2020-2021学年江苏省扬州市高二上学期期中考试数学试题 PDF版
江苏省扬州市宝应中学2020-2021学年第一学期高二年级期中考试数学试题及答案
=
m+ m
5
=
1+
5 m
，e
∈
6, 2
2
所以 3 < 1+ 5 < 2 ， 2m
解得 5 < m < 10 ，
所以实数 m 的取值范围是 (5,10) ． ----12 分
19．解：（1）由不等式 f ( x) < 0 的解集是 (2,3) 知，
−b = 2 + 3 b = −5 2 和 3 是方程 x2 + bx + c = 0 的两个根.由根与系数的关系，得 c = 2× 3 ，即 c = 6 .
所以 f ( x) = x2 − 5x + 6 .
----6 分
（2）不等式 f ( x) − t2 + t ≤ 0 对于任意 x ∈[−3,3] 恒成立，
6
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即 f ( x) ≤ t2 − t 对于任意 x ∈[−3,3] 恒成立.
由于 f ( x) = x2 − 5x + 6 的对称轴是 x = 5 ，
轴上方)两点，若 PF = λ FQ ，则实数 λ 的值为_______
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知 m ∈ R ，命题 p : ∀x ∈[0,1] ， m ≥ 2x − 2 ，命题 q : ∃x ∈[−1,1] ， m ≤ x ．
（1）若 p 为真命题，求实数 m 的取值范围；
（）
A．38
B．35
C．32
D．29
uuur
5．如图,在四面体 OABC 中, D 是 BC 的中点, G 是 AD 的中点,则 OG 等于（ ）
江苏省扬州市邗江区2020-2021学年高二上学期期中数学试卷及解析
江苏省扬州市邗江区2020-2021学年高二上学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知等差数列n a 中， 26a =， 515a =，若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等于（ ） A. 30 B. 45 C. 90 D. 1862.下列函数的最小值为2的是（ ） A.1y x x=+ B.1sin (0)sin 2y x x x π=+<<C.y =D.1tan (0)tan 2y x x x π=+<< 3.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（ ） A.174B.184C.188D.1604.在数列{ a n }中，已知a 1=2，a n =2a n−1a n−1+2，(n ≥2)，则a n 等于( )A.2n+1 B. 2n C. 3n D. 3n+11.B 【解析】1.将数列的等式关系两边取倒数1a n −1a n−1=12,{1a n }是公差为12的等差数列，再根据等差数列求和公式得到数列通项1a n=12+(n −1)×12=n2，再取倒数即可得到数列{a n }的通项. 将等式a n=2a n−1a n−1+2两边取倒数得到1a n=1a n−1+12，1a n−1a n−1=12,{1a n}是公差为12的等差数列，1a 1=12，根据等差数列的通项公式的求法得到1a n=12+(n −1)×12=n 2，故a n =2n. 故答案为：B. 【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法，数列通项的求法中有常见的已知S n 和a n 的关系，求a n 表达式，一般是写出S n−1做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；还有构造新数列的方法，取倒数，取对数的方法等等.【题型】单选题 【结束】 95.在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x(单位m)的取值范围是 （ ）(A) [15,20] (B) [12,25](C) [10,30] (D) [20,30]6.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，且21n n S a =-+，则6S 的值为（ ） A.665729B.486665C.665243D.6597.已知x ∈R ，条件2:p x x <，条件1:q a x≥，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值不可能是（ ） A.12B.1C.2D.2-8.已知a b c d ,,,均为实数，则下列命题正确的是（ ） A.若,a b c d >>，则ac bd > B.若0,0ab bc ad >->，则0c da b-> C.若,a b c d >>，则a d b c +>+D.若,0a b c d >>>，则a b d c> 9.设{}n a 是等差数列.下列结论中正确的是（ ）A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则2a >．若10a <，则()()21230a a a a -->10.下列命题中，既是存在性命题又是真命题的有（ ）A.至少有一个实数x ，使x 3+1=0B.所有正方形都是矩形C.,x R ∃∈使2104x x -+≤ D.,x R ∃∈使2220x x ++=第II 卷（非选择题）二、填空题11.命题 “2,(1)0x R x ∀∈->”的否定是_____.12.已知正数,x y 满足22x y +=，则1121x y ++的最小值为________． 13.对任意[]0,2x ∈不等式()2230x a ax a-++≤恒成立，则实数a 的取值范围是______.14.已知数列{}n a 的前n 项和为12,1,2n S a a ==且()*21320,n n n n S S S a n N ++-++=∈，记()*12111,n nT n N S S S =+++∈，若()6n n T λ+≥对*n N ∈恒成立，则λ的最小值为三、解答题15.命题：实数满足22430x ax a -+<（其中0a >）,命题q ：实数x 满足12302x x x ⎧-≤⎪⎨+≥⎪-⎩. (1)若1a =,且命题p q 、均为真命题,求实数x 的取值范围； (2)若q 是p 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围. 16.已知函数()221f x x ax a =--+，a R ∈.（1）若2a =，试求函数()f x y x=（0x >）的最小值；（2）不等式()2f x >-对于任意[]0,2x ∈恒成立，试求a 的取值范围.17.在①325256a a a b =+=，；②234323b a a b =+=，；③345298S a a b =+=，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的公差为()1d d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，且11a b d q ==，，____________．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式． （2）记nn na cb =，求数列{}n c ，的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18.已知函数()1axf x x =-，a R ∈. （1）若关于x 的不等式()2f x x >-在()1,+∞有解，求a 的取值范围； （2）解关于x 的不等式()1f x ≥.19.某房地产开发公司计划在一小区内建造一个矩形口袋公园ABCD ，公园由三个相同的矩形休闲区(如图空白部分所示) 和公园人行道组成（如图阴影部分所示）.已知口袋公园ABCD 占地面积为900平方米，人行道的宽均为2米.（1）若设口袋公园ABCD 的长AB x =米；试求休闲区所占地总面积S 关于x 的函数()S x 的解析式；（2）要使休闲区占地总面积最大，则口袋公园ABCD 的长和宽如何设计？ 20.已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和()12n n n a a S +=，*n ∈N . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设22log 1n n n a b a +=+；若称使数列{}n b 的前n 项和为整数的正整数n 为“优化数”，试求区间()0,2020内所有“优化数”的和S .四、新添加的题型21.如图是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，图象过点()30A -,，且对称轴为1x =-，则以下选项中正确的为（ ）A.24b ac >B.21a b -=C.0a b c -+=D.5a b <22.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则下列说法正确的是（ ） A.此数列的第20项是200B.此数列的第19项是182C.此数列偶数项的通项公式为222n a n = D.此数列的前n 项和为(1)n S n n =⋅-23.已知等差数列{}n a 的首项为1，公差4d =，前n 项和为n S ，则下列结论成立的有( )A.数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为100B.若1,a 3,a m a 成等比数列，则21m =C.若111625ni i i a a =+>∑，则n 的最小值为6 D.若210m n a a a a +=+，则116m n+的最小值为2512参考答案2.C【解析】2.由2115163{{4153a a d a a a d d =+==⇒=+==， ()3313n a n n ∴=+-=， 26n nb a n ==，所以56305902S +=⨯=。
2020-2021学年江苏省扬州市邗江区高二上学期期中数学试卷(含解析)
2020-2021学年江苏省扬州市邗江区高二上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 在等差数列{a n }中，若a 3+a 6+a 9=90，则S 11等于( )A. 270B. 300C. 330D. 360 2. 已知实数x ，y 满足约束条件{x +y ≥1x −y ≥−12x −y ≤2，若函数z =ax +by(a >0,b >0)的最大值为1，则1a +1b 的最小值为( )A. 7+4√3B. 7+2√3C. 8√3D. 4√3 3. 数列{a n }满足a 1=−3，a n+1=−a n +1a n −1，其前n 项积为T n ，则T 2014=( )A. 32B. −16C. 23D. −6 4. 已知log a x >log a y(0<a <1)，则下列不等式恒成立的是 ( )A. y 2<x 2B. tan x <tan yC. 1y <1xD. √y <√x 5. 设数列{a n }满足a 1=0，a n +a n+1=2，则a 2014的值为( )A. 2B. 1C. 0D. −2 6. 设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab =0”是“复数 a+b i 为纯虚数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 7. 若不等式5−x >7|x +1|和不等式ax 2+bx −2>0的解集相同，则a 、b 的值分别是( )A. a =−8，b =−10B. a =−1，b =9C. a =−4，b =−9D. a =−1，b =2 8. 若等差数列{a n }的前5项和S 5=25，则a 3等于( )A. 3B. 4C. 5D. 6二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 已知定义在R 上的函数f(x)的图象连续不断，若存在常数λ(λ∈R)，使得f(x +λ)+λf(x)=0对任意的实数x 恒成立，则称f(x)是回旋函数.给出下列四个命题中，正确的命题是( )A. 函数f(x)=a(其中a 为常数)为回旋函数的充要条件是λ=−1B. 若函数f(x)=a x (a >1)为回旋函数，则λ>1C. 函数f(x)=cosπx 不是回旋函数D. 若f(x)是λ=2的回旋函数，则f(x)在[0,2020]上至少有1010个零点10. 若函数f(x −2)=2x 2−9x +13，则使函数f(x)是单调减函数的区间是( )A. (−∞,1]B. [14,+∞)C. (−∞,0]D. (−∞,14] 11. 黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工.在一个黄金矩形(宽长比约等于0.618)里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”.达⋅芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线.现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N ∗)，数列{a n }满足a 1=a 2=1，a n =a n−1+a n−2(n ≥3).再将扇形面积设为b n (n ∈N ∗)，则( )A. 4(b 2020−b 2019)=πa 2018⋅a 2021B. a 1+a 2+a 3+⋯+a 2019=a 2021−1C. a 12+a 22+a 32…+(a 2020)2=2a 2019⋅a 2021D. a 2019⋅a 2021−(a 2020)2+a 2018⋅a 2020−(a 2019)2=012. 下列说法中正确的是( )A. 数列{a n }成等差数列的充要条件是对于任意的正整数n ，都有2a n+1=a n +a n+2B. 数列{a n }成等比数列的充要条件是对于任意的正整数n ，都有a n+12=a n a n+2C. 若数列{a n }是等差数列，则S n ，S 2n −S n ，S 3n −S 2n 也是等差数列D. 若数列{a n }是等比数列，则S n ，S 2n −S n ，S 3n −S 2n 也是等比数列三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 命题“若a ⋅b 不为零，则a ，b 都不为零”的否命题是______．14. 在括号里填上和为1的两个正数，使的值最小，则这两个正数的积等于 ．15. 函数y =√−x 2+2x 的单调递减区间为______．16. 设f(x)=x(12)x +1x+1，0为坐标原点，A n 是函数图象上横坐标为n(n ∈N ∗)的点，向量OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，和i =(6,0)的夹角为θn ，则满足tanθ1+tanθ2+tanθ3+⋯+tanθn <53的最大正整数是______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）>0}．17.已知集合A={x|y=ln(x−2+a)}(a∈R)，B={x|x−3x+2(1)当a=1时，求A∩(∁R B)；(2)若x∈A是x∈B的充分条件，求实数a的取值范围．18.已知函数f(x)=ax2+1是奇函数，且f(1)=3，f(2)=5，求a，b，c的值．bx+c=a4，a3=−2a4．19.已知在等比数列{a n}中，a2+38(1)求{a n}的通项公式；(2)若b n=(n+1)|a n|，求数列{b n}的前n项和S n．<0，k≠0．20.已知关于x的不等式2kx2+kx−38(1)若k=1，求不等式的解集；8(2)若不等式的解集为R，求k的取值范围．⏜，其中C为半圆弧中点，渠21.如图是一段半圆柱形水渠的直观图，其横断面是所示的半圆弧ACB宽AB为2米．(1)当渠中水深CD为0.4米时(D为水面中点)，求水面的宽；(2)若把这条水渠改挖(不准填上)成横断面为等腰梯形的水渠，使渠的底面与水平地面平行，则改挖后的水渠底宽为多少米时(精确到0.01米)，所挖的土最少？22.定义运算“⊕”：对于任意x、y∈R，x⊕y=(1−b)x+by(b∈R+)(等式的右边是通常的加减乘运算)．若数列{a n}的前n项和为S n，且S n⊕a n=3n对任意n∈N∗都成立．(1)求a1的值，并推导出用a n−1表示a n的解析式；(n∈N∗)，证明数列{b n}是等差数列；(2)若b=3，令b n=a n3n(n∈N∗)，数列{c n}满足|c n|≤2(n∈N∗)，求正实数b的取值范围．(3)若b≠3，令c n=a n3n【答案与解析】1.答案：C解析：解：∵等差数列{a n }，∴a 3+a 9=2a 6，又a 3+a 6+a 9=90，∴a 6=30，又a 1+a 11=2a 6，则S 11=112(a 1+a 11=)=11a 6=330．故选：C ．由数列{a n }为等差数列，把已知等式左边的第一项和第三项结合，利用等差数列的性质化简，得到关于a 6的方程，求出方程的解得到a 6的值，然后利用等差数列的求和公式表示出S 11，并利用等差数列的性质化简后，将a 6的值代入即可求出值．此题考查了等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键． 2.答案：A解析：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题．要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值．由已知利用线性规划可得3a +4b =1，而1a +1b =(3a +4b)(1a +1b )展开后利用基本不等式即可求解． 解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，由直线ax +by =z(a >0,b >0)可得y =−a b x +z b ，则z b 表示直线在y 轴截距，截距越大z 越大， 由a >0，b >0，可得−a b <0，∴直线ax +by =z 过点B 时，目标函数有最大值，由{2x −y =2x −y =−1可得B(3,4)， 此时目标函数z =ax +by(a >0,b >0)取得最大值1，即3a +4b =1，而 1a +1b =(1a +1b )(3a +4b)=7+4b a +3a b ≥7+4√3，。
2020-2021学年江苏省扬州市仪征中学、江都中学高二(上)期中数学试卷(解析版)
