典型纠错笔记1
高考语文纠错笔记系列专题14名句名篇默写(含解析)
专题14 名句名篇默写易错点1 理解性默写1．【2017年高考新课标全国卷Ⅰ】补写出下列句子中的空缺部分。
（1）曹操《观沧海》中“，”两句描写了海水荡漾、峰峦矗立的景象。
（2）杜牧在《阿房宫赋》的结尾处感叹道，如果六国爱护自己的百姓，就足以抵抗秦国，紧接着说：“____________________，____________________，______________？”【错因分析】作答高考试卷中的名句名篇默写题，一定要建立在理解的基础上，这样更能记得准、写得对、看得清。
很多考生失分的原因就是不理解诗句，这样在做题时就容易记串、记混，结果明明是送分题的默写就很遗憾地变成失分题了。
【参考答案】（1）水何澹澹山岛竦峙（2）使秦复爱六国之人则递三世可至万世而为君谁得而族灭也高考所考的名句，字不一定有多复杂，但一定很有迷惑性，考生经常在这些“浅水滩”“翻船”，原因是光背不写，光记不辨，不知道联系句意和古文的特性来区分。
所以在平时对名句记忆时要立足于对诗句的理解，现在课标卷已经考核“理解性默写”，在理解的基础上记忆既准确还不容易写错字，然后要立足于“写”，不要背下来但得不到分数。
此外，虽然高考所选择的名句大多出自课内所学篇目，只有少数来自课外，但该如何识记这些课内的名句，仍然需要一定的技巧：（1）要突破生僻难写字。
（2）要注意同音异义词。
（3）要注意同义异形词。
（4）要留意具体环境。
（5）要留心语句顺序。
（6）要注意语句出处。
1．补写出下列句子中的空缺部分。
（1）欧阳修《醉翁亭记》中用“____________________，____________________”两句简洁而生动地表现了“山间之四时”中秋天和冬天的景象。
（2）王湾《次北固山下》中“____________________，____________________”两句描绘了昼夜和冬春交替过程中的景象，富有哲理。
（3）《庄子·逍遥游》中以“朝菌”和“蟪蛄”为例来说明“小年”一词的两句是“____________________，____________________”。
专题01 集合与常用逻辑用语-备战2019年高考数学(理)之纠错笔记系列(原卷版)
专题01 集合与常用逻辑用语易错点1 忽略集合中元素的互异性设集合2{},,,1,{,}A x x xy B x y ==，若A B =，则实数,x y 的值为 A ．1x y =⎧⎨∈⎩RB ．1x y =-⎧⎨=⎩C ．11x y =⎧⎨=⎩D ．1x y =⎧⎨∈⎩R 或10x y =-⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=⎩【错解】由A B =得21x xy y ⎧=⎨=⎩或21x y xy ⎧=⎨=⎩，解得1x y =⎧⎨∈⎩R 或10x y =-⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=⎩，所以选D ．【错因分析】在实际解答过程中，很多同学只是把答案算出来后就不算了，根本不考虑求解出来的答案是不是合乎题目要求，有没有出现遗漏或增根．在实际解答中要根据元素的特征，结合题目要求和隐含条件，加以重视．当1x y =⎧⎨∈⎩R 时，A =B ={1,1，y }，不满足集合元素的互异性；当11x y =⎧⎨=⎩时，A =B ={1,1,1}也不满足元素的互异性；当10x y =-⎧⎨=⎩时，A =B ={1，−1,0}，满足题意．集合中元素的特性：（1）确定性. 一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合；（2）互异性. 集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素（3）无序性. 集合与其中元素的排列顺序无关，如a ，b ，c 组成的集合与b ，c ，a 组成的集合是相同的集合．这个特性通常被用来判断两个集合的关系1．集合{x –1，x 2–1，2}中的x 不能取得值是 A ．2 B ．3 C ．4D ．5【解析】当x =2时，x –1=1，x 2–1=3，满足集合元素的互异性，集合表示正确；当x =3时，x –1=2，集合中元素重复，不满足互异性，集合表示错误；当x =4时，x –1=3，x 2–1=15，满足集合元素的互异性，集合表示正确；当x =5时，x –1=4，x 2–1=24，满足集合元素的互异性，集合表示正确；故选B ． 【答案】B易错点2 误解集合间的关系致错已知集合{}{|0,1}A B x x A ==⊆，，则下列关于集合A 与B 的关系正确的是 A ．A B ⊆ B ．A ⊂≠B C ．B ⊂≠AD ．A B ∈【试题解析】因为x A ⊆，所以{}{}{}01{0,1}B =∅，，，，则集合{}0,1A =是集合B 中的元素，所以A B ∈，故选D ．【参考答案】D（1）元素与集合之间有且仅有“属于（∈）”和“不属于（∉）”两种关系，且两者必居其一.判断一个对象是否为集合中的元素，关键是看这个对象是否具有集合中元素的特征.（2）包含、真包含关系是集合与集合之间的关系，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A B ⊆（或B A ⊇）；如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A B ⊂≠（或B A ⊃≠）.2．若集合，，则有 A ．B ．M ⊂≠NC ．M N ⊃≠D ．【解析】，，故M ⊂≠N . 故选B ． 【答案】B易错点3 忽视空集易漏解已知集合2{|3100}A x x x =--?，{|121}B x m x m =+＃-，若A B A =，则实数m 的取值范围是A ．[3,3]-B ．[2,3]C ．(,3]-∞D ．[2,)+∞【错因分析】空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解.由并集的概念知，对于任何一个集合A ，都有A A ∅=，所以错解中忽略了B =∅时的情况. 【试题解析】∵AB A =，∴B A ⊆.2{|3100}{|25}A x x x x x =--?-＃，①若B =∅，则121m m +>-，即2m <，故2m <时，A B A =；②若B ≠∅，如图所示，则121m m +?，即2m ³. 由B A ⊆得21215m m -≤+⎧⎨-≤⎩，解得33m -≤≤.又∵2m ³，∴23m ≤≤.由①②知，当3m ≤时，A B A =.【参考答案】C（1）对于任意集合A ，有A∅=∅，A A ∅=，所以如果A B =∅，就要考虑集合A B 或可能是∅；如果AB A =，就要考虑集合B 可能是∅.（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，即A ∅⊆，()B B ⊂∅≠∅≠.3．集合，若，则实数的取值范围是A ．B ．C ．D ．【解析】当时，集合，满足题意；当时，，若，则，∴，所以，故选B ．【答案】B易错点4 A 是B 的充分条件与A 的充分条件是B 的区别设,a b ∈R ,则“4>+b a ”是“2,2>>b a 且”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【错解】选A ．【错因分析】充分必要条件的概念混淆不清致错.【试题解析】若2,2a b >>且，则4a b +>，但当4,1a b ==时也有4a b +>，故本题选B ． 【参考答案】B（1）“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ，即B ⇒A 且A /ÞB ； （2）“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A ，即A ⇒B 且B /ÞA .4．已知a ，b ∈R ，若221a b +≥的一个充分不必要条件是ab m ≤(0)m <，则实数m 的取值范围是 A ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．(],2-∞-C ．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．[)2,0-【解析】由基本不等式得，221212a b ab ab +≥≥⇒≥，由102ab ab <⇒≤-，又因为221a b +≥的一个充分不必要条件是ab m ≤(0)m <，则12m ≤-，故选A ． 【答案】A易错点5 命题的否定与否命题的区别命题“()**n f n ∀∈∈N N ，且()f n n ≤”的否定形式是A ．()**()n f n f n n ∀∈∉>N N ，且B ．**()()n f n f n n ∀∈∉>N N ，或 C ．**0000)()(n f n f n n ∃∈∉>N N ，且D ．**0000()()n f n f n n ∃∈∉>N N ，或【错因分析】错解1对命题的结论否定错误，没有注意逻辑联结词； 对于错解2，除上述错误外，还没有否定量词；错解3的结论否定正确，但忽略了对量词的否定而造成错选．【试题解析】全称命题的否定为特称命题，因此命题“()**n f n ∀∈∈N N ，且()f n n ≤”的否定形式是“()()**0000n f n f n n ∃∈∉>N N ，或 ”．故选D ．【参考答案】D1．命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p ，则q ”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p ”，只是否定命题p 的结论．2．命题的否定（1）对“若p ，则q ”形式命题的否定； （2）对含有逻辑联结词命题的否定； （3）对全称命题和特称命题的否定．