研究生统计学讲义第5讲第5章方差分析
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第五讲方差分析上详解演示文稿
31 第三十一页，66页。
5.2.4 方差齐次性检验未通过的解决办法
在可选项对话框进行指定：
32 第三十二页，共66页。
5.2.4 方差齐次性检验未通过的解决办法
调整后的结果：
Robust Tests of Equality of Means
数学
Statistica df1 df2 Sig.
Welch
（5）输出结果的最后部分是各组观察变 量均值的折线图，如图5-6所示。
30 第三十页，共66页。
5.2.4 方差齐次性检验未通过的解决办法
各分组的方差相同是进行单因素的方差分析的前提 条件之一，当该条件不满足时应该如果处理呢？ Ø解决办法：调整F检验 qSPSS提供了两个调整F值：Brown-Forsythe F 和 Welch’s F
图5-7 在菜单中选45择“Univariate”命令
第四十六页，共66页。
图5-8 “Univar4i6ate”对话框（一）
第四十七页，共66页。
图5-9 “Univariate:47Options”对话框（一）
图5-10 “Univariate: Post Hoc Multiple48Comparisons for Observed Means”对话框
到，经假设检验得出多个总体均数不全相等的提示后，才决定的 多个均数的多重事后比较。 v LSD (Least-significant difference) 最小显著差数法，用t检验完成各组 均值间的配对比较。 v S-N-K (Student-Newmnan-Keuls) 用Student Range分布进行所有 各组均值间的配对比较。如果各组样本含量相等或者选择了 “Harmonic average of all groups”即用所有各组样本含量的调和 平均数进行样本量估计时还用逐步过程进行齐次子集(差异较小 的子集)的均值配对比较。在该比较过程中，各组均值从大到小按顺序排
5.2.4 方差齐次性检验未通过的解决办法
在可选项对话框进行指定：
32 第三十二页，共66页。
5.2.4 方差齐次性检验未通过的解决办法
调整后的结果：
Robust Tests of Equality of Means
数学
Statistica df1 df2 Sig.
Welch
（5）输出结果的最后部分是各组观察变 量均值的折线图，如图5-6所示。
30 第三十页，共66页。
5.2.4 方差齐次性检验未通过的解决办法
各分组的方差相同是进行单因素的方差分析的前提 条件之一，当该条件不满足时应该如果处理呢？ Ø解决办法：调整F检验 qSPSS提供了两个调整F值：Brown-Forsythe F 和 Welch’s F
图5-7 在菜单中选45择“Univariate”命令
第四十六页，共66页。
图5-8 “Univar4i6ate”对话框（一）
第四十七页，共66页。
图5-9 “Univariate:47Options”对话框（一）
图5-10 “Univariate: Post Hoc Multiple48Comparisons for Observed Means”对话框
到，经假设检验得出多个总体均数不全相等的提示后，才决定的 多个均数的多重事后比较。 v LSD (Least-significant difference) 最小显著差数法，用t检验完成各组 均值间的配对比较。 v S-N-K (Student-Newmnan-Keuls) 用Student Range分布进行所有 各组均值间的配对比较。如果各组样本含量相等或者选择了 “Harmonic average of all groups”即用所有各组样本含量的调和 平均数进行样本量估计时还用逐步过程进行齐次子集(差异较小 的子集)的均值配对比较。在该比较过程中，各组均值从大到小按顺序排
第五章方差分析[统计学经典理论]
![第五章方差分析[统计学经典理论]](https://img.taocdn.com/s3/m/8103707959fafab069dc5022aaea998fcc224065.png)
第五章方差分析•如果要检验两个总体的均值是否相等，我们可以用t检验。
当要检验多个总体的均值是否相等，则需要采用方差分析。
•方差分析是R.A.Fister发明的，它是通过对误差的分析研究来检验两个或多个正态总体均值间差异是否具有统计意义的一种方法。
