回溯算法的一些例题
回溯法典型例题
回溯法典型例题一、回溯法是啥呢？哎呀，回溯法就像是在一个迷宫里找路一样。
想象一下，你走进了一个超级复杂的迷宫，有好多岔路口。
回溯法就是当你走到一个岔路口发现不对的时候，就退回来，再试试其他的路。
它就像是你脑袋里的一个小导航，在你走错路的时候提醒你“哎呀，这条路不对，咱得回去重新选”。
比如说，在解决一些组合问题的时候，就像从一堆数字里选出满足某个条件的组合。
如果随便乱选，可能永远也找不到答案。
这时候回溯法就登场啦，它会有条理地去尝试各种可能的组合，一旦发现这个组合不行，就回到上一步，再换一种选法。
这就像是你在玩拼图，发现这块拼图放不进去，就换一块试试。
二、典型例题来喽1. 八皇后问题这可是回溯法里的经典呢。
在一个8×8的棋盘上放8个皇后，要求任何两个皇后都不能在同一行、同一列或者同一对角线上。
怎么用回溯法解决呢？我们就从第一行开始，试着放一个皇后，然后到第二行再放，但是要保证和前面放的皇后不冲突。
如果到某一行发现没有地方可以放了，那就回到上一行，重新调整上一行皇后的位置，再接着往下放。
这个过程就像是走迷宫的时候，发现前面是死胡同，就退回来换条路走。
2. 数独问题数独大家都玩过吧。
每个小九宫格、每行、每列都要填上 1 - 9这9个数字，而且不能重复。
用回溯法解决的时候，我们就从第一个空格开始，试着填一个数字，然后看这个数字是不是满足规则。
如果不满足，就换一个数字试试。
如果这个空格试遍了所有数字都不行，那就回到上一个空格，重新调整那个空格的数字，再接着往下填。
这就像我们在搭积木，发现这块积木放上去不稳，就换一块试试。
3. 全排列问题比如说给你几个数字，让你求出它们的全排列。
用回溯法的话，我们就从第一个数字开始，固定它，然后对剩下的数字求全排列。
当对剩下数字求全排列的时候，又可以把第二个数字固定，对后面的数字求全排列，这样一层一层下去。
如果发现排列不符合要求，就回溯到上一层，换一种排列方式。
这就像是在给小朋友排队，这个小朋友站这里不合适，就换个位置，然后重新给后面的小朋友排队。
回溯算法原理和几个常用的算法实例
回溯算法原理和几个常用的算法实例回溯算法是一种基于深度优先的算法，用于解决在一组可能的解中找到满足特定条件的解的问题。
其核心思想是按照特定的顺序逐步构造解空间，并通过剪枝策略来避免不必要的。
回溯算法的实现通常通过递归函数来进行，每次递归都尝试一种可能的选择，并在达到目标条件或无法继续时进行回溯。
下面介绍几个常用的回溯算法实例：1.八皇后问题：八皇后问题是一个经典的回溯问题，要求在一个8×8的棋盘上放置8个皇后，使得每个皇后都不能相互攻击。
即每行、每列和对角线上都不能有两个皇后。
通过在每一列中逐行选择合适的位置，并进行剪枝，可以找到所有满足条件的解。
2.0-1背包问题：0-1背包问题是一个经典的组合优化问题，要求在一组物品中选择一些物品放入背包，使得其总重量不超过背包容量，同时价值最大化。
该问题可以通过回溯算法进行求解，每次选择放入或不放入当前物品，并根据剩余物品和背包容量进行递归。
3.数独问题：数独问题是一个经典的逻辑推理问题，要求在一个9×9的网格中填入数字1-9，使得每行、每列和每个3×3的子网格中都没有重复数字。
该问题可以通过回溯算法进行求解，每次选择一个空格，并依次尝试1-9的数字，然后递归地进行。
4.字符串的全排列：给定一个字符串，要求输出其所有可能的排列。
例如，对于字符串"abc"，其所有可能的排列为"abc"、"acb"、"bac"、"bca"、"cab"和"cba"。
可以通过回溯算法进行求解，每次选择一个字符，并递归地求解剩余字符的全排列。
回溯算法的时间复杂度通常比较高，因为其需要遍历所有可能的解空间。
但是通过合理的剪枝策略，可以减少的次数，提高算法效率。
在实际应用中，可以根据具体问题的特点来设计合适的剪枝策略，从而降低算法的时间复杂度。
回溯例题
