基底接触压力与附加应力
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土力学
（2）土的非均质和非理想弹性的影响。土的各种结构构造使 土呈现非均质性，且土体也不是理想的弹性体，而是一种具有 弹塑性和粘滞性的介质。但实际工程中，土应力水平较低，土 的应力－应变曲线关系呈线性关系。因此，当土层间的性质差 异并不十分悬殊时，采用弹性理论计算土应力在实用上是允许 的。
（3）地基土可视为半无限体。地基土在水平和深度方向上相 对于建筑物基础的尺寸而言，可视为是无限延伸的，因此，地 基土符合半无限体的假设。
pmax
2P 3Kb
3(L
2P 2 e)b
e>b/6: 出现拉应力区
3.2.4 基底附加压力
p0 p ch p 0h
例题：某矩形基础底面尺寸l=2.4m， b=1.6m，埋深2.0m，所受荷载设计值 m=100kN·m，F=450kN，其他条件见图。 试求基底压力和基底附加压力。
z
3P
2
z3 R5
z
3P
2
(r 2
z3 z2 )5/2
3
2
1 [(r / z)2 1]5/ 2
P z2
z
P z2
查表3.1
3.3.2 竖向分布荷载地基附加应力
若在半无限体表面作用一分布荷载p(x,y)，如图所示。计 算土中某点M(x,y,z)的竖向应力σz。
在基底取微元面积dF=dξdη，则作 用在dF上的集中力:
a 点：z = 0 m，σcz=γz=0; b 点：z = 2 m，σcz=γz=19 ×2=38 kPa c 点：z = 5 m , σcz =∑γihi=19 ×2+10 ×3=68 kPa， d 点：z = 9 m，σcz =∑γihi=19 ×2+10 ×3＋7.1 ×4＝96.4 kPa
（3）地基土可视为半无限体。地基土在水平和深度方向上相 对于建筑物基础的尺寸而言，可视为是无限延伸的，因此，地 基土符合半无限体的假设。
pmax
2P 3Kb
3(L
2P 2 e)b
e>b/6: 出现拉应力区
3.2.4 基底附加压力
p0 p ch p 0h
例题：某矩形基础底面尺寸l=2.4m， b=1.6m，埋深2.0m，所受荷载设计值 m=100kN·m，F=450kN，其他条件见图。 试求基底压力和基底附加压力。
z
3P
2
z3 R5
z
3P
2
(r 2
z3 z2 )5/2
3
2
1 [(r / z)2 1]5/ 2
P z2
z
P z2
查表3.1
3.3.2 竖向分布荷载地基附加应力
若在半无限体表面作用一分布荷载p(x,y)，如图所示。计 算土中某点M(x,y,z)的竖向应力σz。
在基底取微元面积dF=dξdη，则作 用在dF上的集中力:
a 点：z = 0 m，σcz=γz=0; b 点：z = 2 m，σcz=γz=19 ×2=38 kPa c 点：z = 5 m , σcz =∑γihi=19 ×2+10 ×3=68 kPa， d 点：z = 9 m，σcz =∑γihi=19 ×2+10 ×3＋7.1 ×4＝96.4 kPa
第三章基底接触压力与附加应力
水不能承受剪应力，因此孔隙水压 力对土体的抗剪强度没有任何贡献。
总结：
孔隙水压力对土体的变形和强
度没有直接影响，称为中性应 力.
