数值分析应用实例

非线性方程求根

问题：在相距100m的两座建筑物(高度相等的点)之间悬挂一根电缆，仅允许电缆在中间最多下垂1m,试计算所需电缆的长度。

设空中电缆的曲线(悬链线)方程为

y，(e2°)，x [-50,50] (1)由题设知曲线的最低点(0, y(0))与最高点(50, y(50))之间的高度差为1m，所以有

50 50

a(e a e a )

a 1

2

由上述方程解出a后,

(2)电缆长度可用下式计算:

50 : ---------

二严「加y(x)dx 二50

50

a

上50

e a dx 二a(e a -e a)

(3)

相关Matlab 命令:

50

e a )

2 a -1,a [500,1500]的图形;

2、 用fzero 命令求方程在a = 1250附近的根的近似值x ,并计算y(x )的 函数

值；

3、 编写二分法程序，用二分法求y(a) = 0在［1200,1300］内的根，误差不 超

过10"，并给出对分次数；

4、 编写Newton 迭代法程序，并求y(a)二0在［1200,1300］内的根，误差 不

超过10’，并给出迭代次数。

5、 编写Newton 割线法程序，并求y(a) = 0在［1200,1300］内的根，误差 不

超过10”，并给出迭代次数。

1、描绘函数y(a)

50

a(e a

线性方程组求解应用实例

问题：投入产出分析

国民经济各个部门之间存在相互依存的关系，每个部门在运转中将其他部门的产品或半成品（称为投入）经过加工变为自己的产品（称为产出），如何根据各部门间的投入产出关系，确定各部门的产出水平，以满足社会需求，是投入产出分析中研究的课题。考虑下面的例子：

设国民经济由农业、制造业和服务业三个部门构成，已知某年它们之间的投入产出关系、外部需求、初始投入等如表1所示（数字表示产值）。

表1国民经济三个部门间的关系单位：亿元

假定总投入等于总产出，并且每个部门的产出与它的投入成正

比，由上表可以确定三个部门的投入产出表：如表2所示

表2三个部门的投入产出表

上表中的数字称为投入系数或消耗系数，在技术水平没有明显提高的情况下，可以假定投入系数是常数。

（1）如果今年对农业、制造业和服务业的外部需求分别为50，150，100亿元，问这3个部门的总产出分别应为多少？

（2）如果三个部门的外部需求分别增加一个单位，问它们的总产出应分别增加多少？

（3）投入产出分析称为可行的，是指对于任意给定的、非负的

外部需求，都能得到非负的总产出。为了可行，投入系数应满足什么条件？

模型：设有n个部门，记一定时期内第i个部门的总产出为人，其中对第j个部门的投入为X ij，外部需求为d i，则

n

X i = \ X ij d i, i = 1,2, ,n

j壬

记投入系数为a ij，且X j勺心，i, j = 1,2/ , n，即a^是第j个部门的

单位产出所需要的第i个部门的投入。因此我们有：

n

X i =為a ij X j d i, i =1,2, ,n

用矩阵乘法描述，即

x = Ax d 二(I - A)x = d

其中X=(X i ,x 2, ,X n)T,d=(d i ,d 2, ,d n)T,A=(a j)nn。对于给定的投

入系数a ij及各部门的外部需求d，求出上述方程组的解，就可以得到各部门的总产出。