1构成空间几何体的基本元素
构成空间几何体的基本元素优质课课件[1].ppt9.13
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平行 面面 相交
例1.
• • • • • • • • 判断 （1）平行四边形是平面； （2）任何一个平面图形都可以用来表示平面； （3）空间图形中先画的线是实线，后画的线是虚线； （4）同时垂直于同一条直线两条直线一定平行； （5）到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆； （6）过平面外一点只能作一条直线与已知直线垂直； （7）用六根火柴棒，以每根火柴棒为一边，最多可以搭出 四个正三角形； • （8）过空间任意点可以引出三条射线使它们两两垂直； • （9）人们无法搭出一个对角线不相交的四边形。
（D）平面多边形和圆、椭圆都可以表示
一个平面
例3．在空间中，下列说法正确的是（ B ）
（A）一个点运动形成直线 （B）直线平行移动形成平面或曲面 （C）直线绕定点运动形成锥面 （D）矩形上各点沿同一方向移动形成长方 体
例4．下列关于长方体的说法中，正确的 是 (2)、(3) 。 （1）长方体是由六个平面围成的几何体； （2）长方体可以看作一个水平放置的矩 形ABCD上各点沿铅垂方向向上移动相同 的距离到矩形A1B1C1D1所形成的几何体； （3）长方体一个面上任一点到对面的距 离相等。
1 1 1
D1
三、从运动观点认识点、线、面
（1）点动成线：把线看成是点运动的轨迹! 如 果点运动的方向始终不变，那么它的轨迹是一 条直线或线段，如果点运动的方向时刻在变化， 则运动的轨迹是一条曲线或曲线的一段。
（2）线动成面：直线平行移动，可以形成平面或 曲面；直线绕定点转动，可以形成锥面。 可以形成一个几何体。
（3）面动成体：面运动的轨迹（经过的空间部分）
举出点动成线、线动成面、面动成体的 实例.
四、点、线、面的位置
问题1：直线与直线的位置关系为
2020高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.1 构成空间几何体的基本元素练习(含解析)2
1．1．1 构成空间几何体的基本元素知识点一平面的概念1．下列有关平面的说法正确的是( ）A．平行四边形是一个平面B．任何一个平面图形都是一个平面C．平静的太平洋面就是一个平面D．圆和平行四边形都可以表示平面答案D解析我们用平行四边形表示平面，但不能说平行四边形就是一个平面,故A错误；平面图形和平面是两个概念，平面图形是有大小的，而平面无法度量，故B错误；太平洋面是有边界的，不是无限延展的，故C错误；在需要时，除用平行四边形表示平面外，还可用三角形、梯形、圆等来表示平面，故D正确．2．下列说法正确的是（)A．水平放置的平面是大小确定的平行四边形B．平面ABCD即平行四边形ABCD的四条边围起来的部分C．一条直线和一个平面一定会有公共点D．平面是光滑的，可向四周无限延展答案D解析平面可以用平行四边形来表示，但平行四边形只是平面的一部分，不能理解为平面,A错误；平面是一个抽象的概念,是无限延展的,没有大小、厚薄之分,B错误；直线和平面可以没有公共点，此时直线和平面平行,C错误．故选D．知识点二构成几何体的基本元素3．试指出下图中各几何体的基本元素．解（1）中几何体有6个顶点，12条棱和8个面;（2)中几何体有12个顶点，18条棱和8个面；（3)中几何体有6个顶点，10条棱和6个面；(4）中几何体没有顶点和棱，有3个面．知识点三空间中点、线、面的位置关系4．如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别是线段C1D1，A1D1,BD1，BC的中点，给出下面四个说法：①MN∥平面APC;②B1Q∥平面ADD1A1；③A，P，M三点共线；④平面MNQ∥平面ABCD．其中正确的序号为（)A．①② B．①④ C．②③ D．③④答案A解析平面APC即为平面ACC1A1，很容易看出MN与平面ACC1A1无公共点，即MN∥平面ACC1A1；同理B1Q与平面ADD1A1也没有公共点,故B1Q∥平面ADD1A1；A1，P,M三点不共线;平面MNQ 与平面ABCD是相交的，故选A．5．把棱长为1 cm的正方体表面展开要剪开________条棱，展开成的平面图形周长为________ cm．答案7 14解析正方体共有12条棱，展开图中6个面相连，有5条棱相连,所以要剪开7条棱．由于正方体6个面对应的正方形的周长之和为4×6＝24（cm)，展开图中相连的棱有5条，所以展开成的平面图形周长为24－2×5＝14（cm）．对应学生用书P1一、选择题1．下列说法：①任何一个几何体都必须有点、棱和面；②一个几何体可以没有顶点；③一个几何体可以没有棱；④一个几何体可以没有面．其中正确的个数是( ）A．1 B．2 C．3 D．4答案B解析球只有一个曲面围成,故①错误,②③正确,由于几何体是空间图形,故一定有面，④错误．2．下列空间图形的画法中错误的是( )答案D解析被遮住的地方应该画成虚线（或不画）．3．一个正方体去掉一个“角”后减少了一个顶点，这个空间几何图形是（）答案C解析正方体共有8个顶点，去掉一个“角”后减少了一个顶点即有7个顶点．故选C．4．下图是一个正方体的展开图,将其折叠起来,变成正方体后的图形是（）答案B解析∵在这个正方体的展开图中与有圆的面相邻的三个面中都有一条直线，当变成正方体后,这三条直线应该互相平行,∴选B．5．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，与棱A1A既不平行也不相交的棱有( )A．1条B．2条C．3条D．4条答案D解析与棱A1A平行的棱有3条，相交的有4条,故既不平行也不相交的有4条．二、填空题6．如图所示，长方体ABCD—A1B1C1D1中，下列说法正确的有________（填序号）．①长方体的顶点一共有8个;②线段AA1所在的直线是长方体的一条棱;③矩形ABCD所在的平面是长方体的一个面；④长方体由六个平面围成．答案①解析长方体一共有8个顶点,故①正确；长方体的一条棱为线段AA1，故②错误；矩形ABCD为长方体的一个面,故③错误；长方体由六个矩形（包括它的内部）围成，故④错误．7．一个平面将空间分成______部分，两个平面将空间分成________部分，三个平面将空间分成________部分．答案 2 3或4 4或6或7或8解析一个平面将空间分成2部分．