孔隙水压 力的作用 有效应力 的作用 讨论
会引起土颗粒移动，也会使土 颗粒抵抗剪切、错动作用。
总结：
影响土体的强度和变形。
有效应力原理的讨论
17.2 17kN / m
3
H=50kN
0.8m
17.7 19kN / m3
1.2m
3.2m
地基中起建筑物沉 降的主要原因
• 集中荷载作用下的附加应力 基本解
• 矩形分布荷载作用下的附加应力
• 条形分布荷载作用下的附加应力 • 影响应力分布的因素
附加应力是 引起土体压 缩变形的主 要外因
土体的自重应力
无地下水时自重应力的计算： 竖直向自重应力：地基中Z深度处的竖直向自重应力等 于单位面积上Z深度范围内的土柱重量。
• 均质地基：
cz z
土体的自重应力
无地下水时自重应力的计算：
• 成层地基：
cz i zi m zi
A AS A w
P
sv
uA w
P A
sv
Aw u A
a
a
1 有效应力σ
'u
饱和土有效应力原理
有效应力原理的讨论
孔隙水压 力的作用 有效应力 的作用 讨论 它在各个方向相等，使土颗粒本身 受到等向压力，因此不会使土颗粒 移动；由于颗粒本身不可压缩，故 孔隙水压力也不会使土体产生压缩 变形.
y
3dF z 3 3 p0 z 3 d z dxdy 5 5 2 R 2 R
地基中应力的计算
地基中应力的计算考试内容：（大概方向）1．自重应力在地基土中的分布规律，均匀土、分层土和有地下水位时土中自重应力的计算方法。
2．基底接触压力的概念，基底附加压力的概念及计算方法。
3．基底附加压力的概念，基底附加压力在地基土中的分布规律。
应用角点法计算地基土中任意一点的竖向附加应力。
基地应力？自重应力？附加应力？这些概念书上都有不在叙述！中心荷载下的基底压力计算公式：A GF p +=式中 F—作用在基础上的竖向力设计值，kN，G—基础自重设计值及其上回填土重标准值的总重，kN，G=AdGγ其中Gγ—为基础及回填土之平均重度，一般取20kN／m³，但在地下水位以下部分应扣去浮力为10kN／m³，d—为基础埋深，必须从设计地面或室内外平均设计地面算起，m；A—基底面积，m²，对矩形基础lbA=，l和b分别为矩形基底的长度和宽度。
对于荷载沿长度方向均匀分布的条形基础，则沿长度方向截取一单位长度的截条进行基底平均压力设计值P(kPa)的计算，此时式中A改为b(m)，而F及G 则为基础截条内的相应值(kN／m)。
剩余公式就不在重复，麻烦常见问题：1、常见问题简述影响土中应力分布的因素。
答案：（1）非线性材料的影响，土体实际是非线性材料的影响，对竖向应力计算值有影响；（2）成层地基的影响，天然土层的松密、软硬程度往往不相同，变形特性可能差别较大，如可压缩土层覆盖在刚性岩层上；（3）变形模量随深度增大的影响；（4）各向异性的影响，由于天然沉积土因沉积条件和应力状态不同，在水平方向和垂直方法的E就不同，土的各向异性也会影响土层中的附加应力分布。
2、常见问题“角点法”的含义？答案：利用矩形面积角点下的附加应力计算公式和应力叠加原理，推求地基中任意点的附加应力的方法称为角点法。
3、常见问题基底压力、基底附加压力的含义及它们之间的关系？答案：基底压力：基础底面传给地基表面的压力。
由于基底压力作用于基础与地基的接触面上故也称基底接触应力。
土的自重应力、基底压力和地基附加应力
arctan
lb
2 l2 z2 b2 z2 l2 b2 z2
z l 2 b2 z2
角点下的地基附加应力：
取 m=l/b,n=z/b（注意其中b为荷载面的短边宽 度），令：
Kc
1
2
mn m2 2n2 1 m2 n2 12 n2 m2 n2
12
arctan n
剪应力：
xy
yx
3P
2
xyz
