线性代数——n阶行列式-精
第1节 n阶行列式的定义(全)
表达式 a11a22 − a12 a21 称为由该 数表所确定的二阶行列式 二阶行列式， 数表所确定的二阶行列式，即
a11 D= a21
a12 = a11a22 − a12 a21 a22
a 其中， 称为元素 元素. 其中， ij ( i = 1, 2; j = 1, 2) 称为元素.
i 为行标，表明元素位于第 行； 行标，表明元素位于第i j 为列标，表明元素位于第 列. 列标，表明元素位于第j
= a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 − a13 a22 a31 − a12 a21a33 − a11a23 a32
注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式. 注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
例1 计算行列式
3 2 3 D = 2 -3 4 4 -5 2
p 个奇排列均变成偶排列，故 p ≤ q ； 个奇排列均变成偶排列，
同理，对每个偶排列做同一变换， 同理，对每个偶排列做同一变换，则
q 个偶排列均变成奇排列，故 q ≤ p 。 个偶排列均变成奇排列，
从而， 从而，
n! p=q= 2
三、n阶行列式的定义 阶行列式的定义
a11 D = a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 = a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 a33 − a13 a22 a31 − a12 a21a33 − a11a23 a32
解 按对角线法则，有 按对角线法则，
D = 3 × ( −3) × 2 + 2 × 4 × 4 + 2 × ( −5) × 3
−3 × ( −3) × 4 − 2 × 2 × 2 − 3 × 4 × ( −5)
线性代数n阶行列式的定义PPT课件
为此，我们先来研究若交换项（1）中某两个元素的 位置时，其行标和列标排列的奇偶性如何变化。
对换任意两元素，相当于项（1）的元素行标排列及 列标排列同时经过一次对换。
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设对换前行标排列的逆序数为s，列标排列的逆序数为t。
设经过一次对换后行标排列的逆序数为 s 列标排列的逆序数为 t
由定理，对换改变排列的奇偶性
定义3
奇排列： 逆序数为奇数的排列。 偶排列： 逆序数为偶数的排列。
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计算排列的逆序数的方法：
法 1：
n个数的任一n级排列，先看数1，看有多少个比1大的数
排在1前面，记为 m1 ;
再看有多少个比2大的数排在2前面，记为 m2 ;
继续下去，最后至数n，前面比n大的数显然没有，
记为 mn 0 ;
思考： n级排列中，自然排列只有一种 除此之外，任一n级排列都一定出现较大数码 排在较小数码之前的情况。
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定义2
1）在一个排列中，若某个较大的数排在某个较小的 数前面，就称这两个数构成一个逆序。
2）一个排列中出现的逆序的总数称为这个排列的
逆序数，通常记为 (i1 , i2 ,, in )
123，231，312 132，213，321
一般说来，在n个数码的全排列中，奇偶排列各占一半
定义4： 把一个排列中的任意两个数交换位置，其余数码 不动，叫做对该排列作一次对换，简称对换。
将相邻的两个数对换，称为相邻对换。
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定理1： 对换改变排列的奇偶性。 证明思路： 先证相邻两数的对换，再证一般对换。
法3：
数 in1 后面比 in1 小的数的个数
(i1 , i2 ,, in ) 数 in 前面比 in 大的数的个数
线性代数
第1章行列式一、n阶行列式1、定义1：由自然数1，2，···，n组成的不重复的每一种有确定次序的排列，称为排列。
2、定义2：在一个n级排列（i1i2···i t···i s···i n）中，若数i t·＞i s，则称数i t与i s构成一个逆序。
一个n级排列中逆序的总数称为该排列的逆序数，记为N（i1i2···i t···i s···i n）。
3、定义4：由n2个元素a ij（i，j=1，2，···，n）组成的记号，称为n阶行列式。
而此行列式的值可以表示为：D=∑（-1）N（j1j2···jn）a1j1 a2j2···a njn4、定义5：在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的方法称之为对换。
5、定理1：任意一个排列经过一次对换后，其奇偶性改变。
6、推论1：奇排列变成自然数顺序排列的对换次数为奇数，偶排列变成自然数顺序排列的对换次数是偶数。
7、定理2：n个自然数（n＞1）共有n！个n级排列，其中奇偶排列各占一半。
