高斯定理[4]
高斯定理
三、高斯定理(Gauss theorem )
高斯简介 高斯（Carl Friedrich Gauss 1777~1855）
高斯长期从事于数学并将数学应用于物理学、 天文学和大地测量学等领域的研究，主要成就： (1)物理学和地磁学：关于静电学、温差电和 摩擦电的研究、利用绝对单位（长度、质量和时 间）法则量度非力学量以及地磁分布的理论研究。 (2)光学 ：利用几何学知识研究光学系统近 轴光线行为和成像，建立高斯光学。 (3)天文学和大地测量学中：如小行星轨道的 德国数学家、 计算，地球大小和形状的理论研究等。 天文学家和物理 (4)试验数据处理：结合试验数据的测算，发 学家。高斯在数 展了概率统计理论和误差理论，发明了最小二乘 学上的建树颇丰， 法，引入高斯误差曲线。 有“数学王子” (5)高斯还创立了电磁量的绝对单位制。 15 美称。
i内 i内
e
• 闭合曲面上各点的场强 E 是闭合面内、外全部电荷共同
q
i内
产生的合场强，而非仅由闭合面内电荷所产生。
E 表面
q
i内
q
i外
• 闭合面外的电荷对总通量无贡献。 • 高斯定理适用于静电场和运动电荷的电场，是电磁场基 本规律之一。 • 静电场是有源场。电力线起始于正电荷，终止于负电荷 。
轴对称分布：包 括无限长均匀带 电的直线，圆柱 面，圆柱壳等；
无限大平面电荷： 包括无限大的均 匀带电平面，平 板等。
步骤：
1.进行对称性分析，即由电荷分布的对称性，分析场强分 布的对称性，判断能否用高斯定理来求电场强度的分布 （常见的对称性有球对称性、轴对称性、面对称性等）； 2.根据场强分布的特点，作适当的高斯面，要求： ①待求场强的场点应在此高斯面上， ②穿过该高斯面的电通量容易计算。 一般地，高斯面各面元的法线矢量n与E平行或垂直，n与 E平行时，E的大小要求处处相等，使得E能提到积分号外 面； 3.计算电通量和高斯面内所包围的电荷的代数和，最后由高 斯定理求出场强。
高斯定理(电磁学)
证明方法
高斯定理的证明通常基于库仑定律、电场线性质和微积分等 基本原理。通过选择适当的闭合曲面和运用微积分中的高斯 公式，可以推导出高斯定理。
推导过程
首先，根据库仑定律，电场线从正电荷发出，终止于负电荷 或无穷远处。然后，通过选取适当的闭合曲面，将电荷包围 在其中，运用高斯公式和高斯定理的推导过程，最终得到高 斯定理的数学表述。
要点一
总结词
高斯定理在其他领域也有广泛的应用，如电场、量子力学 、光学等。
要点二
详细描述
高斯定理在电场中可以用来计算电场的分布和强度，以及 电通量的计算等问题。在量子力学中，高斯定理可以用来 研究波函数的性质和演化。在光学中，高斯定理可以用来 研究光场的分布和强度，以及光通量的计算等问题。
05
高斯定理的扩展和深化
磁场中的应用
总结词
高斯定理在磁场中也有广泛的应用，它可以 帮助我们理解和计算磁场的分布和强度。
详细描述
在磁场中，高斯定理可以用来计算球形区域 内磁场的分布和强度，通过球面上的磁场强 度的积分可以得到球内的磁场。此外，高斯 定理还可以用来研究磁场线的闭合性质，以 及磁通量的计算等问题。
其他领域的应用
引力场中的应用
总结词
高斯定理在引力场中也有重要的应用，它可以帮助我们理解和计算引力场的分布和强度。
详细描述
在引力场中，高斯定理可以用来计算球形区域内物质的质量分布，通过球面上的引力场强度的积分可以得到球内 的质量。此外，高斯定理还可以用来研究引力场的空间分布，通过球面上的引力场强度的分布，可以推导出球内 引力场的分布情况。
高斯定理的应用条件
适用范围
高斯定理适用于任何线性、非自相互作用、电荷连续分布的电场。对于非线性、 自相互作用或离散分布的电荷，高斯定理可能不适用。
高斯定理
∫
思考： 电量分布 均匀？ 圆环、圆 弧？
[例4] 平行板电容器两板间的电势差 解：平行板电容器内部的场强为 两板间的电势差
ΔU =
( )
+
σ E= ε0
σ
r E d
σ
∫) (
r r E dl
=
∫ )Edl = (
+
( )
E
∫ )dl (