R5
1 2
3
xy(2R z)
R3
(
R
z
)2
yz
zy
3P
2
yz2 R5
3Py
2R3
cos2
xz
zx
3P
2
xz2 R5
3Px
2R3
cos2
x、y、z — 剪应力，其中前一脚标表示与它作用的微
面的法线方向平行的座标轴，后一脚标表示与它作用方 向平行的座标轴；
解:
cz1 1h1 19 2.0 38kPa cz 2 1h1 1'h2
38 (19.4 10) 2.5 61.5kPa
cz3
1h1
1'h2
' 2
h3
61.5 (17.4 10) 4.5 96.6kPa
w 2 (h2 h3 ) 10 7.0 70.0kPa
• 在深基坑开挖中，需 大量抽取地下水，以致 地下水位大幅度下降， 引起土的重度改变，从 而造成地表大面积下沉 的严重后果。 • 若地下水位长期上升， 会引起地基承载力的减 小、湿陷性土的陷塌现 象等，必须引起注意。
【例4-1】
试计算下图所示土层的自重应力及作用在基岩顶面的土自重 应力和静水压力之和，并绘制自重应力分布图。
地基中的应力
土的应力应变曲线
3.2 地基中自重应力
基本假定：地基是均质半无限空间弹性体。 一、均质地基情况 1、竖向自重应力：
cz z
2、侧向自重应 力和剪应力：
cx cy K0 cz xy yz zx 0
K0—土的侧压力系数（静止土压力系数） K0=μ/（1- μ）， μ—土的泊松比。
（一）布辛奈斯克（Boussinesq）解答
半空间任意点M（x、y、z）处的六个应力分量和三个位移分量：
4.4 地基中的附加应力
4.4 地基中的附加应力
4.4 地基中的附加应力
(二)等代荷载法
3P z 3P z z 5 2 2 2 R 2 r z 3 1 P 2 52 2 r z 2 1 z
2
2 - sin 1 K sxz p0
2
( K sz , K sx , K sxz 都是z/b和x/b的函数)
4.4 地基中的附加应力
M点的大小主应力 1 , 3 :
1方向与0的角平分线一致.
4.4 地基中的附加应力
[例题2-4] 某条形基础 底面宽度b=1.4m,作用于 基底的平均附加压力 p0=200kPa,要求确定(1) 均布条形荷载中点o下的 地基附加应力z分布;(2) 深度z=1.4m和2.8m处水 平面上的z分布;(3)在均 布条形荷载边缘以外 条形 z 矩形 1.4m处o1点下的z分布。 z
第三章
地基中的应力
3.1 概述 3.2 地基中自重应力
3.3 基础底面接触压力 3.4 地基中的附加应力
3.1 概述
地基变形的原因是由于土体具有可压缩性的内 在因素和地基受到附加压力的作用的外在因素。 为了计算地基沉降以及对地基进行强度与稳定性 分析,必须知道土中应力分布。土中应力包括土的自
3.2 地基中自重应力
基本假定：地基是均质半无限空间弹性体。 一、均质地基情况 1、竖向自重应力：
cz z
2、侧向自重应 力和剪应力：
cx cy K0 cz xy yz zx 0
K0—土的侧压力系数（静止土压力系数） K0=μ/（1- μ）， μ—土的泊松比。
（一）布辛奈斯克（Boussinesq）解答
半空间任意点M（x、y、z）处的六个应力分量和三个位移分量：
4.4 地基中的附加应力
4.4 地基中的附加应力
4.4 地基中的附加应力
(二)等代荷载法
3P z 3P z z 5 2 2 2 R 2 r z 3 1 P 2 52 2 r z 2 1 z
2
2 - sin 1 K sxz p0
2
( K sz , K sx , K sxz 都是z/b和x/b的函数)
4.4 地基中的附加应力
M点的大小主应力 1 , 3 :
1方向与0的角平分线一致.