分析：此题数据较小，可以用回溯来做，通过搜索以指定字母为龙头的所有可 分析 能的接龙情况，从中找出长度最长的一条“龙”。为提高搜索效率，程序先进 行预处理,建立常量表add[i,j]，表示第j个串连在第i个串之后能增加的长度。若第 j个串不能连在第i个串的后面，则add[i,j]=0。一个需要注意的地方是计算add[i,j] 的时候要计算最大可能值。例如：当第i个串和第j个串分别是ABABABAB和 ABABABC时，add[i,j]等于5而不等于1。
1 16 13 6
2 15 4 7
11 8 9 10
12 5 14 3
int a[11][11]; /*记录棋盘格子填数的状态*/ int used[101]; /*标记一个数是否用过*/
main() { scanf(“%d”,&n); for ( i=1; i<=2*nห้องสมุดไป่ตู้n;i++) /*用筛选法求素数表*| p[i]=1; for( i=2;i<=n*3/2 ;i++) { j=i*2; while (j<=2*n*n) { } } for( i=1;i<=n*n;i++) used[i]=0; a[1][1]=1; _______________; used[1]=1; _______________; try=(1,2,1); printf(“no”); } p[j]=0; j=j+i;
void try( int x,inty,int dep); { int i; /*已填好所有格子*/ dep==n*n if (___________) printf; else i=1;i<=n*n;i++ { for (______________) /*通过穷举为当前位置找数*/ if(__________________) /*i未用过且可填入格（x,y)中*/ !used[i] && ok(x,y,i) a[x][y]=i { _________; _________; used[i]=1 if (y==n) /*当前行填完，转下一行x列 try(x+1,x,dep+1) ； else if (x==n) /*当前列填完，转下一列y+1行*/ try(y+1,y+1,dep+1) else if(x<=y) try(x,y+1,dep+1) /*填本行下一列*/ else try(x+1,y,dep+1) /*填本列下一行*/ used[i]=0; } } }
回溯算法
1.跳马问题：在n*m,棋盘上有一中国象棋中的马：1.马走日字；
2.马只能往右走。
请你找出一条可行路径，使得马可以从期盼的左下角(1,1)走到右上角(n,m)。
2.任何一个自然数x都可以被写成若干自然数之和的形式，如5=1+4;5=2+3;5=1+1+1+1+1;……现请你编写一个程序，给出自然数X的所有拆分等式(2+3和3+2视为相同形式)。
3.有形如下图形的地图，图中每一块区域
代表一个省份，现请你用红(1)、蓝(2)、黄(3)、
绿(4)四种颜色给这些省份填上颜色，要求每
一省份用一种颜色，且任意两个相邻省份的
颜色不能相同，请给出一种符合条件的填色
方案。
地图用无向图的形式给出，每个省份
代表图上的一个顶点，边代表两个省份是相
邻的。
回溯法练习1
火柴游戏• 有红，绿，蓝三种颜色的火柴，所有火柴长度一样。
用它们可以组成一些数字， 如下图所示：•• 为了让组成的火柴好看一些，我们规定：有公共点的火柴必须不同色。
例如，用红火柴4根和蓝火柴3根可以组成数12，21，7等。
而且有些方案虽然数字和它们的排列顺序都相同，但是有颜色之分。
问：一共可以组成多少个数（可以包含多个数字，但至少包含一个数字）？同一个数用不同颜色表示算作不同的数，火柴可以有剩余。
• 输入• 三个整数n1， n2， n3 (0 ≤ n1，n2，n3 ≤ 15)，即三种颜色的火柴的数目。
• 输出• 仅一个数，即可以组成的数的数目。
结果保证不超过1016。
骑士游历问题设有一个n*m 的棋盘(2≤n ≤50，2≤m ≤50)，如下图。
在棋盘上任一点有一个中国象棋马，马走的规则为：1.马走日字2.马只能向右走。
即左图所示：当n ，m 给出之后，同时给出马起始的位置和终点的位置，试找出从起点到终点的所有路径的数目。
例如：(n=10，m=10)，(1，5)(起点)，(3，5)(终点)。