2020-2021学年江苏省扬州市仪征中学、江都中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．（5分）已知a＞b，a+b＝0，则下列选项必定正确的是（）A．a＞0B．a≤0C．b＝0D．b＞02．（5分）在数列{a n}中，a1＝1，a n＝2+（n≥2），则a3＝（）A．0B．C．D．33．（5分）已知命题，则￢p是（）A．B．C．D．4．（5分）已知等比数列{a n}满足a1＝3，a1+a3+a5＝21，则a3+a5+a7＝（）A．21B．42C．63D．845．（5分）若不等式2kx2+kx﹣＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为（）A．（﹣3，0 ）B．[﹣3，0 ）C．[﹣3，0]D．（﹣3，0] 6．（5分）设命题，命题q：（x﹣1）（x+2）≥0，则命题p是命题q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）一百个高矮互不相同的士兵，排成一个十行十列的方阵．现在从每行中选出一个最高的，再从这些最高的中选出一个最矮的，其高度记为h（高中矮）；然后从每列中选出一个最矮的，再从这个最矮的中间选出一个最高的，其高度记为h（矮中高），则（）A．h（高中矮）＞h（矮中高）B．h（高中矮）≥h（矮中高）C．h（高中矮）＜h（矮中高）D．h（高中矮）≤h（矮中高）8．（5分）已知A、B为椭圆的左、右顶点，C（0，b），直线l：x ＝2a与x轴交于点D，与直线AC交于点P，且BP平分∠APD，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、多项选择题（共4小题）.9．（5分）已知曲线C：mx2+ny2＝1．（）A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为C．若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±xD．若m＝0，n＞0，则C是两条直线10．（5分）下列不等式成立的是（）A．若a＜b＜0，则a2＞b2B．若ab＝4，则a+b≥4C．若a＞b，则ac2＞bc2D．若a＞b＞0，m＞0，则11．（5分）设{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论正确的是（）A．d＜0B．a7＝0C．S9＞S5D．S6与S7均为S n的最大值12．（5分）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2+y2＝1+|xy|就是其中之一，给出下列四个结论，其中正确的选项是（）A．曲线C关于坐标原点对称B．曲线C上任意一点到原点的距离的最小值为1C．曲线C上任意一点到原点的距离的最大值为D．曲线C所围成的区域的面积大于4三、填空题（共4小题）.13．（5分）若抛物线的准线方程为y＝2，则该抛物线的标准方程是．14．（5分）设双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为．15．（5分）在等差数列{a n}中，满足a n＞0，且a4＝5，则+的最小值为．16．（5分）一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数．设这个整数为a，当a∈[1，2020]时，符合条件的a共有个．四、解答题（本大题共6小题，计70分．应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知p：A＝{x|x2﹣4x+3≤0}，q：B＝{x|（x﹣a）（x﹣a2﹣1）≤0}（1）若a＝﹣1，求集合B；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．（12分）在①S n＝n2+n，②a3+a5＝16，S3+S5＝42，③＝，S7＝56这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．设等差数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}为等比数列，____，b1＝a1，b2＝．求数列{+b n}的前n项和T n．19．（12分）设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P（a，b）满足|PF2|＝|F1F2|．（1）求椭圆的离心率e；（2）设直线PF2与椭圆相交于A、B两点，若椭圆的长轴长为，求△ABF1的面积．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝0，S n＝a n+1﹣n，n∈N*．（1）求证：数列{a n+1}是等比数列；（2）设数列{b n}的前n项和为T n，已知，若不等式对于n∈N*恒成立，求实数m的最大值．21．（12分）已知O为坐标原点，椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，双曲线＝1的渐近线与椭圆C的交点到原点的距离均为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若点D，M，N为椭圆C上的动点，M，O，N三点共线，直线DM，DN的斜率分别为k1，k2．（i）证明：k1k2＝﹣；（ii）若k1+k2＝0，设直线DM过点（0，m），直线DN过点（0，n），证明：m2+n2为定值．22．（12分）某商家销售某种商品，已知该商品进货单价由两部分构成：一部分为每件产品的进货固定价为3百元，另一部分为进货浮动价，据市场调查，该产品的销售单价与日销售量的关系如表所示：45678销售单价x（单位：百元）110100908070日销售量y（单位：件）该产品的进货浮动价与日销售量关系如表所示：120100906045日销售量y（单位：件）0.750.91 1.52进货浮动价d（单位：百元）（1）分别建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映该商品日销售量y与销售单价x 的关系f（x）、进货浮动价d与日销售量y的关系d（y）；【注：可选的函数模型有一次函数、二次函数、反比例函数指数函数、对数函数、幂函数】（2）运用（1）中的函数模型判断，该产品销售单价确定为多少元时，单件产品的利润最大？【注：单件产品的利润＝单件售价﹣（进货浮动价+进货固定价）】参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．（5分）已知a＞b，a+b＝0，则下列选项必定正确的是（）A．a＞0B．a≤0C．b＝0D．b＞0解：由a＞b，a+b＝0，得：a＞0，b＜0，|a|＝|b|，故选：A．2．（5分）在数列{a n}中，a1＝1，a n＝2+（n≥2），则a3＝（）A．0B．C．D．3解：数列{a n}中，a1＝1，a n＝2+（n≥2），当n＝2，解得时，当n＝3时，解得．故选：D．3．（5分）已知命题，则￢p是（）A．B．C．D．解：因为命题p是全称命题，所以利用全称命题的否定是特称命题可得：￢p．故选：C．4．（5分）已知等比数列{a n}满足a1＝3，a1+a3+a5＝21，则a3+a5+a7＝（）A．21B．42C．63D．84解：∵a1＝3，a1+a3+a5＝21，∴，∴q4+q2+1＝7，∴q4+q2﹣6＝0，∴q2＝2，∴a3+a5+a7＝＝3×（2+4+8）＝42．故选：B．5．（5分）若不等式2kx2+kx﹣＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为（）A．（﹣3，0 ）B．[﹣3，0 ）C．[﹣3，0]D．（﹣3，0]解：k＝0时，﹣＜0恒成立，故满足题意；k≠0时，，∴﹣3＜k＜0．∴实数k的取值范围是（﹣3，0]．故选：D．6．（5分）设命题，命题q：（x﹣1）（x+2）≥0，则命题p是命题q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：命题，解得：x＜﹣2或x≥1，命题“q：（x﹣1）（x+2）≥0“，解得：x≥1或x≤﹣2，故命题p是命题q的充分不必要条件，故选：A．7．（5分）一百个高矮互不相同的士兵，排成一个十行十列的方阵．现在从每行中选出一个最高的，再从这些最高的中选出一个最矮的，其高度记为h（高中矮）；然后从每列中选出一个最矮的，再从这个最矮的中间选出一个最高的，其高度记为h（矮中高），则（）A．h（高中矮）＞h（矮中高）B．h（高中矮）≥h（矮中高）C．h（高中矮）＜h（矮中高）D．h（高中矮）≤h（矮中高）解：设“高中矮”为A，“矮中高”为B，如图所示：B B2B1C A①如果A，B在同一行，比如B在B1处，因为A是该行中最高者，所以A不矮于B，②如果A，B在同一列，比如B在B2处，因为B是该列中最矮者，所以A不矮于B，③如果A，B既不同行又不同列，选择一个中间量C作参照，设C与A同行，与B同列，因为A是该行中最高者，所以A不矮于C，又因为B是该列中最矮者，所以C不矮于B，所以A不矮于B，综上所述，不论哪种情况，都有A不矮于B，即h（高中矮）≥h（矮中高）．故选：B．8．（5分）已知A、B为椭圆的左、右顶点，C（0，b），直线l：x ＝2a与x轴交于点D，与直线AC交于点P，且BP平分∠APD，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．解：由题意可得A（﹣a，0），B（a，0），C（0，b），直线AC的方程为bx﹣ay+ab＝0，由x＝2a，可得y＝3b，即P（2a，3b），由BP平分角∠DPA，可得，即＝，由b2＝a2﹣c2，化简可得2a2＝3c2，则e＝＝．故选：D．二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．9．（5分）已知曲线C：mx2+ny2＝1．（）A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为C．若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±xD．若m＝0，n＞0，则C是两条直线解：A．若m＞n＞0，则，则根据椭圆定义，知＝1表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；B．若m＝n＞0，则方程为x2+y2＝，表示半径为的圆，故B错误；C．若m＜0，n＞0，则方程为＝1，表示焦点在y轴的双曲线，故此时渐近线方程为y＝±x，若m＞0，n＜0，则方程为＝1，表示焦点在x轴的双曲线，故此时渐近线方程为y＝±x，故C正确；D．当m＝0，n＞0时，则方程为y＝±表示两条直线，故D正确；故选：ACD．10．（5分）下列不等式成立的是（）A．若a＜b＜0，则a2＞b2B．若ab＝4，则a+b≥4C．若a＞b，则ac2＞bc2D．若a＞b＞0，m＞0，则解：A．a＜b＜0，则a2＞b2，正确；B．若ab＝4，则a+b可能小于0，例如，a＝b＝﹣2，因此不正确；C．若a＞b，则ac2≥bc2，c＝0时取等号，因此不正确；D．若a＞b＞0，m＞0，则a（b+m）﹣b（a+m）＝m（a﹣b）＞0，∴正确．故选：AD．11．（5分）设{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论正确的是（）A．d＜0B．a7＝0C．S9＞S5D．S6与S7均为S n的最大值解：由S5＜S6得a1+a2+a3+…+a5＜a1+a2++a5+a6，即a6＞0，又∵S6＝S7，∴a1+a2+…+a6＝a1+a2+…+a6+a7，∴a7＝0，故B正确；同理由S7＞S8，得a8＜0，∵d＝a7﹣a6＜0，故A正确；而C选项S9＞S5，即a6+a7+a8+a9＞0，可得2（a7+a8）＞0，由结论a7＝0，a8＜0，显然C选项是错误的．∵S5＜S6，S6＝S7＞S8，∴S6与S7均为S n的最大值，故D正确；故选：ABD．12．（5分）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2+y2＝1+|xy|就是其中之一，给出下列四个结论，其中正确的选项是（）A．曲线C关于坐标原点对称B．曲线C上任意一点到原点的距离的最小值为1C．曲线C上任意一点到原点的距离的最大值为D．曲线C所围成的区域的面积大于4解：对于A，将x换成﹣x，y换成﹣y，方程不变，所以图形关于（0，0）对称；故A正确；对于B，因为x2+y2＝1+|xy|≥1，曲线C上任意一点到原点的距离的最小值为1，故B正确；对于C，因为x2+y2＝1+|xy|≤1+，所以，x2+y2≤2，即可得到曲线C上任意一点到原点的距离的最大值为，故C正确；对于D，令x∈（0，1），y＞0可得y2﹣xy+x2﹣1＝0，记函数f（y）＝y2﹣xy+x2﹣1，可得△＝4﹣3x2＞0，所以函数有两个零点，又因为f（0）＜0，f（1）＝x2﹣x＜0，故两个零点一个小于0，一个大于1，即曲线C上横坐标x∈（0，1）时y＞1；同理y∈（0，1）时，x＞1；即第一象限部分图象应在y＝1，x＝1与坐标轴围成的正方形外部，根据图象的对称性可得面积应大于4，故D正确．．故选：ABCD．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若抛物线的准线方程为y＝2，则该抛物线的标准方程是x2＝﹣8y．解：由抛物线的准线方程为y＝2，可知抛物线是焦点在y轴负半轴上的抛物线，设其方程为x2＝﹣2py（p＞0），则其准线方程为y＝，得p＝4．∴该抛物线的标准方程是x2＝﹣8y．故答案为：x2＝﹣8y．14．（5分）设双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为．解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为，则有，解得b＝，又a＝2，所以c＝则该双曲线的离心率e＝；故答案为：．15．（5分）在等差数列{a n}中，满足a n＞0，且a4＝5，则+的最小值为．解：因为等差数列{a n}中，满足a n＞0，且a4＝5，所以a2+a6＝2a4＝10且a2＞0，a6＞0，则+＝（a2+a6）（+）＝（17++）≥（17+2）＝，故答案为：．16．（5分）一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数．设这个整数为a，当a∈[1，2020]时，符合条件的a共有135个．解：由题意可设a＝3m+2＝5n+3，m，n∈N*，则3m＝5n+1，设k∈N*，当m＝5k时，15k＝5n+1，n不存在，当m＝5k+1时，15k+3＝5n+1，∴5n＝15k+2，n不存在，当m＝5k+2时，15k+6＝5n+1，∴5n＝15k+5，∴n＝3k+1，满足题意，当m＝5k+3时，15k+9＝5n+1，∴5n＝15k+8，n不存在，当m＝5k+4时，15k+12＝5n+1，∴5n＝15k+11，n不存在，∴a＝15k+8，又∵a∈[1，2020]，∴1≤15k+8≤2020，解得：﹣，∵k∈Z，∴k＝0，1，2， (134)∴符合条件的a值有135个．故答案为：135．四、解答题（本大题共6小题，计70分．应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知p：A＝{x|x2﹣4x+3≤0}，q：B＝{x|（x﹣a）（x﹣a2﹣1）≤0}（1）若a＝﹣1，求集合B；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解：（1）当a＝﹣1时，B＝{x|（x+1）（x﹣2）≤0}＝{x|﹣1≤x≤2}；（2）A＝{x|（x﹣1）（x﹣3）≤0}＝{x|1≤x≤3}．∵，∴B＝{x|a≤x≤a2+1}．∵p是q的充分不必要条件，∴A⫋B，得等号不能同时成立，解之得．18．（12分）在①S n＝n2+n，②a3+a5＝16，S3+S5＝42，③＝，S7＝56这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．设等差数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}为等比数列，____，b1＝a1，b2＝．求数列{+b n}的前n项和T n．解：选①：当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2n，又n＝1满足a n＝2n，所以a n＝2n．设{b n}的公比为q，又因为，得b1＝2，q ＝2，所以；由数列{b n}的前n项和为，又可知，数列的前n项和为，故．选②：设公差为d，由解得所以．设{b n}的公比为q，又因为，得b1＝2，q＝2，所以．由数列{b n}的前n项和为，又可知，数列的前n项和为，故．选③：由，S7＝7a4＝28a1＝56，所以a1＝2，所以．设{b n}的公比为q，又因为，得．由数列{b n}的前n项和为，又可知，数列的前n项和为，故．19．（12分）设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P（a，b）满足|PF2|＝|F1F2|．（1）求椭圆的离心率e；（2）设直线PF2与椭圆相交于A、B两点，若椭圆的长轴长为，求△ABF1的面积．解：（1）∵椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P（a，b），|PF2|＝|F1F2|，∴，可得a2﹣2ac+c2+a2﹣c2＝4c2，e＝，∴2e2+e﹣1＝0，又∵．（2）∵，∵b2＝a2﹣c2＝6∴，∴设A（x1，y1），B（x2，y2），联立得：，∴，∴．△ABF1的面积为：．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝0，S n＝a n+1﹣n，n∈N*．（1）求证：数列{a n+1}是等比数列；（2）设数列{b n}的前n项和为T n，已知，若不等式对于n∈N*恒成立，求实数m的最大值．【解答】（1）证明：由a1+a2+a3+…+a n+n＝a n+1，得a1+a2+a3+…+a n﹣1+n﹣1＝a n（n≥2），两式相减得a n+1＝2a n+1，所以a n+1+1＝2（a n+1）（n≥2），因为a1＝0，所以a1+1＝1，a2＝a1+1＝1，a2+1＝2（a1+1）．所以{a n+1}是以1为首项，2为公比的等比数列．（2）解：由，又由（1）可知，得，从而，即，因为，则，两式相减得，所以．由恒成立，即恒成立，又，故当n≤3时，单调递减；当n＝3时，；当n≥4时，单调递增；当n＝4时，；则的最小值为，所以实数m的最大值是．21．（12分）已知O为坐标原点，椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，双曲线＝1的渐近线与椭圆C的交点到原点的距离均为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若点D，M，N为椭圆C上的动点，M，O，N三点共线，直线DM，DN的斜率分别为k1，k2．（i）证明：k1k2＝﹣；（ii）若k1+k2＝0，设直线DM过点（0，m），直线DN过点（0，n），证明：m2+n2为定值．解：（1）设椭圆的半焦距为c，由题意可得e＝＝＝，所以a＝2b①，因为双曲线＝1的渐近线方程为y＝±x，所以可设双曲线与椭圆C在第一象限的交点为P（2t，t），所以＝，即t2＝，因为P在椭圆上，所以+＝1，即+＝1②，由①②可得a＝2，b＝1，所以椭圆C的方程为+y2＝1；（2）（i）证明：由题意可得M，N关于原点对称，可设D（x1，y1），M（x2，y2），N （﹣x2，﹣y2），因为D，M在椭圆上，所以+y12＝1，+y22＝1，所以y12＝1﹣，y22＝1﹣，所以k1k2＝•＝＝＝﹣；（ii）证明：可设k1＞0，k2＜0，因为k1+k2＝0，k1k2＝﹣，所以k1＝，k2＝﹣，因为直线DM过点（0，m），直线DN过点（0，n），所以直线DM：y＝x+m，DN：y＝﹣x+n，由可得x2+2mx+2m2﹣2＝0，所以x1x2＝2m2﹣2；由可得x2﹣2nx+2n2﹣2＝0，所以﹣x1x2＝2n2﹣2，所以x1x2+（﹣x1x2）＝2m2+2n2﹣4＝0，所以m2+n2＝2为定值．22．（12分）某商家销售某种商品，已知该商品进货单价由两部分构成：一部分为每件产品的进货固定价为3百元，另一部分为进货浮动价，据市场调查，该产品的销售单价与日销售量的关系如表所示：45678销售单价x（单位：百元）110100908070日销售量y（单位：件）该产品的进货浮动价与日销售量关系如表所示：120100906045日销售量y（单位：件）0.750.91 1.52进货浮动价d（单位：百元）（1）分别建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映该商品日销售量y与销售单价x 的关系f（x）、进货浮动价d与日销售量y的关系d（y）；【注：可选的函数模型有一次函数、二次函数、反比例函数指数函数、对数函数、幂函数】（2）运用（1）中的函数模型判断，该产品销售单价确定为多少元时，单件产品的利润最大？【注：单件产品的利润＝单件售价﹣（进货浮动价+进货固定价）】解：（1）根据表中数据，销售单价每增加1百元，日销量减少10件，所以销售单价与销售量为一次函数的关系，故可设f（x）＝kx+b，由，解得k＝﹣10，b＝150，即f（x）＝﹣10x+150，又根据表中数据，日销售量和进货浮动价的积为一个固定常数90，考虑其为一个反比例函数关系，设d（y）＝，由题意可得m＝90，于是d（y）＝，（2）由，可得0＜x＜15，设单件产品的利润为P百元，则P＝x﹣（d（y）+3）＝x﹣﹣3＝x﹣﹣3＝x﹣﹣3，因为0＜x＜15，所以15﹣x＞0，所以P＝﹣（15﹣x+）+12，又15﹣x+≥2＝6，当且仅当15﹣x＝，即x＝12时等号成立，所以P max＝﹣6+12＝6，故单件产品售价定为1200元时，单件产品的利润最大，为600元．。
2020年江苏省扬州中学高二(上)期中数学试卷