4.4 地基中的附加应力
[例题2-4] 某条形基础 底面宽度b=1.4m,作用于 基底的平均附加压力 p0=200kPa,要求确定(1) 均布条形荷载中点o下的 地基附加应力z分布;(2) 深度z=1.4m和2.8m处水 平面上的z分布;(3)在均 布条形荷载边缘以外 条形 z 矩形 1.4m处o1点下的z分布。 z
第三章
地基中的应力
3.1 概述 3.2 地基中自重应力
3.3 基础底面接触压力 3.4 地基中的附加应力
3.1 概述
地基变形的原因是由于土体具有可压缩性的内 在因素和地基受到附加压力的作用的外在因素。 为了计算地基沉降以及对地基进行强度与稳定性 分析,必须知道土中应力分布。土中应力包括土的自
土力学-第三章-土中应力计算详解
基本假定
地基土是各向同性、均质、半无限空间弹性体 地基土在深度和水平方向都是无限的
地 表 临 空
地基：均质各向同性线性变形半空间体
应用弹性力学关于弹性半空间的理论解答
1.均质土竖向自重应力
若将地基视为均质半无限空间弹性体，土体在自重作用下只能产 生竖向变形，而无侧向位移及剪切变形存在，因此在深度z处平面上， 土体因自身重力产生的竖向应力等于单位面积上土柱体的重力。
3.水平向自重应力
天然地面
地基土在重力作用下，除承受 作用于水平面上的竖向自重应力外， 在竖直面上还作用有水平向自重应 力。由于土柱体在重力作用下无侧 向变形和剪切变形，因此可以证明 侧向自重应力与竖向自重应力成正 比，剪应力均为零。
cz z
cx cy K0 cz
cz
z
cx
cy
侧压力系数或静止 土压力系数
4 地下水位升降对自重应力的影响
自重应力分布曲线的变化规律
土的自重应力分布曲线是一条折线，拐点在土 层交界处和地下水位处。
同一层土的自重应力按直线变化。
自重应力随深度的增加而增大。
【例题3-1 】计算自重应力，并绘分布图。
4. 例题分析 【例】一地基由多层土组成，地质剖面如下图所示，试计算并绘制 自重应力σcz沿深度的分布图。
57.0kPa
80.1kPa
103.1kPa 150.1kPa 194.1kPa
cz 1h1 2 h2 n hn i hi
i 1
n
均质地基
1 (
1
2)
2 2
成层地基
3.2 基底压力与基底附加应力
上部结构
土力学-知识单元三(土中应力计算)
土体的自重应力
仁者乐山 智者乐水
1、均质土的自重应力 • 土体中任意深度处的竖向自重应力
天然地面
利用土柱竖向受力的 平衡
cz
注意： 无剪应力
cz
cx
cz z
σcz= z
z
cy
1
1
z
仁者乐山 智者乐水
•水平向自重应力
天然地面
cz
z
cx
cz z
cx cy K0 cz
基底压力的影响因素
基底压力计算
仁者乐山 智者乐水
弹性地基，完全柔性基础
基础抗弯刚度EI=0 → M=0
基础变形能完全适应地基表面的变形 基础上下压力分布必须完全相同，若 不同将会产生弯矩
条形基础，竖直均布荷载
弹性地基，绝对刚性基础
抗弯刚度EI=∞ → M≠0
基础只能保持平面下沉不能弯曲 分布: 中间小, 两端无穷大
《土力学》之知识单元三
土体中的应力计算
徐 亚 利
皖西学院建工学院
强度问题 变形问题
应力状态及应力应变关系
建筑物修建以前，地 基中由土体本身重量 所产生的应力
建筑物重量等外荷载 在地基中引起的应力 增量
自重应力 附加应力 基底压力计算 有效应力原理
土体中的应力计算
知识单元三：土体中的应力计算
知识点一、自重应力、 基底压力、 基底附加应力 知识点二、地基附加应力
静止侧压 力系数
cy
仁者乐山 智者乐水
例题1：均质土层没有水位的情况
天然地面
18.5kN / m3
B
h=5m 求B点的自重应力
仁者乐山 智者乐水
应力计算