•由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动，造成波动的原因可分成两类，一是不可控的随机因素，另一是研究中施加的对结果造成影响的可控因素，方差分析认为不同处理组的均值间的差异基本来源有两个：•组内差异：由随机误差造成的差异，用变量在各组的均值与该组内变量值之差平方和的总和表示，记作SSE。
•组间差异：由因素中的不同水平造成的差异，用变量在各组的均值与总均值之差平方和的总和表示，记作SSA。
•方差分析的基本思想是：通过分析研究中不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定可控因素对研究结果影响力的大小。
•方差分析的三个条件：•被检验的各总体均服从正态分布；•各总体的方差皆相等；•从每一个总体中所抽出的样本是随机且独立的；方差分析的基本步骤：建立原假设H0：两个或多个总体均值相等。
将各不同水平间的总离差分成两个部分：组间差异SSA组内差异SSE构造检验统计量： F= MSA / MSE判断：在零假设为真时，F～F[(k-l),(n-k)]的F分布。
若各样本平均数的差异很大，则分子组间差异会随之变大，而F值也随之变大，故F检验是右尾检验。
当检验统计量F大于临界值时则拒绝原假设；或者根据 p值来判断，若p<α，则拒绝原假设§5.1 单因素方差分析（One-Way ANOVA过程）One-Way ANOVA过程用于进行两组及多组样本均数的比较，即成组设计的方差分析，如果做了相应选择，还可进行随后的两两比较，甚至于在各组间精确设定哪几组和哪几组进行比较。
5.1.1 界面说明【Dependent List框】选入需要分析的变量，可选入多个结果变量（应变量）。
第五讲 方差分析(共67张PPT)
生接受知识的能力是一个控制变量。因此，随机变 量和控制变量的划分并不是绝对的，根据分析 情况的不同而不同，应区别对待）。
5
可以对两个普通的班级分别使用两种不同的教 学方法，一段时间后进行测试，就可以得到不同教 学方法对教学效果的影响。同样，也可以使用不同 的教材，分析其对教学效果的影响。
6
方差分析就是实现上述功能的分析方法。方差
Brown-Forsythe 17.681 2 8.087 .001
a. Asymptotically F distributed.
32
5.2.5 结果报告
The assumption of homogeneity of variances has been violated(F(2,15)=3.86, p<0.05). Welch’s asymptotical F distribution(F(2,8.96)=46.06, p<0.001) reports that math learning effects are significantly different among the three groups.
33
5.3 多因素方差分析
5.3.1 统计学上的定义和计算公式
定义：多因素方差分析中的控制变量在两个或
两个以上，它的研究目的是要分析多个控制变量 的作用、多个控制变量的交互作用以及其他随机 变量是否对结果产生了显著影响。例如，在本章 开始讲述的例子，在获得教学效果的时候，不仅 单纯考虑教学方法，还要考虑不同风格教材的影 响，因此这是两个控制变量交互作用的效果检验。
Welch’s F
30
5.2.4 方差齐次性检验未通过的解决办法
在可选项对话框进行指定：
5
可以对两个普通的班级分别使用两种不同的教 学方法，一段时间后进行测试，就可以得到不同教 学方法对教学效果的影响。同样，也可以使用不同 的教材，分析其对教学效果的影响。
6
方差分析就是实现上述功能的分析方法。方差
Brown-Forsythe 17.681 2 8.087 .001
a. Asymptotically F distributed.
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5.2.5 结果报告
The assumption of homogeneity of variances has been violated(F(2,15)=3.86, p<0.05). Welch’s asymptotical F distribution(F(2,8.96)=46.06, p<0.001) reports that math learning effects are significantly different among the three groups.