（4）全称（或存在性）命题的否定与命题的否定有着一定的区别，全称（或存在性）命题的否定是将其全称量词改为存在量词（或存在量词改为全称量词），并把结论否定，而命题的否定则直接否定结论即可．从命题形式上看，全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题．5．已知2||1:523,:045p x q x x ->>+-，则¬p 是¬q A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A的否定形式错误地认为：一、集合1．元素与集合的关系：a A a A∈⎧⎨∉⎩属于，记为不属于，记为.2．集合中元素的特征：（1）确定性：一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合.（2）互异性：集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素.（3）无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如a，b，c组成的集合与b，c，a组成的集合是相同的集合．这个特性通常被用来判断两个集合的关系.3．常用数集及其记法：4．集合间的基本关系2n个子集，有否则会造成漏解. 5．集合的基本运算{|B x x =|{B x x =A B A ⊆ A B B ⊆ A A A = A ∅=∅ A B B A = A B A ⊇ A B B ⊇ AA A =A A ∅= AB B A =)A =∅)A U =(.)U UU AB A A B B A B A B =⇔=⇔⊇=⇔∅痧?二、命题及其关系、充分条件与必要条件 1．四种命题2．四种命题间的关系都是任意3．充分条件与必要条件的概念(1)若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件； (2)若p ⇒q 且q /⇒p ，则p 是q 的充分不必要条件； (3)若p /⇒q 且q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件； (4) 若p ⇔q ，则p 是q 的充要条件；(5) 若p /⇒q 且q /⇒p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件.(1)等价转化法判断充分条件、必要条件①p 是q 的充分不必要条件⇔q ⌝是p ⌝的充分不必要条件； ②p 是q 的必要不充分条件⇔q ⌝是p ⌝的必要不充分条件； ③p 是q 的充要条件⇔q ⌝是p ⌝的充要条件；④p 是q 的既不充分也不必要条件⇔q ⌝是p ⌝的既不充分也不必要条件.(2)集合判断法判断充分条件、必要条件若p 以集合A 的形式出现，q 以集合B 的形式出现，即p ：A ={x |p (x ) }，q ：B ={x |q (x ) }，则 ①若A B ⊆，则p 是q 的充分条件； ②若B A ⊆，则p 是q 的必要条件； ③若A B ⊂≠，则p 是q 的充分不必要条件； ④若B A ⊂≠，则p 是q 的必要不充分条件； ⑤若A B =，则p 是q 的充要条件；⑥若A B ⊂≠且B A ⊂≠，则p 是q 的既不充分也不必要条件.三、逻辑联结词、全称量词与存在量词 1．常见的逻辑联结词：或、且、非一般地，用联结词“且”把命题p 和q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧，读作“p 且q ”； 用联结词“或”把命题p 和q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨，读作“p 或q ”； 对一个命题p 的结论进行否定，得到一个新命题，记作p ⌝，读作“非p ”． 2．复合命题的真假判断“p 且q ”“p 或q ”“非p ”形式的命题的真假性可以用下面的表（真值表）来确定：3．全称量词和存在量词4．含有一个量词的命题的否定全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，如下所示：1．（2018浙江）已知全集U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3}，则=U A ð A ．∅ B ．{1，3}C ．{2，4，5}D ．{1，2，3，4，5}2．（2018新课标全国Ⅰ理科）已知集合{}220A x x x =-->，则A =R ð A ．{}12x x -<<B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|1|2x x x x <->D ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥3．（2018新课标全国Ⅲ理科）已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，，，则A B =A ．{}0B ．{}1C ．{}12，D ．{}012，，4．（2018新课标全国Ⅱ理科）已知集合(){}223A x y xy x y =+∈∈Z Z，≤，，，则A 中元素的个数为A ．9B ．8C ．5D ．45．（2018浙江）已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．（2018天津理科）设x ∈R ，则“11||22x -<”是“31x <”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．（2017北京理科）设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．（2016上海理科）设a ∈R ，则“1>a ”是“12>a ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．（2017新课标Ⅱ卷理）设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1AB =，则B =A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,510．（2017新课标Ⅲ卷理）已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│，B ={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为 A ．3 B ．2 C ．1D ．011．（2016浙江卷理）命题“*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x ≥”的否定形式是 A ．*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x <B ．*x n ∀∈∀∈，R N ，使得2n x <C ．*x n ∃∈∃∈，R N ，使得2n x <D ．*x n ∃∈∀∈，R N ，使得2n x <12．（2017北京卷理）设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件13．（2017天津卷理）设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．已知集合{}|00{},1x x ax +==，则实数a 的值为 A ．−1 B ．0 C ．1D ．215．已知集合,,则()P Q =R ðA ．B ．C ．D ．16．设命题p :1,ln x x x ∀>>,则p ⌝为 A ．0001,ln x x x ∃>> B ．0001,ln x x x ∃≤≤ C ．0001,ln x x x ∃>≤D ．1,ln x x x ∀>≤17．“若12a ≥错误！未找到引用源。
2020年高考数学学霸纠错笔记：三角函数
不能正确理解三角函数的定义角α的终边落在直线y ＝2x 上，则sin α的值为A ．－55 B ．55 C ．255D ．±255【错解】选C.在角的终边上取点P (1,2)，∴r ＝|OP |＝12＋22＝5，∴sin α＝y r＝25＝255，故选C ．【错因分析】当角的终边在一条直线上时，应注意到角的终边为两条射线，所以应分两种情况处理，而错解中没有对两种情况进行讨论导致错误．【试题解析】当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P (1,2)， 由r ＝|OP |＝12＋22＝5，得sin α＝25＝255.当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q (－1，－2)，∴r OQ === ∴sin α＝－25＝－255.故选D ． 【参考答案】D 1．定义设α是一个任意角，它的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，点(),P x y 是角α的终边上任意一点，P 到原点的距离()0OP r r =>，那么角α的正弦、余弦、正切分别是sin ,cos ,tan y x y r r xααα===． 注意：正切函数tan y x α=的定义域是ππ,2k k αα⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，正弦函数和余弦函数的定义域都是R .2．三角函数值在各象限内的符号三角函数值在各象限内的符号口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．1．在平面直角坐标系中，角α以x 轴非负半轴为始边，终边在射线2(0)y x x =≥上，则tan α的值是 A ．2 B ．−2C ．12D ．12-【答案】A【解析】由题意，在平面直角坐标系中，角α以x 轴非负半轴为始边，终边在射线2(0)y x x =≥上， 设终边上的点(1,2)P ，根据三角函数的定义可得2tan 21α==，故选A ． 