，故BP+DP=BP+D′P最小值为P点与E点重合时，BP与D′P共线，BP+D′P=BD′，∵∵ABC中，AB=AC=3，BC=3.6，AF∵BC，AD′=AD=2.6，∵F为BC中点，即CF=BF=12BC=12×3.6=1.8，∵AF 2.4==，∵D′F1，∵BD′=BF+D′F=1.8+1=2.8，∵BP+DP的最小值为2.8，故答案为：2.8．【点睛】本题考查了最短路径问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键正确作出辅助线，利用全等三角形的性质得到相等线段．2．（2019·湖北·武汉大学附属外语学校八年级阶段练习）∵ABC是边长为2的等边三角形，点P为直线BC 上的动点，把线段AP绕A点逆时针旋转60°至AE，O为AB边上一动点，则OE的最小值为____．【解析】【分析】根据题意连接EC，作CH∵AB于H，首先证明CE∵AB，再求出平行线之间的距离即可解决问题．【详解】解：如图，连接EC，作CH∵AB于H．∵∵ABC是等边三角形，∵∵BAC=∵ABC=∵ACB=60°，AB=AC，∵∵P AE=∵BAC=60°，∵∵P AB=∵EAC，∵P A=EQ，BA=CA，∵∵P AB∵∵EAC(SAS)，∵∵ABP=∵ACE，∵∵ABP=180°﹣60°=120°，∵∵ACE=120°，∵∵BCE=120°﹣60°=60°，∵∵ABC=∵BCE，∵CE ∵AB ，∵点E 的运动轨迹是直线CE (CE ∵AB )，∵CB =CA =AB =2，CH ∵AB ，∵BH =AH =1，∵CH=根据垂线段最短，可知OE 的最小值=CH =【点睛】本题考查旋转变换和等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质和垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．考点四 利用全等三角形中的动点综合问题例题：（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）如图，在ABC 中，90,BAC AB AC ∠=︒=．点D 是直线BC 上一动点（点D 不与点B ，C 重合），90,DAE AD AE ∠=︒=，连接CE ．(1)如图1，当点D 在线段BC 上时，直接写出,BC CD 与CE 之间的数量关系；(2)如图2，当点D 在边BC 的延长线上时，请探究线段,BC CD 与CE 之间存在怎样的数量关系？并说明理由；(3)如图3，若点D 在边CB 的延长线上，且点A ，E 分别在直线的两侧，其他条件不变，若10,6CD BC ==，直接写出CE 的长度．【答案】(1)CE +CD =BC ，证明见解析(2)CE =BC +CD ，证明见解析(3)CE =4【解析】【分析】（1）根据条件AB =AC ，∵BAC =90°，AD =AE ，∵DAE =90°，判定∵ABD ∵∵ACE （SAS ），即可得出BD 和CE 之间的关系，根据全等三角形的性质，即可得到CE +CD =BC ；（2）根据已知条件，判定∵ABD ∵∵ACE （SAS ），得出BD =CE ，再根据BD =BC +CD ，即可得到CE =BC +CD ；（3）根据条件判定∵ABD ∵∵ACE （SAS ），得出BD =CE ，即可解决问题．(1)解：如图1，∵∵BAC =∵DAE =90°，∵∵BAD =∵CAE ，在∵ABD 和∵ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∵∵ABD ∵∵ACE （SAS ），∵BD =CE ，∵BC =BD +CD =CE +CD ，(2)线段BC ，CD 与CE 之间存在的数量关系为BC =CE -CD ．理由：如图2中，由（1）同理可得，∵∵BAC =∵DAE =90°，∵∵BAC +∵CAD =∵DAE +∵CAD ， 即∵BAD =∵CAE ，∵在∵ABD 和∵ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∵∵ABD ∵∵ACE （SAS ），∵BD =CE ，∵BD =BC +CD ，即CE =BC +CD ．(3)如图3，由（1）同理可得， ∵∵BAC =∵DAE =90°，∵∵BAC -∵BAE =∵DAE -∵BAE ， 即∵BAD =∵EAC ，同理，∵ABD ∵∵ACE （SAS ），∵BD =CE ，∵CD =10，BC =6，∵DB =DC -BC =4，∵CE =4．