第四章相似三角形复习学案220151103

第四章相似三角形复习学案220151103
A
相似三角形复习学案2
复习目标：1.掌握成比例线段、平行线分线段成比例、黄金分割的概念.
2.掌握相似三角形的性质与判定，并会利用性质判定进行计算或证明.
3.能够熟练运用上述的概念和性质解决实际问题.
【课前热身】
1．两个相似三角形对应边上中线的比等于3：2，则对应边上的高的比为______，周长之比为________，面积之比为_________．2．若两个相似三角形的周长的比为4：5，且周长之和为45，则这两个三角形的周长分别为__________．3．如图，在△ABC 中，已知∠ADE=∠B ，则下列等式成立的是（）
A ．AD AE A
B A
C = B ．AE
AD
BC BD = C ．DE AE BC AB = D ．DE
AD
BC
AC
=
4．在△ABC 与△A′B ′C′中，有下列条件：（1）
''''AB BC A B B C =；（2）''''
BC AC
B C A C =；（3）∠A=∠A′；（4）∠C=∠C′．如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC ∽△A′B ′C ′的共有多少组（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
复习提示：
一、成比例线段：
1.对于四条线段a ，b ，c ，d ，如果a
b ＝，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．
2.表示两个比相等的式子叫做比例式，简称比例二、比例的基本性质：
1.如果a b ＝c
d
，那么，反之也成立．其中a 与d 叫做比例外项，b 与c 叫做比
例内项．
特殊地，a b ＝b
c
b 2＝a
c .
2.比例的合比性质如果a b ＝c d ，那么a ±b b ＝c ±d
d .
3.比例的等比性质
如果a b ＝c d ＝…＝m
n (b ＋d ＋…＋n ≠0)，那么a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n ＝a b .
三、平行线分线段成比例定理
1.定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等
2.几何语言叙述
如图，当l 3∥l 4∥l 5时，有AB BC ＝DE EF ，AB AC ＝DE DF ，BC AC ＝EF
DF
等．
3.平行于三角形一边截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．如图所示：
A B
C
E
F
四、黄金分割
如图，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，AC >BC ，如果AC AB ＝
BC
AC
，则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做AB 的黄金分割点，
AC 与AB 的比叫做黄金比，
AC AB ＝5－12
≈0.618. 注意：一条线段有两个黄金分割点．五、相似三角形
1.定义：如果两个三角形的各角对应，各边对应，那么这两个三角形相似．
2.相似三角形的性质
1）相似三角形的对应角，对应边．
2）相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于． 3）相似三角形的周长之比等于，面积之比等于． 3.相似三角形的判定
1）平行于三角形一边的直线和其他两边(或其他两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2）两边对应，且夹角的两个三角形相似． 3）角对应相等的两个三角形相似． 4）三边对应的两个三角形相似．六、位似图形的定义及性质
1.定义：如果两个多边形不仅，而且对应顶点的连线相交于，对应边互相，像这样的图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时相似比又称为位似比． 2．性质
(1)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于．
(2)在平面直角坐标系中，如果是以原点为位似中心，位似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于 .
3利用位似可以将一个图形放大或缩小．
当堂检测：
1.若x ∶y ＝1∶3,2y ＝3z ，则
2x ＋y z －y
的值是( )A ．－5 B ．－103 C. 10
3 D ．5
2.如果两个相似多边形面积的比为1∶5，则它们的相似比为( )
A ．1∶25
B ．1∶5
C ．1∶2.5
D ．1∶ 5
3.如图，线段AB 两个端点的坐标分别为A (6,6)，B (8,2)．以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的1 2后得到线段CD ，则端点C 的坐标为( )A ．(3,3) B.(4,3) C ．(3,1)
D ．(4,1)
4.如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式中错误的是( )
A . AD A
B ＝AE A
C B. CE CF ＝EA FB C. DE BC ＝A
D BD D. EF AB ＝CF CB
5.已知
a ＋
b
c ＝a ＋c b ＝b ＋c a
＝k ，则k 的值是 . 6.如图，△ABC ∽△DEF ，相似比为1∶2，若BC ＝1，则EF 的长是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
7.线段AB 的长为10，点C 是AB 的黄金分割点，则AC= .
C
4题
E1D
1
C1
B1
A
1
B
D
A
C
P
E
达标检测：
1.如图，若△ABC∽△DEF，则∠D的度数为______________．
2.在Rt ABC
中, C
∠为直角, AB
CD⊥于点D,5
,3=
=AB
BC,
写出其中的一对相似三角形是 _ 和_ ；并写出它的面积比___ __.
第1题第2题第3题
3.如图，在△ABC中,若DE∥BC,
AD
DB
＝
1
2
,DE＝4cm,则BC的长为 ( )
A.8cm
B.12cm
C.11cm
D.10cm
4.如图，五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1是位似图形，且P A1=
2
3
P A，则AB?A1B1等于( )
A．
2
3
B．
3
2
C．
3
5
D．
5
3
5.如图，在△ABC中，∠AED＝∠B，则下列等式成立的是()
A.
DE
CB＝
AD
DB B.
AE
CB＝
AD
BD C.
DE
CB＝
AE
AB D.
AD
AB＝
AE
AC第5题图
6.如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中ABC
△相似的是（）
7.我们知道利用相似三角形可以计算不能直接测量的物体的高度，阳阳的身高是1.6m，他在阳光下的影长是1.2m，在同一时刻测得某棵树的影长为3.6m，则这棵树的高度约为
m．
8.若0
234
x y z
==≠，则
23
x y
z
+
=．
9.如图，平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果
2
3
BE
BC
=，那么BF
FD
=．
10.如图，在△ABC中，DE∥BC，
DE
BC＝
2
3，△ADE的面积是8，则△ABC的面积为.
11.如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，点E在AB边上，且
7
1
=
AB
AE
，CE交AD △ABC的面积为12，则△AEF的面积为
A．B．
C．D．
A
B
12. 在13×13的网格中，已知△ABC 和点M(1,2)．
(1)以点M 为位似中心，位似比为2∶1，画出△ABC 的位似图形△A ′B ′C ′； (2)写出△A ′B ′C ′的各顶点坐标．
12.如图，△ABC 是一块面积为2700cm 2的三角形木板，其中BC=90cm ，现在要将这块木板加工成一个正方形的桌面，如图所示，正方形DEFM 即是要加工成的桌面，点E 、F 在BC 边上，根据以上数据求出这个正方形桌面的边长.
13.如图，AB ∥FC ，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE ＝FE ，分别延长FD 和CB 交于点G . (1)求证：△ADE ≌△CFE ；
(2)若GB ＝2，BC ＝4，BD ＝1，求AB 的长．
拓展延伸：
14.如图，直线分别y=67
3
+-
x 与x 轴y 轴交于点D 、A ，C D ⊥x 轴，且CD=4，点P 在线段OD 上运动，（1）求出点A 和点D 的坐标.
（2）是否存在这样的点P 使△AOP 与PCD 相似，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由。