【名师点睛】本题主要考查了三角函数的定义，其中解答中熟记三角函数的定义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．利用同角三角函数基本关系式时忽略参数取值已知cos θ＝t ，求sin θ、tan θ的值．【错解】①当0<t <1时，θ为第一或第四象限角.θ为第一象限角时，sin θ＝1－cos 2θ＝1－t 2，tan θ＝sin θcos θ＝1－t2t；θ为第四象限角时，sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－t 2，tan θ＝sin θcos θ＝－1－t2t.②当－1<t <0时，θ为第二或第三象限角.θ为第二象限角时，sin θ＝1－cos 2θ＝1－t 2，tan θ＝sin θcos θ＝1－t2t；θ为第三象限角时，sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－t 2，tan θ＝sin θcos θ＝－1－t2t.综上，sin θθθ=⎪⎩为第一、二象限角为第三、四象限角，tan θθθ=⎨⎪⎪⎩为第一、二象限角为第三、四象限角.【错因分析】上述解法注意到了θ的余弦值含有参数t ，根据余弦函数的取值范围对t 进行分类讨论，但上述讨论不全面，漏掉了很多情况，如t ＝－1，t ＝0，t ＝1. 【试题解析】①当t ＝－1时，sin θ＝0，tan θ＝0； ②当－1<t <0时，θ为第二或第三象限角. 若θ为第二象限角，则sin θ＝1－t 2，tan θ＝1－t2t；若θ为第三象限角，则sin θ＝－1－t 2，tan θ＝－1－t2t.③当t ＝0时，sin θ＝1，tan θ不存在或sin θ＝－1，tan θ不存在． ④当0<t <1时，θ为第一或第四象限角. 若θ为第一象限角，则sin θ＝1－t 2，tan θ＝1－t2t；若θ为第四象限角，则sin θ＝－1－t 2，tan θ＝－1－t2t.⑤当t ＝1时，sin θ＝0，tan θ＝0.综上得：【参考答案】见试题解析.1．①利用22sin +cos 1αα=可以实现角α的正弦、余弦的互化；②利用sin cos tan ααα=可以实现角α的弦切互化． 2．同角三角函数基本关系式的变形（1）平方关系的变形：2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-； （2）商的关系的变形：sin sin tan cos ,cos tan αααααα=⋅=； （3）2222111tan 1,1cos sin tan αααα-=-=．3．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．2．已知0,2απ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2sin 2cos21αα=+，则sin α=A 5B ．15C 3D 25【答案】A 【解析】2sin 2cos21α=α+，24sin cos 2cos ααα∴=，0,2απ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 0α∴>，sin 0α>，2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，5sin α∴=， 故选A.【名师点睛】本题考查三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的应用，易错点是忽略角所处的范围，造成符号错误．不能准确运用诱导公式进行化简求值若sin θ＝33，求cos(π)cos(2π)3ππ3πcos [sin()1]cos(π)sin()sin()222θθθθθθθ--+--++-+的值．A ．0B ．1C ．6D ．6-【错解】选A. 原式＝cos cos (sin 1)θθθ--＋cos θcos θsin θ＋cos θ＝－cos θcos θsin θ＋cos θ＋cos θcos θsin θ＋cos θ＝0. 【错因分析】错解中混淆了诱导公式sin(3π2－θ)＝－cos θ，sin(3π2＋θ)＝－cos θ，cos(π－θ)＝－cos θ，cos(π＋θ)＝－cos θ. 【试题解析】原式＝cos cos (cos 1)θθθ---＋cos θ－cos θcos θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝2sin 2θ，因为sin θ＝33，所以所求三角函数式的值为6=. 【参考答案】C1．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值． 2．使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号，特别是在具体题目中出现类似πk α±的形式时，需要对k 的取值进行分类讨论，从而确定出三角函数值的正负． 3．利用诱导公式化简三角函数式的思路： （1）分析结构特点，选择恰当公式； （2）利用公式化成单角三角函数； （3）整理得最简形式．利用诱导公式化简三角函数式的要求： （1）化简过程是恒等变形；（2）结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值． 4．巧用相关角的关系能简化解题的过程． 常见的互余关系有π3α-与π6α+，π3α+与π6α-，π4α+与π4α-等； 常见的互补关系有π3θ+与2π3θ-，π4θ+与3π4θ-等.3．若角θ的终边经过点(1,2)-，则sin()cos()tan()2θθθπ+π+-++π+= A ．2 B ．12-C ．2-D ．12【答案】C【解析】由诱导公式可得sin()cos()tan()sin sin tan tan 2θθθθθθθπ+π+-++π+=-++=， 又角θ的终边经过点(1,2)-， 所以tan 2θ=-， 所以sin()cos()tan()tan 22θθθθπ+π+-++π+==-．故选C ．要作出正确选择，需认真选择诱导公式，不能错用公式．对于n π＋α，若n 是偶数，则角n π＋α的三角函数值等于角α的同名三角函数值；若n 为奇数，则角n π＋α的三角函数值等于角π＋α的同名三角函数值．不能正确理解三角函数图象变换规律为得到函数y ＝cos(2x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位【错解】选B.y ＝cos(2x ＋π3)＝sin(2x ＋π3＋π2)＝sin2(x ＋5π12)，因此向右平移5π12个长度单位，故选B ． 【错因分析】没有注意到变换方向导致了错解，目标是y ＝cos(2x ＋π3)的图象．【试题解析】y ＝cos(2x ＋π3)＝sin(2x ＋π3＋π2)＝sin(2x ＋5π6)＝sin2(x ＋5π12)，因此将函数y ＝sin2x的图象向左平移5π12个长度单位即可．故选A ．【参考答案】A函数图象的平移变换解题策略（1）对函数y =sin x ，y =A sin(ωx ＋φ)或y =A cos(ωx ＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x 变为x ±|φ|，而不是ωx 变为ωx ±|φ|. （2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.4．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω）的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度，得到()y g x =的图象，则下列说法正确的是A ．函数()g x 为奇函数B ．函数()g x 为偶函数C ．函数()g x 的图象的对称轴为直线()6x k k π=π+∈Z D ．函数()g x 的单调递增区间为5[,]()1212k k k ππ-+π+π∈Z 【答案】D【解析】由函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>）的部分图象. 可知3A =， 由35341234T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，得=T π， 所以22===2T ωπππ， 代入点5,312π⎛⎫⎪⎝⎭得533sin 212ϕπ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭， 解得23k ϕπ=π-，取0k =，得3ϕπ=- 可得()3sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度，得()3sin 23sin 2333y g x x x ⎡⎤πππ⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象， 由函数解析式可以验证只有()g x 的单调递增区间为()5,1212k k k ππ⎡⎤-+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z 正确.故选D.【名师点睛】根据y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑： ①A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A =最大值−最小值2；②k 的确定：根据图象的最高点和最低点，即k =最大值+最小值2；③ω的确定：结合图象，先求出周期T ，然后由T =2πω(ω>0)来确定ω；④φ的确定：由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 最开始与x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为−φω (即令ωx ＋φ＝0，x ＝−φω)确定φ.