应输出2(即由(1，5)到(3，5)共有2条路径，如下图)：输入：n ，m ，x1，y1，x2，y2(分别表示n ，m ，起点坐标，终点坐标) 输出：路径数目(若不存在从起点到终点的路径，输出0)过河卒如图，A点有一个过河卒，需要走到目标B点。
卒行走的规则：可以向下、或者向右。
••同时在棋盘上的任一点有一个对方的马（如上图的C点）,该马所在的点和所有跳跃一步可达的点称为对方马的控制点。
例如上图C点上的马可以控制8个点（图中的P1，P2….P8）。
卒不能通过对方马的控制点。
•棋盘用坐标表示，A点（0，0）、B点（n，m）(n,m为不超过20的整数,并由键盘输入)，同样马的位置坐标是需要给出的（约定：C≠A，同时C≠B）。
现在要求你计算出卒从A点能够到达B点的路径的条数。
•输入：•键盘输入B点的坐标(n,m)以及对方马的坐标（X，Y）输出：•屏幕输出一个整数（路径的条数）。
第5章 回溯法(1-例子)
n; // 作业数};
8
} //end Backtrack
旅行售货员问题
9
旅行售货员问题
解空间树 —— 排列树 剪枝函数：当搜索到第i 层，图G中存在从顶点1经i个 顶点到某其他顶点的一条路 径，且x[1:i]的费用和大于当前 已获得的最优值时，剪去该子 树的搜索。 算法效率：
O((n-1)!)*O(n) =O(n!)
cleft -= w[i];
b += p[i];
i++;
} // 装满背包
if (i <= n) b += p[i]/w[i] * cleft;
return b;
4
}
0-1背包问题
例：n=4，c=7，p=[9，10，7，4]，w=[3，5，2，1] 解空间树如下：
物品 1 物品 2 物品 3 物品 4
class Flowshop { friend Flow(int**, int, int []);
f+=f2[i];
private:
if (f < bestf) {
void Backtrack(int i);
Swap(x[i], x[j]);
int **M, // 各作业所需的处理时间
Backtrack(i+1);
(2)将剩余的集装箱装上第二艘轮船。
将第一艘轮船尽可能装满等价于选取全体集装箱的一个子集，
使该子集中集装箱重量之和最接近c1。由此可知，装载问题等
价于以下特n殊的0-1背包问题。
max wi xi i 1
用回溯法设计解装载问题的O(2n)计
n
s.t. wi xi c1
算时间算法。
洛谷 回溯题目
洛谷回溯题目回溯法是一种常用的算法思想，它可以用于解决一些求解所有可能解的问题。
在计算机领域，回溯法通常用于解决一些组合、排列、子集、图的遍历等问题。
洛谷是一个在线的题库和评测系统，提供了众多回溯题目。
下面将介绍一些常见的洛谷回溯题目，并提供一些参考内容。
1. P1601 A + B Problem【标准题】：该题目要求计算两个非负整数的和，并输出结果。
可以使用回溯法解决，通过遍历所有可能的进位方式，逐位进行求和。
2. P1142 回文串：该题目要求判断一个字符串是否为回文串。
可以使用回溯法解决，通过遍历所有可能的子串，判断其是否为回文串。
3. P1980 数字统计：该题目要求计算从 1 到 n 的所有数字中，出现了多少次数字 d。
可以使用回溯法解决，通过遍历所有可能的数字，统计出现次数。
4. P1088 火星人：该题目要求给定一组数字，将其重新排序，使得相邻数字之间的差的绝对值之和最小。
可以使用回溯法解决，通过遍历所有可能的排列方式，计算差的绝对值之和。
5. P1726 送水问题：该题目要求计算一个地图上送水的最短路径，给定起点和终点。
可以使用回溯法解决，通过遍历所有可能的路径，找到最短路径。
6. P1303 硬币问题：该题目要求计算使用最少的硬币组合成给定的金额。
可以使用回溯法解决，通过遍历所有可能的硬币组合方式，找到最少的硬币数量。
以上是一些常见的洛谷回溯题目，针对每个题目，可以使用不同的回溯法思路进行解决。
回溯法常常使用递归的方式实现，通过不断地尝试每一种可能的选择，找到满足条件的解。
在编写回溯算法时，需要注意设置递归终止条件，避免出现无限递归的情况。