高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题“∃x∈Z，使x2+2x+m≤0”的否定是()A. ∀x∈Z，都有x2+2x+m≤0B. ∃x∈Z，使x2+2x+m>0C. ∀x∈Z，都有x2+2x+m>0D. 不存在x∈Z，使x2+2x+m>02.两数√2+1与√2−1的等比中项是()A. −1B. 12C. 1D. ±13.“0<m<1”是“方程x2m +y22−m=1表示椭圆”的()A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4.双曲线x24−y212=1的焦点到渐近线的距离为()A. 2B. √3C. 3D. 2√35.已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，S n是数列{a n}的前n项和，则S9等于()A. −8B. −6C. 10D. 06.双曲线x2m −y2n=1(mn≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则mn的值为()A. 316B. 38C. 163D. 837.已知S n是数列{a n}的前n项和，则“{a n}是等差数列”是“{S nn}是等差数列”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知数列{a n}，{b n}都是等差数列，S n，T n分别是它们的前n项和，并且S nT n =7n+3n+3，则a2+a23b8+b17=()A. 176B. 134C. 193D. 1369.过(14,0)的直线与抛物线y2=x交于A，B两点，若|AB|=4，则弦AB的中点到直线x+12=0的距离等于()A. 74B. 94C. 4D. 210.已知数列{a n}，如果a1，a2−a1，a3−a2，…，a n−a n−1，…，是首项为1，公比为13的等比数列，则a n=()A. 32(1−13n) B. 32(1−13n−1) C. 23(1−13n) D. 23(1−13n−1)11.已知点M(1,0)，A，B是椭圆x24+y2=1上的动点，且MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值是()A. [23,1] B. [1,9] C. [23,9] D. [√63,3]12.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，I，G分别为△PF1F2的内心和重心，当IG⊥x轴时，椭圆的离心率为()A. 13B. 12C. √32D. √63二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若“x>3”是“x>m”的必要不充分条件，则m的取值范围是______．14.已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+2，则数列{a n}的通项公式a n=______ ．15.过原点作一条倾斜角为θ的直线与椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)交于A、B两点，F1，F2为椭圆的左，右焦点，若∠F1AF2=π2，且该椭圆的离心率e∈[√22,√63]，则θ的取值范围为______．16.过抛物线y2=4x焦点的直线l与抛物线交于A，B两点，与圆(x−1)2+y2=r2交于C，D两点，若有三条直线满足|AC|=|BD|，则r的取值范围为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.(1)已知数列{a n}的前n项和为S n，若S n=3n+2n+1，求a n．(2)已知{a n}是各项为正的等比数列，a1=2，a3=2a2+16，设b n=log2a n，求数列{b n}的前n项和．18.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√3，且a2c=√23．(1)求双曲线C的方程；(2)已知直线x−y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m的值．19.已知p：(x+1)(2−x)≥0，q：关于x的不等式x2+2mx−m+6>0恒成立．(1)当x∈R时q成立，求实数m的取值范围；(2)若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．20.已知{a n}为等差数列，前n项和为S n(n∈N∗)，{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4−2a1，S11=11b4．(1)求{a n}和{b n}的通项公式；(2)求数列{a2n b2n−1}的前n项和(n∈N∗)；(3)设c n=log2b2n−1，P n为数列{4n2c n c n+1}的前n项和，求不超过P2019的最大整数．21.如图，已知抛物线C顶点在坐标原点，焦点F在Y轴的非负半轴上，点M(−2,1)是抛物线上的一点．(1)求抛物线C的标准方程；(2)若点P，Q在抛物线C上，且抛物线C在点P，Q处的切线交于点S，记直线MP，MQ的斜率分别为k1，k2，且满足k2−k1=1，当P，Q在C上运动时，△PQS的面积是否为定值？若是，求出△PQS的面积；若不是，请说明理由．22.如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，右准线方程为x=4，A，B分别是椭圆C的左，右顶点，过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线l与椭圆C相交于M，N两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)记△AFM，△BFN的面积分别为S1，S2，若S1S2=32，求k的值；(3)设线段MN的中点为D，直线OD与右准线相交于点E，记直线AM，BN，FE 的斜率分别为k1，k2，k3，求k2⋅(k1−k3)的值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：命题“∃x∈Z，使x2+2x+m≤0”的否定是：∀x∈Z，都有x2+2x+m>0，故选：C．将“存在”换为“∀”同时将结论“x2+2x+m≤0”换为“x2+2x+m>0”．求含量词的命题的否定，应该将量词交换同时将结论否定．2.【答案】D【解析】解：设两数√2+1与√2−1的等比中项是x，则由等比中项的定义可得x2= (√2+1)(√2−1)=1，∴x=±1，故选：D．设两数√2+1与√2−1的等比中项是x，则由等比中项的定义可得x2=(√2+1)(√2−1)=1，解方程求得x的值．本题主要考查等比数列的定义和性质，等比中项的定义．属于基础题．3.【答案】B【解析】解：若方程x2m +y22−m=1表示椭圆，则{m>02−m>0m≠2−m；解得0<m<2且m≠1；故“0<m<1”⇒方程x2m +y22−m=1表示椭圆；反之，方程x2m +y22−m=1表示椭圆推不出“0<m<1“．∴“0<m<1”是“方程x2m +y22−m=1表示椭圆”的充分不必要条件．故选：B．根据椭圆的标准方程，先推出方程x2m +y22−m=1表示椭圆的等价条件，再根据充分必要条件的定义得出结论即可．本题考查了椭圆的标准方程，充分必要条件的定义，属于基础题．【解析】解：由题得：其焦点坐标为(±4,0).渐近线方程为y=±√3x所以焦点到其渐近线的距离d=√3√3+1=2√3．故选：D．先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．本题给出双曲线的方程，求它的焦点到渐近线的距离．着重考查了点到直线的距离公式、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了等比数列的性质，等差数列的通项公式及其前n项和公式，属于基础题．由a1，a3，a4成等比数列，可得a32=a1a4，再利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：∵a1，a3，a4成等比数列，∴a32=a1a4，∴(a1+2×2)2=a1⋅(a1+3×2)，化为2a1=−16，解得a1=−8．∴则S9=−8×9+9×82×2=0，故选D．6.【答案】A【解析】解：抛物线y2=4x的焦点为(1,0)，则双曲线的焦距为2，则有{m+n=11m=4解得m=14，n=34∴mn=316故选：A．先根据抛物线方程求得抛物线的焦点，进而可知双曲线的焦距，根据双曲线的离心率求得m，最后根据m+n=1求得n，则答案可得．本题主要考查了圆锥曲线的共同特这．解题的关键是对圆锥曲线的基本性质能熟练掌握．【解析】解：∵{a n }是等差数列⇔S n =An 2+Bn ⇔S n n=An +B ⇔{Snn }是等差数列，∴“{a n }是等差数列”是“{Snn}是等差数列”的充要条件． 故选：C ．等差数列的判定结合充要条件的判定可得结果．本题考查了等差数列的判定、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：数列{a n }，{b n }都是等差数列，S n ，T n 分别是它们的前n 项和，并且S nT n=7n+3n+3，则a 2+a 23b8+b 17=a 1+a 24b 1+b 24=S 24T 24=7×24+324+3=193，故选：C ．由题意利用等差数列的性质、前n 项和公式，求得要求式子的值． 本题主要考查等差数列的性质、前n 项和公式，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：如图，而抛物线y 2=x 的焦点F 为(14,0)， ∴弦AB 的中点到准线x =−14的距离为2，则弦AB 的中点到直线x +12=0的距离等于2+14=94． 故选：B ．求出弦AB 的中点到抛物线准线的距离，进一步得到弦AB 的中点到直线x +12=0的距离．本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，体现了数学转化思想方法，是中档题．10.【答案】A【解析】解：由题意a n =a 1+(a 2−a 1)+(a 3−a 2)+⋯+(a n −a n−1)=1−(13)n1−13=32(1−13n)故选：A ．因为数列a 1，(a 2−a 1)，(a 3−a 2)，…，(a n −a n−1)，…，此数列是首项为1，公比为13的等比数列，根据等比数列的通项公式可得数列{a n }的通项． 考查学生对等比数列性质的掌握能力，属于基础题．11.【答案】C【解析】 【分析】本题考查椭圆方程，考查向量的数量积运算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．利用MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2，设A(2cosα,sinα)，可得MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(2cosα−1)2+sin 2α，即可求解数量积的取值范围． 【解答】解：∵MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2， 设A(2cosα,sinα)，则MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(2cosα−1)2+sin 2α=3cos 2α−4cosα+2=3(cosα−23)2+23，∴cosα=23时，MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2的最小值为23；cosα=−1时，MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2的最大值为9， 故选：C ．12.【答案】A【解析】解：如图所示，设P(x 0,y 0)，不妨设y 0>0． F 1(−c,0)，F 2(c,0)．则G(x 03,y3)，∵IG ⊥x 轴，∴x I =x 03．设三角形内切圆的半径为r ．由三角形内切圆的性质可得：12r(2a +2c)=12⋅2c ⋅y 0．解得r =cy 0a+c ，∴y I =cya+c ．设PF 1，PF 2分别与内切圆相切于点D ，E ． 则PD =PE =12(2a −2c)=a −c ．在Rt△PDI中，由勾股定理可得：PD2+ID2=PI2．∴(a−c)2+(cy0a+c )2=(x0−x03)2+(y0−cy0a+c)2，化为：x029 4(a−c)2+y02b2=1．与椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)比较可得：a2=94(a−c)2，∴a=32(a−c)，可得ca=13．∴e=13．故选：A．如图所示，设P(x0,y0)，不妨设y0>0.利用三角形重心性质可得G(x03,y03)，根据IG⊥x轴，可得x I=x03.设三角形内切圆的半径为r.由三角形内切圆的性质可得：12r(2a+2c)=12⋅2c⋅y0.可得r=cy0a+c=y I.设PF1，PF2分别与内切圆相切于点D，E.可得PD=PE=12(2a−2c)=a−c.在Rt△PDI中，由勾股定理可得：PD2+ID2=PI2.化简整理即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形内切圆的性质、三角形重心性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．13.【答案】m>3【解析】解：若“x>3”是“x>m”的必要不充分条件，则{x|x>m}⫋{x|x>3}，即m>3，即实数m的取值范围是m>3，故答案为：m>3．根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行求解即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．14.【答案】2×3n−1−1【解析】解：由a n+1=3a n+2，得a n+1+1=3(a n+1)，又a1=1，所以{a n+1}是以2为首项、3为公比的等比数列，∴a n+1=2×3n−1，a n=2×3n−1−1．故答案为：2×3n−1−1．由a n+1=3a n +2，得a n+1+1=3(a n +1)，从而可判断{a n }是以2为首项、3为公比的等比数列，进而可求得a n +1．本题考查由数列递推公式求数列通项，属中档题．15.【答案】[π6,5π6]【解析】解：由题可知，AF 1+AF 2=2a ，即2ccos θ2+2csin θ2=2a ．∴c a =1sin θ2+cos θ2=√2sin(θ2+π4)，又∵e ∈[√22,√63]，∴sin(θ2+π4)∈[√32,1]． 又∵θ∈[0,π]∴θ∈[π6,5π6]．故答案为：[π6,5π6]．根据直角三角形的性质，找到e 与θ的数量关系，利用函数思想可求出来．本题主要考查椭圆的简单几何性质，利用了三角函数恒等变形，并考查了给值求角．16.【答案】(2,+∞)【解析】解：抛物线y 2=4x 焦点为(1,0)，(1)当直线l ⊥x 轴时，直线l ：x =1与抛物线交于A(1,2)、B(1,−2)， 与圆(x −1)2+y 2=r 2交于C(1,r)，D(1,−r)，满足|AC|=|BD|．(2)当直线l 不与x 轴垂直时，设直线l 方程y =k(x −1).A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 联立方程组{y =k(x −1)y 2=4x，化简得k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0，由韦达定理x 1+x 2=2+4k 2，由抛物线得定义，过焦点F 的线段|AB|=|AF|+|BF|=x 1+x 2+2=4+4k 2，当四点顺序为A 、C 、D 、B 时，∵|AC|=|BD|，∴AB 的中点为焦点F(1,0)，这样的不与x 轴垂直的直线不存在； 当四点顺序为A 、C 、B 、D 时， ∵|AC|=|BD|， ∴|AB|=|CD|， 又∵|CD|=2r ，∴4+4k 2=2r ，即2k 2=r −2，当r >2时存在互为相反数的两斜率k ，即存在关于x =1对称的两条直线．综上，当r ∈(2,+∞)时有三条满足条件的直线． 故答案为：(2,+∞)．求得抛物线的焦点，讨论直线l 的斜率不存在，可得A ，B ，C ，D ，满足题意；当直线的斜率存在，设直线l 方程y =k(x −1).A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和抛物线的定义，讨论当四点顺序为A 、C 、D 、B 时，当四点顺序为A 、C 、B 、D 时，考虑是否存在与直线x =1对称的直线，即可得到所求范围． 本题考查抛物线的定义、方程和运用，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查分类讨论思想，化简运算能力和推理能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)当n =1时，a 1=s 1=6；当n ≥2时，a n =s n −s n−1=(3n +2n +1)−[3n−1+2(n −1)+1]=2⋅3n−1+2， 由于a 1不适合此式，所以a n ={6,n =12⋅3n−1+2,n ≥2．(2)设等比数列的公比为q ，q >0，由a 1=2，a 3=2a 2+16，得2q 2=4q +16， 即q 2−2q −8=0，解得q =−2(舍)或q =4．∴a n =a 1q n−1=2×4n−1=22n−1；b n =log 2a n =log 222n−1=2n −1， ∵b 1=1，b n+1−b n =2(n +1)−1−2n +1=2， ∴数列{b n }是以1为首项，以2为公差的等差数列， 则数列{b n }的前n 项和T n =n ×1+n(n−1)×22=n 2．【解析】(1)应用数列的递推式，化简可得所求通项公式；(2)设等比数列的公比为q ，q >0，应用等比数列的通项公式解方程可得q ，可得a n ，b n ，再由等差数列的求和公式，可得所求和．本题考查数列的递推式的应用，等差数列和等比数列的定义、通项公式和求和公式的应用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)由题意，{ca =√3a 2c=√23，解得a =√63，c =√2．∴b 2=c 2−a 2=2−23=43． ∴双曲线C 的方程为3x 22−3y 24=1；(2)由{3x 22−3y 24=1x −y +m =0，得3x 2−6mx −3m 2−4=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，∴x 1+x 2=2m ，又中点在直线x −y +m =0上， ∴中点坐标为(m,2m)，代入x 2+y 2=5得m =±1，满足判别式Δ>0． ∴m 的值为±1．【解析】本题考查双曲线方程的求法，以及直线和双曲线相交的性质，是中档题． (1)由已知可得关于a ，c 的方程组，求解可得a ，c 的值，结合隐含条件求得b ，则双曲线方程可求；(2)联立直线方程与双曲线方程，利用根与系数的关系求得AB 的中点坐标，代入圆的方程求得m 值．19.【答案】解：(1)∵4m 2+4m −24<0，∴m 2+m −6<0，∴−3<m <2， ∴实数m 的取值范围为：(−3,2)． (2)p ：−1≤x ≤2，设A ={x|−1≤x ≤2}，B ={x|x 2+2mx −m +6>0}， ∵p 是q 的充分不必要条件，∴A ⊊B①由(1)知，−3<m <2时，B =R ，满足题意；②m =−3时，B ={x|x 2−6x +9>0}={x|x ≠3}，满足题意； ③m =2时，B ={x|x 2+4x +4>0}={x|x ≠−2}，满足题意； ④m <−3，或m >2时，设f(x)=x 2+2mx −m +6， f(x)对称轴为x =−m ，由A ⊊B 得 {−m <−1f(−1)>0或{−m >2f(2)>0， ∴{m >1−3m +7>0或{m <−23m +10>0，∴1<m <73或−103<m <−2，∴−103<m <−3或2<m <73综上可知：−103<m <73【解析】(1)由△<0得含m 的不等式，解之得m 的取值范围；(2)把p 是q 的充分不必要条件转化为由A ⊊B ，在各种情况下找出充要条件不等式组，进而求出实数m的取值范围．本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，q>0，由b2+b3=12，得b1(q+q2)=12，而b1=2，∴q2+q−6=0．由q>0，解得q=2.∴b n=2n．由b3=a4−2a1，可得3d−a1=8①，由S11=11b4，可得a1+5d=16②，联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得a n=3n−2．∴数列{a n}的通项公式为a n=3n−2，数列{b n}的通项公式为b n=2n．(2)设数列{a2n b2n−1}的前n项和为T n，由a2n=6n−2，b2n−1=2×4n−1，有a2n b2n−1=(3n−1)×4n，∴T n=2×4+5×42+8×43+⋯+(3n−1)×4n，4T n=2×42+5×43+8×44+⋯+(3n−4)×4n+(3n−1)×4n+1，上述两式相减，得−3T n=2×4+3×42+3×43+⋯+3×4n−(3n−1)×4n+1=12×(1−4n)1−4−4−(3n−1)×4n+1=−(3n−2)×4n+1−8．