两个平面平行时将空间分成3部分；相交时分成4部分．三个平面平行时，如图所示,将平面分成4部分；三个平面相交于同一条交线时,将空间分成6部分；当两个平面平行,第三个平面与它们相交时将空间分成6部分；当三个平面两两相交且有三条交线时,将空间分成7部分;当有两个平面相交，第三个平面截两个相交平面时，将空间分成8部分．8．下列说法正确的是________．(1）长方体是由六个平面围成的几何体；(2)长方体两底面之间的棱互相平行且等长；（3)长方体一个面上任一点到对面的距离相等；(4）点运动的轨迹是线，一条线运动的轨迹可以是面．答案(2）(3)（4）解析(1）错误．因为长方体是由六个矩形(包括它的内部）围成，注意“平面”与“矩形”的本质区别．(2）正确．（3）正确．（4)正确．三、解答题9．在下列图中添加辅助线，使它们产生立体感．解10．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4 cm,BC＝3 cm，BB1＝5 cm,有一只蚂蚁从A点出发沿表面爬行至C1点，它的最短行程是多少？解欲求最短行程,必须找出蚂蚁的各种爬行路线，每条路线均需经过长方体的两个面，共有六条路线．路线1:沿面AB1和面A1C1，如图(1);路线2：沿面AC和面DC1，如图(2);路线3:沿面AD1和面DC1，如图（3）；路线4:沿面AB1和面BC1，如图(4）;路线5：沿面AD1和面A1C1,如图(5）；路线6：沿面AC和面BC1，如图(6）．由长方体的性质知，路线1、路线2长度相等，为d1＝错误!＝错误!（cm）；路线3、路线4长度相等，为d2＝错误!＝错误!(cm）；路线5、路线6长度相等,为d3＝错误!＝错误!（cm)．经比较，沿路线3和路线4可得最短行程为错误!cm．。
高中数学 必修二-第一章 立体几何初步 知识点整理
底面为三角形、四边形、五边形„„的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥„„，
其中三棱锥又叫四面体。
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正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面上的射影是底面的中心， 这样的棱锥叫做正棱锥。
正棱锥的性质： ①各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形； ②棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形，棱锥的高、侧棱和侧 棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。 （4）棱台的结构特征 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱 锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。 原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的 下底面和上底面；其它各面叫做棱台的侧 面；相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱； 底面与侧面的公共顶点叫做棱台的顶点； 当棱台的底面水平放置时，铅垂线与两底 面交点间的线段叫做棱台的高。 由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。正棱台的性质： ①各侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形；②两底面以及平行于底面的截面是相似多边 形；③两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；④两底面中心连线、侧 棱和两底面外接圆相应半径组成一个直角梯形；⑤正棱台的上下底面中心的连线是棱台的 一条高；⑥正四棱台的对角面是等腰梯形。
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必修二
②在已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x′轴或 y′ 轴的线段。
③在已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于 y 轴的线段， 长度变为原来的一半。
用斜二测法画直观图，关键是掌握水平放置的平面图形的直观图的画法，而画水平放 置的平面图形的关键是确定多边形的顶点。因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连接这 些顶点就可画出多边形。
在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影。平行投影的投影线是平行的。在 平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影。
(完整版)构成空间几何体的基本元素习题
(完整版)构成空间几何体的基本元素习题§空间几何体1．组成空间几何体的基本元素知 点： 1．点、 、面是组成几何体的基本元素．2．平面是无穷延展的，往常画一个平行四 形表示一个平面．3．平面的 法： (1) 平面一般用希腊字母α、 β、 γ⋯来命名；(2)平面 形 点法．一、基 关1． 对于平面，以下 法正确的选项是( )A ．平面是有 界 的B ．平面是有厚薄的C ．平面 ABCD 是指平行四 形 ABCD 的四条 成的部分 D ． 和平面多 形都能够表示平面 2． 以下 法正确的选项是( ) A ．生活中的几何体都是由平面 成的 B ．曲面都是有必定大小的 C ．直 是由无穷个点 成的，而 段是由有限个点 成的 D ． 直线平移时不改变方向必定不行能形成曲面3． 如 所示，平行四 形 ABCD 所在的平面，以下表示方法中不正确的选项是( ) ①平面 ABCD ；②平面 BD ；③平面 AD ；④平面 ABC ；⑤ AC ；⑥平面 α.A ．④⑤B ．③④⑤C ．②③④⑤D ．③⑤4． 以下 法中正确的选项是()A ．直 的移 只好形成平面B ．矩形上各点沿同一方向移 形成 方体C ．直 其订交但不垂直的直 旋 形成 面D ．