在解决回溯问题时，可以参考以下内容：1. 回溯法的基本原理和思路2. 如何设置递归终止条件以及如何进行剪枝操作3. 如何进行状态的保存和恢复4. 如何利用递归进行循环的优化5. 如何通过合理的设计递归函数参数，进行状态的传递和更新6. 如何实现题目所需的具体功能，例如判断回文串、计算路径长度、统计出现次数等。
回溯算法在生活中案例
回溯算法在生活中案例
回溯算法是一种通过探索所有可能的解来解决问题的算法，当发现当前解不满足条件时，它会回溯到上一步，重新尝试其他可能的解。
以下是一些回溯算法在生活中的实际应用案例：
1. 组合优化问题：在日常生活中，很多问题可以通过组合优化问题来求解。
例如，旅行商问题（Traveling Salesman Problem），该问题是一个著名的组合优化问题，通过回溯算法可以找到最短路径或最优解。
2. 游戏AI：在游戏中，AI常常需要做出决策，而回溯算法可以帮助AI在游戏中进行决策。
例如，在棋类游戏中，AI可以使用回溯算法来分析游戏局面，预测游戏的胜负结果。
3. 数据库查询优化：在数据库查询中，回溯算法可以用于优化查询。
例如，在关系型数据库中，查询优化器可以使用回溯算法来选择最优的查询计划。
4. 编译器设计：在编译器的设计中，回溯算法可以用于语法分析。
编译器通过语法分析将源代码转化为机器代码，而回溯算法可以帮助编译器检查源代码是否符合语法规则。
5. 图像处理：在图像处理中，回溯算法可以用于图像修复、去噪等任务。
通过回溯算法可以找到最优的修复方案或去噪参数。
6. 决策支持系统：在决策支持系统中，回溯算法可以帮助决策者进行决策。
例如，在医疗诊断中，医生可以使用回溯算法来分析病人的病情，并给出最佳的治疗方案。
总之，回溯算法在许多领域都有广泛的应用，可以帮助人们解决复杂的问题。
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回溯算法搜索与回溯是计算机解题中常用的算法，很多问题无法根据某种确定的计算法则来求解，可以利用搜索与回溯的技术求解。
回溯是搜索算法中的一种控制策略。
它的基本思想是：为了求得问题的解，先选择某一种可能情况向前探索，在探索过程中，一旦发现原来的选择是错误的，就退回一步重新选择，继续向前探索，如此反复进行，直至得到解或证明无解。
如迷宫问题：进入迷宫后，先随意选择一个前进方向，一步步向前试探前进,如果碰到死胡同，说明前进方向已无路可走，这时，首先看其它方向是否还有路可走，如果有路可走，则沿该方向再向前试探；如果已无路可走，则返回一步，再看其它方向是否还有路可走；如果有路可走，则沿该方向再向前试探。
按此原则不断搜索回溯再搜索，直到找到新的出路或从原路返回入口处无解为止。
递归回溯法算法框架[一]procedure Try(k:integer);beginfor i:=1 to 算符种数 Doif 满足条件 thenbegin保存结果if 到目的地 then 输出解else Try(k+1);恢复：保存结果之前的状态{回溯一步}end;end;递归回溯法算法框架[二]procedure Try(k:integer);beginif 到目的地 then 输出解elsefor i:=1 to 算符种数 Doif 满足条件 thenbegin保存结果Try(k+1);end;end;例 1：素数环：把从1到20这20个数摆成一个环，要求相邻的两个数的和是一个素数。
【算法分析】非常明显，这是一道回溯的题目。
从1 开始，每个空位有 20（19）种可能，只要填进去的数合法：与前面的数不相同；与左边相邻的数的和是一个素数。
第 20个数还要判断和第1个数的和是否素数。