+
( )
r r E , dl
方向一致
均匀场
ΔU = Ed
r dl
R1
λ2 λ1
U2 U1
当R1 <r<R2时,
U2 =
λ1 R2 = ln 2πε 0 r
∫
R2
p
∫
R2
r
λ1 dr 2πε 0 r
R1 O
R2
当r>R2时
U3 =
= ∫
r
R2
λ 1 + λ 2 dr λ 1 + λ 2 R2 = ln 2πε 0 r 2πε 0 r
∫
R2
r r E dl
p
v v = ∫ E dr
4) 电势叠加原理 Ui = 1 qi 4πε0 ri
对点电荷系有
U P = ∫ E d l = ∫ E1 d l + ∫ E2 d l + L + ∫ Ek d l + L = U P1 + U P 2 + L + U Pk + L = ∑U pi
P P P P
∞
∞
∞
∞
对连续带电体有 U = P
∞
如图
R ∞
大学物理_高斯定理
②穿过该高斯面的电通量容易计算。
一般地，高斯面各面元的法线矢量n与E平行或垂直， n与E平行时，E的大小要求处处相等，使得E能提到 积分号外面；
3.计算电通量和高斯面内所包围的电荷的代数和， 最后由高斯定理求出场强。
高斯定理的应用
高斯定理的应用举例
条件： 电荷分布具有较高的空间对称性 1. 均匀带电球面的电场 2. 均匀带电球体的电场 3. 均匀带电无限大平面的电场 4.均匀带电无限长直线的电场 5. 均匀带电无限长圆柱面的电场 6. 均匀带电球体空腔部分的电场
轴对称分布：包 括无限长均匀带 电的直线，圆柱 面，圆柱壳等；
无限大平面电荷： 包括无限大的均 匀带电平面，平 板等。
步骤：
1.进行对称性分析，即由电荷分布的对称性，分 析场强分布的对称性，判断能否用高斯定理来求 电场强度的分布（常见的对称性有球对称性、轴 对称性、面对称性等）； 2.根据场强分布的特点，作适当的高斯面，要求：
•当闭合曲面上各点 E =时0，通过闭合曲面的电通量 反之e , 0
不一定成立. •高斯定理中所说的闭合曲面，通常称为高斯面。
电通量计算
四、高斯定律应用举例
当场强分布具有某种特殊的对称性时，应用高斯定 理能比较方便求出场强。求解的关键是选取适当的 高斯面。常见的具有对称性分布的源电荷有：
球对称分布：包括 均匀带电的球面， 球体和多层同心球 壳等
强分布
S
解：以带电直导线为轴，作一个通过P
点，高为h的圆筒形封闭面为高斯面 S。
eSEdS
h
O
E
rp
侧 面 E d S 上 E d S 下 E d S
其中上、下底面的电场强度方向与面平行，
电场的高斯定理及其应用
电场的高斯定理及其应用1. 高斯定理的背景高斯定理，也称为高斯电场定理，是电磁学中的基本定律之一。
它描述了电场通过任意闭合曲面的电通量与该闭合曲面内部的总电荷之间的关系。
这个定理是由德国数学家和物理学家卡尔·弗里德里希·高斯在19世纪初期提出的。
高斯定理在电磁学、物理学和工程学等领域有着广泛的应用。
2. 高斯定理的数学表述高斯定理的数学表述如下：对于任意闭合曲面S，电场通过S的电通量（记作ΦE）与曲面S内部的总电荷（记作q）之间存在以下关系：ΦE = ∫∫S E·dA = q / ε₀其中，E是电场强度，dA是曲面元素的面积向量，ε₀是真空的电介质常数（也称为电常数），其值约为8.85×10^-12 C2/N·m2。
3. 高斯定理的物理意义高斯定理的物理意义可以从两个方面来理解：（1）电场线与闭合曲面的关系：高斯定理说明，对于任意闭合曲面S，电场线通过S的电通量等于曲面S内部的总电荷。
这意味着，无论曲面S如何选择，只要它是闭合的，电场线穿过它的总通量都与曲面内部的电荷有关，而与曲面的形状和位置无关。
（2）电场的分布与电荷的关系：高斯定理表明，电场是通过闭合曲面的电通量的度量，而电通量与曲面内部的总电荷成正比。
这意味着，电场的强度和分布与曲面内部的电荷量有关，而与曲面的具体形状和位置无关。
4. 高斯定理的应用高斯定理在电场分析和计算中有着广泛的应用，下面列举几个常见的应用例子：（1）计算静电场中的电荷分布：通过高斯定理，可以计算静电场中某个闭合曲面内的电荷分布。