曲 的移 必定形成曲面1 1 1 1中，相互平行的平面共有___ ，与 A ′ A 垂直的平面是 __．5．在如 所示的 方体 ABCD － A B C D 6． 三个平面将空 最少分红 m 部分，最多分红 n 部分， m ＋ n ＝ ________. 7． 想一想看，怎样 一个物体的表面不是平面？ 8． 如 ，画出 (1)(2) 中 L 直 l 旋 一周形成的空 几何体． 二、能力提高9． 如 ，模 ①－⑤均由 4 个棱 1 的小正方体组成，模 ⑥由15 个棱 1 的小正方体组成． 从模 ①－⑤中 出三个放到模 ⑥上，使得模 ⑥成 一个棱3 的大正方体， 以下 方案中，能 达成任 的 ()A ．模 ①，②，⑤B ．模 ①，③，⑤C ．模 ②，④，⑤D ．模 ③，④，⑤10．小明 了某个 品的包装盒，他少 了此中一部分， 你把它 上，使其成 两 均有盖的正方体盒子 (如 所示 )． (1) 你有 ________种 充的 法． (2) 随意画出一种正确的 ．11．如 ，画出 (1)(2)(3) 中 段 L 着直 l 旋 一周形成的空 几何体．三、研究与拓展12．空 三个平面能把空 分红的部分怎样？答案 :1 ． D 4.C 5 ． 3 平面 AC 和平面 A ′C ′7．把直尺的 物体表面，假如在某个地点直尺 与物体表面 有 隙，就 明 物体表面不是平面．8． (1)L 与 l 订交，旋 生的曲面是以 L 与 l 的交点 点的 面．(2)L 是封 的曲 ， l 旋 生一个封 的曲面，此曲面是 面．9． A 10 ．解 (1)4(2) 如 正方体有 6 个面，它 都是正方形，可考 在 中某个正方形的旁 增添一个正方形，想象可否折成正方体盒子，事 上能够在横着的四个正方形的任何一个的下 增添一个正方形，都可折成正方体盒子． 11．(1) 因为 L 与 l 平行，旋 程中 L 与 l 的距离相等 ( 如 ① ) ． (2) 因为 L 与 l 订交，旋 程中 生的曲面是以 L 与 l 的交点 点的曲面 ( 如 ② ) ． (3) 因为 L 与 l 不平行， 旋 程中 生的曲面是以 L 的延 与 l 的交点 点的曲面的一部分 ( 如 ③ ) ．12．解 如 所示，当三个平面平行 ，将空 分红 4 部分；当三个平面订交于一条直 或两个平面平行，第三个平面与它 订交 ，将空 分红 6 部分；当三个平面订交于三条直 ，将空 分红 7 部分；当有两个平面订交，第三个平面截两个订交平面 ，将空 分红 8 部分．1 / 1。
专题37 空间几何体(知识梳理)(新高考地区专用)(解析版)
专题37 空间几何体（知识梳理）一、空间几何体1、空间几何体的基本定义如果只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其它因素，则这个空间部分就是一个几何体。
围成体的各个平面图形叫做体的面；相邻两个面的公共边叫做体的棱；棱和棱的公共点叫做体的顶点。
几何体不是实实在在的物体。
平面的特性：无限延展、处处平直、没有其他性质(如厚度、大小、面积、体积、重量等)。
例1-1．下列是几何体的是( )。
A 、方砖B 、足球C 、圆锥D 、魔方【答案】C【解析】几何体不是实实在在的物体，故选C 。
例1-2．判断下列说法是否正确：(1)平静的湖面是一个平面。
(×)(2)一个平面长3cm ，宽4cm 。
(×)(3)三个平面重叠在一起，比一个平面厚。
(×)(4)书桌面是平面。
(×)(5)通过改变直线的位置，可以把直线放在某个平面内。
(√)【解析】平面可以看成是直线平行移动形成的，所以直线通过改变其位置，可以放在某个平面内。
(6)平行四边形是一个平面。
(×)(7)长方体是由六个平面围成的几何体。
(×)(8)任何一个平面图形都是一个平面。
(×)(9)长方体一个面上任一点到对面的距离相等。
(√)(10)空间图形中先画的线是实线，后画的线是虚线。
(×)(11)平面是绝对平的，无厚度，可以无限延展的抽象的数学概念。
(√) 例1-3．下列说法正确的是 。
①长方体是由六个平面围成的几何体；②长方体可以看作一个矩形ABCD 上各点沿铅垂线向上移动相同距离到矩形D C B A ''''所围成的几何体；③长方体一个面上的任一点到对面的距离相等。
【答案】②③【解析】①错，因长方体由6个矩形(包括它的内部)围成，注意“平面”与“矩形”的本质区别；②正确；③正确。
[多选]例1-4．下列说法正确的是( )。
A 、任何一个几何体都必须有顶点、棱和面B 、一个几何体可以没有顶点C 、一个几何体可以没有棱D 、一个几何体可以没有面【答案】BC【解析】球只有一个曲面围成，故A 错、B 对、C 对，由于几何体是空间图形，故一定有面，D 错，故选BC 。
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第一章 立体几何初步
1.1空间几何体
1.1.1构成空间几何体的基本元素
1锥、圆台和球
1.1.4投影与直观图
1.1.5三视图
1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
1.1.7柱、锥、台和球的体积
实习作业
1.2点、线、面之间的位置关系
1.2.1平面的基本性质与推论
1.2.2空间中的平行关系
1.2.3空间中的垂直关系
本章小结
阅读与欣赏
散发着数学芳香的碑文
第二章 平面解析几何初步
2.1平面直角坐标系中的基本公式
2.1.1数轴上的基本公式
2.1.2平面直角坐标系中的基本公式
2.2直线的方程
2.2.1直线方程的概念与直线的斜率
2.2.2直线方程的几种形式
2.2.3两条直线的位置关系
2.2.4点到直线的距离
2.3圆的方程
2.3.1圆的标准方程
2.3.2圆的一般方程
2.3.3直线与圆的位置关系
2.3.4圆与圆的位置关系
2.4空间直角坐标系
2.4.1空间直角坐标系
2.4.2空间两点的距离公式
本章小结
阅读与欣赏
笛卡儿
附录
部分中英文词汇对照表
后记
2023年新高考数学大一轮复习专题28 空间几何体的结构特征、表面积与体积(原卷版)