得T n=3n−23×4n+1+83.∴数列{a2n b2n−1}的前n项和为3n−23×4n+1+83．(3)由(1)知：b2n−1=22n−1，则c n=log222n−1=2n−1．∴4n2c n c n+1=4n2(2n−1)(2n+1)=4n24n2−1=1+1(2n−1)(2n+1)=1+12×(12n−1−12n+1)，∴P n=[1+12(11−13)]+[1+12(13−15)]+⋯+[1+12(12n−1−12n+1)]=n+n2n+1，∴P2019=2019+20194039>2019，∴不超过P2019的最大整数为2019．【解析】(1)设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，q>0，运用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差、公比，进而得到所求通项公式；(2)求得a2n b2n−1=(3n−1)×4n，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和；(3)求得b2n−1=22n−1，c n=log222n−1=2n−1．4n2c n c n+1=1+12×(12n−1−12n+1)，运用数列的裂项相消求和，化简可得所求和P n，计算可得所求最大值．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，裂项相消求和，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)设抛物线C 的标准方程为x 2=2py(p >0)，将点M 的坐标代入抛物线C 的方程得2p =4，得p =2， 因此，抛物线C 的标准方程为x 2=4y ；(2)设点P 、Q 的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2)，则y 1=x 124，y 2=x 224，k 2−k 1=y 2−1x 2+2−y 1−1x1+2=x 224−1x 2+2−x 124−1x 1+2=x 2−24−x 1−24=x 2−x 14=1，∴x 2−x 1=4.①对函数y =x 24求导得y′=x2，所以，直线PS 的方程为y −y 1=x 12(x −x 1)，即y =x 1x 2−x124，同理可知，直线QS 的方程为y =x 2x 2−x 224，联立直线PS 和QS 的方程{y =x 1x2−x 124y =x 2x 2−x 224，得{x =x 1+x22y =x 1x 24， 所以，点S 的坐标为(x 1+x 22,x 1x 24)，PS ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−x 12,x 1x 2−x 124)=(2,x 1)，同理可得QS ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−x 2)， 由三角形面积的向量公式可得S △PQS =12|−2x 2+2x 1|=|x 1−x 2|=4． 因此，△PQS 的面积为定值4．【解析】(1)先设抛物线C 的标准方程为x 2=2py(p >0)，将点M 的坐标代入抛物线C 的方程，可求出p 的值，于是可得出抛物线C 的标准方程；(2)设点P 、Q 的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2)，利用已知条件得出x 2−x 1=4，利用导数求出抛物线C 在点P 、Q 处的切线方程，联立求出点S 的坐标，然后利用三角形面积的向量公式求出△PQS 的面积，进而解答题中的问题．本题考查直线与抛物线的综合问题，考查利用导数求切线方程，同时也考查了三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题．22.【答案】解：(1)设椭圆的焦距为2c(c >0)．依题意，ca =12，且a 2c=4，解得a =2，c =1．故b 2=a 2−c 2=3． 所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1．(2)设点M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2).据题意，S 1S 2=32，即12×|AF|×|y 1|12×|BF|×|y 2|=32，整理可得|y 1||y 2|=12，所以NF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 代入坐标，可得{1−x 2=2(x 1−1) −y 2=2y 1 ，即{x 2=3−2x 1 y 2=−2y 1 又点M ，N 在椭圆C 上，所以{x 124+y 123=1 (3−2x1)24+(−2y 1)23=1 ，解得{x 1=74y 1=3√58 所以直线l 的斜率k =3√5874−1=√52． (3)法一：依题意，直线l 的方程为y =k(x −1)．联立方程组{y =k(x −1) x 24+y 23=1 整理得(4k 2+3)x 2−8k 2x +4k 2−12=0，所以x 1+x 2=8k 24k 2+3，x 1x 2=4k 2−124k 2+3．故x D =x 1+x 22=4k 24k 2+3，y D =k(x D −1)=−3k4k 2+3，所以直线OD 的方程为y =−34k x ，令x =4，得y E =−3k ，即E(4 , −3k )． 所以k 3=−3k4−1=−1k．所以k 2⋅(k 1−k 3)=k 2⋅(k 1+1k )=y 2x 2−2⋅(y 1x 1+2+1k )， =k(x 2−1)x 2−2⋅[k(x 1−1)x 1+2+1k ]=k 2(x 1−1)(x 2−1)+(x 2−1)(x 1+2)(x 1+2)(x 2−2)，=k 2[x 1x 2−(x 1+x 2)+1]+x 1x 2−x 1+2x 2−2x 1x 2−2x 1+2x 2−4，=k 2[x 1x 2−(x 1+x 2)+1]+x 1x 2−(x 1+x 2)−2+3x 2x 1x 2−2(x 1+x 2)−4+4x 2=，k 2[4k 2−124k 2+3−8k 24k 2+3+1]+4k 2−124k 2+3−8k 24k 2+3−2+3x 24k 2−124k 2+3−2×8k 24k 2+3−4+4x 2，=3x 2−21k 2+184k 2+34x 2−28k 2+244k 2+3=3(x 2−7k 2+64k 2+3)4(x 2−7k 2+64k 2+3)=34．法二：依题意，直线l 的方程为y =k(x −1)，即x =1k y +1，记m =1k ， 则直线l 的方程为x =my +1，与椭圆C 联立方程组{x =my +1 x 24+y 23=1 整理得(4+3m 2)y 2+6my −9=0， 所以y 1+y 2=−6m4+3m 2，y 1y 2=−94+3m 2． 故y D =y 1+y 22=−3m 4+3m 2，x D =my D +1=44+3m 2，所以直线OD 的方程为y =−3m 4x ，令x =4，得y E =−3m ，即E(4,−3m)．所以k 3=−3m 4−1=−m ．所以k 2⋅(k 1−k 3)=k 2⋅(k 1+1k )=y 2x 2−2⋅(y 1x 1+2+m)=y 1y 2+my 2(x 1+2)(x 1+2)(x 2−2)，=y 1y 2+my 2(my 1+3)(my 1+3)(my 2−1)=(m 2+1)y 1y 2+3my 2m 2y1y 2−my 1+3my 2−3，=(m 2+1)y 1y 2+3my 2m 2y1y 2−m(y 1+y 2)−3+4my 2=−9(m 2+1)4+3m 2+3my 2−9m 24+3m 2+6m24+3m 2−3+4my 2，=−9(m 2+1)4+3m 2+3my 2−12(m 2+1)4+3m 2+4my 2=34．法三：依题意，点M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)在椭圆C 上，所以{x 124+y 123=1 x 224+y 223=1 两式相减，得x 22−x 124+y 22−y 123=0，即y 2+y 1x2+x 1⋅y 2−y 1x 2−x 1=−34，所以k OD ⋅k =−34，即k OD =−34k，所以直线OD 的方程为y =−34k x ，令x =4，得y E =−3k ，即E(4 , −3k )，所以k 3=−3k4−1=−1k． 又直线AM 的方程为y =k 1(x +2)，与椭圆C 联立方程组{y =k 1(x +2) x 24+y 23=1 整理得(4k 12+3)x 2+16k 12x +16k 12−12=0，所以−2⋅x 1=16k 12−124k 12+3，得x 1=6−8k 124k 12+3，y 1=k 1(x 1+2)=12k14k 12+3．所以点M 的坐标为(6−8k 124k 12+3 , 12k14k 12+3)． 同理，点N 的坐标为(8k 22−64k 22+3 , −12k24k 22+3)． 又点M ，N ，F 三点共线， 所以k =12k 14k 12+36−8k 124k 12+3−1=−12k 24k 22+38k 22−64k 22+3−1，整理得(4k 1k 2+3)(3k 1−k 2)=0，依题意，k 1>0，k 2>0，故k 2=3k 1． 由k =12k 14k 12+36−8k 124k 12+3−1=4k11−4k 12可得，1k =1−4k 124k 1=14k1−k 1，即1k +k 1=14k 1． 所以k 2⋅(k 1−k 3)=3k 1⋅(k 1+1k )=3k 1⋅14k 1=34．【解析】(1)根据椭圆的性质和离心率公式即可求出a ，c 的值，即可求出b ，椭圆方程可得，(2)设点M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，根据三角形面积，即可求出NF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，再根据点在椭圆上，即可求出点M 的坐标，即可求出直线的斜率，(3)法一：依题意，直线l 的方程为y =k(x −1)，根据韦达定理，直线方程，直线的斜率，化简整理即可求出，法二：设直线l 的方程为x =my +1，根据韦达定理，直线方程，直线的斜率，化简整理即可求出，法三：依题意，点M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)在椭圆C 上，根据点差法，三点共线，直线方程，斜率公式，化简整理即可本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理和斜率公式等基础知识，考查运算求解能力，考查方程思想，是难题．。
2020-2021学年江苏省扬州中学高二(上)10月段考数学试卷
2020-2021学年江苏省扬州中学高二（上）10月段考数学试卷试题数：21，总分：1501.（单选题，5分）下列命题为真命题的是（ ）A.∃x 0∈R ，使x 02＜0B.∀x∈R ，有x 2≥0C.∀x∈R ，有x 2＞0D.∀x∈R ，有x 2＜02.（单选题，5分）等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2，a 4是方程x 2+2x-3=0的两实根．则S 5=（ ）A.10B.5C.-5D.-103.（单选题，5分）已知等比数列{a n }的公比为q ，则“0＜q ＜1”是“a n -a n+1＜0”的（ ）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.（单选题，5分）等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，记 b n =1a n (a n +2) ，数列{b n }的前n 项和S n ，则S 4等于（ ）A. 15B. 25C. 35D. 455.（单选题，5分）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”．在某种玩法中，用a n 表示解下n （n≤9，n∈N*）个圆环所需的移动最少次数，若a 1=1．且a n = {2a n−1−1，n 为偶数2a n−1+2，n 为奇数 ，则解下5个环所需的最少移动次数为（ ）A.7B.13C.16D.226.（单选题，5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A.πB. 3π4C. π2D. π47.（单选题，5分）棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，正方形ABCD所在平面内的动点P到直线AA1，BB1的距离之和为2√2，∠APB=90°，则点P到直线AB的距离为（）A. √22B.1C. √32D. √28.（多选题，5分）下列命题的中，是存在性命题且是真命题的是（）A.至少有一个实数x，使x3+1=0B.所有正方形都是矩形≤0C. ∃x∈R，x2−x+14D.∃x∈R，x2+2x+2=09.（多选题，5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n-2，若存在两项a m，a n，使得a m a n=64，则（）A.数列{a n}为等差数列B.数列{a n}为等比数列C.a12+a22+…+a n2= 4n−13D.m+n为定值10.（多选题，5分）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E是DD1的中点，则（）A.直线B 1C || 平面A 1BDB.B 1C⊥BD 1C.三棱锥C 1-B 1CE 的体积为 13D.异面直线B 1C 与BD 所成的角为60°11.（多选题，5分）已知椭圆C ： x 2a 2+y 2b 2=1 （a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2且|F 1F 2|=2，点P （1，1）在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）A.|QF 1|+|QP|的最小值为2a-1B.椭圆C 的短轴长可能为2C.椭圆C 的离心率的取值范围为 (0，√5−12)D.若 PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =F 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则椭圆C 的长轴长为 √5+√1712.（填空题，5分）命题“∀x∈（0， π2 ），sinx ＜1”的否定是___ ．13.（填空题，5分）将数列{2n+4}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的通项公式为a n =___ ．14.（填空题，5分）正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M ，N ，E ，F 分别是A 1B 1，AD ，B 1C 1，C 1D 1的中点，则过EF 且与MN 平行的平面截正方体所得截面的面积为 ___ ，CE 和该截面所成角的正弦值为 ___ ．15.（填空题，5分）已知直线l 与椭圆 x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0) 相切于第一象限内的点P （x 0，y 0），且直线l 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，当△AOB （O 为坐标原点）的面积最小时，∠F 1PF 2=60°（F 1、F 2是椭圆的两个焦点），则该椭圆的离心率是___ ．16.（问答题，10分）已知命题p ：∃x∈R ，x 2+2x+m≤0，命题q ：方程 x 2m−t +y 2t+1−m =1 表示椭圆．（1）若命题p 为真，求实数m 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求t 的取值范围．17.（问答题，12分）在四棱锥E-ABCD中，四边形ABCD是梯形，AB || DC，∠DAB=90°，AD=AB=1，△CDE是边长为2的正三角形，BE=√2．（1）求证：BC⊥DE；（2）求二面角A-BE-C的余弦值．18.（问答题，12分）在① S3=12，② 2a2-a1=3，③ a8=24这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．已知{a n}是公差不为0的等差数列，其前n项和为S n，__，且a1，a2，a4成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}是各项均为正数的等比数列，且b2=a1，b4=a4，求数列{a n+b n}的前n项和T n．19.（问答题，12分）设椭圆x2a2 + y2b2=1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的短轴长为4，离心率为√55．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上．若|ON|=|OF|（O为原点），且OP⊥MN，求直线PB的斜率．20.（问答题，12分）正整数数列{a n}满足S na n=pn+q（p，q为常数），其中S n为数列{a n}的前n项和．（1）若p=1，q=0，求证：{a n}是等差数列；（2）若数列{a n}为等差数列，求p的值；（3）证明：a2020=2020a1的充要条件是p=12．21.（问答题，12分）已知椭圆M：x24+y23=1，圆N是椭圆M长轴和短轴四个端点连接而成的四边形的内切圆．（1）求圆N的方程；（2）过圆N上的任一点A作圆N的切线交椭圆M于B，C两点，求证：|AB|•|AC|为定值．2020-2021学年江苏省扬州中学高二（上）10月段考数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（单选题，5分）下列命题为真命题的是（ ）A.∃x 0∈R ，使x 02＜0B.∀x∈R ，有x 2≥0C.∀x∈R ，有x 2＞0D.∀x∈R ，有x 2＜0【正确答案】：B【解析】：对各选项进行分析判断．【解答】：解：因为x∈R ，所以x 2≥0，所以∀x∈R ，有x 2≥0，故选：B ．【点评】：本题考查全称命题与特称命题真假性的判断，属于基础题目．2.（单选题，5分）等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2，a 4是方程x 2+2x-3=0的两实根．则S 5=（ ）A.10B.5C.-5D.-10【正确答案】：C【解析】：由题意利用韦达定理求得 a 2+a 4的值，再利用等差数列的性质、等差数列前n 项和公式，求出S 5．【解答】：解：∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2，a 4是方程x 2+2x-3=0的两实根， ∴a 2+a 4=-2，a 2•a 4=-3，则S 5= 5(a 1+a 5)2 = 5(a 2+a 4)2 =-5， 故选：C ．【点评】：本题主要考查韦达定理、等差数列的性质、等差数列前n 项和公式，属于基础题．3.（单选题，5分）已知等比数列{a n }的公比为q ，则“0＜q ＜1”是“a n -a n+1＜0”的（ ）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：D【解析】：由等比数列的通项公式 a n =a 1q n−1 ，可知{a n }的单调性由首项和公比决定，由此可得答案．【解答】：解：由等比数列的通项公式 a n =a 1q n−1 ，可知{a n }的单调性由首项和公比决定， 即由0＜q ＜1不一定得到a n -a n+1＜0，反之，由a n -a n+1＜0，也不一定得到0＜q ＜1， 则“0＜q ＜1”是“a n -a n+1＜0”的既不充分也不必要条件．故选：D ．【点评】：本题考查等比数列的单调性，考查充分必要条件的判定，是基础题．4.（单选题，5分）等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，记 b n =1an (a n +2) ，数列{b n }的前n 项和S n ，则S 4等于（ ）A. 15B. 25C. 35D. 45【正确答案】：A【解析】：由已知列式求得a 4，写出等差数列的通项公式，代入 b n =1an (a n +2) 整理，再由裂项相消法求S 4．【解答】：解：在公差为2的等差数列{a n }中，由a 2，a 4，a 8成等比数列，得 a 42=a 2a 8 ，即 a 42=(a 4−4)(a 4+8) ，解得a 4=8．