注意符号对三角函数性质的影响已知函数()=2cos()32xf x π-. （1）求f (x )的单调递增区间；（2）若x ∈[－π，π]，求f (x )的最大值和最小值． 【错解】（1）由－π≤π3－x 2≤0得，2π3≤x ≤8π3，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，8π3.（2）∵－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2≤1，∴[f (x )]max ＝2，[f (x )]min ＝－2.【错因分析】（1）忽略了函数f (x )的周期性；（2）忽略了x ∈[－π，π]对函数f (x )的最值的影响．【试题解析】（1）∵f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3.由2k π－π≤x 2－π3≤2k π得，4k π－4π3≤x ≤4k π＋2π3(k ∈Z )．故f (x )的单调增区间为[4k π－4π3，4k π＋2π3](k ∈Z )．（2）由－π≤x ≤π⇒－5π6≤x 2－π3≤π6.当x 2－π3＝0，即x ＝2π3时，f (x )max ＝2， 当x 2－π3＝－5π6，即x ＝－π时，f (x )min ＝－ 3. 【参考答案】（1）函数()f x 的单调递增区间为[4k π－4π3，4k π＋2π3](k ∈Z )；（2）f (x )max ＝2，f (x )min ＝－ 3.1．三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解. 2．求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目及求解方法（1）形如y =a sin x ＋b cos x ＋k 的三角函数化为y =A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求值域(最值)； （2）形如y =a sin 2x ＋b sin x ＋k 的三角函数，可先设sin x =t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)； （3）形如y =a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t =sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．3．三角函数单调性问题的常见类型及解题策略 （1）已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”； ②求形如y =A sin （ωx ＋φ）或y =A cos （ωx ＋φ）（其中，ω>0）的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．（2）已知三角函数的单调区间求参数：先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解． （3）利用三角函数的单调性求值域（或最值）：形如y =A sin （ωx ＋φ）＋b 或可化为y =A sin （ωx ＋φ）＋b 的三角函数的值域（或最值）问题常利用三角函数的单调性解决. 4．三角函数的奇偶性、周期性、对称性的处理方法（1）求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为y =A sin(ωx ＋φ)，y =A cos(ωx ＋φ)，y =A tan(ωx ＋φ)的形式，再分别应用公式T =2||ωπ，T =2||ωπ，T =||ωπ求解．（2）对于函数y =A sin （ωx ＋φ），其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x =x 0或点（x 0，0）是否为函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f （x 0）的值进行判断．（3）若f （x ）=A sin （ωx ＋φ）为偶函数，则φ=k π＋2π（k ∈Z ），同时当x =0时，f （x ）取得最大或最小值．若f （x ）=A sin （ωx ＋φ）为奇函数，则φ=k π（k ∈Z ），同时当x =0时，f （x ）=0.5．对函数()213sin cos cos 2f x x x x =+-的表述错误的是 A ．最小正周期为πB ．函数sin2y x =向左平移12π个单位可得到()f x C ．()f x 在区间,36ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上递增D ．点,06π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心 【答案】D【解析】因为()2131cos213sin cos cos sin 222226x f x x x x x x +⎛⎫=+-=+-=+ ⎝π⎪⎭, 所以最小正周期为22π=π， sin2y x =向左平移12π个单位可得到sin 2sin 2126y x x ⎛⎫ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 因为,36x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,所以2,622x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，即()f x 单调递增， 因为6x π=时，sin 216x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以点,06π⎛⎫⎪⎝⎭不是()f x 的对称中心，综上，选D.【名师点睛】本题考查二倍角公式、辅助角公式以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.三角恒等变换中忽略角的范围致误已知α、β为三角形的两个内角，cos α＝17，sin （α＋β）＝5314，则β＝ A ．3πB ．23π C ．233ππ或D ．34ππ或【错解】选C.∵0<α<π，cos α＝17，∴sin α=又∵sin （α＋β，∴cos （α＋β11.14-∴sin β＝sin[（α+β）－α]＝sin （α＋β）cos α－cos （α＋β）sin α又∵0<β<π，∴β＝233ππ或. 【错因分析】（1）不能根据题设条件缩小α、β及α＋β的取值范围，在由同角基本关系式求sin （α＋β）时不能正确判断符号，产生两角．（2）结论处应由cos β的值确定β的取值，由sin β确定结论时易出现两解而造成失误．【试题解析】因为0<α<π，cos α＝17，所以sin α7=，故32αππ<<，又因为0<α＋β<π，sin （α＋β）＝142<，所以0<α＋β<3π或32π<α＋β<π.由3π<α<2π知32π<α＋β<π，所以cos （α＋β1114，所以cos β＝cos[（α＋β）－α]＝cos （α＋β）cos α＋sin （α＋β）sin α＝12.又0<β<π，所以β＝3π.【参考答案】A利用三角函数值求角时，要充分结合条件，确定角的取值范围，再选取合适的三角函数进行求值，最后确定角的具体取值．1．给角求值给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊角之间总有一定的关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数，从而得解. 2．给值求值已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路： （1）先化简所求式子．（2）观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)． （3）将已知条件代入所求式子，化简求值． 3．给值求角通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则： （1）已知正切函数值，则选正切函数．（2）已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是π(0,)2，则选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为ππ(,)22-，则选正弦较好. 4．常见的角的变换 （1）已知角表示未知角例如：()()ααββββα=+-=--，()()()()2,2ααβαββαβαβ=++-=+--，(2)αβαβα+=++，(2)αβαβα-=-+，22αβαβα+-=+，22αβαββ+-=-.（2）互余与互补关系 例如：π3π()()π44αα++-=，πππ()()362αα++-=. （3）非特殊角转化为特殊角例如：15°=45°−30°，75°=45°＋30°.6．（1）在ΔABC 中，sinA ⋅sinB <cosA ⋅cosB ，则这个三角形的形状为 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．等腰三角形（2）若α∈(0,π)，且√3sinα+2cosα=2，则tan α2= A ．−√32B ．−√35C ．√32D ．√3【答案】（1）B ；（2）C.（1）【解析】∵在ΔABC 中，sinA ⋅sinB <cosA ⋅cosB,∴cos (A +B )>0， ∴A +B ∈(0,π2),C >π2，∴三角形是钝角三角形，故选B.