专题28空间几何体的结构特征、表面积与体积【考点预测】知识点一：构成空间几何体的基本元素—点、线、面（1）空间中，点动成线，线动成面，面动成体．（2）空间中，不重合的两点确定一条直线，不共线的三点确定一个平面，不共面的四点确定一个空间图形或几何体（空间四边形、四面体或三棱锥）．知识点二：简单凸多面体—棱柱、棱锥、棱台1．棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．（1）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；（2）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；（3）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；（4）平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；（5）直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；（6）长方体：底面是矩形的直平行六面体；（7）正方体：棱长都相等的长方体．2．棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．（1）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心；（2）正四面体：所有棱长都相等的三棱锥．3．棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．简单凸多面体的分类及其之间的关系如图所示．知识点三：简单旋转体—圆柱、圆锥、圆台、球1．圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱．2．圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥．3．圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台．4．球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）．知识点四：组合体由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体．知识点五：表面积与体积计算公式表面积公式体积公式1．斜二测画法斜二测画法的主要步骤如下：（1）建立直角坐标系．在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox ，Oy ，建立直角坐标系． （2）画出斜坐标系．在画直观图的纸上（平面上）画出对应图形．在已知图形平行于x 轴的线段，在直观图中画成平行于''O x ，''O y ，使45'''∠=x O y （或135），它们确定的平面表示水平平面．（3）画出对应图形．在已知图形平行于x 轴的线段，在直观图中画成平行于'x 轴的线段，且长度保持不变；在已知图形平行于y 轴的线段，在直观图中画成平行于'y 轴，且长度变为原来的一般．可简化为“横不变，纵减半”．（4）擦去辅助线．图画好后，要擦去'x 轴、'y 轴及为画图添加的辅助线（虚线）．被挡住的棱画虚线． 注：4． 2．平行投影与中心投影平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点．【题型归纳目录】题型一：空间几何体的结构特征 题型二：空间几何体的表面积与体积 题型三：直观图 题型四：最短路径问题 【典例例题】题型一：空间几何体的结构特征例1．（2022·全国·模拟预测）以下结论中错误的是（ ） A ．经过不共面的四点的球有且仅有一个 B ．平行六面体的每个面都是平行四边形 C ．正棱柱的每条侧棱均与上下底面垂直 D ．棱台的每条侧棱均与上下底面不垂直例2．（2022·全国·高三专题练习（文））下列说法正确的是（ ） A ．经过三点确定一个平面B ．各个面都是三角形的多面体一定是三棱锥C ．各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱D ．一个三棱锥的四个面可以都为直角三角形例3．（2022·海南·模拟预测）“三棱锥P ABC -是正三棱锥”的一个必要不充分条件是（ ） A ．三棱锥P ABC -是正四面体 B ．三棱锥P ABC -不是正四面体 C ．有一个面是正三角形 D ．ABC 是正三角形且PA PB PC ==例4．（2022·全国·高三专题练习）给出下列命题:①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线; ②有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥;③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥; ④棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等. 其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3例5．（2022·山东省东明县第一中学高三阶段练习）下列说法正确的是（ ） A ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 B ．过空间内不同的三点，有且只有一个平面 C ．棱锥的所有侧面都是三角形D ．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台例6．（2022·全国·高三专题练习）给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥； ③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等. 其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3例7．（2022·全国·高三专题练习）莱昂哈德·欧拉，瑞士数学家和物理学家，近代数学先驱之一，他的研究论著几乎涉及到所有数学分支，有许多公式､定理､解法､函数､方程､常数等是以欧拉名字命名的.欧拉发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数V ､棱数E ､面数F 之间总满足数量关系2,V F E +-=，此式称为欧拉公式，已知某凸32面体，12个面是五边形，20个面是六边形，则该32面体的棱数为___________；顶点的个数为___________.例8．