∴a n =a 4+（n-4）×2=8+2n-8=2n ．∴ b n =1a n (a n +2) = 12n (2n+2)=14(1n −1n+1) ，∴ S 4=14(1−12+12−13+13−14+14−15)=15 ．故选：A ．【点评】：本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性质，训练了裂项相消法求数列的前n 项和，是中档题．5.（单选题，5分）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”．在某种玩法中，用a n 表示解下n （n≤9，n∈N*）个圆环所需的移动最少次数，若a 1=1．且a n = {2a n−1−1，n 为偶数2a n−1+2，n 为奇数，则解下5个环所需的最少移动次数为（ ） A.7B.13C.16D.22【正确答案】：C【解析】：直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的各项．【解答】：解：由于a 1=1，所以a 2=2a 1-1=1，a 3=2a 2+2=4，a 4=2a 3-1=7，a 5=2a 4+2=16． 故选：C ．【点评】：本题考查的知识要点：数学文化，数列的递推关系式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．6.（单选题，5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）A.πB. 3π4C. π2D. π4 【正确答案】：B【解析】：推导出该圆柱底面圆周半径r= √12−(12)2 = √32 ，由此能求出该圆柱的体积．【解答】：解：∵圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，∴该圆柱底面圆周半径r= √12−(12)2= √32 ， ∴该圆柱的体积：V=Sh= π×(√32)2×1 = 3π4 ． 故选：B ．【点评】：本题考查面圆柱的体积的求法，考查圆柱、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题．7.（单选题，5分）棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，正方形ABCD 所在平面内的动点P 到直线AA 1，BB 1的距离之和为 2√2，∠APB =90° ，则点P 到直线AB 的距离为（ ）A. √22B.1C. √32D. √2【正确答案】：B 【解析】：解方程组计算PA ，PB 的值，再计算P 到AB 的距离．【解答】：解：∵AA 1⊥平面ABCD ，PA⊂平面ABCD ，∴AA 1⊥PA ，故PA 为P 到直线AA 1的距离，同理可得PB 为P 到直线BB 1的距离，由题意可知PA+PB=2 √2 ，∵∠APB=90°，∴PA 2+PB 2=AB 2=4，联立方程组 {PA +PB =2√2PA 2+PB 2=4，解得PA=PB= √2 ， ∴△APB 是等腰直角三角形，∴点P 到直线AB 的距离为 12 AB=1．故选：B ．【点评】：本题考查了线面垂直的性质，考查点到直线的距离计算，属于基础题．8.（多选题，5分）下列命题的中，是存在性命题且是真命题的是（）A.至少有一个实数x，使x3+1=0B.所有正方形都是矩形C. ∃x∈R，x2−x+14≤0D.∃x∈R，x2+2x+2=0【正确答案】：AC【解析】：直接利用存在性问题的应用和恒成立问题的应用及命题真假的判定的应用求出结果．【解答】：解：对于A：当x=-1时，x3+1=0，故选项A正确．对于B：所有的正方形为矩形，为全称命题，故选项B错误．对于C：∃x∈R，x2−x+14=(x−12)2≤0，故选项C正确．对于D：∃x∈R，x2+2x+2=（x+1）2+1≥1为假命题，故选项D错误．故选：AC．【点评】：本题考查的知识要点：存在性问题和恒成立问题，真假命题的判断，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．9.（多选题，5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n-2，若存在两项a m，a n，使得a m a n=64，则（）A.数列{a n}为等差数列B.数列{a n}为等比数列C.a12+a22+…+a n2= 4n−13D.m+n为定值【正确答案】：BD【解析】：由数列的递推式：n=1时，a1=S1，n≥2时，a n=S n-S n-1，化简结合等比数列的定义和通项公式，可得a n，a n2，结合等比数列的求和公式，计算可判断正确结论．【解答】：解：S n=2a n-2，可得n=1时，a1=S1=2a1-2，即a1=2，n≥2时，a n=S n-S n-1=2a n-2-2a n-1+2，化为a n=2a n-1，则{a n}为首项为2，公比为2的等比数列，故A错，B对；由a n=2n，可得a n2=4n，则a12+a22+…+a n2=4+16+…+4n= 4(1−4n)1−4 = 4n+1−43，故C错；存在两项a m，a n，使得a m a n=64，可得2m+n=26，即m+n=6，故D对．故选：BD．【点评】：本题考查数列的递推式的运用，考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查化简运算能力，属于中档题．10.（多选题，5分）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E是DD1的中点，则（）A.直线B1C || 平面A1BDB.B1C⊥BD1C.三棱锥C1-B1CE的体积为13D.异面直线B1C与BD所成的角为60°【正确答案】：ABD【解析】：我们在研究线面关系时通常利用线面关系的判定定理和性质定理来解决，必要时利用转化思想来处理．在正方体中我们往往要掌握一些特殊的平行和垂直关系．在处理异面直线的夹角问题时我们要利用转化思想求解．【解答】：解：B1C || A1D，我们可得B1C || 平面A1BD，于是A选项正确；B1C⊥D1C，B1C⊥BC1，于是B1C⊥平面BD1C1，所以B1C⊥BC1，B选项正确；V C1−B1CE =V B1−C1EC=13S△C1EC•B1C1 = 16，于是C选项错误；由于B1C || A1D，则B1C与BD夹角等于A1D与BD夹角，在等边△A1BD中，∠A1DB=60°，故D选项正确．故选：ABD ．【点评】：本题考查了线面的平行与垂直关系，难度适中，在考查几何体体积和异面直线夹角时注重考查了转化关系，难度增大．11.（多选题，5分）已知椭圆C ： x 2a 2+y 2b 2=1 （a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2且|F 1F 2|=2，点P （1，1）在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）A.|QF 1|+|QP|的最小值为2a-1B.椭圆C 的短轴长可能为2C.椭圆C 的离心率的取值范围为 (0，√5−12) D.若 PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =F 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则椭圆C 的长轴长为 √5+√17【正确答案】：ACD【解析】：由焦距的值及P 的坐标可得PF 2⊥x 轴，由椭圆的定义到左焦点的距离转化为到右焦点的距离，当P ，F 2，Q 三点共线时|QP|+|QF 1|取到最小值，因为P 在椭圆内可得b ＞1，可得短轴长大于2，由P 在椭圆内可得长轴长2a 大于|PF 1|+|PF 2|，进而可得椭圆的离心率的范围； PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =F 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．可得F 1为PQ 的中点，由P ，F 1的坐标求出Q 的坐标，进而由两点间的距离求出长轴长2a=|QF 1|+|QF 2|的值．【解答】：解：由|F 1F 2|=2可得：F 2（1，0），所以PF 2⊥x 轴，A 中，|QF 1|+|QP|=2a-|QF 2|+|QP|=2a-（|QF 2|-|QP|）≥2a -|PF 2|=2a-1，当且仅当Q ，P ，F 2三点共线时，取到最小值为2a-1，所以A 正确；B 中，因为P 在椭圆内，b ＞1，所以短轴长2b ＞2，故B 不正确；C 中，因为P 在椭圆内，所以长轴长2a ＞|PF 1|+|PF 2|=1+ √5 ，所以离心率e= 2c 2a ＜2√5+1 = √5−12 ，所以e∈（0， √5−12 ），所以C 正确；D 中，因为 PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =F 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．所以F 1为PQ 的中点，而F 1（-1，0），F 2（1，0），P （1，1），所以Q （-3，-1），所以长轴长2a=|QF 1|+|QF 2|= √(−3+1)2+(−1)2 + √(1+3)2+12 = √5+√17 ，所以D 正确，故选：ACD ．【点评】：本题考查椭圆的性质，及由向量相等可得中点问题，及考查椭圆的定义，属于中档题．12.（填空题，5分）命题“∀x∈（0，π2），sinx＜1”的否定是___ ．【正确答案】：[1]∃x∈（0，π2），sinx≥1【解析】：通过全称命题的否定的特称命题，先否定题设，再否定结论．【解答】：解“sinx＜1”的否定是“sinx≥1”，∴“∀x∈（0，π2），sinx＜1”的否定是“∃x∈（0，π2），sinx≥1”．故答案为：∃x∈（0，π2），sinx≥1．【点评】：本题考查命题的否定，解题时要注意审题，认真解答．注意全称命题与特称命题的否定关系．13.（填空题，5分）将数列{2n+4}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{a n}，则{a n}的通项公式为a n=___ ．【正确答案】：[1]6n+4【解析】：先分别写出数列{2n+4}与{3n-2}的一些项，然后找到它们的公共项的规律，再根据规律求出其通项公式．【解答】：解：由题设知：数列{2n+4}：6，8，10，12，14，16，18，20，22，…，数列{3n-2}：1，4，7，10，13，16，19，22，…，它们的公共项构成的数列{a n}：10，16，22，28，…，是首项为a1=10，公差d=6的等差数列，∴a n=10+6（n-1）=6n+4，故答案为：6n+4．【点评】：本题主要考查由两个等差数列的公共项构成的数列的通项公式的求法，属于基础题．14.（填空题，5分）正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N，E，F分别是A1B1，AD，B1C1，C1D1的中点，则过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面的面积为 ___ ，CE和该截面所成角的正弦值为 ___ ．【正确答案】：[1]2 √2 ; [2] √1010【解析】：取A1D1中点G，BC中点P，CD中点H，连结GM、GN、MN、PE、PH、PF，推导出平面MNG || 平面PEFH，过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面为PEFH，由此能求出过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面的面积；以D1为原点，D1A1为x轴，D1C1为y 轴，D 1D 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出CE 和该截面所成角的正弦值．【解答】：解：取A 1D 1中点G ，BC 中点P ，CD 中点H ，连结GM 、GN 、MN 、PE 、PH 、PF ， ∵MG || EF ，NG || EP ，MG∩NG=G ，EF∩EP=E ，∴平面MNG || 平面PEFH ，∴过EF 且与MN 平行的平面截正方体所得截面为PEFH ，∵PE=2，EF= √12+12 = √2 ，四边形PEFH 是矩形，∴过EF 且与MN 平行的平面截正方体所得截面的面积为：S 矩形PEFH =2 √2 ．以D 1为原点，D 1A 1为x 轴，D 1C 1为y 轴，D 1D 为z 轴，建立空间直角坐标系，E （1，2，0），F （0，1，0），H （0，1，2），C （0，2，2），EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1，0，2）， EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1，-1，0）， EH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1，-1，2）， 设平面EFHP 的法向量 n ⃗ =（x ，y ，z ），则 {n ⃗ •EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x −y =0n ⃗ •EH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−x −y +2z =0 ，取x=1，得 n ⃗ =（1，-1，0）， 设CE 和该截面所成角为θ，则sinθ= |CE ⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ ||CE ⃗⃗⃗⃗⃗ |•|n ⃗ | = 1√5•√2= √1010 ． ∴CE 和该截面所成角的正弦值为 √1010 ．故答案为：2 √2 ，√1010． 【点评】：本题考查截面面积的求法，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．15.（填空题，5分）已知直线l与椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)相切于第一象限内的点P（x0，y0），且直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，当△AOB（O为坐标原点）的面积最小时，∠F1PF2=60°（F1、F2是椭圆的两个焦点），则该椭圆的离心率是___ ．【正确答案】：[1] √105【解析】：用x0，y0表示出直线l方程，计算A，B坐标，利用基本不等式得出△AOB（O为坐标原点）的面积最小对应的条件，根据△PF1F2的面积列方程得出a，b，c间的关系，从而可求出椭圆的离心率．【解答】：解：直线l的切线方程为：x0a2x+y0b2y=1，∴ A(a2x0，0)，B(0，b2y0)，∴ S△AOB=12•a2b2x0y0，∵ x02a2+y02b2=1≥2x0y0ab，∴ 1x0y0≥2ab，∴S△AOB≥ab，当且仅当x0a =y0b=√22时，△AOB（O为坐标原点）的面积最小，设|PF1|=x，|PF2|=y，由余弦定理可得4c2=x2+y2-xy=4a2-3xy，∴ xy=43b2，∴ S△PF1F2=12xysin60°=√33b2，∴ 1 2×2c×y0=√33b2，∴ y0=√3b23c=√22b，∴ c=√63b，∴ e=√105．故答案为：√105．【点评】：本题考查了椭圆性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查基本不等式的应用，属于中档题．16.（问答题，10分）已知命题p：∃x∈R，x2+2x+m≤0，命题q：方程x2m−t +y2t+1−m=1表示椭圆．（1）若命题p为真，求实数m的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求t的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）根据命题p为真，则△=4-4m≥0，解得即可，（2）根据椭圆的性质可得t＜m＜t+1，且m≠t+ 12，再根据p是q的必要不充分条件，可得t+1≤1，解得即可．【解答】：解：（1）命题p：∃x∈R，x2+2x+m≤0，命题p为真，则△=4-4m≥0，解得m≤1，即m的取值范围为（-∞，1]，（2）方程x 2m−t +y2t+1−m=1表示椭圆，则{m−t＞0t+1−m＞0m−t≠t+1−m，即t＜m＜t+1，且m≠t+ 12，∵p是q的必要不充分条件，∴t+1≤1，解得t≤0，故t的范围为（-∞，0]．【点评】：本题考查的知识点是充要条件，熟练掌握充要条件的定义是解答的关键．17.（问答题，12分）在四棱锥E-ABCD中，四边形ABCD是梯形，AB || DC，∠DAB=90°，AD=AB=1，△CDE是边长为2的正三角形，BE=√2．（1）求证：BC⊥DE；（2）求二面角A-BE-C的余弦值．【正确答案】：【解析】：（1）连接BD，可求得BC=BD= √2，由勾股定理的逆定理可证得BD⊥BC，BE⊥BC，故BC⊥平面BDE，从而得证；（2）由BE⊥BD，BE⊥BC，知BE⊥面ABC，故∠ABC即为所求；易知∠BCD=45°，于是∠ABC=135°，从而得解．【解答】：（1）证明：连接BD，因为四边形ABCD是直角梯形，AD=AB=1，所以BD= √2，而BC= √AD2+(12CD)2= √2，BE=√2，所以BD2+BC2=CD2，BE2+BC2=CE2，即BD⊥BC，BE⊥BC，又BD∩BE=B，BD、BE⊂平面BDE，所以BC⊥平面BDE，因为DE⊂平面BDE，所以BC⊥DE．（2）解：因为BD2+BE2=DE2，所以BE⊥BD，由（1）知，BE⊥BC，又BD∩BC=B，BD、BC⊂平面ABC，所以BE⊥面ABC，所以∠ABC即为二面角A-BE-C的平面角．由（1）知，BC=BD= √2，因为CD=2，所以△BCD为等腰直角三角形，∠BCD=45°，因为AB || CD，所以∠ABC=180°-∠BCD=135°，所以cos∠ABC= −√22，故二面角A-BE-C的余弦值为−√22．【点评】：本题考查空间中线与面的位置关系、二面角的求法，熟练掌握线面垂直的判定定理与性质定理，以及理解二面角的定义是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18.（问答题，12分）在① S3=12，② 2a2-a1=3，③ a8=24这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．已知{a n}是公差不为0的等差数列，其前n项和为S n，__，且a1，a2，a4成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}是各项均为正数的等比数列，且b2=a1，b4=a4，求数列{a n+b n}的前n项和T n．【正确答案】：【解析】：（1）设数列{a n}的公差为d（d≠0），由a1，a2，a4成等比数列，得d2=a1d，可得a n=a1+（n-1）d=nd，然后分选① ，选② ，选③ 分别求解d，则数列{a n}的通项公式可求；（2）由数列{b n}是各项均为正数的等比数列，且b2=a1，b4=a4，设数列{b n}的公比为q，则q ＞0，再分选① ，选② ，选③ 分别求解q，得到数列{b n}的通项公式，然后求解数列{a n+b n}的前n项和T n．【解答】：解：（1）设数列{a n}的公差为d（d≠0），∵a1，a2，a4成等比数列，∴ a22=a1a4，故(a1+d)2=a1(a1+3d)，化简得d2=a1d，∴d≠0，∴a1=d，则a n=a1+（n-1）d=nd．若选① S3=12，则6d=12，即d=2，得a n=2n；若选② 2a2-a1=3，则3d=3，即d=1，得a n=n；若选③ a8=24，则8d=24，即d=3，得a n=3n．（2）∵数列{b n}是各项均为正数的等比数列，且b2=a1，b4=a4，设数列{b n}的公比为q，则q＞0．若选① ，则a n=2n，故b2=a1=2，b4=a4=8=b2q2，∴q2=4，由q＞0，得q=2．又b2=b1q=2，则b1=1，∴ b n=2n−1．∴T n=n（n+1）+ 1−2n1−2=n2+n+2n-1；若选② ，则a n=n，故b2=a1=1，b4=a4=4= b2q2，∴q2=4，由q＞0，得q=2．又b2=b1q=1，则b1= 12，∴ b n=2n−2．∴T n= n(n+1)2+12(1−2n)1−2=n2+n+2n−12；若选② ，则a n=3n，故b2=a1=3，b4=a4=12= b2q2，∴q2=4，由q＞0，得q=2．又b2=b1q=3，则b1=3212，∴ b n=32•2n−1．∴T n= 3n(n+1)2+32(1−2n)1−2=3(n2+n+2n−1)2．