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质．解决问题的关键是掌握：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．解题时注意：全等三角形的对应边相等．【变式训练】1．（2021·河南商丘·八年级期中）如图1，ABC 中，50A ∠=︒，AB AC =，点D 、E 别在边AB 、AC 上，且DE //BC ．(1)求证：BD CE =；(2)围绕A 点旋转ADE ，使其一边AD 落在线段AC 上（如图2所示），连接CE 、BD 并延长相交于M 点．试求BMC ∠的度数．【答案】(1)证明见解析部分．(2)50°．【解析】【分析】（1）利用平行线的性质以及等腰三角形的性质证明∵ADE ＝∵AED ，推出AD ＝AE 即可解决问题．（2）证明△BAD∵∵CAE（SAS），推出∵ABD＝∵ACE，可得∵BAD＝∵CMD＝50°．(1)证明：如图1中，∵AB＝AC，∵∵B＝∵C，∵DE∵BC，∵∵ADE＝∵B，∵AED＝∵C，∵∵ADE＝∵AED，∵AD＝AE，∵AB﹣AD＝AC﹣AE，即BD＝EC．(2)解：如图2中，∵AB＝AC，∵BAD＝∵CAE，AD＝AE，∵∵BAD∵∵CAE（SAS），∵∵ABD＝∵ACE，∵∵ADB＝∵CDM，∵∵BMC＝∵BAD＝50°．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．2．（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）如图①，点C在线段AB上（点C不与A，B重合），分别以AC，BC 为边在AB同侧作等边∵ACD和等边∵BCE，连接AE，BD交于点P．(1)观察猜想：1.AE与BD的数量关系为______；2.∵APD的度数为______；(2)数学思考：如图②，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．【答案】(1)①AE＝BD；②60°(2)上述结论成立．∵APD＝60°，证明见解析【解析】【分析】（1）根据已知条件只要证明∵DCB∵∵ACE，即可证明出AE于BD的数量关系，以及∵APD的角度；（2）根据∵ACD，∵BCE均为等边三角形，可知＝AC，BC＝EC，∵DCA＝∵BCE＝60°，进而可知∵DCA＋∵ACB ＝∵ACB＋∵BCE，即∵DCB＝∵ACE，从而可证∵DCB∵∵ACE（SAS），则DB＝AE，∵CDB＝∵CAE，根据∵DCA ＝∵DP A＝60°可证∵APD＝60°．(1)解：∵∵ACD和∵CBE都是等边三角形，∵AC=DC，CE=CB，∵ACD=∵ECB=60°，∵∵ACE=∵ACD+∵DCE，∵DCB=∵DCE＋∵ECB，∵∵DCB=∵ACE，∵∵DCB∵∵ACE，∵AE=BD，∵BDC=∵CAE，又∵∵DOP=∵COA，∵∵APD=∵ACD=60°，故答案是：AE=BD，60°；(2)上述结论成立，∵∵ACD，∵BCE均为等边三角形，∵DC＝AC，BC＝EC，∵DCA＝∵BCE＝60°，∵∵DCA＋∵ACB＝∵ACB＋∵BCE，即∵DCB＝∵ACE，在∵DCB和∵ACE中，DC ACDCB ACE CB CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵∵DCB∵∵ACE（SAS），∵DB＝AE，∵CDB＝∵CAE，如图，设BD与AC交于点O，易知∵DOC＝∵AOP（对顶角相等），∵∵CDB＋∵DCA＝∵CAE＋∵DP A，∵∵DCA＝∵DP A＝60°，即∵APD＝60°．【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，能够熟练掌握全等三角形的性质与判定是解决本题的关键．一、选择题1．（2020·广西百色·八年级期末）如图，在长方形ABCD中，4AB=，6AD=，延长BC到点E，使2CE=．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC CD DA--方向向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当ABP△和DCE全等时，t的值是（）A．1B．1或3C．1或7D．3或7【答案】C【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出22BP t==和1622AP t=-=即可求得．