只需测量通过该曲面的电通量，然后根据电通量与电荷的关系，可以确定曲面内部的电荷量。
（2）设计电容器和绝缘材料：在电容器和绝缘材料的设计中，高斯定理可以用来分析电场的分布和电荷的积累。
通过合理选择闭合曲面的形状和位置，可以优化电场分布，提高电容器的性能和绝缘材料的可靠性。
（3）研究电磁波的传播：在研究电磁波的传播过程中，高斯定理可以用来分析电磁波在不同介质中的电场分布和电荷的变化。
高斯定理表达式及其物理意义
高斯定理表达式及其物理意义
高斯定理：在一个封闭的曲面上，任意一点外部电荷的积分等于曲面内部电荷的积分。
高斯定理是由德国数学家卡尔·马克斯·费马于1813年发现的，它是电动势的基本定理，是研究电场的基础。
它有着极其重要的物理意义，是电磁理论的基础。
高斯定理的物理意义是：在一个封闭的曲面上，任意一点外部电荷的积分等于曲面内部电荷的积分。
高斯定理是一个重要的数学定理，它的公式表达为：∮⃗E⋅d⃗s=q/ε，其中，∮⃗E⋅d⃗s是曲面上某一点外电荷的电场积分，q是曲面内部电荷的总量，ε是介电常数。
这一定理可以用来研究电场及其相关问题，可以用来计算电场的强度、电势等。
换句话说，高斯定理告诉我们，在一个封闭的曲面上，外部电荷的积分等于曲面内部电荷的积分，这一定理是计算电场强度、电势等问题的重要依据。
高斯定理还可以用来研究磁场及相关问题，它可以用来计算磁场的强度、磁势等。
其公式表达为：∮⃗B⋅d⃗s=μq/ε，其中，∮⃗B⋅d⃗s是曲面上某一点外磁荷的磁场积分，μ是磁导率，q是曲面内部磁荷的总量，ε是介电常数。
高斯定理可以用来研究电场、磁场的强度、电势、磁势等，它的物
理意义是：在一个封闭的曲面上，任意一点外部电荷或磁荷的积分等于曲面内部电荷或磁荷的积分。
高斯定理是电磁理论的基础，是研究电磁场的重要依据。
高斯定理
q1
q1 + q 2
ε0
∫∫ E ⋅ dS = ε
S3
q2
0
四 利用高斯定律求静电场的分布 四 利用高斯定律求静电场的分布
高斯定理的一个重要应用，是用来计算带电体周围电场的电 场强度。实际上，只有在场强分布具有一定的对称性时，才 能比较方便应用高斯定理求出场强。求解的关键是选取适当 的高斯面。常见的具有对称性分布的源电荷有：
S
q
2、 高斯定理：
通过任意闭合 曲面S的电通量 S面包围的 电荷的代数和
r r 1 若S内的电荷是连续分布： Φ e = E ⋅ dS = ∫ ρ ⋅ dV ∫ ε
oV
r r 1 即：Φ e = ∫ E ⋅ dS =
εo
∑q
S内
i
用电通量表示的电场与场源电荷关系的规律。
说明
1º 定理中E是所取的封闭面S（高斯面）上的场强， 它是由全部电荷（S内、外）共同产生的合场强。 2º Φe只决定于S面包围的电荷，S面外的电荷对Φe 无贡献。 3° 高斯定律的物理意义： 给出了静电场的重要性质 ——静电场是有源场 ∑ qi > 0 Φ e > 0 电场线穿出 正负电荷就是场源 ∑ qi < 0 Φ e < 0 电场线穿入
σ E = 2ε 0
+σ
E= σ 2ε o
−σ
均匀场 r
E
讨论： +σ − σ
E = 0 E= σ E = 0 εo
+σ
+σ
−σ −σ
E = σ E=0 E = σ εo εo
E = σ E=0 E = σ εo εo
例6.11 求均匀带电球面的电场分布。 r r 1 Φe = ∫ E ⋅ dS = 设半径为R，电量为+q。 εo 解：取以r为半径的同心高斯球面S
电场的高斯定理的内容
电场的高斯定理的内容
电场的高斯定理是电场学中的一条基本定理，它描述了电场通过一个闭合曲面的总电通量与该闭合曲面内电荷的关系。
具体来说，高斯定理表明，通过一个闭合曲面的电场总通量等于该闭合曲面内所有电荷的代数和与真空介电常数的乘积。
设闭合曲面为S，电场矢量为E，闭合曲面内的电荷分布为ρ，则根据高斯定理有公式：
∮S E·dS = 1/ε0 ∫∫∫V ρ dV