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5.3 多因素方差分析
5.3.1 统计学上的定义和计算公式
定义：多因素方差分析中的控制变量在两个或
两个以上，它的研究目的是要分析多个控制变量 的作用、多个控制变量的交互作用以及其他随机 变量是否对结果产生了显著影响。例如，在本章 开始讲述的例子，在获得教学效果的时候，不仅 单纯考虑教学方法，还要考虑不同风格教材的影 响，因此这是两个控制变量交互作用的效果检验。
Welch’s F
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5.2.4 方差齐次性检验未通过的解决办法
在可选项对话框进行指定：
方差分析ppt课件
推断控制变量是否给观测变量带来了显 著影响。
在观测变量总离差平方和中，如果组
间离差平方和所占比例较大，则说明观 测变量的变动主要是由控制变量引起的， 可以由控制变量来解释，控制变量给观 测变量带来了显著影响；反之，如果组 间离差平方和所占比例小，则说明观测 变量的变动不是主要由控制变量引起的， 不可以主要由控制变量来解释，控制变 量的不同水平没有给观测变量带来显著 影响，观测变量值的变动是由随机变量 因素引起的。
不同饲料对牲畜体重增长的效果等， 都可以使用方差分析方法去解决。
方差或叫均方，是标准差的平方，是
表示变异的量。在一个多处理试验中， 可以得到一系列不同的观测值。造成观 测值不同的原因是多方面的，有的是处 理不同引起的，叫处理效应或条件变异， 有的是试验过程中偶然性因素的干扰和 测量误差所致，称为实验误差。
dfT nk 1 20 1 19
dft k 1 5 1 4
dfe 5(4 1) 15
st 2
SSt dft
103.94 3
34.65
se2
SSe dfe
109.36 12
9.11
进行F检验：
F st2 34.65 50.15 se2 9.11
F0.05(4,15) 3.06, F0.01(4,15) 4.89, F
x1 x2
ts x1 x2
x1 x2
LSD0.05 t s 0.05 x1x2
LSD0.01
t0.01
s x1 x2
若
x1
x 2 ＞t0.05
s x1
x2
或
x1
ห้องสมุดไป่ตู้
x2
＞
t0.01
s x1 x2
在观测变量总离差平方和中，如果组
间离差平方和所占比例较大，则说明观 测变量的变动主要是由控制变量引起的， 可以由控制变量来解释，控制变量给观 测变量带来了显著影响；反之，如果组 间离差平方和所占比例小，则说明观测 变量的变动不是主要由控制变量引起的， 不可以主要由控制变量来解释，控制变 量的不同水平没有给观测变量带来显著 影响，观测变量值的变动是由随机变量 因素引起的。
不同饲料对牲畜体重增长的效果等， 都可以使用方差分析方法去解决。
方差或叫均方，是标准差的平方，是
表示变异的量。在一个多处理试验中， 可以得到一系列不同的观测值。造成观 测值不同的原因是多方面的，有的是处 理不同引起的，叫处理效应或条件变异， 有的是试验过程中偶然性因素的干扰和 测量误差所致，称为实验误差。
dfT nk 1 20 1 19
dft k 1 5 1 4
dfe 5(4 1) 15
st 2
SSt dft
103.94 3
34.65
se2
SSe dfe
109.36 12
9.11
进行F检验：
F st2 34.65 50.15 se2 9.11
F0.05(4,15) 3.06, F0.01(4,15) 4.89, F
x1 x2
ts x1 x2
x1 x2
LSD0.05 t s 0.05 x1x2
LSD0.01
t0.01
s x1 x2
若
x1
x 2 ＞t0.05
s x1
x2
或
x1
ห้องสมุดไป่ตู้
x2
＞
t0.01
s x1 x2
第五章 方差分析 《统计学》PPT课件