§4.3 地基中附加应力的计算 一. 竖直集中力作用下的附加应力计算－布辛内斯克课题
z
3P 2
z3 R5
zy
3P 2
yz 2 R5
zx
Ph
分解为竖直向和水平向荷 载，水平荷载引起的基底 水平应力视为均匀分布。
根据上述概念，基底平均附加压力p0 可按下式计算
p0 p cd p md （1-19）
式中 p—基底平均压力，kPa；
cd—基底处土中自重应力，kPa； m—基底标高以上天然土层的加权平均重
度，kN/m3； d—从天然地面算起的基础埋深，m。
P A
1
6e B
pmin
P 1 A
6e B
pmax
min
P A
1
6e B
P
矩形面积单向偏心荷载
P
P
土不能承 受拉应力
B
B
e
e
x
Lx
L
y
y
pmax
pmin 0 pmax
pmin 0
e<B/6: 梯形
e=B/6: 三角形
B
压力调整
Ke
基底
x
L
压力
K=B/2-e
合力
与总
3K y pmin 0
荷载 相等
pmax
2P
2P
pmax 3KL 3(B 2 e)L
e>B/6: 出现拉应力区
条形基础竖直偏心荷载
e P
B
p(x) P Mx BI
pmax
min
P 1 B
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u=-wH0
H0
(-) 毛细饱
和区
练习题：P135 3.2题
H2
(+)
u=wH2
定义：
附加应力
由建筑物荷载在地基中产生的应力．
计算：
上部结构
基础
地基
建筑物 设计
上部 结构
基础
地基
基底压力：基础底面传递给地基表面的
压力，也称基底接触压力。
基底压力既是计算地基中附加应力的外
荷载，也是计算基础结构内力的外荷载， 上部结构自重及荷载通过基础传到地基 之中
u=wH2
土体的自重应力
分布规律
地面
1 H1
2 H2 地下水 z
2 H3 sy
sz sx
1H1
sz
2H2
2H3
z
分布线的斜率是容重 在等容重地基中随深度呈直线分布 自重应力在成层地基中呈折线分布 在土层分界面处和地下水位处发生转折或突变
毛细水饱和区的孔隙水压力：
u =- wH0
地面
H1
因而孔隙水压力对土体的变形和强 度没有直接影响，称为中性应力.
有效应力原理的讨论
孔隙水压 力的作用
有效应力 的作用
讨论
会引起土颗粒移动，也会使 土颗粒抵抗剪切、错动作用。
影响土体的强度、和变形。
有效应力原理的讨论
孔隙水压 力的作用
有效应力 的作用
讨论
研究土体的强度、变形问题， 必须先求出。
第三章土的压缩性与地基沉降计算 ❖土的压缩特性 ❖有效应力原理 ❖地基中的应力分布 ❖地基的最终沉降量计算 ❖应力历史对地基沉降的影响 ❖地基沉降与时间的关系
第二节、有效应力原理
饱和土是由固体颗粒骨架和充满 其间的水组成的两相体。受外力 后，总应力分为两部分承担：
外荷载 总应力
由土骨架承担，并通过颗粒之间
1/16 4/16 6/16 4/161/16
1/32 5/32 10/3210/32 5/32 1/32
地基中附加应力扩散示意图
b p0 σz
地基中附加应力扩散图
竖直集中力－布辛尼斯克课题
F
o
αr
x
y
x
M
R βz
y
z
M
z zx xy
yz x
y
R2 r2 z2 x2 y2 z2
集中荷载的附加应力
附加应力是由于修建建筑物之后再地基内新增加的应 力，它是使地基发生变形从而引起建筑物沉降的主要 原因
• 集中荷载作用下的附加应力 • 矩形分布荷载作用下的附加应力 • 条形分布荷载作用下的附加应力 • 影响应力分布的因素
基本解 叠加原理
地基中的附加应力
P=1
1 1/2 1/2 1/4 2/4 1/4 1/8 3/8 3/8 1/8
= -u 。