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））如图，正方体1AC 上、下底面中心分别为1O ，2O ，将正方体绕直线12O O 旋转360︒，下列四个选项中为线段1AB 旋转所得图形是（ ）A ．B ．C ．D ．例9．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）（多选）A ．①是棱台B ．②是圆台C ．③是棱锥D ．④是棱柱例10．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习（理））碳60（60C ）是一种非金属单质，它是由60个碳原子构成的分子，形似足球，又称为足球烯，其结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共32个面，且满足：顶点数－棱数＋面数＝2．则其六元环的个数为__________.【方法技巧与总结】 熟悉几何体的基本概念.题型二：空间几何体的表面积与体积例11．（多选题）（2022·湖北·高三阶段练习）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧,DE AC 所在圆的半径分别是3和9，且120ABC ∠=，则该圆台的（ ）A ．高为BC ．表面积为34πD ．上底面积､下底面积和侧面积之比为1:9:22例12．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））设一圆锥的侧面积是其底面积的3倍，则该圆锥的高与母线长的比值为（ ）A ．89B C D ．23例13．（2022·云南·二模（文））已知长方体1111ABCD A B C D -的表面积为62，所有棱长之和为40，则线段1AC 的长为（ ）A B C D例14．（2022·福建省福州第一中学三模）已知AB ，CD 分别是圆柱上､下底面圆的直径，且AB CD ⊥，.1O ，O 分别为上､下底面的圆心，若圆柱的底面圆半径与母线长相等，且三棱锥A BCD -的体积为18，则该圆柱的侧面积为（ ） A ．9π B ．12π C ．16π D ．18π例15．（2022·河南·模拟预测（文））在正四棱锥P ABCD -中，AB =P ABCD -的体积是8，则该四棱锥的侧面积是（ ）AB ．C ．D ．例16．（2022·全国·高三专题练习）《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭ABCD EFHG -，其中上底面与下底面的面积之比为1:4，方亭的高h EF =，BF =，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和 ）A ．24B ．643C ．563D ．16例17．（2022·湖南·高三阶段练习）如图，一种棱台形状的无盖容器（无上底面1111D C B A ）模型其上、下底面均为正方形，面积分别为24cm ，29cm ，且1111A A B B C C D D ===，若该容器模型的体积为319cm 3，则该容器模型的表面积为（ ）A ．()29cmB ．219cmC ．()29cmD ．()29cm例18．（2022·海南海口·二模）如图是一个圆台的侧面展开图，其面积为3π，两个圆弧所在的圆半径分别为2和4，则该圆台的体积为（ ）A B C D例19．（2022·全国·高三专题练习）圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面的半径分别为4和5，则该圆台的侧面积为（ ）A ．B ．C ．D ．例20．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知圆柱12O O 的底面半径为1，高为2，AB ，CD 分别为上、下底面圆的直径，AB CD ⊥，则四面体ABCD 的体积为（ ） A ．13B ．23C ．1D ．43例21．（2022·山东·烟台市教育科学研究院二模）鲁班锁是我国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中的榫卯结构，其内部的凹凸部分啮合十分精巧．图1是一种鲁班锁玩具，图2是其直观图．它的表面由八个正三角形和六个正八边形构成，其中每条棱长均为2．若该玩具可以在一个正方体内任意转动（忽略摩擦），则此正方体表面积的最小值为________．例22．（2022·湖北省天门中学模拟预测）已知一个圆柱的体积为2 ，底面直径与母线长相等，圆柱内有一个三棱柱，与圆柱等高，底面是顶点在圆周上的正三角形，则三棱柱的侧面积为__________.例23．（2022·上海闵行·二模）已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的4倍，则它的侧面积扩大为原来的___________倍.例24．（2022·浙江绍兴·模拟预测）有书记载等角半正多面体是以边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图，将正四面体沿相交于同一个顶点的三条梭上的3个点截去一个正三棱锥，如此共截去4个正三棱锥，若得到的几何体是一个由正三角形与正六边形围成的等角半正多面体，且正六边形的面积为2，则原正四面体的表面积为_________．例25．（2022·上海徐汇·三模）设圆锥底面圆周上两点A、B间的距离为2，圆锥顶点到直线ABAB和圆锥的轴的距离为1，则该圆锥的侧面积为___________.例26．（2022·全国·高三专题练习）中国古代的“牟合方盖”可以看作是两个圆柱垂直相交的公共部分，计算其体积所用的“幂势即同，则积不容异”是中国古代数学的研究成果，根据此原理，取牟合方盖的一半，其体积等于与其同底等高的正四棱柱中，去掉一个同底等高的正四棱锥之后剩余部分的体积（如图1所示）．现将三个直径为4的圆柱放于同一水平面上，三个圆柱的轴所在的直线两两成角都相等，三个圆柱的公共部分为如图2，则该几何体的体积为___________．【方法技巧与总结】熟悉几何体的表面积、体积的基本公式，注意直角等特殊角. 题型三：直观图例27．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知用斜二测画法画出的ABC 的直观图是边长为a 的正三角形，原ABC 的面积为 __．例28．