【详解】解：因为AB CD=，若90ABP DCE∠=∠=︒，2BP CE==，根据SAS证得ABP DCE∆≅∆，由题意得：22BP t ==，所以1t =，因为AB CD =，若90BAP DCE ∠=∠=︒，2AP CE ==，根据SAS 证得BAP DCE ∆≅∆，由题意得：1622AP t =-=，解得7t =．所以，当t 的值为1或7秒时．ABP ∆和DCE ∆全等．故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握判定方法有：ASA ，SAS ，AAS ，SSS ，HL ．2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在锐角∵ABC 中，∵BAC =45°，点B 到AC 的距离为2，∵BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是（ ）A ．1B ．1.5C ．2D ．3【答案】C【分析】在AC 上截取AE =AN ，连接BE ，由AD 平分∵CAB ，可得∵EAM =∵NAM ，然后根据SAS 可证∵AEM ∵∵ANM ，可得MN =ME ,然后根据BM +MN =BM +ME ≥BE ，可得当BE ∵AC ，即BE 是点B 到AC 的距离时，BM +MN 的值最小，从而求得答案.【详解】解：如图，在AC 上截取AE =AN ，连接BE ，∵AD 平分∵CAB ，∵∵EAM =∵NAM ，在∵AEM 和∵ANM 中， ∵AE AN EAM NAM AM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵∵AEM ∵∵ANM (SAS )，∵MN =ME ，∵BM +MN =BM +ME ≥BE ，【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、点到直线的距离，通过构造全等【答案】261⊥AD BC∴BG A//∴∠=GBAAB BG=∴∆≅∆ABF∴=GE BFBF CE CE CG∴+，∴当G、三点共线时，AB AC=BC=12在Rt BCG∆故答案为：【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，通过构造三角形全等，将所求【答案】2.5或1在Rt∵ABC中，AB＝10，AC＝6，∵O是AB 的中点，∵OA＝OB，在∵OAP和∵OBQ中，A OBQOA OBAOP BOQ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∵∵OAP∵∵OBQ（ASA），∵P A＝BQ＝6﹣1＝5，OQ＝OP，∵OM∵PQ，∵MQ＝MP，∵52+x2＝12+（8﹣x）2，解得x＝2.5．当点P在AC的延长线上时，同法可得72+x2＝12+（8﹣x）2，解得x＝1，综上所述，满足条件的BM的值为2.5或1．故答案为：2.5或1．【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．5．（2022·江苏·八年级单元测试）如图, 在ABC中, 90,8cm,10cmACB AC BC∠===．点C在直线l 上, 动点P从A点出发沿A C→的路径向终点C运动; 动点Q从B点出发沿B C A→→路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒1cm和2cm的运动速度同时开始运动, 其中一点到达终点时另一点也停止运动, 分别过点P和Q作PM⊥直线l于,M QN⊥直线l于N．当点P运动时间为___________秒时, PMC与QNC全等．【答案】2或6##6或2【分析】对点P和点Q是否重合进行分类讨论，通过证明全等即可得到结果；【详解】解：如图1所示：PMC ∆与QNC ∆全等，PC QC ，8102t t ∴-=-，解得∵2t =；如图2所示：点P 与点Q 重合，PMC 与QNC ∆全等，8210t t ∴-=-，解得∵6t =；故答案为∵1或6．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键．三、解答题6．