MST SST , MSA SSA , MSE SSE
nr 1
r 1
nr r
上式中分母的数值为对应平方和的自由度 。
为了检验 H0 ，定义F统计量
F MSA SSA/(r 1) ~ F(r 1, nr r) MSE SSE/(nr r)
对给定置信水平 ， F 统计量的数值大于
F (r 1, nr r)，则拒绝零假设 H0 ，即认为因素
。
i 1
j 1
利用最小二乘估计理论，可以得到模型（5.8） 中参数的估计如下：
ˆ y, ˆi yi y, ˆj y j y
其中
y
1 nrs
r i 1
sn
yijk ,
j1 k 1
1 r n
y j nr i1
yijk
k 1
yi
1 ns
s j 1
n
yijk ,
k 1
2.方差分解
１、模型结构
当考虑有交互效应时，双因素方差分析模型 表述为：
yijk i j ij ijk （5.14）
i 1, , r, j 1, , s, k 1, , n, 上式中参数 ij
表示交互效应，它满足约束条件
r
s
ij ij 0 ，
i 1
j 1
其他参数的假设与模型（5.8）相同。利用 最小二乘估计理论，可以得到模型（5.14）中 参数的估计如下：
体存在显著差异。
2、多重比较
不拒绝H0，表示拒绝总体均值相等的证据不足 ————>分析终止。
拒绝H0，接受H1, 表示总体均值不全相等 哪两两均数之间相等？ 哪两两均数之间不等？ ————>需要进一步作多重比较。
一种使用比较多的是所有成对假设，形成 如下的假设问题：
第5章 方差分析-正式课件
这样，处理效应不固定，是随机的，这种模型称为随机模型。
在多因素试验中，若各因素水平的效应均属随机，则对应于随机模型。
在遗传、育种和生态试验研究方面随机模型有广泛的应用。
【例如】为研究中国猪种繁殖性能的变异情况，从大量地方品种中随机抽取 部分品种为代表进行试验、观察，以其结果推断中国猪种的繁殖性能的变异情况， 这就属于随机模型。
（一）、固定模型(fixed model)
在单因素试验的方差分析中，把k个处理看作k个明晰的总体， 如果满足： 1. 研究的对象只限于这k个总体的结果，而不需推广到其它总体 2. 研究目的在于推断这k个总体平均数是否相同，
即检验 H0：μ1=μ2=…=μk，若H0被否定，下一步需作多重比较 3. 重复试验时的处理仍为原来的k个处理
第5章 方差分析
多个平均数间的差异显著性检验
1
第一节 方差分析概述
一、方差分析的基本思想
方差分析（analysis of variance，简称ANOVA）由英国 统计学家R.A.Fisher提出，该方法是将k个处理的观测值作 为一个整体看待，把观测值的总变异分解为不同变异来源 的分变异，进而获得不同变异来源在总变异中所占份额的 估计值，通过F检验判定各样本所属总体的平均数是否相 等（H0：μ1=μ2=---=μk)。
12
第2节多样本的正态性检验和方差齐性检验
程序5-2 例5-1资料方差齐性检验的SAS程序
DATA EX5_2;
DO GROUP=1 TO 3;
DO N=1 TO 12;
INPUT X@@;
OUTPUT;
END;
END;
CARDS;
30 27 35 35 29 33 32 36 26 41 33 31
在多因素试验中，若各因素水平的效应均属随机，则对应于随机模型。
在遗传、育种和生态试验研究方面随机模型有广泛的应用。
【例如】为研究中国猪种繁殖性能的变异情况，从大量地方品种中随机抽取 部分品种为代表进行试验、观察，以其结果推断中国猪种的繁殖性能的变异情况， 这就属于随机模型。
（一）、固定模型(fixed model)
在单因素试验的方差分析中，把k个处理看作k个明晰的总体， 如果满足： 1. 研究的对象只限于这k个总体的结果，而不需推广到其它总体 2. 研究目的在于推断这k个总体平均数是否相同，
即检验 H0：μ1=μ2=…=μk，若H0被否定，下一步需作多重比较 3. 重复试验时的处理仍为原来的k个处理
