含绝对值不等式的解法50934
含有绝对值的不等式 第二课时 绝 对值不等式的解法【公开课教学PPT课件】
的解集是{ x | x a 或 x a }，它的几何意义就是数轴上到原点的
距离大于 a 的点的集合是两个开区间 (,a),(a,) 的并集。同 样，如果给定的不等式符合这种类型，就可以直接利用它的结果 来解。
3、 ax b c 和 ax b c 型不等式的解法。
变式：（1）解不等式 3 2x 5 . (2) 解不等式 2x2 7 x 6 0 .
三、典例分析
例 2. 解不等式 x 1 x 2 5 .
变式：解不等式 x 1 2x 3 1 .
三、典例分析
例 3 已知不等式 x 2 - x 3 m ，
（1）若不等式有解； （2）若不等式解集为 R；
2、含有绝对值的不等式有两种基本的类型。
第一种类型：设 a 为正数。根据绝对值的意义，不等式 x a 的 解集是{x | a x a} ，它的几何意义就是数轴上到原点的距
离小于 a 的点的集合是开区间（－a，a）。如果给定的不等式符 合上述形式，就可以直接利用它的结果来解。
二、合作探究
五、课堂小结：
1.绝对值不等式的解法：分域讨论法、数形结 合法
六、课后作业：
课本第 9 页 A 组 5、B 组 1、2、3
四、当堂检测
3、解关于 x 的不等式|2x－1|＜2m－1(m∈R)
4、已知函数 f (x) 2x 1 2x a , g(x) x 3
（1）当a 2时，求不等式f (x) g(x)的解集;
（2）设a
1时，且当x
a 2
,
1 2
时，f
(x)
含绝对值不等式的解法课件
|ax+ b|> c
绝对值大于一个常数。
|ax+ b|> |cx+ d|
绝对值不等式中含有两个绝对值，并且这两个 绝对值之间有大于符号。
一元绝对值不等式的解法
绝对值不等式化为二元一次方程
如|5-2x|≥4，可以分别将其转化为2x-5≥4、2x-5≤-4两 个二元一次方程。
绝对值不等式的两类讨论
根据|x|≥0和|x|<0的两个情况进行不等式解法讨论。
含有二元绝对值的不等式的解法
1
确定x 满足的区间范围
通过讨论不等式中绝对值的取值范围，可以确定x的取值区间。
2
化为二元不等式
将具体取值代入原不等式，消去绝对值符号，化为二元一次不等式。
绝对值不等式的应用举例
生活中的例子
含绝对值不等式的解法
在这个PPT课件中，我们将探讨绝对值不等式的基础知识、求解步骤、常见类 型、一元和二元绝对值不等式的解法、以及绝对值不等式的应用举例。
绝对值不等式的定义
绝对值不等式是指一个数的绝对值与另一个数的值之间的大小关系关系式。
绝对值定义
绝对值表示一个数与0的距离。
不等式定义
不等式是指两个数之间的大小关系。
求解绝对值不等式的基本步骤
1
消去绝对值符号
分两种情况进行讨论：当|x|≥0时，|x|=x；当|x|<0时，|x|=-x。
2
将不等式化为二元一次不等式
针对不同的类型选择相应的求解方法。
3
解决不等式
通过移项法，得出x的取值范围。
绝对值不等式的常见类型
|ax+ b|< c
含绝对值不等式的解法(含答案)(可编辑修改word版)
⎨ ⎩ 含绝对值的不等式的解法一、 基本解法与思想解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。
（一）、公式法：即利用 x > a 与 x < a 的解集求解。
主要知识：1、绝对值的几何意义： x 是指数轴上点 x 到原点的距离； x 1 - x 2 两点间的距离.。
2、 x > a 与 x < a 型的不等式的解法。
是指数轴上 x 1 ， x 2 当a > 0 时，不等式 x > 的解集是{x x > a ,或x < -a}不等式 x < a 的解集是{x - a < x < a };当a < 0 时，不等式 x > a 的解集是{x x ∈ R }不等式 x < a 的解集是∅ ;3． ax + b > c 与 ax + b < c 型的不等式的解法。
把 ax + b 看作一个整体时，可化为 x < a 与 x > a 型的不等式来求解。
当c > 0 时，不等式 ax + b > c 的解集是{x ax + b > c ,或ax + b < -c}不等式 ax + b < c 的解集是{x - c < ax + b < c };当c < 0 时，不等式 ax + b > c 的解集是{x x ∈ R }不等式 a + bx < c 的解集是∅ ;例 1 解不等式 x - 2 < 3分析:这类题可直接利用上面的公式求解，这种解法还运用了整体思想，如把“ x - 2 ” 看着一个整体。
答案为{x - 1 < x < 5}。
(解略)⎧a (a > 0), （二）、定义法:即利用 a = ⎪0(a = 0), ⎪-a (a < 0). 去掉绝对值再解。
含绝对值的不等式解法PPT教学课件
• 不等式解集含义； • 会在数轴上表示解集； • 不等式性质及其利用； • 绝对值的定义，含有绝对值的不等式的解法，
当a>0时，
| x | a a x a; | x | a x a或x a.