〖算法流程〗1、数据初始化； 2、递归填数：判断第J种可能是否合法；A、如果合法：填数；判断是否到达目标（20个已填完）：是，打印结果；不是，递归填下一个；B、如果不合法：选择下一种可能；【参考程序】program z74;框架[一]var a:array[0..20]of byte;b:array[0..20]of boolean;total:integer;function pd(x,y:byte):boolean;var k,i:byte;begink:=2; i:=x+y; pd:=false;while (k<=trunc(sqrt(i)))and(i mod k<>0) do inc(k);if k>trunc(sqrt(i)) then pd:=true;end;procedure print;var j:byte;begininc(total);write('<',total,'>:');for j:=1 to 20 do write(a[j],' ');writeln;end;procedure try(t:byte);var i:byte;beginfor i:=1 to 20 doif pd(a[t-1],i)and b[i] thenbegina[t]:=i; b[i]:=false;if t=20 then begin if pd(a[20],a[1]) then print;endb[i]:=true;end;end;BEGINfillchar(b,sizeof(b),#1);total:=0;try(1);write('total:',total);END.通过观察，我们可以发现实现回溯算法的特性：在解决过程中首先必须要先为问题定义一个解的空间．这个空间必须包含问题的一个解。
在搜索路的同时也就产生了新的解空间。
在搜索期间的任何时刻．仅保留从起始点到当前点的路径。
例 2：设有 n 个整数的集合｛1,2,…,n｝，从中取出任意 r 个数进行排列（r<n），试列出所有的排列。
解法一：program it15; 框架[一]type se=set of 1..100;VAR s:se;n,r,num:integer;b:array [1..100] of integer;PROCEDURE print;var i:integer;beginnum:=num+1;for i:=1 to r dowrite(b[i]:3);writeln;end;PROCEDURE try(k:integer);VAR i:integer;beginfor i:=1 to n doif i in s thenbeginb[k]:=i;s:=s-[i];if k=r then prints:=s+[i];end;end;BEGINwrite('Input n,r:');readln(n,r); s:=[1..n];num:=0;try(1);writeln('number=',num);END.解法二：program it15; 框架[二]type se=set of 1..100;VARs:se;n,r,num,k:integer;b:array [1..100] of integer;PROCEDURE print;var i:integer;beginnum:=num+1;for i:=1 to r dowrite(b[i]:3);writeln;end;PROCEDURE try(s:se;k:integer); VAR i:integer;beginif k>r then printelsefor i:=1 to n doif i in s thenbeginb[k]:=i;end;end;BEGINwrite('Input n,r:');readln(n,r);s:=[1..n];num:=0;try(s,1);writeln('number=',num);readln;END.例3、任何一个大于1的自然数n,总可以拆分成若干个小于n 的自然数之和. 当n=7共14种拆分方法：7=1+1+1+1+1+1+17=1+1+1+1+1+27=1+1+1+1+37=1+1+1+2+27=1+1+1+47=1+1+2+37=1+1+57=1+2+2+27=1+2+47=1+3+37=1+67=2+2+37=2+57=3+4total=14{参考程序}program jjj;var a:array[0..100]of integer;n,t,total:integer;procedure print(t:integer);var i:integer;beginwrite(n,'=');for i:=1 to t-1 do write(a[i],'+');writeln(a[t]);total:=total+1;end;procedure try(s,t:integer);var i:integer;beginfor i:=1 to s doif (a[t-1]<=i)and(i<n) thenbegina[t]:=i;s:=s-a[t];if s=0 then print(t)else try(s,t+1);s:=s+a[t];end;end;beginreadln(n);try(n,1);writeln('total=',total);readln;end.