【点评】：本题是等差数列与等比数列的综合题，考查等差数列与等比数列的前n项和，考查计算能力，是中档题．19.（问答题，12分）设椭圆x2a2 + y2b2=1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的短轴长为4，离心率为√55．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上．若|ON|=|OF|（O为原点），且OP⊥MN，求直线PB的斜率．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由题意可得b=2，运用离心率公式和a，b，c的关系，可得a，c，进而得到所求椭圆方程；（Ⅱ）B（0，2），设PB的方程为y=kx+2，联立椭圆方程，求得P的坐标，M的坐标，由OP⊥MN，运用斜率之积为-1，解方程即可得到所求值．【解答】：解：（Ⅰ）由题意可得2b=4，即b=2，e= ca = √55，a2-b2=c2，解得a= √5，c=1，可得椭圆方程为x 25 + y24=1；（Ⅱ）B（0，2），设PB的方程为y=kx+2，代入椭圆方程4x2+5y2=20，可得（4+5k2）x2+20kx=0，解得x=- 20k4+5k2或x=0，即有P（- 20k4+5k2，8−10k24+5k2），y=kx+2，令y=0，可得M（- 2k，0），又N（0，-1），OP⊥MN，可得8−10k 2−20k • 1−2k=-1，解得k=± 2√305，可得PB的斜率为± 2√305．【点评】：本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆方程联立，求交点，考查化简运算能力，属于中档题．20.（问答题，12分）正整数数列{a n}满足S na n=pn+q（p，q为常数），其中S n为数列{a n}的前n项和．（1）若p=1，q=0，求证：{a n}是等差数列；（2）若数列{a n}为等差数列，求p的值；（3）证明：a2020=2020a1的充要条件是p=12．【正确答案】：【解析】：（1）利用a n=S n-S n-1⇒a n与a n-1的关系式，即可证明结论；（2）设等差数列{a n}的公差为d，写出S n与a n的表达式，求得S na n ，再利用S na n=pn+q得到：d2=pd，再对d分类讨论求得p的值即可；（3）先由题设⇒ a npn+1−2p =a n−1p(n−1)，再分别证明充分性、必要性即可．【解答】：解：（1）证明：当p=1，q=0时，S na n=n，可得S n=na n，又当n≥2时，有：a n=S n-S n-1=na n-（n-1）a n-1，整理为：a n=a n-1，n≥2，∴a n=a1，∴{a n}是等差数列；（2）解：设等差数列{a n}的公差为d，∴ S n=na1+n(n−1)2d，a n=a1+（n-1）d，则S na n=na1+n(n−1)d2a1+(n−1)d=pn+q，∴ na1+n(n−1)2d=(pn+q)[a1+(n−1)d]① ，比较两边的系数可得：d2=pd，当d=0时，na1=a1（pn+q），解得p=1，q=0，此时，S n=na n，由（1）可知{a n}是等差数列；当d≠0时，有p=12，由① 比较常数项可得：0=（a1-d）q，则d=a1，a n=nd，此时{a n}是等差数列，综上可得：p=1或12；（3）证明：由S1a1=p+q=1，可得q=1-p，由S n=（pn+1-p）a n，S n-1=（pn+1-2p）a n-1（n≥2），相减可得：p（n-1）a n=（pn+1-2p）a n-1，即a npn+1−2p =a n−1p(n−1)．必要性：当p=12时，a nn=a n−1n−1(n≥2)，∴ a20202020=a20152015=……= a11，∴a2020=2020a1；充分性：反证法，当p＞12时，由p（n-1）a n=（pn+1-2p）a n-1=pna n-1+（1-2p）a n-1（n≥2），又数列各项为正数，∴p（n-1）a n＜pna n-1（n≥2），即a nn ＜a n−1n−1，∴ a20202020＜a11，不满足a2020=2020a1；当p＜12时，同理可证明，不满足a2020=2020a1，综上，a2020=2020a1的充要条件是p=12．【点评】：本题主要考查等差数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式、充要条件等知识点，综合性较强，有一定的难度．21.（问答题，12分）已知椭圆M：x24+y23=1，圆N是椭圆M长轴和短轴四个端点连接而成的四边形的内切圆．（1）求圆N的方程；（2）过圆N上的任一点A作圆N的切线交椭圆M于B，C两点，求证：|AB|•|AC|为定值．【正确答案】：【解析】：（1）说明椭圆M长轴和短轴四个端点连接而成的四边形为菱形，圆心是原点，利用点到直线的距离公式求解半径即可．（2）设BC：y=kx+m，B（x1，y1），C（x2，y2），推出7m2=12（1+k2），y=kx+m代入椭圆M：x 24+y23=1，消去y得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，利用韦达定理以及向量的数量积推出OB⊥OC，当直线BC的斜率不存在时，验证，然后推出结果．【解答】：解：（1）由对称性知，椭圆M 长轴和短轴四个端点连接而成的四边形为菱形， 圆心是原点，r =√a 2+b 2=√3√7（2）|AB||AC|=r 2，可证OB⊥OC ，当直线BC 的斜率存在时，设BC ：y=kx+m ，B （x 1，y 1），C （x 2，y 2）， 则 √k 2+1=√3√7 7m 2=12（1+k 2） ①y=kx+m 代入椭圆M ： x 24+y 23=1 ，消去y 得（3+4k 2）x 2+8kmx+4m 2-12=0，当△＞0， x 1+x 2=−8km 3+4k 2， x 1x 2=4m 2−123+4k 2 ， OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+m )(kx 2+m )=(1+k 2)x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2 = (1+k 2)(4m 2−12)3+4k 2+−8k 2m 23+4k 2+m 2=7m 2−12(1+k 2)3+4k 2 ，由 ① 得 OB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ， 所以OB⊥OC ，当直线BC 的斜率不存在时，B ，C 两点的坐标为（√3√7 ± √3√7 ）或（- √3√7 ，± √3√7 ）． 则 OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ，所以OB⊥OC ，又OA⊥BC ， 由射影定理可得 |AB‖AC |=127 ．【点评】：本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查发现问题解决问题的能力，是难题．。
2020-2021学年江苏扬州高二上数学期中试卷
2020-2021学年江苏扬州高二上数学期中试卷一、选择题1. 若a>b，c>d，则下列不等关系中不一定成立的是( )A.a−b>c−dB.a+c>b+dC.a−c>b−cD.a−c<a−d2. 不等式2x2+x−6<0的解集为( )A.(−32,2) B.(−2,32)C.(−∞−32)∪(2,+∞) D.⌀3. 已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=a n+6，则a5=( )A.25B.30C.32D.644. 已知实数x，y满足x2+y2=1，则xy的最大值是( )A.1B.√32C.√22D.125. 条件p:x2−4x−5<0是条件q:|x+3|>2的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6. 若A(m+1, n−1, 3)，B(2m, n, m−2n)，C(m+3, n−3, 9)三点共线，则m+n的值为( )A.0B.−1C.1D.−27. 若方程5x2+(a−11)x+a−2=0的一个根在(0, 1)内，另个一根在(1, 2)内，则实数a的取值范围是( )A.(43, 2) B.(2, +∞) C.(43, 4) D.(2, 4)8. 若椭圆x29+y2m+4=1的焦距为2，则m的值为( )A.1B.4C.1或7D.4或69. 已知等比数列{a n}中，若a1+a2+a3=13，a1a2a3=27且q>1，则a6=( )A.−35B.35C.24或2−2D.−35或35二、多选题如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1=√6，AB=BC=2，AC=2√2，点M是棱AA1的中点，则下列说法正确的是( )A.异面直线BC与B1M所成的角为90∘B.在B1C上存在点D，使MD//平面ABCC.二面角B1−AC−B的大小为60∘D.B1M⊥CM已知双曲线C:x2−y2b2=1(b>0)的一条渐近线l:y=2√2x，设F1，F2是C的左、右焦点，点P在l上，且|OF1|=|OP|，O为坐标原点，则( )A.C的虚轴长为4√2B.∠F1PF2=90∘C.||PF1|−|PF2||=2D.△PF1F2的面积为6√2已知等差数列{a n}的前n项和为S n(n∈N∗)，公差d≠0，S6=90，a7是a3与a9的等比中项，则下列选项正确的是( )A.a1=22B.d=−2C.当n=10或n=11时，S n取得最大值D.当S n>0时，n的最大值为21三、填空题命题“∃x0∈R，x02−x0−1≤0”的否定为________.已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n2a n+3，则a7=________.若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)与直线y=3x无交点，则离心率e的取值范围是________.已知过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，且|AF|=32|BF|，则直线l的斜率k=________.四、解答题已知函数f(x)=x2−3x+m.(1)当m=−4时，解不等式f(x)≤0；(2)若m>0，f(x)<0的解集为(a,b)，求1a +4b的最小值．已知集合A={x|x2−4x−12≤0}，B={x|x2−2x+1−m2≤0,m>0}.(1)求集合A与B；(2)若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数m的取值范围．分别求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)直线x−2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点；(2)过点(√3,−√5)，且与椭圆y225+x29=1有相同焦点．已知数列{a n}满足a1+2a2+4a3+⋯+2n−1a n=n(n+1)2,n∈N∗.(1)求{a n}的通项公式；(2)求{a n}的前n项和S n.如图①，在菱形ABCD中，∠A=60∘且AB=2，E为AD的中点．将△ABE沿BE折起使AD=√2，得到如图②所示的四棱锥A−BCDE．(1)求证：平面ABE⊥平面ABC；(2)若P为AC的中点，求二面角P−BD−C的余弦值．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，右顶点A(2, 0)，上顶点为B，左右焦点分别为F1，F2，且∠F1BF2=60∘，过点A作斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆于点D，交y轴于点E．(1)求椭圆C的方程；(2)设P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k(k≠0)都有OP⊥EQ？若存在，求出点Q；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2020-2021学年江苏扬州高二上数学期中试卷一、选择题1.【答案】A【考点】不等式性质的应用【解析】根据a>b，c>d即可判断选项B，C，D都成立，而选项A显然不一定成立，从而得出正确的选项．【解答】解：∵a>b，c>d，∴a+c>b+d，故选项B正确；a−c>b−c，故选项C正确；又−c<−d，∴a−c<a−d，故选项D正确.故选A.2.【答案】B【考点】一元二次不等式的解法【解析】不等式2x2+x−6<0可化为(2x−3)(x+2)<0，解得−2<x<32；所以该不等式的解集为(−2,32) .故选：B．【解答】解：不等式2x2+x−6<0可化为(2x−3)(x+2)<0，解得：−2<x<32，所以该不等式的解集为(−2,32) .故选B.3.【答案】A【考点】数列递推式等差数列【解析】将a1=1代入式子a n+1=a n+6得出a2，以此类推可得出a5．【解答】解：∵ 数列{a n}满足a1=1，a n+1=a n+6，∴a2=a1+6=7，a3=a2+6=13，a4=a3+6=19，a5=a4+6=25.故选A.4.【答案】D【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】因为x2+y2=1，则x≤x2+y22=12，当且仅当x=y=√22时取等号，故选：D．【解答】解：因为x2+y2=1，所以xy≤x2+y22=12，当且仅当x=y=√22时取等号.故选D.5.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】解：条件p:x2−4x−5<0的解集为−1<x<5，条件q:|x+3|>2的解集为x<−5或x>−1，∴命题p⇒命题q，反之则不可以，故条件p是条件q的充分不必要条件.故选A．6.【答案】A【考点】平行向量的性质三点共线【解析】根据点A ，B ，C 的坐标，分别求出AB →，AC →的坐标，利用三点共线，可建立方程组，从而可求m +n 的值 【解答】解：∵ A(m +1, n −1, 3)，B (2m, n, m −2n)， C( m +3, n −3, 9)，∴ AB →=(m −1,1,m −2n −3)，AC →=(2,−2,6). ∵ A ，B ，C 三点共线， ∴ AB →//AC →， ∴m−12=1−2=m−2n−36解得：m =0，n =0，∴ m +n =0. 故选A . 7.【答案】 D【考点】由函数零点求参数取值范围问题 一元二次不等式与二次函数【解析】 此题暂无解析 【解答】解：令f(x)=5x 2+(a −11)x +a −2，则f(x)与x 的轴的两个交点分别在(0, 1)和(1, 2)内，∴ {f(0)=a −2>0，f(1)=5+(a −11)+a −2<0，f(2)=20+2(a −11)+a −2>0，解得2<a <4. 故选D . 8.【答案】 D【考点】椭圆的标准方程 【解析】①当椭圆焦点在x 轴上时，a 2=9,b 2=m +4，得c =√5−π，∴ 焦距2c =2√5−π=2，解之得m =4， ②椭圆焦点在y 轴上时，a 2=m +4,b 2=9，得c =√m −5，焦距2c =2√n −5=2，解之得m =6， 综上所述，得m =4或6 . 故选：D ． 【解答】解：①当椭圆焦点在x 轴上时，a 2=9，b 2=m +4，∴ c =√5−m ，∴ 焦距2c =2√5−m =2， 解得：m =4；②当椭圆焦点在y 轴上时，a 2=m +4，b 2=9， ∴ c =√m −5，∴ 焦距2c =2√m −5=2， 解得：m =6.综上所述，m =4或6 . 故选D . 9.【答案】 B【考点】等比数列的通项公式 【解析】【解答】解：由题意，设等比数列{a n }的公比为q ． ∵ a 1a 2a 3=27，即(a 2)3=27， 解得a 2=3.又a 1+a 2+a 3=13，即a2q +a 2+a 2q =13， ∴ 3q 2−10q +3=0， 解得q =3或q =13. 又由q >1， ∴ q =3，∴ a 6=a 2q 4=35. 故选B ． 二、多选题 【答案】 A,B,C【考点】二面角的平面角及求法空间中直线与平面之间的位置关系 异面直线及其所成的角【解析】选项A ，连接MC 1，易知BC//B 1C 1，故∠MB 1C 1即为所求．由勾股定理可知A 1B 1⊥B 1C 1，由三棱柱的性质可知BB 1⊥B 1C 1，再结合线面垂直的判定定理与性质定理即可证得可证得B 1C 1⊥MB,，即∠MB 1C 1=90∘； 选项B ，连接BC 1，交B 1C 于点D ，连接MD ，再取BC 的中点E ，连接DE 、AE ，易知四边形AMDE 为平行四边形，故MD//AE ，再由线面平行的判定定理即可得证；选项C ，取AC 的中点N ，连接BN 、B 1N, 则∠BNB 1即为所求，在Rt △BNB 中，由三角函数可求出tan ∠BMB 1的值，从而得解；选项D ，在△CMB 中，利用勾股定理分别算出CM 、MB 和B 1C 的长，判断其结果是否满足CM 2+MB 12≠B 1C 2即可．【解答】解：A，连接MC1，由三棱柱的性质可知，BC//B1C1，∴∠MB1C1即为异面直线BC与B1M所成的角．∵AB=BC=2，AC=2√2，∴∠ABC=∠A1B1C1=90∘，即A1B1⊥B1C1，由直三棱柱的性质可知，BB1⊥平面A1B1C1，∵B1C1⊂平面A1B1C1，∴BB1⊥B1C1．又A1B1∩BB1=B1，A1B1，BB1⊂平面ABB1A1，∴B1C1⊥平面ABB1A1，∴B1C1⊥MB1，即∠MB1C1=90∘，故选项A正确；B，连接BC1，交B1C于点D，连接MD，再取BC的中点E，连接DE，AE，则DE//AM，DE=AM，∴四边形AMDE为平行四边形，∴MD//AE.∵MD⊄平面ABC，AE⊂平面ABC，∴MD//平面ABC，故选项B正确；C，取AC的中点N，连接BN，B1N，∵BB1⊥平面ABC，∴∠BNB1即为二面角B1−AC−B的平面角．在Rt△BNB1中，BB1=√6，BN=√22AB=√2，∴tan∠BNB1=BB1BN=√3，∴∠BNB1=60∘，故选项C正确；D，在△CAM中，CM2=AC2+AM2=192，在△B1A1M中，MB12=A1B12+A1M2=112，在△B1BC中，B1C2=B1B2+BC2=10，显然CM2+MB12≠B1C2，∴B1M与CM不垂直，故选项D错误．故选ABC．【答案】A,B,D【考点】双曲线的渐近线双曲线的标准方程余弦定理【解析】利用双曲线渐近线求出b=2√2，得到双曲线方程，利用双曲线性质以及平面几何知识即可判断AB选项,利用余弦定理计算得|PF1|=√OP2+OF12−2OP×OF1cosθ=2√3,|PF2|=2√6，结合三角形为直角三角形，即可判断CD是否正确.【解答】解：因为双曲线的一条渐近线为y=2√2x，所以ba=2√2.又a=1，所以b=2√2,所以虚轴长为4√2，故A选项正确；因为F1，F2为双曲线的左、右焦点，所以|OF1|=|OF2|=3.又因为|OF1|=|OP|，所以|OP|=12|F1F2|,所以∠F1PF2=90∘，故B选项正确；设渐近线的倾斜角为θ，所以tanθ=2√2，所以cosθ=13.由余弦定理得|PF1|=√OP2+OF12−2OP×OF1cos(π−θ)=2√6,同理|PF2|=2√3，所以||PF1|−|PF2||≠2，故C选项错误；因为△PF1F2为直角三角形,所以△PF 1F 2的面积为12×2√6×2√3=6√2，故D 选项正确.故选ABD . 【答案】 B,C【考点】 等比中项等差数列与等比数列的综合 二次函数的性质 等差数列的前n 项和【解析】分别运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由S n >0解不等式可判断D ． 【解答】解：由公差d ≠0，S 6=90，可得6a 1+15d =90， 即2a 1+5d =30，①由a 7是a 3与a 9的等比中项，可得a 72=a 3a 9， 即为(a 1+6d)2=(a 1+2d)(a 1+8d)， 化为a 1=−10d ，②由①②解得a 1=20，d =−2，故A 错误，B 正确； 由S n =20n +12n(n −1)⋅(−2)=21n −n 2=−(n −212)2+4414，由于n 为正整数，可得n =10或11时，S n 取得最大值110，故C 正确； 由S n >0，解得0<n <21，可得n 的最大值为20．故D 错误． 故选BC ． 三、填空题【答案】∀x ∈R ，x 2−x −1>0 【考点】 命题的否定 【解析】命题为特称命题，则命题的否定为∀x ∈R ,x 2−x −1>0，故答案为：∀x ∈R ,x 2−x −1>0 . 【解答】解：特称命题的否定为全称命题，则该命题的否定为：∀x ∈R ，x 2−x −1>0. 