二、定理：
| a | | b || a b || a | | b |
证明： | a | a | a |
例4.已知|a|＜1，|b|＜1，求证:
证明：a b 1 ab
1
ab 1 ab
2
1
a b 1. 1 ab
a2 2ab b2 1 2ab a2b2
1 a2 b2 a2b2 0
1 a2 1 b2 0.
由 a 1, b 1,可得 1 a 2 1 b2 0成立，所以
在设置情境上绞尽脑汁的原因。从教育现象学视角审视“情境教学”“情境学习”与“情境教育”，或许会更深入。
ab 1 ab
1.
注 这道题的证明过程中，用了
这一结论．
定理：| a | | b || a b || a | | b |
四. 练习：
2．求证：
(1)|(A＋B)－(
五、课时小结
1. 含绝对值不等式解法关键是去掉绝对 值符号；
2. 注意在解决问题过程中不等式的几何 意义；
如果我们能够从现象学的视角去思考与把握，那么任何一个平常的经验就可以转化为教学资源。试想，学生有了亲身经验，而且是当下或者最近的经验，他们会无话可说、无文可写吗？马克 斯·范梅南说：“从某种意义上说，所有现象学都是指向实践的——生活的实践。”②我以为，这个论断对杜威的“教育即生活”做了很好的诠释，同时也为我们正确地理解情境与教学提供了一种思
＝|x|＋2|y|＋3|z|．
带有绝对值的不等式解法
带有绝对值的不等式解法
带有绝对值的不等式通常需要根据绝对值的性质进行分类讨论，然后根据不同情况分别解出不等式。
以下是带有绝对值的不等式的一般解法步骤：
1. 首先，需要确定绝对值内的表达式的符号。
2. 根据表达式的符号，将不等式分成两种情况进行讨论。
3. 对于每种情况，将绝对值符号去掉，并解出不等式。
4. 最后，将两种情况下的解集合并起来，得到最终的解集。
以下是一些常见的带有绝对值的不等式的解法示例：
1. 绝对值不等式：|x|<a（其中a为正数）
当x\ge0时，|x|=x，则原不等式可化为x<a。
当x<0时，|x|=-x，则原不等式可化为-x<a，即x>-a。
因此，不等式的解集为-a<x<a。
2. 绝对值不等式：|x|>a（其中a为正数）
当x\ge0时，|x|=x，则原不等式可化为x>a。
当x<0时，|x|=-x，则原不等式可化为-x>a，即x<-a。
因此，不等式的解集为x<-a或x>a。
3. 绝对值不等式：|x-a|<b（其中a、b为常数）
当x\ge a时，|x-a|=x-a，则原不等式可化为x-a<b，即x<a+b。
当x<a时，|x-a|=a-x，则原不等式可化为a-x<b，即x>a-b。
因此，不等式的解集为a-b<x<a+b。
需要注意的是，对于带有绝对值的不等式，解集可能包含零值，也可能不包含零值，具体情况需要根据不等式的具体形式进行讨论。
1。
含绝对值不等式的解法
4.重要绝对值不等式 ||a|-|b||≤|ab|≤|a|+|b|. 使用时(特别是求最值)要注意等号成立的条件, 即: |a+b|=|a|+|b|ab≥0; |a-b|=|a|+|b|ab≤0; |a|-|b|=|a+b|b(a+b)≤0; |a|-|b|=|a-b|b(a-b)≥0. 注: |a|-|b|=|a+b||a|=|a+b|+|b| |(a+b)-b|=|a+b|+|b| b(a+b)≤0. 同理可得 |a|-|b|=|a-b|b(a-b)≥0.