【点睛】本题考查三角形的形状，两角和的余弦函数的应用，属于中档题. 判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.（2）【解析】√3sin α+2cos α=2⇒√3sin α=2−2cos α两边平方得3sin 2α=4−8cos α+4cos 2α可得3−3cos 2α=4−8cos α+4cos 2α ，1−8cos α+7cos 2α=0 解得cos α=17,∵α∈(0,π),∴α2∈(0,π2)，∵cosα=2cos 2α2−1,∴cos α2=√1+cosα2=2√77. 则sin α2=√1−cos 2α2=√217则tan α2=sinα2cosα2=√2172√77=√32. 故选C.求函数sin()y A x ωϕ=+的性质时出错函数y ＝5sin(x ＋20°)＋4cos(x ＋50°)的最大值为 . 【错解】41函数的最大值为52＋42＝41.【错因分析】形如y ＝a sin x ＋b cos x 的函数的最大值为a 2＋b 2，而函数y ＝5sin(x ＋20°)＋4cos(x ＋50°)不符合上述形式．【试题解析】y ＝5sin(x ＋20°)＋4cos(x ＋50°) ＝5sin(x ＋20°)＋4cos[(x ＋20°)＋30°]＝5sin(x ＋20°)＋4cos(x ＋20°)cos30°－4sin(x ＋20°)sin30° ＝5sin(x ＋20°)＋23cos(x ＋20°)－2sin(x ＋20°) ＝3sin(x ＋20°)＋23cos(x ＋20°)， ∴22max 3(23)21y =+=【参考答案】211．三角恒等变换与三角函数的图象及性质相结合的综合问题（1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式转化成y =A sin(ωx ＋φ)＋t 或y =A cos(ωx ＋φ)＋t 的形式． （2）利用公式2π(0)T ωω=>求周期．（3）根据自变量的范围确定ωx ＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为二次函数的最值．（4）根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y =A sin(ωx ＋φ)＋t 或y =A cos(ωx ＋φ)＋t 的单调区间．2．研究y =A sin(ωx ＋φ)＋t 或y =A cos(ωx ＋φ)＋t 的性质时，一定要先利用诱导公式把ω化为正数后求解.7．已知)22()2sin cos cos sin f x x x x x =-． （1）求函数()y f x =的最小正周期和对称轴方程； （2）若50,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()y f x =的值域． 【答案】（1）对称轴为()212k x k ππ=+∈Z ，最小正周期T =π；（2）()[1,2]f x ∈-.【解析】（1）)22()2sin cos cos sin f x x x x x =-sin 222sin 23x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，令2()32x k k ππ+=π+∈Z ，则 ()f x 的对称轴为()212k x k ππ=+∈Z ，最小正周期T =π；（2）当50,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 因为sin y x =在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，在7,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，在2x π=取最大值，在76x π=取最小值， 所以1sin 2,132x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以()[1,2]f x ∈-．【名师点睛】本题考查正弦函数图象的性质，考查周期性，对称性，函数值域的求法，考查二倍角公式以及辅助角公式的应用，属于基础题.求三角函数的性质时，一般先通过恒等变形化为y =A sin(ωx ＋φ)，y =A cos(ωx ＋φ)，y =A tan(ωx ＋φ)的形式，再结合正弦函数y =sin x ，y =cos x ，y =tan x 的性质研究其相关性质．解三角形时忽略角的取值范围致误在ABC △中，若3C B =，则cb的取值范围为 A ．(0,3) B ．(1,3) C ．(0,3]D ．(1,3]【错解】选A. 由正弦定理，可得2222sin sin 3sin 2cos cos 2sin =2cos cos 24cos 1sin sin sin 0cos 1,14cos 13,0,0,0 3.c C B B B B B B B B b B B BcB B b c b+===+=-≤<∴-≤-<>><<，由可得【错因分析】错解中没有考虑角B 的取值范围，误认为角B 的取值范围为()0,180︒︒. 【试题解析】由正弦定理可得222sin sin 3sin 2cos cos 2sin =2cos cos 24cos 1sin sin sin 2180,3,045cos 1,14cos 13,1 3.c C B B B B B B B B b B B B A B C C B B B c B b+===+=-++=︒=∴︒<<︒<<∴<-<<<，即【参考答案】B1．利用正、余弦定理求边和角的方法：（1）根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置．（2）选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.（3）在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用． 2．常见结论：（1）三角形的内角和定理：在ABC △中，π A B C ++=，其变式有：πA B C +=-，π222A B C+=-等． （2）三角形中的三角函数关系：i in(s n s )A B C =+； ()s os co c A B C =-+；sincos 22A B C +=； cos sin 22A B C+=.8．在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且60b c C ===︒，则角B =A ．45︒B ．30C ．45︒或135︒D ．30或150︒【答案】A【解析】由正弦定理得sin sin b c B C==sin B 2=， 又b ＜c ，∴B ＜C ，∴B ＝45°， 故选：A ．【名师点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.一、三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式 1．角的有关概念（1）定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． （2）分类⎧⎨⎩按旋转方向不同分为正角、负角、零角按终边位置不同分为象限角和轴线角.（3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合·3{,|60S k ββα==+︒ }k ∈Z ．2．弧度制（1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. （2）公式3．任意角的三角函数（1）定义：设α是一个任意角，它的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，点(),P x y 是角α的终边上任意一点，P 到原点的距离()0OP r r =>，那么角α的正弦、余弦、正切分别是sin ,cos ,tan y x yr r xααα===． （2）三角函数值在各象限内的符号：（3）各象限内的三角函数线如下： 角所在的象限第一象限第二象限第三象限第四象限图形（4）特殊角的三角函数值：α0︒ 30︒45︒60︒90︒120︒135︒150︒ 180︒ 270︒360︒π6π4π3π22π3 3π4 5π6π3π22π sin α1222 32 132 22121-cos α132221212-22- 32-1-1tan α3313 不存在3-1- 33-不存在6262sin15cos 75,sin 75cos15,44-+︒=︒=︒=︒=tan1523,tan 752 3.︒=-︒=+ 4．同角三角函数的基本关系式（1）平方关系：22sin cos 1αα+=． （2）商的关系：sin cos tan ααα=． 5．三角函数的诱导公式二、三角函数的图象与性质1．正弦函数sin y x =,余弦函数cos y x =,正切函数tany x =的图象与性质2．函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质（1）图象变换：由函数sin y x =的图象通过变换得到sin()y A x ωϕ=+（A >0,ω>0）的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.如下图.22（2）函数sin()y A x ωϕ=+（A >0,ω>0）的性质：①奇偶性：=k ϕπ时，函数sin()y A x ωϕ=+为奇函数；=2k ϕππ+时，函数sin()y A x ωϕ=+为偶函数.②周期性：sin()y A x ωϕ=+存在周期性，其最小正周期为T =2ωπ.