第5章 方差分析
多个平均数间的差异显著性检验
1
第一节 方差分析概述
一、方差分析的基本思想
方差分析（analysis of variance，简称ANOVA）由英国 统计学家R.A.Fisher提出，该方法是将k个处理的观测值作 为一个整体看待，把观测值的总变异分解为不同变异来源 的分变异，进而获得不同变异来源在总变异中所占份额的 估计值，通过F检验判定各样本所属总体的平均数是否相 等（H0：μ1=μ2=---=μk)。
12
第2节多样本的正态性检验和方差齐性检验
程序5-2 例5-1资料方差齐性检验的SAS程序
DATA EX5_2;
DO GROUP=1 TO 3;
DO N=1 TO 12;
INPUT X@@;
OUTPUT;
END;
END;
CARDS;
30 27 35 35 29 33 32 36 26 41 33 31
第五章方差分析144页PPT
较同需时估没计有一充个分利S用xi 资xj 料，所故提使供得的各信次息比而较使误误差差的估估计计的不精统确一，
性降低，从而降低检验的灵敏性。
上一张 下一张 主 页 退 出
例如，试验有5个处理 ，每个处理 重复 6次，共有30个 观测值。进行t检验时，每次只能利用两个处理共12个观 测值估计试验误差 ，误差自由度为 2(6-1)=10 ；若利 用整个试验的30个观测值估计试验误差 ，显然估计的精 确性高，且误差自由度为5(6-1)=25。可见，在用t检 法进行检验时 ，由 于估计误差的精确性低，误差自由度
方差分析实质上是关于观测值变异原因的数量分析。
上一张 下一张 主 页 退 出
1 方差分析的基本原理与步骤
1.1 线性模型与基本假定
假设某单因素试验有k个处理，每个处理有n 次重复，共有nk个观测值。试验资料的数据模式 如表5-1所示。
上一张 下一张 主 页 退 出
表5-1 k个处理每个处理有n个观测值的数据模式
用 t 检验，须采用方差分析法。
上一张 下一张 主 f variance) 是由英国统计学家
R.A.Fisher于1923年提出的。
方差分析是将k个处理的观测值作为一个整体 看待，把观测值总变异的偏差平方和及自由度分解 为相应于不同变异来源的偏差平方和及自由度，进 而获得不同变异来源的总体方差估计值；由总体方 差估计值构造F统计量，计算F值，检验各样本所属 总体平均数是否相等。
束，即
n
(xi
j
xi.
)
0（i=1,2,…,k。故处理内自
j1
由度为资料中观测值的总个数减k，即kn-k 。
处理内自由度记为dfe，
dfe=kn-k=k(n-1)
性降低，从而降低检验的灵敏性。
上一张 下一张 主 页 退 出
例如，试验有5个处理 ，每个处理 重复 6次，共有30个 观测值。进行t检验时，每次只能利用两个处理共12个观 测值估计试验误差 ，误差自由度为 2(6-1)=10 ；若利 用整个试验的30个观测值估计试验误差 ，显然估计的精 确性高，且误差自由度为5(6-1)=25。可见，在用t检 法进行检验时 ，由 于估计误差的精确性低，误差自由度
方差分析实质上是关于观测值变异原因的数量分析。
上一张 下一张 主 页 退 出
1 方差分析的基本原理与步骤
1.1 线性模型与基本假定
假设某单因素试验有k个处理，每个处理有n 次重复，共有nk个观测值。试验资料的数据模式 如表5-1所示。
上一张 下一张 主 页 退 出
表5-1 k个处理每个处理有n个观测值的数据模式
用 t 检验，须采用方差分析法。
上一张 下一张 主 f variance) 是由英国统计学家
R.A.Fisher于1923年提出的。
方差分析是将k个处理的观测值作为一个整体 看待，把观测值总变异的偏差平方和及自由度分解 为相应于不同变异来源的偏差平方和及自由度，进 而获得不同变异来源的总体方差估计值；由总体方 差估计值构造F统计量，计算F值，检验各样本所属 总体平均数是否相等。
束，即
n
(xi
j
xi.