典型例题 2 解不等式 ||x+3|-|x-3||>3.
解法一 零点分区间讨论 原不等式等价于: x<-3, -3≤x≤3, x>3, |-x-3+x-3|>3, 或 |x+3+x-3|>3, 或 |x+3-x+3|>3. 3 <x≤3 或 x>3. 即 x<-3 或 -3≤x<- 3 或 2 2 3 3 ∴x<- 2 或 x> 2 . 3 3 ∴原不等式的解集为 (-∞, - 2 )∪( 2 , +∞). 解法二 两边平方 原不等式等价于 (|x+3|-|x-3|)2>9. 即 2x2+9>2|x2-9|( 2x2+9)2>(2|x2-9|)2. 3 3 2 即 4x -9>0. ∴x<- 2 或 x> 2 . 3 3 ∴原不等式的解集为 (-∞, - 2 )∪( 2 , +∞).
备选题 4 已知函数 f(x)=x3+ax+b 定义在区间 [-1, 1] 上, 且 f(0)=f(1), 又 P(x1, y1), Q(x2, y2) 是其图象上任意两点(x1x2). (1)设直线 PQ 的斜率为k, 求证: |k|<2; (2)若 0≤x1<x2≤1, 求证: |y1-y2|<1. 解: (1)∵f(0)=f(1), ∴b=1+a+b. ∴a=-1. ∴f(x)=x3-x+b. y 2- y 1 1 则 k= x -x = x -x [(x23-x2+b)-(x13-x1+b)] 2 1 2 1 1 = x -x [(x23-x13)-(x2-x1)] =x22+x1x2+x12-1. 2 1 ∵x1, x2[-1, 1] 且 x1x2, ∴0<x22+x1x2+x12<3. ∴-1<x22+x1x2+x12-1<2. ∴|x22+x1x2+x12-1|<2. 即 |k|<2. (2)∵0≤x1<x2≤1, ∴由(1)知 |y2-y1|<2|x2-x1|=2(x2-x1). ① 又 |y2-y1|=|f(x1)-f(x2)|=|f(x1)-f(0)+f(1)-f(x2)| ≤|f(x1)-f(0)|+|f(1)-f(x2)|<2|x1-0|+2|1-x2|=2(x1-x2)+2
含绝对值的不等式解法
好的，以下是含绝对值的不等式解法知识点的教案：含绝对值的不等式解法知识点绝对值的定义绝对值不等式的基本形式绝对值不等式的解法绝对值的定义绝对值是一个数到0的距离，用符号||表示，其中是一个实数。
如果是正数，则||=；如果是负数，则||=−绝对值不等式的基本形式绝对值不等式的基本形式为：$|x|<a$其中是一个正实数绝对值不等式的解法1.||<的解当是正数时，||=，因此<当是负数时，||=−，因此−<，即>−综上所述，||<的解为−<<2.||>的解当是正数时，||=，因此>或<−当是负数时，||=−，因此−>，即<−或>综上所述，||>的解为<−或>3.||≤的解当是正数时，||=，因此≤当是负数时，||=−，因此−≤，即≥−综上所述，||≤的解为−≤≤4.||≥的解当是正数时，||=，因此≥或≤−当是负数时，||=−，因此−≥，即≤−或≥综上所述，||≥的解为≤−或≥例题和解答解不等式|−2|<3解答：根据绝对值不等式的基本形式，得到：$|x-2|<3$根据绝对值不等式的解法，得到：$-3<x-2<3$移项得到：$-1<x<5$因此，不等式|−2|<3的解为−1<<5解不等式|+1|>2解答：根据绝对值不等式的基本形式，得到：$|x+1|>2$根据绝对值不等式的解法，得到：$x+1>2\text{或}x+1<-2$移项得到：$x>1\text{或}x<-3$因此，不等式|+1|>2的解为>1或<−3解不等式|2−1|≤3解答：根据绝对值不等式的基本形式，得到：$|2x-1|\leq3$根据绝对值不等式的解法，得到：$-3\leq2x-1\leq3$移项得到：$-2\leq2x\leq4$因此，不等式|2−1|≤3的解为−1≤≤2总结：含绝对值的不等式是高中数学中的重要知识点。