（2022·江西吉安·七年级期末）如图，在长方形ABCD 中，6cm,8cm AB BC ==，动点P 从点B 出发，沿BC 方向以2cm /s 的速度向点C 匀速运动：同时动点Q 从点C 出发，沿CD 方向以2cm /s 的速度向点D 匀速运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时()()0t s t <<3．解答下列问题：(1)当点C 在线段PQ 的垂直平分线上时，求t 的值；(2)是否存在某一时刻t ，使AP PQ ⊥?若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由：【答案】(1)2(2)存在某一时刻t ，使AP PQ ⊥，t =1．【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得PC CQ =，列出方程可求解；（2）证出ABP PCQ ASA ≌（），由全等三角形的性质可得AB PC =，列出方程可求t 的值．（1）解：由题意得，2BP CQ t ==，∵82PC BC BP t =-=-，若点C 在线段PQ 的垂直平分线上，∵PC CQ =，即822t t -=，∵2t =；（2）解：存在某一时刻t ，使AP PQ ⊥．∵AP PQ ⊥，90B C ∠=∠=︒，∵90PQC QPC ∠+∠=︒，∵90∠+∠=︒APB QPC ，∵APB PQC ∠=∠．又∵BP CQ =，∵ABP PCQ ASA ≌（），∵AB CP =，∵826t -=，∵1t =．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，一元一次方程的应用，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．7．（2021·江苏南通·八年级期中）如图，在∵ABC 中，AB ＝AC ，∵BAC ＝90°，点D 是边BC 上的动点，连接AD ，点C 关于直线AD 的对称点为点E ，射线BE 与射线AD 交于点F ．（1）在图中，依题意补全图形，并求证：∵ABF =∵AEB ；（2）记∵DAC ＝α（α＜45°），求∵AFB 的大小；（3）若AB =BD ，猜想BE 和AD 的数量关系，并证明．【答案】（1）补全图见解析，证明见解析；（2）∵AFB＝45°；（3）AD＝BE，证明见解析【分析】（1）根据垂直平分线的性质求解即可；（2）根据三角形内角和定理计算即可；（3）连接DE，CE，AE，根据题意求得∵CAF＝22．5°，再证明∵BED∵∵ADC（ASA），即可得解；【详解】解：（1）补完图并小结如图所示；连接CE，AE，由题意可知，∵点C关于直线AD的对称点为点E，AF垂直平分CE，∵AC＝AE，∵AB＝AC，∵AB＝AE，∵∵ABF＝∵AEB；（2）如图，由题意可知，∵EAF＝∵CAD＝α，∵∵BAE＝90°﹣2α，在∵ABE中，∵BAE+∵ABF+∵AEB＝180°，∵∵ABF＝∵AEB＝45°+α，∵∵AEB＝∵EAF+∵AFB，∵EAF＝α，∵∵AFB＝45°；（3）结论：AD＝BE；证明：如备用图，连接DE，CE，AE，在∵ABC中，AB＝AC，∵ACB＝∵ABC＝45°，在∵ABD中，AB＝BD，∵BAD＝∵BDA＝67．5°，∵∵CAF＝22．5°，由（2）可知，∵ABE＝∵ABC+∵CBF＝45°+α，∵ABC＝45°，∵∵CBF＝α＝22．5°，∵∵CAF=∵CBF，∵点C关于直线AD的对称点为点E，∵ED＝DC，【点睛】本题主要考查了几何综合变换，结合全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理证明是解题的(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，∵ACP∵BPQ是否全等？PC与PQ是否垂直？请分Rt ABC C 中，出发，沿折线CA -(1)点P 在CA 上运动的过程中，当CP =______时，CPD △与CBD 的面积相等；（直接写出答案）是等腰三角形，求∠CD 所在直线上存在另一动点______．（直接写出答案）与CBD 的面积相等时，证∵PCD 45°，分两种情况：=∵PCD =45∵CPD =∵与CBD 的面积相等，理由如下：45=︒， 在PCD 和△CP CB PCD CD CD =∠=∠=与CBD 的面积相等．）得：PCD ∠分两种情况：AC 上，如图若PC PD =，则45PDC PCD ∠=∠=︒，存在DP DC =，'∥，则MP AC八年级）如图，在ABC中，（1）求线段AO的长；∵AD是高，∵CQ＝OP，∵CQ＝OP，。