)
0（i=1,2,…,k。故处理内自
j1
由度为资料中观测值的总个数减k，即kn-k 。
处理内自由度记为dfe，
dfe=kn-k=k(n-1)
研究生 统计学讲义 第5讲 第5章 方差分析
SS组 内
j 1 i 1
k
nj
( X ij X j ) 2
( n j 1) S 2 j
显然SS组内的大小还与各样本例数 nj 的多少有关， 确切地说与自由度df组内(df组内=Σnj - k)有关，所以计算 组内方差，称为组内均方(within group mean square ，记为MS组内，MS组内=SS组内 / df组内=[Σ(nj -1)sj2 ]/ (Σnj -k)。 (3) 组间变异(between groups variation)：四组间E-SFC 值的样本均数 x j 也大小不等，这种变异称为组间变异， 它反映了不同处理(中药)的影响，也包括了随机误差。 其大小可用各组均数分别与总均数之差的平方和(记为 SS组间)来表示，
Pmin
m
才推断差异在总检验水准为α下具有统计学意义， 这就是Bonferroni标准，利用Bonferroni标准进行多组 比较的方法，称为Bonferroni校正法。 例5.3 已知表5-1资料满足方差分析的应用条件，试分 析四种用药情况对小白鼠细胞免疫机能的影响是否相 同。
本例资料一个研究因素，满足方差分析的应用条件 ，比较各组总体均数相等用单因素方差分析法。 H0:μ1=μ2=μ3=μ4即各总体均数相等, H1:各总体均数 不全不等;α=0.05
例如有4个样本均数间的两两比较有Ｃ42 =4！/［2 ！(4-2)！］＝6 种情况，即可有 6 次对比，若每次比较 的检验水准α=0.05，则每次比较不犯第一类错误的概 率为0.95，按概率的乘法定理，6 次比较均不犯第一类 错误的概率为(1-0.05)6，这时，总的检验犯第一类错误 的概率为1- 0.956＝0.2649，比0.05大多了。 例5.2 曾经有人观察甲、乙两种性激素对成四种中 药纤维细胞生长的影响，以安慰剂为对照，三组样本 含量均为10，结果是甲组为36±4，乙组为39±3，安 慰剂组为40±4。按检验水准α=0.05，使用 t 检验作两 两比较，结论：甲组与乙组组比较 t =1.897，P>0.05 ，差异无统计学意义；乙组与安慰剂组比较，t=0.632 ，P>0.05，差异无统计学意义；甲组与安慰剂组比较 ，t=2.236，P≈0.04，差异有统计学意义。显然在逻辑 上是矛盾的。
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3.方差分析的优点 方差分析的优点有：① 不受对比的 组数之限制；② 可同时分析多个因素的作用；③ 可分 析因素间的交互作用。
查附表6，界值F0.01(3，5) =12.1，df1=3，df2=5时， P (F >12.1) =0.01，P (F <12.1) = 0.99
查附表6, F0.01(3，5) =12.1 , df1=3 , df2=5时 , P (F >12.1) =0.01 , P (F <12.1) = 0.99 ; 查附表6 ,F0.025(7，2) = 39.36， df1=7，df2= 2时，P(F >39.36) = 0.025 , P (F <39.36) =0.975。
对照 组
14
10
12
16
13
14
10
13
9
淫羊 藿组 35 27 33 29 31 40 35 30 28 36
党参 组
21
24
18
17
22
19
18
23
20
18
黄芪 组
24
20
22
18
17
21
18
22
19
23
本例属于完全随机设计资料，从表5-1资料可以看到 三种性质不同的变异（用离均差平方和表示变异）：
1. 方差分析的分析思路是将全部观察值之间的变异 即总变异 (SS总)按设计和资料以及分析需要分为两个 组成部分，以随机误差为基础，计算F值，按F分布 的规律作统计推断。
下面我们以完全随机设计资料为例，进一步说明方 差分析的基本思想。
例5.1 研究单味中药对小白鼠细胞免疫机能的影响， 把39只小白鼠随机分为四组，雌雄尽量各半，用药15 天后，进行E-玫瑰花结形成率（E-SFC）测定，结果 如表
k
SS组间 n j ( X i X 总) j 1