问题：有效应力一定比总应力小吗？
有效应力原理的讨论
第三节、地基中的应力分布
自重应力 土 中 的 应 力
附加应力
土中初始 应力状态
由自重应力 引起的土体 压缩变形已 完成
土体受建筑物 荷载后，在土 体内所产生的 应力增量
附加应力是 引起土体压 缩变形的主 要外因
土体的自重应力
无地下水时自重应力的计算：
有地下水时自重应力的计算：
• 总自重应力：单位面积
土柱和水柱的总重量
H1
σ = H1+satH2
H1
地面 地下水位
• 孔隙水压力：
u = wH2 • 有效自重应力：
sat H2
（-)
σ = -u = H1+(sat-w)H2 = H1+H2
A
σ=σ-u u=wH2
H1 H sat 2
自重应力情况
竖直集中力－布辛尼斯克课题
法国数学家布辛内斯克（J. Boussinesq）1885年推
出了该问题的理论解，包括六个应力分量和三个方 向位移的表达式
竖直向自重应力：地基中Z深度处的竖直向自重应力等 于单位面积上Z深度范围内的土柱重量。
• 均质地基：
cz z
土体的自重应力
无地下水时自重应力的计算：
n
n
• 成层地基： cz i zi m zi
i 1
i 1
γm——加权容重。 n
i zi
m
i 1 n
zi
i 1
土体的自重应力
基底压力计算
弹性地基，完全柔性基础
基础抗弯刚度EI=0 基础变形能完全适应地基表面的变形 基础上下压力分布必须完全相同
条形基础，竖直均布荷载
弹性地基，绝对刚性基础
抗弯刚度EI=∞ 基础只能保持平面下沉不能弯曲 分布: 中间小, 两端无穷大
基底压力的分布
弹塑性地基，有限刚度基础
— 荷载较小 — 荷载较大 — 荷载很大
Psv Aw u
a
a
AA
1 有效应力σ
'u
饱和土有效应力原理
孔隙水压 力的作用
有效应力 的作用
讨论
它在各个方向相等，不会使土颗粒 移动，只能使土颗粒本身受到等向 压力，由于颗粒本身压缩量很大， 故土粒本身压缩变形极小.
水不能承受剪应力，因此孔压对土 颗粒抵抗剪切、错动作用没有任何 贡献。
矩形基础上的集中荷载
P
P
P
B
B
B
e x
e Lx
Ke
Lx
L
y
y
y pmin 0
pmax
pmin 0 pmax
pmin 0
e<B/6: 梯形
e=B/6: 三角形
pmax
K=B/2-e
e>B/6: 出现拉应力区
矩形面积单向偏心荷载
N d p
p0 p md
基础底面附加压力计算
例题１：某正方形基础边长为4m，基础埋深 为1m，地基土容重为16kN/m3，所受荷载如 下图所示。求基底压力与基底附加压力。
接近弹性解 马鞍型 倒钟型
粘性土地基
基底压力的分布
基底压力的 分布形式十
分复杂
基底压力分布的影响仅限于一定深 度范围，此深度范围之外的地基附 加应力只取决于荷载合力的大小、 方向和位置
简化计算方法： 假定基底压力按直线分布的材料力学方法
基底压力的简化计算
F
F
B
B
x
L
y
x
e
L
y
矩形面积中心荷载
矩形面积偏心荷载
F=1440kN
1167kN / m3
1.0m
例题２：某矩形基础长为3.2m，宽为3.0m， 基础埋深为2m，基础所受荷载及地基土层 如下图所示。求基底压力与基底附加压力。
F=1600kN M=400kN.m
171.72kN / m3
171.97kN / m3
H=50kN
3.2m
0.8m 1.2m
的接触面进行应力的传递，称之 为粒间应力
由孔隙水来承担，通过连通的孔
隙水传递，称之为孔隙水压力。 孔隙水不能承担剪应力，但能承 受法向应力
饱和土中的应力形态
A： 土单元的断面积 As： 颗粒接触点的面积 Aw： 孔隙水的断面积
A AS Aw
外荷载 总应力 A
a-a断面竖向力平衡： A Psv uAw