含绝对值的不等式解法
含绝对值的不等式解法
一、定义
绝对值不等式是一种广义不等式，它由一个带有绝对值符号的线性表达式组成，其中
左右两边都有一个绝对值函数，比较两边绝对值之间的大小，可以把它归类到不等式中。
绝对值不等式可以简化计算结果，使计算更简单、更清晰，是一个非常有用的工具。
二、解法
正解法是一种解决含绝对值不等式的最常用的方法，它的解法可以分为以下几步：
A、将整个不等式中的绝对值符号变成两个端口，并把它们的表示值记录下来，即
|x|=a。
B、将绝对值不等式变形，对其中的变量进行简化处理，例如：x+2～x-2，可以简写成：x～-2。
C、把原绝对值不等式分成两个不等式，一个为x>-2，另一个为x<2，将这两个不等
式分别求解，比较两个解集，得出整个问题的解集。
2、交叉解法
三、小结
从前面的介绍，我们可以知道，含绝对值的不等式的解法有两种：正解法和交叉解法，它们都是一种比较常用的方法。
这两种方法都是非常有效的，但是正解法更加直接，它可
以把原先复杂的绝对值不等式简化，使问题变得更清晰可控。
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【思路点拨】 仿照|x|>a，|x|<a的解集形式． 【解】 (1)原不等式等价为 －7<2x＋5<7. ∴－12<2x<2， ∴－6<x<1， ∴原不等式解集为{x|－6<x<1}． (2)由不等式|2x＋5|>7＋x， 可得2x＋5>7＋x或2x＋5<－(7＋x)， ∴x>2或x<－4. ∴原不等式解集为{x|x>2或x<－4}．
21
【思路点拨】 对(1)来说，a<f(x)对x∈R恒 成立等价于a<f(x)的最小值，求f(x)的Байду номын сангаас小值， 只需使用含绝对值的重要不等式|x－3|＋|x＋ 2|≥|(x－3)－(x＋2)|＝5，求出|x－3|＋|x＋2| 的最小值，则问题获解． 对(2)(3)来说，问题的关键是如何转化，是 求函数f(x)＝|x－3|＋|x＋2|的最大值还是最 小值．
学习目标 1.根据不等式的性质，利用绝对值不等式的 几何意义求解单向或双向的绝对质不等式； 2．在进行含有参数的不等式的求解问题时， 要学会分类讨论. 3.掌握常见不等式|x－c|＋|x－b|≥a的解 法．并会运用分段讨论法、图象法和几何法 来求解．
1
1 ． 若 a>0 ， 且 |x|>a ， 则 _x_>_a_或__x_<_－__a__ ； 若 a>0，且|x|<a，则__－__a_<_x_<_a____. 2．|ax＋b|>c(c>0)型不等式的解法： (1)换元法：令t＝ax＋b，则|t|>c，故 __t>_c_或__t_<_－__c__ ，即_a_x_＋__b_>_c_或_a_x_＋__b_<__－__c， 然后再求x，得原不等式的解集．
20
例6 (1)对形任如意|xx＋∈mR|，±若|x＋|x－n|<3(|＋或|>x)＋a 2|>a恒 成立，求实恒数成a立的的取问值题范围． (2)关于x的不等式a>|x－3|＋|x＋2|的解集非 空，求实数a的取值范围． (3)关于x的不等式a>|x－3|＋|x＋2|在R上无 解，求实数a的取值范围．
10
【解】 ∵A＝{x||2－x|<5}＝{x||x－2|<5}＝ {x|－5<x－2<5}＝{x|－3<x<7}； B＝{x||x＋a|≥3}＝{x|x＋a≥3，或x＋a≤－ 3}＝{x|x≥3－a，或x≤－a－3}， 又A∪B＝R，借助数轴如图所示．
11
a 应满足－ 3－a－a≤3≥7. －3， ∴－4≤a≤0. ∴a 的取值范围是{a|－4≤a≤0}． 【名师点评】 解此类题，常借助数轴考虑， 把不变的集合固定好，让含参数的集合移动， 使它满足已知条件即可．
12