同样，组间变异SS组间的大小还与其自由度df组间(df组间 =k-1)有关，所以计算组间方差，称为组间均方(between groups mean square，记为MS组间)，
MS组间=SS组间 /df组间= SS组间 k 1
SS总=SS组间+SS组内，且df总=df组间 + df组内
下面的性质是F分布用于方差分析和两样本比较时 的方差齐性检验的重要依据：
如果分别从两个正态总体N(μ1,σ1)和N(μ2,σ2)中，随机
抽取样本含量为n1，n
的两个样本，算出样本均数和
2
方差分别为 ，xs211和 ，xs222，则统计量
F
s12
/
2 1
s22
/
2 2
(5.2)
服从自由度为df1 = n1－1，df2 = n2－1的F分布。 第二节 方差分析的思路
(3) 各比较组总体方差相等(σ12=σ22=…=σk2)，称为方差 齐性（homogeneity of variance）。方差分析的这一应 用条件主要是对完全随机设计资料而言，注意：无重 复数据的方差分析，如配伍设计、交叉设计、正交设 计的方差分析，因每个单元格子中只有一个观察数据 ，不需考虑正态性和方差齐性的要求。
组均数 x j 之差的平方和(记为SS组内)来表示，
k nj
SS组内
( X ij X j )2
(n j
1) S
2 j
j1 i 1
显然SS组内的大小还与各样本例数 nj 的多少有关， 确切地说与自由度df组内(df组内=Σnj - k)有关，所以计算 组内方差，称为组内均方(within group mean square
预备知识
方差分析首先要进行F 检验，统计量为F，我们先 介绍其统计量的分布─F分布。
定义：如果随机变量X1、X2分别服从自由度为df1 ，df2的2分布，则称随机变量
F X1 / df1 X2 / df2
服从自由度为df1, df2的F分布(Fdistribution)。
F0.05(5 ,10) =3.33, P (F >3.33) = 0.05;P (F<3.33) = 0.95；
(1) 总变异(total variation)：
k nj
SS总
( X ij X 总 )2
j1 i 1
显然SS总 还与总例数N(=∑nj)的多少有关，确切地说 与总的自由度df总(df总=N－1)有关。 (2) 组内变异(within group variation)：四个样本组各组 内部E-SFE值也大小不等，这种变异称为组内变异。它 反映了E-SFC的随机误差(包括个体差异以及观测误差)， 其大小可用四样本内部每个观察值 xij 与自已所在样本
H0:μ1=μ2=μ3=μ4，F＝MS组间 / MS组内 >1
F 要大于1 多少才有统计意义呢？可查F 界值表( 见附表6)得 P 值，按 P 值的大小作出推断结论。
2.方差分析的应用条件
(1) 各样本是相互独立的随机样本。
(2) 正态性(normality)，各样本来自正态分布总体。方 差分析的这一应用条件是对样本含量较小时的资料而言 ，对于样本含量较大的资料来说，则样本不论来自什么 总体，方差分析都是强有力的分析方法。因为当各组的 样本含量较大时，样本均数近似正态分布。
因一般都按组成统计量F的分子大于分母计算F值。 所以附表6中 F 界值都大于1。方便方差分析时用。
F分布具有倒数性质：
1 F1 (df 1,df 2) F (df2 ,df1 )
例如，查附表6，F0.05(2，5) =5.7861，F 界值表中没有 列出F0.95(5，2) ，利用F分布的倒数性质可得F0.95(5，2) =1/F0.05(2，5) =1/5.7861 = 0.1728 。
，记为MS组内，MS组内=SS组内 / df组内=[Σ(nj -1)sj2 ]/ (Σnj -k)。
(3) 组间变异(between groups variation)：四组间E-SFC
值的样本均数 x j 也大小不等，这种变异称为组间变异，
它反映了不同处理(中药)的影响，也包括了随机误差。 其大小可用各组均数分别与总均数之差的平方和(记为 SS组间)来表示，
第5章 方差分析 analysis of variance，ANOVA 方差分析目的是利用变异的关系来判别多组资料
的总体平均值是否有差别。基本思想是：先假设（H0 ）各总体均数全相等；将总变异SS总，按设计和资料 分析的需要分为两个或多个组成部分，其自由度也相 应地分为几个部分，以随机误差为基础，按F分布的 规律作统计推断。