③单调性：根据y =sin t 和t =x ωϕ+的单调性来研究，由+22,22k x k k ωϕππ-π≤+≤+π∈Z 得单调增区间；由+22,22k x k k ωϕπ3ππ≤+≤+π∈Z 得单调减区间.④对称性：利用y =sin x 的对称中心为(,0)()k k π∈Z 求解，令x k k ωϕ+=π(∈)Ζ，求得x . 利用y =sin x 的对称轴为()2x k k π=π+∈Z 求解，令+2x k k ωϕπ+=π(∈)Ζ，得其对称轴. 三、三角恒等变换1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）()C αβ-：cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+ （2）()C αβ+：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- （3）()S αβ+：sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+ （4）()S αβ-：sin()αβ-=sin cos cos sin αβαβ- （5）()T αβ+：tan()αβ+=tan tan π(,,π,)1tan tan 2k k αβαβαβαβ++≠+∈-Z（6）()T αβ-：tan()αβ-=tan tan π(,,π,)1tan tan 2k k αβαβαβαβ--≠+∈+Z2．二倍角公式（1）2S α：sin2α=2sin cos αα（2）2C α：cos2α=2222cos sin 12sin 2cos 1αααα-=-=- （3）2T α：tan 2α=22tan πππ(π,)1tan 224k k k αααα≠+≠+∈-Z 且)(1tan tan αα；2cos α22cos α；1cos -3．半角公式（1）sin2α=（2）cos2α=（3）tan2α=sin 1cos 1cos sin αααα-==+此公式不用死记硬背，可由二倍角公式推导而来，如下图：四、正、余弦定理及解三角形 1．正弦定理（1）内容：在ABC △中，若角A ，B ，C 对应的三边分别是a ，b ，c ，则各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin sin a b c ==A B C.正弦定理对任意三角形都成立． （2）常见变形：①sin sin sin ,,,sin sin ,sin sin ,sin sin ;sin sin sin A a C c B ba Bb A a Cc A b C c B B b A a C c ====== ②;sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin a b c a b a c b c a b c A B C A B A C B C A B C +++++======+++++ ③::sin :sin :sin ;a b c A B C =④正弦定理的推广：===2sin sin sin a b c R A B C，其中R 为ABC △的外接圆的半径.1．正弦定理解决的问题（1）已知两角和任意一边，求其他的边和角； （2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角． 2．在ABC △中，已知a ，b 和A 时，三角形解的情况2．余弦定理（1）内容：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即2222222222cos ,2cos 2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+-，（2）从余弦定理，可以得到它的推论：222222222cos ,cos ,cos 222b c a c a b a b c A B C bc ca ab+-+-+-===.1．余弦定理解决的问题 （1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角． 2．利用余弦定理解三角形的步骤1． tan255°=A ．−2B ．−C ．2D ．【答案】D【解析】tan 255tan(18075)tan 75tan(4530)︒=︒+︒=︒=︒+︒=tan 45tan 301tan 45tan 30︒+︒-︒︒12==故选D. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查． 2．已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sin α= A ．15B CD 【答案】B【解析】2sin 2cos21αα=+，24sin cos 2cos .0,,cos 02αααααπ⎛⎫∴⋅=∈∴> ⎪⎝⎭，sin 0,α>2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5αα∴==，又sin 0α>，sin 5α∴=，故选B ．【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．3．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A −b sin B =4c sin C ，cos A =−14，则b c=A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A【解析】由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得2222214131cos ,,,422424b c a c c c A bc bc b +---==∴=-∴=3462b c ∴=⨯=，故选A ． 【名师点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．先利用余弦定理推论得出a ，b ，c 关系，再结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果.4．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c+-，则C =A ．π2B ．π3 C ．π4D ．π6【答案】C【解析】由题可知2221sin 24ABCa b c S ab C +-==△，所以2222sinC a b c ab +-=， 由余弦定理2222cos a b c ab C +-=，得sin cos C C =，因为()0,πC ∈，所以π4C =，故选C. 【名师点睛】本题主要考查余弦定理与三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算. 5．函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，排除B ，C ，故选D ． 【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案． 6．函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为 A ．2 B ．3 C ．4D ．5【答案】B【解析】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=， 得sin 0x =或cos 1x =，[]0,2πx ∈，0π2πx ∴=、或．()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3，故选B ．【名师点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．令()0f x =，得sin 0x =或cos 1x =，再根据x 的取值范围可求得零点.2sin cos ++x xx x7．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为，，．若ABC △为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是A ．B ．C ．2A B =D ．2B A =【答案】A【解析】由题意知sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+， 所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和与差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有A ，B ，C 的式子，再用正弦定理将角转化为边，得到.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.8．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点(1)P ，则cos2=αA．3 B ．13C ．13-D．3-【答案】B【解析】因为角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点(1)P ，所以cos 3==-α， 因此21cos 22cos 13=-=αα.故选B. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义，以及二倍角公式，熟记三角函数的定义与二倍角公式即可，属于常考题型.解答本题时，先由角α的终边过点(1)P ，求出cos α，再由二倍角公式，即可得出结果.9．设α为锐角，若cos （π+6α）＝45，则sin π(2+)3α的值为A ．B ．C ．2425-D ．