8、定理3：n阶行列式也定义为：D=∑（-1）S a i1j1 a i2j2···a injn其中S为行标和列标的逆序数之和，即S=N（i1i2···i n）+N（j1j2···j n）二、行列式的性质1、性质1：行列式与它的转置行列式相等，即D=D T。
2、性质2：交换行列式的两行（列），行列式变号。
3、推论1：若行列式有两行（列）的对应元素相同，则此行列式为零。
4、性质3：用数k乘行列式某一行（列），等于用数k乘此行列式。
§12n阶行列式
n级排列的总数为n·(n-1) ·····2·1=n!。设其中奇排列有p个，偶排列 证： 有q个。 将每一个奇排列都施以同一个对换，由定理1.1可知p个奇排列全部 变为偶排列，于是有 排列数相等，各为
n! 2
p≤q
；同理，将全部的偶排列都施以同一个对换
q≤ p
，则q个偶排列全部变为奇排列，于是又有 。
（2）下面讨论一般情形：设给定的排列为 A i k1 k2 L k s j B
经对换 （ i，j ），变为新排列
A j k1 k2 L k s i B
将新排列看作由原排列经一系列相邻对换而得：先将原排列中的数码i向右依次与k1 , k2 ,L , ks 作 s+1次相邻对换得 A k1 k2 Lks j i B，再将j向左依次作s次相邻对换而得新排列；即新排列可由原 排列经 2s+1次相邻对换而得，由（1）的结论可知，它改变了奇数次奇偶性，所以它与原排 列的奇偶性相反。
，所以得p=q。即奇偶
河南财经政法大学成功学院《线性代数》精品课
二 、n阶行列式的定义 阶行列式的定义
观察与思考
a11 a12 = a11a22 − a12 a21 a21 a22
a11 a12 a13 a21 a22 a23 =a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 a31 a32 a33 −a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31
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举例说明
四阶行列式 a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 D= a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44 所表示的代数和中有 4!=24 项. a14a23a31a42行标排列为1234, 元素取自不同的行; 列标排 列为4312, 元素取自不同的列, 且N(4312)=5, 即4312为奇排列, 所以元素乘积a14a23a31a42前面应冠以负号, 即− a14a23a31a42为 D的一项.
线性代数 §12 n阶行列式 习题与答案
§1.2 n 阶行列式为了得到更为一般的线性方程组的求解公式，我们需要引入n 阶行列式的概念。
为此，先介绍排列的有关知识。
㈠排列与逆序：(课本P4)１、排列的定义：由数码1，2，…，n ，组成一个有序数组12n i i i ，称为一个n 级排列。
【例1】1234是一个4级排列，3412也是一个4级排列，而52341是一个5级排列。
(课本P4中例)【例2】由数码1，2，3 组成的所有3级排列为：123，132，213，231，312，321共有3! = 6个。
【例3】数字由小到大的n 级排列1234…n 称为自然序排列。
２、逆序的定义：在一个n 级排列12n i i i 中，如果有较大的数t i 排在si 的前面，则称t i 与s i 构成一个逆序。
(课本P4)【例4】在4 级排列3412中， 31，32，41，42，各构成一个逆序，在5 级排列34152中， 31，32，41，42，52，共构成5个逆序。
3、逆序数的定义：一个n 级排列12n i i i 中逆序的总数，称为这个排列的逆序数，记为12()n N i i i 。
(课本P4)【例5】排列3412的逆序数为N (3412) = 4，排列52341的逆序数为N (52341) = 7， 自然序排列的逆序数为0。
4、奇、偶排列的定义：如果排列12n i i i 的逆序数12()n N i i i 是奇数，则将12n i i i 称为奇排列；如果排列12n i i i 的逆序数12()n N i i i 是偶数，则将12n i i i 称为偶排列。
(课本P4)【例6】由于N (3412) = 4，知排列3412是偶排列，由于N (52341) =7，知排列52341是奇排列， 由于N (123…n ) = 0，知自然排列123…n 是偶排列。
【例7】由数码1，2，3组成的所有3级排列为：123，132，213，231，312，321共有3! = 6个，其中，奇排列有132，213，321三个，偶排列有123，312，231三个。
线性代数-行列式(完整版)
a11a22 a12a21
数a（ ij i, j 1,2)称为它的元素。
今后对任何行列式，横 排称为行， 竖排称为列 ,
aij中i称为行标, j称为列标, aij 表示第i行第j列元素, 左上角到右下角表示主对角线，
4
右上角到左下角表示次对角线， 例１
5 1 3 2
5 2 (1) 3 13
a21 a22 a31 a32
可以用对角线法则来记忆如下.