故答案为：∀x ∈R ，x 2−x −1>0 . 【答案】 15【考点】 数列递推式 等差数列【解析】 由a n+1=3a n 2a n +3，得1a n+1=1a n+23，所以(1an)是等差数列， 1a n=1a 1+(n −1)×23=2n+13,a n =32n+1，所以a 7=15.故答案为：15. 【解答】 解：由a n+1=3a n 2a n +3，得1an+1=1a n+23，∴ 数列{1a n}是公差为23的等差数列，∴ 1a n=1a 1+(n −1)×23=2n+13，∴ a n =32n+1， ∴ a 7=15 . 故答案为：15 .【答案】 (1,√10 ]【考点】双曲线的离心率 【解析】将双曲线的方程x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)与直线方程y =3x 联立方程组，得到：(b 2−9a 2)x 2=a 2⋅b 2，显然当b 2−9a 2≤0时方程无解，即两曲线无公共点，从而可求得离心率e 的取值范围． 【解答】解：由题意，联立{x 2a 2−y 2b 2=1，y =3x ，解得(b 2−9a 2)x 2=a 2b 2.∵ 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0，b >0)与直线y =3x 无公共点， ∴ b 2−9a 2≤0. 又c 2=b 2+a 2，∴ c 2−a 2−9a 2≤0，即c 2≤10a 2， 两端同除以a 2，得(ca )2≤10，即e 2≤10. 又e >1，∴ 1<e ≤√10． 故答案为：(1,√10 ]. 【答案】±2√6【考点】直线与抛物线结合的最值问题抛物线的定义直线的倾斜角【解析】此题暂无解析【解答】解∶当直线的倾斜角为锐角时，如图，从点A，B分别作准线的垂线，设垂足分别为M，N，从点B作AM的垂线，设垂足为P．设|BF|=|BN|=a，则|AF|=|AM|=32a，则|AP|=12a，所以|PB|=√6a，由图可知直线的倾斜角等于∠BAP，故k=tan∠BAP=2√6．同理当直线的倾斜角为钝角时，可得k=−2√6 .故答案为：±2√6.四、解答题【答案】解：(1)当m=−4时，f(x)=x2−3x−4=(x−4)(x+1)≤0，解得−1≤x≤4．(2)∵当m>0时，f(x)<0的解集为(a,b)，∴f(b)=f(a)=0，则x2−3x+m=0的两个根是a和b，即a+b=3，ab=m>0，∴a，b均为正数，则13(a+b)(1a+4b)=13(1+4+ba+4ab) .又ba +4ab≥2√ba⋅4ab=4，当且仅当b=2a，即a=1，b=2时取等号，∴1a +4b≥13(5+4)=3．故1a +4b的最小值为3.【考点】基本不等式在最值问题中的应用一元二次不等式的解法函数的零点【解析】【解答】解：(1)当m=−4时，f(x)=x2−3x−4=(x−4)(x+1)≤0，解得−1≤x≤4．(2)∵当m>0时，f(x)<0的解集为(a,b)，∴f(b)=f(a)=0，则x2−3x+m=0的两个根是a和b，即a+b=3，ab=m>0，∴a，b均为正数，则13(a+b)(1a+4b)=13(1+4+ba+4ab) .又ba+4ab≥2√ba⋅4ab=4，当且仅当b=2a，即a=1，b=2时取等号，∴1a+4b≥13(5+4)=3．故1a+4b的最小值为3.【答案】解：(1)∵x2−4x−12≤0，整理，得(x+2)(x−6)≤0，解得：−2≤x≤6，∴A=[−2,6] .∵x2−2x+1+m2≤0,m>0，整理，得[x−(1−m)][x−(1+m)]≤0，解得：1−m≤x≤1+m，∴B=[1−m,1+m] .(2)∵ x∈A是x∈B的必要不充分条件，∴B⫋A，∴{−2≤1−m，1+m≤6，m>0，且等号不能同时成立，解得：0<m≤3，∴m∈(0,3] .【考点】一元二次不等式的解法根据充分必要条件求参数取值问题【解析】（1）x2−4x−12≤0，化为：(x+2)(x−6)≤0，解得：−2≤x<6 .∴A=[−2,6] .x2−2x+m2≤0,m>0，∴[x−(1−m)][x−(1+m)≤0，解得1−m≤x≤1+m . ∴B=[−m,1+m] .（2）∵ x∈A是x∈B的必要不充分条件，∴ B ⫋A∴ {−2≤1−m1+m <6m >0, 且等号不能同时成立．解得：0<m ≤3 . ∴ m ∈(0,3] .【解答】解：(1)∵ x 2−4x −12≤0， 整理，得(x +2)(x −6)≤0， 解得：−2≤x ≤6 ， ∴ A =[−2,6] .∵ x 2−2x +1+m 2≤0,m >0，整理，得[x −(1−m )][x −(1+m )]≤0， 解得：1−m ≤x ≤1+m ， ∴ B =[1−m,1+m] .(2)∵ x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件， ∴ B ⫋A ，∴ {−2≤1−m ，1+m ≤6，m >0， 且等号不能同时成立，解得：0<m ≤3 ， ∴ m ∈(0,3] .【答案】解：(1)直线方程x −2y +2=0，当x =0时，解得y =1，即直线过(0,1)点. 当y =0时，解得x =−2，即直线过(−2,0)点. 当(−2,0)为焦点时，c =2，b =1， 所以a 2=c 2+b 2=5，所以椭圆的标准方程为x 25+y 2=1； 当(0,1)为焦点时，c =1，b =2， 所以a 2=c 2+b 2=5，所以椭圆的标准方程为y 25+x 2=1 . (2)设与椭圆y 225+x 29=1有相同焦点的椭圆的方程为y 225+k +x 29+k =1(k >−9)，将点(√3,−√5)代入，得525+k+39+k=1，整理，得k 2+26k +105=0，k >−9， 解得k =−5， 所以椭圆的方程为y 220+x 24=1 .【考点】椭圆的定义和性质 椭圆的标准方程 【解析】【解答】解：(1)直线方程x −2y +2=0，当x =0时，解得y =1，即直线过(0,1)点. 当y =0时，解得x =−2，即直线过(−2,0)点. 当(−2,0)为焦点时，c =2，b =1， 所以a 2=c 2+b 2=5，所以椭圆的标准方程为x 25+y 2=1； 当(0,1)为焦点时，c =1，b =2， 所以a 2=c 2+b 2=5， 所以椭圆的标准方程为y 25+x 2=1 .(2)设与椭圆y 225+x 29=1有相同焦点的椭圆的方程为y 225+k +x 29+k =1(k >−9)，将点(√3,−√5)代入，得525+k +39+k =1， 整理，得k 2+26k +105=0，k >−9， 解得k =−5， 所以椭圆的方程为y 220+x 24=1 .【答案】解：(1)当n =1时，a 1=1，当n ≥2时，由a 1+2a 2+4a 3+⋯+2n−1a n =n (n+1)2①，可得a 1+2a 2+4a 3+⋯+2n−2a n−1=(n−1)n 2②，①−②，得2n−1a n =n ， 所以a n =n ⋅(12)n−1．因为a 1=1也满足a n =n ⋅(12)n−1，所以{a n }的通项公式为a n =n ⋅(12)n−1．(2)由题意得， S n =a 1+a 2+⋯+a n =1×(12)0+2×(12)1+⋯+n ×(12)n−1③，则12S n =1×(12)1+2×(12)2+⋯+n ×(12)n④， ③−④得：12S n =(12)0+(12)1+⋯+(12)n−1−n ×(12)n，即12S n =1−(12)n 1−12−n ×(12)n，所以S n =4−(n +2)⋅(12)n−1．【考点】 数列的求和 数列递推式等比数列的前n 项和 【解析】 无 无【解答】解：(1)当n =1时，a 1=1，当n ≥2时，由a 1+2a 2+4a 3+⋯+2n−1a n =n (n+1)2①，可得a 1+2a 2+4a 3+⋯+2n−2a n−1=(n−1)n 2②，①−②，得2n−1a n =n ， 所以a n =n ⋅(12)n−1．因为a 1=1也满足a n =n ⋅(12)n−1，所以{a n }的通项公式为a n =n ⋅(12)n−1．(2)由题意得， S n =a 1+a 2+⋯+a n =1×(12)0+2×(12)1+⋯+n ×(12)n−1③，则12S n =1×(12)1+2×(12)2+⋯+n ×(12)n④， ③−④得：12S n =(12)0+(12)1+⋯+(12)n−1−n ×(12)n，即12S n =1−(12)n 1−12−n ×(12)n，所以S n =4−(n +2)⋅(12)n−1．【答案】(1)证明：在图①中，连接BD ，如图所示，∵ 四边形ABCD 为菱形，∠A =60∘，∴ △ABD 是等边三角形. ∵ E 为AD 的中点， ∴ BE ⊥AE ，BE ⊥DE . 又AD =AB =2， ∴ AE =DE =1. 在图②中，AD =√2， ∴ AE 2+ED 2=AD 2， ∴ AE ⊥ED .∵ BC//DE ，∴ BC ⊥BE ，BC ⊥AE .又BE ∩AE =E ，AE ，BE ⊂平面ABE ， ∴ BC ⊥平面ABE . ∵ BC ⊂平面ABC ，∴ 平面ABE ⊥平面ABC ．(2)解：由(1)可知，AE ⊥DE ，AE ⊥BE . ∵ BE ∩DE =E ，BE ，DE ⊂平面BCDE ， ∴ AE ⊥平面BCDE .以E 为坐标原点，EB →，ED →，EA →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E −xyz ，则E(0,0,0)，A(0,0,1)，B(√3,0,0)，C(√3,2,0)，D(0,1,0)， ∵ P 为AC 的中点，∴ P (√32,1,12)， ∴ PB →=(√32,−1,−12)，PD→=(−√32,0,−12). 设平面PBD 的一个法向量为m →=(x,y,z)，由{m →⋅PB →=0,m →⋅PD →=0,得{√32x −y −12z =0,−√32x −12z =0.令z =√3，得m →=(−1,−√3,√3). 又平面BCD 的一个法向量为EA →=(0,0,1)，设二面角P −BD −C 的大小为θ，由题意知该二面角为锐角，则cos θ=|EA →⋅m →||EA →||m →|=√31×√7=√217，∴ 二面角P −BD −C 的余弦值为√217． 【考点】用空间向量求平面间的夹角 平面与平面垂直的判定 【解析】【解答】(1)证明：在图①中，连接BD ，如图所示，∵ 四边形ABCD 为菱形，∠A =60∘， ∴ △ABD 是等边三角形. ∵ E 为AD 的中点， ∴ BE ⊥AE ，BE ⊥DE . 又AD =AB =2， ∴ AE =DE =1.在图②中，AD =√2， ∴ AE 2+ED 2=AD 2， ∴ AE ⊥ED . ∵ BC//DE ，∴ BC ⊥BE ，BC ⊥AE .又BE ∩AE =E ，AE ，BE ⊂平面ABE ， ∴ BC ⊥平面ABE . ∵ BC ⊂平面ABC ，∴ 平面ABE ⊥平面ABC ．(2)解：由(1)可知，AE ⊥DE ，AE ⊥BE . ∵ BE ∩DE =E ，BE ，DE ⊂平面BCDE ， ∴ AE ⊥平面BCDE .以E 为坐标原点，EB →，ED →，EA →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E −xyz ，则E(0,0,0)，A(0,0,1)，B(√3,0,0)，C(√3,2,0)，D(0,1,0)， ∵ P 为AC 的中点，∴ P (√32,1,12)， ∴ PB →=(√32,−1,−12)，PD →=(−√32,0,−12). 设平面PBD 的一个法向量为m →=(x,y,z)， 由{m →⋅PB →=0,m →⋅PD →=0,得{√32x −y −12z =0,−√32x −12z =0.令z =√3，得m →=(−1,−√3,√3). 又平面BCD 的一个法向量为EA →=(0,0,1)，设二面角P −BD −C 的大小为θ，由题意知该二面角为锐角，则cos θ=|EA →⋅m →||EA →||m →|=√31×7=√217， ∴ 二面角P −BD −C 的余弦值为√217． 【答案】解：(1)由题意得：a =2，∵ 在Rt △OBF 2中，∠F 1BF 2=60∘，∴ ∠OBF 2=30∘，|OB|=b ，|OF 2|=c ， ∴ |BF 2|=a ， ∴ cos 30∘=ba =√32， 解得b =√3， ∴ 椭圆方程为x 24+y 23=1．(2)设直线AD ：y =k(x −2)(k ≠0)，令x =0，则y =−2k ， ∴ E(0, −2k).联立直线AD 与椭圆方程{y =k(x −2)，x 24+y 23=1，整理得(3+4k 2)x 2−16k 2x +16k 2−12=0， x A +x D =16k 23+4k 2，解得x D =8k 2−63+4k ，y D =k(8k 2−63+4k −2)=−12k3+4k ， 设P(x P , y P )，∵ P 为AD 的中点，∴ x P =12(8k 2−63+4k 2+2)=8k 23+4k 2，y P =12(−12k3+4k 2)=−6k3+4k 2， ∴ OP →=(8k 23+4k 2,−6k3+4k 2).第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页设存在Q(x 0, y 0)使得OP ⊥EQ ，则EQ →=(x 0,y 0+2k)，OP →⋅EQ →=0， ∴ 8k 2x 03+4k2−6ky 0+12k 23+4k 2=0，即4k 2(2x 0−3)−6ky 03+4k 2=0对任意的k ≠0都成立，∴ {2x 0−3=0，y 0=0，解得{x 0=32，y 0=0，∴ 存在Q(32,0)使得OP ⊥EQ ． 【考点】直线与椭圆结合的最值问题 椭圆的标准方程【解析】（1）由右顶点的坐标可得a 的值，再由上顶点与左右焦点所成的角可得b ，c 的关系，又由a ，b ，c 之间的关系求出a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）法一）设直线AD 的方程，由题意可得E 的坐标，将直线AD 的方程代入椭圆的方程可得D 的坐标，进而求出AD 的中点P 的坐标，求出向量OP →，假设存在Q 的坐标，求出向量EQ →，由OP →⋅EQ →=0，可得4k 2(2x 0−3)−6ky 03+4k 2=0对任意的k ≠0都成立，所以x 0=32，y 0＝0；法二）设A ，B ，P 的坐标，将A ，B 的坐标代入椭圆的方程，两式相减可得OP 的斜率，假设存在Q 的坐标使OP ⊥EQ ，可得斜率之积为−1恒成立，求出Q 的坐标． 【解答】解：(1)由题意得：a =2，∵ 在Rt △OBF 2中，∠F 1BF 2=60∘，∴ ∠OBF 2=30∘，|OB|=b ，|OF 2|=c ， ∴ |BF 2|=a ， ∴ cos 30∘=b a=√32， 解得b =√3， ∴ 椭圆方程为x 24+y 23=1．(2)设直线AD ：y =k(x −2)(k ≠0)， 令x =0，则y =−2k ， ∴ E(0, −2k).联立直线AD 与椭圆方程{y =k(x −2)，x 24+y 23=1，整理得(3+4k 2)x 2−16k 2x +16k 2−12=0，x A +x D =16k 23+4k 2， 解得x D =8k 2−63+4k2，y D =k(8k 2−63+4k 2−2)=−12k 3+4k 2，设P(x P , y P )，∵ P 为AD 的中点，∴ x P =12(8k 2−63+4k 2+2)=8k 23+4k 2，y P =12(−12k3+4k 2)=−6k3+4k 2， ∴ OP →=(8k 23+4k 2,−6k3+4k 2).设存在Q(x 0, y 0)使得OP ⊥EQ ，则EQ →=(x 0,y 0+2k)，OP →⋅EQ →=0， ∴ 8k 2x3+4k 2−6ky 0+12k 23+4k 2=0，即4k 2(2x 0−3)−6ky 03+4k 2=0对任意的k ≠0都成立，∴ {2x 0−3=0，y 0=0，解得{x 0=32，y 0=0，∴ 存在Q(32,0)使得OP ⊥EQ ．。
江苏省扬州市邗江区2020-2021学年第一学期高二数学期中考试试卷
2020-2021学年高二年级第一学期期中考试 数 学 （本卷满分：150分 考试时间：120分钟）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）1、已知等差数列{}n a 中，15,652==a a ,若n n a b 2=，则数列{}n b 的前5项和等于 （ ）A.186B. 90C.45D.302、下列函数的最小值为2的是( )A. 1y x x=+ B. 1sin (0)sin 2πy x x x =+<< C. 2222y x x =+++ D. 1tan (0)tan 2πy x x x =+<< 3、南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为3,4,6,9,13,18,24,则该数列的第19项为 （ ）A. 174B. 184C. 188D. 1604、在如图所示的锐角三角形空地中， 欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)， 则其边长x (单位m )的取值范围是 （ ）A ．[15，20]B ．[12，25]C ．[10，30]D ．[20，30]5、记n S 为数列}{n a 的前n 项和，且12+-=n n a S ，则6S 的值为 （ ）A ．665729B ．486665C ．665243D ．6596、已知x ∈R ，条件2:p x x <，条件1:q a x ≥，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值不可能的是（ ）A ．12B ．1C ．2D ．2-7、已知d c b a ,,,均为实数，则下列命题正确的是（ ）A ．若d c b a >>,，则bd ac >B ．若0,0>->ad bc ab ，则0>-bd a c C ．若d c b a >>,则c b d a +>+ D ．若0,>>>d c b a 则cb d a > 8、已知数列{}n a 是等差数列,下列结论中正确的是 （ ）A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则213a a a >D ．若10a <，则()()21230a a a a -->二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）9、下列命题中，既是存在性命题又是真命题的有（ ）A.至少有一个实数x ，使x 3+1=0B.所有正方形都是矩形C.,x R ∃∈使2104x x -+≤ D.,x R ∃∈使2220x x ++= 10、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分如右图所示，图象过点A (－3,0)，对称轴为x ＝－1。
2021-2022学年江苏省扬州市江都区高二(上)期中数学试卷(解析版)