例 4、八皇后问题：要在国际象棋棋盘中放八个皇后，使任意两个皇后都不能互相吃。
（提示：皇后能吃同一行、同一列、同一对角线的任意棋子。
）放置第i个皇后的算法为：procedure Try(i)；beginfor 第i 个皇后的位置=1 to 8 do；if 安全 thenbegin放置第 i个皇后；对放置皇后的位置进行标记；if i=8 then 输出else Try(i+1)；{放置第 i+1个皇后}对放置皇后的位置释放标记，尝试下一个位置是否可行；end；end；【算法分析】显然问题的键在于如何判定某个皇后所在的行、列、斜线上是否有别的皇后；可以从矩阵的特点上找到规律，如果在同一行，则行号相同；如果在同一列上，则列号相同；如果同在／斜线上的行列值之和相同；如果同在＼斜线上的行列值之差相同；如果斜线不分方向，则同一斜线上两皇后的行号之差的绝对值与列号之差的绝对值相同。
从下图可验证：对于一组布局我们可以用一个一维数组来表示：A:ARRAY [1..8] OF INTEGER;A[I]的下标I 表示第I个皇后在棋盘的第I行，A[I]的内容表示在第 I行的第 A[I]列，例如：A[3]=5就表示第3个皇后在第3行的第5列。
在这种方式下，要表示两个皇后 I和 J不在同一列或斜线上的条件可以描述为：A[I]<>A[J] AND ABS(I-J)<>ABS(A[I]-A[J]){I和 J分别表示两个皇后的行号}考虑每行有且仅有一个皇后，设一维数组A[1..8]表示皇后的放置：第i行皇后放在第j列，用A[i]＝j来表示，即下标是行数，内容是列数。
判断皇后是否安全，即检查同一列、同一对角线是否已有皇后，建立标志数组b[1..8]控制同一列只能有一个皇后，若两皇后在同一对角线上，则其行列坐标之和或行列坐标之差相等，故亦可建立标志数组c[1..16]、d[-7..7]控制同一对角线上只能有一个皇后。
从分析中，我们不难看出，搜索前进过程实际上是不断递归调用的过程，当递归返回时即为回溯的过程。
program ex1;var a:array[1..8] of byte;b:array[1..8] of boolean;c:array[1..16] of boolean;d:array[-7..7] of boolean;sum:byte;procedure pr;var i:byte;beginfor i:=1 to 8 do write(a[i]:4);inc(sum);writeln(' sum=',sum);end;procedure try(t:byte);var j:byte;beginfor j:=1 to 8 do{每个皇后都有8种可能位置}if b[j] and c[t+j] and d[t-j] then {寻找放置皇后的位置}begin {放置皇后,建立相应标志值}a[t]:=j;{摆放皇后}b[j]:=false;{宣布占领第j列}c[t+j]:=false;{占领两个对角线}d[t-j]:=false;if t=8 then pr {8个皇后都放置好,输出}else try(t+1);{继续递归放置下一个皇后}b[j]:=true; {递归返回即为回溯一步,当前皇后退出}c[t+j]:=true;d[t-j]:=true;end;end;BEGINfillchar(b,sizeof(b),#1);fillchar(c,sizeof(c),#1);fillchar(d,sizeof(d),#1);sum:=0;try(1);{从第1个皇后开始放置}END.例 5：马的遍历中国象棋半张棋盘如图 4（a）所示。