8
主对角线法
a11
a12
a13 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
a21 a22 a31 a32
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例4 计算三阶行列式
定理1.1：任一排列经过一个对换后奇偶性改变。
证明：
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对换在相邻两数间发生，即
设排列 …jk… (1) 经j,k对换变成 …kj… (2) 此时，排列(1)、(2)中j,k与其他数是否构成逆序的情形未 发生变化；而j与k两数构成逆序的情形有变化： 若(1)中jk构成逆序,则(2)中不构成逆序(逆序数减少1) 若(1)中jk不构成逆序,则(2)中构成逆序(逆序数增加1)
n!个） 称为一个n级排列（总数为 . 如：由1,2,3可组成的三级排列有3！=6个： 123 132 213 231 312 321 注意:上述排列中只有第一个为自然顺序(小大),其 他则或多或少地破坏了自然顺序(元素大小与位置相
反)——构成逆序.
15
(2)排列的逆序数
定义： 在一个n 级排列i1i2…in中，若某两数的前 后位置与大小顺序相反,即is>it(t>s),则称这两数构 成一个逆序.排列中逆序的总数,称为它的逆序数， 记为N (i1i2…in).
第1讲n阶行列式的定义与性质PPT幻灯片课件
的组合数即 ：
(
p1
p2 ... pn )
(
pn
pn1 ... p1 )
C
2 n
n(n 2
1)
(
pn
pn1 ... p1 )
n(n 1) 2
k
例4 求排列(2k)1(2k 1)2(2k 2)...(k 1)k 的逆序数,并讨论奇偶性。
解：2k 的逆序数为 2k 1 ；1 的逆序数为 0
程之一，在一般工科专业的教学中占有极重要的地位， 在其他课程、科学研究和工程技术中有广泛的应用。因 此，工科学生必须具备有关线性代数的基础理论知识以 及解决实际问题的能力， 从而为学习后续课程和进一步 扩大数学知识打下必要的数学基础。
教学内容与时间分配:
1-行列式(4学时)
2-矩阵及其应用(4学时)
(q1q2 L qn )
an1 an2 ... ann
(1) aq11aqq2 2...aqnn
q1q2 ...qn
(1)
1
2
a a ...a l1s1 l2s2
ln sn
1 (l1l2 ln)
2 (s1s2 L sn )
五、关于等价定义的说明
对于行列式中的任一项
(1) a1 p1 ...aipi ...a jpj ...anpn
定理4
a11 a12 ... a1n
D
a21 ...
a22 ...
... ...
a2n ...
(1) aq1 a1 q2 2 ...aqnn
q1q2 ...qn
an1 an2 ... ann
(1)
1
a a 2 l1s1 l2s2
3、n阶行列式
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n D an1 an 2 ann
p1 p2 pn
1
p1 p2 pn
a1 p1 a2 p2 anpn
7
线性代数
n阶行列式
说明 1、行列式是一种运算符，它是根据求解方程个 数和未知量个数相同的线性方程组的需要而定义 的；
元素在行列式ij中的余子式仍然是在行列式ij39线性代数n阶行列式ijijnnijijijijij所以命题得证40线性代数n阶行列式4443424133242322211413121144424124222114121133例如动画演示41线性代数n阶行列式行列式等于它的任一行列的各元素与其对应的代数余子式乘积之和即1112njnj定理定理利用行列式的性质4拆分原理有44行列式按行行列式按行列列展开展开42线性代数n阶行列式nn121112111211行列式任一行列的元素与另一行列的对应元素的代数余子式乘积之和等于零即njni推论推论命题得证43线性代数n阶行列式把行列式行展开有detjnjn把行列式中的换成可得jknjni44线性代数n阶行列式55关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质kjkijkik其中45线性代数n阶行列式66应用举例应用举例46线性代数n阶行列式66应用举例应用举例按第二行展开得1356352747线性代数n阶行列式48线性代数n阶行列式1所以245351225184410319631849线性代数n阶行列式41按第4行展开5a413a422a432a444450线性代数n阶行列式第四行各元素余子式之和为分析41424344表示中元素的余子式则有ij1186851线性代数n阶行列式52线性代数n阶行列式53线性代数n阶行列式54线性代数n阶行列式解法一55线性代数n阶行列式56线性代数n阶行列式57线性代数n阶行列式58线性代数n阶行列式解法二59线性代数n阶行列式三小结三小结32211331231233221133211232231131221311121122122121221112212211121321222331323360线性代数n阶行列式余子式与代数余子式余子式与代数余子式ij划去后留下来的阶行列式叫做元素的余子式阶行列式中把元素所在的第ijij叫做元素的代数余子式