其中，∮S表示对闭合曲面S的面积分，E·dS表示电场E沿曲面S的方向的分量与面积元素dS的点积，∫∫∫V表示对闭合曲面内的体积V进行体积分，ρ表示电荷密度，ε0表示真空介电常数。
根据高斯定理，当闭合曲面内没有电荷时，即所有电荷的代数和为零（或称为等效于零电荷），则通过闭合曲面的电场总通量为零；当闭合曲面内存在电荷时，通过闭合曲面的电场总通量与该闭合曲面内电荷的代数和成正比，且与真空介电常数成反比。
通过高斯定理，我们可以简化求解电场的问题，将复杂的分布电荷情况转化为求闭合曲面内电荷的代数和，从而简化计算。
高斯定理在电场和电荷分布的研究中具有广泛的应用，为分析和解决与电场有关的问题提供了有力的工具。
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高斯公式又叫高斯定理(或散度定理）
矢量穿过任意闭合曲面的通量等于矢量的散度对闭合面所包围的体积的积分
它给出了闭曲面积分和相应体积分的积分变换关系，是矢量分析中的重要恒等式。
是研究场的重要公式之一。
公式为：∮F·dS=∫▽·Fdv ▽是哈密顿算符 F、S为矢量
高斯定理在物理学研究方面，应用非常广泛。
如：电场E为电荷q（原点处）在真空中产生的静电场，求原点外M（x,y,z)处的散度divE(M).
解：div(qR/(4πr^3)=0 R/r--为r的单位矢量，
本例说明静电场E是无源场。
应用高斯定理(或散度定理）求静电场或非静电场非常方便。
特别是求静电场中的场强，在普通物理学中常用，这里就再举二例。
现在用高斯公式推导普通物理中的高斯定理，
设S内有一点电荷Q其电场过面积元dS的通量为
E·dS=Ecosθds
=Q/(4πε0r^2)* cosθds θ为(ds^r) ε0----真空中的介电常数
显然cosθds为面元投影到以r为半径的球面的面积，在球体内，面元dS对电荷Q所张的立体角为dΩ= cosθds/r^2
故E·ds= Q/(4πε0)dΩ
因此，E对闭合曲面S的通量为∮E·dS=Q/(4πε0) ∮dΩ=Q/ε0
场强学过普通物理的多数人都知道
下面用高斯公式来推导电荷守恒定律，设空间区域V,边界为封闭面S，通过界面流出的电流应等于体积V内电量的减小率，
即∮J·dS=-∫(dρ/dt)dV J,S ---矢量， dρ/dt--------- 这里为ρ对的偏导数(由于符号在这里用d来代替偏导的符号）
ρ-电荷密度
注：J=Ρv’ V’---为速度矢量
用高斯公式进行积分变换,
∮J·dS=∫▽·JdV
可得到电荷守恒定律的微分形式：▽·J+ dρ/dt=0，
此式称电流的连续性方程。
高斯定理
由于磁力线总是闭合曲线，因此任何一条进入一个闭合曲面的磁力线必定会从曲面内部出来，否则这条磁力线就不会闭合起来了。
如果对于一个闭合曲面，定义向外为正法线的指向，则进入曲面的磁通量为负，出来的磁通量为正，那么就可以得到通过一个闭合曲面的总磁通量为0。
这个规律类似于电场中的高斯定理，因此也称为高斯定理
与静电场中的高斯定理相比较，两者有着本质上的区别。
在静电场中，由于自然界中存在着独立的电荷，所以电场线有起点和终点，只要闭合面内有净余的正（或负）电荷，穿过闭合面的电通量就不等于零，即静电场是有源场；而在磁场中，由于自然界中没有单独的磁极存在，N极和S极是不能分离的，磁感线都是无头无尾的闭合线，所以通过任何闭合面的磁通量必等于零。
电场 E （矢量）通过任一闭曲面的通量，即对该曲面的积分等于4π乘以该曲面所包围的总电荷量。
公式表达：
∫(E·da) = 4π*S(ρdv)
高斯定理：穿过一封闭曲面的电力线总数与封闭曲面所包围的电荷量成正比。
换一种说法：电场强度在一封闭曲面上的面积分与封闭曲面所包围的电荷量成正比。
高斯求和：对于等差数列a1,a2,a3...an,Sn=a1+a2+a3+...+an=(a1+an)*n/2
高斯定理2
定理：凡有理整方程f(x)=0必至少有一个根。
推论：一元n次方程
f(x)=a_0x^n+a_1x^(n-1)+……+a_(n-1)x+a_n=0
必有n个根，且只有n个根（包括虚根和重根）。