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）如图，梯形ABCD 是水平放置的一个平面图形的直观图，其中45ABC ∠=︒，1AB AD ==，DC BC ⊥，则原图形的面积为（ ）A ．1B ．2C ．2D ．1例29．（2022·全国·高三专题练习）如图，△ABC 是水平放置的△ABC 的斜二测直观图，其中2O C O A O B ''''''==，则以下说法正确的是（ ）A ．△ABC 是钝角三角形B ．△ABC 是等边三角形C ．△ABC 是等腰直角三角形D ．△ABC 是等腰三角形，但不是直角三角形例30．（2022·全国·高三专题练习）如图，水平放置的四边形ABCD 的斜二测直观图为矩形A B C D ''''，已知2,2A O O B B C =='''''='，则四边形ABCD 的周长为（ ）A ．20B ．12C ．8+D ．8+例31．（2022·全国·高三专题练习（文））如图，已知等腰直角三角形O A B '''△，O A A B ''''=是一个平面图形的直观图，斜边2O B ''=，则这个平面图形的面积是（ ）A B ．1 C D ．例32．（2022·全国·高三专题练习）一个三角形的水平直观图在x O y '''是等腰三角形，底角为30，腰长为2，如图，那么它在原平面图形中，顶点B 到x 轴距离是（ ）A ．1B ．2CD ．【方法技巧与总结】斜二测法下的直观图与原图面积之间存在固定的比值关系：S 直原． 题型四：最短路径问题例33．（多选题）（2022·广东广州·三模）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台12O O ，在轴截面ABCD 中，2cm AB AD BC ===，且2CD AB =，则（ ）A ．该圆台的高为1cmB ．该圆台轴截面面积为2C 3D ．一只小虫从点C 沿着该圆台的侧面爬行到AD 的中点，所经过的最短路程为5cm例34．（2022·河南洛阳·三模（理））在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为1CC 上的动点，则1D E EB +的最小值为___________.例35．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模（文））如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12,1,90AA AB BC ABC ===∠=︒，点E 是侧棱1BB 上的一个动点，则下列判断正确的有___________.（填序号）②存在点E ，使得1A EA ∠为钝角③截面1AEC 周长的最小值为例36．（2022·河南·二模（理））在正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，P 是线段1BC 上的一动点，则1A P PC +的最小值为________.例37．（2022·陕西宝鸡·二模（文））如图，在正三棱锥P ABC -中，30APB BPC CPA ∠=∠=∠=，4PA PB PC ===，一只虫子从A 点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A 点，则虫子爬行的最短距离是___________.例38．（2022·安徽宣城·二模（理））已知正四面体ABCD 的棱长为2，P 为AC 的中点，E 为AB 中点，M 是DP 的动点，N 是平面ECD 内的动点，则||||AM MN +的最小值是_____________.例39．（2022·新疆阿勒泰·三模（理））如图，圆柱的轴截面ABCD 是一个边长为4的正方形.一只蚂蚁从点A 出发绕圆柱表面爬到BC 的中点E ，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）A ．B ．C ．D例40．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））一竖立在水平地面上的圆锥形物体，一只蚂蚁从圆锥底面圆周上一点P 出发，绕圆锥表面爬行一周后回到P 点，已知圆锥底面半径为1，母线长为3，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ）A ．3B ．C ．πD ．2π【方法技巧与总结】此类最大路径问题：大胆展开，把问题变为平面两点间线段最短问题． 【过关测试】一、单选题1．（2022·河北·高三阶段练习）已知圆锥的高为1，则过此圆锥顶点的截面面积的最大值为（ ）A ．2B ．52C D ．32．（2022·全国·模拟预测（文））若过圆锥的轴SO 的截面为边长为4的等边三角形，正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，B ，C ，D 在圆锥底面上，1A ，1B ，1C ，1D 在圆锥侧面上，则该正方体的棱长为（ ）A ．B ．C ．(2D ．(23．（2022·全国·高三专题练习）已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且面积为4，则圆锥的体积为（ ） A ．43 B ．43πC ．83D ．83π4．（2022·广东深圳·高三阶段练习）通用技术老师指导学生制作统一规格的圆台形容器，用如图所示的圆环沿虚线剪开得到的一个半圆环（其中小圆和大圆的半径分别是1cm 和4cm ）制作该容器的侧面，则该圆台形容器的高为（ ）AB ．1cmCD 5．（2022·全国·高三专题练习）已知一个直三棱柱的高为2，如图，其底面ABC 水平放置的直观图（斜二测画法）为A B C '''，其中1O A O B O C ''''''===，则此三棱柱的表面积为（ ）A．4+B ．8+C ．8+D ．8+6．（2022·湖北·天门市教育科学研究院模拟预测）已知某圆锥的侧面积为的半径为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．67．（2022·山西大同·高三阶段练习）正四棱台的上､下底面的边长分别为2､4，侧棱长为2，则其体积为（ ）A ．56B C ．D ．5638．（2022·江西九江·三模（理））如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为r .