1225-【答案】Ba b c 2a b =2b a =2a b =25122425【解析】因为α为锐角，且πcos()6+α＝45，所以π3sin()65+==α，所以 ππππ3424sin(2)sin 2()2sin()cos()236665525+=+=++=⨯⨯=αααα，故选B.10．已知函数π()sin()6f x x =+ω(0)>ω的相邻对称轴之间的距离为π2，将函数图象向左平移π6个单位得到函数()g x 的图象，则()g x =A ．πsin()3x +B ．πsin(2)3x +C ．cos2xD ．πcos(2)3x +【答案】C【解析】由函数π()sin()(0)6f x x =+>ωω的相邻对称轴之间的距离为π2，得π22T =，即πT =，所以2ππ=ω，解得2=ω，将函数π()sin(2)6f x x =+的图象向左平移π6个单位， 得到ππππ()sin[2()]sin 2cos 26636g x x x x ⎛⎫=++=++= ⎪⎝⎭的图象，故选C ． 【名师点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．解答本题时，首先利用函数的图象求出函数的关系式，进一步利用图象的平移变换的应用求出结果． 11．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ，π0,0,2A >><ωϕ的部分图象如图所示，则使()()0f a x f a x +--=成立的a 的最小正值为A ．π12B ．π6 C ．π4D ．π3【答案】B【解析】由图象易知，2A =，(0)1f =，即2sin 1=ϕ，且π2<ϕ，即6π=ϕ， 由图可知，11π()0,12f =所以11ππ11ππsin()0,π,126126k k ⋅+=∴⋅+=∈Z ωω，即122,11k k -=∈Z ω， 又由图可知，周期11π2π11π24,121211T >⇒>∴<ωω，且0>ω， 所以由五点作图法可知2,2k ==ω，所以函数π()2sin(2)6f x x =+，因为()()0f a x f a x +--=，所以函数()f x 关于x a =对称，即有ππ2π,62a k k +=+∈Z ，所以可得ππ,26k a k =+∈Z ， 所以a 的最小正值为π6.故选B.【名师点睛】本题考查了三角函数的图象和性质，熟练运用三角函数的图象和周期对称性是解题的关键，属于中档题.解答本题时，先由图象，求出,,A ϕω，可得函数()f x 的解析式，再由()()0f a x f a x +--=易知()f x 的图象关于x a =对称，即可求得a 的值.12．在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若22sin sin sin ,65b B c C a A ac b -==，则B ．5-D ．10-【答案】D【解析】由正弦定理角化边可得：2222222,2b c a a c b -=∴+=，且2523ac b =， 结合余弦定理有：22222223cos 5253a cb b b B ac b +--===，则4sin 5B ==，本题选择D 选项.13．已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，则sin(α+β)=__________． 【答案】−12【解析】因为sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，所以()()()()2222111sin cos 1,1cos sin 1,sin ,cos 22ααββαβ-+-=-+-=∴==， 因此sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=12×12−cos 2α=14−1+sin 2α=14−1+14=−12. 【名师点睛】三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角. 14．已知π02αβ<<<，且1cos tan sin βαβ-=，则πsin 26βα⎡⎤⎛⎫-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦__________．【答案】-【解析】由题意有sin 1cos cos sin αβαβ-=，得()cos cos βαα-=， 由π02βα<-<，π02α<<，有βαα-=，得2βα=，则ππsin 2sin 632βα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中熟记三角函数的基本关系式，合理化简，求得2βα=，代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.由题意，根据三角函数的基本关系式，化简得()cos cos βαα-=，进而可得2βα=，代入即可求解.15．已知函数()()sin (,,00)f x A x A A ωφωφω=+>>为常数，，的部分图象如下图所示，将()f x 的图象向左平移π3个单位长度，得到函数()g x ，则()π,0,2y g x x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦的单调递减区间为_________.【答案】π04⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】由函数()y f x =的图象可得7ππ2,4π123A T ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，∴2π2πω==，∴()()2sin 2f x x φ=+， 又根据“五点法”可得π2π3φ⨯+=，∴π3φ=， ∴()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 由函数图象的平移可得()ππ2sin 22sin233g x x x ⎡⎤⎛⎫=++=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． ∵π02x ≤≤， ∴02πx ≤≤， 当π022x ≤≤，即π04x ≤≤时，函数2sin 2y x =单调递增，函数()2sin2g x x =-单调递减， ∴函数()π,0,2y g x x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦的单调递减区间为π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故答案为π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【名师点睛】先根据图象求出函数()f x 的解析式，然后再根据图象的平移得到函数()g x 的解析式，最后根据所给区间得到所求．（1）已知函数()sin y A x ωφ=+的图象求解析式时，其中A 可由图象直接得到，由图象得到函数的周期后可得ω的值，φ的求法有两种，一是根据代点法求解，二是根据“五点法”求解．（2）研究函数()sin y A x ωφ=+的性质时，常把x ωφ+看作一个整体后结合正弦函数的相关性质求。
高中化学专题04 物质结构和元素周期律——备战2021年高考化学纠错笔记(学生版)
专题04 物质结构和元素周期律易错点1 同位素、核素、同素异形体概念理解错误1．现有下列9种微粒：11H 、21H 、136C 、146C 、147N 、56226Fe +、56326Fe +、1682O 、1683O 。
按要求完成以下各题：(1)11H 、21H 、31H 分别是氢元素的一种____________，它们互称为____________。
(2)互为同素异形体的微粒是____________。
(3)对于X A nZ b ，按下列要求各举一例(要求：每小题分别写出符合题意的两种粒子，且从以上所给微粒中选择)：①Z 、n 、b 相同而A 不同：___________________________________________； ②A 、n 、b 相同而Z 不同：______________________________________； ③A 、Z 、b 相同而n 不同：________________________________________； ④Z 、n 、A 相同而b 不同：____________________________________________。
【错因分析】若对同位素、核素、同素异形体的概念理解错误，则容易出错。
紧扣概念即可正确解答此类题目。
【试题解析】第(1)题，考查核素、同位素的区别。
第(2)题，同种元素的不同单质互为同素异形体，只有1682O 和1683O 符合要求。
第(3)题，①要求Z 、n 、b 相同而A 不同，应该是同位素原子；②要求Z 不同而A 、n 、b 相同，应该是质量数相同的不同元素的原子；③n 是微粒的电荷数，要求Z 、A 、b 相同而n 不同，应该是同一元素的不同价态的离子；④b 是原子个数，要求Z 、n 、A 相同而b 不同，应该是同素异形体。
【参考答案】(1)核素 同位素(2)1682O 和1683O(3)①11H 、21H (或136C 、146C ) ②146C 、147N③56226Fe +、56326Fe + ④1682O 、1683O1．元素、核素、同位素之间的关系2．同位素的“六同三不同”3．同位素、同素异形体、同分异构体、同系物同位素同素异形体 同分异构体 同系物概念质子数相同，中子数不同的同一种元素的不同原子之间互为同位素同种元素组成的结构不同的单质之间互为同素异形体分子式相同，结构不同的化合物互为同分异构体结构相似，在分子组成上相差一个或若干个CH 2原子团的物质互称同系物对象 原子之间 单质之间一般为有机化合物之间有机化合物之间化学性质几乎完全相同相似，一定条件下可以相互转变 可能相似也可能不同 相似实例123111H H H 、、金刚石与石墨、C 60；红磷与白磷CH 3COOH与HCOOCH 3甲烷、乙烷、丙烷；乙烯、丙烯；甲酸、乙酸1．下列说法不正确的是A ．168O 2和188O 3不能互称为同位素B ．红磷和白磷是同素异形体C．乙酸和软脂酸(C15H31COOH)不是同系物D．纤维二糖和麦芽糖互为同分异构体易错点2 混淆原子结构中的数量关系2．14C是一种放射性同位素，在高层大气中由宇宙射线产生的中子或核爆炸产生的中子轰击14N可使它转变为14C。