例4
形如|x＋m|±|x＋n|<(或>)a
的不等式的求解
解不等式|x－1|＋|x－2|>2. 【思路点拨】 可用零点分段讨论，可用图 象法，也可用绝对值几何意义求解．
13
其图象如图．
14
∴原不等式的解集为{x|x<12或 x>52}． 【名师点评】 法一关键是找零点，法二关 键是正确作出图象．
5
变式训练1 解不等式|2x－1|<2－3x. 解：原不等式等价为 3x－2<2x－1<2－3x， 即22xx－ －11<>23－x－3x2， ， 得5xx<<1， 3，
原不等式解集为{x|x<35}．
6
考点二 双向的绝对值不等式 例2 解不等式1<|2－x|≤7. 【思路点拨】 利用|x|>a与|x|<a的解法来转 化该不等式．
7
法二：原不等式可转化为 －7≤2－x<－1或1<2－x≤7， ∴3<x≤9或－5≤x<1， ∴原不等式解集为{x|－5≤x<1或3<x≤9}． 【名师点评】 本例题是不等式的一种常见 题，第二种解法要比第一种解法更为简 单．也可根据绝对值的意义解题．
8
变式训练2 解不等式1<|x－2|≤3.
解：原不等式等价于不等式组
22
【解】 (1)∵f(x)＝|x－3|＋|x＋2|≥|(x－3) －(x＋2)|＝5， 即f(x)min＝5，∴a<5. (2)问 题 可 转化 为 a>f(x)的 某些 值 ，由 题 意 a>f(x)min，同上得a>5. (3)问题可转化为对一切x∈R恒有 a≤f(x)⇔a≤f(x)min，可知a≤5.
15
变式训练1 解不等式：|x＋2|－|x－1|<2x.
解：原不等式可化为：
x>1 x＋2－x－1<2x －2≤x≤1 x＋2＋x－1<2x
①或 ②
或x－<－x＋2 2＋x－1<2x ③.
16
例5 解不形等如式|x|x＋－m1||±＋||x2＋－nx||<>(3或＋>x).x 【解】 原＋不p的等不式等变式为的|x解－法1|＋|x－2|>3＋x， 当x≥2时，原不等式变为x－1＋x－2>3＋x， 即x>6，∴x>6； 当1≤x<2时，原不等式变为x－1－(x－2)>3 ＋x， 即x<－2， ∴x∈∅；
|x－2|>1， |x－2|≤3
，
即x－<11≤或xx≤>35，，
解得－1≤x<1 或 3<x≤5，
所以原不等式的解集为{x|－1≤x<1 或
3<x≤5}．
9
考点三 含参数的绝对值不等式 例3 已知集合A＝{x||2－x|<5}，B＝{x||x＋ a|≥3}，且A∪B＝R，求a的取值范围． 【思路点拨】 化简两个集合，求出解集形 式，通过两解集区间端点的关系求a.
17
当x<1时，原不等式变为－(x－1)－(x－2)>3 ＋x，即x<0，∴x<0. 综上可知，原不等式解集为{x|x<0或x>6}． 【名师点评】 以上例题用的解法叫零点分 段讨论法，含绝对值两个或两个以上的不等 式常用此法．首先找到使每个绝对值等于零 的点，然后分段讨论，再求各段结果的并 集．一般地，n个零点把数轴分成n＋1段．
2
3．解|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c型 不等式，除分段讨论法外，还可用 函__数__法__或__几__何__意__义__ (课本上叫做图象法、几 何法)．
3
考点一 单向的绝对值不等式
例1 解下列不等式． (1)|2x＋5|<7. (2)|2x＋5|>7＋x. (3)|x2－3x＋1|<5.
18
变式训练2 解不等式：|x－1|＋|3x＋5|≤4x ＋4.
解：当 x<－53时，有－x＋1－3x－5≤4x ＋4， ∴8x≥－8.∴x≥－1， 此时无解． 当－53≤x<1 时，有 －x＋1＋3x＋5≤4x＋4， ∴2x≥2.∴x≥1，
此时无解．
19
当x≥1时，有 x－1＋3x＋5≤4x＋4. ∴4≤4成立， ∴原不等式解集为{x|x≥1}．