若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为a ，则ra=（ ）A B ．34C ．2D ．)3129．（2022·浙江湖州·模拟预测）如图，已知四边形ABCD ，BCD △是以BD 为斜边的等腰直角三角形，ABD △为等边三角形，2BD =，将ABD △沿对角线BD 翻折到PBD △在翻折的过程中，下列结论中不正确．．．的是（ ）A ．BD PC ⊥B ．DP 与BC 可能垂直C ．直线DP 与平面BCD 所成角的最大值是45︒D ．四面体PBCD 10．（2022·全国·高三专题练习）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1485m ．时，相应水面的面积为21400km ．；水位为海拔1575m ．时，相应水面的面积为21800km ．，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1485m ．上升到1575m ．2.65≈）（ ） A ．931.010m ⨯ B ．931.210m ⨯C ．931.410m ⨯D ．931.610m ⨯二、多选题11．（2022·河北·高三阶段练习）如图，正方体1111ABCD A B C D -棱长为1，P 是1A D 上的一个动点，下列结论中正确的是（ ）A ．BPB ．PA PC +C ．当P 在直线1AD 上运动时，三棱锥1B ACP -的体积不变D ．以点B 1AB C 12．（2022·全国·高三专题练习）如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面ABCD ，,2FB ED AB ED FB ==∥，记三棱锥E ACD -，F ABC -，F ACE -的体积分别为123,,V V V ，则（ ）A ．322V V =B ．31V V =C ．312V V V =+D ．3123V V =13．（2022·江苏·常州高级中学模拟预测）棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为线段1A C 上的动点，点M ，N 分别为线段11A C ，1CC 的中点，则下列说法正确的是（ ） A ．11A P AB ⊥ B ．三棱锥1M B NP -的体积为定值 C ．[]160,120APD ∠∈︒︒D ．1AP D P +的最小值为2314．（2022·湖北·高三阶段练习）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧,DE AC 所在圆的半径分别是3和9，且120ABC ∠=，则该圆台的（ ）A ．高为B ．体积为3C ．表面积为34πD ．上底面积､下底面积和侧面积之比为1:9:22三、填空题15．（2022·全国·高三专题练习）已知一三角形ABCA B C '''(如图)，则三角形ABC 中边长与正三角形A B C '''的边长相等的边上的高为______．16．（2022·上海·模拟预测）已知圆柱的高为4，底面积为9π，则圆柱的侧面积为___________；17．（2022·新疆·三模（理））已知一个棱长为a 的正方体木块可以在一个圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面半径为1，母线长为2，则a 的最大值为______.18．（2022·吉林长春·高三阶段练习（理））中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的立体为“牟合方盖”，如图（1）（2）.刘徽未能求得牟合方盖的体积，直言“欲陋形措意，惧失正理”，不得不说“敢不阙疑，以俟能言者”.约200年后，祖冲之的儿子祖暅提出“幂势既同，则积不容异”，后世称为祖暅原理，即：两等高立体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立体体积相等，如图（3）（4）.已知八分之一的正方体去掉八分之一的牟合方盖后的剩余几何体与长宽高皆为八分之一正方体棱长的倒四棱锥“等幂等积”，祖暅由此推算出牟合方盖的体积.据此可知，若正方体的棱长为1，则其牟合方盖的体积为______. 四、解答题19．（2022·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）如图，已知四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，且1,4,5AB DC AB DC PM PC ==∥.(1)求证：PA 平面MDB ；(2)当直线,PC PA 与底面ABCD 所成的角都为4π，且4,DC DA AB =⊥时，求出多面体MPABD 的体积.20．（2022·全国·南宁二中高三期末（文））图1是由矩形ABGF ，Rt ADE △和菱形ABCD 组成的一个平面图形，其中2AB =，1==AE AF ，60BAD ∠=︒，将该图形沿AB ，AD 折起使得AE 与AF 重合，连接CG ，如图2.(1)证明：图2中的C ，D ，E ，G 四点共面； (2)求图2中三棱锥C BDG -的体积.21．（2022·全国·高三专题练习）如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ⊥侧面BB 1C 1C ，AB ＝BC ＝1，BB 1＝2，∠BCC 1＝60°．(1)求证：BC 1⊥平面ABC ；(2)E 是棱CC 1上的一点，若三棱锥E －ABC CE 的长．22．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））如图，在三棱柱111ABC A B C -中，112224AC AA AB AC BC =====，160BAA ∠=︒．(1)证明：平面ABC ⊥平面11AA B B ．(2)设P 是棱1CC 上一点，且12CP PC =，求三棱锥111A PB C -体积．。
新教材2023版高中数学北师大版必修第二册：棱柱棱锥和棱台课件
上底面：原棱锥的___截__面___； 下底面：原棱锥的_底__面_____．
侧面：其余各面 侧棱：相邻两个侧面的公共 边． 高：上底面、下底面之间的距 离． 斜高：正棱台各侧面都是
__全__等____的等腰梯形，这些等
腰梯形的高都相等.