2021-2022学年江苏省扬州市江都区高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线x﹣y﹣1＝0的倾斜角为（）A．B．C．D．2．若直线l1：x+（m﹣1）y+5＝0与直线l2：mx+2y+2＝0平行，则m的值为（）A．﹣1B．2C．﹣1或2D．1或﹣23．若抛物线y2＝16x上的点M到焦点的距离为12，则它到y轴的距离是（）A．6B．8C．9D．104．已知圆x2+y2＝1与圆x2﹣6x+y2﹣8y+m+6＝0相外切，则m的值为（）A．3B．4C．5D．65．已知椭圆的离心率为，则k的值为（）A．﹣4B．4C．﹣4或D．4或6．阿基米德是古希腊著名的数学家，物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＝1（a＞b＞0）的面积为8π，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆C的标准方程是（）A．B．C．D．7．平面直角坐标系中，已知A（6，8），在两坐标轴上分别有动点M，N，且MN＝6，P 是MN的中点，则PA长度的最小值是（）A．6B．13C．10D．78．若双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被以焦点为圆心的圆x2+y2﹣4x ＝0所截得的弦长为2，则a的值为（）A．1B．C．D．2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列说法正确的是（）A．过（x1，y1），（x2，y2）两点的直线方程为B．经过点（1，2）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣3＝0C．若方程x2+y2﹣2x+2y﹣m＝0表示圆，则m＞﹣2D．圆x2+y2＝4上有且只有三点到直线l：x﹣y+＝0的距离都等于110．已知双曲线＝1，对于∀k∈R且k≠0，则下列四个选项中因k改变而变化的是（）A．焦距B．离心率C．顶点坐标D．渐近线方程11．设抛物线y2＝4x，F为其焦点，P为抛物线上一点，则下列结论正确的是（）A．抛物线的准线方程是x＝﹣1B．当PF⊥x轴时，|PF|取最小值C．若A（2，3），则|PA|+|PF|的最小值为D．以线段PF为直径的圆与y轴相切12．某同学利用图形计算器研究教材中一例问题“设点A（﹣5，0），B（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为﹣，求点M的轨迹方程”时，将其中已知条件“斜率之积为﹣”拓展为“斜率之积为常数k（k≠0）”之后，进行了如图所示的作图探究：参考该同学的探究，下列结论正确的有（）A．k＜0时，点M的轨迹为椭圆（不含与x轴的交点）B．﹣1＜k＜0时，点M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆（不含与x轴的交点）C．k＜﹣1时，点M的轨迹为焦点在y轴上的椭圆（不含与x轴的交点）D．k＞0时，点M的轨迹为焦点在x轴上的双曲线（不含与x轴的交点）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13．抛物线y2＝4x的通径（过抛物线的焦点且与其对称轴垂直的弦）的长为．14．已知双曲线C的浙近线方程为y＝±3x，写出双曲线C的一个标准方程．15．椭圆的短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率为．16．已知圆C：（x﹣3）2+y2＝1，点M在抛物线T：y2＝4x上运动，过点M引直线l1，l2与圆C相切，切点分别为A、B，则|AB|的取值范围为．四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点坐标分别为A（﹣4，﹣2），B（6，6），C（0，6）．（1）设线段AB的中点为M，求中线CM所在直线的方程；（2）求边AB上的高所在直线的方程．18．已知圆C的圆心在直线2x﹣y＝0上，且与y轴相切于点（0，2）．（1）求圆C的方程；（2）若圆C与直线l：x﹣y+m＝0交于A，B两点，______，求m的值．从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：∠ACB＝120°；条件②：；条件③：．19．已知平面上两点F（﹣4，0），F′（4，0），动点P满足PF+PF′＝10．（1）求动点P的轨迹C的标准方程；（2）当动点P满足∠FPF′＝90°时，求P点的纵坐标．20．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F与双曲线的右顶点重合，过点M（3，0）作㑔斜角为45°的直线l与抛物线交于A，B两点．（1）求抛物线方程；（2）若O为坐标原点，求△AOB的面积．21．已知双曲线E：x2﹣＝1（b＞0），点P（2，3）在E上．（1）求E的方程；（2）过点Q（0，1）的直线l交E于不同的两点A，B（均异于点P），求直线PA，PB 的斜率之和．22．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的右顶点为A，焦距是2，离心率e＝．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l：y＝kx+m（k，m均为常数）与椭圆C相交于不同的两点M，N（均异于点A），若以MN为直径的圆经过椭圆C的右顶点A，试判断直线l能否过定点？若能，求出该定点坐标；若不能，也请说明理由．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线x﹣y﹣1＝0的倾斜角为（）A．B．C．D．【分析】把直线方程化为斜截式，求出直线的斜率，由斜率公式求出直线的倾斜角．解：由x﹣y﹣1＝0得，y＝x﹣1，∴斜率k＝，则tan，∴直线x﹣y﹣1＝0的倾斜角为，故选：B．2．若直线l1：x+（m﹣1）y+5＝0与直线l2：mx+2y+2＝0平行，则m的值为（）A．﹣1B．2C．﹣1或2D．1或﹣2【分析】直接利用直线的充要条件的应用建立方程，进一步求出m的值．解：直线l1：x+（m﹣1）y+5＝0与直线l2：mx+2y+2＝0平行，则：2﹣m（m﹣1）＝0，整理得m2﹣m﹣2＝0，解得m＝2或﹣1．故选：C．3．若抛物线y2＝16x上的点M到焦点的距离为12，则它到y轴的距离是（）A．6B．8C．9D．10【分析】由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离，求出M的横坐标，即为M到y轴的距离．解：由抛物线的方程可得准线方程为：x＝﹣4，设M的横坐标为x0，由抛物线的性质可得x0+4＝12，所以x0＝8，所以M到y轴的距离为8，故选：B．4．已知圆x2+y2＝1与圆x2﹣6x+y2﹣8y+m+6＝0相外切，则m的值为（）A．3B．4C．5D．6【分析】根据两圆相外切，则圆心距等于半径的和，可得m的值．解：由于两圆外切，则圆心距等于半径的和，则将x2﹣6x+y2﹣8y+m+6＝0化为圆的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝19﹣m，则有＝1+，得m＝3，故选：A．5．已知椭圆的离心率为，则k的值为（）A．﹣4B．4C．﹣4或D．4或【分析】对椭圆的焦点分类讨论，利用椭圆的标准方程及其离心率计算公式即可得出．解：当椭圆的焦点在x轴上时，a2＝9，b2＝4﹣k，9＞4﹣k，c＝，∴e＝，解得k＝﹣4．当椭圆的焦点在y轴上时，a2＝4﹣k，b2＝9，4﹣k＞9，c＝，∴e＝＝，解得k＝﹣．∴k＝﹣4或＝﹣，故选：C．6．阿基米德是古希腊著名的数学家，物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＝1（a＞b＞0）的面积为8π，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆C的标准方程是（）A．B．C．D．【分析】由题意可得：，联立方程即可求出a，b，进而可以求解．解：由题意可得：，可得a＝4，b＝2，所以椭圆C的标准方程为：，故选：A．7．平面直角坐标系中，已知A（6，8），在两坐标轴上分别有动点M，N，且MN＝6，P 是MN的中点，则PA长度的最小值是（）A．6B．13C．10D．7【分析】求出P的轨迹方程，结合图像求出PA的最小值即可．解：当M，N有1个与原点O重合时，|OP|＝|MN|＝3，当M，N与原点不重合时，在Rt△MON中，P是MN的中点，且|MN|＝6，故|OP|＝3，故点P的轨迹是以O为圆心，3为半径的圆，如图示：其方程为：x2+y2＝9，故|PA|min＝|OA|﹣3＝﹣3＝7，故选：D．8．若双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被以焦点为圆心的圆x2+y2﹣4x ＝0所截得的弦长为2，则a的值为（）A．1B．C．D．2【分析】根据题意可得圆心（2，0），半径为2，进而可得双曲线的右焦点（2，0），则c＝2，由于双曲线的渐近线bx﹣ay＝0被圆截得的弦长为2，则d＝＝①，a2+b2＝c2＝4②，解得a．解：由圆x2+y2﹣4x＝0，可得（x﹣2）2+y2＝4，所以圆心（2，0），半径为2，所以双曲线的右焦点（2，0），则c＝2，双曲线的渐近线bx﹣ay＝0被圆截得的弦长为2，则圆心到渐近线的距离d＝＝，①又a2+b2＝c2＝4，②由①②得a＝1．故选：A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列说法正确的是（）A．过（x1，y1），（x2，y2）两点的直线方程为B．经过点（1，2）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣3＝0C．若方程x2+y2﹣2x+2y﹣m＝0表示圆，则m＞﹣2D．圆x2+y2＝4上有且只有三点到直线l：x﹣y+＝0的距离都等于1【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A，当x1＝x2或y1＝y2时，过（x1，y1），（x2，y2）两点的直线方程不能表示为，A错误；对于B，经过点（1，2）且在x轴和y轴上截距都相等的直线还有y＝2x，B错误；对于C，若方程x2+y2﹣2x+2y﹣m＝0表示圆，必有D2+E2﹣4F＝4+4+4m＞0，解可得m ＞﹣2，C正确；对于D，圆x2+y2＝4的圆心为原点（0，0），半径r＝2，圆心到直线l的距离d＝＝1，则圆x2+y2＝4上有且只有三点到直线l：x﹣y+＝0的距离都等于1，D正确．故选：CD．10．已知双曲线＝1，对于∀k∈R且k≠0，则下列四个选项中因k改变而变化的是（）A．焦距B．离心率C．顶点坐标D．渐近线方程【分析】求出双曲线的焦距，离心率，顶点坐标以及渐近线方程，判断选项的正误即可．解：双曲线＝1，可得a＝|k|，所以顶点坐标（±|k|，0），因k改变而变化，所以C正确；b＝|k|，可得2c＝2＝2|k|，因k改变而变化，所以A正确；离心率为：e＝＝，所以B不正确；渐近线方程为：y＝±x，所以D不正确；故选：AC．11．设抛物线y2＝4x，F为其焦点，P为抛物线上一点，则下列结论正确的是（）A．抛物线的准线方程是x＝﹣1B．当PF⊥x轴时，|PF|取最小值C．若A（2，3），则|PA|+|PF|的最小值为D．以线段PF为直径的圆与y轴相切【分析】A，根据抛物线方程即可判定；B，根据|PF|＝x0+1，即可判定；C，利用当A，P，F三点共线时，|PA|+|PF|最小，即可判定；D，根据题意，利用抛物线的定义与线段中点的坐标公式，算出PF中点到y轴的距离等于PF长的一半，即可得出以PF为直径的圆与y轴相切．解：对于A，根据抛物线方程可得抛物线的准线方程是x＝﹣1，故A正确；对于B，根据|PF|＝x0+1，可得x0＝0时取最小值，故B错；对于C，∵32＞8，可得A（2，3）在抛物线外，当A，P，F三点共线时，|PA|+|PF|最小，最小值为|AF|＝，故C正确；对于D，抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的坐标为（1，0），设点P点坐标为（x1，y1），则以PF为直径的圆的圆心是（，），可得圆心到y轴的距离为，又因为PF为直径的圆的半径为|PF|＝，因此以PF为直径的圆与y轴的位置关系相切，故D正确．故选：ACD．12．某同学利用图形计算器研究教材中一例问题“设点A（﹣5，0），B（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为﹣，求点M的轨迹方程”时，将其中已知条件“斜率之积为﹣”拓展为“斜率之积为常数k（k≠0）”之后，进行了如图所示的作图探究：参考该同学的探究，下列结论正确的有（）A．k＜0时，点M的轨迹为椭圆（不含与x轴的交点）B．﹣1＜k＜0时，点M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆（不含与x轴的交点）C．k＜﹣1时，点M的轨迹为焦点在y轴上的椭圆（不含与x轴的交点）D．k＞0时，点M的轨迹为焦点在x轴上的双曲线（不含与x轴的交点）【分析】设M（x，y），求出AM，BM所在直线的斜率，由题意可得y2＝k（x2﹣25），对k分类讨论可得结论．解：设M（x，y），则k AM＝，k MB＝，由题意可得，，故y2＝k（x2﹣25）．若k＝﹣1，方程化为y2+x2＝25，表示了以原点为圆心，5为半径的圆（除A，B点）；若﹣1＜k＜0，方程化为，点M的轨迹为焦点在x轴的椭圆（不含与x轴的交点）；若k＜﹣1，方程化为，表示焦点在y轴，以A、B为短轴端点的椭圆（除A，B点）；k＞0时，方程化为，点M的轨迹为焦点在x轴的双曲线（不含与x轴的交点）．综上可知，BCD正确．故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13．抛物线y2＝4x的通径（过抛物线的焦点且与其对称轴垂直的弦）的长为4．【分析】由题意可得抛物线的焦点坐标，及弦所在的直线方程，与抛物线联立求出交点的纵坐标，进而求出弦长．解：由抛物线的方程可得焦点F坐标为（1，0），由题意可得通径所在的直线为x＝1，将直线代入抛物线的方程可得y2＝4×1，解得|y|＝2，所以弦长为2|y|＝2×2＝4，抛物线y2＝4x的通径（过抛物线的焦点且与其对称轴垂直的弦）的长为4．故答案为：4．14．已知双曲线C的浙近线方程为y＝±3x，写出双曲线C的一个标准方程（答案不唯一）．【分析】根据双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，即可得解．解：双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，∴＝2，不妨取a＝1，则b＝3，λ＝1，∴双曲线C的一个标准方程为．故答案为：．（答案不唯一）．15．椭圆的短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率为．【分析】根据正三角形的性质可知b＝3c，进而根据a，b和c的关系进而求得a和c的关系，则椭圆的离心率可得．解：依题意可知b＝3c∴a＝＝c∴e＝＝故答案为：16．已知圆C：（x﹣3）2+y2＝1，点M在抛物线T：y2＝4x上运动，过点M引直线l1，l2与圆C相切，切点分别为A、B，则|AB|的取值范围为[，2）．【分析】作出图象，可得|AB|＝2•＝＝＝2，则当|CM|最小时，|AB|最小，设M（x，y），表示出|CM|，由二次函数的性质求出|CM|的最小值，从而得到答案．解：如图，连接MC，CA，CB，AB，则CA⊥MA，CB⊥MB，MC⊥AB，故|AB|＝2•＝＝＝2则当|CM|最小时，|AB|最小，设M（x，y），则|MC|＝＝，所以当x＝1时，|MC|取得最小值2，当x→+∞时，|AB|趋近于圆的直径2，故|AB|的取值范围为[，2）．故答案为：[，2）．四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点坐标分别为A（﹣4，﹣2），B（6，6），C（0，6）．（1）设线段AB的中点为M，求中线CM所在直线的方程；（2）求边AB上的高所在直线的方程．【分析】（1）先求出线段AB的中点为M的坐标，再利用两点式求出中线CM所在直线的方程．（2）先求出AB的斜率，可得AB边上的高所在直线的斜率，再利用点斜式求出边AB上的高所在直线的方程．解：（1）∵△ABC三个顶点坐标分别为A（﹣4，﹣2），B（6，6），C（0，6），∴线段AB的中点为M（1，2），求中线CM所在直线的方程为＝，即4x+y﹣6＝0．（2）由于直线AB的斜率为＝，故边AB上的高所在直线的斜率为﹣，故边AB上的高所在直线的方程为y﹣6＝﹣（x﹣0），即5x+4y﹣24＝0．18．已知圆C的圆心在直线2x﹣y＝0上，且与y轴相切于点（0，2）．（1）求圆C的方程；（2）若圆C与直线l：x﹣y+m＝0交于A，B两点，______，求m的值．从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：∠ACB＝120°；条件②：；条件③：．【分析】（1）设圆心坐标为C（a，b），半径为r．由题意可得2a＝b，b＝2，r＝|a|＝1，则圆的方程可求．（2）选择条件①②③，先求得圆心C到直线l的距离d＝，再由点到直线的距离公式列式求解m值．解：（1）设圆心坐标为C（a，b），半径为r．∵圆C的圆心在直线2x﹣y＝0上，∴2a＝b．又圆C与y轴相切于点（0，2），∴b＝2，a＝1，r＝|a|＝1，则圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1．（2）如果选择条件①，∵∠ACB＝120°，|CA|＝|CB|＝1，∴圆心C到直线l的距离d＝，则d＝＝，解得m＝1+或m＝1﹣，如果选择条件②，∵，|CA|＝|CB|＝1，∴圆心C到直线l的距离d＝．则d＝＝，解得m＝1+或m＝1﹣，如果选择条件③，∵，|CA|＝|CB|＝1，∴∠ACB＝120°，∴圆心C到直线l的距离d＝，则d＝＝，解得m＝1+或m＝1﹣．19．已知平面上两点F（﹣4，0），F′（4，0），动点P满足PF+PF′＝10．（1）求动点P的轨迹C的标准方程；（2）当动点P满足∠FPF′＝90°时，求P点的纵坐标．【分析】（1）由椭圆的定义可得动点P的轨迹是以F，F'为焦点的椭圆，求得a，b可得轨迹C的方程；（2）由题意可得P在以FF'为直径的圆上，又P在椭圆C上，解方程可得所求纵坐标．解：（1）由F（﹣4，0），F′（4，0），动点P满足|PF|+|PF′|＝10＞|FF'|＝8，可得P的轨迹C是以F，F'为焦点的椭圆，且a＝5，c＝4，b＝3，即有轨迹C的标准方程为+＝1；（2）当动点P满足∠FPF′＝90°时，可得P在以FF'为直径的圆上，设P（m，n），可得m2+n2＝16，又9m2+25n2＝225，解得m2＝，n2＝，则P的纵坐标为±．20．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F与双曲线的右顶点重合，过点M（3，0）作㑔斜角为45°的直线l与抛物线交于A，B两点．（1）求抛物线方程；（2）若O为坐标原点，求△AOB的面积．【分析】（1）求出双曲线的右顶点，得到抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F，即可求解抛物线方程．（2）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，求解三角形的面积．解：（1）由双曲线的右顶点为（1，0），即可得抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F（1，0），所以抛物线的方程为y2＝4x．（2）由题意可得直线l的方程：y＝x﹣3，将直线与抛物线联立，整理可得y2﹣4y﹣12＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），所以y1+y2＝4，y1y2＝﹣12，S△AOB＝|y1﹣y2|＝＝，21．已知双曲线E：x2﹣＝1（b＞0），点P（2，3）在E上．（1）求E的方程；（2）过点Q（0，1）的直线l交E于不同的两点A，B（均异于点P），求直线PA，PB 的斜率之和．【分析】（1）利用点在双曲线上求解b，即可得到双曲线的方程；（2）设直线l的方程与双曲线的方程联立，利用韦达定理以及两点间斜率公式，化简整理，即可得到答案．解：（1）∵点P（2，3）在E上，∴，解得b2＝3，∴E的方程为；（2）由题意可得，过点Q（0，1）的直线l斜率存在，设直线l的方程为y＝kx+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，可得（3﹣k2）x2﹣2kx﹣4＝0，由题意可得，3﹣k2≠0且Δ＞0，则k2＜4且k2≠3，且，，直线PA，PB的斜率之和为：k PA+k PB＝+＝＝2k+（2k−2）（+）＝2k+＝2k+＝3，故直线PA，PB的斜率之和为3．22．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的右顶点为A，焦距是2，离心率e＝．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l：y＝kx+m（k，m均为常数）与椭圆C相交于不同的两点M，N（均异于点A），若以MN为直径的圆经过椭圆C的右顶点A，试判断直线l能否过定点？若能，求出该定点坐标；若不能，也请说明理由．【分析】（1）由题意，列出关于a，c的方程组，求出a，c，进而求出b，即可得到答案；（2）联立直线l与椭圆方程，得到韦达定理，利用圆的性质可知，，由向量数量积的坐标表示结合韦达定理进行化简，即可得到m与k的关系，代入直线方程，即可得到答案．解：（1）由题意可得，，解得，所以b2＝a2﹣c2＝2，故椭圆C的方程为；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组，可得（1+2k2）x2+4mkx+2m2﹣4＝0，因为直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，所以Δ＝16m2k2﹣4（1+2k2）（2m2﹣4）＞0，解得2+4k2﹣m2＞0（*），则，因为以MN为直径的圆经过椭圆C的右顶点A，所以AM⊥AN，则，又A（2，0），则（x1﹣2，y1）•（x2﹣2，y2）＝（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2＝0，即，所以，即3m2+8mk+4k2＝0，解得m＝﹣2k或，均符合（*），当时，直线l：y＝，故定点；当m＝﹣2k时，直线l：y＝kx﹣2k，故过定点（2，0）（舍去）．综上所述，直线l恒过定点．。