高考经典纠错笔记 ----数学
高三经典纠错笔记：数学一、集合与简易逻辑易错点1 遗忘空集致误错因分析：由于空集是任何非空集合的真子集，因此，对于集合BA，就有B=A，φ≠BA，B≠φ，三种情况，在解题中如果思维不够缜密就有可能忽视了 B≠φ这种情况，导致解题结果错误。
尤其是在解含有参数的集合问题时，更要充分注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种情况。
空集是一个特殊的集合，由于思维定式的原因，考生往往会在解题中遗忘了这个集合，导致解题错误或是解题不全面。
易错点2 忽视集合元素的三性致误错因分析：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。
在解题时也可以先确定字母参数的范围后，再具体解决问题。
易错点3 四种命题的结构不明致误错因分析：如果原命题是“若 A则B”，则这个命题的逆命题是“若B则A”，否命题是“若┐A则┐B”，逆否命题是“若┐B则┐A”。
这里面有两组等价的命题，即“原命题和它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价”。
在解答由一个命题写出该命题的其他形式的命题时，一定要明确四种命题的结构以及它们之间的等价关系。
另外，在否定一个命题时，要注意全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。
如对“a,b都是偶数”的否定应该是“a,b不都是偶数”，而不应该是“a ,b都是奇数”。
易错点4 充分必要条件颠倒致误错因分析：对于两个条件A，B，如果A=>B成立，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；如果B=>A成立，则A是B的必要条件，B是A的充分条件；如果A<=>B，则A，B互为充分必要条件。
解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性，所以在解决这类问题时一定要根据充要条件的概念作出准确的判断。
易错点5 逻辑联结词理解不准致误错因分析：在判断含逻辑联结词的命题时很容易因为理解不准确而出现错误，在这里我们给出一些常用的判断方法，希望对大家有所帮助：p∨q真<=>p真或q真，命题p∨q假<=>p假且q假（概括为一真即真）；命题p∧q真<=>p真且q真，p∧q假<=>p假或q假（概括为一假即假）；┐p真<=>p假，┐p 假<=>p真（概括为一真一假）。
高考物理纠错笔记常见易错点
高考物理纠错笔记常见易错点湖南省新化县第二中学伍满才高考物理一般很难拿高分，做好高考物理纠错笔记，可以轻松拿高分，纠错笔记要注意易错知识点，对症下药，争取考出好成绩！1：对基本概念的理解不准确。
【易错分析】要准确理解描述运动的基本概念，这是学好运动学乃至整个动力学的基础.可在对比三组概念中掌握：①位移和路程：位移是由始位置指向末位置的有向线段，是矢量：路程是物体运动轨迹的实际长度，是标量，一般来说位移的大小不等于路程;②平均速度和瞬时速度,前者对应一段时间，后者对应某一时刻，这里特别注意公式只适用于匀变速直线运动;③平均速度和平均速率：平均速度=位移/时间，平均速率=路程/时间。
2：不能把图像的物理意义与实际情况对应。
【易错分析】理解运动图像首先要认清v-t和x-t图像的意义。
其次要重点理解图像的几个关键点：①坐标轴代表的物理量,如有必要首先要写出两轴物理量关系的表达式;②斜率的意义;③截距的意义;③“面积”的意义，注意有些面积有意义，如v-t图像的“面积”表示位移,有些没有意义，如x-t图像的面积无意义。
3：分不清追及问题的临界条件而出现错误。
【易错分析】分析追及问题的方法技巧。
①要抓住一个条件，两个关系.一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能否追上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点;两个关系：即时间关系和位移关系，通过画草图找两物体的位移关系是解题的突破口。
②若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。
③应用图像v-t分析往往直观明了。
4：对摩擦力的认识不够深刻导致错误。
【易错分析】摩擦力是被动力，它以其他力的存在为前提，并与物体间相对运动情况有关.它会随其他外力或者运动状态的变化而变化，所以分析时，要谨防摩擦力随着外力或者物体运动状态的变化而发生突变.要分清是静摩擦力还是滑动摩擦力，只有滑动摩擦力才可以根据来计算Fμ=μFN，而FN并不总等于物体的重力。
高考生物学霸纠错笔记：神经调节
精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！高考生物学霸纠错笔记：神经调节一、对反射弧的结构及反射活动理解不到位1．如图是某反射弧的示意图，在反射弧左侧的神经纤维细胞膜外表面连一电流表。
请据图判断下列叙述中错误的是A．b处的神经元活动可受大脑皮层控制B．刺激b点引起③发生的反应不属于反射C．分别刺激a点和b点，电流表指针均可发生偏转D．刺激a点，①②③和b点均可产生兴奋分析：混淆反射弧的概念，对反射弧的结构和对应功能不理解出现错误。
解析：据图分析，①是传入神经，a是轴突，b是传出神经元的胞体，②是传出神经，③是效应器。
脑皮层可通过脊髓中的神经纤维控制脊髓中的神经中枢，进而控制传出神经元的活动，因此b处的神经元活动可受大脑皮层控制，A正确；刺激b点能引起肌肉收缩，但没有经过完整的反射弧，不属于反射，B正确；刺激b点，兴奋不能通过突触传到电流计，因此电流表指针不能发生偏转，C错误；刺激a点，兴奋能够传至①②③和b，故①②③和b点均可产生兴奋，D正确。
答案：C1．反射弧2．反射弧各部分的特点和功能兴奋传导反射弧结构结构特点功能结构破坏对功能的影响感受器传入神经神经中枢传出神经效应器感受器感觉神经末梢的特殊结构将适宜的内外界刺激的信息转变为兴奋（神经冲动）既无感觉又无效应传入神经感觉神经元的一部分将兴奋由感受器传入神经中枢既无感觉又无效应神经中枢调节某一特定生理功能的神经元胞体群对传入的兴奋进行分析与综合既无感觉又无效应传出神经运动神经元的一部分将兴奋由神经中枢传至效应器只有感觉无效应效应器运动神经末梢和它所支配的肌肉或腺体对内外界刺激产生相应的规律性应答只有感觉无效应相互联系反射弧中任何一个环节中断，反射都不能发生，必须保证反射弧结构的完整性1．图是反射弧的模式图(a、b、c、d、e表示反射弧的组成部分，Ⅰ、Ⅱ表示突触的组成部分)，有关说法正确的是A．a是效应器，e是感受器B．刺激b，引起效应器反应属于非条件反射C．兴奋在结构c和结构b的传导速度相同D．Ⅱ处发生的信号变化是电信号→化学信号→电信号【答案】A【解析】根据以上分析可知，a是效应器，e是感受器，A正确，刺激b，引起效应器反应不属于反射，因为没有经过完整的反射弧，B错误；图中b是传出神经纤维，c是神经中枢，兴奋在经过神经中枢时需要经过突触，因此在神经纤维上和神经中枢中的传导速度不同，C错误；Ⅱ表示突触后膜，信号的变化是化学信号→电信号，D错误。
介词(短语) - 2022年高考英语备考纠错笔记
04介词（短语）2022英语备考纠错笔记纠错一介词词义的误用(1)【误】The bridge on the river, which has a history of nearly 100 years, is now in danger of falling down.【正】The bridge over the river, which has a history of nearly 100 years, is now in danger of falling down.[分析]over通常指“正对……的上方”，表示两个物体之间垂直的相对位置；on指线上或面上的接触点，仅在两个物体互相接触的情况下表示“在……上面”。
(2)【误】In those days, we had no phones, so we had to keep in touch with writing often.【正】In those days, we had no phones, so we had to keep in touch by writing often.[分析]with表示用具体的工具，此处用by表示抽象的方式。
by writing意为“通过写信”。
本题不是keep in touch with的固定搭配。
[注意]造成以上错误的原因在于对词义接近的介词的用法不清，应加强其学习。
纠错二介词搭配的误用(1)【误】You should eat more fruit and vegetables, which are rich of vitamins.【正】You should eat more fruit and vegetables, which are rich in vitamins.[分析]be rich in是固定搭配，意为“富含……”。
根据语境可知，把of改为in。
(2)【误】He got married with her last month.【正】He got married to her last month.【正】He married her last month.[分析]get married to sb＝marry sb 为固定表达，意为“与某人结婚”。