状元随笔 对于多面体概念的理解，注意以下两个方面
(1)多面体是由平面多边形围成的．围成一个多面体至少要四个 面．一个多A、B 均为真命题；对于 C，一个图形要成为空间几何体，则 它至少需有 4 个顶点，3 个顶点只能构成平面图形，当有 4 个顶点时，可 围成 4 个面，所以一个多面体至少应有 4 个面，而且这样的面必是三角形， 故 C 也是真命题；对于 D，只有当截面与底面平行时才对．
答案：ABC
2．下列命题中正确的是________(填序号)． ①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱； ②棱柱的一对互相平行的平面均可看作底面； ③三棱锥的任何一个面都可看作底面； ④棱台各侧棱的延长线交于一点．
高：过上底面上一点 O1 作下
底面的垂线，这点和垂足 O
间的距离__O__O_1___．
棱锥
有一个面是多__边__形___， 其余各面都是有一个 公共顶点的 __三__角__形__，由这些面 所围成的几何体叫作 棱锥． 正棱锥：底面是 _正_多__边__形__，且它的顶 点过底面___中__心___且 与底面垂直的直线 上.
解析：对于①，还可能是棱台；对于②，只要看一个正六棱柱模型即 知是错的；对于③，显然是正确的；④显然符合定义．故填③④.
把平行四边形的锐角画成__4_5_°____，横边长画成邻边长的 ___两__倍___．为了增强立体感，把被遮挡部分画成__虚__线____ 或__不__画____． (1)一个希腊字母：如 α，β，γ 等； (2)两个大写英文字母：表示平面的平行四边形的相对的两 个顶点； (3)四个大写英文字母：表示平面的平行四边形的四个顶点
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平行
在面内
线线
相交
线面
平行
面面
平行 相交
既不平行也不相交
相交
思考与探究: （1）点运动的轨迹一定是线吗？ （2）线运动的轨迹一定是面吗？ （3）面运动的轨迹一定是体吗？
三、空间直线、平面的位置关系
请同学们结合长方体和你手中的模型进行分组讨论， 空间中直线与直线（不重合）、直线与平面、平面与 平面（不重合）、的位置关系，并举例说明。各小组 将结论汇总后用身边的道具展示。
第一章 立体几何初步 构成空间几何体的基本元素
昌邑市文山中学 韩启刚
本章主要研究的内容
空间几何的分类及特征
立 体 几 何 初 步
空间几何的度量
构成元素间的位置关系
一、空间几何体
【预习回顾】
一切物体都占据着空间的一部分，如果只考虑 物体的形状和大小，而不考虑其它因素，那么 这个空间部分叫做空间几何体。(含内部）
二、构成空间几何体的基本元素
通过观察发现：构成长方体的基本元素是点、线、 面.
长方体的物，可发现任意一 个几何体都是由点、线、面构成的.
面的表示
面的画法
常用平行四边形表示一个平面
D
C
B
面的记法
①平面α 、平面β
②平面ABCD
A
、平面γ
（标记在角上） 或平面BD
③平面AC
二、点、直线、平面的特征及表示方法
名称 特征
无大小 无粗细、 无限延伸 处处平直、 无厚度、 无限延伸
D
图形表示 符号表示
A 点A
点 直线
A
B
l
C
直线A 直线 l
面 面ABCD 或面AC
平面
A B
二、从运动观点认识点、线、面
（1）点动成线： （2）线动成面：
（3）面动成体：
动画演示
a
三、空间直线、平面之间的位置关系
平行
1、直线与直线位置关系
相交 既不平行也不相交 在面内
2、直线与平面位置关系
3、平面与平面位置关系
平行 相交 平行 相交
【深化理解】
面AC和面AD 面AB和面DC 面AD 面AC和面AC
3
【课堂收获】
1.通过本节的学习，你在知识方面有哪些收获？ 2.初步提高了立体几何中的哪些能力？
课堂收获：
点 1、知识方面： 线直线（线段） 增强了空间想 曲线（曲线段） 象能力、动手 能力和观察能 构成几何体的基本元素 生成几何体 力. 平面画法 面 表示法 曲面
位置关系
2、能力 方面：